3. TESTES DE QUALIDADE DE AJUSTAMENTOw3.ualg.pt/~eesteves/docs/TestesQualidadeAjustamento.pdf · As...

Testes da qualidade de ajustamento

APONTAMENTOS DE ADPE © E. Esteves & C. Sousa, 2007. 67

3. TESTES DE QUALIDADE DE AJUSTAMENTO

3.1 Introdução

A informação sobre o modelo da população donde se extrai uma amostra constitui,

frequentemente, um problema estatístico. A forma da distribuição pode ser o objectivo da

investigação ou, então, (na inferência clássica) a informação acerca da forma deve ser postulada na

hipótese nula para que as conclusões sejam válidas.

A compatibilidade de um conjunto de valores observados com a distribuição normal ou

qualquer outra distribuição é analisada através dos testes de qualidade de ajustamento. Estes são

usados quando apenas a forma da população está em causa, na esperança de que a hipótese nula não

seja rejeitada. Esta constituirá uma afirmação acerca da forma da função distribuição da população

donde se extraiu a amostra. Preferencialmente, a distribuição em H0 deve ser completamente

especificada, incluindo todos os parâmetros. Se apenas for especificada alguma família de

distribuições, devem estimar-se os parâmetros desconhecidos (por um qualquer método de

estimação) partir dos dados amostrais, tendo em vista a realização do teste. Em ambos os casos, a

hipótese alternativa é bastante geral, incluindo diferenças apenas na localização e/ou dispersão e/ou

forma, pelo que a rejeição da hipótese nula não nos fornece (demasiada) informação específica.

Neste capítulo serão apresentados testes (não-paramétricos) que permitem verificar

hipóteses acerca da forma da distribuição da população de onde provém uma qualquer amostra, ou

avaliar se diferentes amostras são provenientes de uma população comum. Estes testes são

denominados por testes de qualidade de ajustamento.

3.2 Ajustamento de uma amostra a uma distribuição teórica

3.2.1 Teste de qui-quadrado

O teste qui-quadrado permite avaliar a aderência entre uma distribuição de frequências,

associada a uma amostra, constituída por observações expressas numa qualquer escala e uma

distribuição teórica. Os requisitos exigidos para a realização do teste são: amostra aleatória; e com

uma dimensão mínima adequada (esta questão será discutida mais adiante).

O teste qui-quadrado para a avaliação da qualidade de ajuste baseia-se na comparação da

distribuição dos dados amostrais com a distribuição teórica à qual se supõe pertencer a amostra. A

metodologia que se adopta no teste inclui os passos que se descrevem de seguida:

(i) As hipóteses nula e alternativa são formuladas nos seguintes termos:



:0H A população segue uma determinada distribuição teórica;

:1H A população não segue tal distribuição teórica.

(ii) As n observações que constituem a amostra são agrupadas em k classes (ou categorias)

não-sobreponíveis (com 2≥k ) e a amostra é constituída por dados quantitativos (não se

consideram, aqui, os dados qualitativos), isto é, “dados contínuos”, que serão agrupados

em classes que, a exemplo do que sucede na construção de histogramas, são de definição

relativamente arbitrária enquanto que para os “dados discretos”, as classes a considerar

corresponderão, naturalmente, às categorias nas quais os dados se encontram

classificados ou aos valores particulares que podem tomar.

(iii) Calculam-se as frequências absolutas das observações amostrais em cada classe i,

),,1( ki K= . Tais frequências, que se designam por frequências observadas, denotam-se

por in e satisfazem a condição, ∑=

=k

ii nn

1

(tamanho da amostra).

(iv) Determina-se a frequência das observações que se esperaria obter em cada classe i se a

hipótese nula fosse verdadeira, isto é, se os dados fossem provenientes de uma

determinada distribuição teórica conhecida. Tais frequências esperadas, que se denotam

por ein , são dadas por iei npn = , onde ip representa a probabilidade de, sendo 0H

verdadeira, a variável aleatória tomar valores pertencentes à classe i e n é o tamanho da

amostra. Note-se que, tal como as frequências observadas, também as frequências

esperadas satisfazem a condição, ∑=

=k

iei nn

1

.

(v) A estatística de teste é construída com base numa medida global de “ajustamento” entre

as frequências observadas na amostra, in , e as frequências esperadas, ein . Essa medida é

dada por

∑=

−=

k

i ei

eiiobs n

nn

1

22

.

)(χ .

Se 0H for verdadeira, devem registar-se pequenas diferenças entre as frequências

observadas e as frequências esperadas e, consequentemente, 2.obsχ deve tomar valores

baixos. Pelo contrário, um valor de 2 .obsχ elevado constitui um indício de que há um

desajuste entre a distribuição de frequências amostrais e teóricas. Pode demonstrar-se

que, quando 0H for verdadeira e a dimensão da amostra é grande, a estatística 2.obsχ

segue uma distribuição [ ]gl2χ , com [ ]pkgl −−= )1( graus de liberdade, onde k



representa o número de classes e p o número de parâmetros da distribuição populacional

estimados a partir da amostra.

(vi) Uma vez fixado o nível de significância α , a rejeição ou não rejeição de 0H será feita

com base na comparação entre o valor que a estatística de teste toma e [ ]12 −− pkαχ .

Dada a natureza da estatística 2.obsχ – tomando valores próximos de zero, se 0H for

verdadeira, e valores tanto mais positivos quanto mais 0H se afastar de 1H – o teste será

unilateral à direita e, consequentemente, o valor crítico, [ ]12 −− pkαχ , deverá ser

procurado na cauda direita da distribuição qui-quadrado16.

Sendo 0H verdadeira, a estatística 2 .obsχ terá uma distribuição tanto mais próxima da

distribuição [ ]12 −− pkαχ quanto maior for a dimensão da amostra e maiores forem os números de

observações esperadas nas diferentes classes )( ein . Como regra prática, para utilizar este teste:

• A dimensão da amostra deve ser não-inferior a 30 )30( ≥n ; e

• A frequência esperada em cada classe deve ser não-inferior a 5 )5( ≥ein .

Se esta última condição não prevalecer, o teste pode ainda ser utilizado, embora com

moderada confiança, se não mais de 20% dos valores de ein forem inferiores a 5 e nenhum for

inferior a 1. Quando tal não se verificar, procuram-se agregar classes adjacentes, de forma a obter

novas classes que satisfaçam esta condição.

Exemplo 3.1

Considerem-se os dados da Tabela 1.1, onde o modelo ajustado foi 74,3 14,9y x= + . Na regressão linear,

assume-se que os erros (resíduos) seguem, aproximadamente, uma distribuição normal com média zero e

variância constante ( 2σ ). Apesar do tamanho da amostra ser 20 30n = < , utilize-se o teste de qui-

quadrado para se verificar se ( )2~ 0,i Nε σ . Os erros do modelo de regressão apresentam-se na Tabela

3.1.

A hipótese a testar será ( )20 : ~ 0,iH Nε σ , cuja função densidade de probabilidade (f.d.p.) é

21

21( )

2

x

f x eµ

σ

πσ

− − = , com , e 0x IR IRµ σ∈ ∈ > , onde µ e σ são os parâmetros da distribuição

normal.

16 É possível, através da função distribuição 2χ , obter o valor da prova (p-value) com 1−− pk graus de liberdade da

estatística de teste 2 .obsχ . No Excel, usar a função =DIST.CHI(x, (k – 1) – p).



x y y ˆi i ie y y= −

1 0,99 90,01 89,08 0,93

2 1,02 89,05 89,53 -0,48

3 1,15 91,43 91,47 -0,04

4 1,29 93,74 93,57 0,17

5 1,46 96,73 96,11 0,62

6 1,36 94,45 94,61 -0,16

7 0,87 87,59 87,29 0,30

8 1,23 91,77 92,67 -0,90

9 1,55 99,42 97,45 1,97

10 1,40 93,65 95,21 -1,56

11 1,19 93,54 92,07 1,47

12 1,15 92,52 91,47 1,05

13 0,98 90,56 88,93 1,63

14 1,01 89,54 89,38 0,16

15 1,11 89,85 90,88 -1,03

16 1,20 90,39 92,22 -1,83

17 1,26 93,25 93,12 0,13

18 1,32 93,41 94,01 -0,60

19 1,43 94,98 95,66 -0,68

20 0,95 87,33 88,48 -1,15

Tabela 3.1 – Erros obtidos do ajustamento da regressão linear aos dados da Tabela 1.1

O primeiro passo será estimar estes dois parâmetros, recorrendo à média e desvio padrão amostrais (no

caso da distribuição normal, x e s constituem estimadores não-enviesados de µ e σ ). Da distribuição

amostral dos erros resulta a média 0,00x = ( ˆ 0,00µ = ) e o desvio-padrão 1,06s = ( ˆ 1,06σ = ) e,

consequentemente, a variância 2 1,12s = ( 2ˆ 1,12σ = ). Relembre-se que a variância poderia ser estimada

pela EMQ resultante da tabela ANOVA, neste caso 2ˆ 1,18EMQ σ= = (Tabela 1.4). Nestes termos, a

hipótese nula será ( )20 : ~ 0;1,06iH Nε , onde os dois parâmetros da distribuição foram estimados a partir

da amostra, daí que 2=p .

As 20n = observações (dados contínuos) deverão ser agrupadas em k classes. A construção das classes é

relativamente arbitrária. Pode-se, contudo, apontar o seguinte procedimento, como linha de orientação: a)

5k = , para 25n ≤ e k n≅ , para 25n > ou pela Fórmula de Sturges 1 3,322logk n≅ + ; ou b) a

amplitude das classes, h, pode ser dada por r

hk

= , onde r é a amplitude total dos dados, isto é, a diferença

entre o maior e o menor valor observados. Tal como no caso do número de classes, a amplitude das



classes deve ser aproximada para o maior inteiro. Neste exemplo, como 20n = , considere-se o número de

classes 5k = .

De seguida pretende-se conhecer os limites dessas classes sob 0H . Considere-se, então, a distribuição

( )20;1,06N (Figura 3.1).

Figura 3.1 – Gráfico da distribuição normal com média 0 e desvio-padrão 1,06.

Uma vez que

21

21( )

2

x

f x eµ

σ

πσ

− − = é uma f.d.p., sabe-se que a área sob curva é igual a 1 (soma de

todas as probabilidades, i.e. a probabilidade de X estar compreendido entre −∞ a +∞ ). Por conveniência,

vamos considerar a área total dividida em cinco partes iguais (ou seja, nº de classes = 5). Denotem-se as

abcissas que separam cada uma destas áreas, e que serão os limites das classes que se pretendem

conhecer, por 1x , 2x , 3x e 4x .

Para o cálculo de 1x , não é muito difícil entender que a área à esquerda de 1x será 20% da área total que é

1, ou seja, ( )1 0,20P X x< = . Supondo que 1z é o valor da (0,1)N que corresponde a 1x (de acordo

com a transformação de Gauss) tem-se (com 0,00µ = e desvio-padrão 1,06σ = ) que

1 11 1 1

01,06

1,06

x xz x z

µσ− −= = ⇔ =

Sendo 1z o valor da (0,1)N que corresponde a 1x ,

( ) ( )1 1 1( ) 0,20P Z z z P X x< = Φ = = <

onde ( )1 1( )z P Z zΦ = < é a função distribuição da norma reduzida (0,1)N 17. O nosso objectivo será,

portanto, calcular 1z (a abcissa correspondente à área 0,20), utilizando a função do Excel

17 No Excel será =DIST.NORMP( 1z ).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)

-4 -2 2 4x



=INV.NORMP(0,20) 10,8416 z= − = , vindo, 1 11,06 1,06 ( 0,8416) 0,8901x z= = × − = − (ou então poderia

ter recorrer-se à tabela da distribuição normal reduzida)18. No caso do cálculo de 2x , 3x e 4x , por

raciocínio análogo ao anterior: uma vez que ( )2 0,40P X x< = <=> 2 00,4

1,06

x − Φ =

, então

=INV.NORM(0,40;0;1,06) = -0,2679; ( )3 0,6P X x< = obtém-se com =INV.NORM(0,60;0;1,06) = 0,2679; e

para obter ( )4 0,8P X x< = , vem que =INV.NORM(0,80;0;1,06) = 0,8901. Podemos, então, apresentar

numa tabela (Tabela 3.2) os dados agrupados em classes19.

Classes in ip ei in np=

[ [- ;-0,89∞ 5 0,2 4

[ [-0,89;-0,27 3 0,2 4

[ [-0,27;0,27 5 0,2 4

[ [0,27;0,89 2 0,2 4

[ [0,89;+ ∞ 5 0,2 4

Total 20 1 20

Tabela 3.2 – Valores observados e esperados por classes.

Como as frequência esperadas são todas inferiores a 5 (o que viola um dos pressupostos do teste), vamos

considerar apenas 4 classes, ou seja, 4k = . Obtém-se, por raciocínio análogo ao anterior, a seguinte

tabela

Classes

in ip ei in np=

[ [- ;-0,71∞ 5 0,25 5

[ [-0,71;0 5 0,25 5

[ [0;0,71 5 0,25 5

[ [0,71;+ ∞ 5 0,25 5

Total 20 1 20

Tabela 3.3 – Valores observados e esperados por classes

18 Usando a função =INV.NORM(prob., ˆ ˆ,µ σ ) do Excel obteríamos o valor directamente para 1x , isto é,

=INV.NORM(0,20;0;1,06)= -0,8901 (atenção ao arredondamento do desvio-padrão). 19 Obviamente as probabilidades para cada classe sob 0H , isto é, se os erros seguirem uma distribuição ( )20;1,06N

são todas iguais a 0,2, facto que tem a ver com a maneira como foram construídas as classes.



Sendo assim, 2

2.

1

( )0

ki ei

obsi ei

n n

nχ

=

−= =∑ (com p-value 1= , que se obtém no Excel com

=DIST.CHI( 2.obsχ , ( 1)k p− − ))20 ou seja, não se rejeita ( )2

0 : ~ 0;1,06iH Nε . Nestes termos, tomando por

base os dados da amostra, não temos razões para afirmar que a suposição ( )2~ 0,i Nε σ esteja

incorrecta, ou seja, os erros não violam esta hipótese subjacente ao modelo de regressão. Deve, contudo,

ter-se em conta que o tamanho da amostra é 20 30n = < , ou seja, o teste de qui-quadrado deve ser

utilizado com moderada confiança. Deve-se, portanto, utilizar um teste mais seguro como é o caso do teste

Kolmogorov-Smirnov o qual se apresenta da próxima secção.■

Exemplo 3.2

Numa experiência com ervilhas, observaram-se 315 lisas e amarelas (LA), 108 lisas e verdes (LV), 101

estriadas e amarelas (EA), 32 estriadas e verdes (EV). De acordo com a teoria da hereditariedade de

Mendel, os números deveriam apresentar-se na proporção 9:3:3:1. Pode-se usar o teste de qui-quadrado,

com um determinado nível de significância, para se verificar se os resultados obtidos na experiência (as

observações) estão de acordo com a teoria de Mendel. Sendo assim, as hipóteses a testar são:

0 :H As observações estão de acordo com a teoria da hereditariedade de Mendel;

1 :H As observações não estão de acordo com a teoria da hereditariedade de Mendel.

Para se utilizar o teste de qui-quadrado devem calcular-se as frequências esperadas para os diferentes

tipos de ervilhas sob a hipótese nula (as proporções referentes à teoria de Mendel seguem determinada

distribuição discreta). Seja in o número de ervilhas observadas (de cada tipo) e ein o respectivo número

esperado de ervilhas (que seguem a proporção da Teoria de Mendel), com 1,2,3,4i = (para LA, LV, EA e

EV, respectivamente). Então pode-se construir a seguinte tabela:

Tipo de ervilhas

Frequências LA LV EA EV

in 315 108 101 32

ein 312,75 104,25 104,25 34,75

Tabela 3.4 – Valores observados e esperados numa experiência com ervilhas.

Para calcular as frequências esperadas, sabe-se que o número total de observações (de ervilhas) é

4

1 2 3 41

315 108 101 32 556ii

n n n n n=

= + + + = + + + =∑ ,

20 Caso os dois parâmetros não tivessem sido estimados a partir da amostra, ou seja a hipótese nula estaria completamente especificada, o número de graus de liberdade seria 1−= kgl .



Como as frequências esperadas (sob 0H ) estão na proporção 9:3:3:1, ou seja, 9 3 3 1 16+ + + = , então:

1

9 556312,75

16en×= = serão ervilhas do tipo LA, que resulta da “regra de três simples” 165569 =ein ;

2 3

3 556104,25

16e en n×= = = serão ervilhas dos tipos LV e EA; e 4

1 55634,75

16en×= = ervilhas do serão

do tipo EV. Donde a estatística do teste será

2 2 2 2 22

.1

( ) (315 312,75) (108 104,25) (101 104,25) (32 34,75)=0,470

312,75 104,25 104,25 34,75

ki ei

obsi ei

n n

nχ

=

− − − − −= = + + +∑

Como há quatro categorias, i.e. 4k = , o número de graus de liberdade será 1 4 1 3gl k= − = − = .

Comparando o valor da estatística de teste com [ ]20,05 3 7,8147χ = , não se rejeita a hipótese nula de que

as observações estejam de acordo com a teoria da hereditariedade de Mendel. Repare-se que o p-

value 0,9254= (embora a concordância seja boa, os resultados obtidos poderão estar sujeitos a erros de

amostragem).■

3.2.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov

O Teste de Kolmogorov-Smirnov (abreviadamente K-S) de qualidade de ajuste deve o seu

nome aos matemáticos russos Andrei N. Kolmogorov [1903-1987] e Nicolai V. Smirnov [n. 1900].

Podem ser apontadas duas vantagens deste teste em relação ao teste qui-quadrado, que acaba de ser

apresentado. Em primeiro lugar, quando a distribuição populacional é contínua e se conhecem a

forma e os parâmetros da sua função densidade de probabilidade, a distribuição da estatística do

teste é definida rigorosamente (ao contrário do que sucede com a estatística 2 .obsχ , cuja distribuição

é aproximada). Esta vantagem é tanto mais nítida quanto menor for a dimensão da amostra. Em

segundo lugar, o teste K-S é, na maioria das situações, mais potente do que o teste qui-quadrado.

Em contrapartida, o teste K-S exige distribuições populacionais contínuas e completamente

especificadas (o que não sucede com o teste do qui-quadrado), bem como um maior esforço

computacional.

Para uma v.a. X, o teste K-S tem por base a análise da proximidade ou, se se preferir, do

ajustamento entre a função de distribuição empírica ou da amostra, )(xS , e a função de distribuição

populacional (teórica), )(0 xF , que é admitida em 0H . Para uma amostra de tamanho n, a função

)(xS expressa a soma das frequências relativas dos dados com valores menores ou iguais a x, um

qualquer valor particular x da variável X. Sendo ( )nXXX ,,, 21 K uma amostra aleatória de uma

população contínua X e )()2()1( ,,, nXXX K a respectiva amostra ordenada, tem-se que, a função



distribuição empírica S(x) é dada por

(1)

( ) ( 1)

( )

0 ,

( ) , ( 1,2, , 1)

1 ,

k k

n

x X

kS x X x X k n

nx X

+

<= ≤ ≤ = −

≥

K

A função de distribuição empírica, )(xS , é, pois, uma função em degrau que cresce 1 n nos pontos

de salto (estatísticas ordinais da amostra)21.

A estatística de teste, que se denota por .obsD (que é uma variável aleatória), corresponde ao

supremo (ou máximo) da diferença, em valor absoluto, entre )(xS e )(0 xF , quando são

considerados todos os valores possíveis de X. Em notação simbólica,

. 0max ( ) ( )obsx

D S x F x= − .

É possível demonstrar que, se a amostra é aleatória e provém de uma distribuição contínua

conhecida, a estatística .obsD só depende da dimensão da amostra, n, sendo irrelevante a forma da

função distribuição da população, )(0 xF . Esta é a razão pela qual .obsD é considerada uma

estatística “distribution-free”.

No teste K-S de qualidade de ajuste adopta-se o procedimento que se descreve em seguida:

(i) As hipóteses nula e alternativa são formuladas nos seguintes termos: )()( : 00 xFxFH = ,

para todos os valores de X, ou seja, a função de distribuição da população da qual

provém a amostra é idêntica a uma função de distribuição que se assume conhecida,

)(0 xF ; versus )()( : 01 xFxFH ≠ para algum valor de X.

(ii) Uma vez determinada a função de distribuição empírica, )(xS , calcula-se .obsD . O

máximo de )()( 0 xFxS − não é necessariamente o maior valor que )()( 0 xFxS − toma

quando se consideram apenas os valores observados de X. De facto, dados que a função

)(0 xF é contínua e )(xS é uma função em escada, o valor máximo daquela diferença

absoluta deve ser procurado na vizinhança de cada valor observado de X. O valor

observado .obsd , da variável aleatória .obsD , será, pois, o maior dos valores seguintes:

. 1 0( ) ( )obs i iD S x F x−−= − e . 0( ) ( )obs i iD S x F x+ = − , ni ≤≤1 .

(iii) O valor de .obsD é comparado com o respectivo valor crítico de [ ]nDα , uma vez

21 Deve-se ter em conta a frequência absoluta de cada observação, pois estas estão directamente relacionadas com os saltos da função.



especificado o nível de significância do teste. Deverá rejeitar-se 0H , sempre que

αddobs >. . O valor crítico da estatística de K-S pode ser obtido a partir das respectivas

tabelas (Tabelas 3.11 a 3.17). Note-se que, como a estatística .obsD é calculada com base

no módulo da diferença entre )(xS e )(0 xF , não distinguindo entre valores positivos e

negativos, os valores críticos de .obsD devem ser procurados na cauda direita da sua

distribuição.

Tal como se afirmou atrás, o teste K-S é exacto (ou seja, o risco α está definido

rigorosamente) quando a função )(0 xF se encontra perfeitamente especificada e, em particular,

quando se conhecem os respectivos parâmetros. O teste pode, no entanto, ser utilizado quando os

parâmetros de )(0 xF são estimados a partir da amostra. Porém, nestas circunstâncias deverá ter-se

em conta que o nível de significância com que se realiza o teste é menor do que aquele que é

especificado e que a potência do teste também diminui de uma quantidade não-conhecida. ara

ultrapassa esta limitação do teste K-S, H. Lilliefors estudou o comportamento da estatística .obsD

nas situações em que a distribuição populacional é normal ou exponencial negativa, mas em que os

seus parâmetros são estimados a partir dos dados amostrais. Na Tabela 3.13 apresentam-se os

valores críticos da estatística .obsD para o caso da distribuição normal.

Exemplo 3.3

Retomando o exemplo 3.1, onde se estudou o ajustamento de uma distribuição normal ( )20;1,06N aos

resíduos resultantes do modelo 74,3 14,9y x= + (ajustado aos dados da Tabela 1.1). Não obstante o

tamanho da amostra ser 20 30n = < , utilizou-se um teste de qui-quadrado para se verificar a qualidade do

ajustamento, não se tendo rejeitado a hipótese nula.

Vamos agora utilizar um teste Kolmogorov-Smirnov (K-S) para testar, de forma mais apropriada, a hipótese

( )20 : ~ 0;1,06iH Nε . Para este teste não se procede ao agrupamento dos dados em classes. Depois de

se terem ordenados os resíduos, constrói-se a distribuição de frequências absolutas ( if ) e de frequências

absolutas acumuladas ( iF ) a partir das quais se obtém a função de distribuição empírica

( ) ( 1)( ) ,ii i

FS x X x X

n += ≤ < (neste caso o saltos da função serão dados por if

n).



A determinação de 0( )F x 22 sob 0H é feita através da função de distribuição da normal, que no Excel

corresponde a fazer =DIST.NORM( ie , ˆ ˆ,µ σ ,VERDADEIRO) com 1,2, ,i n= K , ou então, pode-se

estandardizar os resíduos, através de id dado por (2.44), para uma (0,1)N , cujos valores se encontram

tabelados, ou através do Excel fazendo =DIST.NORMP( id ). Após a determinação dos valores das colunas

( )S x e 0( )F x , determinam-se . 0( ) ( )obs i iD S x F x+ = − e . 1 0( ) ( )obs i iD S x F x−−= − , ni ≤≤1 (Tabela 3.5).

O valor mais elevado das duas últimas colunas nessa tabela será o valor da estatística de teste, ou seja,

0884,0. =obsd . Como os parâmetros da distribuição foram estimados a partir da amostra (ver exemplo

3.1), para a obtenção do valor crítico, vamos utilizar a Tabela 3.13 (de Lilliefors). Verifica-se que

[ ]0,05 20 0,190D = > 0884,0. =obsd , o que leva à não-rejeição de 0H e portanto não se pode rejeitar que

( )206,1;0~ Niε , conclusão idêntica à alcançada pelo teste de qui-quadrado.■

ie if iF ( )S x 0( )F x .obsD+ .obsD−

-1,83 1 1 0,05 0,0418 0,0082 0,0418

-1,56 1 2 0,1 0,0702 0,0298 0,0202

-1,15 1 3 0,15 0,1385 0,0115 0,0385

-1,03 1 4 0,2 0,1651 0,0349 0,0151

-0,9 1 5 0,25 0,1975 0,0525 0,0025

-0,68 1 6 0,3 0,2602 0,0398 0,0102

-0,6 1 7 0,35 0,2853 0,0647 0,0147

-0,48 1 8 0,4 0,3250 0,0750 0,0250

-0,16 1 9 0,45 0,4399 0,0101 0,0399

-0,04 1 10 0,5 0,4849 0,0151 0,0349

0,13 1 11 0,55 0,5489 0,0011 0,0489

0,16 1 12 0,6 0,5601 0,0399 0,0101

0,17 1 13 0,65 0,5638 0,0862 0,0362

0,3 1 14 0,7 0,6116 0,0884 0,0384

0,62 1 15 0,75 0,7211 0,0289 0,0211

0,93 1 16 0,8 0,8103 0,0103 0,0603

1,05 1 17 0,85 0,8395 0,0105 0,0395

1,47 1 18 0,9 0,9176 0,0176 0,0676

1,63 1 19 0,95 0,9383 0,0117 0,0383

1,97 1 20 1 0,9687 0,0313 0,0187

Tabela 3.5 – Cálculos necessários à obtenção do valor da estatística de K-S

22 Atente-se que 0( )1,06

ieF x

= Φ

.



3.2.3 Comparação entre os dois testes

O teste de 2χ é especificamente destinado a casos com dados classificados enquanto o teste

de K-S será usado apenas para amostras aleatórias extraídas de populações contínuas. Todavia,

quando os dados não estão classificados estes dois testes de ajustamento podem ser utilizados

indistintamente se os requisitos básicos exigidos à aplicação de cada um forem satisfatórios. A

breve comparação feita a seguir apenas se ajusta ao caso de dados não-classificados.

Sendo contínua a distribuição postulada (teórica), o teste de K-S permite examinar a

qualidade do ajustamento para cada uma das n estatísticas ordinais; o teste de 2χ apenas faz isso

para nk ≤ classes. Neste sentido o teste de K-S faz um uso mais completo dos dados disponíveis

não se perdendo tanta informação como no teste de 2χ .

Outra das vantagens do teste de K-S, reside no facto da distribuição de amostragem .obsD ser

exacta (conhecida e tabelada), enquanto a distribuição de 2.obsχ é aproximadamente 2χ quando

+∞→n .

Por outro lado, o teste de K-S pode ser aplicado a amostras de qualquer tamanho, enquanto a

estatística de 2χ só deve ser utilizada para n grande e para frequências esperadas em cada classe

não demasiadamente pequenas )5( ≥ein .

Por fim, no caso da função de distribuição teórica ser discreta, poderão existir problemas na

utilização do teste K-S.

3.3 Ajustamento entre duas amostras independentes

3.3.1 Teste de qui-quadrado

O teste de qui-quadrado utilizado na comparação de duas amostras independentes pode ser

considerado como uma extensão do teste de qui-quadrado de qualidade de ajustamento de uma

amostra a uma distribuição teórica. A situação que será abordada nesta secção difere da que foi

estudada anteriormente pelo facto do objectivo ser, agora, a comparação entre duas populações a

partir das quais se obtêm amostras independentes. Tal como anteriormente, apenas se requer que as

amostras sejam aleatórias e tenham dimensões adequadas.

A metodologia deste teste de qui-quadrado, que se descreve de seguida, é muito semelhante

à que foi apresentada anteriormente, nomeadamente:

(i) Denotando por A e B as populações a partir das quais se obtêm as amostras, as hipóteses



nulas e alternativas são formuladas nos seguintes termos: :0H As populações A e B são

idênticas vs :1H As populações A e B são não idênticas23.

(ii) As An e Bn observações que constituem as amostras retiradas das populações A e B, são

agrupadas em k classes (ou categorias) não-sobreponíveis (com 2≥k );

(iii) Para cada amostra, determinam-se as frequências observadas em cada classe i, iAn e iBn

),,1( ki K= ;

(iv) As frequências esperadas, eiAn e eiBn , são calculadas no pressuposto de que 0H é

verdadeira, do modo que se segue (o procedimento acima referido esta sumariado na

Tabela 3.6, página seguinte):

a. Denote-se por n o número total de observações ( BA nnn += ) e por •in a frequência

das observações na classe i ( iBiAi nnn +=• ).

b. Como se admite que 0H é verdadeira, a probabilidade de uma observação ser

classificada na classe i (uma observação se encontrar na classe i) pode ser estimada

por n

ni• .

c. Consequentemente, a frequência esperada de observações referentes à população A

na classe i será n

nnn i

AeiA•= .

d. As frequências esperadas eiBn , são obtidas de forma análoga ou, mais simplesmente,

pela subtracção24 i eiAn n• − , já que ( ) ieiB A i eiA

nn n n n n

n•

•= − = − .

(v) A estatística de teste é uma medida global do ajustamento entre as frequências

observadas nas amostras e as respectivas frequências esperadas. Tal medida é dada por

2 22

.1 1

( ) ( )k kiA eiA iB eiB

obsi ieiA eiB

n n n n

n nχ

= =

− −= +∑ ∑

23 Estas hipóteses podem tomar a seguinte forma equivalente: :0H )()( xFxF BA = , para todo o x versus

:1H )()( xFxF BA ≠ , para algum x (Com )(xFA e )(xFB representando as funções de distribuição das populações

A e B). 24 Pode-se verificar que das 2k frequências esperadas apenas 1k − são independentes, isto é, a partir de 1k − frequências esperadas quaisquer podem ser obtidas por subtracção as restantes frequências esperadas, já que

1

k

eiA Ai

n n=

=∑ e 1

k

eiB Bi

n n=

=∑



Frequências observadas Frequências esperadas

Classe A B Total eiAn eiBn

1 1An 1Bn 1n • 1A

nn

n• 1 1e An n• −

2 2An 2Bn 2n • 2A

nn

n• 2 2e An n• −

M M M M M M

k kAn kBn kn • kA

nn

n• k ekAn n• −

Total An Bn n An Bn

Tabela 3.6 – Cálculo das frequências esperadas para o teste de qui-quadrado para duas amostras independentes.

(vi) Se 0H for verdadeira, pode demonstrar-se que, para amostras de grande dimensão, 2 .obsχ

segue uma distribuição qui-quadrado com 1gl k= − graus de liberdade (uma vez que só

existem 1k − termos independentes nos somatórios da expressão da estatística de teste).

(vii) Fixado o nível de significância α , a rejeição ou não rejeição de 0H será feita com

base na comparação entre o valor que a estatística de teste toma e o valor crítico

[ ]2 1kαχ − . Tal como no teste de qui-quadrado apresentado anteriormente, este teste é

unilateral à direita, pelo que o valor crítico deverá ser procurado na cauda direita da

distribuição qui-quadrado.

Como a estatística de teste terá uma distribuição tanto mais próxima da distribuição

[ ]2 1kαχ − quanto maior forem as dimensões das amostras, o teste deve ser conduzido seguindo as

mesmas recomendações que foram apresentadas a propósito do teste de qui-quadrado discutido na

secção3.2.1. Note-se apenas que, quando houver necessidade de agregar classes adjacentes numa

das amostras, tal operação deve ser igualmente executada na outra.

Exemplo 3.4

Um fabricante de pêssegos em calda produz diferentes qualidades deste produto e pretende verificar se o

modo como se repartem as vendas da sua marca tendo em conta a qualidade do produto é idêntico nos

hipermercados A e B. Na Tabela 3.7 apresenta-se a composição das vendas nestes mercados ao longo do

último ano.



Qualidade Hipermercado A Hipermercado B Total

Baixa 1034 2225 3259

Média-baixa 892 2103 2995

Média 734 1754 2488

Média-alta 280 685 965

Alta 80 202 282

Luxo 26 32 58

Total 3046 7001 10047

Tabela 3.7 – Composição das vendas de pêssego em calda nos hipermercados A e B

Denotando por A e B as populações referentes à composição das vendas do produto nos hipermercados A

e B, respectivamente, obtém-se (os cálculos necessários apresentam-se na Tabela 3.8):

2 2 2

1

( ) (1034 988,0) (26 17,6)... 7,856

988,0 17,6

kiA eiA

i eiA

n n

n=

− − −= + + =∑

e

2 2 2

1

( ) (2225 2271,0) (32 40,4)... 3,425

2271,0 40,4

kiB eiB

i eiB

n n

n=

− − −= + + =∑

Sendo que a estatística de teste é

2 22

.1 1

( ) ( )7,856 3,425 11,281

k kiA eiA iB eiB

obsi ieiA eiB

n n n n

n nχ

= =

− −= + = + =∑ ∑

Considerando um nível significância 0,05α = , é possível verificar, a partir da função do Excel, que

[ ]20,05 5 11,07χ = . Como [ ]2 2

. 0,0511,281 5 11,07obsχ χ= > = rejeita-se 0H ao nível de significância de 5%,

ou seja, há indícios de que as vendas do produto em causa, tendo em conta as diferentes qualidades,

diferem nos dois hipermercados (a análise da Tabela 3.7 pode dar uma ideia deste facto, mas atenção às

proporções…). Neste caso o p-value é 4,6%. ■

k iAn iBn Total eiAn eiBn

1 1034 2225 3259 988,0 2271,0

2 892 2103 2995 908,0 2087,0

3 734 1754 2488 754,3 1733,7

4 280 685 965 292,6 672,4

5 80 202 282 85,5 196,5

6 26 32 58 17,6 40,4

Total 3046 7001 10047 3046,0 7001,0

Tabela 3.8 – Cálculo das frequências esperadas necessárias para a obtenção da estatística de qui-quadrado



3.3.3 Teste de Kolmogorov-Smirnov

Admita-se agora que se pretende avaliar se duas amostras aleatórias independentes provêm

de uma única população contínua ou, equivalentemente, se provêm de duas populações contínuas

idênticas.

Denotem-se por ( )AF x e ( )BF x as funções de distribuição associadas às populações A e B,

respectivamente. A estrutura deste teste K-S, que é semelhante à do teste K-S discutido

anteriormente, é a seguinte:

(i) As hipóteses nula e alternativa são 0 : ( ) ( )A BH F x F x= , para todo o x (ou seja, as duas

amostras provêm de populações com a mesma função distribuição) versus

1 : ( ) ( )A BH F x F x≠ , para algum x (teste bilateral)25.

(ii) Uma vez determinadas as funções de distribuição das amostras ( )AS x e ( )BS x , calcula-

se a estatística de teste .obsD , tal que

. max ( ) ( )obs A Bx

D S x S x= −

Note-se que se recorre à estatística .obsD tanto no caso do teste ser bilateral como no caso

do teste ser unilateral.

(iii) Uma vez especificado o nível de significância do teste, o valor de .obsD é comparado

com o respectivo valor crítico de αD , e, em função do resultado, 0H é ou não rejeitada.

A distribuição de .obsD é conhecida de forma exacta quando 0H é verdadeira e ambas as

distribuições populacionais são consideradas contínuas. Deverá rejeitar-se 0H , sempre

que αddobs >. . Na Tabela 3.14 apresentam-se os valores da distribuição da estatística

.A B obsn n D⋅ ⋅ (onde An e Bn representam as dimensões das duas amostras).

Exemplo 3.5

O departamento de engenharia alimentar da universidade do Algarve foi seleccionado para uma experiência

piloto na qual se pretende testar novos procedimentos. Na Tabela 3.9 apresentam-se valores do tempo

despendido no processamento de uma determinada operação, antes e depois de terem sido introduzidos

novos procedimentos.

25 No caso de fazer sentido um teste unilateral, a hipótese alternativa virá: )()(:1 xFxFH BA > ou

)()(:1 xFxFH BA < para algum x.



Antes 4,1 4,4 4,7 4,8 4,9 5,7 7,4 7,6 9,7 10,3 12,4 15,5

Depois 3,8 5,0 6,3 6,6 6,7 6,9 8,5 8,6 8,9 9,5 9,8 10,2

Tabela 3.9 – Tempos de processamento, em minutos.

Estes valores, seleccionados aleatoriamente, foram obtidos a partir de cronometragem. Será que os dados

sustentam a hipótese de que a distribuição do tempo de processamento se modificou com a introdução dos

novos procedimentos? Na resposta a esta questão utilizar-se-á o teste K-S de ajustamento entre duas

amostras independentes.

Para testar as hipóteses: 0 : ( ) ( )A BH F x F x= para todo o x (em que A e B denotam, respectivamente, as

situações anterior e posterior à adopção dos novos procedimentos) versus 1 : ( ) ( )A BH F x F x≠ para algum

x, obtém-se a estatística de teste

.

40,(3)

12obsD = = ,

que foi calculada como se indica na Tabela 3.10. Note-se que, contrariamente ao que sucedia no teste K-S

discutido na secção 3.2.2, agora basta calcular as diferenças absolutas para os valores observados de X

numa ou noutra amostra ( ) ( )A BS x S x− e escolher o valor máximo de tais diferenças absolutas.

X ( )AS x ( )BS x ( ) ( )A BS x S x− 3,8 0 1/12 1/12

4,1 1/12 1/12 0

4,4 2/12 1/12 1/12

4,7 3/12 1/12 2/12

4,8 4/12 1/12 3/12

4,9 5/12 1/12 4/12

5,0 5/12 2/12 3/12

5,7 6/12 2/12 4/12

6,3 6/12 3/12 3/12

(…) (…) (…) (…)

8,6 8/12 8/12 0

8,9 8/12 9/12 1/12

9,5 8/12 10/12 2/12

9,7 9/12 10/12 1/12

9,8 9/12 11/12 2/12

10,2 9/12 12/12 3/12

10,3 10/12 12/12 2/12

12,4 11/12 12/12 1/12

15,5 12/12 12/12 0

Tabela 3.10 – Excerto dos cálculos envolvidos num teste K-S para duas amostras independentes



De acordo com a Tabela 3.16, para um nível de significância 0,05α = e 12A Bn n= = vem

. 84A B obsn n D⋅ ⋅ = , donde resulta

0,05

840,583

144d = = .

Como

. 0,05

40,(3) 0,583

12obsd d= = < = ,

a hipótese nula não é rejeitada com um nível de significância de 5%. Podemos pois concluir, com 95% de

confiança, que os dados sustentam a hipótese de que a distribuição do tempo de processamento não se

modificou com a introdução dos novos procedimentos.■

Na Tabela 3.11 apresentam-se os valores críticos da distribuição da estatística

0max ( ) ( )x

D S x F x= − para amostras de dimensão n e níveis de significância α . Para amostras de

grandes dimensões ( 40n > ), os valores críticos de Dα podem ser aproximados pelas expressões

apresentadas na Tabela 3.12. Valores críticos da estatística 0max ( ) ( )x

D S x F x= − , segundo

Lilliefors, para populações normais e parâmetros estimados a partir de amostras de dimensão n,

podem obter-se da Tabela 3.13.

Nas Tabelas 3.14 e 3.15 apresentam-se os valores críticos Dα , sob a forma .A B obsn n D⋅ ⋅ ,

para situações em que a dimensão das amostras A e B é diferente. Os valores p nessas tabelas

referem-se à probabilidade na cauda direita da distribuição da estatística .A B obsn n D⋅ ⋅ (com

. max ( ) ( )obs A Bx

D S x S x= − ), para amostras com dimensões An e Bn (satisfazendo 2 12A Bn n≤ ≤ ≤ e

16A Bn n+ ≤ ) de duas populações A e B, isto é, .Pr( )A B A B obsn n D n n Dα⋅ ⋅ > ⋅ ⋅ . Em testes unilaterais

deverá considerar-se p/2 (os valores de .obsD assim calculados serão correctos se p for pequeno).

Valores críticos da distribuição da estatística .A B obsn n D⋅ ⋅ para amostras com dimensões tais

que 9 20A Bn n≤ = ≤ (os valores de α indicados para testes unilaterais são aproximados)

apresentam-se na Tabela 3.16.

Para amostras cujas dimensões não estão contempladas nos quadros anteriores, os valores

críticos da distribuição da estatística de teste podem ser aproximados através das expressões que

constam da Tabela 3.17 (com A Bn n n= + ).



Níveis de significância α Níveis de significância α

n 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 n 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01

1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 (…)

2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929 21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344

3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829 22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337

4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734 23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330

5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669 24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323

6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617 25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317

7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576 26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311

8 0,358 0,410 0,454 0,407 0,542 27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305

9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513 28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300

10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,489 29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295

11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468 30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290

12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449 31 0,187 0,214 0,238 0,266 0,285

13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432 32 0,184 0,211 0,234 0,262 0,281

14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418 33 0,182 0,208 0,231 0,258 0,277

15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404 34 0,179 0,205 0,227 0,254 0,273

16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392 35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269

17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381 36 0,174 0,199 0,221 0,247 0,265

18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371 37 0,172 0,196 0,218 0,244 0,262

19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361 38 0,170 0,194 0,215 0,241 0,258

20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352 39 0,168 0,191 0,213 0,238 0,255

(…) 40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252

Tabela 3.11 – Valores críticos da distribuição da estatística Dα de K-S para uma amostra.

Níveis de significância ( α ) 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01

1,07

n

1,22

n

1,36

n

1,52

n

1,63

n

Tabela 3.12 – Expressões de aproximação para os valores críticos da distribuição da estatística de K-S para mostras de grandes dimensões (i.e. n>40)26.

26 As expressões apresentadas na Tabela 3.12 obtêm-se a partir de [ ]n

nD

−=

αα

2

1ln

.



Dimen sões Níveis de significância ( α )

n 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01

4 0,300 0,319 0,352 0,381 0,417

5 0,285 0,299 0,315 0,337 0,405

6 0,265 0,277 0,294 0,319 0,364

7 0,217 0,253 0,276 0,300 0,348

8 0,233 0,244 0,261 0,285 0,331

9 0,223 0,233 0,249 0,271 0,311

10 0,215 0,224 0,239 0,258 0,294

11 0,206 0,217 0,230 0,249 0,284

12 0,199 0,212 0,223 0,242 0,275

13 0,190 0,202 0,214 0,234 0,268

14 0,183 0,194 0,207 0,227 0,261

15 0,177 0,187 0,201 0,220 0,257

16 0,173 0,182 0,195 0,213 0,245

17 0,169 0,177 0,189 0,206 0,239

18 0,166 0,173 0,184 0,200 0,235

19 0,163 0,169 0,179 0,195 0,231

20 0,160 0,166 0,174 0,190 0,203

25 0,149 0,153 0,165 0,180 0,187

30 0,131 0,136 0,144 0,161 1,031

>30 0,730

n

0,768

n

0,805

n

0,886

n

1,031

n

Tabela 3.13 – Valores críticos da distribuição da estatística Dα de K-S, segundo Lilliefors, nos casos de

populações normais.



nA nB nA · nB · Dobs p nA nB nA · nB · Dobs p nA nB nA · nB · Dobs p

2 2 4 0,333 3 6 18 0,02 4 5 20 0,016

2 3 6 0,200 15 0,09 16 0,079

2 4 8 0,133 12 0,33 15 0,143

2 5 10 0,095 3 7 21 0,01 4 6 24 0,100

8 0,286 18 0,06 20 0,048

2 6 12 0,071 15 0,16 18 0,095

10 0,214 3 8 24 0,01 16 0,181

2 7 14 0,056 21 0,04 4 7 28 0,006

12 0,167 18 0,12 24 0,030

2 8 16 0,044 3 9 27 0,00 21 0,067

14 0,133 24 0,03 20 0,121

2 9 18 0,036 21 0,09 4 8 32 0,004

16 0,109 18 0,23 28 0,020

2 10 20 0,030 3 10 30 0,00 24 0,085

18 0,091 27 0,02 20 0,222

16 0,182 24 0,07 4 9 36 0,003

2 11 22 0,026 21 0,14 32 0,014

20 0,077 3 11 33 0,00 28 0,042

18 0,154 30 0,02 27 0,062

2 12 24 0,022 27 0,05 24 0,115

22 0,066 24 0,11 4 10 40 0,002

20 0,132 3 12 36 0,00 36 0,010

3 3 9 0,100 33 0,01 32 0,030

3 4 12 0,057 30 0,04 30 0,046

9 0,229 27 0,08 28 0,084

3 5 15 0,036 24 0,18 26 0,126

12 0,143 4 4 16 0,02

12 0,22

Tabela 3.14 – Distribuição da estatística .A B obsn n D⋅ ⋅ de K-S para duas amostras independentes.



nB nA · nB · Dobs p nA nB nA · nB · Dobs p nA nB nA · nB · Dobs p

4 11 44 0,001 5 10 50 0,001 6 10 60 0,000

40 0,007 45 0,004 54 0,002

36 0,022 40 0,019 50 0,004

33 0,035 35 0,061 48 0,009

32 0,063 30 0,166 44 0,019

29 0,098 5 11 55 0,000 42 0,031

28 0,144 50 0,003 40 0,042

4 12 48 0,001 45 0,010 38 0,066

44 0,005 44 0,014 36 0,092

40 0,016 40 0,029 34 0,125

36 0,048 39 0,044 7 7 49 0,001

32 0,112 35 0,074 42 0,008

5 5 25 0,008 34 0,106 35 0,053

20 0,079 6 6 36 0,002 28 0,212

15 0,357 30 0,026 7 8 56 0,000

5 6 30 0,004 24 0,143 49 0,002

25 0,026 6 7 42 0,001 48 0,005

24 0,048 36 0,008 42 0,013

20 0,108 35 0,015 41 0,024

5 7 35 0,003 30 0,038 40 0,033

30 0,015 29 0,068 35 0,056

28 0,030 28 0,091 34 0,087

25 0,066 24 0,147 33 0,118

23 0,116 6 8 48 0,001 7 9 63 0,000

5 8 40 0,002 42 0,005 56 0,001

35 0,009 40 0,009 54 0,003

32 0,020 36 0,023 49 0,008

30 0,042 34 0,043 47 0,015

27 0,079 32 0,061 45 0,021

25 0,126 30 0,093 42 0,034

5 9 45 0,001 28 0,139 40 0,055

40 0,006 6 9 54 0,000 38 0,079

36 0,014 48 0,003 36 0,098

35 0,028 45 0,006 35 0,127

31 0,056 42 0,014 8 8 64 0,000

30 0,086 39 0,028 56 0,002

27 0,119 36 0,061 48 0,019

33 0,095 40 0,087

30 0,176 32 0,283

Tabela 3.15 – Distribuição da estatística .A B obsn n D⋅ ⋅ de K-S para duas amostras independentes (continuação).



Dimensões

da amostra

Níveis de significância ( α )

(teste bilateral)

A Bn n= 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01

9 45 54 54 63 63

10 50 60 70 70 80

11 66 66 77 88 88

12 72 72 84 96 96

13 78 91 91 104 117

14 84 98 112 112 126

15 90 105 120 135 135

16 112 112 128 144 160

17 119 136 136 153 170

18 126 144 162 180 180

19 133 152 171 190 190

20 140 160 180 200 220

0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

Níveis de significância (α )

(teste unilateral)

Tabela 3.16 – Distribuição da estatística .A B obsn n D⋅ ⋅ de K-S para duas amostras independentes (se nA=nB).

Níveis de significância (α ) (teste bilateral)

0,20 0,10 0,05 0,02 0,01

1,07.A B

n

n n 1,22

.A B

n

n n 1,36

.A B

n

n n 1,52

.A B

n

n n 1,63

.A B

n

n n

0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

Níveis de significância (α ) (teste unilateral)

Tabela 3.17 – Distribuição da estatística Dα de K-S para duas amostras independentes (para casos não

contemplados anteriormente).

3. TESTES DE QUALIDADE DE AJUSTAMENTOw3.ualg.pt/~eesteves/docs/TestesQualidadeAjustamento.pdf · As...

Documents

Transcript of 3. TESTES DE QUALIDADE DE AJUSTAMENTOw3.ualg.pt/~eesteves/docs/TestesQualidadeAjustamento.pdf · As...