31382_aula_10___trigonometria

Matemtica Bsica

Aula 10

Cristiane Argento Ion Moutinho

Aula 10 Trigonometria

Metas Nesta aula vamos relembrar o teorema de Pitgoras, introduzir e aplicar as importantes razes trigonomtricas, obtidas a partir dos lados de um tringulo retngulo. Objetivos Ao final desta aula voc deve: conhecer e aplicar as razes trigonomtricas seno, cosseno e tangente; conhecer relaes importantes entre as razes trigonomtricas; resolver equaes e inequaes trigonomtricas; conhecer as leis dos senos e dos cossenos;

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Introduo TrigonometriaA palavra Trigonometria tem origem grega e seu significado est ligado s medidas de um tringulo (trigonos: tringulo e metrein: medidas). a rea da Matemtica onde se estuda as relaes existentes entre os lados e os ngulos de um tringulo. Ela surgiu devido s necessidades da Astronomia, para calcular o tempo e se desenvolveu na Geografia e Navegao. Os estudos iniciais esto relacionados aos povos babilnicos e egpcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Atravs da prtica, conseguiram criar situaes de medio de distncias inacessveis. Hiparco de Niceia , que viveu em cerca de 120 a.C , considerado o fundador da Trigonometria, foi um astrnomo grego, que introduziu a Trigonometria como cincia. Por meio de estudos ele implantou as relaes existentes entre os elementos do tringulo. O Teorema de Pitgoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonomtricos, pois atravs dele que desenvolvemos frmulas tericas comumente usadas nos clculos relacionados a situaes prticas cotidianas. Mais tarde, por volta do sculo XVI, apareceu o primeiro grfico de uma funo trigonomtrica, a curva seno. Posteriormente ao desenvolvimento do Clculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenrio da Matemtica, pois as funes trigonomtricas esto associadas a fenmenos ondulatrios, sendo constantemente empregadas em outras cincias, como Medicina, Engenharia, Fsica, Qumica, Biologia, entre outras.

ngulosUm ngulo caracterizado por um par de semirretas de origem no mesmo ponto. O o vrtice do ngulo r e s as semirretas que formam os lados do ngulo rs o ngulo marcado pelo arco

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Tambm denotamos o ngulo por O, usando o vrtice, quando no h ambiguidade, ou marcamos o ngulo e usamos uma letra ( , conforme as figuras abaixo.

Podemos medir ngulos em graus (sistema sexagesimal), onde dividimos o ngulo de uma volta em 360 partes iguais e 1 grau corresponde a uma poro dessa diviso. Portanto, o ngulo de uma volta em graus corresponde a 360, meia volta 180, um quarto de volta 90 e assim por diante. Diz-se que o ngulo reto se sua medida em graus for igual a 90, ser agudo se for menor do que 90 e ser obtuso quando for maior do que 90. O grau admite dois submltiplos, o minuto definido por 1= 1= e o segundo definido por

Elementos do Tringulo RetnguloTodo tringulo retngulo apresenta um ngulo reto e dois agudos. O tringulo ABC da figura abaixo retngulo em A.

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Usaremos as letras maisculas dos vrtices para denotar tambm os ngulos internos correspondentes e as letras minsculas a,b,c para denotar os lados opostos aos ngulos A,B,C, respectivamente, e tambm as medidas dos lados. Assim, temos A=90 e B+C=90, pois a soma das medidas dos ngulos internos de qualquer tringulo igual a 180. Os nomes cateto e hipotenusa so usados apenas nos tringulos retngulos, no nosso caso, a hipotenusa a, o lado oposto ao ngulo reto, e os demais lados b e c so ditos catetos. Para os tringulos retngulos vale o importante teorema de Pitgoras:

Em todo tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos: .

Atividade1: 1) A hipotenusa de um tringulo retngulo igual a Detemine a medida da hipotenusa. 2) Mostre que o nico tringulo retngulo cujos lados so inteiros consecutivos possui lados medindo 3,4 e 5. 3) Calcule as medidas dos lados de um tringulo retngulo issceles cujo permetro igual a e os catetos 2 e .

Razes trigonomtricas importantes no tringulo retnguloPara um ngulo agudo de um tringulo retngulo, definimos as importantes razes seno, cosseno e tangente.

senC = (L-se : seno de C o cateto oposto dividido pela hipotenusa) cosC = (L-se: cosseno de C o cateto adjacente dividido pela hipotenusa) tgC = (L-se: tangente de C o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente) Observe que tgC = 4 .

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Outras razes importantes so a cossecante, secante e cotangente, onde .

Exemplo1: 1)D o valor de senC , cosC e tgC para o tringulo retngulo abaixo.

Soluo: Pela definio senC =

, cosC =

e tgC =

.

2) Calcule senB, cosB e determine o valor de

.

Soluo:

,

e

( )

( )

3)Num tringulo retngulo de hipotenusa cosseno do menor ngulo do tringulo.

, a soma dos catetos 6. Calcule o

Soluo: Vamos denotar um cateto por x e o outro ser 6-x, j que, por hiptese, a soma dos catetos 6. Pelo teorema de Pitgoras, segue que

. Portanto, as dimenses do tringulo so 2,4 e . O menor ngulo logo

do tringulo formado pela hipotenusa e o cateto de medida 4, .

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Atividade2: 1) Num tringulo ABC, retngulo em A, a hipotenusa a=25cm e cosB=0,96. Calcule o permetro do tringulo. 2) Num tringulo ABC, retngulo em A, temos b=4cm e a-c=2cm. Calcule tgC, sendo os lados a , b e c opostos, respectivamente, A , B e C. 3) Calcule os valores de da figura.

Caro leitor, nesse ponto devemos refletir um pouco sobre as razes introduzidas. As seis razes trigonomtricas, seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente no dependem do tamanho do tringulo retngulo; elas dependem apenas da medida do ngulo. De fato, dois tringulos retngulos com um ngulo agudo de mesma medida so semelhantes.

Portanto, de acordo com as figuras acima, temos por semelhana que e de . Da, segue que os do

valores da tangente, cotangente, secante e cossecante s dependem da medida ngulo.OBS: Pela figura acima, vemos que , o que justifica os nomes das razes( cosseno de seno do complementar de .

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No exemplo1 exerccio 2 acima, verificamos que a soma dos quadrados do seno e do cosseno do mesmo ngulo B igual a 1. Abaixo, vamos mostrar que, na verdade, essa relao verdadeira para qualquer ngulo agudo e mais tarde vamos estend-la a

um ngulo qualquer. Considere o tringulo retngulo ABC.

De fato, pelo teorema de Pitgoras sabemos que sen = e cos = , temos que e

, mas como , logo

Assim, temos a Identidade Trigonomtrica Fundamental:

ngulos NotveisA) 45 No tringulo retngulo issceles ao lado, os catetos medem 1, a hipotenusa e os ngulos agudos 45. Logo, sen45=

, cos45

e tg45=1.

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B) 30 e 60

Dividimos o tringulo equiltero de lado 1, tomamos a altura BH( que tambm bissetriz de B) e formamos um tringulo retngulo, cujos ngulos agudos medem 30 e 60, conforme a figura acima. De acordo com o tringulo retngulo HBC, temos que,

,

.

Os valores acima so precisos. Para os demais ngulos pode-se usar alguma identidade trigonomtrica para o clculo das razes trigonomtricas ou ainda podemos aproximar esses valores usando ferramentas matemticas mais sofisticadas. As calculadoras cientficas, em geral, nos do valores aproximados para essas razes. Porm, podemos fazer aproximaes, ainda que grosseiras, usando um transferidor e uma rgua. Observe o prximo exemplo. Exemplo2: Com o auxlio de uma rgua e um transferidor, vamos aproximar os valores de sen25, cos25 e tg25. Soluo: Desenhamos com o auxlio de um transferidor um ngulo rs de 25. Marcamos A em s, tal que AO=10cm. A seguir traamos AB perpendicular a r e medimos com a rgua AB 4,3cm e OB 9,1cm. Temos, ento : , , .

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Exemplo3: Um observador em A v uma torre vertical CD sob um ngulo de 30 e caminhando at B passa a v-la sob 40. Dados AB=40 e a altura do observador h=1,70m, calcule, e a que

aproximada-mente, a altura da torre distncia Suponha , ela se encontra

do observador.

Soluo: No tringulo retngulo BCD, temos No tringulo retngulo ACD, temos e

. . Logo, (

)

87,9 m. Portanto,

e a altura da torre

aproximadamente 74,8m.

Atividade3: 1) Com o auxlio de uma rgua e um transferidor, aproxime os valores de sen70, cos70 e tg70. 2) Num tringulo retngulo, um cateto mede 12 cm e o ngulo oposto de 60. Calcule a hipotenusa e o outro cateto. Faa um esboo. 3) Um avio levanta vo sob um ngulo de 30. Quando tiver percorrido meio quilmetro, a que altura estar do solo? Faa um esboo. 4) Uma escada de 6m de comprimento est encostada a uma parede vertical, formando com ela um ngulo de 30 graus. Calcule a distncia do p da escada parede. 5) Quando o sol est a 60 acima da linha do horizonte, qual o comprimento da sombra de um poste de 7,5m de altura? Aproxime o resultado em metros com uma casa decimal.

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Arcos e ngulos na circunferncia em radianosQuando cortamos uma circunferncia de raio r num ponto e a desentortamos , obtemos um segmento de reta cuja medida dada pela frmula e essa medida

chamada de comprimento da circunferncia. Quando tomamos um arco s dessa circunferncia, correspondente a um ngulo central e o desentortamos, o

comprimento desse arco pode ser obtido por uma regra de trs simples .Medida em graus comprimento do arco

Logo, Observe que se tomarmos a mesma abertura comprimentos de arco associados que . Assim, associamos ao ngulo com raios

. , os

so diferentes. Porm, note sua medida em radianos ,

j que esse valor independe do raio. Sendo assim, obtemos as correspondncias

Medida em graus Medida em radianos

360

180

90

270

45

60

30

1

(

)

1

Observe que, nesse caso, o comprimento de um arco da circunferncia de raio r e ngulo central de radianos dado por

. Quando o raio 1, o comprimento do arco s igual ao valor do ngulo subtendido em radianos.

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Exemplo4: 1) Quantos graus mede o arco descrito por uma partcula que faz um percurso de numa circunferncia de dimetro 1,6 cm? Soluo: Usando a unidade em centmetros, temos que . Logo, o arco descrito em graus igual a .

2)Quantos centmetros percorre uma partcula que descreve um arco de 510 numa circunferncia de raio 6? Soluo: Primeiro transformamos a medida do ngulo para radianos, ento Logo, a partcula percorre .

Atividade 4: 1) Calcule o comprimento do arco de uma circunferncia de raio 2, cujo ngulo central 30. 2) D a medida em radianos dos ngulos 72, 210, 270 e 315. 3) Determine o valor do raio , tal que o comprimento do arco subtendido ao ngulo de 60 seja .

O Crculo TrigonomtricoConsidere num plano um sistema de coordenadas cartesianas xOy e uma circunferncia de raio unitrio, com centro na origem do sistema. Nesta circunferncia, o comprimento de qualquer arco igual medida, em radianos, do ngulo central subtendido por esse arco, pois nmero real Se Veremos agora, como associar a cada

um ponto no crculo trigonomtrico. =0 fazemos corresponder o ponto A=(1,0), origem do crculo

trigonomtrico. Se >0, partimos de A e percorremos um arco de comprimento no crculo

trigonomtrico, no sentido anti-horrio. Se 0 indica o sentido anti-horrio para as voltas, enquanto k0,

radianos(rad) , o arco tem

sobre o crculo trigonomtrico no sentido anti-horrio e para e percorrido no sentido horrio.

Exemplo5: 1) Marque no crculo trigonomtrico os ngulos correspondentes a . Soluo:

2)Divida o crculo trigonomtrico em 8 partes iguais, a partir de A=(1,0), e marque o arco Soluo: correspondente a cada ponto divisor, para

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3) Descubra o ngulo congruente no intervalo [ trigonomtrico a)36 Soluo: a) b) 41 , logo 36 congruente a 0. , logo 41 congruente a . = b)41 c) d)e)

] e marque no crculo

c) Dividindo 83 por 4, temos congruente a d) ngulo em [0,2 ], assim congruente a (330) (135). , logo -

=

, logo

congruente a

. Porm, queremos o . O ngulo

e) Dividindo 51 por 7, temos reescrevemos assim = , logo congruente a = .

, mas 7 mpar , ento

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Extenso de seno e cosseno toda a retaA cada , associamos um ngulo no crculo

trigonomtrico. Considerando o lado terminal do ngulo, este tem interseo com o crculo trigonomtrico num ponto de coordenadas ,

conforme a figura ao lado. Observe que para , temos que com o tringulo retngulo da figura. , de acordo

Agora, vamos estender as definies de seno e cosseno para a reta toda usando o ponto de interseo entre o lado terminal do ngulo e o crculo, ou seja, define-se

para todo Assim, o ser lido no eixo eo no eixo

. Acabamos de definir duas importantes funes, a saber, as funes e .

Note que os valores do seno e do cosseno so os mesmos para ngulos congruentes, j que esses tm o mesmo lado terminal, isto , e

Alm disso, o conjunto imagem do seno e do cosseno o intervalo

[-1,1]. Denotando por P o ponto de interseo entre o lado terminal do ngulo e o crculo, temos os seguintes valores.

,

pois P=(1,0),

.

, pois P=(0,1). [Marcamos 90 no sentido anti-horrio.] , pois P=(-1,0). [Marcamos 180 no sentido anti-horrio.] , pois P=(0,-1). [Marcamos 270 no sentido anti-horrio.] ( ) ( ) , pois P=(0,-1). [Marcamos 90 no sentido horrio.] 14

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Cristiane Argento Ion Moutinho=2 + , portanto congruente a ]

cos(

( )

, pois P=(0,1). [

Alm disso, temos os sinais do seno e do cosseno: , se P estiver no 1 ou no 4 quadrante; ou no 3 quadrante. , se P estiver no 1 ou no 2 quadrante; ou no 4 quadrante. , se P estiver no 3 , se P estiver no 2

Identidade trigonomtrica fundamental: Aplicando o teorema de Pitgoras a um dos tringulos retngulos da figura anterior de catetos | | | | e hipotenusa a=1, obtemos . .

Essa identidade vlida para todo

real, mesmo para os ngulos com lados terminais

sobre os eixos coordenados (verifique!).

Valores notveis do seno e do cosseno

; ; ; ;

;

;

;

;

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;

;

;

.

Exemplo6: 1) Determine o seno e o cosseno de Soluo: a) b)1350=3 , logo ( ) ( ) ( ) ( )

a)

b)1350

c)-510

.

, logo cos(1350)=cos270=0 e sen270==-1.

c)-510= -720+210=-2 360+210, logo cos( -510)=cos210=-

e sen210=

.

2 )Determine o sinal de Soluo:

a)

b)

c)

a) 232 um ngulo do 3 quadrante, logo sen232 negativo. b)271 um ngulo do 4 quadrante, logo cos271 positivo. c) 143 um ngulo do 2 quadrante, logo cos143 negativo. 3)Resolva as equaes em [ Soluo: a) se e s se o lado terminal do ngulo no crculo trigonomtrico estiver sobre . Assim, . ]

a)senx=1

b)senx=0

c)cosx=1/2 .

o semieixo positivo dos y, logo b)

se e s se o lado terminal do ngulo x estiver sobre o eixo ox. Logo, .

c)Marcando no eixo 0x do crculo trigonomtrico ngulos em [0,2 ] onde cosx=1/2. So eles, e

, observamos que h dois .

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Atividade5:

1) Se

e

um ngulo do 2 quadrante, determine b) a) c) b)1530 c)-

2) Determine o sinal de a) 3) Determine o seno e o cosseno de

4) Localize os ngulos no crculo trigonomtrico e coloque os valores em ordem crescente : sen70, sen160, sen250, sen300. (No precisa calcular os valores exatos!) 5) Resolva as equaes em [0,4 ]: a) 6) Calcule k, tal que 7) Se 8) Se 9) Se 10) Se calcule calcule cosx. ,calcule o valor de em funo de . e , calcule a.

b)

.

Extenso da tangente, cossecante, cotangente e secante a toda a retaDefinimos as funes trigonomtricas , para , onde k inteiro. so os ngulos com lado terminal sobre ,

Note que os ngulos do tipo congruentes a ou

, exatamente onde o cosseno se anula. Tambm, definimos ,

para

, onde k inteiro. Nesse caso, as funes no esto bem definidas para os , que correspondem aos ngulos congruentes a

ngulos com lado terminal sobre .

Observe na tabela abaixo alguns valores da tangente.

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x (rad) Tgx

0 0 1 -1

Agora, calcule voc mesmo alguns valores da secante, cotangente e cossecante.

Segmento representativo da tangente no crculo trigonomtrico Na reta t paralela a oy e orientada para cima com origem em A=(1,0), marcamos a interseo T com o lado terminal do ngulo se for um ngulo do 1- ou do 4- quadrante. A tg dada pelo segmento orientado, isto , com o sinal positivo, se T estiver acima de A e negativo, se estiver abaixo. Se T=A, a tangente zero.

Quando um ngulo do 2- ou 3- quadrante, prolongamos o lado terminal do ngulo e marcamos o ponto T. Na figura ao lado, do 2- quadrante, logo a tangente negativa.

Pensando no segmento representativo da tangente, note que geral temos pela tabela acima que ( ) Exemplo 7: 1) Calcule Soluo: b) ( ) , =

e, em

(faa um esboo!). Consequentemente, ( ) ( ) , ( ) ( )

,

( )

, etc..

b)

( )

.

2) Coloque em ordem crescente tg50, tg 100, tg200, tg300. 18

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Soluo: Observe o esboo no crculo trigonomtrico abaixo.

Ento, tg100

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