Teoria da Relatividade Especial

De acordo com as leis clssicas da fsica, formuladas por Isaac Newton no seu livro Principia em 1687, omovimento de uma partcula tinha que ser descrito em relao a um sistema de referncia inercial. Nele apartcula no estava sujeita a foras externas e, portanto, se moveria com uma velocidade constante e emuma linha reta. Segundo Newton dois referenciais inerciais podiam ser relacionados desde que elesestivessem se movendo, um em relao ao outro, em uma direo fixa e com velocidade constante. O temponesses referenciais inerciais iria diferir por uma constante e todos os tempos poderiam ser descritos emrelao a um tempo absoluto.

Essa teoria, criada no sculo XVII, no foi alterada at o sculo XIX quando os fenmenos eltricos emagnticos passaram a ser estudados teoricamente.

Um ter que evaporou

Os fsicos j sabiam h muito tempo que o som se propagava atravs de um meio material. Issonaturalmente levou-os a postular, no final do sculo XIX, que tambm deveria existir um meio material noqual a luz se propagava. Tal meio foi chamado de ter luminfero ou, simplesmente, ter.

Vrios grandes cientistas dessa poca, tais como Cauchy, Stokes, Thomson e Planck, aceitaram a hipteseda existncia do ter e postularam suas vrias propriedades. No final do sculo XIX a luz, o calor, aeletricidade e o magnetismo todos tinham seus respectivos ters.

No entanto, medida que os pesquisadores tentavam explicar o ter e estabelecer suas propriedades o quese viu foi o surgimento de uma substncia quase mgica. Segundo as teorias correntes, o ter tinha que serum fluido pois ele precisava preencher o espao. No entanto, ele tambm preciava ser milhes devezes maisrgido do que o ao pois precisava aguentar as altas freqncias das ondas luminosas. Ao mesmo tempo oter no podia ter massa, deveria ser completamente transparente, no dispersivo, incompressvel, contnuoe no ter viscosidade!

Ao verificar que o campo eletromagntico se propagava com uma velocidade essencialmente igual velocidade da luz, Maxwell postulou que a prpria luz era um fenmeno eletromagntico. Ele escreveu umartigo sobre o ter para a edio de 1878 da Encyclopaedia Britannica e props a existncia de um nicoter. Seu artigo narra sua prpria tentativa, sem sucesso, em medir o efeito do arrasto do ter provocadopelo movimento da Terra no espao. Maxwell tambm props uma maneira astronmica pela qualpoderamos verificar o arrasto do ter feito pelo nosso planeta. Para isso deveramos medir a velocidade daluz usando os diferentes satlites de Jpiter quando eles estivessem em posies diferentes em relao Terra.

Impelido pelas idias de Maxwell, o fsico Albert Abraham Michelson (nascido na Prssia e naturalizadonorte-americano) iniciou uma srie de experincias sobre o ter. Em 1881, ele registrou:

"O resultado da hiptese de um ter estacionrio mostrada ser incorreta, e segue aconcluso necessria de que a hiptese est errada."

Em 1886 o fsico holands Hendrik Lorentz escreveu um artigo onde criticava aexperincia feita por Michelson. Ele declarou que, realmente, no estava preocupadocom o resultado experimental obtido por Michelson, que ele desprezava considerando-oter sido resultado de experincias realizadas sem a preciso necessria.

Michelson foi persuadido por Thomson e outros a repetir sua experincia. Ele assim ofez em 1887, dessa vez associando-se ao fsico norte-americano Edward WilliamsMorley. Os dois cientistas registraram, mais uma vez, que nenhum efeito de arrastohavia sido encontrado. Parecia que a velocidade da luz era independente da velocidadedo observador. Michelson e Morley refinaram a experincia e a repetiriam vrias vezesat 1929.

A idia da existncia de um meio material chamado ter s foi abandonada quando as transformaesGalileanas e a dinmica Newtoniana foram modificadas pelas transformaes de Lorentz-FitzGerald e pelaTeoria da Relatividade Restrita de Albert Einstein.

As transformaes de FitzGerald-Lorentz

Sabemos hoje que as equaes que descrevem um dadofenmeno fsico, definidas em um determinado referencial,precisam permanecer inalteradas se as observamos em umoutro referencial que se desloca com velocidade constante emrelao ao primeiro. O conjunto de equaes que associaesses dois referenciais so conhecidas como transformaesde Lorentz em homenagem ao fsico holands HendrikAntoon Lorentz que as apresentou mais claramente ao mundocientfico. Na verdade, as transformaes de Lorentzpossuem diversos descobridores.

O primeiro cientista a obter as importantes relaes que hojeconhecemos como transformaes de FitzGerald-Lorentzfoi o fsico alemo Woldemar Voigt (1850 - 1919), em 1887.Foi ele quem, pela primeira vez, as escreveu por extenso emostrou que certas equaes eram invariantes sob essastransformaes.

Hoje, com um fator de escala diferente, essas transformaesso conhecidas simplesmente como equaes de Lorentz outransformaes de Lorentz. O grupo das transformaes deLorentz nos d a geometria da relatividade especial.Curiosamente, a importncia dessas transformaes para odesenvolvimento dos conceitos de espao-tempo eratotalmente desconhecida por Voigt, que estava pesquisando odeslocamento Doppler quando as obteve.

Embora Voigt tenha se correspondido com Lorentz sobre a experincia de Michelson-Morley em 1887 e 1888no parece que esse ltimo tenha tomado conhecimento dessas tranformaes. Lorentz, nessa poca,estava muito preocupado com a nova experincia de Michelson-Morley feita em 1887.

Em 1889 um pequeno artigo foi publicado pelo fsico irlands GeorgeFitzGerald na revista Science. O artigo, The ether and the earth'satmosphere, tinha menos de meia pgina e no tcnico. Nele FitzGeraldmostrava que os resultados da experincia de Michelson-Morley somentepoderiam ser explicados se:

"...o comprimento dos corpos materiais muda, dependendo se eles esto semovendo ao longo do ter ou atravs dele, por uma quantidade que dependedo quadrado da razo entre suas velocidades e aquela da luz."

Lorentz no conhecia o artigo de FitzGerald e em 1892 props a existncia deuma "contrao" quase idntica em um artigo que agora considerava muitoseriamente a experincia de Michelson-Morley. Quando Lorentz ficousabendo, em 1894, que FitzGerald j havia publicado uma teoria similar dele, prontamente escreveu ao fsico irlands. FitzGerald replicou querealmente havia enviado um artigo para a Science mas "eu no sei se elesem algum momento o publicaram". Ele ficou feliz em saber que Lorentzconcordava com ele "pois eu tenho sido um tanto ridicularizado por aqui devido minha viso". Depois dissoLorentz usou cada oportunidade que surgia para agradecer a FitzGerald, que havia sido o primeiro a propr aidia de contrao dos corpos materiais. Somente FitzGerald, que no sabia se seu artigo havia sidopublicado, acreditava que Lorentz tinha publicado primeiro.

Em 1897, o fsico norte-irlands Joseph Larmor publicou as transformaesde Lorentz na conceituada revista cientfica inglesa Philosophical Transactionsof the Royal Society in 1897. Note que isso ocorreu dois anos antes deHendrik Lorentz e oito anos antes de Albert Einstein. Larmor tambm foicapaz de prever o fenmeno da dilatao do tempo e tambm a contrao doespao.

Larmor escreveu um livro chamado "Aether and matter" (1900) no qualescreve por extenso as transformaes de Lorentz, o que ainda no haviasido feito por Lorentz, assim como a contrao do espao e a dilatao dotempo. Ele mostrou que a contrao de Fitzgerald-Lorentz era umaconseqncia dessas transformaes.

Finalmente Lorentz escreveu por extenso as transformaes que agora tm oseu nome, sendo portanto a terceira pessoa a faz-lo. Ele ento, assim comoLarmor j havia feito, mostrou que a contrao de FitzGerald-Lorentz erauma conseqncia dessas transformaes.

A relatividade engatinha

O mais importante artigo relacionado com a relatividade especialpublicado antes de 1900 foi de autoria do fsico francs Jules HenriPoincar, "La mesure du temps", que apareceu em 1898. Nesse artigoPoincar diz:

"...no temos intuio direta sobre a igualdade de dois intervalos detempo. A simultaneidade de dois eventos ou a ordem de sua sucesso,assim como a igualdade de dois intervalos de tempo, deve ser definidade tal modo que as afirmaes das leis naturais sejam to simplesquanto possvel."

Por volta de 1900 o conceito de ter como uma substncia materialestava sendo questionado. Paul Drude escreveu:

"O conceito de um ter absolutamente em repouso o mais simples eo mais natural - pelo menos se o ter concebido como sendo nouma substncia mas meramente espao dotado de certas propriedades

fsicas."

Poincar, em sua palestra de abertura no Congresso de Paris em 1900, perguntou "O ter realmenteexiste?". Em 1904 esse grande cientista se aproximou bastante de uma teoria da relatividade especial emuma palestra no International Congress of Arts and Science, em Saint Louis. Ele mostrou que observadoresem diferentes sistemas de referncia tero relgios que:

"... marcaro o que podemos chamar de tempo local...como exigido pelo princpio da relatividade oobservador no pode saber se ele est em repouso ou em movimento absoluto."

O ano em que a relatividade especial finalmente passou a existir foi 1905. O ms de junho desse ano foimuito importante para essa nova teoria. Em 5 de junho Poincar apresentou um importante trabalho, "Sur ladynamique de l'electron", enquanto o primeiro artigo de Einstein sobre a relatividade foi recebido em 30 dejunho. Poincar estabeleceu que "parece que esta impossibilidade de demonstrar movimento absoluto umalei geral da natureza." Depois de criar o nome de transformaes de Lorentz em homenagem a essefsico, Poincar mostrou que essas transformaes, junto com as rotaes, formam um grupo, umaestrutura algbrica muito importante.

O artigo de Einstein possui uma abordagem completamente diferente. Ele no tem como objetivo explicarresultados experimentais, mas sim mostrar a beleza e simplicidade da teoria. Na introduo Einstein diz:

"...a introduo de um ter-luz provar ser suprflua uma vez que, de acordo com a viso a serdesenvolvida aqui, nem um espao em repouso absoluto dotado de propriedades especiais ser introduzidonem um vetor velocidade ser associado com um ponto do espao vazio no qual processos eletromagnticosocorrem."

Referenciais inerciais so introduzidos os quais, por definio, esto em movimento uniforme um em relaoao outro. A teoria inteira baseada em dois postulados:

1. as leis da fsica tomam a mesma forma em todos os sistemas de referncia inerciais.

2. em qualquer sistema de referncia inercial a velocidade da luz c a mesma independentemente daluz ser emitida por um corpo em repouso ou por um corpo em movimento uniforme.

Einstein deduziu as transformaes de Lorentz a partir de seus dois postulados e, como Poincar, provou apropriedade de grupo dessas transformaes. Ele tambm deduz a contrao de FitzGerald-Lorentz emenciona o paradoxo do relgio. Einstein o chamou de teorema e afirma que se dois relgios sncronos C1 eC2 so sincronizados em um ponto A e C2 deixa A movendo-se ao longo de uma curva fechada at retornar aA ento C2 marcar o tempo mais lentamente comparado com C1. Einstein afirma que isso no significa aexistncia de qualquer paradoxo uma vez que C2 experimenta acelerao enquanto C1 no o faz.

Em setembro de 1905 Einstein publicou um pequeno mas importante artigo no qual ele provou a famosaequao

E = mc2

O primeiro artigo sobre a relatividade especial no escrito por Einstein apareceu em 1908 e seu autor foi ofsico alemo Max Planck. O fato da teoria da relatividade ter sido aceita por algum to importante quantoPlanck fez com que ela fosse rapidamente aceita pelos fsicos da poca. Quando Einstein escreveu seu artigode 1905 ele ainda era um especialista tcnico de terceira classe no escritrio de patentes de Berna. Tambmem 1908 Minkowski publicou um importante artigo sobre relatividade, apresentando pela primeira vez asequaes de Maxwell-Lorentz na forma tensorial. Ele tambm mostrou que a teoria Newtoniana dagravitao no era consistente com a relatividade.

As principais contribuies para a relatividade especial foram feitas, sem dvida, por Lorentz, Poincar e,certamente, pelo fundador da teoria, Einstein. interessante ver suas respectivas reaes em relao formulao final da teoria.

Embora Einstein tenha gasto vrios anos pensando sobre como formular essa teoria, uma vez tendoencontrou os dois postulados, eles passaram imediatamente a ser naturais para ele. Einstein sempre foirelutante em aceitar que os resultados da experincia de Michelson-Morley tiveram qualquer influncia nasua maneira de pensar.

A reao de Poincar ao artigo de Einstein de 1905 foi to estranha quanto a se Einstein em relao aostrabalhos do fsico francs. Quando Poincar deu uma palestra em Gttingen em 1909 sobre relatividade eleno mencionou Einstein de modo algum. Ele apresentou a relatividade com trs postulados, o terceiro sendoa contrao de Fitzgerald-Lorentz. Na verdade Poincar nunca escreveu um artigo sobre relatividade no qualmencionasse Einstein. O prprio Einstein comportou-se de maneira similar e Poincar mencionado apenasuma vez nos artigos de Einstein. Lorentz, entretanto, foi elogiado tanto por Einstein como por Poincar efrequentemente foi citado nos trabalhos desses dois grandes fsicos.

O prprio Lorentz nem sempre parecia aceitar as concluses de Einstein. Em 1913 ele fez uma palestraadvertindo que a teoria da relatividade havia sido aceita muito rapidamente e que no estava to segurosobre a sua validade. Lorentz disse:

"At onde essa palestra diz respeito ele encontra uma certa satisfao na interpretao mais antiga deacordo com a qual o ter possui pelo menos substancialidade, espao e tempo podem ser rigorosamenteseparados, e a simultaneidade sem especificao suplementar pode ser falada. Finalmente deve ser notadoque a temerria afirmao que nunca podemos observar velocidades maiores do que a velocidade da luzcontm uma restrio hipottica do que acessvel a ns, uma restrio que no pode ser aceita semalgumas reservas."

A despeito da cautela de Lorentz a teoria da relatividade especial foi rapidamente aceita. Em 1912 Lorentz eEinstein foram propostos conjuntamente para o Prmio Nobel pelo seu trabalho na teoria da relatividadeespecial. A recomendao foi feita por Wien, o ganhador do Prmio Nobel de 1911, que disse:

"...Embora Lorentz deva ser considerado como o primeiro a ter encontrado o contedo matemtico doprincpio da relatividade, Einstein foi bem sucedido em reduz-lo a um princpio simples. Devemos porconseguinte avaliar os mritos de ambos pesquisadores como sendo comparveis."

Einstein nunca recebeu Prmio Nobel pela relatividade. O comit Nobel estava, a princpio, cauteloso eesperou por confirmaes experimentais. Na poca em que tal confirmao estava disponvel Einstein tinhase movido para trabalhos mais monumentais.

O que a Teoria da Relatividade Especial?

Os postulados sobre os quais se apoia a teoria da Relatividade Especial

A teoria da Relatividade Especial proposta por Einstein em 1905 baseia-se em dois postulados bsicos:

a velocidade da luz a mesma para todos os observadores, no importa quais sejam suasvelocidades relativas.

as leis da fsica so as mesmas em qualquer sistema de referncia inercial.

Para entendermos melhor o que eles significam precisamos definir alguns de seus termos.

O que um postulado?

O dicionrio Aurlio define "postulado" como sendo uma "proposio no evidente nem demonstrvel, que seadmite como princpio de um sistema dedutvel, de uma operao lgica ou de um sistema de normasprticas". Postulado um fato ou preceito reconhecido sem prvia demonstrao. Isso nos diz que as duasafirmaes feitas acima no so demonstrveis. Elas foram estabelecidas por Einstein e colocadas sobre suateoria sem terem sido deduzidas, calculadas ou inferidas a partir de experincias.

O que preciso para definir repouso e movimento?

Na nossa vida diria comumente nos referimos a um determinado corpo dizendo se ele est em repouso ouem movimento. Para ns essas palavras bastam pois so bastante bvias. No entanto, isso no visto demodo to simples pelos fsicos. Quando um fsico se refere a "repouso" ou "movimento" ele precisa definirem relao a que sistema de referncia isso est relacionado. Duas pessoas paradas em um ponto de nibusesto em repouso uma em relao outra se considerarmos que o nosso sistema de referncia o ponto denibus. Os nibus que passam (em alta velocidade e sem parar como sempre!) esto em movimento paraessas duas pessoas. No entanto, se voc est dentro de um nibus e considera que o sistema de referncia o nibus, voc est parado e as duas pessoas que esto no ponto de nibus esto em movimento.

Isso nos mostra que "repouso" e "movimento" no so conceitos absolutos mas sim relativos que precisamda definio de uma sistema de referncia para que possam ser perfeitamente entendidos pelos fsicos.

E o que movimento?

Definimos velocidade como sendo a variao da posio de um corpo ao longo de um determinado intervalode tempo. Por isso sempre estamos comentando que um carro nos ultrapassou a mais de 100 quilmetrospor hora. No entanto, para os fsicos a definio de movimento no to simples. Ao dizermos que umdeterminado corpo est em movimento preciso que fique claro que tipo de movimento ele tem. O corpomantm uma direo de movimento retilnea ou sua trajetria curva? Sua velocidade constante ou variaem intervalos de tempo? Quando falamos de velocidade no basta citar um nmero. Para o fsico avelocidade definida por um valor numrico e por uma direo. Quando uma grandeza fsica, tal como avelocidade, precisa de um nmero e uma direo para ser definida, dizemos que ela uma grandezavetorial. Assim, a velocidade uma grandeza vetorial e nos referimos a ela como o "vetor velocidade".

Agora podemos definir "velocidade relativa". Esse termo nos informa a diferena de velocidade existenteentre dois corpos. Se um corpo est em repouso em relao a um referencial sua velocidade zero. Aocompararmos isso com um outro corpo que se desloca a uma velocidade de 10 quilmetros por hora nessemesmo referencial dizemos que a velocidade relativa entre esses dois corpos de 10 quilmetros por hora.Por outro lado, se um corpo se desloca a 30 quilmetros por hora e um segundo corpo se desloca a 50quilmetros por hora, ambas medidas em relao ao mesmo sistema de referncia, precisamos conhecer adireo do movimento de cada um deles para podermos determinar sua velocidade relativa. Se eles se

afastam ao longo de uma mesma reta ou seja, se eles esto se deslocando em sentidos opostos, suavelocidade relativa a soma de suas velocidades particulares resultando, nesse caso, em 80 quilmetros porhora. Se eles esto se aproximando ao longo da mesma direo ou seja, se eles esto se deslocando nomesmo sentido, sua velocidade relativa a diferena entre suas velocidades particulares ou seja, nesseexemplo, 20 quilmetros por hora.

E o que acelerao?

Quando voc v a Luana Piovani na televiso seu corao bate acelerado. Para ns isso acelerao. Masno bem assim para a fsica. Embora os fsicos tambm fiquem "acelerados" ao ver a atriz nossa definio um pouco mais elaborada. A acelerao tambm uma grandeza vetorial. Ela tambm precisa de maisque um nmero para ser descrita. Ela precisa de um nmero e de uma direo. Por isso nos referimossempre ao "vetor acelerao". Para a fsica, a acelerao definida como a variao do vetor velocidade. claro que voc notou que eu no disse que a acelerao a variao da velocidade mas sim do "vetorvelocidade". Como um "vetor" descrito por um nmero e uma direo, basta que um desses fatores variepara que eu tenha uma variao do prprio vetor. Isso quer dizer que a acelerao pode ser provocada tantopela variao do valor numrico da velocidade como tambm pela variao de sua direo. Assim voc podeter acelerao pelo simples fato de mudar a direo do seu movimento.

Vemos ento que um corpo que se desloca em linha reta ser acelerado se ele variar o valor numrico dasua velocidade mas mantiver a mesma trajetria. No entanto, se o corpo comea a descrever uma curva eleestar acelerado uma vez que, mesmo mantendo o valor numrico de sua velocidade, ele estar variando adireo da velocidade!

Analisando os postulados da relatividade especial

primeiro postulado:

"a velocidade da luz a mesma para todos os observadores, no importa qual seja a sua velocidaderelativa."

Este postulado nos diz que independente da velocidade que o observador possua em relao a um feixe deluz a velocidade deste feixe ser sempre observada ter o mesmo valor. Vimos anteriormente que avelocidade relativa entre dois corpos que se deslocam ao longo de uma mesma direo podia ser dada pelasoma ou subtrao de suas velocidades particulares, dependendo de se eles esto se deslocando no mesmosentido ou no. No caso do feixe luminoso isso no ocorre. Se voc estiver se aproximando de um feixeluminoso ir verificar que ele possui uma velocidade c. Se voc estiver se afastando do feixe medir amesma velocidade c. Seja qual for a sua velocidade e seja qual for a direo em que voc se deslocarsempre ir medir a mesma velocidade c para o feixe luminoso.

segundo postulado:

"As leis da fsica so as mesmas em qualquer sistema de referncia inercial."

Vamos supor que um pesquisador observa uma partcula em um determinado referencial inercial ou seja, umsistema de referncia no acelerado que neste caso consideramos estar se movendo com uma determinadavelocidade constante v. Esse postulado de Einstein nos diz que as leis da fsica observadas por essepesquisador sero exatamente as mesmas que aquelas observadas por um outro pesquisador que esteja emrepouso ou seja, parado, em relao a esse sistema de referncia.

Objetos relativsticos e no relativsticos

Para os fsicos mais comum usar o termo "partculas" do que "objetos" e isso que faremos a partir dessemomento.

Afinal, o que diferencia um corpo relativstico de um no relativstico? Para os cientistas todas as partculas(ou objetos) cujas velocidades sejam comparveis velocidade da luz so consideradas "relativsticas". Issoquer dizer que ao dividirmos a velocidade v do corpo pela velocidade c da luz o resultado deve ser bemprximo a 1. Dizemos ento que um objeto relativstico se (v/c) ~ 1.

No entanto, as partculas cujas velocidades so muito menores do que a velocidade da luz so consideradas

"no-relativsticas". Nesse caso a razo entre essas duas velocidades

mais dado pela expresso mv mas sim por h? onde h a constante de Boltzmann e ? a freqncia depropagao da partcula sob a forma de onda.

Podemos ento resumir as possveis expresses de energia da seguinte maneira:

massa velocidade equao de energia

v > 0 E2 = p2c2 + m02c4m > 0v = 0 E = m0c2

m = 0 v > 0 E = pc

Os efeitos peculiares das velocidades relativsticas

a contrao do espao

Considere dois observadores cada um deles em um laboratrio de uma espaonave distinta. Nesseslaboratrios eles possuem barras de medio. Cada uma das espaonaves est se movendo em relao outra a uma velocidade bem prxima velocidade da luz. A teoria da relatividade especial nos diz que:

cada observador ver a barra de medio do outro observador mais curta do que asua por um fator gama. A isso se d o nome de "contrao do espao".

a dilatao do tempo

Considere dois observadores cada um deles em um laboratrio de uma espaonave distinta. Em cadalaboratrio existe relgios para a medio de tempo. Cada uma das espaonaves est se movendo emrelao outra a uma velocidade bem prxima velocidade da luz. A teoria da relatividade especial nos dizque:

cada observador ver o relgio situado no laboratrio da outra espaonave contando otempo de modo mais lento do que o seu prprio relgio por um fator gama. A isso se

d o nome de "dilatao do tempo".