1

3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1

A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbriotermodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações:

»» pode-se escrever:

(3.15) e

(3.16)

No caso do Sol, em

2

»» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é:

(3.17)

onde ≡ seção eficaz de interação.

Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, 10−16 −10−18 cm2.

Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10−24 cm2.

»» Define-se o peso molecular médio como

o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional)

u.m.a. 1,661 x 10-24 g

3

Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ (<massa>/ part.) = ½ mH

Copo d’água: 18

Atmosfera da Terra: 29

»» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como:

onde mH é a massa do átomo de H,

A densidade numérica de partículas no interior estelar é,

(3.18)

4

»» Com esses valores de n,

~ 10-7 cm para interações entre partículas e

~ 1 cm para interações envolvendo fótons.

Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de

P e T (eqs. (3.15) e (3.16) )

e

variação muito pequena desses parâmetros em alguns :

no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm),

ou, e

CONCLUSÃO ??

5

CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES

nas regiões onde acontecem as interações ≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO

3.6: A Variação da Energia com r

»» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g−1 s−1) naregião central da ; sua luminosidade L pode ser escrita:

Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura

» Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura

dr (figura 2.1)

6

e

(3.19) (euler) , ≡ variação radial de L; ou,

(3.20) (lagrange)

Sendo L(r) e L(r + dr) as energias/seg

emitidas em r, e r + dr, e

os valores locais, pode-se escrever:

7

»» Ordens de grandeza:

De (3.19), com , deduz-se que:

(3.21).

Para o Sol, , o que permite escrever-se:

para Estrelas em geral.

Ex: SP

8

»» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 8

(3.20) , pode-se escrever: dL = є dM FÍSICA??

»» Implementações na eq. (3.20):

inclusão dos neutrinos e

caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq.

de variação radial de L completa será:

(3.21)

9

III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação)

3.8: O Gás de Elétrons

Três simplificações importantes:

ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito*

3.8.1: Gases Perfeitos (GP):

Um <energia de interação> entre partículas << energia térmica delas

Quando isso ocorre? escrita:

----------------------------

* num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas.

(isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).

10

Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito.

»» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é:

(3.22) , sendo k a cte. de Boltzmann.

» Em termos do número total de partículas N no volume V,

, sendo o nº de moles,

o nº. de Avogadro e

R= 8,31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases.

Como , segue que

11

»» INFORMAÇÃO PRÁTICA:

um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas.

»» Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num

GP: para partículas com separação média de r,

(3.22), sendo .

o volume ocupado por uma partícula é e seja

e T ~107 no interior estelar; com isso,

e ;

12

» Por outro lado,

< Et > ~ (3/2) kT ~ 10-9 erg ~ 103 eV, isto é,

Ec << Et

Se a condição acima não for satisfeita,

desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta,

criação de pares

3.8.2: Funções de Distribuição

»» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia

depende da estatística aplicada.

a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a

estatística de Maxwell-Boltzmann:

13

(3.23), sendo

o peso estatístico do nível E, ≡

≡ nº de configurações com energia E /cm3 .

é o fator de degenerescência, que é f(n) .

» Para baixas densidades, e para altas, ;

Para fótons, .

b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros

(≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

14

(3.24)

c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons),

como fótons, partículas alfa e mésons , há que aplicar-se a

estatística de Bose-Einstein:

(3.25)

»» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de

ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~

15

~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E.

Para a distribuição de MB, e se

(baixas densidades) , f(E) << 1 .

»» O que mais nos ocupará no interior estelar?

a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a

Estatística de FD; nesse caso,

(3.26)

E nas altas densidades em questão, e obtemos ,

O que não é novidade. PORQUE??

16

» Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ),

FD MB

3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito

PRESSÃO ≡ TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO

P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM;

» Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás;

Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será:

(ver Fig. 3.1)

p

17

p

Fig. 3.1

Seja o número de partículas com

QM entre que incidem na

superfície unitária/unid. de tempo, vindas de

direções que fazem com a normal ângulos

no intervalo ;

Nessas condições, a Pressão no cone d

pode ser escrita:

e a pressão total no interior do gás será,

(3.27) ;

18

» chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever

(3.28)

, onde é a velocidade das ptclas. de

QM a componente de v ao longo da normal n .

»» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA

∝ ângulo sólido subtendido pela figura 3.1; daí,

= dS/r2 e como teremos que =2 sin d e

(3.29)

sendo a densidade de ptclas. com QM entre

19

» de 3.27, 3.28 e 3.29,

(3.30), para cuja integração temos de

conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada.

da eq. 3.30 EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas.

»» Estamos interessados no momento num gás de elétrons;

Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que ,

isto é, FD → MB, e a estatística dos e- pode ser escrita:

(3.31), sendo

n = densidade total de ptclas./cm3 e

20

»» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico,

não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será:

(3.32) , sendo

(é possível mostrar que o termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22).

3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode ainda ser escrita na forma

que , com ,

sendo µ o peso molecular médio e .

21

» Nessas condições. Podemos definir µ como (3.33)

ou seja, µ é a massa média das partículas do gás,

em unidades de mH.

»» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados, podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) :

EX.: um gás de H puro, completamente ionizado;

a massa de H por cm3 é ,

o número de núcleos de H /cm3 é e

o número de partículas livres /cm3 é ;

de 3.33, ;

CASO GERAL: Tabela 3.1

22

»» Pode-se então escrever para a densidade total,

sendo Z um valor médio.

23

» Com , resulta

(3.34) e sendo ,

(3.35)

EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2;

Gás totalmente ionizado:

»»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me:

µ

24

(3.35), que é o Peso Molecular /elétron livre.

Análogamente ao H, pode-se escrever:

(3.36) e com ,

(3.37) e

(3.38) .

EXs.: H puro: µe = 1; He puro: µe = 2 ;

Gás ionizado em geral: Tab. 3.2

25

3.8.5: Degenerescência

»» A densidade de partículas de energia E e o índice de ocupação correspondente se relacionam por

;

26

» Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a

densidade de estados = o número de estados por unidade de

volume com energia entre E e E + dE.

» No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente

como o nº de estados /unidade de volume, tal que a

componente do vetor esteja no intervalo , etc...

» o Princípio de Heisenberg nos diz que:

e a incerteza

na posição associada a partículas de quantidade de movimento é:

que dá um volume associado de incerteza de:

27

» Para que os estados possam ser resolvidos e identificados,

cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do

(volume de incerteza)-1,

Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para

estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade

de estados com entre , segue que:

(3.39) . ≡ dois graus de polarização

28

»» Como a pode ser escrita , de 3.39 →

(3.40) e sendo

, pode finalmente ser escrita como:

(3.41) .

►► ISTO É,

À medida em que n , os e- são forçados a ocupar estados

de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite

estabelecido em (3.41).

29

MORAL DA HISTÓRIA??

Nesse caso, os e - de maior contribuição importante

pressão do gás; é a chamada

PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA.

►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg: Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):

30

1) baixas n : é a de MB (curva a) [n = f(T)]

2) dobrando o nº de e- para a mesma T, também dobra n(px) (curva b)

3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um

limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p

são ocupadas primeiro e os e- adicionais terão de ocupar estados de >

energia curva deformada, MB , f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes)

4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pf ocupadas (f)

Fig. 3.2

31log Teff