Identifique claramente os grupos e os itens a que responde e apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações). É interdito o uso de corretor.

Dentro do enunciado encontrará uma folha de resposta, para responder às questões 2.d e 4.a e a outras que necessitem de papel quadriculado.

As cotações da prova encontram-se na página 7.

A prova inclui um formulário na página 8.

935 MATEMÁTICA Prova escrita

PROVA DE EQUIVALÊNCIA À FREQUÊNCIA Duração: 120 minutos

Ano: 2013 1ª fase - Junho 11º e 12º anos

Prova 935 | 1 de 8

Grupo I

1. Num certo concelho do nosso país, um atelier de arquitetura vai facultar um estágio, du-rante as férias de verão, aos alunos do 11º ano das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores nas disciplinas de História da Cultura e das Artes e de Geometria Descritiva.

As classificações finais nas disciplinas de História da Cultura e das Artes e de Geome-tria Descritiva, obtidas pelos 50 alunos desse concelho que satisfazem as condições re-queridas, foram tratadas estatisticamente. Os dados estão representados nos gráficos seguintes:

a. Calcule a percentagem de alunos que teve 18 valores ou mais na disciplina de Geo-metria Descritiva.

b. Indique a moda das classificações de Geometria Descritiva.

c. Calcule a mediana das classificações de Geometria Descritiva.

d. Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a Maria comentou: “ As médias das classificações a História da Cultura e das Artes e a Geometria Descritiva são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão”.

d1. Conclua que a Maria tem razão na primeira parte da sua afirmação, calculando a média da classificações de cada uma das disciplinas, com aproximação às déci-mas.

d2. O João, que estava a tratar os dados juntamente com a Maria, comentou: ”Quan-do me disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes”. Explique como poderá o João ter chegado àquela conclusão.

8

12

18

7

5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

16 17 18 19 20

Núm

ero

de a

luno

s

Classificações

História da Cultura e das Artes

15

12

3

9

11

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

16 17 18 19 20

Núm

ero

de a

luno

s

Classificações

Geometria Descritiva

Prova 935 | 2 de 8

Grupo II

2. Na figura está representado um sólido composto por uma pi-râmide quadrangular regular ABCDV assente numa das faces de um cubo ABCDEFGH.

Sabe-se que a aresta do cubo mede 80 cm e a altura da pi-râmide é metade da altura do cubo.

a. Para cada um dos pares de retas seguintes, indique a posição relativa dessas retas – paralelas, concorrentes perpendiculares, concorrentes não perpendiculares ou não complanares:

BC e EH AV e FG AV e EG AF e EB

b. Represente, com indicação das medidas dos segmentos que o limitam, o corte que se obtém neste conjunto de sólidos, quando intersetado pelo plano que contém as arestas AV e AE.

c. Determine a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo.

d. Escolha um referencial do espaço para este sólido e represente-o na Folha de res-posta. Indique as coordenadas dos pontos V e H nesse referencial.

3. Considere, num referencial ortogonal e monométrico xOy, a reta r de equação

y = — x – 634

a. Indique, pelas suas coordenadas, dois pontos da reta r.

b. Comente a seguinte afirmação: “A reta s, de equação y = 0,75x + 4, é concorrente com a reta r e intersetam-se no ponto P(4, -3)”.

(continua na página seguinte)

A BC

V

EH

D

F

G

Prova 935 | 3 de 8

Grupo II (continuação)

4. A imagem ao lado representa um painel com um bor-dado tradicional de Viana do Castelo, pertencente ao museu da Escola Josefa de Óbidos.

O referido painel está ornamentado, a toda a volta, por um friso, cujo desenho é o seguinte.

a. Identifique todas as simetrias do friso, e represente, no friso da Folha de resposta, os elementos necessários à sua definição.

b. Comente a seguinte afirmação: “Se um friso tem uma simetria de reflexão vertical, então tem infinitas simetrias de reflexão vertical”.

Prova 935 | 4 de 8

Grupo III

5. Num determinado local do porto de Lisboa, foi medida a altura da água durante um perí-odo de 12 horas, com início às 7 horas de um determinado dia.

Com base nos dados, encontrou-se o seguinte modelo, em que h representa a altura da água em decímetros e t representa o número de horas decorrido após o início da ob-servação:

h(t) = -0,05 t3 + 0,48 t2 + 1,8 t + 11,2

a. Qual era a altura da água no porto de Lisboa, no início da observação? Apresente o resultado com aproximação às décimas.

b. Determine, em centímetros, a altura da água às 9 horas.

c. Durante quanto tempo a altura da água foi superior a 2 metros? Apresente o resulta-do com aproximação às décimas.

d. Qual a altura máxima da água? A que horas se verificou essa altura? Apresente os resultados com aproximação às décimas.

e. A que horas a altura da água voltou a ser igual à altura verificada às 12 h? Apresente o resultado com aproximação aos minutos.

Prova 935 | 5 de 8

Grupo IV

6. Na figura está representada a planificação de um poliedro ABCDEF. Sabe-se que:

▪ BCDE é um quadrado de lado 15 cm

▪ O triângulo ABC é retângulo em A

▪ CBA = 30°

a. Represente o poliedro ABCDEF em perspetiva, com legendas nos vértices e indicação das me-didas conhecidas.

b. Calcule, com aproximação às décimas de centí-metros quadrados, a área total da superfície do poliedro ABCDEF.

7. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos ‒ a entrada da casa A e a árvore alta B ‒ situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C ‒ a entrada de outra casa na margem em que está ‒ distante 78 metros de A ‒ e mediu os ângulos ACB e CAB, encontrando, respetivamente 108° e 57°.

Calcule a distância entre A e B, em metros.

Fim da prova

A

B

C

A

B E

F

DC

Prova 935 | 6 de 8

Cotações

Grupo I .................................................................................................... 30 1.a. .................................................................... 5

1.b. .................................................................... 5

1.c. .................................................................... 5

1.d. .............................................................. 8 + 7

Grupo II .................................................................................................... 70 2. ....................................................................................... 30

2.a. .................................................................... 8

2.b. .................................................................. 10

2.c. .................................................................... 6

2.d. .................................................................... 6

3. ...................................................................................... 20

3.a. .................................................................... 8

3.b. .................................................................. 12

4. ...................................................................................... 20

4.a. .................................................................. 12

4.b. .................................................................... 8

Grupo III ..................................................................................................... 60 5.a. .................................................................... 8

5.b. .................................................................. 10

5.c. .................................................................. 14

5.d. .................................................................. 14

5.e. .................................................................. 14

Grupo IV ..................................................................................................... 40 6. ...................................................................................... 20

6.a. .................................................................. 12

6.b. ..................................................................... 8

7. ...................................................................................... 20

Total ........................................................................................................ 200

Prova 935 | 7 de 8

FORMULÁRIO

Áreas de figuras planas

Losango:

Trapézio: × Altura

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema

Círculo: π × raio2

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: π × raio da base × geratriz

Área de uma superfície esférica: 4 π × raio2

Volumes

Prisma ou Cilindro: Área da base × Altura

Pirâmide ou Cone: × Área da base × Altura

Esfera: π × raio3

Trigonometria

Lei dos senos:

Teorema de Carnot: a2 = b2 + c2 ‒ 2bc cos Â

Diagonal maior × Diagonal menor 2

Base maior + Base menor 2

1 3

4 3

asen A

= csen C

bsen B

=ˆ ˆ ˆ

Prova 935 | 8 de 8

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935FOLHA DE RESPOSTA

1.ª FASE - junho de 2013

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935FOLHA DE RESPOSTA

1.ª FASE - junho de 2013

NOME DO ALUNO ________________________________________________Número convencional

Número convencional

A preencher pela Escola

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