Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 35, n. 2, 2507 (2013)www.sbsica.org.br

Viol~ao e guitarra como ferramentas para o ensino de fsica(Acoustic and electric guitars as tools for the physics teaching)

E.M. Santos, C. Molina1, A.P.B. Tufaile

Escola de Artes Cie^ncias e Humanidades, Universidade de S~ao Paulo, S~ao Paulo, SP, BrasilRecebido em 10/3/2012; Aceito em 2/3/2013; Publicado em 30/5/2013

S~ao propostas atividades praticas simples para a caracterizac~ao de propriedades do som produzido por viol~oese guitarras atraves de uma analise harmo^nica. Entre elas, propomos uma demonstrac~ao que pode ser feita emtempo real em sala de aula. Nas atividades desenvolvidas, amostras de som produzidas por instrumentos decordas s~ao capturadas e analisadas atraves de uma abordagem espectral. Propriedades fsicas da corda do viol~aoe guitarra s~ao exploradas. Os resultados experimentais s~ao comparados com as predic~oes teoricas, com umaconcorda^ncia excelente. As ferramentas apresentadas podem ser utilizadas como material de apoio no estudode cordas vibrantes, oscilac~oes, ondas, equac~oes diferenciais, analise harmo^nica baseada em transformadas deFourier e instrumentac~ao para o laboratorio de fsica.Palavras-chave: ensino de fsica, ondas, analise harmo^nica, equac~ao de onda.

Simple practical activities are proposed for the characterization of the sound produced by guitars and electricguitars with a harmonic analysis. Among them, we propose a demonstration that can be carried out in real timeat the classroom. In the developed activities, sound samples produced by string instruments are captured andanalyzed within a spectral approach. Physical characteristics of the guitar strings are explored. Experimentalresults are compared with the theoretical predictions, with excellent agreement. The presented tools can beused as support material in the study of vibrating strings, oscillations, waves, dierential equations, harmonicanalyses based on Fourier transform, and physics laboratory instrumentation.Keywords: physics teaching, waves, harmonic analysis, wave equation.

1. Introduc~ao

Feno^menos associados a oscilac~oes e ondas podem serencontrados em qualquer instrumento musical. Ao pro-mover vibrac~ao numa coluna de ar, vibrar uma cordaou percutir uma membrana, som e produzido. As vi-brac~oes associadas formam diferentes series harmo^nicasque podem ser estudadas atraves da investigac~ao desuas caractersticas espectrais. A analise harmo^nica deseries temporais, e em particular do som, e uma aborda-gem extremamente poderosa de investigac~ao. O desen-volvimento de ferramentas didaticas para o estudo dastecnicas envolvidas no tema e desta forma relevante.

A caracterizac~ao das propriedades do som produ-zido por alguns instrumentos musicais pode ser feitaatraves do estudo de modelos simples para cordas emembranas vibrantes [1{4]. Propomos aqui atividadespraticas para o estudo do som produzido por viol~oes eguitarras, instrumentos presentes no cotidiano dos es-tudantes e acessveis inclusive para os que n~ao possuemexperie^ncia musical.

O nosso objetivo e manter a metodologia em um

nvel t~ao simples quanto possvel, tanto do ponto devista experimental como do teorico, de forma que as ati-vidades possam ser feitas em tempo real como uma de-

monstrac~ao em sala de aula, ou alternativamente seremapresentadas como base para um experimento em labo-ratorio. Esta demonstrac~ao pode ser complementada

por atividades suplementares, conforme sugerido nestetrabalho. Mostraremos que um tratamento teorico sim-ples e suciente para uma boa caracterizac~ao dos resul-

tados experimentais.

Topicos envolvendo teoria musical, fsica do som,

analise de Fourier e equac~oes diferenciais aparecem na-turalmente na proposta apresentada. A escolha dos sis-temas fsicos para analise foi baseada nas caractersticas

motivadoras e interdisciplinares propiciadas pelo estudodo som e da musica [5, 6]. Muitos problemas ligados aanalise do som, alem de serem importantes nos cursos

de fsica, matematica e engenharias, apresentam aspec-tos motivadores para alunos do ensino medio e superior.

1E-mail: cmolina@usp.br.

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fsica. Printed in Brazil.

2507-2 Santos et al.

2. O som produzido por uma corda vi-brante

A tematica deste trabalho e a utilizac~ao do viol~ao ouguitarra como ferramentas para o ensino de fsica. Con-cretamente, propomos uma atividade onde o som doviol~ao e gravado com um microfone ligado ao compu-tador. Depois de tanger uma corda do viol~ao, as vi-brac~oes da corda s~ao transferidas para a caixa acusticaque amplica o som. Este som se propaga pelo ar ateo microfone. No caso da guitarra, a vibrac~ao de suascordas de aco gera um sinal eletrico nos captadores, viainduc~ao eletromagnetica.

A modelagem teorica do mecanismo de produc~ao desom por instrumentos de corda pode ser bastante com-plexa [1, 2]. O quadro basico e apresentado a seguir.Quando uma das cordas de um viol~ao (ou outro instru-mento do naipe de cordas) e perturbada, por meio deuma palheta ou apenas com o proprio dedo (pizzicato),o instrumentista inicia uma perturbac~ao que se propagapela extens~ao da corda. A energia e transmitida parao corpo do instrumento como um todo, e em particu-lar para regi~oes ressonadoras. Estas regi~oes acoplam deforma eciente a onda gerada no instrumento musicalcom o ar, produzindo o som que ouvimos.

A complexidade da geometria do ressonador de umviol~ao pode sugerir que uma investigac~ao baseada so-mente nas cordas seria inadequada. Em uma analisedetalhada (que n~ao e o objetivo deste trabalho), res-sona^ncias associadas ao corpo do instrumento e efeitosn~ao-lineares n~ao podem ser descartados. De fato, ascaractersticas especcas relacionadas a confecc~ao doviol~ao s~ao o que os tornam instrumentos que podem sert~ao diversos [7]. Ainda assim, conforme mostraremos,os aspectos basicos do som produzido por estes instru-mentos podem ser investigados por metodos simples. Epara efeito de comparac~ao, estudamos tambem o somproduzido por guitarras eletricas. Nestes instrumentos,a oscilac~ao da corda n~ao e transmitida mecanicamente,ja que o movimento da corda e captado por elementoseletro^nicos. A analise conjunta do viol~ao e da guitarrae instrutiva para quem apresenta a demonstrac~ao.

No modelo mais simples para um viol~ao ou gui-tarra, somente a corda e considerada. A produc~ao deuma perturbac~ao em uma corda pode ser caracterizadacomo unidimensional. Assumindo que os deslocamen-tos da corda a partir da sua posic~ao de equilbrio s~aopequenos, os feno^menos ondulatorios em instrumentosde corda podem ser descritos por uma equac~ao diferen-cial na forma [8]

@2z(x; t)

@x2 1

v2@2z(x; t)

@t2= 0 ; (1)

onde a func~ao z(x; t) denota o deslocamento transversalno ponto x da corda no instante de tempo t. Esta e achamada equac~ao de onda. A grandeza v representa avelocidade de propagac~ao da onda considerada. Con-

siderando uma corda com densidade linear uniforme (massa por unidade de comprimento) e sujeita a umatens~ao , a velocidade da perturbac~ao na corda podeser expressa [8] como

v =

r

: (2)

A tens~ao aplicada a corda pode ser variada peloaperto ou afrouxamento das tarraxas que s~ao usadaspara anac~ao do instrumento.

Mas a equac~ao de onda (1) n~ao caracteriza comple-tamente a fsica do problema. A escolha de condic~oesde contorno apropriadas constitui parte importante domodelo teorico. Para obter diferentes notas musicais,o instrumentista pressiona os dedos entre duas das di-versas casas do braco de um instrumento de corda. Aofaze^-lo, o comprimento efetivo da corda e variado. De-notando por L o comprimento efetivo da corda, toma-mos que

z(0; t) = 0 e z(L; t) = 0 ; (3)

ou seja, assumimos a corda presa nas duas extremidadese, portanto uma onda connada entre x = 0 e x = L.

Uma propriedade importante da Eq. (1) e a sualinearidade. Uma equac~ao diferencial e dita linear sea combinac~ao linear de duas soluc~oes e tambem umasoluc~ao. Do ponto de vista fsico, podemos dizer quevale para os problemas que s~ao descritos pela Eq. (1)o Princpio da Superposic~ao: combinac~oes lineares desoluc~oes s~ao tambem soluc~oes. No caso de feno^menosondulatorios, processos de interfere^ncia construtiva edestrutiva s~ao decorre^ncia da linearidade da equac~aode onda, ou de forma equivalente, do princpio de su-perposic~ao para ondas [8]. Do ponto de vista pratico,a linearidade da equac~ao de onda permite o estudo desoluc~oes complexas em termos de soluc~oes facilmentetrataveis.

A ideia basica da analise espectral e expressar o re-sultado geral como a soma de elementos de uma serie,cada um destes, uma soluc~ao simples. Para cada umadestas soluc~oes, teremos uma freque^ncia associada. Oconjunto de freque^ncias possveis e denotado de es-pectro. No trabalho desenvolvido aqui, o espectro emais importante do que as soluc~oes propriamente di-tas. Isso porque no nosso tratamento experimental te-remos acesso ao som produzido pelos instrumentos deinteresse.

Com as condic~oes de contorno (3), soluc~oes parti-culares (os modos de vibrac~ao) podem ser obtidas, porexemplo, atraves do metodo de separac~ao de variaveis[9], chegando-se a

zn(x; t) = sennL

xcos (2fn t) : (4)

O numero inteiro n (n = 1; 2; 3; : : :) identica os di-versos modos. A linearidade da equac~ao de onda (1)garante que a combinac~ao destes modos tambem e umasoluc~ao.

Viol~ao e guitarra como ferramentas para o ensino de fsica 2507-3

As freque^ncias fn, ditas freque^ncias normais, for-mam o espectro de vibrac~oes da corda [8]. Elas s~aodadas por

fn =nv

2L=

n

2L

r

: (5)

No caso da corda, todas as freque^ncias normais s~aomultiplos inteiros de uma freque^ncia basica (n = 1),o modo fundamental ou primeiro modo harmo^nico. Osproximos modos harmo^nicos (n = 2; 3; : : :) s~ao o pri-meiro sobretom, segundo sobretom, etc. S~ao estes osobservaveis fsicos que foram investigados neste instru-mento.

3. Analisando o som do viol~ao e da gui-tarra

Os conceitos fsicos discutidos na sec~ao anterior podemser contextualizados em uma demonstrac~ao feita emsala de aula. Para esta demonstrac~ao, s~ao utilizadosos seguintes itens:

viol~ao, ou guitarra; computador; microfone de computador (no caso do viol~ao); plataforma de manipulac~ao basica de som, porexemplo a EXPstudio Audio Editor ;

plataforma para a manipulac~ao de dadosnumericos, por exemplo o Origin 8.0.

O roteiro sugerido para a demonstrac~ao e indicadoa seguir.

1. Uma dada casa de uma das cordas do viol~ao e es-colhida e toca-se uma nota musical, gerando uma

amostra de som. No caso do viol~ao, o som e cap-tado pelo microfone. No caso da guitarra, a suasada e conectada diretamente a entrada da placade som do computador.

2. S~ao realizadas gravac~oes de amostras de somproduzido pelo instrumento. Nos testes rea-lizados, todas as amostras foram gravadas emsada mono, com freque^ncia de amostragem de8.000 Hz, 16 bits atraves da plataforma EXPstu-dio Audio Editor. A freque^ncia de amostragem ea freque^ncia com a qual o sinal e registrado.

3. A amostra de som e gravada em formato wave(ou outro formato padr~ao de arquivo de audio).O arquivo wave e importado pela plataforma Ori-gin 8.

4. O graco da amplitude em func~ao do tempo eapresentado a classe. Inicialmente toda a amostrade som, e posteriormente um pequeno trecho daamostra, ressaltando o perl tpico de oscilac~ao.Ver a Fig. 1.

5. Uma transformada de Fourier e aplicada no ar-quivo de dados (amplitude em func~ao do tempo),gerando o graco da pote^ncia em func~ao dafreque^ncia. O graco e apresentado, conforme aFig. 2.

6. As freque^ncias dos picos de pote^ncia s~ao coleta-das.

7. O graco das freque^ncias dos diversos picos e pro-duzido e apresentado. Uma reta e o ajuste imedi-ato para os dados. Esta reta e ent~ao comparadacom o modelo teorico esperado. Veja a Fig. 3.

Figura 1 - (Esquerda) Decaimento da amplitude sonora em func~ao do tempo, viol~ao, corda 6, casa 7, nota musical e altura entre oitavasB1 (si1) 123,4 Hz, modo fundamental. (Direita) Detalhe da forma de onda sonora num trecho de 0,05 s.

2507-4 Santos et al.

Figura 2 - (Esquerda) Analise espectral, via transformada rapida de Fourier, do som produzido por um viol~ao, corda 6, casa 7, notamusical e altura entre oitavas B1 (si1) 123,4 Hz, modo fundamental. (Direita) Analise espectral, via transformada rapida de Fourier,do som produzido por uma guitarra, corda 6, casa 5, nota musical e altura entre oitavas A1 (la1) 110 Hz, modo fundamental.

Figura 3 - Modos normais para a corda 6, casa 7, de um viol~ao.A linha representa a reta teorica (fn = n) ajustada aos pontosexperimentais. Neste graco, = (124; 0 0; 07) Hz.

A nossa estimativa de tempo para uma rodada deatividades, realizada de forma confortavel, e de cercade 20 minutos. A rotina pode ser repetida para variasamostras de som, tomadas com varias cordas e notasespeccas.

O experimento sugerido foi realizado repetidas vezescom um viol~ao Giannini Serie Estudo e uma guitarraEpiphone/Gibson Special Model. Discutimos a seguiros resultados esperados. Medidas mais detalhadas s~aoincludas no ape^ndice (Tabela 2) como refere^ncia.

O decaimento da amplitude das amostras de somem func~ao do tempo e apresentado na Fig. 1 para oviol~ao. Resultados qualitativamente semelhantes s~aoobtidos para a guitarra. Observamos que a vibrac~aode cordas com espessura maior e sustentada por maistempo. Tambem observamos que freque^ncias agudaste^m sustentac~ao menor que freque^ncias mais graves, oude forma equivalente, quanto menor a corda menor asustentac~ao do som produzido. Isto implica que a dis-sipac~ao de energia da corda e maior quanto mais alta afreque^ncia.

E observado na Fig. 1 a direita que a func~ao de ondae composta por um trecho que (aproximadamente) serepete. Esta onda e uma superposic~ao especca demodos normais que caracterizam o timbre da nota. Arigor, a periodicidade do sinal e apenas aproximada,visto que o viol~ao perde energia com o tempo, e o si-nal decai constantemente. A analise da guitarra leva asmesmas conclus~oes.

Passamos ent~ao para a analise espectral do som cap-turado. Os modos normais de vibrac~ao das cordasdos instrumentos analisados foram interpretados comos gracos da pote^ncia em func~ao da freque^ncia, quedescrevem os harmo^nicos em picos de pote^ncia. Exem-plos representativos dos resultados obtidos s~ao mostra-dos na Fig. 2, onde (para o caso do viol~ao) aparecemos cinco primeiros harmo^nicos correspondentes a amos-tra de som apresentadas na Fig. 1. Resultados paraa guitarra s~ao tambem exibidos. Ressaltamos aqui queapesar da meca^nica da corda no viol~ao e guitarra seremmuito parecidas, a produc~ao efetiva de som e comple-tamente diferente nos dois instrumentos. Ainda assim,observamos que as caractersticas espectrais do somproduzido pelo viol~ao e guitarra e semelhante, conformeilustrado na Fig. 2. Este resultado valida a utilizac~aodestes instrumentos na atividade proposta.

Na maior parte dos espectros obtidos para viol~ao eguitarra foram identicados cinco picos de boa quali-dade (os cinco primeiros harmo^nicos), conforme apre-sentado na Fig. 2. Vemos tambem nesta gura que osinal da guitarra tem maior relac~ao sinal/rudo, poisele e gerado e registrado de forma mais direta nesteinstrumento.

As freque^ncias mais altas que 4.000 Hz n~ao tive-ram picos bem denidos porque est~ao muito proximosda freque^ncia de amostragem de 8.000 Hz. Feno^menosque ocorrem com freque^ncia de mesma ordem de gran-deza que a freque^ncia de amostragem n~ao s~ao facil-mente registrados. Para o registro de sons mais agudosque os produzidos nas atividades propostas, freque^ncias

Viol~ao e guitarra como ferramentas para o ensino de fsica 2507-5

de amostragem maiores devem ser usadas. Assim,4.000 Hz foi o limite da tecnica usada no arranjo ex-perimental descrito neste trabalho.

As freque^ncias dos harmo^nicos foram tomadas noponto de maxima pote^ncia dos picos. Apos a iden-ticac~ao dos harmo^nicos por meio da transformadarapida de Fourier, os valores medidos foram submeti-dos a comparac~ao com o modelo linear teorico para acorda. Os resultados demonstraram que os dados expe-rimentais concordam com o modelo linear. Um exemplotpico e apresentado na Fig. 3 para o viol~ao. A guitarrafornece resultados similares.

4. Determinando a velocidade da ondae tens~ao na corda

Esta sec~ao apresenta procedimentos complementares,que podem ser realizados quando houver possibilidadede se medir o comprimento L da corda e de se conhecera densidade linear da corda analisada. O objetivoaqui e o calculo da tens~ao e velocidade de propagac~aoda perturbac~ao na corda, duas grandezas importantesna caracterizac~ao fsica do instrumento musical.

Nesta atividade s~ao utilizados:

uma corda do viol~ao ou guitarra, cujas freque^nciasassociadas tenham sido analisadas na atividadeanterior;

trena milimetrada comum; balanca de precis~ao ou balanca analtica.

O roteiro sugerido para o desenvolvimento e:

1. Com a trena, e medido o comprimento livre dacorda (L), ou seja, a dista^ncia entre a ponte e apestana ou o traste correspondente. Este com-primento pode ser medido diretamente no instru-mento musical.

2. Conhecendo-se L e o coeciente angular dareta ajustada, que pode ser substitudo pelafreque^ncia fundamental como aproximac~ao parasimplicac~ao, a velocidade da onda na corda e cal-culada. Da Eq. (5), podemos ver que = v=2L,e a partir desta relac~ao o valor da velocidade v eobtido.

3. Corta-se um pedaco de comprimento especicadoda corda, denotado aqui por `.

4. A balanca e usada para medir a massa m de umpedaco de comprimento ` da corda.

5. A densidade linear da corda () e determinadapela relac~ao = m=`.

6. A tens~ao da corda e calculada a partir daEq. (2), conhecendo-se a velocidade v da ondana corda e a densidade linear .

O tempo estimado para a realizac~ao da serie apresen-tada e de 30 minutos. Ela pode ser repetida varias vezespara cordas diferentes, ou para a mesma corda de formaa gerar dados para uma analise estatstica de erros.

Como refere^ncia, apresentamos alguns de nossos re-sultados nas Tabela 1, que ser~ao usados como base paraalguns comentarios sobre algumas caractersticas rele-vantes da atividade proposta. Resultados complemen-tares s~ao apresentados no ape^ndice (Tabela 3).

Na Tabela 1, temos uma comparac~ao entre a 6a

corda do viol~ao e da guitarra, anadas na mesmanota musical, portanto na mesma freque^ncia fundamen-tal. Neste caso, as grandezas densidade linear, com-primento, tens~ao e velocidade da onda na corda s~aomaiores na guitarra em comparac~ao com o viol~ao. Es-tas grandezas est~ao todas relacionadas entre si, masolhando suas relac~oes podemos perceber que a tens~aopara anar esta corda deve ser maior na guitarra porqueo comprimento e a densidade linear s~ao maiores. c

Tabela 1 - Comparac~ao entre viol~ao e guitarra atraves da 6a corda, casa 0, com anac~ao de 82,4 Hz.

Instrumento Material da corda (103 kg/m) L (m) (Hz) (N) v (m/s)viol~ao nylon 5,53(2) 0,609(2) 82,40(3) 55,7(3) 100,4(4)guitarra aco 7,13(2)

29% maior0,638(2)4,8% maior

82,29(5) 78,6(4)41% maior

105,0(4)4,6% maior

d

5. Comentarios nais

Vericamos que a aplicac~ao de um modelo teorico sim-ples e bem sucedida na descric~ao do som produzido porviol~oes e guitarras. Desta forma, estes instrumentosmusicais podem ser utilizados como material comple-mentar no estudo de uma gama de topicos que envol-vem oscilac~oes, ondas, equac~oes diferenciais e analise

espectral.

Ressaltamos o carater didatico dos resultados aquidesenvolvidos com a apresentac~ao de roteiros de ativi-dades para demonstrac~oes em sala ou laboratorio. A de-monstrac~ao proposta e simples, podendo ser realizadadiretamente em sala de aula. Mesmo utilizando umasada de som com baixa resoluc~ao temporal (freque^nciade amostragem de 8.000 Hz), a analise apresentada

2507-6 Santos et al.

neste trabalho se mostrou adequada para os sons pro-duzidos por viol~oes e guitarras. Os espectros das cordasobtidos a partir destes instrumentos s~ao de t~ao boa qua-lidade que apenas identicar a freque^ncia de maximodos picos proporcionou otimos resultados. Ressaltamostambem que como a gravac~ao das vibrac~oes da guitarrae mais direta que no caso do viol~ao, os dados da guitarraapresentam maior relac~ao sinal/rudo.

Se existir a disponibilidade de mais tempo e espacode laboratorio, a demonstrac~ao basica pode ser comple-mentada com novas atividades. Sugerimos neste traba-lho uma serie de procedimentos para o calculo de quan-tidades fsicas relevantes, especicamente velocidade depropagac~ao e tens~ao na corda. A dina^mica destas ativi-dades complementares pode ser usada como introduc~aoa instrumentac~ao basica em um laboratorio de fsica.

Agradecimentos

O trabalho apresentado neste artigo foi parcialmente -nanciado pelo CNPq e pela Pro-Reitoria de Graduac~aoda Universidade de S~ao Paulo.

Ape^ndice: resultados complementares

S~ao apresentados, nas Tabelas 2 e 3, resultados maisdetalhados obtidos usando um viol~ao Giannini SerieEstudo e uma guitarra Epiphone/Gibson Special Mo-del. A posic~ao das casas 1 19 e das cordas 1 6e indicada na Fig. 4. A \casa 0" implica em que acorda n~ao e pressionada. Ambos os instrumentos fo-ram previamente anados de forma padr~ao. Para umaanac~ao com melhor precis~ao, foi utilizado um anadorcromatico digital. c

Figura 4 - Diagrama de um viol~ao, com a indicac~ao das casas 1 19 e das cordas 1 6.

Tabela 2 - Freque^ncias do modo fundamental (f1) e dos quatro primeiros sobretons (f2 a f5) para quatro pontos da 6a corda E1 (Mi1),82,4 Hz, viol~ao e guitarra. O coeciente angular da reta de ajuste () e apresentado.

Modos normais - Viol~ao - 6a corda E1 (Mi1) = (5,53 0,02) 103 kg/m

Casa f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) (Hz)0 82,3 165,0 246,8 329,6 411,9 82; 40 0; 035 110,3 221,3 332,0 442,0 552,0 110; 5 0; 0510 146,0 294,3 441,0 587,7 734,0 146; 8 0; 0815 196,0 396,0 592,3 790,5 990,9 197; 8 0; 10

Modos normais - Guitarra - 6a corda E1 (Mi1) = (7,13 0,02) 103 kg/m

Casa f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) (Hz)0 82,1 164,5 246,8 329,7 411,1 82; 29 0; 055 109,5 219,1 328,8 438,3 550,6 109; 8 0; 110 145,4 291,3 438,3 584,3 735,3 146; 5 0; 315 193,6 389,0 584,4 783,0 983,0 195; 9 0; 4

Viol~ao e guitarra como ferramentas para o ensino de fsica 2507-7

Tabela 3 - Calculos de velocidade de propagac~ao e tens~ao da paraquatro pontos da 6a corda, E1 (Mi1), 82,4 Hz, viol~ao e guitarra.

Velocidade e tens~ao - Viol~ao - 6a corda E1 (Mi1) = (5,53 0,02) 103 kg/m

Casa L (m) (N) v (m/s)0 0; 609 0; 002 55; 7 0; 3 100; 4 0; 35 0; 460 0; 002 57; 2 0; 4 101; 7 0; 410 0; 346 0; 002 57; 1 0; 5 101; 6 0; 515 0; 260 0; 002 58; 5 0; 7 102; 9 0; 6

Velocidade e tens~ao - Guitarra - 6a corda E1 (Mi1) = (7,13 0,02) 103 kg/m

Casa L (m) (N) v (m/s)0 0; 638 0; 002 78; 6 0; 4 105; 0 0; 35 0; 483 0; 002 80; 2 0; 5 106; 1 0; 410 0; 365 0; 002 81; 5 0; 7 106; 9 0; 515 0; 275 0; 002 82; 8 0; 9 107; 7 0; 6

Refere^ncias

[1] Alejandra Kandus, Friedrich Wolfgang Gutman, CaioMario Castro de Castilho, Revista Brasileira de Ensinode Fsica 28, 427 (2006).

[2] Jose Pedro Donoso, Alberto Tannus, Francisco Gui-mar~aes e Thiago Corre^a de Freitas, Revista Brasileirade Ensino de Fsica 30, 2305 (2008).

[3] Eric Battenberg, A Theoretical and Experimen-tal Analysis of the Acoustic Guitar (2009). Pro-jeto apresentado em http://www.ericbattenberg.com/school/ebattenberg_ME173_S09.pdf, acesso em25/2/2013.

[4] E. Riskedal, Drum Analysis. Tese de doutorado, Uni-versity of Bergen, 2002.

[5] Wilson Leandro Krummenauer, Terrimar Ignacio Pas-qualetto e Sayonara Salvador Cabral da Costa, A Fsicana Escola, 10, 22 (2009).

[6] Teca Alencar de Brito, Revista da ABEM 21, 25(2009).

[7] Rodrigo Mateus Pereira, Albary Laibida Junior e Thi-ago Corre^a de Freitas, Physicae 9, 24 (2010).

[8] H. Moyses Nussenzveig, Curso de Fsica Basica: Flui-dos, Oscilac~oes e Ondas, Calor (Editora EdgardBlucher, S~ao Paulo, 2002), v. 2.

[9] E. Butkov, Fsica Matematica (Addison Wesley, S~aoPaulo, 1968).