3.6. Lajes Macicas. Mom.e Dimensionamento

3.6 Momentos Fletores

1

Lajes

Concreto

Armado 1

As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças cortantes.

O cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico, que será aqui utilizado, e o plástico, que poderá ser apresentado em fase posterior.

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Lajes Concreto Armado 1 Momentos Fletores – Equação de Lagrange

O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela

teoria clássica de placas delgadas (Teoria de Kirchhoff),

supondo material homogêneo, isótropo, elástico e linear.

A partir das equações de equilíbrio, das leis

constitutivas do material (Lei de Hooke) e das relações

entre deslocamentos e deformações, fazendo-se as

operações matemáticas necessárias, obtém-se a

equação fundamental que rege o problema de placas.

Concreto Armado 1

Lajes

equação de Lagrange:

Uma apresentação detalhada da teoria de placas pode ser encontrada em TIMOSHENKO (1940).

Company Logo Concreto Armado 1

equação de Lagrange:

Na maioria dos casos, não é possível determinar, de forma exata, uma solução para a equação de Lagrange que, ainda, satisfaça às condições de contorno.

Em geral, recorre-se a processos numéricos para a resolução dessa equação, utilizando, por exemplo: diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno ou analogia de grelha.

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Lajes Concreto Armado 1 Momentos Fletores -Cálculo por Tabelas

Esses processos numéricos também podem ser utilizados na confecção de tabelas, como as de Czerny e as de Bares, obtidas por diferenças finitas.

As tabelas 2.5 e 2.6 de PINHEIRO (1993), foram baseadas nas de BARES (1972), com coeficiente de Poisson igual a 0,15.

O emprego dessas tabelas é semelhante ao apresentado para as reações de apoio. Os coeficientes tabelados ( μ x , μ'x , μ y , μ‘y) são adimensionais, sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões:

Concreto Armado 1

Lajes

Para as lajes armadas em uma direção, os

momentos fletores são calculados a partir dos

coeficientes adimensionais correspondentes à

condição.

λ = ly / lx > 2 .

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Lajes Concreto Armado 1

Momentos Fletores - Cálculo por Tabelas - Lajes Armadas em uma direção

No caso de termos uma laje qualquer engastada em um

bordo ou apoiada apenas sobre dois bordos paralelos,

conforme segue :

. Lajes isoladas engastadas em um bordo ou

apoiadas sobre dois bordos paralelos:

Ooncreto Armado 1 Lajes

Nestes tipos de lajes escolhemos uma faixa que

representa o comportamento estrutural característico para

toda a laje e os esforços calculados, assim como as

armaduras, valerão para a unidade estrutural inteira.

λ = ly / lx > 2 .

Podemos destacar da laje uma faixa que vai de um

apoio a outro, com largura unitária, e as solicitações são

calculadas como se a laje fosse composta por uma série de

vigas paralelas , já que não há deformações diferencias entre

uma faixa e as demais faixas vizinhas.

LOGO



Estas lajes devem ser calculadas como uma viga contínua de

largura unitária.

. Lajes Contínuas apoiadas sobre dois bordos

paralelos :

LOGO



Uma laje apoiada nos quatro bordos será armada em uma só

direção quando a relação entre os vãos ly (maior vão teórico) e

lx (menor vão teórico) for superior a 2.

λ = ly / lx > 2 .

. Lajes isoladas apoiadas sobre quatro bordos:

Neste caso a laje será calculada como sendo armada segundo

sua menor dimensão e supondo-se não existirem apoios nos

bordos paralelos a este vão.


Pode-se ter três tipos de lajes apoiadas nos quatro bordos e

armadas segunda a menor dimensão.


Os esforços são calculados por :

, '

2

m

lpm

'

2

n

lpm

lp

Onde :

m+ momento positivo, por

metro linear de laje

m- momento negativo, por

metro linear de laje

ѵ reação de apoio no

bordo, por metro linear de laje

. Os valores de m+, m-

e ѵ são obtidos com valores idênticos

aos denominadores das seguintes expressões :

LOGO


Momentos Fletores - Cálculo por Tabelas - Lajes Armadas em Cruz

As lajes retangulares com dois ou mais bordos

apoiados, e em que a relação entre o lado maior (ly) e

lado menor (lx) seja tal que ly / lx ≤ 2, devem ser

armadas em cruz.

λ = ly / lx ≤ 2 .


Processo das Grelhas :

É adotado principalmente para o cálculo de esforços

em lajes nervuradas. A idéia básica desse processo consiste

em considerar que um painel de laje seja constituído de

apenas duas faixas de larguras unitárias e ortogonais entre si,

formando assim uma pequena grelha.


Do estudo das grelhas, sabe-se que cada faixa

é responsável por conduzir parte (quinhão) do

carregamento total (p) até os respectivos apoios.

Uma vez conhecido esse quinhão de carga que atua

em cada faixa (px e py), pode-se determinar os

diagramas de momento e cortante, conhecendo-se

as condições de contorno do painel.


O cálculo das solicitações (momentos fletores) da laje,

quando submetida a um carregamento p, pode ser feito elo

processo das grelhas , adotando-se as seguintes hipóteses :

. a laje pode ser decomposta em uma série de faixas

ortogonais, de largura unitária;

. o carregamento “P” pode ser decomposto em dois quinhões:

Px : atuante em faixas na direção x.

Py : atuante em faixas na direção y.

. de forma que :

P = Px + Py


A montagem do problema é conduzida com base nas

seguintes hipóteses:

- As faixas são independentes entre si;

- Os quinhões de carga são constantes em cada direção;

- O carregamento é uniformemente distribuído na faixa.


Para o caso da laje simplesmente apoiada dada

acima, e considerando que por hipótese inicial a carga seja

uniformemente distribuída em cada faixa, pode-se escrever

os valores das flechas no ponto central comum às duas

faixas:


Com isto, o quinhão de carga Px, ao atuar sobre uma faixa na

direção x, provoca nela uma flecha fx, situada no centro da laje.

Da mesma forma, o quinhão de carga Py, ao atuar sobre uma

faixa na direção y, provoca nela uma flecha fy, situada no centro

da laje. Como o ponto médio das lajes é único, indivisível, deve-se ter

no cruzamento da faixa x com a faixa y :

yx ff


. Como : EI

lpf xx

x

4

384,0

5,0

. e : EI

lpf

yy

y

4

384,0

5,0

. Tem-se que : 44 yyxx lplp

. Ou ainda :

44

4

yx

y

yx

x

ll

l

pp

p


. Seja agora a relação entre lx e ly definida por:

. Dividindo-se ambos os membros da equação :

. por :

44

4

yx

y

yx

x

ll

l

pp

py

x

l

l

4

xl

. Tem-se :

. e substituindo-se :

y

x

l

l

4

4

1

p

px


. Chamando-se de kx a fração expressa pelo lado direito da

Tem-se : pkp xx

equação :

4

4

1

p

px

. O valor de kx é função apenas da relação Є entre os lados da

laje, o que permite que seja organizada uma tabela kx = f ( Є ).

yx ppp. como

yx ppkp. temos :

. ou ainda : )1( pkkp yxy


. Conhecidos os valores de kx e ky , podem se determinar os

8

2

xxx

lpm

momentos fletores por :

8 ;

2

yy

y

lpm

bem como as reações de apoio.

. O processo ora descrito para lajes retangulares simplesmente

apoiadas nos quatro bordos pode ser generalizado para

quaisquer condições de apoio.


EI0,384

4

xxxx

lpf

. Seja a laje apresenta a seguir :

EI0,384 ;

4

yyy

y

lpf


pll

lp

yyxx

yy

x 44

4

. das equações : yx ff yx pp p e

. temos :

EI0,384

4

xxxx

lpf

EI0,384 ;

4

yyy

y

lpf

. Ou : pkp xx

pkpkp yxy )1(


pll

lp

yyxx

yy

x 44

4

. Nestas equações os valores de αx e αy estão indicados a

seguir :

pkp xx pkpkp yxy )1(


pkp xx pkpkp yxy )1( ;

x

xxx

m

lpm

'

2

y

yy

ym

lpm

'

2

y

y

yn

lpm

'

2

xxx lp11

xxx lp22

yyy lp31

yyy lp42

y

xxx

n

lpm

'

2


. Os valores de m’, n’ e β estão especificados na figura a seguir :


Processo de Marcus :

A partir da equação diferencial das placas e através da

aplicação do método das diferenças finitas, Marcus deduziu

um conjunto de fórmulas para a resolução de lajes

retangulares armadas em cruz.

O processo aproximado de Marcus difere do processo

das grelhas pela introdução de um coeficiente ν < 1, nas

fórmulas dos momentos positivos do processo das grelhas.

Este coeficiente foi introduzido em bases semi-

empíricas, sendo função das condições de apoio e da relação

entre os vãos.


Seja a laje mostrada a seguir :

Pelo processo das grelhas a deformação em “C” deve ser igual à

deformação em “D”, o que não corresponde à realidade em

virtude da continuidade da laje no sentido x.


Esta diferença entre as deformações em “C” e “D” provoca o

aparecimento do momento volvente, o qual solicita a placa mais

intensamente na região próximas aos cantos, especialmente

quando os bordos da laje são apoiados. Este momento é o

responsável pela diminuição dos momentos positivos máximos

calculados pelo processo das grelhas.


O uso da tabela desenvolvida por marcus dispensa o cálculo

destes momentos. Entretanto, quando o menor vão de uma laje

for superior a 3,0 m, deve-se dispor, nos cantos simplesmente

apoiados, de uma armadura capaz de combater os efeitos

destes momentos.

Em caso de engastes estes, esta armadura não é necessária.


Os coeficientes redutores dos momentos positivos ν, podem ser

calculados por :

2'3

201

x

xx

m

k

y

y

ym

k

'3

201

2


Os momentos podem ser determinados por :

xxx

x

xxx

x

xxx mlp

m

lpk

m

lpm 2

22

''

yxy

x

y

y

xy

y

y

yy

y

y

yy

y mlpl

l

m

lpk

m

lpk

m

lpm 2

2

2222

'''

xx

x

xx nlp

n

lpm 2

2

'

yx

x

y

y

x

y

y

y nlpl

l

n

lp

n

lpm 2

2

222

''


Os valores de m*x, m*y, n*x, n*x estão tabelados.

Nota-se o valor constante p.lx2, de forma a facilitar o processo de

cálculo :

Na tabela de Marcus os argumentos de entrada são Є e as

condições de apoio. Para facilitar o projeto, recomenda-se

considerar sempre a direção x como a direção horizontal do

desenho de formas.

O Cálculo das reações de apoio poderá ser feito por :

plk xxxy

plk yyyx


Sendo os valores de βx e βx , os especificados na figura a seguir :

plk xxxy

plk yyyx

Company Logo Concreto Armado 1

Exemplo : Seja a seguinte Laje isolada retangular :

Considerando-se que as cargas atuantes na laje são g = 3,2 kN/m2 e q = 2,0 kN/m2, calcular os momentos fletores:

Company Logo www.themegallery.com Lajes Ooncreto Armado 1

l

L

l

l

x

y7,1

0,3

10,5

22 )0,3()2,5(xlp kN 8,46

0,2 0,3 qgp2 ,25 kN/mp

kNlp x 8,462


kNlp x 8,462

7,1

. De acordo com a Tabela de Marcus


kNlp x 8,462

7,1

. Utilizando os parâmetros da Laje :

. Temos:


0537,0xm

. Da tabela obtemos os seguintes valores :

0186,0 ; ym

1115,0xn 0387,0 ; yn

. Com os quais podemos calcular os valores dos

momentos e das reações de apoio nas lajes :

xxx mlpm )( 2

yxy mlpm )( 2

xxx nlpm )( 2

yxy nlpm )( 2


0537,0 ; xm 0186,0 ; ym

1115,0xn

xxx mlpm )( 2

yxy mlpm )( 2

xxx nlpm )( 2

yxy nlpm )( 2

kNlp x 8,462

)0537,0()8,46( mmkN / 51,2

)1115,0()8,46( mmkN / 22,5

)0186,0()8,46( mmkN / 87,0

)0387,0()8,46( mmkN / 81,1


. Reações de Apoio :

plk xxxy

plk yyyx2 ,25 kN/mp

. da Tabela de Marcus obtemos kx e Ky :



plk xxxy

plk yyyx2 ,25 kN/mp

893,0xk 107,0yk



plk yyyx 11

2 ,25 kN/mp

893,0xk

107,0yk

)2,5()1,5()107,0()375,0(

mkNx / 14,11



plk yyyx 22

2 ,25 kN/mp

893,0xk

107,0yk

)2,5()1,5()625,0()375,0(

mkNx / 70,12


. Reações de Apoio : 2 ,25 kN/mp

893,0xk

107,0yk

)2,5()0,3()893,0()375,0(

mkNy / 57,51

plk xxxy 11


. Reações de Apoio : 2 ,25 kN/mp

893,0xk

107,0yk

)2,5()0,3()893,0()625,0(

mkNy / 36,82

plk xxxy 22


kNlp x 8,462

7,1


. Laje com Esforços :


Processo de Marcus – Abordagem Apostila UNB :

Para as lajes retangulares apoiadas em todo o seu

contorno, o método de Marcus prevê seis casos de

cálculo, dependendo dos tipos de apoio nos bordos.

Em cada caso, o parâmetro = ly / lx.

A condição fundamental para emprego do método

de Marcus é a definição do vão lx das lajes.

lx: direção normal ao maior número de bordos

engastados. Havendo igualdade na primeira condição , lx

é o menor vão. Dessa forma, tem-se para o parâmetro

de entrada nas tabelas as seguintes situações:


Processo de Marcus :

Concreto Armado 1

Lajes

. Tabelas do Prof. L. M. Pinheiro :

Calcula-se o valor dos Momentos nas Lajes a partir da Fórmula:

10

2

xlpm

Com os valores de μ obtidos das tabelas apresentadas a seguir:

Concreto Armado 1

Lajes

. Calcular a Laje apresentada no exemplo anterior utilizando as tabelas da Apostila do Prof. L. M. Pinheiro.

Ações Concreto Armado 1

p = 5,20 kN / m2 . Laje enquadra-se no “tipo 3”, definido pelas tabelas.

. Determinando o parâmetro para entrada na tabela, temos:

x

y

l

l mly 10,5

mlx 00,3

00,3

10,570,1

Concreto Armado 1

. p = 5,20 kN / m2

. Interpolando, obtemos da tabela os seguintes coeficientes :

21,5x

. Utilizando os coeficientes retirados da tabela aplicado na fórmula a seguir, obtemos os momentos fletores:

16,11x

91,1y

15,8y

100

2

xlpm

Concreto Armado 1

44,2100

2

xxx

lpm

22,5100

2

xxx

lpm

89,0100

2

xxy

lpm

81,3100

2

xyy

lpm


. Laje com Esforços :

44,2

. Tabelas de Marcos: . Tabelas Prof. L. M. Pinheiro:

22,5

89,0

81,3

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Lajes Concreto Armado 1 Compatibilização de Momentos Fletores

Os momentos fletores nos vãos e nos apoios também são

conhecidos como momentos positivos e negativos,

respectivamente.

No cálculo desses momentos fletores, consideram-se os

apoios internos de lajes contínuas como perfeitamente engastados.

Na realidade, isto pode não ocorrer.

Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas

condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos,

resultando, no apoio comum, dois valores diferentes para o

momento negativo. Esta situação está ilustrada na Figura

apresentada a seguir. Daí a necessidade de promover a

compatibilização desses momentos.


Na compatibilização dos momentos negativos, o critério

usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois

momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável

aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de

grandeza.

Em decorrência da compatibilização dos momentos

negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser

analisados. Se essa correção tende a diminuir o valor do momento

positivo, como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura apresentada,

ignora-se a redução (a favor da segurança).


Caso contrário, se houver acréscimo no valor do

momento positivo, a correção deverá ser feita, somando-se ao

valor deste momento fletor a média das variações ocorridas

nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios,

como no caso da laje L2 da Figura a seguir :


Pode acontecer da compatibilização acarretar

diminuição do momento positivo, de um lado, e

acréscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuição e

considera-se somente o acréscimo, como no caso da laje

L3 da Figura apresentada.


Se um dos momentos negativos for muito

menor do que o outro, por exemplo m’12< 0,5m’21,

um critério melhor consiste em considerar L1

engastada e armar o apoio para o momento m’12 ,

admitindo, no cálculo da L2, que ela esteja

simplesmente apoiada nessa borda.

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Lajes Concreto Armado 1 Dimensionamento das Armaduras

Conhecidos os momentos fletores característicos

compatibilizados (mk ), passa-se à determinação das armaduras.

Esse dimensionamento é feito da mesma forma que para vigas,

admitindo-se a largura b = 1,0m = 100,0cm. Obtém-se, dessa

forma, uma armadura por metro linear.

Podem ser utilizadas as tabelas de PINHEIRO (1993),

sendo a Tabela 1.1 para o cálculo das áreas necessárias das

armaduras e a Tabela 1.4a para a escolha do diâmetro e do

espaçamento das barras.


. Inicialmente determina-se o momento Fletor de Cálculo em

kN.cm/m :

. Em seguida, calcula-se o valor do coeficiente Kc :

. Conhecidos o concreto, o Aço e o valor de Kc, obtém-se na

tabela 1.1 o valor de ks .


. Na tabela 1.4a, com o valor de as, escolhe-se o diâmetro das

barras e o seu espaçamento.

. Calcula-se, então, a área de armadura necessária:


As armaduras devem respeitar os valores mínimos

recomendados pela NBR 6118 : 2003, indicados nas tabelas

indicadas a seguir, nas quais ρ = as (bw . d).

Se for necessário calcular ρmin para fatores diferentes, pode-

se usar a equação:

ρ = ω f ωmin: taxa mecânica mínima de armadura longitudinal

Admitindo-se b =100,0cm e d em centímetros, obtém-se as

em cm2/ m.


Devem ser observadas outras prescrições da NBR 6118,

algumas das quais são mencionadas a seguir :

. Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no

máximo igual a h/8.

. As barras da armadura principal de flexão devem apresentar

espaçamento no máximo igual a 2h ou 20,0cm. Prevalecendo o

menor desses dois valores na região dos maiores momentos

fletores.

. A armadura secundária de flexão deve corresponder à

porcentagem de armadura igual ou superior a 20% da

porcentagem da armadura principal, mantendo-se, ainda, um

espaçamento entre barras de no máximo 33,0cm.

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Lajes Concreto Armado 1 Barras sobre os Apoios

O comprimento das barras negativas deve ser

determinado com base no diagrama de momentos fletores na

região dos apoios.

Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que

não apresentem bordas livres, os comprimentos das barras

podem ser determinados de forma aproximada, com base no

diagrama trapezoidal indicado a seguir, adotando-se para l um

dos valores:


• o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes, quando

ambas foram consideradas engastadas nesse apoio;

• o menor vão da laje admitida engastada, quando a outra foi

suposta simplesmente apoiada nesse vínculo.

Com base nesse procedimento aproximado, são

possíveis três alternativas para os comprimentos das barras,

indicadas nas figuras 7a, 7b e 7c respectivamente.


Em geral esses comprimentos são arredondados para

múltiplos de 5 cm.

Para garantir o correto posicionamento das barras da

armadura sobre os apoios, recomenda-se adotar,

perpendicularmente a elas, barras de distribuição, com as

mesmas áreas e espaçamentos indicados para armadura

positiva secundária, na Tabela 5, no item 5 deste trabalho.

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Lajes Concreto Armado 1 Barras Inferiores

Considera-se que as barras inferiores estejam

adequadamente ancoradas, desde que se estendam, pelo

menos, de um valor igual a 10φ a partir da face dos apoios.

Nos casos de barras interrompidas fora dos apoios,

seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios

especificados para as vigas. Podem ser adotados, também, os

comprimentos aproximados e as distribuições indicadas na

Figura a seguir.

Nas extremidades do edifício, elas costumam ser

estendidas até junto a essas extremidades, respeitando-se o

cobrimento especificado.

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Lajes Concreto Armado 1 Armadura de Canto

Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas

bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência ao

levantamento provocado pela atuação de momentos volventes

(momentos torçores). Quando não for calculada armadura

específica pararesistir a esses momentos, deve ser disposta

uma armadura especial, denominada armadura de canto,

indicada na figura apresentada a seguir.


As barras deverão se estender até a distância igual a 1/5

do menor vão da laje, medida a partir das faces dos apoios. A

armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta

por duas armaduras perpendiculares.


Como em geral as barras da armadura inferior são

adotadas constantes em toda a laje, não é necessária

armadura adicional inferior de canto. Já a armadura superior

se faz necessária e, para facilitar a execução, recomenda-se

adotar malha ortogonal superior com seção transversal, em

cada direção, não inferior a asx / 2 .

3.6. Lajes Macicas. Mom.e Dimensionamento

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