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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011

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3.ª e 4.ª SÉRIES/4.º e 5.º ANOS

1) Qual das planificações abaixo não é a planificação de um cubo?

Resposta: I

Solução:

Existem 11 planificações diferentes para o cubo, indicadas pelas letras A, B, C, D, E, F, G, H, J,

K e L.

2) Seguindo a indicação das setas, por qual quadradinho é preciso começar de modo a passar

por todos os quadradinhos apenas uma única vez?

Resposta: P


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Solução:

3) O quadro abaixo foi preenchido utilizando 7 símbolos diferentes e uma regra.

Posteriormente, alguns símbolos foram apagados.

Qual das peças abaixo completará o quadro corretamente?

Resposta: B

Em cada linha, coluna ou diagonal os símbolos não se repetem.


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4) Uma das tarefas da gincana da escola era encher 30 balões de 3 cores diferentes e tocar o

sino segurando os 30 balões cheios. À medida que Simone enchia, alguns balões estouravam.

Quando ela contou os balões para se certificar de que tinha cumprido a prova, viu que

faltavam sete balões. Ela, então, encheu mais balões para cumprir a prova e mais dois balões

estouraram. Ela conferiu, encheu os que faltavam e finalmente cumpriu a tarefa. Quantos

balões ela encheu ao todo antes de tocar o sino?

Resposta: 39 balões.

Solução:

Simone encheu 30 balões para cumprir a prova e sete estouraram. Ela encheu mais sete para

completar os 30 balões, porém dois estouraram. Ela encheu mais dois, totalizando 39.

5) Uma loja vende pacotes com 200 g de bombons pequenos e, também, bombons grandes

avulsos. Quando colocados sobre uma balança, a massa (“peso”) de um pacote de bombons

pequenos equivale à massa de uma dúzia de bombons grandes. Quantos bombons grandes

equivalem a um pacote e meio de bombons pequenos?


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Resposta: 18 bombons

Solução:

Um pacote equivale a 12 bombons, assim, meio pacote equivale a 6 bombons. Um pacote e

meio equivale a 18 bombons.

6) Qual é a letra que se encontra imediatamente acima da letra J, abaixo da letra F, à direita

da letra D e à esquerda da letra I?

Resposta: A

Solução:


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7) Ângela ouviu dizer que é preciso mudar o tipo de xampu constantemente. Sem saber se

essa informação é verdadeira, ela comprou 3 frascos de diferentes tipos de xampu, 3 de

condicionador e 3 de creme para pentear.

Se ao lavar os cabelos ela sempre escolhe um tipo de xampu, um de condicionador e um de

creme para pentear, em quantas combinações ela não usará o xampu de rótulo amarelo junto

com o creme para pentear de rótulo verde?

Resposta: 24 combinações.

Solução:


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Existem 27 combinações possíveis e em 3 delas o xampu amarelo é usado junto com o creme

verde. Portanto, restam 24 combinações.

8) Jeferson pensou em um número, multiplicou-o por 4, somou 2, subtraiu 14 e dividiu o

resultado por 2. Encontrou 36. Em que número Jeferson pensou?

Resposta: 21

Solução

36 x 2 = 72

72 + 14 = 86

86 – 2 = 84

84 : 4 = 21

Ou então, usando as operações inversas:

(21 x 4 + 2 – 14):2 =

(84 + 2 – 14):2 =

(86 – 14):2=

72:2=

36

9) No quadro abaixo foram desenhadas oito setas segundo uma regra. Qual a seta que deverá

substituir o ponto de interrogação, mantendo a mesma regra?

Resposta: D


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Solução:

A primeira linha contém os três modelos de setas e uma seta de cada cor. O mesmo acontece

nas demais linhas e colunas. Assim, a peça D deve substituir o ponto de interrogação.

10) Onofre adora elaborar pegadinhas e dificilmente responde exatamente ao que foi

perguntado sem fazer com que a pessoa pense um pouco... Na semana passada, Paula

perguntou a Onofre qual a idade dele e ele respondeu:

“Neste saquinho há tantas fichas quanto a minha idade, que é menos que 40 anos. Se

fizermos grupos de duas em duas, sobrará 1 ficha. Se fizermos de três em três, sobrarão 2. De

quatro em quatro, faltará uma ficha para formar o último grupo. E se agruparmos de cinco em

cinco, nada sobra.”

Qual é a idade de Onofre?

Resposta: 35 anos.

Solução:

Onofre tem menos que 40 anos, assim no saquinho pode haver de 1 a 39 fichas. Ao agrupar as

fichas de 5 em 5, não haverá sobras, assim a quantidade de fichas pode ser 1, 5, 10, 15, 20,

25, 30 ou 35. Agrupando de 4 em 4, faltará uma ficha para formar o último grupo, assim,

entre os valores possíveis indicados acima, a quantidade poderá ser 15 ou 35. Agrupando de

3 em 3, sobrarão duas fichas. Como 15 é múltiplo de 3, só sobrarão duas fichas se a

quantidade for 35. A idade de Onofre é 35 anos.

11) Elza é a responsável por assar pão de queijo em uma lanchonete. Regularmente ela

verifica quantos estão disponíveis para venda e, se necessário, coloca mais alguns na estufa

ou no forno.

Às 10h ela viu que havia 23 pães de queijo na estufa. Em seguida, ela colocou mais 10 que

tinham acabado de sair do forno. Às 11h30min um funcionário lhe avisou que precisava colocar

mais pães de queijo para assar, pois ele observou que na estufa havia 12 a menos que às 10h.

Quantos pães de queijo foram vendidos entre 10h e 11h30min?

Resposta: 22 pães de queijo.

Solução:


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Às 10h havia 23 pães de queijo e foram colocados mais 10, totalizando então 33 pães de

queijo na estufa. Foram vendidos alguns e sobraram 12 a menos que às 10h, ou seja,

sobraram 11 pães de queijo. Havia 33 e sobraram 11, assim, foram vendidos 22 pães de

queijo.

12) Rodolfo tem um jogo de fichas coloridas no qual a cor da ficha determina a sua pontuação:

fichas azuis valem 1 ponto cada, verdes valem 10 pontos cada e amarelas valem 20 pontos

cada. Ao final de uma rodada, Rodolfo disse que tinha 100 fichas de cores variadas e que

totalizavam 200 pontos. Quantas fichas de cada cor ele tinha?

Resposta: 90 de cor azul, 9 de cor verde e 1 de cor amarela.

Solução:

90 x 1 ponto + 9 x 10 pontos + 1 x 20 pontos = 90 pontos + 90 pontos + 20 pontos = 200

pontos

Fase 2

1) Quando Simone completou 1 ano, sua mãe colocou 1 velinha sobre o bolo e, ao final da festa, guardou-a em uma caixa. Quando ela completou 2 anos, sua mãe colocou 2 velinhas sobre o bolo e, ao final da festa, guardou-as na mesma caixa. Aos 3 anos, colocou 3 velas, e assim por diante. Hoje há na caixa 28 velas. Quantos anos Simone tem, se nenhuma vela foi retirada?

Resposta: 7 anos.

Solução:


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2) Jéssica escreveu um número em seu caderno. Em seguida, o multiplicou por 2, usando a calculadora, e também anotou o resultado no caderno. Em seguida, ela somou os dois números anotados no caderno e obteve 60. Qual foi o primeiro número que ela anotou? Resposta: 20 Solução:

20 + 40 (dobro de 20) = 60

Ou

Número: ? Dobro do número: ? + ? Soma dos 2 números: ? + ? + ? = 3 x ? 3 x ? = 60 O número que precisamos multiplicar por 3 para obter 60 é o 20.

3) Cinco amigas tiraram uma fotografia. Na foto, Alice está de sandália igual à de Bruna e está segurando uma flor. Ela usa uma camisa com a mesma cor da camisa de Carla, que é diferente da camisa de Diana, e um cinto da mesma cor que o cinto de Ester.

Qual o nome da 4.ª menina, da esquerda para a direita, que aparece na foto?

Resposta: BRUNA

Solução: Da esquerda para a direita: Ester, Alice, Carla, Bruna e Diana.


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4) Ana ganhou um pacote de balas e resolveu dividi-lo com seus irmãos. Ao abrir o pacote, ela comeu uma bala e deu a metade do que restou para o seu irmão mais novo. Comeu outra bala do pacote e deu a metade do que restou para o seu irmão mais velho. Ao final, sobraram 7 balas no pacote. Quantas balas tinha o pacote inicialmente?

Resposta: 31 balas.

Solução:

Restaram 7 balas no pacote e ela deu 7 para o irmão mais velho. Assim, antes de dar as balas para o irmão mais velho, havia 15 balas no pacote, pois ela comeu uma e deu a metade do que restou. Ela deu 15 balas para o irmão mais novo, então antes de distribuir tinha 31 balas, pois comeu uma bala.


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5) Fabio desenhou diversos símbolos iguais e acabou formando uma sequência. Observe as três primeiras figuras desta sequência.


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Quantos símbolos deverão ser desenhados na 5.ª figura dessa sequência? Resposta: 15 símbolos. Solução:

6) A professora de Vicente distribuiu aos alunos diversos quadrados de cartolina azul e vermelha. Ela pediu que eles formassem um novo quadrado de modo que o contorno fosse formado por quadrados azuis e que no centro houvesse um novo quadrado vermelho. Os alunos montaram quadrados diferentes:

Quantos quadrados vermelhos utilizou o aluno que usou 36 quadrados azuis? Resposta: 64 quadrados. Solução:


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64 quadrados vermelhos 7) Raquel trabalha em uma loja que vende bicicletas e triciclos. Ontem ela contou 50 rodas e 23 assentos em exposição. Quantas bicicletas estavam à venda?

Resposta: 19 bicicletas Solução: Raquel contou 50 rodas. Se todas as rodas pertencessem a bicicletas, seriam 25 bicicletas, portanto 25 assentos. Se fossem 22 bicicletas (44 rodas) e 2 triciclos (6 rodas), seriam 24 assentos. Se fossem 19 bicicletas (38 rodas) e 4 triciclos (12 rodas), seriam 23 assentos.

8) ANULADA


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9) Três irmãos usam meios de transporte diferentes para irem ao trabalho. Um deles prefere ir de metrô por ser mais rápido; o outro prefere ônibus, pois a empresa não oferece estacionamento; e o outro vai de carro. Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira: Mauro vai de metrô. Breno não vai de metrô. Saulo não vai de ônibus. Quem vai de carro? Resposta: SAULO Solução: Se a primeira afirmação for verdadeira, Mauro vai de metrô, Breno vai de metrô e Saulo vai de ônibus. Isso não pode acontecer, pois um dos três vai de carro.

Se a segunda afirmação for verdadeira, Mauro não vai de metrô, Breno não vai de metrô e Saulo vai de ônibus. Se Breno não vai de metrô nem de ônibus (o Saulo vai de ônibus), ele tem que ir de carro. Se Breno vai de carro e Saulo de ônibus, Mauro teria que ir de metrô, mas Mauro não vai de metrô!

Se a terceira afirmação for verdadeira, Mauro não vai de metrô, Breno vai de metrô e Saulo não vai de ônibus. Se Breno vai de metrô e Saulo não vai de ônibus, Saulo tem que ir de carro. Assim, Breno vai de metrô, Saulo de carro e Mauro vai de ônibus.

10) Qual é o menor número de três algarismos cuja soma dos algarismos é igual a 25? Resposta: 799 Solução: Existem 6 números cuja soma dos algarismos resulte em 25: 997, 799, 979, 988, 898 e 889. O menor deles é o 799. 11) As imagens abaixo mostram um mesmo cubo em 3 posições diferentes.

Qual das seguintes planificações é uma planificação do cubo acima?


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Resposta: Planificação 3. 12) Na imagem abaixo, símbolos iguais representam algarismos iguais e cada símbolo

representa um algarismo diferente, todos diferentes de zero. Qual o menor valor possível para essa soma?

Resposta: 666


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A ordem das parcelas pode ser trocada, porém os valores das somas serão os mesmos da tabela acima. A soma com o menor resultado aparece na primeira linha. Resposta: 666

3.ª e 4.ª SÉRIES/4.º e 5.º ANOS

Fase 3

1. As imagens abaixo mostram o empilhamento feito com cubos pequenos. São duas vistas diferentes do mesmo empilhamento. Quantos cubos, no mínimo, ainda deverão ser colocados, sem alterar a posição dos demais, para que o empilhamento seja um cubo maior?

Resposta: 39 cubos.


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Para completar um cubo é preciso ter 4 x 4 x 4 = 64 cubos. Na 1ª "camada": 4 x 4 - 2 cubos = 14 cubos; Na 2ª "camada" tem 9 cubos; Na 3ª "camada", 2 cubos Na 4ª nenhum. Logo já tem 14 + 9 + 2 + 0 = 25 cubos e 64 - 25 = 39 cubos. 2) Cristiane vai preparar os doces da festa de 50 anos de casados de seus pais. Ela estima

que irá utilizar 15 latas de leite condensado. Ela tinha apenas 4 latas na despensa, por isso foi ao supermercado e comprou mais algumas. Depois de preparados todos os doces, ela percebeu que usou 3 latas a mais que o estimado inicialmente e que ainda sobraram 2 latas. Quantas latas de leite condensado ela comprou?

Resposta: 16 latas. Cristiane tinha 4 latas de leite condensado antes da compra e ao final, após a compra e a utilização, sobraram 2 latas.

Cristiane utilizou 3 latas a mais que a quantidade estimada. Assim, utilizou 18 latas.


18

Se Cristiane utilizou 18 latas e sobraram 2 ao final, ela tinha 20 latas após a compra.

Se a garota tinha 4 latas inicialmente, ela comprou 16 latas.

Estimativa de Cristiane: 15 latas Latas que foram usadas: 15 + 3 = 18 Latas antes de fazer o doce: 18 + 2 = 20 Latas compradas: 20 - 4 = 16


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3) Helena pintou de vermelho todas as faces de um cubo de 4 cm de aresta. Em seguida, dividiu esse cubo em cubos com 1 cm de aresta. Quantos cubos ficaram com apenas duas faces pintadas?

Resposta: 24 cubos.

Contando as camadas de baixo para cima: Na 1ª camada: 8 cubos Na 2ª camada: 4 cubos Na 3ª camada: 4 cubos Na 4ª camada: 8 cubos Total: 24 cubos Fase 4

1) As imagens abaixo fazem parte de uma sequência de empilhamentos de cubos. Quantos cubos, ao todo, são necessários para a construção das sete primeiras imagens da sequência?

Resposta: 112 cubos.


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Somando as quantidades de cubos utilizadas, temos: 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 = 112 cubos Portanto, para construir as sete primeiras imagens da sequência são necessários 112 cubos.

2) O diagrama abaixo está dividido em 10 partes e cada parte foi dividida em 10 quadradinhos. Em cada quadradinho deverá ser escrito um número de 0 a 9 de modo que não se repitam números em cada linha, em cada coluna ou ainda em cada parte. Que número deverá ser escrito no lugar da letra A?

Resposta: 8

3) Jeferson calculou corretamente o resultado de uma multiplicação e em seguida trocou alguns algarismos por letras, de modo que cada letra representasse um único algarismo. Qual algarismo representa cada letra?


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Resposta: A=2, B=6, C=4, D=3, E=1, F=0, G=8

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