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ÍndiceIntrodução. Desenho teórico-metodológico da investigação.........................................................................1Capitulo I – Fundamentos teórico-metodológicos e Caracterização do processo de Ensino-Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe...............................................................................................................................81.1- O processo de ensino-aprendizagem da matemática.......................................................................81.2- Caracterização do Processo de Ensino-Aprendizagem de Matemática na 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário....................................................................................................................................................121.2.1- A disciplina Matemática em oitava classe no 1º Ciclo do Ensino Secundário....................................................141.2.2- Os Manuais e sua estrutura...............................................................................................................................181.3- O ensino e a aprendizagem da matemática...................................................................................211.4- Diagnóstico da situação actual do ensino e da aprendizagem da equação de primeiro grau na matemática oitava classe.................................................................................................................................................241.4.1- Concepções dos Professores.............................................................................................................................241.4.2- Resultados do diagnóstico aplicado aos alunos.................................................................................................261.4.3- Conclusão retirada do diagnóstico....................................................................................................................27Capítulo II- Proposta metodológica para o ensino do conteúdo vinculado às equações de primeiro grau, baseada na resolução de problemas, em matemática na 8ª classe...........................................................................30

2.1- Fundamentos do emprego da resolução de problemas que conduzem o ensino e a aprendizagem das

equações do 1º grau …..…………………………………………………………………………………………………………………302.1.1- Ensino da matemática baseada em a resolução de problemas.........................................................................322.1.2- Problemas Versus exercícios: diferenças...........................................................................................................482.1.3. Etapas da resolução de problemas, segundo a metodologia de Polya..............................................................522.1.4. Estratégias de resolução de problemas da matemática escolar que conduzem a equações do 1º grau............54

2.2- Formas de organização e conteúdo da experimentação……………………………………………………………………………………55

2.3- Metodologia que sustenta á proposta metodológica………………………………………………………………………………………..56

2.4- Exigência pedagógico-didáctica da proposta metodológica……………………………………………………………………………..572.4.1- Exemplos da aplicação da proposta metodológica............................................................................................63Capitulo III- Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica................................68

3.1- Descrição e análise do questionário - População e Amostra……………………………………………………………………………..68

3.2- Resultado diagnóstico de conhecimento aplicado aos alunos…………………………………………………………………………..70

3.3- Analise dos resultados do inquérito aplicado aos professores..............................................................................71

3.4- Validação da proposta metodológica……………………………………………………………………………………………………………….74Conclusões Gerais.......................................................................................................................................77Recomendações..........................................................................................................................................78Referências bibliográficasAnexos...

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Introdução

No quotidiano escolar, ainda é usual fazer o aluno memorizar o conteúdo e decorar

aquela forma específica de resolver um determinado exercício que poderá servir

para resolver outras tarefas nos anos seguintes. As tarefas propostas em sala de

aula enfatizam um aprender matemática pela matemática. Esta prática tem resultado

em uma aprendizagem insuficiente da matemática que cria a necessidade de buscar

alternativas para melhorar a actual situação do problema.

Uma alternativa que tem sido indicada para melhorar a aprendizagem da

matemática é a utilização da estratégia metodológica da resolução de problemas.

Entretanto, a resolução de problemas como estratégia metodológica não é recente.

Uma das necessidades cada vez mais acentuada na educação básica é a

proximidade que o conhecimento científico deve ter com o conhecimento empírico

dos alunos, e logo transitar aos conhecimentos metodológicos e metacognitivos,

pois assim pode-se firmar algumas perspectivas de aplicações e, dessa forma,

contribuir para o interesse e gosto pela matemática.

Pesquisadores em educação matemática, como D’Ambrósio (2002), Dante (2005),

Onuchic (2007), e, outros, sugerem algumas alternativas para o ensino da

matemática, como: Resolução de Problemas, Investigação Matemática, Modelagem

matemática, Historia da Matemática, Tecnologia da Informação e Comunicação,

Etnomatemática. Todas vêm ao encontro da necessidade de uma educação mais

preocupada com o aluno, buscando meios que favoreçam a aprendizagem do aluno

e desenvolvam sua capacidade de pesquisar, buscar conhecimentos e pensar.

Dentro dessas concepções de educação matemática a actuação do professor

adquire uma nova postura, o de facilitador do processo de ensino-aprendizagem, tal

como apontam os estudos de Vigotsky (1991).

Assim pretende-se apresentar actividades metodológicas práticas, aplicáveis em

sala de aula do Ensino Básico, essas actividades incorporam elementos da

tendência em educação Matemática, cujo tema é: “Aprendizagem da resolução de

problemas que conduzem a equações do 1º grau”.

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Antecedentes

Variados têm sido os esforços dos cientistas e das autoridades vocacionadas à

problemática da educação e especialmente do ensino da matemática, visto constatar

se na actividade diária que os alunos consideram esta disciplina difícil.

De formas a elucidar esta problemática, destaca-se o raciocínio de vários autores ou

investigadores que dedicaram sua atenção na questão da resolução de problemas,

assim como a definição e classificação dos mesmos:

George Polya, em 1945 do livro “A arte de resolver problemas” apontou novos rumos

para o ensino-aprendizagem em Matemática. O autor estabeleceu um conjunto de

fases para a resolução de problemas: compreensão de problemas, elaboração do

plano, execução do plano e verificação, as quais, ainda hoje servem como referência

param a discussão do tema.

Em seu artigo publicado no livro organizado por Krulik e Reys (1997), Polya enfatiza

que o aluno deveria se interessar pela Matemática pelo que ela é em si mesma. E

que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento, o faz de maneira que

“possa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descoberta”.

Outro excelente trabalho que também consideramos como leitura obrigatória para os

professores que pretendem usar esta metodologia nas séries iniciais do ensino

fundamental é o do professor doutor Luiz Roberto Dante.

Dante (2005,p.47), especificamente seu livro Didáctica da Resolução de Problemas

de Matemática, sugere uma forma de trabalhar o ensino numa perspectiva

organizada e didáctica. Dante enumera alguns objectivos:

Fazer o aluno pensar produtivamente;

Desenvolver o raciocínio do aluno;

Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;

Oportunidade aos alunos a aplicação da Matemática;

Tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras;

Equipar os alunos com estratégias para resolver problemas;

Dar uma boa base matemática às pessoas;

Também aponta algumas metodologias:

Mudar o método de ensino;

Trabalhar com a classe toda;

Trabalhar em pequenos grupos;

Ensinar algumas estratégias;

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Domingos, Júlio Tarquino (2009, p.62), Em sua dissertação de mestrado: Resolução

de problemas (uma proposta para o desenvolvimento das habilidades dos

estudantes do 2º ano de matemática do ISCED- Lubango). Que se adequa com a

proposta do autor relativamente a estrutura de resolução de problemas proposta por

Werner Jungk (1999,p.62), e outros.

Pode-se dizer que a resolução de problemas é um método eficaz para desenvolver o

raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da matemática. Na aprendizagem

da matemática, os problemas são fundamentais, pois permitem ao aluno colocar-se

diante de questionamentos e pensar por si próprio, possibilitando o exercício do

raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras.

Uma boa pesquisa e leituras apropriadas podem levar o professor de Matemática a

encontrar situações problemas diversos e que proporcionam aos alunos

compreender o porquê de se estudar um determinado conteúdo. Problemas bem

elaborados propiciam a pesquisa, à reflexão e a aplicação de conceitos matemáticos

aprendidos.

É por meio desse entendimento que o professor poderá fazer da resolução de

problemas uma prática interessante e satisfatória no ensino de Matemática.

Identificação do Problema:

A insatisfação do autor enquanto professor do ensino básico relacionado com o

baixo rendimento na aprendizagem de álgebra (equações) motivou a realização de

um trabalho, cuja finalidade é buscar e entender as origens desse problema e por

conseguinte, propor soluções. Ao analisar o plano curricular (Inide, 2008,p.21)

percebe-se que no 1º ciclo do ensino secundário é a etapa de aprendizagem mais

apropriada para ser examinada, por ser nessa fase da educação básica que se

introduz o estudo da álgebra (equações). Especificamente é na 7ª classe que ocorre

a transição da aritmética para a álgebra; nessa trajectória pode estar a chave da

problemática no 1º ciclo do ensino secundário.

Em constatação enquanto professor da 8ª classe do 1º ciclo do Ensino Secundário

no Namibe e em conversas formais com outros professores e alunos, levou – no a

pensar que existem dificuldades no ensino, na aprendizagem e na metodologia

aplicada para o tratamento do conteúdo matemático relacionado com às equações

do 1º grau. Para podermos identificar tais dificuldades fizemos uma sondagem

preliminar aos professores que leccionam a 7ª e 8ª classe do 1º ciclo do ensino

secundário e alunos em que colhemos as seguintes opiniões:

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a) Professores

A estrutura do conteúdo no manual é pouco clara quanto ao conceito em

estudo, a sua apresentação é pouco atraente o que faz com que os alunos

não gostem de equações, e tenham dificuldades em compreender o que se

ensina na aula.

Na sua maioria não utilizam e outros nunca ouviram falar da metodologia de

resolução de problemas. Apenas aulas de exercícios.

b) Alunos

Relativamente à aprendizagem de equações do 1º grau os alunos são da seguinte

opinião:

Tenho dificuldades em resolver problemas envolvendo as quatro operações

fundamentais;

Tenho dificuldades em isolar a variável;

Acho muito difícil passar um problema na linguagem normal para linguagem

matemática.

Não vejo a utilidade das equações no nosso dia-a-dia.

Das opiniões referidas, pode-se verificar que existem dificuldades, tanto para os

professores como para os alunos, contudo os alunos desta classe têm um domínio

da aritmética (trabalhar com números naturais nas quatro operações fundamentais),

mais apresentam dificuldades em compreender e trabalhar com letras “ variáveis”.

Assim podemos formular o seguinte problema de investigação: Que contribuição à

metodologia do ensino da matemática baseada na resolução de problemas pode

trazer na melhoria da aprendizagem do conteúdo vinculado às equações do 1º grau

na 8ª classe do 1ºciclo do ensino secundário?

Este problema remete algumas questões:

De que natureza são as dificuldades que os alunos e professores enfrentam no

ensino ou na aprendizagem do conteúdo com uma metodologia baseada na

resolução de problemas?

Justificação da investigação:

Esta dissertação visa investigar como a metodologia do ensino da matemática,

baseada na resolução de problemas facilitara a aprendizagem das equações

algebreicas, atingindo um domínio dos conceitos matemáticos, levando os alunos a

uma aprendizagem significativa. Assim, constitui-se um recurso que ajudará na

construção do conhecimento (construtivismo em didáctica).

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Objecto da investigação:

O processo de Ensino-aprendizagem do conteúdo da matemática na 8ª classe.

Objectivo da investigação: Elaborar uma Proposta metodológica para o ensino da matemática, sustentada numa metodologia baseada na resolução de problemas, que possibilite melhorar aprendizagem do conteúdo vinculado às equações de primeiro grau na 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário.

Campo de acção da investigação:

O ensino do conteúdo matemático correspondente à equação de primeiro grau na 8ª classe.

Hipótese:

Uma proposta metodológica para o ensino da equação de primeiro grau, baseada na resolução de problemas, melhora a qualidade da aprendizagem da matemática na oitava classe.

Variável independente:

Proposta metodológica para o ensino de equação de primeiro grau baseado na resolução de problemas matemáticos.

Variável dependente:

O ensino-aprendizagem do conteúdo da equação de primeiro grau em oitava classe.

População:

Será constituída por um universo de 69 alunos do Cefo pescas e 27 professores de várias escolas do Namibe.

Amostra:

A parte representativa seleccionada aleatoriamente será a nossa amostra nomeadamente: 69 Alunos da 8ª classe e 27 professores.

Tarefas da investigação:

Fundamentação das conceições teóricas acerca do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática.

Caracterizar o estado actual do ensino e da aprendizagem da equação de

primeiro grau.

Elaborar a proposta metodológica para o ensino da equação de primeiro grau

baseado na resolução de problemas matemáticos.

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Avaliar a proposta metodológica mediante o critério de espertos.

Métodos de investigação:

Para o desenvolvimento da investigação utilizaram-se, métodos teóricos, empíricos

e estatísticos:

Métodos teóricos

Análise e síntese: Presente em todo trabalho de investigação para o

processamento da informação, elaboração da proposta, as conclusões e

recomendações.

Histórico-Lógico: Para compreender a evolução dos métodos de ensino das

ciências em geral e da matemática em particular (indutivo e dedutivo).

Sistemático-estrutural: Elaborar uma alternativa metodológica para aprendizagem

de equações do 1º grau na 8ª classe através da resolução de problemas.

Métodos empíricos: na fase empírica realizam-se a entrevista, a observação

científica, medição e critério de espertos.

Métodos estatísticos: Análise descritiva (frequências e percentagens) dos

resultados da investigação do Teste e Inquérito aplicado aos alunos e professores

respectivamente;

O método de DELPHI utilizado na validação da proposta metodológica pelos peritos.

O estudo baseou-se na metodologia de pesquisa qualitativa e quantitativa, tomando

como referência principalmente as pesquisa e trabalhos de Polya, Onuchic e Dante.

A pesquisa foi desenvolvida no Centro de Formação Profissional “ Cefopescas das

pescas Hélder Neto”, na cidade do Namibe, no ano lectivo 2012. A experiência do

investigador como professor de matemática da 8ª classe do ensino básico, as

preocupações porque ainda não foram atingidos resultados satisfatórios no processo

de ensino aprendizagem, mais a estimulação oferecida pela introdução da Reforma

Educativa no 1ºciclo do ensino secundário, foram as motivações para a realização

do trabalho.

Novidade científica:

A busca de metodológias que facilitam o processo de aprendizagem de conteúdos

matemáticos é relevante na medida em que visa melhorar a qualidade de ensino e

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aprendizagem. Em particular, a resolução de problemas que conduzem a equações

do 1ºgrau, é uma forma de relacionar a matemática com o dia-a-dia dos alunos, isto,

sem dúvidas favorece a aprendizagem desta temática.

Estrutura do trabalho:

Esta dissertação é composta por uma introdução, três capítulos, conclusões e

recomendações.

Introdução: contendo a relevância, antecedentes, o problema a ser investigado,

justificativa da investigação, objecto de estudo, o objectivo, a população-alvo, as

tarefas e a metodologia.

Capitulo I. Fundamentação teórica e caracterização do processo de Ensino-

Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe do 1º Ciclo do Ensino Secundário.

Neste capítulo faz-se uma abordagem epistemológica dos conceitos matemáticos

relacionados com as Equações do 1º grau e sua história, faz-se uma análise e

caracterização do processo de ensino das Equações com base nos programas do

Ministério da Educação, bem como o fundamento teórico que sustenta a abordagem

do tema.

Capítulo II. Aprresenta-se a proposta Metodológica para o ensino da matemática que

possibilite melhorar aprendizagem do conteúdo vinculado às equações de primeiro

grau na 8ª classe. Apresenta-se neste capítulo a proposta metodológica.

Capitulo III. Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica.

Finalmente, apresentam-se algumas conclusões e recomendações deduzidas dos

resultados obtidos na investigação realizada e recomendações cuja aplicação

contribuirá para minimizar as dificuldades de ensino-aprendizagem deste tema

contribuindo assim, para a elevação da qualidade de ensino.

Além disso, o trabalho tem as referências bibliográficas e os anexos.

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Capitulo I – Fundamentos teórico-metodológicos e Caracterização do processo de Ensino-Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe.

Neste capítulo faz-se uma abordagem epistemológica das categorias da didáctica,

do ensino, da aprendizagem e do processo de ensino-aprendizagem da matemática

segundo uma orientação ou enfoque de lo geral ao particular ate concretiza-lo na

oitava classe do ensino secundário com base nos programas do Ministério da

Educação, bem como o fundamento teórico que sustenta a abordagem do tema.

1.1 -O processo de ensino-aprendizagem da matemática

Em relação à direcção do processo de ensino-aprendizagem se expressa que “(…)

em sua forma estatal institucionalizada, requer de um fundamento teórico, sólido,

integrado dos pontos de vista filosófico, sociológico, psicológico, do desenho

curricular, da didática e da direção científica (…)”1. Isso exige, portanto,

fundamentar teoricamente o objecto de investigação, no quadro destas disciplinas

científicas.

A teoria curricular se ocupa da “(…) planificação e da direção de todo o sistema de

influências educativas que se levam a cabo nas instituições escolar para a formação

e desenvolvimento integral da personalidade dos alunos (…)”2, incluído o sistema de

acções do processo pedagógico formativo, que vai do plano central estatal até o

plano diferenciado do processo de ensino-aprendizagem que desenvolvem as

disciplinas no sala-de-aula. O desenho didático do processo de ensino-

aprendizagem nas disciplinas, unidades e formas de organização é parte do

microdesenho curricular e da direção do mesmo; ambos os realizam o professor.

No processo de ensino-aprendizagem, as teorias pedagógica e psicológica

interactuam estreitamente, por isso se toma partido pelo enfoque psicológico

histórico-cultural, sustentado no materialismo dialético e histórico, cuja essência

reflete que o professor, como educador consciente, incide na formação do futuro

homem, pois facilita a este uma apropriação da herança histórico-cultural e um

resultado educativo, fruto da incidência de todos os agentes educativos (Miranda, T.,

2004). Nesta se tem em conta o resultado histórico para sua incorporação ao ensino,

e o aluno se prepara para resolver os problemas mais freqüentes de sua vida,

apoiado na cultura acumulada pela sociedade e na previsão do que pode ocorrer no

sucessivo, projeção que expressa um elevado conteúdo de essência humanista.

Este enfoque fundamenta a necessidade de um ensino e uma aprendizagem

orientadas para as funções que estão em processo de maturação (nível de

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desenvolvimento próximo), centrando o trabalho nas categorias actividade,

comunicação e socialização, assim como nas condições para o desenvolvimento

integral da personalidade.

Na seleção e articulação sistémica do conteúdo, o factor psicológico fundamenta a

necessidade de ajustar o conteúdo às características psíquicas dos alunos, de modo

que o conhecimento avance da assimilação dos factos empíricos isolados para as

generalizações científicas cada vez mais complexas, completas e profundas. Em

cada nível de assimilação, o conteúdo adquire um tratamento específico. Assim, em

uma primeira etapa da educação escolarizada, se manifesta estreitamente

relacionado com sua expressão concreta, mas no nível secundário adquire um maior

nível de abstração, o qual é necessário ter em conta na estruturação e integração do

conteúdo.

No didático, fundamenta-se uma concepção que concebe os componentes pessoais

(professor-aluno-grupo; o professor é o dirigente do processo, e o aluno, em

interação com o grupo escolar, construtor de seu conhecimento sob a influência do

docente), e os componentes temáticos (objectivo, conteúdo, método, meio, forma de

organização e avaliação), em que se reconhece ao objectivo como o componente

reitor de todo o processo de ensino-aprendizagem.

Se se considerar que o estudo é parte primitiva do conhecimento da realidade

objectiva escolar, então a actividade do professor leva implícito o carácter cognitivo.

Assim, o docente, para preparar as tarefas de estudo, precisa elevar seu nível

teórico-metodológico, já que o ensino, a diferença do conhecimento, tem lugar sob

sua direcção.

Quando o objecto da actividade cognitiva é acessar a novos conhecimentos

científicos dos fenómenos, o objectivo do ensino se cumpre ao prover ao aluno com

conhecimentos científicos suficientes, para que os utilize na vida prática durante sua

relação com o mundo que lhe rodeia, para actuar e transformar a realidade. Mas, se

o objectivo é estudar os fenómenos do mundo exterior, então o aluno tem que

sintetizar estes fenômenos. Para isso, deve lembrar o material estudado, reter os

resultados da tarefa de estudo e dominar os fundamentos da ciência que estão no

conteúdo da disciplina, que são expressão da conquista da experiência histórico-

social.

O conhecimento é produto da percepção cognitiva dos fenómenos da realidade

objectiva pelos sujeitos, expresso em forma de conceitos, princípios, modelos, leis,

teorias e quadro geral do mundo. O aluno deve assimilar a essência do mesmo.

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O domínio do conhecimento é expressivo da actividade cognitiva do aluno, o qual se

obtém mediante a realização de um sistema de operações mentais, dirigidas à

assimilação do conhecimento. Considera-se, por diversos autores, que o processo

de assimilação do conhecimento transcorre por três etapas fundamentais.

Uma primeira etapa, caracterizada pela percepção do material docente, onde a

união da teoria e a prática cria um sistema íntegro de vias para activá-la.

Em uma segunda etapa se desenvolve a compreensão e generalização do

conhecimento. A percepção deve ser comprensível pelo sujeito e correlativa com os

conhecimentos que ele já possui, e conduzida ao sistema geral de conhecimentos.

Assim, a compreensão é o elo central no processo de assimilação, e transcorre junto

à percepção, por isso é obrigado comparar, analisar e generalizar a percepção dada.

Os conceitos surgem como resultado da compreensão e generalização dos

conhecimentos e constituem uma forma de pensamento científico, com cuja ajuda se

sintetizam as características dos objectos e fenómenos. Eles se expressam com

palavras (linguagem). A expressão do conteúdo de um conceito constitui uma

definição.

A identificação nominal dos componentes do processo de ensino-aprendizagem e

dos elementos que caracterizam a cada um deles não encontra uma unidade de

critérios na teoria didática contemporânea. Além disso, o autor toma partido pelo

critério que considera que se trata de um sistema no que interactúan os

componentes pessoais: professor, aluno e grupo de alunos, e os componentes

temáticos: objectivo, conteúdo, método, meio, forma de organização e avaliação.

A unidade dialética entre ensino e aprendizagem se expressa em que o ensino

potencializa a aprendizagem e o desenvolvimento humano através de situações em

que os alunos se apropriem dos recursos que lhes permitam operar com a realidade

e enfrentar o mundo com formas de pensar e actuar, tambem atitudes científicas

conscientes e transformadoras.

Cada componente temático do processo de ensino-aprendizagem tem sua função.

Assim, o objectivo é o elemento orientador; o conteúdo, o objectivizador; o método, o

dinamizador; o meio, o suporte material do método; a avaliação, o regulador, e a

forma de organização, o integrador que sistematiza dinamicamente a inter-relação

entre todos os componentes do dito processo.

O ensinar e o aprender constituem uma unidade dialética; daí que todo o processo

tenha uma estrutura e funcionamento sistémico, no que todos seus componentes

interactuam, aparecendo nele diferentes tipos de inter-relações, o qual implica que

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ao selecionar um destes componentes, como o é o conteúdo, tome em consideração

sua unidade e elos com os restantes, selecionando como eixo central um

subsistema em que se interrelacionam os componentes objectivo-conteudo-método.

O conteúdo de ensino aprendizagem constitui aquela parte da cultura ou conjunto de

valores materiais e espirituais criados, e tambem as experiências sociais

acumuladas pela humanidade no processo da prática histórica, que deve ser

assimilada pelos alunos, em dependência dos objectivos formativos propostos.

Estes elementos acumulados pela humanidade constituem: o Sistema de

conhecimentos sobre a natureza como realidade objectiva e métodos da actividade

cognitiva realizada pelo homem, o sistema de experiências da aplicação dos modos

de actuação, o sistema de experiências da actividade criadora durante a busca de

solução aos problemas que surgem da prática social e o sistema de normas de

relação com a realidade (sistema de educação).

A categoria conteúdo, como componente do processo de ensino aprendizagem,

evoluiu que maneira sistemática e profunda no pensamento pedagógico universal. A

posição tradicional da didática geral, que concebia estreitamente Só os

conhecimentos acumulados da cultura sistematizada da humanidade, atracou a uma

concepção integradora dos conhecimentos, habilidades e hábitos, capacidades,

interesses profissionais, valores, sentimentos, convicções e atitudes, necessários à

nova concepção do mundo objectivo que necessita o homem para seu desempenho

e compreensão social.

Nas obras consultadas, a categoria conteúdo foi abordada por diversos autores,

como Klingberg, L., 1972; Danilov, M.A., 1975; Álvarez do Zayas, C., 1988; Addine,

F., 1998, 2004, e Zilberstein, J., 2002. A maioria dos mesmos reflecte, com

diferentes especificidades, três elementos essenciais que constituem a estrutura do

conteúdo, que são: os conhecimentos, as habilidades e os valores, emoldurados nas

esferas cognitiva, procedimental e axiológica, respectivamente.

Em relação com o anterior, na actualidade se expressa que o conteúdo, como

componente do processo de ensino-aprendizagem, reflecte fundamentalmente a

integração de três sistemas: de conhecimentos (feitos, conceitos, princípios, leis,

teorias e quadro do mundo); de experiências da aplicação dos modos de actuação

(acções, operações, habilidades e hábitos), e de normas de relações com a

realidade, com outros e consigo mesmo, vinculados ao saber conhecer, fazer, ser,

valorar e conviver juntos; sem deixar de atender o sistema de experiências da

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actividade criadora do sujeito (saber criar).

A análise sistémica do conteúdo consiste em enlaçar todos os componentes do

mesmo baixo certos critérios didáticos que se sustentam na necessidade de que os

estudantes se apropriem dos conhecimentos, habilidades e capacidades, para

aplicar os de forma independente e obter novos conhecimentos (reestruturação do

conteúdo), e de conservar, em certa medida, a lógica da ciência sem perder os

aspectos históricos, sobretudo aqueles que vinculam os métodos da ciência a seu

objecto de estudo.

1.2 Caracterização do Processo de Ensino-Aprendizagem de Matemática na 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário.

Reforma Educativa na Republica de Angola

Os grandes objectivos da reforma educativa são a “expansão da rede escolar, a

melhoria da qualidade de ensino, o reforço da eficácia do sistema de educação e a

equidade do sistema de educação” (Inide, 2009).

Em todo o mundo existem reformas educativas. Nas décadas de 80 e 90,

respectivamente no Japão e nos EUA, surgiu um grande debate em torno da

reforma educativa, da sua significação, muitas vezes, de forma errada, confundida

com reforma curricular e inovação curricular.

Fullan (1991), citado por Pacheco (1996), refere que “a natureza da mudança

educacional é explicada por quatro conceitos: mudança, inovação, reforma e

movimento. A inovação é frequentemente utilizada para referir mudanças

curriculares específicas enquanto o termo reforma diz respeito a mudanças

fundamentais e globais” (p. 150).

Esta diferenciação entre inovação e reforma, desde logo, implica assumir que uma

reforma pressupõe alterações ao nível normativo-jurídico dependentes das

dimensões ideológicas, políticas, culturais e sociais, ou seja, uma reforma educativa

implica “uma estratégia planificada para a modificação de certos aspectos do

sistema educativo de um país de acordo com um conjunto de necessidades,

resultados específicos, meios e métodos adequados” (Sack, 1981; González e

Muñoz; 1987;citados por Pacheco, 1996), enquanto inovação deve ser entendida

como “uma série de mecanismos e processos mais ou menos deliberados e

sistemáticos por intermédio dos quais se procura introduzir e proporcionar certas

mudanças nas práticas educativas vigentes” (González e Muñoz, 1987; citado por

Pacheco, 1996). Apesar desta distinção, importa referir que a reforma também pode

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significar inovação, desde que se verifique uma mudança ao nível mais específico

das práticas pedagógicas dos professores, directores de escola e de outros actores

educativos. O conceito de reforma aponta para “as mudanças estruturais,

organizacionais, e o de inovação para a mudança, mais qualitativa, de aspectos

funcionais” (Pacheco, p. 151), contudo, o problema que se coloca no que diz

respeito à inovação curricular prende-se com a escola, isto é, reside em saber se

esta tem recursos materiais, humanos e financeiros para protagonizar decisões

estratégicas que provoquem a mudança, com que concordamos plenamente.

A reforma curricular, como referiu o antigo ministro da educação de Portugal,

Roberto Carneiro (1987,p.239), é o vector principal de qualquer reforma educativa

porque o currículo é o elemento fundamental de um sistema educativo. Esta

convicção, contudo, não deve ser obsessiva, porquanto, uma reforma educativa não

pode esgotar-se na reforma curricular, porque a primeira, como se referiu

anteriormente, tem implicações a várias dimensões. Salvaguardado este aspecto,

importa também referir que uma reforma curricular também tem implicações em

termos de “mudança” e de “inovação”.

Representa mudanças na organização curricular (registe-se no caso de Angola a

nova tipologia organizacional para o ensino primário e secundário), mudanças nos

planos curriculares (reorganização dos planos para, por exemplo, promover a

interdisciplinaridade), programas, materiais pedagógicos e no sistema de avaliação

das aprendizagens, mas, também, inovação ao nível do pensamento dos

professores e das suas práticas, sem descurar aspectos ligados à motivação e à

formação dos mesmos.

Actualmente, no nosso país o processo de ensino-aprendizagem da Matemática em

geral e da Matemática Elementar, em particular, ainda se caracteriza por um modelo

tradicional de ensino, onde o professor é parte activa do processo e o aluno é a

parte passiva. Os alunos tendem a memorizar os conteúdos recebidos, o que não

contribui em nada para o pensamento lógico dos mesmos. Como consequência, a

avaliação também pauta – se por uma “ pedagogia tradicional”, o que contradiz a

prática de uma avaliação construtivista e libertadora que de acordo com Hoffmann

(1997,p.551-570), deverá encaminhar – se a um processo de diálogo cooperativo e

interactivo, através do qual os alunos e os professores aprendem sobre si mesmos

no acto próprio da avaliação. Significa que os professores e os alunos devem ser

encarados como sujeitos do processo de avaliação.

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Os professores de Matemática enfrentam constantemente o problema de alcançar

que os seus alunos construam da melhor maneira possível seus conhecimentos

matemáticos. Muitos problemas que surgem na sala de aula ou fora dela, tendem a

parecer problemas de ensino, são na realidade quase sempre problemas de

aprendizagem.

Essa é a importância de desenvolver um processo de ensino-aprendizagem que seja

significativo, empregando as ferramentas próprias dessa aprendizagem, como por

exemplo a resolução de problemas e que tenha o aluno como o centro da atenção e

que ele tenha uma participação activa no processo.

1.2.1 A disciplina Matemática em oitava classe no 1º Ciclo do Ensino Secundário.

A Matemática, com ciência indispensável na formação e desenvolvimento da

personalidade, proporciona a aquisição de capacidades de raciocínio numérico,

comunicação e resolução de problemas, dotando os alunos com conhecimentos e

capacidades que lhes permitem dar solução aos problemas no dia-a-dia.

Assim, são finalidades do Ensino da Matemática no 1º Ciclo do Ensino Secundário:

Desenvolver a capacidade de raciocínio;

Desenvolver a capacidade de comunicação;

Desenvolver a capacidade de resolução de problemas;

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de

interpretação e intervenção na realidade;

Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de

autonomia progressiva e cooperação.

Breve história da origem das equações do 1ºgrau: Contribuições de um estudo epistemológico.

Os Babilónios e Egípcios cerca de 2300 a.C. trabalhavam com equações que em

sua maior parte eram originárias de problemas de ordem prática.

Eves (2004,p.63): A noção de equação tinha basicamente um carácter pragmático,

que, de forma intuitiva, igualava duas quantidades desconhecidas, com finalidade de

encontrar o valor da quantidade desconhecida.

Na maior parte das vezes, a busca pelas soluções estava relacionada a equações

particulares, para resolver problemas específicos e os métodos utilizados estavam

relacionados a ideias aritméticas sem preocupação se encontrar soluções gerais.

15

Para os Gregos as equações já eram concebidas de maneira diferente dos

babilónios e egípcios, pois não estavam procurando resolver equações que tinham

sido originadas de problemas de ordem prática.

Garbi (1997): A noção de equação contemplava um carácter geométrico e de forma

dedutiva, a resolução repousava em manipulações geométricas.

Percebe-se que mesmo com a mudança de concepção acerca da álgebra nesse

período de aritmética, nos babilónios e egípcios, para geométrica, nos gregos a

busca pelas soluções ainda estavam relacionadas as equações particulares e não a

métodos gerais.

Os Árabes e Hindus trabalhavam tanto com equações originarias de problemas de

ordem pratica, quanto com situações que recaiam em interpretações e manipulações

geométricas.

Puig (1998,p. 109-131): A noção de equação já tinha um carácter mais algébrico,

mais generalista, pois passava de um catálogo de expressões que se sabe resolver

para um catálogo de todas as formas canónicas possíveis.

Percebemos uma preocupação na busca de formas canónicas, como fez al-

Khwarizmi (790-840, sec.IX) ao estabelecer todas as possibilidades para o que

conhecemos por trinómio de grau não superior a dois.

Por outro lado, Khayyam já tinha uma concepção de equação mais relacionada a um

carácter geométrico, interpretando as soluções das equações como intersecção de

curvas geométricas.

Para os Europeus as equações eram vistas dentro de um sistema estrutural com

propriedades e características bastante definidas.

Garbi (2006) e Lintz (1999): A equação é a finalidade de se encontrar soluções

gerais. Após a descoberta das fórmulas gerais para a resolução das equações de

terceiro grau e quarto grau, há uma modificação no rumo das investigações, a nova

questão que norteia as investigações passa para: Será que existe algoritmo para

resolver equações com grau superior a quatro? Nessa nova direcção estrutural, até

que Galois encerra a discussão fornecendo condições de se decidir quando essas

equações são solúveis por radicais.

16

O estudo das equações algébricas contribuiu de forma significativa para o

aparecimento da chamada álgebra moderna (teoria dos grupos, teoria dos corpos,

etc.).

A preocupação com as estruturas e o surgimento de novos ramos da álgebra,

principalmente durante a segunda metade do século XIX. Levaram a ampla

generalização, tanto do conceito de numero, quanto do conceito de Aritmética.

É possível verificar, por este estudo epistemológico-histórico, que durante muitos

séculos o principal objectivo de investigação em Álgebra foi o estudo das equações

algébricas.

Porem, constata-se também com este mesmo estudo que no final do século XIX,

esse objecto de investigação deixou de ser o foco de atenções dos matemáticos,

conforme observam Fiorentini, Miorim e Miguel no trecho abaixo:

(…) O objecto da investigação desse campo matemático ultrapassava o domínio

exclusivo de estudo das equações algébricas e das operações clássicas sobre

quantidades generalizadas, discretas ou contínuas, para centrar-se no estudo das

operações (…) sobre objectos abstractos, (…) sobre as estruturas matemáticas tais

como grupos, anéis, corpos, etc. (Fiorentini, Miorim e Miguel 1993, p.78).

Assim considera-se que houve ao longo da história da álgebra, uma mudança

significativa na natureza do objecto de investigação desse campo de conhecimento

matemático – o estudo das equações perde o foco de atenção dos matemáticos

para o estudo das estruturas matemáticas – podemos dizer que tivemos dois

grandes momentos históricos: antes dessa mudança tínhamos o que é denominado

por Álgebra Clássica ou Elementar e, depois, o que é chamado de Álgebra Moderna

ou Abstracta.

As conclusões que podemos tirar dessas reflexões propiciadas por esse estudo

epistemológico-histórico, a qual contribui fortemente para chegar ao objectivo deste

trabalho são que após ter permanecido como objecto de investigação da Álgebra até

o final do século XIX, o estudo das equações nesse período parecia enfatizar:

Por um lado, os aspectos procedimentos e técnicos, quando da resolução de

equações particulares;

17

Por outro lado, os aspectos estruturais, quando da busca de fórmulas gerais

para resolver toda uma classe de equações.

Neste sentido, emite desse estudo epistemológico-histórico, ao menos três formas

diferentes de conceber equação: uma relacionada a um carácter pragmático, outra a

um carácter geométrico e uma terceira relacionada a aspectos estruturais. O autor

firma-se nas questões investigadas pelos Árabes e Hindus por parecerem dar à

noção de equação, cada vez mais um caracter algébrico. Que assume em seu

trabalho.

Caracterização do tratamento metodológico das Equações no 1º ciclo do ensino secundário.

A disciplina de matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da

formação da jovem geração através de meios específicos da ciência matemática.

Sendo assim, a lei de base do sistema nacional define o sistema educativo como

conjunto de estruturas e modalidades através da qual se realiza a educação

tendente a formação harmoniosa e integral da personalidade com vista a

consideração de uma sociedade progressiva e democrática.

O presente programa está estruturado da seguinte forma:

Parte I – O Programa de Ensino. Estratégias e Metodologias de Ensino.

Nesta parte aborda – se o Plano de Estudo para o 1º ciclo de Ensino Secundário,

as finalidades da Matemática no 1º ciclo do Ensino Secundário e os objectivos

gerais para a 8ª classe; sugestões metodológicas gerais param o ensino da

Matemática; como se avaliam as aprendizagens em Matemática; organização

dos conteúdos de Ensino da Matemática da 8ªclasse.

Parte II – Conteúdos da Matemática para a 8ª classe.

Nesta 2ª parte aborda – se, unidades, subtemas a subtemas:

Os objectivos específicos.

As sugestões metodológicas.

Algumas questões e exercícios a propor aos alunos.

Objectivos de ensino-aprendizagem do conceito de “equação” do 1º grau” na 8ª classe.

Todo o programa deve ter definido as metas a atingir com ele, ela são as suas

justificativas. Do programa de Matemática da 8ªclasse, deduzimos os seguintes

objectivos para o ensino do conceito de Equação do 1º grau:

a) Objectivos Gerais:

18

Desenvolver a capacidade de utilizar a linguagem matemática para comunicar

ideias;

Desenvolver a capacidade de aplicar conhecimentos na resolução de

problemas do quotidiano e de outras disciplinas;

Capacidade de raciocinar e analisar;

Desenvolver o conhecimento e a compreensão de conceitos e métodos;

Desenvolver uma atitude positiva, de modo a promover a autoconfiança na

resolução de problemas matemáticos;

Desenvolver a perseverança e o cuidado na realização das tarefas e

cooperação no trabalho;

Desenvolver capacidades mentais gerais;

Desenvolver capacidade criadora e a imaginação.

b) Objectivos Específicos.

Traduzir um problema por meio de uma equação;

Procurar soluções para uma equação;

Resolver equações do 1º grau com uma incógnita;

Resolver equações literais;

Escrever fórmulas;

Traduzir em linguagem simbólica matemática situações apresentadas em

linguagem corrente;

Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações;

Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de problema.

Depois de descrever os objectivos gerais e específicos definidos pelo

programa da 8ª classe, segundo Jungk (1982) no ensino da Matemática os

objectivos estão enquadrados em três campos, estritamente relacionados:

Campo da Instrução (Saber e poder específicos da Matemática);

Campo do desenvolvimento das capacidades mentais;

Campo da Educação;

1.2.2 Os Manuais e sua estrutura.

O Manual da 7ª Classe.

O manual de Matemática da 7ªclasse da Autora (Maria Julieta Octávio e outros,

2009) está estruturado da seguinte forma: Equações do 1º grau; um pouco de

19

história, monómios; noção de equação; equações equivalentes; resolução de

equações do 1º grau com uma incógnita.

O Manual da 8ª Classe.

O manual de Matemática da 8ª da Autora (Isabel do Nascimento, 2005) está

estruturado da seguinte forma: Equações do 1º grau a uma incógnita; equações

literais; equações do 2º grau; lei do anulamento do produto.

Segundo, Jungk (1982, p.67-69), o manual da classe ocupa uma posição especial

entre toda a bibliografia a disposição do professor e alunos, pois apresenta o

conteúdo completo, estruturado metodologicamente e orientado estreitamente pelo

programa e é dele que o professor toma os valiosos detalhes sobre os distintos

passos no ensino do conteúdo mediante as explicações, os exemplos e reconhece

melhor as exigências do programa.

Verificando o programa e o manual facilmente chega-se a conclusão que os

mesmos não estão em consonância:

O tempo indicado pelo programa não é suficiente para tratar tais conteúdos.

O Manual não precisa o sistema de conhecimentos e habilidades.

O Manual não faz referência ao sistema de tarefas com o propósito de

desenvolver habilidades de trabalho de resolução de problemas que

conduzem a equações do 1º grau.

A proposta de problemas matemáticos nas classes é limitada.

Falta de sistematicidade no trabalho com os problemas dirigidos ao vínculo da

disciplina com o meio social.

Ensino das equações através da resolução de problemas nos manuais didácticos.

Uma boa sequência de ensino deve proporcionar ao aluno a aquisição de um novo

conhecimento, que lhe dê competência para utilizá-lo sempre que estiver diante de

uma situação que solicite tal conhecimento.

A partir dos livros didácticos, pode-se constatar que o primeiro contacto com as

Equações do 1º grau dá-se na 7ª classe do ensino geral, através da noção de

equação, iniciando esse estudo com um pouco de história e resolvendo alguns

exercícios pelo método algébrico. Deste modo veremos como surgem as equações,

como se fossem a tradução simbólica do enunciado de tal problema.

Exemplo: A senhora Júlia Candimba foi ao talho e comprou frangos no valor de Kz

900,00 e carne no para bife por Kz 1500,00, tendo ainda regressando a casa com Kz

1000,00. Para sabermos quanto dinheiro a Senhora Júlia levou ao talho, vamos

20

considerar como x a quantidade de dinheiro que desconhecemos. Esta será a

incógnita. Então teremos: x – kz 900,00 – kz 1500,00 = kz 1000,00.

O valor de x que torna a igualdade verdadeira é kz 3400,00; portanto x = 3400,00 é a

raiz ou solução do problema.

Posteriormente visa sobre tudo esclarecer aspectos de terminologia como

“igualdade,” identidade”, equação”, “incógnita”, “solução ou raiz”, “ grau da equação”,

equações numéricas” e “literal, e “ equações equivalentes”.

O manual da 8ª classe da autora Isabel do Nascimento (2005), quanto ao conteúdo

das equações o livro começa em apresentar um exemplo de um problema com

equação faccionária, que serve para compreender situações da vida real e

interpretando-as (p.29).

Critica aos manuais sobre a apresentação das equações.

Feita a abordagem aos conteúdos que são leccionado nas classes onde é

introduzido e diga-se, onde é desenvolvido o conteúdo, agora far-se-á uma

observação aos dois manuais utilizados nessas classes quanto a forma como é

apresentado o conceito de equação e resolução de problemas que conduzem à

equações, para tal o autor adoptou os seguintes critérios:

I. Que situação é utilizada na apresentação das equações,

II. Se as situações variam nas apresentações,

III. Que modelo é utilizado,

IV. Se os alunos são colocados frente a situações vividas no decorrer da história

para o desenvolvimento desse conceito,

Da observação feita aos manuais da 7ª e 8ª Classes pode-se inferir que:

a) São apresentadas algumas ilustrações, plantação de 31 árvores pelos alunos

do período da manha e 41 pelos alunos da tarde e, pergunta-se quantas

árvores foram plantadas? (Octávio, 2009; 7ª classe – pág. 108), Para a

formação do conceito de equação.

b) Contudo, estas situações são simplesmente ilustrações para mostrar o que se

quer ensinar pois os alunos não participam delas.

c) Não há variação de situação que permite ao aluno dar um significado ao que

está aprendendo, o modelo é estático, ao aluno não é colocada outra

situação-problemas.

d) A proposta (modelo) de problemas matemáticos nas classes (7ª e 8ªclasses)

é limitada.

21

e) Não se faz nenhuma referência à história do surgimento desta importante

área da álgebra (manual da 8ªclasse), o aluno não é colocado frente a uma

situação-problemas vivenciados no dia-a-dia.

f) Em nenhum dos manuais se faz referência à leitura das equações do 1ºgrau o

que dificulta a aquisição de uma linguagem aceitável levando a um

desenvolvimento precário da linguagem e reconhecimento das equações.

Tal como referido na introdução, quando se levantou o problema, deduziu-se a

existência de dificuldade na aprendizagem das equações do 1º grau através da

resolução de problemas no processo de ensino e aprendizagem da Matemática e,

assim, passa-se a abordagem de tais aprendizagens.

1.3 O ensino e a aprendizagem da matemática.

O processo de ensino-aprendizagem se forma e desenvolve a partir da actividade e

a comunicação. É um sistema resultado da interacção de seus componentes

(relação estrurura função). Constitui a via mediatizadora essencial para apropriação

do conteúdo e, mostra a unidade entre o ensino, a aprendizagem, a instrução, a

educação e, o desenvolvimento do aluno.

Ensinar é organizar de forma sistémica, planificada e cientifica a condições

susceptiveis de potenciar o tipo de aprendizagem que possibilitam o processo de

enriquecimento e crescimento multilateral dos recursos pessoais e da personalidade

do educando. Ensinar possibilita e orienta a participação do indivíduo no processo

de apropriação e reconstrução do conhecimento.

Ensino significativo: processo em que o aluno deve transformar o significado logico

(linguagem em que se fala), em significado psicológico (linguagem em que se

aprende).

A aprendizagem é o processo dialectico através do qual, o sujeito se apropria-se

dos conteúdos e as formas da cultura que transmitem-se na interacção com outras

pessoas por meio da comunicação.

Aprender é o processo de participação, colaboração e de interacção na turma, na

comunidade com os outros, no que se combina o papel activo e protagonico da

pessoa e a mediação social, quer dizer que inclui a construção social do

conhecimento.

Aprendizagem significativa: processo de aprendizagem através do qual os novos conhecimentos incorporam-se de forma substantiva na estrutura cognitiva do aluno.

22

Para motivar o estudante deve relacionar os novos conhecimentos com os anteriormente adquiridos e, interessar-se por aprender o conteúdo que se apresenta, supõem-se a significatividade lógica e psicológica do conteúdo.

A teoria da aprendizagem significativa tem uma influência muito grande da educação.

Para Ausubel (1978), esta teoria tem exercido uma enorme influência da educação e

baseia-se num modelo construtivista dos processos cognitivos humanos.

Para Moreira (2001,p.17):” aprendizagem significativa é um processo pela qual uma

informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do

indivíduo”.

Acontece o aprendizado significativo quando uma nova informação é adquirida

mediante um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação nova

com conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva.

(Ausubel et. al., 1978,p.159).

Para Ausubel (1978 aup Moreira, 2001, p.23), “ para haver aprendizagem

significativa precisa haver duas condições: a de o aluno ter disposição de aprender e

o material a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo, ou seja,

psicologicamente e logicamente significativo”.

O interessante da aprendizagem é incorporar preferencialmente coisas importantes

que exerçam influência transcendente sobre a própria conduta, e dizer, coisas que

são capazes de influir significativamente sobre a conduta. (Ontoria, 1995, p.29).

Erros e dificuldades na aprendizagem das Equações:

A Álgebra é considerada por muitos alunos como um ramo da Matemática

particularmente difícil pois, muitas vezes, quando o aluno tem com ela um contacto

formal, já parte de crenças e preconceitos próprios (Pesquita, 2007). Muitas das

dificuldades dos alunos estão relacionadas com o aparecimento de novos símbolos

e com a mudança de significado de alguns símbolos já existentes, como acontece

por exemplo com o símbolo “=”. Em Aritmética o símbolo de “=” realça mais o seu

sentido operacional, ou seja, 5 + 7 = 12. Em Álgebra, x + 5 = 7, não se refere a uma

operação, mas sim a uma condição, o sinal “obriga” a procura de um valor que torne

a expressão verdadeira (Ponte, Branco & Matos, 2009).

23

Por outro lado, as letras são símbolos usados em diversos contextos e com distintas

interpretações. Como referem Davis & Hersh (1995) “reaparecem as letras usuais,

mas num contexto absolutamente novo e surpreendente: no papel de incógnita e

variável”.

Kieran (2007 p.123), tendo por base o trabalho de Kuchemann, descreve seis níveis

de interpretação da letra:

(i) Letra avaliada: é atribuído um valor numérico à letra logo no início, sem qualquer

operação sobre ela, enquanto incógnita;

(ii) Letra não considerada: a letra é ignorada ou a sua existência é reconhecida mas

não lhe é atribuído significado;

(iii) Letra como objecto: a letra é vista como abreviatura para objectos ou como

objectos concretos;

(iv) Letra como incógnita: a letra é entendida como um número específico, mas

desconhecido;

(v) Letra como número generalizado: a letra é entendida como uma representação

de vários números;

(vi) Letra como variável: a letra é entendida como representando um conjunto de

valores desconhecidos e é vista a existência de uma relação sistemática entre dois

conjuntos de valores.

Booth (1988,p.20-32) e Rojano (2002), citado em Ponte (2006,p.195), identificam,

outro tipo de dificuldades sentidas pelos alunos, na passagem da Aritmética para a

Álgebra, entre elas:

(i) Dar sentido a uma expressão algébrica;

(ii) Não ver a letra como representante de um número;

(iii) Atribuir significado concreto às letras;

(iv) Pensar numa variável como representante de um certo número;

(v) Traduzir informação de linguagem natural para linguagem algébrica;

(vi) Compreender as mudanças de significado, da Aritmética para a Álgebra, de

determinados símbolos;

(vii) Simplificação de expressões.

24

Relativamente à resolução de equações, Ponte, Branco e Matos (2009 p. 96)

referem que, as dificuldades “surgem devido aos erros que cometem no trabalho

com expressões algébricas, por não compreenderem o significado destas

expressões ou as condições da sua equivalência” .Com que o autor concorda pelo

simples facto de vivenciar estas dificuldades diariamente na sua actividades docente

educativa.

Muitos autores se têm debruçado no estudo dos erros e das dificuldades dos alunos

na simplificação de expressões algébricas e na resolução de equações do 1º grau.

O conhecimento das dificuldades sentidas pelos alunos permite ao professor actuar

no sentido de proporcionar uma aprendizagem significativa, propondo tarefas que

contribuam para os ajudar a ultrapassá-las.

1.4- Diagnóstico da situação actual do ensino e da aprendizagem da equação de primeiro grau na matemática oitava classe.

Um diagnóstico é uma forma de olhar, seleccionar variáveis, discernir e, finalmente,

formar juízos sobre os factos e pessoas observadas. De um diagnóstico resulta uma

recomendação de acção, que pretende estabelecer algum nível de ajuste em

relação à situação diagnosticada.

A fim de dar maior consistência à investigação e conhecer qual é a situação actual

do problema objecto de estudo, realizou-se um inquérito aos professores que

leccionam a 7ª e 8ª classes e uma prova diagnóstico aos alunos da 8ª classe do

Cefopescas no Namibe.

1.4.1 Concepções dos Professores

Brito (apud Klein, 2006, p. 15) considera que concepção é toda “maneira própria de

cada indivíduo elaborar, interpretar, representar suas ideias e agir de acordo com as

mesmas”. O autor considera ainda que a construção de uma concepção se dá “a

partir das experiências individuais que são influenciadas por uma série de variáveis

do ambiente”.

Para conhecer concepções que as pessoas têm sobre algo ou alguém perpassa

pelo entendimento de que a mesma tem uma natureza essencialmente cognitiva,

associados ao pensar, que actuam como filtro, dando sentido às coisas ou actuando

como um elemento bloqueador para novas situações (Ponte, 2006).

25

O inquérito foi aplicado a 27 professores de Matemática da 7ª e 8ªclasse de várias

escolas situadas na cidade do Namibe, os mesmos têm uma experiência de trabalho

na docência de Matemática que vai de 3 a 26 anos e uma grande parte deles

frequenta o Ensino superior.

O inquérito foi formado por doze (12) questões com questões abertas com espaço

para opinião ou fundamentação da resposta. Tal como mostrado no anexo 1.

Analisadas as opiniões dos professores nos inquéritos, elaboraram-se as seguintes

conclusões:

Aspectos à Melhorar (Negativos):

1- Não existe um guia metodológico que sirva de apoio e orientação dos professores

na preparação das suas aulas, somente a realização de reuniões onde é distribuído

conteúdo a leccionar num determinado intervalo de tempo e que alguns professores

confundem tal reunião com guia metodológico.

2- Falta de preparação metodológica dos professores que se reflecte em não utilizar

meios ou matérias concretos nas aulas de introdução do conceito de equação, na

explicação da necessidade de introdução da resolução de problemas pois limitaram-

se a resolver exercícios com equações.

3- O livro didáctico da 7 e 8ª classe não apresenta claramente os procedimentos/

etapas a seguir para a resolução de problemas que conduzem a equações do 1º

grau, limitando se apenas a exercícios com base em fórmulas e exercícios variados.

4- O modelo de ensino em que o professor debita a matéria ainda é o mais utilizado,

cabendo ao aluno a reprodução do conhecimento e resolução de exercícios como

forma de assimilação do conteúdo

5- Existência de professores que não tem uma formação adequada para o ensino,

pois existem professores vindos da Escolas médias, como: Welwicha Mirabílis,

Agronomia, Pescas e Pólo Universitário como docentes de matemática sem

agregação pedagógica.

Aspectos Positivos

1- O grau de sinceridade com que muitos professores responderam ao inquérito e

deram sugestões muito valiosas permitiu um melhor enquadramento do problema de

investigação.

2- O reconhecimento da existência de dificuldades no ensino da resolução de

problemas que conduzem a equações do 1º grau e de suas aplicações.

26

1.4.2- Resultados do diagnóstico aplicado aos alunos

O diagnóstico (teste) teve como objectivo comprovar os conhecimentos dos alunos

sobre exercícios com equações do 1º grau, bem como resolução de problemas que

conduzem equações do 1º grau, formado por três exercícios e dois problemas

(questões de identificação, realização e de aplicação dos problemas) vide em anexo

2. A avaliação teve, portanto a função diagnóstica, para posterior desenvolvimento

da intervenção.

O diagnóstico (teste) foi aplicado em 69 alunos do Cefopescas “Helder Neto” no

Namibe em quatro turmas, nos cursos de Biologia Marinha, Mecânica Diesel,

Mecânica de Frio e Electricidade, numa amostra aleatória seleccionada por sorteio

onde o critério foi o período da manhã.

a) A questão relacionada com os exercícios de aplicação os alunos tiveram

maior desempenho, com um aproveitamento de 92,75% de acertos, 4,35% de

errados e 2,90% sem resposta, como ilustra o gráfico abaixo.

Gráfico 1: Nível de desempenho dos alunos na questão dos exercícios

8ªA 8ªB 8ªC 8ªD

Acertos 17 11 14 24

Erros 1 0 0 2

S/Resposta 0 0 0 0

2.5

7.5

12.5

17.5

22.5

27.5

Grafico 1: Nivel de desempenho dos alunos por turmas na questão dos exercicios

Nº

de A

luno

s

Fonte: Elaborado pelo autor

b) Relativamente a 2ª questão as situações-problema onde os alunos

encontraram maior dificuldade com um aproveitamento de 14,49% de acertos,

82,61% de erros e 2,9% sem resposta. O que mostra que os alunos têm

dificuldades de reconhecer um problema de um exercício, como ilustra o

gráfico abaixo.

Gráfico 2: Nível de desempenho dos Alunos na resolução de problemas

27

8ªA 8ªB 8ªC 8ªD

Acertos 6 1 0 3

Erros 10 10 14 23

S/Resposta 2 0 0 0

Series4 NaN NaN NaN NaN

2.5

7.5

12.5

17.5

22.5

Gráfico 2: Nivel de desempenho dos alunos por turmas na resolução de problemas

Axis Title

Elaborado pelo autor

1.4.3- Conclusão retirada do diagnóstico

Entre as dificuldades apresentadas pelos alunos concluímos que:

O aluno não compreende o que lê e se limita a juntar os dados numéricos do

enunciado;

O aluno compreende o enunciado como um todo, mas não observa alguns

detalhes importantes para a solução do problema;

O aluno não domina o conteúdo necessário para a resolução do problema.

Conclui-se, de maneira geral, que os alunos compreenderam que, para o

desenvolvimento de qualquer conteúdo matemático que vise obter resultados

satisfatórios, se faz necessário organização e motivação à tal fim, o que nem

sempre é fácil diante das dificuldades enfrentadas no processo

ensino/aprendizagem.

Estas conclusões evidenciam a necessidade de uma reflexão sobre o tratamento

destas questões na formação contínua, a fim de possibilitar aos professores do 1º

ciclo do ensino secundário um melhor entendimento acerca da resolução de

problemas como metodologia e como competência matemática a desenvolver na

sala de aula e das implicações que daí resultam para a aprendizagem de

matemática.

28

Conclusões do Capítulo I

Depois de uma abordagem exaustiva dos diferentes aspectos tratadas

anteriormente, pode – se concluir o seguinte:

1. Equações do 1º grau é um conteúdo temático da Matemática que envolve

conceitos base desta disciplina e também cálculos e, tem sido um dos conteúdos

com maior dificuldade de aprendizagem por parte dos alunos do 1º ciclo do ensino

secundário.

2. Para uma mudança do modelo tradicional de ensino considera-se neste trabalho;

um modelo baseado na teoria do enfoque histórico-cultural de Vygotsky e seus

seguidores J. Piaget, Ausubel com a teoria da aprendizagem significativa e outros,

onde o professor é o facilitador do processo, propiciando que os alunos sejam

participantes activos na construção dos seus conhecimentos.

3.Não obstante a reforma em curso, ainda é notório que o professor é parte activa

do processo e o aluno parte passiva na qual o autor discorda plenamente.

4. Os diferentes estudos reivindicam a necessidade de metodologia de trabalho mais

activas e participativas entre professores e alunos para passar de uma

aprendizagem mecânica para uma aprendizagem significativa do conceito de

equação do 1º grau.

5.Da análise feita quanto ao pensamento de vários autores descritos, nota-se que

existe uma grande diferença entre os conceitos de Exercícios e Problemas. No

problema a solução não está disponível de início, mas é possível construí-la, ao

passo que exercício é uma actividade de treinamento.

6.Das formas de classificação dos exercícios Matemáticos espelhados no trabalho,

notamos que cada um deles abarca um campo diferente e diferentes critérios de

utilização, mais, o mas importante não é a classificação senão a utilização que lhes

pode dar.

7. O diagnóstico de conhecimento aos alunos prova que os mesmos têm

dificuldades em trabalhar na resolução de problemas que envolvem equações do 1º

grau, como mostram os resultados em relação aos problemas com texto, 14,49%

certas, 2,9% sem resposta e 82,61% erradas.

29

8. A bibliografia aponta para um ensino orientado para a aprendizagem baseada na

resolução de problemas como metodologia eficiente para a solução de problemas de

aprendizagem por colocar o aluno no contexto da ciência e de forma activa na

construção do conhecimento.

30

Capítulo II. Proposta metodológica para o ensino do conteúdo vinculado às equações de primeiro grau, baseada na resolução de problemas, em matemática na 8ª classe.

Conhecido o problema de Investigação e o objectivo do mesmo, corresponde agora dar solução ao mesmo. Portanto, neste capítulo consideram-se as referências do modelo, as exigências metodológicas do modelo, o modelo teórico que contribui para o desenvolvimento do pensamento lógico dos alunos na resolução de problemas envolvendo Equações do 1º Grau na 8ª classe do 1º ciclo do Ensino Secundário. Também considera-se as premissas e requisitos para aplicar a proposta metodológica.

2.1. Fundamentos do emprego da resolução de problemas que conduzem o ensino e a aprendizagem das equações do 1º grau.

Fundamentos psicopedagógicos:

Sabemos que a Psicopedagogia reflete sobre a inadequação pedagógica e familiar e

também na postura crítica ao fracasso escolar, como novas alternativas de acção

voltadas para a melhoria da prática pedagógica da escola.

Castro e Carvalho (1992): do ponto de vista construtivista, todo indivíduo possui um

sistema cognitivo que funciona por processo de adaptação que é perturbado por

conflitos entre duas s ideias (a do estudante e a cientifica) ou por lacunas (que se

caracteriza como ausência de teoria sobre um assunto apresentado) e cujo equilíbrio

se dá através de alguma aprendizagem ou construção de um novo saber. O

processo de desencadeamento de mudanças utiliza a teoria do equilíbrio de Piaget

(1982,p.389), considerando que o processo de mudança conceptual não seja uma

função exclusiva dos aspectos cognitivos, mas que os factores motivacionais sejam

levados em consideração.

Pintrich el al. (1993, p.167) considera que modelos cognitivos são relevantes e úteis

para conceptualizar a aprendizagem dos alunos, mas sua crença em um modelo

académico de ensino frio e puramente cognitivo pode não ser adequado para

descrever o ensino no contexto de sala de aula.

Ausubel (1978): uma condição básica para enfrenta com êxito os verdadeiros

problemas pode ser o exercício da criatividade, capacidade que é a expressão

suprema da resolução de problemas, e que implica ideias novas e originais.

31

Agudo (2000): a aprendizagem cooperativa sendo uma estratégia de ensino

baseada na interacção social, e que consiste na estruturação dos objectivos de

modo a que a organização da aula crie pautas de socialização positivas face as

pautas clássicas do tipo comparativo, apresenta-se como uma alternativa eficaz ao

ensino tradicional baseado fundamentalmente em formas de aprendizagens

individuais e/ou competitivas. Assim, a aprendizagem cooperativa pode facilitar e até

deve estar relacionada com a aprendizagem baseada na resolução de problemas. A

aprendizagem cooperativa assenta no conceito de Zona de Desenvolvimento

Proximal (ZDP) que Vygotsky define como a distância entre o nível de

desenvolvimento actual tal como é determinado pela situação independente dos

problemas e, o nível de desenvolvimento potencial tal como está determinado pela

solução de problemas com ajuda de um adulto ou em colaboração com colegas

maia capacitados.

São várias as teorias que fundamentam o processo de ensino-aprendizagem de

matemática através da resolução de problemas, mais este trabalho o autor assume

o enfoque histórico-cultural de Vygotsky (2003, p.), pelo facto de sua teoria ter raízes

na teoria marxista do materialismo dialéctico, ou seja que as mudanças históricas na

sociedade e a vida material produzem mudanças na natureza humana. A resolução

de problemas no ensino da matemática pode ser considerada um tema complexo,

devidas as suas múltiplas interpretações. A hipótese de que a resolução de

problemas como ponto de partida para o ensino da matemática é considerada pelos

professores como uma prática inovadora, foi confirmada pelos indícios que

conseguimos perceber nas relações dialogadas. Ficou evidente a necessidade de

um espaço para a produção de significados pelos professores e da relevância dessa

produção para que eles não sejam simples aplicadores de conhecimentos

produzidos por outros.

Provavelmente, muitas das dificuldades que os alunos encontram na aprendizagem

das equações seja resultado de um ensino que prioriza regra e técnicas,

procedimentos sem significação, limitando sua capacidade de compreender os

conceitos que permitem o domínio do conhecimento. Para Lins e Gimenes (1997)

um projecto de educação algébrica deve compreender dois objectivos centrais:

permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados para a álgebra;

permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente.”

32

2.1.1. Ensino da matemática baseada em a resolução de problemas.

O desenvolvimento do pensamento dos alunos se tratou de reduzir ao ensino de

técnicas para pensar, o que deu lugar a programas diversos dirigidos para as

operações cognitivas, a orientação heurística, o pensamento formal, a manipulação

simbólica ou a metacognição. Entretanto, os estudos científicos indicam que sua

pouca efetividade esteve motivada pelo fato de que tais destrezas de pensamento

se trataram de ensinar à margem da personalidade dos indivíduos, o que abre a

provocação à investigação psicológica, sociológica e pedagógica de estudar o

pensamento dentro de uma concepção integral do homem (Mitjans, 1997).

Em particular, o desenvolvimento do pensamento científico foi um objectivo

relevante de todos os sistemas educativos, que esteve influenciado também pelas

concepções epistemológicas a respeito das disciplinas. Nos últimos tempos em que

se fala de uma sociedade do conhecimento e da necessidade de um homem culto,

que possa incorporar-se ao debate das políticas científicas e tecnológicas, emerge

como maior força a necessidade de habituar aos alunos a analisar e demarcar

situações, formular-se perguntas e problemas, expor-se e argumentar hipótese,

reconhecer patrões, desenhar estratégias de solução, e valorar seus resultados e

implicações, em uma comunidade de trabalho que supere os limites das disciplinas

particulares.

A resolução de problemas foi centro de boa parte das investigações psico-

pedagógicas. Entretanto, na escola se trabalha fundamentalmente com uma

acepção do conceito problema, que o reduz a exercícios de aplicação e com texto, e

seu ensino, à instrução heurística dos alunos. Nos consideramos a resolução de

problemas em seu sentido amplo, como algo que transcende à totalidade das aulas

Seria interminável mencionar neste breve espaço as idéias que têm feito evoluir as

concepções sobre a aprendizagem e a resolução de problemas. Algumas das mais

essenciais sao:

A concepção de uma ciência consciente de sua função social, na qual

interessa a eficácia de seus métodos para o desenvolvimento de novas

tecnologias.

A compreensão do papel da activação e a regulação das aprendizagens, de

revelar seu significatividade na ordem conceptual, experiencial e afectivo,

assim como de atender aos aspectos afectivos que incidem sobre eles.

33

O entendimento da necessidade de dirigir o processo docente-educativo

centrado no aluno, valorando o desenvolvimento alcançado por ele e suas

potencialidades, assim como o papel da socialização e a comunicação na

assimilação dos conteúdos e o desenvolvimento de sua independência

cognoscitiva.

No âmbito do ensino-aprendizagem das ciências existem muitas concepções em

relação com o conceito problema. Neste contexto nos interessa destacar que tem

três significados implícitos: o de colocar a alcançar, o de obstáculo ou conflito a

superar e o de ter sentido, para a pessoa que o enfrenta. Tanto a situação inicial e a

meta podem ser precisas ou imprecisas e a situação final pode ser conhecida ou

desconhecida, o qual dá capacidade também a incluir os chamados problemas

abertos. Pelo resto, é importante esclarecer que concebemos a própria actividade de

formular e expor um problema como actividade de resolução de problemas.

Entretanto, todos conhecemos que nas salas-de-aula não se trabalha geralmente

com verdadeiros problemas, e sim com o chamado escolar, “cujo objectivo

fundamental é a fixação de conteúdos de uma disciplina dada, são tipificados, em

maior ou menor medida, e para cuja solução se desenvolvem procedimentos mais

ou menos rotineiros”. Esta situação provém da falta de compreensão de que

adquirimos conhecimentos para resolver novos problemas e resolvemos problemas

para adquirir novos conhecimentos.

Por outra parte, o conceito resolução de problemas foi e é manipulado, tanto no

plano da investigação como no da prática escolar, com um sinnúmero de

significados diferentes – como um complexo de matéria ao final de uma unidade,

como um meio para obter um fim, como uma habilidade, ou como uma situação

típica”, quer dizer, como uma situação que se pode estruturar do ponto de vista

metodológico de forma análoga em cada ocasião que se presente nas aulas ou

partes destas.

Hoje a resolução de problemas se considera uma competência cuja especificidade

depende do domínio das ciências onde desenvolve-se e cuja análise não se pode

fazer à margem da personalidade dos alunos. Para que os alunos aprendam a

resolver problemas parecem ser importantes os recursos cognitivos e as estratégias

de pensamento com que contam, o conhecimento que têm de seus próprios

processos de pensamento e a regulação de este durante a resolução de um

problema, suas crenças sobre a ciência e sua aprendizagem, os aspectos afetivos

34

que incidem em seu desempenho em uma área dada e a qualidade das interações

que desenvolvem-se na comunidade onde realizam suas aprendizagens.

(Schoenfeld, 1992; Llivina, 1999).

No que segue consideraremos que a idéia ou princípio mais importante que subjaze

ao pensamento científico e à resolução de problemas é o da problematização, que

faz ênfase no processo de resolução de problemas, e não só no produto, com o qual

não nega-se a importância de adquirir conhecimentos e habilidades específicos.

Deste modo valoramos que o essencial radica em organizar a atividade e a

comunicação no sala-de-aula, de modo de propiciar a reflexão dos alunos, e

favorecer a compreensão conceptual, a elaboração de procedimentos por eles

mesmos e a análise de quais métodos são adequados, obtendo que isto aconteça

em todas as aulas e não em algumas ou partes delas. (Hiebert e outros, 1996).

Os modelos que apontam para as estratégias gerais que devem ficar em prática

para resolver um problema dado (Polya, Schoenfeld, Guzmán, Friedman, Bell,

Campistrous e Cacho, Sifredo, Pinheiro, entre outros), foram objecto de

aprendizagem durante os processos de formação inicial ou permanente em nosso

país. Logo, as maiores dificuldades radicam, mais que em tratamento metodológico

que lhe pode dar a um problema dado (geralmente em sentido estreito), na

estruturação da resolução de problemas com o passar do currículo.

Entendemos que segue tendo validez o expresso no quadro do cognitivismo em

relação com a percepção global dos objetivos através dos tipos de problemas ou

tarefas típicas que dão sentido aos conhecimentos e habilidades específicas que se

estudam (Hernández, 1993). Ou seja, compartilhamos que é necessário revelar aos

alunos do início quais tipos de problemas novos vão se resolver ou quais tipos de

problemas velhos vão se abordar agora com novos recursos (Rebollar, 1999;

González, 2002). Os problemas devem dar sentido também às estratégias gerais de

pensamento e aos procedimentos lógicos e heurísticos, que os alunos devem pôr

em marcha.

Em consequência, somos do critério de que ao planificar os sistemas de aulas

devem determinar tipos de tarefas que permitem o lucro dos objectivos da disciplina

e do grau. Em sua selecção deve atender-se tanto às idéias e estratégias de

pensamento que podem contribuir a desenvolver, como a significatividade das

mesmas para os alunos, o que implica que sejam acessíveis e tenham relação com

o mundo experiencial e afetivo dos alunos. É por isso que os docentes devem

35

conhecer não só o que sabem seus alunos, mas também como raciocinam, como

regulam sua actividade, quais são seus estilos de aprendizagem e de motivação,

quais suas aspirações, expectativas e atribuições, qual é seu entorno, entre outros

elementos. No possível deve tratar-se de que as tarefas, sejam problemas tenham

mais de uma via de solução e sejam geralizaveis.

A actividade reflexiva e a problematização nas aulas dependerão mais do clima que

se consiga criar nestas, que da natureza das tarefas. Por isso é importante que o

docente tenha em conta ao planificar, desenvolver e avaliar suas aulas que:

as tarefas se adequem às condições prévias e possibilidades dos diferentes

alunos, assim como do contexto,

os alunos não conheçam de antemão os recursos que devem utilizar,

se de margem a formular perguntas e a que os alunos tenham tempo para

reflectir,

os impulsos que se proporcionem permitam a atividade reflexiva, a

compreensão conceptual e que se elaborem procedimentos próprios,

se repense, generalizem ou elaborem novas tarefas a partir da dada,

exija-se que os alunos expliquem suas idéias uns aos outros, a pequenos

grupos ou à totalidade do sala-de-aula, de forma completa e não com

monossílabos.

trabalhe-se com os enganos para indagar suas causas, não se despreze o

que dizem os alunos e se propicie a avaliação individual e coletiva.

faça-se uma análise do ganho metodológico das tarefas, atendendo tanto

aos conhecimentos, habilidades particulars, modos e estratégias gerais de

pensamento que podem ser transferidos a outras similares.

A prática geral foi utilizar variadas estratégias de raciocínio para resolver problemas

de um domínio dado, muitas vezes a modo de receitas, como bem assinalam

Campistrous e Cacho, (Campistrous e Cacho, 1999), mas menos a de ver como

essas estratégias funcionam em diversos domínios. Em geral, comprovou-se que

existem muitas dificuldades na transferência destas estratégias de resolução de

problemas de um domínio a outro.

O conhecimento dos alunos sobre si mesmos, sobre seus conhecimentos em um ou

vários domínios e sobre sua execução neles, se conhece como metacognicao.

Comprovou-se que na medida que estes adquiram uma maior compreensão

conceptual e sejam mais eficientes, estarão mais capacitados para regular seus

36

próprios processos de resolução, e que a condução do docente e a organização e

comunicação na aula são decisivas neste sentido.

Mas as crenças que têm os docentes sobre as ciências, seu ensino e aprendizagem,

seu papel como docentes, o de alunos particulares e o de tipo de alunos são

também muito importantes. (Schoenfeld, 1998). Algumas das crenças mais

generalizadas a respeito da possibilidade de que os alunos aprendam a resolver

problemas e se possam problematizar as classes são as seguintes:

"Meus alunos estiveram muito motivados com a introdução do tema, mas

assim que tratei de lhes ensinar o procedimento, voltaram para as mesmas

atitudes de sempre".

"Não sei até onde posso promover a atividade reflexiva e até onde tenho que

exercitar, pois se meus alunos não dominam os procedimentos, não obtenho

resultados."

Nestas colocações se aprecia que os procedimentos não se tratam no sala-de-aula

a partir da compreensão conceptual dos alunos. Neste sentido é preciso ter em

conta que em muitas ocasiões não existe correspondência entre as crenças e as

práticas dos docentes (Thompson, 1994), o que é índice de que não existe uma

relação linear entre umas e outras. Só quando se conseguirem modificar estas

crenças, poderão-se variar os objetivos particulares que o próprio docente se situe

ao curto, médio e comprido agrado com seu ensino.

Neste ponto nos parece importante advertir algumas das principais barreiras que se

opõem a que nas aulas prepondere a atividade reflexiva e de fazer sentido:

A existência de um pensamento docente espontâneo apoiado em concepções

de sentido comum (Gil, 1994), ou com outras palavras, crenças docentes

enraízadas na cultura e a tradição, que determinam as decisões que se

tomam em um momento dado (Schoenfeld, 1998).

O fato de que os programas orientem a respeito das tarefas que devem poder

realizar os alunos com determinados conhecimentos e habilidades

específicas, mas não sobre as instrumentações intelectuais e destrezas de

pensamento que devem desenvolver.

A exigência do sistema educativo de que os alunos tenham assimilado certos

conhecimentos e habilidades em um período de tempo dado, o qual é sujeito

a medições sistemáticas para valorar a qualidade com que se desenvolve o

37

processo docente - educativo na instituição escolar, o qual não ajuda ao

docente a atuar com maior liberdade e criatividade.

A circunstância de que o estado actual de arte não reporta ainda resultados

em determinadas áreas vinculadas ao desenvolvimento do pensamento e a

resolução de problemas.

A solidão em que se encontram às vezes certas disciplinas no esforço por

desenvolver o pensamento dos alunos e a falta de um trabalho metodológico

coeso de todas as disciplinas.

Como se aprecia, são muitos os fatores que incidem na direção da aprendizagem da

resolução de problemas. Evidentemente não grosseiras assegurar o domínio de

determinados recursos e heurísticas. Por isso pensamos que na capacitação dos

docentes devessem existir espaços para:

Debater as crenças errôneas de docentes e alunos.

Intercambiar a respeito de como se pode ter uma aproximação à estrutura

cognitiva dos alunos, seu pensamento, seus processos metacognitivos e os

aspectos afetivos que incidem em sua aprendizagem.

Preparar unidades de ensino, fazendo ênfase na determinação das aulas de

tarefas ou problemas que dão sentido a um conceito, relação ou

procedimento dado e que contextualizam os objetivos no nível e o grau,

valorando o proceder metodológico a seguir e seus resultados, assim como

as relações que se podem estabelecer entre diversas disciplinas.

Discutir os resultados do trabalho científico- metodológico dos docentes em

relação com a resolução de problemas.

É necessário que os resultados inquiridores que se foram obtendo durante as

últimas décadas em relação com a resolução de problemas entrem nas salas-de-

aula através de seu "redescobrimento" e socialização pelos docentes, mediante um

sistema de capacitação que tenha um enfoque sistêmico, tanto por seus objetivos

como pelas formas que adote.

Alternativa de ensino na educação matemática.

O ensino da Matemática precisa estar interligado com as demais áreas do

conhecimento e com situações práticas do quotidiano, afinal ensinar matemática

sem explicitar a origem e as finalidades dos conceitos não contribui para a formação

integral do aluno. O professor necessita proporcionar um ambiente motivador de tal

38

modo que todos os alunos se sintam seguros e capazes de solucionar os desafios

propostos.

Para melhor viabilizar o ensino da matemática é trabalhar de forma lúdica, dinâmica,

sistémica e produtiva, de modo que o ensino se torne prazeroso e não maçante.

Nessa perspectiva, tem-se fomentado algumas considerações a respeito de diversas

possibilidades metodológicas, cabendo ao professor empregar a que julgar mais

conveniente em seu trabalho. A seguir, uma breve conceptualização a respeito de

algumas alternativas no ensino da matemática.

Etnomatemática: A Etnomatemática consiste em fazer com que a

matemática seja mais próxima do contexto sócio-histórico e cultural do

aluno. Ela procura aproximar os conteúdos trabalhados na escola com

os conceitos matemáticos informais construídos a partir da realidade

dos educandos. A prática vivenciada pelos estudantes faz com que ele

identifique a acção, determine a teoria e organize os resultados e

pensamentos sobre como solucionar as situações-problema propostas.

A Etnomatemática vem sendo muito difundida. Ubiratan D’Ambrósio afirma:

“A matemática é uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua

história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade

sensível e perceptível, e com o seu mundo imaginário, naturalmente dentro de um

contexto natural e cultural.” (D'Ambrósio 1996, p. 7).

Ainda de acordo com D’ Ambrósio (2002, p.35-41), a Etnomatemática procura

entender e explicar as diversas maneiras em que o conhecimento matemático é

contextualizado no meio social, nas diferentes culturas ao longo da história da

humanidade. Dessa forma, a Etnomatemática tem a finalidade de ensinar

Matemática partindo de problemas provenientes do meio cultural onde os educandos

estão inseridos, e ainda a relação entre aluno e professor deveria estar

fundamentada nas trocas de conhecimento entre eles.

Assim, o ensino da matemática deve estar pautado em uma visão mais ampla,

valorizando os aspectos sociais e culturais, contribuindo para mudanças no ensino e

aprendizagem, percebendo que essa ciência está presente nas actividades próprias

39

do ser humano como algo natural, podendo conhecer melhor a cultura e abordar o

conhecimento matemático de forma mais concreto e humanizado.

Modelagem Matemática: A Modelagem Matemática é entendida como

a aplicação da matemática em outras áreas do conhecimento. Através

da modelagem, problemas reais são transformados em uma linguagem

matemática.

Segundo Bassanezi (2002, p. 56), “a modelagem consiste essencialmente na arte de

transformar problemas da realidade e resolvê-los, interpretando suas soluções na

linguagem do mundo real”. A modelagem se torna interessante para que as pessoas

possam actuar e agir no espaço em que vivem, respeitando e valorizando a cultura

local.

Ainda de acordo com Bassanezi, “a utilização da Modelagem como uma estratégia

de aprendizagem, além de tornar um curso de matemática atraente e agradável,

pode levar o aluno a: desenvolver um espírito de investigação, utilizar a matemática

como ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e áreas, entender

e interpretar aplicações de conceitos matemáticos e suas diversas facetas,

relacionar sua realidade sócio-cultural com o conhecimento escolar e, por tudo

preparar os estudantes para a vida real, como cidadãos actuantes na sociedade.”

(Bassanezi (2002, p.38).

O trabalho com a Modelagem Matemática provém de temas propostos pelo grupo,

logo, o ensino de Matemática torna-se dinâmico e significativo, uma vez que parte

do conhecimento que o aluno possui sobre o assunto. Dessa forma, atribui maior

significado ao contexto, permitindo o estabelecimento de relações matemáticas, a

compreensão e o significado dessas relações. Nessa perspectiva, o professor se

constitui como mediador entre o conhecimento matemático elaborado e o

conhecimento do aluno.

Resolução de Problemas: A resolução de situações-problema é um

método que auxilia na construção de conceitos, procedimentos e

atitudes relacionadas com a matemática. Ela sempre oferece algum

tipo de dificuldade que entusiasma a busca de soluções, o que resulta

na produção de conhecimento.

De acordo com Dante, “Situações-problema são problemas de aplicação que

retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem

40

resolvidos... Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-

se matematizar uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando

gráficos, fazendo operações, etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e

levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projectos a serem

desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de outras áreas que não a

Matemática, desde que a resposta se relacione a algo que desperte interesse.”

(Dante, 2003, p. 20).

Quando se ensina através da resolução de problemas, os educandos aprendem a

determinar respostas às questões diversas, sejam elas questões escolares ou da

vida quotidiana. Ao resolvermos uma situação-problema, antes de utilizarmos os

conceitos matemáticos, devemos interpretar e entender, portanto, pode-se dizer que

a dificuldade em resolver situações-problemas não é uma dificuldade da disciplina

de matemática, e sim uma dificuldade interdisciplinar.

São vários os factores que levam um aluno a ter dificuldade em interpretar textos ou

problemas, o principal deles é a falta do hábito da leitura, portanto, deve-se

incentivar a leitura e utilizar-se dela abundantemente para atingir resultados

satisfatórios na resolução de situações-problemas.

Um problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo

as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a

tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível,

poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na

mente e no carácter”. (Polya, 1986).

Jogos Matemáticos: O jogo desempenha um papel importante no

ensino da Matemática. Através do jogo, temos a possibilidade de

adicionar o lúdico na escola, não só como recreação e passatempo,

mas como um recurso didáctico capaz de permitir o desenvolvimento

da criatividade. Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico e

estimular o pensamento independente, desta forma, o jogo pode ser

uma opção para acrescer a motivação para a aprendizagem, ampliar a

autoconfiança, a organização, a concentração, a atenção e o raciocínio

lógico-dedutivo.

Segundo Smole, “Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho

e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o

41

caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos

envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os

alunos sintam-se chamados a participar das actividades com interesse.” (Smole,

2007, p. 10).

Nessa perspectiva, Grando afirma que “A inserção do jogo no contexto de ensino de

Matemática representa uma actividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do

jogador pela própria acção do jogo, e mais, envolve a competição e o desafio que

motivam o jogador a conhecer seus limites e suas possibilidades de superação de

tais limites, na busca da vitória, adquirindo confiança e coragem para se arriscar”.

(Grando, 2000 p. 32)

Os jogos são recursos com os quais os educandos podem produzir e compreender

conceitos matemáticos, além de criar estratégias para atingir seu objectivo. Assim,

com a mediação é possível a elaboração e o apropriamento de conceitos explorados

no decorrer do jogo.

História da Matemática: A história da matemática auxilia os alunos a

entender essa área do conhecimento em seu processo de evolução.

Contribui igualmente, para desmistificar a ideia de que a matemática é

uma ciência pronta e acabada. Apresentar a matemática construída

por diferentes povos, em diferentes épocas, ajuda os alunos a

entenderem os conceitos, procedimentos e sistemas matemáticos.

É importante perceber a história da Matemática no contexto da prática escolar como

componente necessário, para que os educandos compreendam a origem da

Matemática e sua importância na vida da humanidade. A história da Matemática

pode ser um elemento orientador na planificação de actividades, na elaboração das

situações-problema, na melhor compreensão dos conceitos matemáticos. Dessa

forma possibilita ao aluno analisar e discutir determinados fatos, raciocínios e

procedimentos.

Investigação Matemática: A utilização de Investigação Matemática

como alternativa de ensino em sala de aula auxilia na aprendizagem

dos conceitos matemáticos, sendo assim favorece o desenvolvimento

de habilidades cognitivas no aluno, afinal, ele precisa fazer conjecturas

para conseguir chegar ao desenlace de uma determinada situação.

42

O conceito de investigação matemática, como actividade de ensino-aprendizagem,

ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da actividade matemática [...]. O aluno é

chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e

conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação

de resultados e na discussão de argumentação com os seus colegas e o professor.

(Ponte; Brocardo e Oliveira, 2006, p.23).

Na tarefa de investigação, para se obter sucesso na aprendizagem deve-se

investigar todos os caminhos que surgem de uma situação dada.

[...] uma investigação é uma viagem até o desconhecido [...], o objectivo é explorar

todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É

um processo divergente. [...] sabe-se qual é o ponto de partida mas não se sabe

qual será ponto de chegada (Fonseca, Brunheira e Ponte, 2008, p.4).

Tecnologias da Informação: Segundo Ortega (2004), a escola precisa

formar pessoas integralmente, de maneira, que as tecnologias da

informação, facilitem a preparação do aluno dentro da sociedade.

As tecnologias da informação e comunicação na sala de aula deve ser uma nova

forma de trabalho, vista pelos educadores, como uma ferramenta, um recurso

didáctico, que auxilia na aquisição do conhecimento, onde o aluno é capaz de

interagir com o meio.

Nesse contexto Moran afirma que: As actividades didácticas que contemplam a

tecnologia da informação permitem além da tarefa proposta, em ritmos próprios e

estilo de aprendizagem. Os alunos são dotados de inteligência múltipla e podem ser

despertados para colocar suas habilidades e competências a serviço da produção

do conhecimento individual e colectivo. (Moran, 2006).

Assim, ao incrementar as aulas usando os recursos tecnológicos, o professor

permite que a aprendizagem ocorra em diferentes lugares e por diferentes meios.

Portanto, cada vez mais as capacidades para criar, inovar, imaginar, questionar,

encontrar soluções e tomar decisões com autonomia assumem importância.

Caracterização de resolução de problemas na Republica de Angola.

43

A caracterização da educação matemática, em termos de Resolução de Problemas,

reflecte uma tendência de reacção há caracterizações passadas, que a

configuravam como um conjunto de factos, como o domínio de procedimentos

algorítmicos ou como um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício

mental.

Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os alunos como

participantes activos, os problemas como instrumentos precisos e bem definidos e a

actividade na Resolução de Problemas como coordenação complexa simultânea de

vários níveis de actividade.

de aula As referências, indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida

das actividades matemáticas e discutem caminhos para se fazer Matemática na

sala.

Nos últimos anos a resolução de problemas tem sido a área da educação

matemática onde se tem feito mais investigações. Contudo, continua a existir um

fraco conhecimento da resolução de problemas nas nossas escolas, dando mesmo

a sensação de que a situação é algo confusa. Este quadro, relativamente

pessimista, prende-se com dificuldades de vária ordem como por exemplo:

Distinguir os processos utilizados na resolução de problemas;

Desenvolver instrumentos que permitam avaliar com segurança que esses

mesmos processos e;

Identificar métodos de ensino e de investigação mais adequados para

desenvolver e analisar a actividade de resolução de problemas (Fernandes,

2010,p.135).

No ensino da matemática no nosso país no 1º ciclo do ensino secundário não se

contempla exigências de carácter metodológico dirigidas ao desenvolvimento de

habilidades na resolução de problemas matemáticos, e muito menos ao alcance de

competências neste sentido que contribua para o desenvolvimento de uma

aprendizagem significativa e desenvolvedora dos alunos.

O processo de ensino-aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino

secundário no Namibe, não está alheio a esta situação, pois que pelo seu plano de

estudo (vide anexo) carecem de todas aquelas exigências, pois que tal plano de

estudo e programa apresentam somente sistema de conhecimentos e não faz

referência a um sistema de habilidades a alcançar.

Os alunos do Centro de Formação Profissional das Pescas Cefopescas ”Hélder

Neto” apresentam sérias dificuldades matemáticas, em particular relacionadas à

44

resolução de problema que conduzem à equações do 1ºgrau, que é objecto desse

estudo.

Concepções técnicas acerca da resolução de problemas.

Segundo Ponte (2004), com a aprendizagem das equações os alunos iniciam uma

nova etapa no seu estudo da Matemática. O aparecimento de novas expressões,

que envolvem novos símbolos e novas regras de manipulação, remetem para outro

nível de abstracção, representando, para o aluno, uma ruptura com a Matemática

“concreta” da Aritmética.

No que respeita à resolução de equações, Kieran (2007,p.112) identifica alguns

métodos utilizados pelos alunos, na resolução de equações do 1º grau, e classifica-

os da seguinte forma:

(i) Uso de factos numéricos, por exemplo, na resolução da equação 5 + n = 8 os

alunos usam conhecimentos anteriores da adição, 5 + 3 = 8;

(ii) Uso de técnicas de contagem, permitem compreender que, considerando a

equação anterior, para obter 8, e partindo do número 5, são contados três números

inteiros;

(iii) Cobertura, por exemplo, na equação 6 x = 2 x + 4, 4 tem que ser equivalente a 4

x, uma vez que 6 x = 2 x + 4 x. Sendo assim, se 4 x = 4, x é igual a 1;

(iv) Desfazer, por exemplo, no caso da equação 2 x + 4 = 18, tendo em conta as

operações do 1º membro, para resolver a equação, “desfaz-se” cada operação,

usando a ordem da direita para a esquerda, ou seja, temos primeiro a adição de 4,

logo começar-se-ia por subtrair 4 a 18, de seguida, surge a multiplicação por 2, pelo

que, o resultado obtido anteriormente seria dividido por 2;

(v) Substituição por tentativa e erro, substitui-se o valor da incógnita por vários

valores, até encontrar o valor que permita obter uma proposição verdadeira. Por

exemplo, para resolver a equação, 2 x + 5 = 13, testam-se diversos valores, como 2,

6 e depois 4, chegando à conclusão que só o 4 poderá ser solução da equação;

(vi) Transposição, que consiste em deslocar termos de um membro para o outro,

trocando o sinal;

(vii) Realização da mesma operação em ambos os membros, por aplicação dos

princípios de equivalência de equações.

Os três primeiros métodos referidos pelo autor são considerados informais, ao

contrário dos dois últimos, que requerem um maior grau de formalização. A

45

realização de substituições por tentativa erro é uma estratégia bastante informal e

que, caso não sejam conhecidas as propriedades dos números, pode tornar a

resolução da equação num processo muito moroso. Contudo, o autor refere que os

alunos que utilizam este método no inicio da aprendizagem da resolução de

equações têm mais desenvolvida a noção de equilíbrio entre os lados, direito e

esquerdo, da equação e do papel da equivalência do sinal de igual, do que os

alunos que nunca adoptaram este método. No que respeita ao método de

transposição, o autor defende que este pode levar os alunos a aplicar

“mecanicamente” a regra: muda de membro - muda de sinal, não operando as

equações como objectos matemáticos. Por sua vez, o método que consiste na

realização da mesma operação em ambos os membros é o mais complexo uma vez

que implica a operação sobre a própria estrutura da equação. Este método consiste

na aplicação formal dos princípios de equivalência de equações. Através destes

princípios é possível, adicionar, subtrair, multiplicar e dividir ambos os membros de

uma equação por um mesmo número, que no caso da multiplicação e da divisão,

terá que ser diferente de zero.

Como afirmam Ponte, Branco e Matos (2009) “As equações são uma ferramenta

fundamental para resolver problemas” (p. 106).

O National Council of Teachers of Matematics (NCTM, 2007) como organização de

educadores, apresentou em 1980, suas recomendações para o programa de acções

que deveriam ser consideradas para esta década. A primeira dessas

recomendações era que a resolução de problemas deveria ser o foco do ensino da

Matemática, (Onuchic, 2007,79-97).

Ainda Hoje, somos perguntados “ Para que aprender Matemática?”, muitos

educadores respondem que a função principal da matemática é que o aluno aprenda

a formular e a resolver problemas. Facto este atestado pelo pesquisador Larry L.

Hatfield (2009,p.52-54).

“Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objectivo da instrução

matemática. Certamente outros objectivos da matemática devem ser procurados,

mesmo para atingir o objectivo da competência e resolução de problemas.

Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um

conhecimento significativo é importante. Mas o significado principal de aprender tais

conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das situações-

problemas”. (Hatfield apud Dante, 2009,p.15).

46

Assim, pela relevância da resolução de problemas no processo de ensino-

aprendizagem de matemática, apresentar-se-á alguns estudos sobre o tema.

Estando a resolução de problemas no centro do ensino e da aprendizagem da

Matemática é importante salientar o que se entende por problema. Segundo Ponte

(2005) um problema é uma tarefa fechada com elevado desafio, sendo fechada por

nela ser “claramente dito o que é dado e o que é pedido”(pp. 7, 8) é um desafio

porque, segundo o autor “um problema comporta sempre um grau de dificuldade

apreciável” (p. 13). Já, de acordo com Pires (2001) um problema “é uma tarefa com

um objectivo bem definido e um método de resolução desconhecido” (p. 141).

Podemos então afirmar que estamos perante um problema quando sabemos quais

os dados a utilizar e o objectivo a atingir, mas desconhecemos o caminho para lá

chegar.

Concordamos com Ponte et al. (2003, p. 2) de que [...] “investigar” não é mais do

que procurar conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os

problemas com que nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira

importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da

escola, tanto dos professores como dos alunos.

Não há dúvida de que ensinar por resolução de problemas é difícil. As tarefas devem

ser planificadas ou seleccionadas a cada dia e a compreensão actual dos alunos e

as necessidades curriculares devem ser levadas em consideração (Van de Walle,

2009, p. 59).

D’Ambrosio, (1989, p.15-19) destaca que é bastante comum o aluno desistir de

solucionar um problema matemático, afirmando não ter aprendido como resolver

aquele tipo de questão ainda, quando ela não consegue reconhecer qual o algoritmo

ou processo de solução apropriado para aquele problema. Faltam aos alunos uma

flexibilidade de solução e a coragem de tentar soluções alternativas, diferentes das

propostas pelos professores.

A partir das ideias sobre resolução de problemas apresentadas pelos autores

consultados, pode-se inferir que se consolidou a visão de que:

Um problema não é simplesmente uma tarefa matemática, mas uma ferramenta

para pensar matematicamente, um meio para criar um ambiente de aprendizagem

que forme sujeitos autónomos, críticos e prepositivos, capazes de se perguntar

pelos factos, pelas interpretações e explicações, de ter seu próprio critério estando,

ao mesmo tempo, abertos aos de outras pessoas (Vila e Callejo, 2006, p. 10), com

47

quem o autor concorda plenamente, pelo facto diante desse contexto o professor

determina seu trabalho pedagógico como uma situação-problema: o que ensinar?

Como ensinar? Porque ensinar? E quem ensinar? Desta forma, sua acção didáctica

deve ser definida a partir de uma reflexão sobre objectivos, conteúdos e estratégias

de ensino.

Hoje todos os alunos aprendem a resolver problemas matemáticos. Ao mesmo

tempo, a resolução de problemas vem contribuindo para o insucesso escolar. De

modo geral, os problemas trabalhados em sala de aula são exercícios repetitivos

para fixar os conteúdos que acabaram de ser estudados, motivando o uso de

procedimentos padronizados para serem utilizados na resolução de problemas

semelhantes. Essa actividade não desenvolve no aluno, a capacidade de transpor o

raciocínio utilizado para o estudo de outros assuntos.

A resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo de ensino

e aprendizagem da Matemática, criando no aluno a capacidade de desenvolver o

pensamento matemático, não se restringindo a exercícios rotineiros

desinteressantes que valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação.

Um aspecto fundamental na aprendizagem da Álgebra diz respeito à transição da

linguagem natural para a linguagem algébrica. Nesse sentido, Kieran (2007)

denomina como “word problems” e subdivide-os em três tipos:

(i) Problemas tradicionais: são problemas que se traduzem matematicamente por

uma equação. A abordagem consiste em escrever uma equação envolvendo

incógnitas e operações, de acordo com algumas relações matemáticas, seguindo-se

depois a resolução da equação onde, por meio de manipulação algébrica, se isola a

incógnita e se determina o seu valor;

(ii) Problemas segundo uma perspectiva funcional: não são muito diferentes dos

“ word problems” tradicionais tendo, no entanto, um modo de apresentação e uma

abordagem de resolução diferentes. Geralmente, as relações entre duas variáveis

são estabelecidas antes da resolução do problema, de modo a que a expressão que

representa essa relação funcional torne explícita a interpretação do problema;

(iii) Problemas de generalização: nestes problemas, a letra assume o papel de

variável, sendo utilizada como ferramenta para expressar relações numéricas.

A importância da resolução está no facto de “possibilitar aos alunos mobilizarem

conhecimentos e desenvolverem a capacidade para gerenciar as informações que

estão a seu alcance dentro e fora da sala de aula. Assim, os alunos terão

48

oportunidades de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos

matemáticos bem como do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança”

Schoenfeld (apud Planos Curriculares Nacionais “PCN”, 1998, p.142). Ainda,

segundo Dante (2009), “é possível por meio da resolução de problemas desenvolver

no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de

elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos

disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em

seu dia-a-dia, na escola ou fora dela”. Os alunos ao resolverem problemas podem

descobrir factos novos sendo motivados a encontrarem várias outras maneiras de

resolverem o mesmo problema, despertando a curiosidade e o interesse pelos

conhecimentos matemáticos e assim desenvolverem a capacidade de solucionar as

situações que lhes são propostas.

Despertar no aluno o gosto pela resolução de problemas não é tarefa fácil, muitos

são os momentos de dificuldade, obstáculos e erros. Isto acontece porque

professores e alunos não conseguem distinguir um problema matemático de um

exercício matemático.

2.1.2. Problemas Versus exercícios: diferenças

Podemos distinguir, mais claramente, um problema de um exercício. “Um problema

matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de acções

ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de

início, mas é possível construí-la” (PCN, 1998). Segundo Silveira (2004,p.336), “um

problema matemático é toda situação que requer a descoberta de informações

matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de

uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o

resolvedor conheça o objectivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema

se ele ainda não tem os meios para atingir tal objectivo”.

Se os alunos conseguem interpretar a proposta do enunciado da questão, sabendo

estruturar algumas ou todas as situações apresentadas, desenvolvendo várias

estratégias de resolução incluindo a verificação das mesmas e do resultado, tem em

mãos um problema matemático, mas se “é uma actividade de treinamento no uso de

alguma habilidade/conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a

aplicação de um algoritmo conhecido, de uma fórmula conhecida” (Silveira, 2004),

os alunos têm em mãos um exercício que exige apenas a aplicação de um

procedimento sem a necessidade de criar estratégias para resolvê-lo.

49

Segundo Jungk (1986), existem exercícios de aplicação, que são os que têm origem

na prática e exercícios construídos que são os que se concebem com fins

didácticos, ou seja para exercitar, aprofundar, sistematizar, e estes últimos se

dividem em formais, como pode ser, calcula, simplifica, resolve um sistema de

equações, uma equação, etc. E com texto que podem ser puros de Matemática, ou

relacionados com a prática. (Jungk, 1986).

O trabalho do autor com os problemas está dedicado aos que têm texto, e

analisando o conceito que Borasi (1989) fizesse dos mesmos, chamado por Branco

(1997), que expõe: “trata-se de um texto formulado com precisão, onde aparecem

todos os dados necessários para obter a solução.

Como exemplo de problemas, apresentamos a seguinte situação envolvendo uma

equação do 2º grau:

Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de meninos, mas

na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as suas figurinhas. Por

causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais. Quantos meninos receberam

figurinhas?

Para resolver este problema será necessário que o aluno traduza o enunciado para

a linguagem matemática apropriada 240x

+8= 240x−5 , realizando manipulações

algébricas para chegar à expressão 8x2 – 40x – 1200 = 0 (ou x2 – 5x – 150 = 0).

Após estes passos, o aluno poderá utilizar algum procedimento padronizado para a

resolução, como por exemplo, a aplicação da fórmula de Bhaskara ou a lei do

anulamento do produto.

Como exemplo de um exercício, poderíamos propor ao aluno que resolvesse a

seguinte equação do 2º grau: 8x2 – 40x – 1200 = 0. Neste caso solicita-se ao aluno a

aplicação imediata, por exemplo, da fórmula de Bhaskara ou a lei do anulamento do

produto, não requerendo do mesmo outras habilidades matemáticas.

Segundo Resnick (apud Silveira, 2004), existem diferentes tipos de problemas e que

cada tipo tem uma função no processo de aprendizagem do aluno. Em forma de

síntese, apresentamos estes tipos de problemas:

EXERCICIOS DE RECONHECIMENTO: este tipo de exercício verifica apenas se o

aluno reconhece ou relembra um facto, uma definição ou um teorema.

Exemplo:

a) Assinala os desenhos que representam figuras planas.

50

1 2 3 4

Resposta: 1 e 4

b) Circule os números pares:

Resposta: 160, 12, 1002, 2

- EXERCICIOS ALGORITMICOS: podem ser resolvidos com um algoritmo

especifico ou executando – se um procedimento passo a passo.

Exemplo:

a) Calcule: Resposta:

32,7 + 1,34 32,7

+ 1,34

34,04

b) Resolve a seguinte equação do 1º grau.

y + 4 – 8y = 23 Resposta:

y – 8y = 23 – 4

- 7y = 19

y = - 19/7

- PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

Nesta categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções

requerem do aluno:

Faça a formulação simbólica do problema;

Manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já

conhecidos, para então obter a resposta.

Exemplo:

a) A mãe foi a praça e gastou kz 4,00 com verduras e kz 5,00 com frutas. Com

quanto voltou para casa se saiu com kz 10,00?

Resposta:

Estratégia 1

kz 4,00 + kz 5,00 = kz 9,00

kz 10,00 – kz 9,00 = kz 1,00

95 – 160 – 12 – 355 – 1002 – 501 - 2

51

Estratégia 2

Chamaremos de x a quantidade de dinheiro que sobrou.

x + 4 + 5 = 10

x + 9 = 10

x = 10 – 9

x = 1. Resposta: ela voltou para casa com kz 1,00.

b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?

Resposta: chamaremos o tal número de x

2x + 7 = 13

2x = 13 – 7

2x = 6

x = 6/2

x = 3 . O número é 3.

- PROBLEMAS EM ABERTO

Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para a sua

resolução. Porem, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos

conteúdos matemáticos num único problema.

Exemplo:

a) O Gavião chega a um pombal e diz:

- Adeus, minhas cem pombas!

- As pombas respondem em coro:

- Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você meu

caro Gavião, cem pássaros será então!

Quantas pombas estão no pombal?

Resposta:

Estratégia 1

100 – 1 = 99 (subtraímos o Gavião).

99: 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2

tantos, ou seja, 3).

Estratégia 2

Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos a procurar.

x + 2x + 1 = 100

3x = 100 – 1

3x = 99

x = 99/3

52

x = 33. Estão no pombal 33 pombas.

- SITUAÇÕES-PROBLEMA

Nessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um dos

passos principais é identificar o problema inerente para, num passo seguinte,

resolve-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é satisfatória.

Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo problema deve

ser identificado e, o processo deve ter continuação até que a solução ideal se

apresente.

Exemplos:

a) Esboce um estacionamento.

b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma

semana.

Note-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de

reconhecimento e exercícios de algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não

permitindo a exploração dos conhecimentos que os alunos trazem, nem o

desenvolvimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com

menor intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja

saber se o aluno conhece factos específicos do conteúdo.

Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas em

aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos alunos,

possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimento dos alunos.

As categorias problemas em aberto e situações-problema são dos que mais

possibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, um aprendizado

significativo.

2.1.3. Etapas da resolução de problemas, segundo a metodologia de Polya.

A resolução de problemas é concebida por diversos autores como um processo

sequencial onde se estabelecem diversas fases.

Segundo Pólya (2003) a resolução de problemas inclui quatro etapas:

1ª Etapa: Compreensão do problema

Qual é a pergunta que está sendo feita?”, “O que pede o problema?”, “Que

informações têm?”, “Quais são os dados?”. Essas são algumas indagações que se

pode fazer para procurar compreender o problema. A compreensão do problema

está directamente ligada à leitura e à interpretação, por isso é necessário que o

53

aluno realmente deseje resolver o problema, ou seja, tenha interesse, esteja

motivado para achar a solução.

2ª Etapa: Estabelecimento de um plano

A elaboração do plano de acção consiste em relacionar os dados do problema à

pergunta feita e procurar achar uma estratégia para que se possa chegar a solução.

Essa estratégia pode ser a utilização de uma fórmula e o desenvolvimento da

mesma. A elaboração de um bom plano depende, também, de uma boa ideia. Em

seu livro a Arte de Resolver Problemas, Polya faz a seguinte citação: uma grande

descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta

na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele

desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver

por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta

(Polya, 2006, p. v). Na elaboração do plano, podem ser observadas as seguintes

indagações: “Conhece ou já resolveu algum problema semelhante?”, “É possível

resolver o problema em partes?”, “Que caminhos podem-se tomar para sua

solução?”. Com base nesta última indagação, percebe-se que para resolver um

problema podem-se estabelecer planos diferentes que resultarão na mesma

resposta.

3ª Etapa: Execução do plano

Esta fase é, teoricamente, mais fácil que elaborar o plano. É onde se executará,

passo-a-passo, o plano elaborado verificando se tudo está de acordo com o

programado. Para que se atinja o objectivo, é importante que o próprio aluno tenha

elaborado o plano.

4ª Etapa: Retrospecto

Esta fase é importante porque é aí que será verificado se o plano foi bem executado,

se há necessidade de ajustes, se a resposta está coerente, se há possibilidade de ir

por outro caminho mais prático e seguro. Pode-se, muitas vezes, fazer a verificação

da resposta, onde o retrospecto pode determinar se a conclusão é correcta ou não.

Pode-se, também, verificar se é possível utilizar a resposta ou a resolução em outro

problema.

Sobre a utilização da 4ª etapa, de acordo com Gazire (1988,p.56), Polya acreditava

que, os professores observassem essas fases ao trabalharem com resolução de

problemas, favoreceriam o desenvolvimento de uma atitude mental mais clara e

produtiva de seus alunos. (Gazire, 1988,p.56).

54

Rosa e Orey (2010) citam algumas heurísticas propostas por Polya, que devem ser

observadas na resolução de problemas:

Se existe alguma dificuldade para o entendimento de um problema, tente desenhar

um diagrama. – Se a solução para o problema não puder ser facilmente encontrada,

suponha que o problema possua uma solução e trabalhe com esta solução para

trás, isto é, com a utilização do procedimento regressivo, para verificar quais as

soluções podem ser encontradas. – Se o problema é abstracto, procure examinar

um problema similar que ofereça um exemplo concreto. – Primeiramente, tente

resolver um problema mais geral. Este aspecto é conhecido como o “paradoxo do

inventor”, isto é, quanto mais ambicioso for o plano, existem mais chances para o

sucesso na resolução do problema. (Rosa & Orey, 2010,p.9).

Assim as heurísticas de Polya sintetizam que a solução de um problema pode não

ser encontrada na primeira tentativa, e utiliza do raciocínio para trás a fim de

solucionar o problema e o raciocínio para frente para validar a solução. (Rosa &

Orey, 2010).

2.1.4. Estratégias de resolução de problemas da matemática escolar que conduzem a equações do 1º grau.

Quando se fala de estratégias considera-se a inexistência de um caminho único a

ser trilhado. Os caminhos devem se construídos ao caminhar o que implica em

estratégias (no plural) adoptivas, procedimentos que devem ser todo o momento

objecto de reflexões e avaliações. Isto requer uma mudança nas acções

pedagógicas dentro de um processo dinâmico que transforme ao se transformar.

De modo que o aluno possa diversificar a sua Acção temos as seguintes estratégias:

1. Tentativa-e-erro organizado; talvez esta estratégia seja a mais usada para a

resolução de exercícios.

2. Procura de padrões ou generalizações; esta estratégia considera casos

particulares do problema e chega-se à solução através da generalização.

3. Resolvendo antes um problema mais simples; Nesta estratégia resolve se um

problema com uma versão mais resumida, passando depois para a

generalização.

4. Fazendo o caminho inverso: difere dos anteriores pelo facto de partir do

resultado, para o que deve ser encontrado;

55

5. Simulação: a solução de um problema compreende preparar e realizar um

experimento, Colectar dados e tomar uma decisão baseada na análise dos

dados.

Cuidados que se deve ter: longas listas de problemas são desmotivadores, assim

como constantes fracassos e repetições são frustrantes. Para evitar essas atitudes

convém:

Apresentar poucos problemas com graduação de dificuldades e aplicação de

diferentes estratégias.

A linguagem deve ser simples evitando a não compreensão do problema.

Permitir o uso de materiais concretos.

Evitar valorizar a resposta e sim todo o processo para determina-la.

Incentivar as descobertas do aluno, a diversidade de estratégias utilizadas, a

exposição de dificuldades, a análise e verificação da solução, a criação de

novos problemas e a identificação do erro, para que através dele possa

compreender melhor o que deveria ter sido feito.

Sendo assim, professor deve propor situações-problema que possibilitem a

produção do conhecimento, onde o aluno deve participar activamente

compartilhando resultados, analisando reflexões e respostas, enfim aprendendo

a aprender.

2.2. Formas de organização e conteúdo da experimentação.

Para fazer face a este item, ministramos 12 aulas sendo cada uma com a carga

horária de 45 minutos perfazendo 90 minutos as duas aulas assim distribuídas:

1ª Aula: Equação do 1º grau a uma incógnita – 2 tempos

Objectivo: que os alunos saibam resolver equações do 1º grau com uma incógnita

dos tipos ax = b e a + x = b

Que os alunos saibam traduzir um problema por meio de uma equação.

Que os alunos saibam procurar soluções para uma equação.

2ª Aula: Equação Literal – 2 tempos

Objectivo: que os alunos saibam resolver equações do 1º grau com uma incógnita.

Que os alunos saibam traduzir um problema por meio de uma equação.

Que os alunos saibam procurar soluções para uma equação.

56

Saibam Traduzir em linguagem simbólica matemática situações

3ª Aula: Equações do 1º grau. Exercícios – 2 tempos

Objectivos: Resolver equações literais;

Escrever fórmulas;

Procurar soluções para uma equação;

4ª Aula: Equação Literal. Exercícios/ problemas – 2 tempos

Objectivos: Resolver equações literais;

Escrever fórmulas;

5ª Aula: Equações do 2º grau – 2 tempos

Objectivo: saibam Traduzir um problema por meio de uma equação;

Procurar soluções para uma equação;

6ª Aula: Equações do 2º grau – 2 tempos.

Objectivo: saibam Resolver equações do 2º grau com uma incógnita;

Antes de ministrar a temática referente a resolução de problemas aplicamos o teste

(vide anexo) que continham dois problemas e três exercícios com o intuito de

diagnosticar as reais habilidades que os alunos traziam da 7ªclasse que forneceram

os dados plasmado no gráfico nº 1e2 do capítulo anterior.

2.3. Metodologia que sustenta á proposta metodológica.

A proposta foi elaborada com base nas referências teóricas já assumidas no capítulo

I. assim, a metodologia à apresentar desde o ponto de vista filosófico sustenta-se

nos princípios, leis, categorias e métodos do Materialismo Dialéctico que permite a

análise e a interpretação dos processos de ensino-aprendizagem da Matemática,

assim como sua Teoria do Conhecimento que distingue o sensorial e o racional no

conhecimento humano, em estreita interacção com a prática e a valorização.

Assume-se desde o ponto de vista psicológico o modelo histórico-cultural de

Vygotsky (1896-1934); apoiando se no papel da actividade, da comunicação, na

integração do cognitivo, e na aprendizagem da Matemática pelos alunos. Significa

que o conhecimento é um processo dinâmico que acompanha o desenvolvimento da

vida humana; é o resultado da interacção social que manifesta e se transfere de

geração a geração, por meio da comunicação.

57

Deste o ponto de vista pedagógico, a proposta assume que a educação e a

instrução orientam o desenvolvimento, sendo este um resultado do ensino, da

comunicação e da actividade do aluno. Além disso, consideramos os fundamentos

da didáctica da Matemática e seus métodos particulares.

A proposta elaborada pelo autor, apoia-se nas heurísticas de Polya (1995,p.5) para

a resolução de problemas.

Antes de entrarmos na exposição e análise das diversas heurísticas de resolução de

problemas é muito importante termos a ideia clara sobre o significado da palavra

heurística. Para tal, recorremos ao dicionário Houiss (2001,p.1524) que nos traduz

heurística em vários contextos: Contexto científico: “ a ciência que tem por objectivo

a descoberta de factos; Contexto de problematização: a arte de inventar, de fazer

descobertas “ ou método de investigação baseado na aproximação progressiva de

um dado problema; e Contexto pedagógico: método educacional que consiste em

fazer descobrir pelo aluno o que se lhe que ensinar”.

Percebemos, portanto que falar em heurística de resolução de problema é falar

sobre métodos e regras que conduzem à descoberta, inovação, investigação e

resolução de problemas. Podemos também observar que heurística pode referir-se

tanto ao contexto científico quanto ao contexto educacional; para o autor, ambos os

contextos são pertinentes, pois ao mesmo tempo em que queremos avaliar a

importância da resolução de problemas na evolução matemática-descoberta de

novos resultados, criação de novos problemas. Também queremos ressaltar a

importância dos problemas no processo de ensino-aprendizagem. Quatro exemplos

extraídos do livro de Polya (1985, p.133) ilustram o conceito.

se não puder compreender um problema, monte um esquema;

se não poder encontrar a solução, tente fazer um mecanismo inverso para

tentar chegar à solução.

se o problema for abstracto, tente propor o mesmo problema num exemplo

concreto;

tente abordar primeiro um problema mais geral.

2.4. Exigência pedagógico-didáctica da proposta metodológica.

Tendo em conta que os alunos apresentam dificuldades na resolução de problemas

que conduzem a equações do 1º grau, o autor tem o propósito de elaborar uma

58

proposta metodológica apoiada num sistema de exercícios com texto relacionados

com equações do 1ºgrau, que inclui os tradicionais e o novo tipo e que contribua

para o desenvolvimento do pensamento logico dos alunos. Neste sentido, o aspecto

que tem a ver com o ensino, deve considerar não só os conhecimentos novos, os

procedimentos e as habilidades correspondentes, mas também deve ter em conta os

conhecimentos prévios que os alunos têm a partir daí; o professor tem que fazer um

diagnóstico dos seus alunos e trabalhar segundo o que os alunos podem fazer

sozinhos e que os alunos podem fazer com ajuda dos outros. Na actividade, os

alunos podem mostrar suas habilidades, desenvolvendo diferentes acções e neste

sentido, o autor considera que um sistema de exercícios (problemas) com texto que

combina os tradicionais com o de novo tipo, pode contribuir ao alcance do objectivo

proposto, mas é necessário ter em conta algumas exigências metodológicas em sua

interacção.

Figura 1: Etapas da proposta metodológica para o ensino.

Fonte: elaborado pelo autor

A metodologia de resolução de problemas é composta por quatro etapas, nas quais

polya (1995, p.5) aponta indagações e procedimentos que o professor deve

organizar e adaptar à prática pedagógica. As quatro fases são: 1) Diagnosticar

problema; 2) Elaboração de um plano de resolução; 3) Execução do plano e 4)

Investigação da validade da resposta obtida/controlo.

1. Compreensão do problema: nesta fase o aluno deve buscar as informações

no corpo do texto do problema e, além disso, atender para o destaque de

dados e características importantes para a resolução. Qual será a incógnita

ou variável? É possível resolver? Quais são os dados fornecidos? Os dados

suficientes param a obtenção da resposta? Esses questionamentos são

necessários para que haja o entendimento do exercício.

FASE 4

Controlo

FASE 3

Execução

Exigências metodológicas da proposta.

FASE 1

Diagnostico

FASE 2

Planificação

59

Importante ressaltar que o professor pode realizar intervenções que os auxiliem na

interpretação correcta do problema, mas com cuidado de não indicar a resposta.

2. Elaboração de um plano de resolução: o aluno deva realizar uma conexão

entre o conteúdo já estudado e os dados fornecidos pelo problema. Observar

se a incógnita ou variável se relaciona com informações obtidas no texto,

comparar a situação com problemas correlatos já vistos e discutidos

anteriormente e também observar se é possível perceber padrões ou

propriedades que auxiliem na resolução do problema. Para se obter um plano

de execução, poderá ser necessário relaciona-lo a problemas auxiliares mais

simples, que possam indicar padrões e métodos de resolução que se ajustem

ao referido problema.

Nesta fase é necessário estabelecer as justificativas para as acções que serão

tomadas para resolver o problema. a estratégia que será adoptada na resolução tem

que estar bem clara para que o aluno possa entende-la no momento de execução.

3. Execução do plano: o aluno põe em prática o plano de resolução elaborado.

Ao executa-lo, deve verificar os passos e observar se o desenvolvimento conduz

para a resolução esperada do problema. a justificativa dos passos adaptados na

execução do plano de resolução é fundamental para o entendimento.

4. Investigação da validade da resposta obtida: ao encontrar a resposta é

necessário verificar sua validade, ou seja, analisar se de facto o valor obtido

representa a solução do problema; dessa forma, é conveniente realizar

algumas substituições ou verificações para poder concluir. Observar se a

resposta obtida está de acordo com o problema proposto e se pode ser

comprovado de outras formas.

Ao professor que conduz em suas aulas a metodologia de resolução de

problemas cabe ressaltar que:

a) Durante a realização das etapas previstas nessa metodologia é possível

obter resultados que não eram solicitados originalmente pelo problema.

Tais resultados podem contribuir para o enriquecimento da aprendizagem

dos alunos, porem é necessário atentar-se para a solução do problema

principal.

b) Caso o aluno não obtenha a resposta esperada. Observe em qual etapa

houve falha. Se na primeira, poderá ter sido um erro no entendimento do

conceito que premeia o problema; se aconteceu na segunda ou terceira

etapa, a falha poderá estar no procedimento de resolução (técnica).

60

Identificado o erro do aluno ficará mais fácil propor, posteriormente,

encaminhamentos que ajustem essas deficiências detectadas. A

realização de sínteses com as respostas obtidas pelos alunos é uma

forma de retomar os objectivos do conteúdo que foi proposto.

Considera-se necessario introduzir dentro de estas etapas o seguinte sistema de passos lógicos ou algoritmo para resolver um problema:

1. Ler a pergunta com atenção para compreender a informação oferecida e o que se

pede (interrogante) no problema. Visualizar a situação problémica

esquemáticamente. (Compreender o enunciado e o problema qualitativa e

quantitativamente.

2. Encontrar a equação apropriada que relacione a informação dada com a

informação ou quantidade desconhecida, podem buscar-se em tabelas de datas os

que não aparecem no enunciado do problema, análise dimensional, conversão de

unidades e magnitudes.

3. Procurar estratégias para a solução do problema e selecionar entre elas a que

possa dar um resultado final ótimo e satisfatório.

4. Verificar que na resposta todo esteja correto (símbolos, fórmulas, unidades), quer

dizer, verificar a veracidade da resposta.

5. Julgar se a resposta é razoável, quer dizer se os signos, unidades da quantidade

calculada estão corretos. Eficácia cognitiva na resolução do problema, reflexão

integral sobre o processo seguido.

6. Observação: fazer uma estimativa da resposta esperada (sem usar a

calculadora), que embora não seja exata, se estiver próxima à correta.

Tudo ensina-se e aprende-se através dá explicação, ou exemplo e exercitação.

A chave do êxito na resolução de problemas é a prática e a exercitação.

Exigências a cumprir pelos problemas formulados:

a) Objetivação da essência matemática do problema.

b) Sistematização dos procedimentos empregados na resolução de problemas,

durante a seleção de cada problema.

61

c) A exercitação e aplicação dos procedimentos e métodos na actividade cognitiva

independente, para a formação e desenvolvimento de habilidades para o

desempenho cognitivo durante a resolução de problemas matemáticos.

O papel do professor

Quando o professor adapta a metodologia de resolução de problemas, seu papel

será incentivador, facilitador, mediador das ideias apresentadas pelos alunos, de

modo que estas sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e a gerarem seus

próprios conhecimentos.

Deve criar um ambiente de cooperação, de busca, de exploração e descoberta,

deixando claro que o mais importante é o processo e não o tempo gasto para

resolve-lo ou a resposta final.

Dado um problema para ser resolvido em grupo, é importante que o professor:

Permita a leitura e a compreensão do mesmo;

Proporcione a discussão entre os alunos para que todos entendam o que se

busca no problema propicie a verbalização;

Não responda directamente as perguntas feitas durante o trabalho e sim

incentive-os com novos questionamentos, ideias e dicas;

Após a determinação da solução pelos alunos, discuta os diferentes caminhos

de resolução, incentivando para soluções variadas – também discuta

soluções erróneas;

Estimule a verificação.

Não existe um Modelo único para a Resolução de problemas nem para ensinar a

resolver problemas. No entanto o Modelo de Polya continua a ser um referencial

para a investigação nesta área.

Este Modelo apesar de não prezar pela sua novidade é um modelo com um cunho

fortemente didáctico que antecipa comportamentos metacognitivos e que facilmente

se transpõe para outros domínios (Neto, 1998).

A melhoria das capacidades de resolução de problemas, por parte dos alunos,

dependem destes orientarem a sua atenção para perguntas chave que lhes permite

atingir com sucesso a solução do problema.

O Modelo de Polya sugere questões e sugestões que se encontram agrupadas em

quatro fases que constituem o processo de resolução de problemas (Palhares,

2004).

62

Descritas as diferentes fases que a nossa proposta metodológica considera, a

continuação apresenta-se o modelo teórico da proposta metodológica.

Figura 2. Estrutura da proposta metodológica para o ensino da matemática baseada na resolução de problemas que conduzem a equações do 1º grau.

P

Fonte: Elaborado pelo Autor.

PROBLEMA: Que contribuição à metodologia do ensino da matemática baseada

na resolução de problemas pode trazer na melhoria da aprendizagem do conteúdo

vinculado às equações do 1º grau na 8ª classe do 1ºciclo do ensino secundário?

OBJECTIVO: Elaborar

uma Proposta metodológica

para o ensino da matemática,

sustentada numa metodologia

baseada na resolução de

problemas, que possibilite

melhorar aprendizagem do

conteúdo vinculado às

equações de primeiro grau na

8ª classe do 1º ciclo do ensino

secundário.

CONTEÚDO:

- Conhecimentos Prévios.

- Conhecimentos Novos: conceitos e procedimentos.

- Habilidades e Valores

-

EXIGÊNCIAS METODOLÓGICAS

- Compreensão do Problema

-Estabelecimento de um Plano.

- Execução do Plano.

- Retrospecto

Sistema de Exercícios/ Problemas

Papel do aluno: Activo

Exercícios Tradicionais. Problemas Heurísticos.

Papel do Professor:

Facilitador do P.E.A

SOLUÇÃO

63

2.4.1. Exemplos da aplicação da proposta metodológica.

Nesta epígrafe são apresentados os problemas elaborados como proposta da proposta metodológica para serem empregues na activação do processo de ensino aprendizagem da matemática na 8ª classe.

Desde o ponto de vista metodológico ao final da resolução de cada problema deve valorar-se a expressão final que conduze à equação de primeiro grau de forma específica, isto possibilitará a formação do conceito e chegar à formulação geral da equação de primeiro grau.

Problema 1. Em uma balança equilibrada há no pratos esquerdo duas melancias

de “pesos” iguais e um “peso” de 2Kg. No prato direito há apenas um “peso” de

14Kg. Quanto pesa cada melancia?

fig.3

Fonte: educacaodialogica.blogspot.com

1º Compreensão do problema

Duas melancias mais dois quilos é igual a quatorze quilos

2º Elaboração do plano

2melancias + 2kg = 14 kg

3º Execução do plano

x = “peso” da melancia

2.x+2 = 14

2.x = 14 - 2

2.x = 12

x = 12 / 2

x = 6 Assim, cada melancia pesa 6 kg.

4º verificação

2.6 + 2 = 14

14 = 14

64

Esta questão (1)será a mais simples elaborada para o questionário, espera-se ter o

maior aproveitamento de acertos devido a ser do quotidiano do aluno,que desde a

primária ele já trabalha com esse tipo de equação, onde ele já tem um

relacionamento com as expressões numéricas.

Problema 2: Uma casa com 260 m² de área construída possui 3 quartos de mesmo

tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa

ocupam140m²?

1º compreeder o problema

x = área de cada dormitório

2º elaboracao do plano

x = área de cada dormitório

3º execucao do plano

x = área de cada dormitório

3.x + 140 = 260

3.x = 260 – 140

3.x = 120

x = 120 / 3

x = 40

Assim, cada dormitório possui 40 m².

4º verificação

3.40 + 140 = 260

120 + 140 = 260

260 = 260

Esta questão (2) trabalhará a mente do aluno em calcular a área do quarto, que se

pede no problema.E o aluno não terá problemas em resolver esta equação do 1º

grau.

Problema 3: Um comboio partiu do Namibe com um certo número de passageiros.

Na primeira paragem, desceram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40

pessoas. Em outras estações desceram 5/8 dos passageiros restantes. O comboio

chegou à estação final do Menongue com 36 passageiros. Com quantos

passageiros o comboio partiu do Namibe?

1º compreensao do problema

Número inicial de passageiros -> x

2º elaboracao do plano

65

Número inicial de passageiros -> x

"Um comboio partiu do Namibe com um certo número de passageiros." = x

"Na primeira paragem, desceram 3/7 dos passageiros." X – 3x7

=4 x7

, Portanto o

número actual de passageiros é 4 x7

.

"e na quarta entraram 40 pessoas." 4 x7

+40=4 x+2807

, mais um novo número.

"Em outras estações desceram 5/8 dos passageiros restantes." =

Vamos ver quantos desceram:

3º execucao do plano

5/8 De (4x +280) /7, o número mais recente

5/8 x (4x +280) /7 = (20x +1400) /56. <--- Desceram.

Se havia (4x +280) /7 e saíram (20x +1400) /56:

(4x +280) /7 - (20x +1400) /56 = 36 <--- mmc = 56

32x +2240 -20x -1400 = 2016

12x +840 = 2016

12x = 1176

x = 98.

98 Passageiros.

4º Verificação

12.98 = 1176

1176 = 1176

Esta questão (3), o resultado esperado desta questão é ser a mais difícil na

resolução dos alunos, pelo fato dela conter o raciocínio lógico em calcular tempo do

deslocamento do comboio envolvendo operações fracionárias, espera-se que o

resultado depois da pesquisa, seja o menor índice de acertos.

Problema 4: A soma das cifras básicas de um número de duas cifras é 10; sabe-se

que o algarismo ou a cifra das unidades são o quádruplo da cifra das dezenas. Qual

é o número?

1.Compreensão do problema

Seja: ab o numero de duas cifras das dezenas;

66

a é a cifra das dezenas:

b é a cifra das unidades;

2. Elaboração do plano

1ª Condição: a + b = 10

2ª Condição: b = 4a

{a+b=10b=4 a

3. Execução do plano

Substituindo b = 4a em a + b = 10 temos

a + 4a = 10

5a = 10/:5

a = 2

Substituindo a = 2 em b = 4a, temos:

{a+b=10b=4 a

b = 4a

b = 4 x 2

b = 8

4. Verificação

{a+b=10b=4 a

67

{2+8=1010=108=4 .28=8

Esta questão (4) é aparentemente difícil por envolver o domínio da linguagem

matemática, mas os alunos que conseguirem montar a equação não terão

dificuldades para resolver, caso tenha um conhecimento prévio de linguagem

matemática.

Dentro desse espírito de ensinar a resolver problemas autores de livros didácticos

recomendam a adopção de estratégias que devem ser ensinadas na resolução de

problemas. Dante (2005) nos remete a Polya (2003) apresentando um resumo das

ideias desse estudioso que tem sido considerado, talvez, o mais forte representante

dessa concepção. Evidencia-se a visão de que a resolução de um problema deve se

realizada através de estratégias próprias e bem definidas. O resumo traz em sua

estrutura o modelo de quatro fases, consideradas por Polya como essências na

resolução de problemas, caracterizando-se por uma sequência de passos a serem

seguidos para chegar à solução de qualquer problema.

Conclusão do capítulo II

1. As equações do 1º grau a uma incógnita têm sido uns todos temas em que os

alunos do 1º ciclo do ensino secundário revelam muitas dificuldades, quando

se trata da resolução de problemas que conduzem a essas equações.

2. Os diferentes estudo reivindicam a necessidade de metodologias de trabalho

mais activas e participativas entre os professores e alunos para passar de

uma aprendizagem mecânica para uma aprendizagem significativa dos

conteúdos relativos aos problemas que conduzem à equações do 1º grau.

Dos estudos feitos, concluímos que existem varias alternativas metodológicas para a

resolução de problemas matemáticos propostas por vários autores e, dentre estes

seleccionamos George Polya, visto se tratar de uma estratégia mais adaptável e fácil

de se compreender por qualquer professor, assim como alunos.

68

Capitulo III. Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica

Neste capítulo apresentam-se e analisam-se os dados do teste aplicado aos alunos,

do inquérito aos professores e peritos. Para facilitar a sua compreensão foram

organizados em tabelas e gráficos distribuídos em diferentes categorias.

A análise e o tratamento de dados são fases operacionais que envolvem a obtenção,

reunião e o registo sistemático dos dados.

3.1. Descrição e análise do questionário - População e Amostra

Para constatar o problema levantado no trabalho utilizou-se a população dos alunos

da 8ª classe, numa amostra de 69 alunos do Cefopescas “Hélder Neto” no Namibe

correspondendo a quatro turmas (8ªA,B,C e D) dos Cursos de Biologia Marinha,

Mecânica Diesel, Mecânica de Frio e electricidade, respectivamente todas no

período da manhã.

O estudo contou com uma amostra de 27 professores de duas escolas Cefopescas

e a Escola Anexa à escola de formação de professores “E.F.P” do Namibe que

leccionam a 8ª classe.

Caracterização das Amostras

Quanto a idade dos alunos, dividimos por faixa etária.

Idade ( ) 13 à 15 ( ) 15 à 17 ( ) mais de 17

A faixa etária de mais de 17 anos foi a predominante num total de 24 alunos sujeitos,

ou seja, 34,78% dos sujeitos tinham mais 17 (dezassete) anos de idade, enquanto

26,08% tinham 16 (dezasseis) anos de idade, 13,04% tinham entre 15 e 17 (quinze

e dezassete) anos de idade e, os restantes 26,1% estão entre 13 e 14 (treze e

quatorze) anos de idade.

Verifica-se que o intervalo das idades é a que vai de 14 aos 17 anos de idades.

Idades inseridas em dois estágios de desenvolvimento, segundo Piaget citado por

69

Lombardi (1998), idades onde as operações concretas prevalecem e começa o

pensamento lógico. “O desenvolvimento do pensamento é determinado pela

linguagem, isto é, pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela experiencia

sociocultural da criança”.Vygostsky (2003,p.44).

Caracterização da amostra dos professores.

Relativamente a amostra produtora de dados é constituída por 27 professores que

leccionam nas escolas do 1º ciclo do ensino Secundário a 8ª classe, escolhidos

aleatoriamente, onde 19 são do sexo masculino e 8 do sexo feminino.

As principais características estão apresentadas nas tabelas que se seguem:

Tabela 1: Características da amostra dos professores em função do Género, Idade e

Experiência Docente

Sexo Idades Experiencia docente (Anos)

M F 18 a 28 29 a 39 + 39 - 2 2 a 10 6 a 10 + 10

19 8 4 1 8 2 10 2 8 2 4 6 1 4 2

N 5 10 12 10 4 7 6

Tabela 1:Legenda: N= Total de professores, M= Masculinos, F= Feminino

Tabela 2: Características da amostra dos professores em função da formação

académica e profissional

Formação Ensino Médio/ Superior TOTAL

12ªClass

e

1º 2º 3º 4º LIC.

E.F.P 6 6

IMP”HELDER

NETO”

1 1

PUNIV 3 3

POLO 7 7

ISCED 2 8 10

TOTAL 10 2 7 8 27

Legenda: EFP- Escola de Formação de Professores; PUNIV; IMP – Instituto Médio

de Pesca” Hélder Neto; ISCED – Instituto Superior de Ciências da Educação; Pólo –

Instituto Superior Politécnico

70

Instrumentos

O trabalho foi desenvolvido a partir de uma abordagem qualitativa e quantitativa a

partir de uma pesquisa de campo no Centro de formação Profissional das pescas do

Namibe, com alunos da 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário.

O instrumento de colecta de dados para a fundamentação teórica foi feito através de

leituras de fontes bibliográficas e documentos que tratam sobre o tema.

Para a obtenção de resultados foram aplicados um questionário semi-estruturado e

uma actividade a qual chamamos de teste diagnóstico. O primeiro contendo

questões abertas e fechadas, com o objectivo de conhecer o perfil do aluno e a sua

relação com a matemática e o segundo contendo questões abertas, uma vez que

pretendemos avaliar aplicabilidade de conceitos básicos da matemática tais como:

símbolos, termos algébricos e numéricos, incluindo linguagem, simbologia,

conteúdo, interpretação, resolução e análise de problemas para verificarmos as

dificuldades tão frequentes no campo das equações.

3.2. Resultado diagnóstico de conhecimento aplicado aos alunos

Os dados foram recolhidos por meio de um teste diagnóstico, estes foram

organizados tendo em conta os diferentes itens do teste. Para facilitar a sua

interpretação os alunos foram distribuídos pelas categorias de respostas: respostas

correctas, respostas erradas e sem resposta. A classificação das respostas, permitiu

verificar até que ponto os alunos aprende a noção equação do 1º grau e suas

aplicações.

Em seguida descreve-se os resultados.

Relativamente à primeira questão verifica-se que 2 aluno não reponderam (2,9%), 3

ficaram se dar resposta (4,35%) e 64 acertaram o problema de reconhecimento e

apresentaram a resposta (92,75%). Vide em anexo gráfico 4

A segunda questão estava relacionada com a situações-problema partindo da

compreensão do problema e teve-se: 2 alunos não responderam (2,9%), 60 erraram

(82,61%) e 10 acertaram (14,49%). Vide em anexo

A terceira questão era exercícios de algoritmo: a) 3 alunos erraram (4,35%) e 66

alunos acertaram (95,6%); b) 10 alunos ficaram sem dar resposta (14,49%), 6 erram

(8,69%) e 53 acertaram (76,81%); c) 6 alunos não deram resposta (8,71%), 7

erraram (10,14%) e 56 alunos acertaram (81,15%) anexo.

71

Tabela: 3 – Análise do teste diagnóstico

Questões Acertos Erros Sem Resposta

1 64 3 2

2 10 57 2

3

a) 66 3 0

b) 53 6 10

c) 56 7 6

Elaborado pelo: Autor

As questões 1 e 2 enquadram-se no surgimento de problemas que envolvem

equações do 1º grau.

As respostas mais frequentes foram de “ como fazer para resolver esse problema.

Outros tinham dificuldades saber qual é a incógnita, também houve alunos que não

sabiam aplicar os princípios de equivalência. Os alunos não conseguem articular os

símbolos.

Estes resultados enfatizam a dificuldade epistemológica do conhecimento das

equações, pois os alunos têm dificuldades em resolver problemas que os conduzem

a uma equação do 1º grau.

3.3. Analise dos resultados do inquérito aplicado aos professores

Elaborou-se também um inquérito, aplicado aos professores, contendo 12 perguntas

abertas afim inquerir aqueles agentes sobre os materiais que usam nas aulas sobre

ensino de resolução de problemas com equações do 1º grau, seus conhecimentos e

as dificuldades que encontram. (Anexo 1)

As entrevistas aplicadas foram do tipo semi-estruturadas considerando a

possibilidade de uma maior interacção entre o entrevistado e o entrevistador. Foram

aplicadas a professores do ensino secundário (vide em anexos).

72

Após a identificação do professor, foi levantado o seu tempo de formação e viu-se

que a maioria é formada a (+) de 10 anos, conforme se observa no gráfico nº5 em

anexo.

Em seguida, foram questionados a respeito de seu curso de formação, se este

contemplava a disciplina de metodologia de ensino da matemática e qual era a

opinião deles a respeito da disciplina. Através desse questionamento foi possível

perceber que a maioria dos professores entrevistados (78%) não teve em seu curso

essa disciplina.

Analisando este primeiros resultados, percebe-se um quadro desfavorável, uma vez

que a maioria dos professores entrevistados 22% não formou-se recentemente e

que a maior parte deles não estudou a disciplina de Metodologia do Ensino da

Matemática (78%).

Ao serem questionados sobre a metodologia da resolução de problemas, a maioria

dos professores entrevistados declarou conhecer mais, não aplicar esta metodologia

em sala de aula. Todos julgaram ser muito importante trabalhar tal metodologia

como os seus alunos, mais, afirmaram ter dificuldades ao trabalhar desta forma. Os

entrevistados afirmam na sua maioria não trabalhar com as etapas de resolução de

problemas propostos por George Polya (1995), por desconhecimento. Conforme o

gráfico em anexo.

Percebe-se que a grande maioria dos entrevistados (29,63%) diz que a prática mais

aproximada de sua actuação docente é pedir aos alunos que resolvam os problemas

que estão no livro didáctico. Isto é, sem dúvida, uma negação às propostas da

metodologia da resolução de problemas, pois nem sempre os problemas propostos

nos livros didácticos são significativos para o aluno.

Numa última análise, ao se indagar se os professores trabalham com os alunos as

etapas ou planos para resolver um problema, o resultado foi novamente

surpreendente, conforme o gráfico abaixo em anexo.

Nota-se claramente neste último gráfico que a maior parte dos entrevistados (66,7%)

não orientam os alunos na elaboração de estratégias na resolução de problemas,

comportamento que se opõe à prática defendida por Polya (1995), a qual o autor

assume em seu trabalho.

73

Portanto, é necessária uma acção conjunta no sentido de viabilizar esta e outras

metodologias em sala de aula. Os professores precisam reflectir acerca de seu

papel, mantendo-se sempre actualizados, buscando novas alternativas de ensino,

para que possam garantir ao aluno uma aprendizagem significativa.

Análise comparativa dos diagnósticos de entrada e saída.

Em síntese podemos constatar que os alunos na 1ª questão relacionada ao

problema de aplicação que estão relacionados com os tradicionais problemas de

palavras cuja solução requererem do aluno, a formulação simbólica do problema e; a

manipulação com algoritmo, obteve um numero de acertos de 92,75% e

relativamente a 2ª questão relacionado com um problema aberto em que não

contem no enunciado, uma estratégia para a resolução, embora apresente muitas

vantagens, como a abordagem de diversos conteúdos matemáticos num único

problema, houve o menor numero de acertos na ordem dos (14,49%).

que a maior parte dos entrevistados (66,7%) não orientam os alunos na elaboração

de estratégias na resolução de problemas, comportamento que se opõe à prática

defendida por Polya (1995), a qual o autor assume em seu trabalho.

Sendo assim, professor deve propor situações-problema que possibilitem a

produção do conhecimento, onde o aluno deve participar activamente

compartilhando resultados, analisando reflexões e respostas, enfim aprendendo a

aprender.

Quando o professor adapta a metodologia de resolução de problemas, seu papel

será incentivador, facilitador, mediador das ideias apresentadas pelos alunos, de

modo que estas sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e a gerarem seus

próprios conhecimentos.

Deve criar um ambiente de cooperação, de busca, de exploração e descoberta,

deixando claro que o mais importante é o processo e não o tempo gasto para

resolve-lo ou a resposta final.

Dado um problema para ser resolvido em grupo, é importante que o professor:

Permita a leitura e a compreensão do mesmo;

Proporcione a discussão entre os alunos para que todos entendam o que se

busca no problema propicie a verbalização;

Não responda directamente as perguntas feitas durante o trabalho e sim

incentive-os com novos questionamentos, ideias e dicas;

74

Após a determinação da solução pelos alunos, discuta os diferentes caminhos

de resolução, incentivando para soluções variadas – também discuta

soluções erróneas;

Estimule a verificação.

Não existe um Modelo único para a Resolução de problemas nem para ensinar a

resolver problemas. No entanto o Modelo de Polya continua a ser um referencial

para a investigação nesta área.

O diagnóstico realizado permitiu detectar que os métodos de ensino utilizados

actualmente não propiciam o papel activo dos alunos durante o processo de

assimilação dos conteúdos básicos de matemática.

A proposta metodológica apresentada, baseada no papel activo e autorregulado do

aluno, na significação do conteúdo e o papel da comunicação e o uso da resolução

de problemas, reúne características que a fazem pertinente para contribuir na

activação do processo de ensino-aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino

secundário no Namibe.

3.4. Validação da proposta metodológica

A validação qualitativa da proposta metodológica foi feita pelo método de Delphi

(critério de Validação pelos peritos) tida como útil para investigações pedagógicas,

sob base de duas perspectivas: Campystrous y Riso, que consiste no seguinte: As

questões a avaliar pelos peritos devem constar numa das categorias: Muito

adequado (MA), bastante adequado (BA), adequado (A), pouco adequado (PA) e

não adequado (NA). O objectivo do método proposto por Campystrous (1990,p.7-8)

e Rizo; consiste em determinar a medida empírica da probabilidade, tal que, cada

questão seja situada numa das categorias MA, BA, A, PA ou NA, onde o método

considera como hipótese uma distribuição normal. O método permite ainda

determinar os limites superiores de cada categoria e os valores de escala que

correspondem a cada indicador ou questão a avaliar. Possibilitando assim avaliar

cada indicador da proposta feita.

Durand citado por Grelo (2009) definiu perito como:

“É um indivíduo, um grupo de indivíduos ou uma organização capazes de oferecer

valorização conclusiva de um problema e fazer recomendações a respeito dos seus

momentos fundamentais com um máximo de competência.”

75

Os peritos foram consultados individualmente, mediante inquérito (Anexo 3), com o

objectivo de obter uma valorização e opiniões sobre as discrepâncias. Para tal,

metodologicamente, seguiram-se três fases:

1. A elaboração do questionário;

2. Selecção dos Peritos a inquirir;

3. A recolha, análise e interpretação dos dados.

Para que um profissional se assuma como perito numa dada temática, requer um

certo nível de competência demonstrada. Este nível de competência pode ser dado

pelo coeficiente K, calculado a partir da sua própria opinião sobre o seu grau de

conhecimentos acerca do problema e das fontes que permitem argumentar os seus

critérios, dado pela fórmula, onde: K= 12

(Kc + Ka) , onde Kc indica o coeficiente de

conhecimentos do perito sobre o problema e cujo valor é determinado multiplicando

por 0,1, o valor do nível de informação quanto ao problema tratado, dado pelo

próprio perito numa escala de zero a dez (onde zero indica o nível mais baixo e dez

o pleno conhecimento do assunto);

Ka Indica o coeficiente de argumentação ou informação do perito a partir das fontes

padronizadas.

Selecção dos Peritos

Foram seleccionados quinze (15) profissionais da educação das áreas de

Matemática e Pedagogia do Instituto Superior de Ciências da Educação (ISCED), da

Escola de Formação de Professores e coordenadores de Matemática das escolas do

I ciclo do Namibe.

Esta selecção baseou-se nas respostas ao teste de auto-avaliação do perito, vide

em (Anexo 3), tendo em conta os seguintes aspectos:

(1) Anos de experiência e docência, (2) categoria do professor, (3) Grau cientificam,

(4) Centro onde trabalha, (5) cargo que ocupa e (6) coeficiente de competência em

relação ao tema da pesquisa (Tabela 5).

Caracterização dos peritos

Os peritos seleccionados apresentam as seguintes características:

- Tempos de experiência profissional – Doze (11) peritos, têm mais de 20 anos de

trabalho e um (4) com mais de 10 anos.

- Grau científico – (13) é mestrados e (2) são licenciados em Ensino de Matemática.

76

- Coeficiente de competência – foi tomado o nível alto como revelam os valores de

todos os peritos, conforme a tabela 5.

Valorização teórica da efectividade da Proposta Metodológica.

Foram seleccionados como critérios de qualidade para a avaliação da alternativa

metodológica os seguintes indicadores:

Os objectivos

Modelo

Exigências de aplicação do modelo

Os métodos e meios de ensino

O conteúdo

A estratégia

O sistema de avaliação

Sobre estes critérios foram formuladas oito questões às quais os peritos deveriam

responder com base nas categorias: MA – muito Adequada; BA – bastante

adequada; A – adequada; PA – pouco adequada e NA – não adequada.

Estes resultados foram organizados em tabelas de frequência absolutas (Tabela 7),

frequência absolutas acumuladas (Tabela 8) e frequências relativas acumuladas.

Usando o critério de normalidade foram determinados os valores das probabilidades

numa distribuição normal que a seguir se apresentam:

Estes resultados provam que existem evidências suficientes para se considerar a

proposta metodológica válida para a sua aplicação no processo de ensino-

aprendizagem da resolução de problemas que conduzem à equações do 1º grau.

Conclusão do Capítulo III

Dos resultados obtidos partindo do critério dos peritos para validação do modelo e

da proposta metodológica, pode-se afirmar o seguinte:

1. Os peritos apresentam um elevado nível de competência.

2. As suas respostas ao questionário formulado permitem concluir que o modelo

feito representa uma proposta metodológica válida para contribuir no

melhoramento do processo de ensino-aprendizagem da Matemática na 8ª

classe do 1º ciclo do ensino secundário na província do Namibe.

77

3. Os alunos são capazes de aplicar as heurísticas e os procedimentos para

resolver exercícios/problemas com texto que conduzem às equações do 1º

grau.

Conclusões Gerais

1. O diagnóstico realizado permitiu detectar que os métodos de ensino utilizados

actualmente não propiciam o papel activo dos alunos durante o processo de

assimilação dos conteúdos básicos de matemática.

2. A alternativa metodológica apresentada, baseada no papel activo e

autorregulado do aluno, na significação do conteúdo e o papel da

comunicação e o uso da resolução de problemas, reúne características que a

fazem pertinente para contribuir na activação do processo de ensino-

aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino secundário no Namibe.

3. A aprendizagem baseada na resolução de problemas tem revelado, segundo

a bibliografia, numa abordagem metodológica capaz de tornar os alunos

independentes, criativos e críticos pelo nível de participação que deles exige

na construção de conhecimentos. Estas qualidades foram atestadas pelos

peritos que a validaram.

4. Existe consenso entre os peritos inquiridos que a alternativa apresentada tem

uma alta relevância. o processo de constatação empírica da proposta,

desenvolvida no grupo de aluno da 8ª classe do Cefopescas do Namibe,

permitiu avaliar as mudanças que se produziram nos alunos submetidos ao

tratamento, o que evidenciou efeitos positivos na activação da aprendizagem

mediante a resolução de problemas. Foi muito favorável à satisfação que eles

manifestaram pelo processo de ensino aprendizagem da matemática e seus

resultados.

78

Recomendações

1. Desenhar e efectuar uma experiencia pedagógica em sala de aula com

alunos de diferentes classes para à aplicação da alternativa metodológica

apresentada no 1º ciclo do ensino secundário no Namibe que permita

comprovar na prática sua eficiência, pertinência e efectividade.

2. As escolas onde se lecciona a 8ª classe devem organizar aulas

metodológicas para professores de forma a superar e promover a qualidade

de ensino-aprendizagem da matemática em geral e da resolução de

problemas em particular.

3. Realizar experiência pedagógicas que permitam avaliar a eficácia da

alternativa metodológica e sua possível generalização a nível do ensino em

Angola.