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• Funcionamento Básico
• Tipos de Trajetória• Trajetórias Ponto a Ponto
• Trajetórias Coordenadas ou Isócronas
Controle Cinemático de Robôs Manipuladores
Prof. Silas do Amaral - UDESC 2
• Trajetórias Coordenadas ou Isócronas
• Trajetórias Contínuas
• Geração de Trajetórias Cartesianas
• Interpolação de Trajetórias• Interpoladores Lineares
• Interpoladores Cúbicos
• Interpoladores a Trechos
• Amostragem de Trajetórias Cartesianas
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Esquema de uma Junta
Prof. Silas do Amaral - UDESC 3
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Malha de Controle de Posição de um Robô Industrial
Prof. Silas do Amaral - UDESC 4
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Malha de Controle de Posição de um Robô Industrial
Prof. Silas do Amaral - UDESC 5
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Malha de Controle de Posição de um Robô Industrial
Prof. Silas do Amaral - UDESC 6
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Esquema Simplificado do Controle Cinemático
Prof. Silas do Amaral - UDESC 7
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Discretizar a trajetória cartesiana em um número adequado depontos.2
A partir das especificações para o movimento pretendido, produzir umatrajetória analítica no espaço cartesiano, discriminando no tempo ascoordenadas cartesianas do EFr = (x, y, z, α, β, γ).
1
O controle cinemático consiste das seguintes etapas:
Etapas do Controle Cinemático
Prof. Silas do Amaral - UDESC 8
Tratar singularidades e soluções múltiplas.4Interpolar os pontos nas coordenadas das juntas, gerando para cadavariável articular uma expressãoqi(t), realizável pelos atuadores, e queproduza a trajetória cartesiana desejada.
5
Usando a cinemática inversa, converter estes pontos em coordenadasarticularesq = (q1, q2, q3, q4, q5, q6).
3
Discretizar a trajetória cartesiana em um número adequado depontos.2
Discretizar a trajetória articular a fim de fornecer referências para ocontrole dinâmico.6
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Seguimento de Trajetória Linear no Espaço Cartesiano
Prof. Silas do Amaral - UDESC 9
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ObjetivoTrajetória linear der1 a r4 no tempo T
Seguimento de Trajetória Linear no Espaço Cartesiano
Seleção de Pontosr1, r2, r3 e r4
Cinemática Inversar1 ���� q1 r2 ���� q2
r3 ���� q3 r4 ���� q4
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InterpolaçãoPolinômio Cúbico
ResultadoTrajetóriaCartesiana
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• Trajetórias Ponto a Ponto
• O camando do movimento de uma articulação é independente do das demais. Cada junta alcança seu destino no menor tempo possível.
• Movimento eixo a eixo. Um só eixo é movido de cada vez, resul-tando num maior tempo de ciclo, porém, com menor consumo de po-tência instantânea por parte dos atuadores.
Tipos de Trajetórias
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tência instantânea por parte dos atuadores.• Movimento simultâneo de eixos. Os atuadores começam a mover
as articulações do robô ao mesmo tempo com velocidades específicaspara cada uma delas.
• Trajetórias Coordenadas ou Isócronas
• Um cálculo prévio é feito para que o movimento de cada eixo tenha a mesma duração da articulação mais lenta. Esta estratégia produz tra-jetórias imprevisíveis para o EF.
• Trajetórias Contínuas
• Realização de uma trajetória específica. É preciso calcular de maneira contínua as trajetórias articulares.
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Movimento Eixo a Eixo
Trajetórias Ponto a Ponto
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Movimento Simultâneodos Eixos
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Trajetórias Coordenadas
Trajetórias Isócronas e Contínuas
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Trajetórias Contínuas
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Geração de Trajetórias Cartesianas Interpolação Linear da Posição
Em geral, o movimento do robô é definido por meio de trajetóriascartesianas. É freqüente especificar apenas os pontos inicial e final.
Se estes pontos estiverem muito separados, é necessário selecionarpontos intermediários, o que é feito através de um interpolador.
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( ) ( ) i
if
iif
ttt-t
-t rrrr +−
=A interpolação mais comum é a linear,para a qual a velocidade é constantedesde seu valor inicial r i até o final r f:
Se o robô tiver que passar por mais do que dois pontos nãoalinhados, este interpolador causará descontinuidade de velocidade.Este problema pode ser resolvido usando outros interpoladores.
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Geração de Trajetórias Cartesianas Interpolação Linear da Orientação
Métodos paraRepresentaçãoda Orientação
A utilização das matrizes de rotação leva a resultados inconsistentes,devido a necessidade de serem ortonormais. Considere o exemplo:
Matrizes de RotaçãoÂngulos de Eulerou Quatérnios{ Cada um destes
métodos produz����s trajetórias
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=100
010
001
iR
−−
=001
100
010
fR
−−
=21021
21210
02121
mR
devido a necessidade de serem ortonormais. Considere o exemplo:
OrientaçãoInicial
OrientaçãoFinal
Orientação IntermediáriaInterpolação Linear
R(z,90o)seguida de
R(x,90o)
Rm não é ortonormal e, portanto, não correspondea uma orientação válida.
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( ) ( )
( ) ( ) iif
iif
iif
iif
βtt
t-tββtβ
αtt
t-tααtα
+−
−=
+−
−=
Geração de Trajetórias Cartesianas Interpolação Linear da Orientação
A utilização dos ângulos de Euler nãoapresenta este inconveniente.
Partindo da orientação inicial (ααααi, ββββi, γγγγi)para a orientação final (ααααf, ββββf, γγγγf), sãoválidas as seguintes interpolações :
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( ) ( ) iif
iif γ
ttt-t
γγtγ +−
−=válidas as seguintes interpolações :
O inconveniente desta trajetória é que, do ponto de visto do usuário,não é intuitiva, com estranhas evoluções da orientação.
A evolução mais natural consiste num giro de maneira progressivaem torno de um eixo fixo, o que qualifica os quatérnios como o meiomais adequado para gerar a trajetória cartesiana de orientação.
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Interpoladores Lineares
Deseja-se que uma das articulações q dorobô passe sucessivamente pelos valores[q1, q2, q 3, ....] nos instantes [t1, t2, t3, ....]com velocidade constante entre duasposições sucessivas. Com isso, a trajetóriaentre as posições qi-1 e qi será dada por:
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( )
1ii
i1i
1i1i
1ii
ttT :onde e
tttaraTt-t
)t(
−
−
−−
−
−=<<
+−=
p
qqqq
Assegura a continuidade da posição.Não evita saltos bruscos na velocidade.Exige aceleração infinita ( Impossível ).
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( ) ( ) ( ) ( ) i1i31i21i1i tttparat-tdt-tct-tbat <<+++= −−−−q
Interpoladores Cúbicos
Para assegurar continuidade em velocidade, pode-se usar umpolinômio de 3o grau, unindo cada par de pontos adjacentes, do tipo:
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( )
( ) ( )i1i2
1ii3
1i
i2
1i2
1ii2
1i
T1
T2
db
T1
T2
T3
ca
qqqqq
qqqqq
&&&
&&
++−−==
−−−==
−−−
−−−
Os parâmetros a, b, c e d de cada polinômio são obtidos a partir dasquatro condições de contorno: posições e velocidades em t i-1 e t i.
Fazendo T = t i - t i-1,os parâmetros são:
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Interpoladores Cúbicos
Para calcular os coeficientes do polinômio cúbico, é preciso conheceros valores das velocidades de passagem pelos pontos de interesse.
Para isso, há diversas alternativas. Numa delas, as velocidades sãoobtidas de:
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( ) ( )
( ) ( )
−=−
−−+−
−≠−=
+−−
−
+
+
+−
i1i1ii1ii
1ii
i1i
i1i
i1i1ii
i
settt-t2
1
se0
qqsignqqsignqqqq
qqsignqqsign
q&
Admitindo que a partida/chegada em cada ponto ocorra na situaçãode repouso, garante continuidade em velocidade e em aceleração.
Outra alternativa consiste em obter as velocidades de passagem apartir das velocidades de passagem projetadas no espaço da tarefa.
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Interpolador a Trechos Ligando Dois Pontos Velocidades Inicial e Final Nulas
Trecho 1: Polinômio de 2o grauVelocidade cresce linearmenteAceleração é constante e positiva
Trecho 2: Interpolador linearVelocidade é constanteAceleração é nula
Trecho 1: Polinômio de 2o grau
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( )
<<δ
+−+
δ≤<δ+−
δ≤+
=
Tt-Tt2A
-tAT2
ATq
-TtVtA2
Vq
tt2A
t
22
1
20
20
s
ss
sq
q
Trecho 1: Polinômio de 2o grauVelocidade decresce linearmenteAceleração é constante e negativa
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Interpolador a Trechos Ligando Vários Pontos Velocidades de Passagem Não Nulas
Para que não sejam produzidosmovimentos descontínuos, faz-se umajuste parabólico nas proximidades dospontos de passagem.
Quanto maior a aceleração, mais se
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Quanto maior a aceleração, mais seaproxima do interpolador linear.
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( ) ( )( ) ( )
δ+<<δ−δ++−+
δ−≤≤−+
= 112
11
011
1
010
TtTT-t2
T-tT
Tt0tT
taqq
q
qqq
q
1
Interpolador a Trechos Ligando Vários Pontos Velocidades de Passagem Não Nulas
T R A J E
T Ó R
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( ) ( ) ( )
( )
+<<δ+−+
δ+<<δ−δ+++=
21122
121
1111
TTtTT-tT
TtTT-t2
T-tT
t
qqq
qq1
( ) ( )δ
−−−=
21
012
121
TT2TqT qqq
a2
max 2e δ= a
R I A
ACELERAÇÃO ERRO MÁXIMO
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CRIAÇÃO DO ROBÔ R3 GERAÇÃO DA TRAJETÓRIA
Simulação no MatLab
Prof. Silas do Amaral - UDESC 23
L1 = link([0 1 0 0 0]);
L2 = link([-pi/2 0.5 0 0 0]);
L3 = link([0 0 0 0.5 0]);
R3 = robot({L1 L2 L3});
qi = [pi/2 -pi/2 0];
qf = [-pi/2 pi/2 0];
t = [0:0.05:5];
q = jtraj(qi, qf, t);
ANIMAÇÃO DO ROBÔ R3 plot(R3, q, 'noname');
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Obtenção da Cinemática Inversa a partir da MTH
Simulação no MatLab - 1
puma560echo on
q = [0 -pi/4 -pi/4 0 pi/8 0];
% Carregar PUMA560% Ativar eco na tela
% Configuração das juntas
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q = [0 -pi/4 -pi/4 0 pi/8 0];T = fkine(p560, q);
qi = ikine(p560, T);
disp(' Original Calculada');disp([q' qi'])
pause
echo off
% Configuração das juntas % MTH relativa a configuração q
% Cinemática Inversa
% Comparação entre q e qi
% Pausa
% Desativar eco na tela
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Simulação no MatLab - 2
Efeito de uma Singularidade
echo on
T = fkine(p560, qr);qi = ikine(p560, T);
% Ativar eco na tela
% Para qr , dois eixos do punho % estão alinhados � -1gdl
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qi = ikine(p560, T);
disp(' Original Calculada');disp([qr' qi'])fkine(p560, qi) - fkine(p560, qr )
pause
echo off
% estão alinhados � -1gdl
% qi e qr são diferentes, mas o % EF alcança uma só posição
% Pausa
% Desativar eco na tela
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Simulação no MatLab - 3
Trajetória Retilínea no Espaço Cartesiano
echo on
t = [0:.05:2];
% Ativar eco na tela
% Vetor tempo
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T1 = transl(0.6, -0.5, 0.0);T2 = transl(0.4, 0.5, 0.2);T = ctraj(T1, T2, length(t));
pause
echo off
% Ponto inicial da trajetória% Ponto final da trajetória% Cálculo da trajetória cartesiana
% Pausa
% Desativar eco na tela
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Simulação no MatLab - 4
Cinemática Inversa para a Trajetória Retilínea
echo on
ticq = ikine(p560, T);
% Ativar eco na tela
% Tempo inicial% Cinemática Inversa
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q = ikine(p560, T); toc
pause
echo off
% Cinemática Inversa% Tempo final
% Pausa
% Desativar eco na tela
Este método é muito lento. Para um robô real, o cálculo da cinemática inversa deve durar apenas alguns mili-segundos.
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Simulação no MatLab - 5
Exibição da Trajetória Retilínea no Espaço das Junt as
echo on
subplot(3,1,1); plot(t,q(:,1)); xlabel('Tempo (s)');
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subplot(3,1,1); plot(t,q(:,1)); xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Junta 1 (rad)')
subplot(3,1,2); plot(t,q(:,2)); xlabel('Tempo (s)' ); ylabel('Junta 2 (rad)')
subplot(3,1,3); plot(t,q(:,3)); xlabel('Tempo (s)' );ylabel('Junta 3 (rad)')
pause % pressione qualquer tecla para continuarclose(figure(1))
echo off
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Simulação no MatLab - 6
Animação
echo on
plot(p560, q)
Prof. Silas do Amaral - UDESC 29
plot(p560, q)
pause % pressione qualquer tecla para continuarclose(figure(1));
echo off