Departamento de Engenharia Mecanica

ESTUDO DO COMPORTAMENTO CINEMATICO DE UMAPARTICULA ORIENTADA EM UMA TRAJETORIA FECHADA

ESPACIAL

Aluno: Ramon Felipe Brandao do Nascimento

Orientador: Mauro Speranza Neto

1 Introducao

Por definicao, curvas espaciais sao aquelas que se restringem ao <3, universo no qual tudoo que e palpavel existe. Portanto, restringir-se a esse espaco vetorial ja e suficiente para descre-ver qualquer trajetoria que uma partıcula venha a percorrer. No trabalho anterior a este, curvasplanas conicas foram analisadas cinematicamente por meio de suas equacoes parametricas como intuito de as simular como partes da trajetoria que um veıculo percorreria em uma pista realde corrida, embora se desprezasse os efeitos de relacao pneu-solo, por exemplo. Ao final do tra-balho, os principais parametros vetoriais cinematicos como velocidades, aceleracoes e centrosinstantaneos de rotacao puderam ser determinados com sucesso, podendo ser utilizados comotrajetorias.

Embora o modelo anterior seja interessante para aplicacoes em pistas planas, na vida reala maioria dos circuitos dispoem de inclinacoes que devem ser consideradas nos modelos. Po-dem ser citados como exemplo os circuitos de Spa-Francorchamps e Laguna Seca com suasfamosas curvas Eau Rouge e Corkscrew respectivamente, em que no modelo bidimensional se-riam curvas simples, mas no modelo tridimensional pode-se perceber a complexidade que suasinclinacoes provocam na manobrabilidade dos veıculos.

Este trabalho tem como objetivo o entendimento do comportamento da cinematica de curvastridimensionais, avancando em relacao ao trabalho anterior, com o intuito de aproximar circuitosreais de corrida e entender a dinamica por tras de suas curvas e inclinacoes. Alem disso, foifeita uma breve analise do comportamento cinetico por tras de “retas infinitas”, que sao pistascirculares construıdas com um perfil parabolico de inclinacao, a fim de se observar a influenciada inclinacao no ganho de velocidade maxima permitida e no acrescimo da forca vertical sobreo veıculo.

2 Retas Infinitas

Bastante utilizadas pelas industrias automotivas para testar seus veıculos, as retas infinitassao pistas circulares de perfil parabolico que permitem aos carros chegarem as suas velocidadeslimites ao irem subindo de inclinacao na pista sem a necessidade de estercamento do volante.

A possibilidade do veıculo percorrer a curva no plano inclicando sem estercar o volante edevido a aceleracao centrıpeta, que pela Primeira Lei de Newton leva a uma reacao inercialchamada forca centrıfuga, que por sua vez tende a aumentar a reacao da normal sobre o veıculo.

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Assim, para uma dada inclinacao, raio de curvatura e velocidade, o veıculo se mantem estavelna pista.

A figura 1 apresenta uma visao aerea do campo de provas da GM em Cruz Alta - RS, emque pode ser visto o cırculo perfeito da reta infinita.

Figura 1: Reta Infinita em Cruz Alta - RS

2.1 Equacionamento

Para se analisar os efeitos dos parametros da curva na dinamica do veıculo pode ser feitoum diagrama de corpo livre, como o indicado na figura 2. A partir dele, por um equilıbrio deforcas nos eixos X e Y, algumas relacoes entre os parametros podem ser achadas.

Figura 2: Diagrama de Corpo Livre

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A equacao 1 representa o equilıbrio de forcas no eixo Y, enquanto que a equacao 2 representao equilıbrio de forcas no eixo X nas duas situacoes crıticas, que sao quando o carro esta no limitepara descer ou subir o plano, respectivamente.

Fcp · sen(θ) + P · cos(θ) = Fn (1)

Fcp · cos(θ)± µ · Fn = P · cos(θ) (2)

A partir das equacoes 1 e 2 pode-se determinar as velocidades e angulos nas situacoes limitesem funcao dos demais parametros, dado pelas equacoes 3 e 4.

V =

√sen(θ)∓ µ · cos(θ)cos(θ)± µ · sen(θ)

(3)

θ = ±arctan(µ ·R · g ± V 2

R · g ∓ µ · V 2

)(4)

2.2 Graficos

A partir das equacoes 3 e 4, os graficos 3, 4 e 5 foram plotados com o intuito de se descobrira influencia de alguns parametros da pista no comportamento do veıculo.

Os valores referentes ao coreficiente de atrito estatico pneu-solo (µ) utilizados sao referentesao concreto (µ = 0.85) e ao asfalto molhado (µ = 0.65).

Figura 3: Raio da pista X Velocidade Maxima

0 100 200 300 400 500 6000

50

100

150

200

250

300

350

Velocidade Máxima(km/h)

Rai

o de

Cur

vatu

ra (

m)

Raio da pista X Velocidade Máxima

µ=0.65 − 10o

µ=0.85 − 10o

µ=0.65 − 24o

µ=0.85 − 24o

µ=0.65 − 32o

µ=0.85 − 32o

µ=0.65 − 38o

µ=0.85 − 38o

µ=0.65 − 42o

µ=0.85 − 42o

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Figura 4: Raio da pista X Velocidade Mınima

0 20 40 60 80 1000

50

100

150

200

250

300

350

Velocidade Mínima(km/h)

Rai

o de

Cur

vatu

ra (

m)

Raio da pista X Velocidade Mínima

µ=0.65 − 10o

µ=0.85 − 10o

µ=0.65 − 24o

µ=0.85 − 24o

µ=0.65 − 32o

µ=0.85 − 32o

µ=0.65 − 38o

µ=0.85 − 38o

µ=0.65 − 42o

µ=0.85 − 42o

Figura 5: Inclinacao X Velocidade Maxima

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

Velocidade Máxima(Km/h)

Incl

inaç

ão d

a P

ista

(G

rau)

Velocidade Máxima X Inclinação

µ=0.85 − R=330m

µ=0.65 − R=330m

µ=0.85 − R=400m

µ=0.65 − R=400m

µ=0.85 − R=200m

µ=0.65 − R=200m

Ao se observar o grafico 3 pode-se perceber que a velocidade maxima permitida esta in-trisicamente relacionada ao coeficiente de atrito estatico pneu-solo, inclinacao da pista e raiode curvatura. Ao se aumentar qualquer um desses parametros, a velocidade maxima tambemaumentara. Os fatores fısicos que explicam esse fenomeno estao ligados a aceleracao centrıpetae a forca de atrito. Quando se aumenta o raio de curvatura que o veıculo percorre na pista, aaceleracao centrıpeta diminui. Dessa forma, para que a forca de atrito novamente atinga seu

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limite deve-se aumentar a velocidade do veıculo, permitindo com isso uma maior velocidademaxima.

Em relacao ao angulo de inclinacao da pista, quando ele e aumentado a componente da forcapeso para baixo do plano da pista tambem aumenta. Isso permite que a velocidade maximaaumente para que a forca centrıpeta cresca. Com isso, a reacao da normal aumentara para quehaja equilıbrio dinamico das forcas no eixo X.

Assim como a velocidade maxima, a velocidade mınima permitida esta ligada ao coefici-ente de atrito, inclinacao da pista e raio de curvatura como pode ser observado no grafico 4.Com excessao do coeficiente de atrito, ao se aumentar o valor dos parametros a velocidademınima permitida tambem aumetara. Essa excessao se deve ao fato da aceleracao centrıpetadiminuir com a diminuicao da velocidade. Assim, quando o coeficiente de atrito e grande, olimite da forca de atrito aumenta, possibilitando que que se desloque naquele raio a uma menorvelocidade.

O grafico 5 fornecece informacoes quanto a inclinacao da pista em funcao da velocidademaxima para os dois diferentes solos e tres distintos raios de curvatura da pista. A principalinformacao que se pode retirar desse grafico de diferente dos demais ja analisados e quanto aassıntota horizontal presente. Pode-se perceber que existe um angulo que depende apenas docoeficiente de atrito estatico pneu-solo, tal que se pode aumentar indefinidamente a velocidadeque o equilıbrio dinamico sera verificado.

Como informacao complementar, e possıvel verificar o motivo pelo qual se usam perfisparabolicos e nao lineares nas pistas de teste das fabricantes. Como ja verificado, ao se aumentaro angulo de inclinacao da pista para um mesmo raio de curvatura a velocidade maxima permitidatambem aumenta. Assim, ao se utilizar um perfil parabolico e possıvel conseguir diversosangulos de inclinacao para um mesmo raio, aproximadamente. Caso se utilizasse um perfillinear, a pista deveria ser muito larga para se conseguir atingir velocidades limites maiores Jaque o angulo de inclinacao seria constante, deveria-se entao variar o raio de curvatura. Dessaforma, ao se utilizar o perfil parabolico a pista se torna mais enxuta, o que diminui o custode construcao, alem de deixa-la mais interessante para o uso em corridas, como era feito emMonza, na Italia.

3 Trajetorias Fechadas Espaciais

A partir de equacoes parametricas tridimensionais, curvas das mais diversas formas podemser tracadas por meio de uma unica variavel, que varia com o tempo no caso deste trabalho.Para que se pudesse analisar os parametros cinematicos das curvas foi feito um estudo inicialna literatura sobre a algebra envolvida, sendo entao encontrado um exemplo em [1] de umaanalise cinematica de uma montanha russa. O exemplo, entretanto, trata apenas da cinematicapelo vies algebrico, nao vendo a dependencia da variavel parametrica com o tempo. Para issofoi utilizado o algoritmo desenvolvido no trabalho anterior a este, sendo detalhado no exemploa seguir.

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3.1 Montanha Russa

A equacao parametrica utilizada para definir a curva analisada e dada por 5, com a = 200me b = 150m, provinda da equacao parametrica do toroide 6.

[x, y, z] = [(a+ b sin θ) cos θ, (a+ b sin θ) sin θ, b+ b cos θ] (5)

[x, y, z] = [(a+ b sin θ) cosϕ, (a+ b sin θ) sinϕ, b+ b cos θ] (6)

A figura 6 ilustra a curva analisada plotada em Matlab.

−4−2

02

4

−10

12

34

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Y/100X/100

Z/1

00

Figura 6: Percurso Montanha Russa

Para se encontrar a velocidade e aceleracao para cada θ bastaria derivar a equacao 5 pelotempo. Entretanto, nao se conhece uma equacao do tipo θ = θ(t), que relacione diretamentea variavel parametrica com o tempo. Portanto, outro caminho teve de ser tomado para quese mantivesse o significado fısico relacionando o percurso ao tempo. Para isso, foi utilizadoo seguinte algoritmo desenvolvido representado na figura 7, que relaciona o raio de curvaturainstantanio de cada intervalo de tempo com seu deslocamento.

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Figura 7: Algoritmo relacionando ρ com o deslocamento

• θ: Variavel Parametrica

• ρ: Raio de Curvatura

• ω: Velocidade Angular

• An: Aceleracao Normal

• V : Velocidade

• V0: Velocidade Inicial

• At: Aceleracao Tangencial

Para se obter o raio de curvatura e o centro de curvatura pode-se utilizar as equacao 7 e 8,respectivamente.

Na equacao 8 K e a curvatura, definida como o inverso do raio de curvatura.

dS

dθ= ρ =

√(dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

+

(dz

dθ

)2

(7)

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r + rc =

(a+ b sin θ) cos θ(a+ b sin θ) sin θ

b+ b cos θ

+

d2x

dθ2+ ρ

dx

dθ· dKdθ

d2y

dθ2+ ρ

dy

dθ· dKdθ

d2z

dθ2+ ρ

dz

dθ· dKdθ

(8)

Utilizando o programa a seguir feito em Matlab foi possıvel obter os graficos da trajetoriae centro de curvatura espaciais, alem da velocidade, aceleracao e θ em funcao do tempo, apre-sentados nos graficos 8, 9, 10, 11, 12 e 13.

1 clc;2 clear;3

4 a=200;5 b=150;6 theta(1)=0;7 X(1)=(a+b*sin(theta(1)))*cos(theta(1));8 Y(1)=(a+b*sin(theta(1)))*sin(theta(1));9 Z(1)=b+b*cos(theta(1));

10

11 V(1)=0;12 At(1)=2*9.81;13 An(1)=0;14 w(1)=0;15 R(1) = sqrt(-cos(theta(1))ˆ2*bˆ2 + 2*sin(theta(1))*a*b + aˆ2 +2*bˆ2);16

17 tf=40;18 dt=0.01;19

20 for i=1:tf/dt21 t(i+1)=i*dt;22 if t(i+1)<423 At(i+1) = 2*9.81;24 elseif t(i+1)≥10 && t(i+1)<1225 At(i+1) = 9.81;26 else27 At(i+1) =0;28 end29

30 V(i+1)=V(i)+At(i)*dt;31 An(i+1)=(V(i))ˆ2/R(i);32 A(i+1)=sqrt((An(i+1))ˆ2 + (At(i+1)ˆ2));33 w(i+1)=V(i)/R(i);34 theta(i+1)=theta(i)+w(i)*dt + At(i+1)/R(i)*dtˆ2;35 X(i+1)=(a+b*sin(theta(i+1)))*cos(theta(i+1));36 Y(i+1)=(a+b*sin(theta(i+1)))*sin(theta(i+1));37 Z(i+1)=b+b*cos(theta(i+1));38 R(i+1) = sqrt(-cos(theta(i+1))ˆ2*bˆ2 +39 2*sin(theta(i+1))*a*b + aˆ2 +2*bˆ2);40

41 VRX(i)= -3*b*cos(theta(i))*sin(theta(i)) -42 .5*((b*cos(theta(i))ˆ2 -43 (a+b*sin(theta(i)))*sin(theta(i)))*(2*cos(theta(i))44 *bˆ2*sin(theta(i))

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45 + 2*cos(theta(i))*a*b))/(-cos(theta(i))ˆ2*bˆ2 +46 2*sin(theta(i))*a*b + aˆ2 + 2*bˆ2);47

48 VRY(i)= 2*b*cos(theta(i))ˆ2 - sin(theta(i))ˆ2*b -49 0.5*((b*cos(theta(i))*sin(theta(i)) +50 (a+b*sin(theta(i)))*cos(theta(i)))*51 (2*cos(theta(i))*bˆ2*sin(theta(i)) +52 2*cos(theta(i))*a*b))/53 (-cos(theta(i))ˆ2*bˆ2 +54 2*sin(theta(i))*a*b + aˆ2 + 2*bˆ2);55

56 VRZ(i)= b+57 0.5*(b*sin(theta(i))*(2*cos(theta(i))ˆbˆ2*sin(theta(i))58 + 2*cos(theta(i))*a*b))/(-cos(theta(i))ˆ2*bˆ259 + 2*sin(theta(i))*a*b + aˆ2 + 2*bˆ2);60

61 end

−400−200

0200

400−200

0200

400

0

50

100

150

200

250

300

Y (m)

TRAJETÓRIA E CENTRO INSTANTANEO DE CURVATURA

X(m)

Z(m

)

TrajetóriaCentro de Curvatura

Figura 8: Trajetoria e Centro de Curvatura

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0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100VELOCIDADE EM FUNCAO DO TEMPO

t (s)

V (

m/s

)

Figura 9: Velocidade em funcao do tempo

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60ACELERACAO NORMAL EM FUNCAO DO TEMPO

t (s)

An

(m/s

2 )

Figura 10: Aceleracao Normal em funcao do tempo

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0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20ACELERACAO TANGENCIAL EM FUNCAO DO TEMPO

t(s)

At (

m/s

2 )

Figura 11: Aceleracao Tangencial em funcao do tempo

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60ACELERACAO EM FUNCAO DO TEMPO

t (s)

A (

m/s

2 )

Figura 12: Aceleracao em funcao do tempo

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0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

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14DESLOCAMENTO ANGULAR EM FUNCAO DO TEMPO

t (s)

θ (r

ad)

Figura 13: Deslocamento angular em funcao do tempo

4 Conclusao

Analisando os graficos obtidos conclui-se que o modelo pode ser aplicado para qualquercurva tridimensional parametrizada por uma variavel dependente do tempo, variando a partirdo algoritmo desenvolvido. A diferenca que se apresenta para a utilizacao desse modelo emoutras curvas esta somente nas equacoes parametricas que descrevem os percursos analisados.Portanto, para se aplicar este modelo a pistas de corrida como Spa-Francorchamps e LagunaSeca com suas famosas curvas e necessario que sejam escolhidas equacoes parametricas que seaproximem do trajeto percorrido.

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5 Bibliografia

1. N. Jazar, Reza. Advanced Dynamics. Rigid Body, Multibody and Aerospace Appli-cations, 1305p.

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Disponıvel em: < http://dynref.engr.illinois.edu/> Acesso em 31 jun. 2016

4. High risk, high interest - a brief history of Italian banking.

Disponıvel em: < https://www.formula1.com/content/fom-website/en/latest/features

/2015/9/high-risk–high-interest—a-brief-history-of-italian-banking.html>Acesso em: 31jun. 2016

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