4.1. Matemática - Teoria - Livro 4

– 1

FRENTE 1 Álgebra

MÓDULO 49 Permutações

1. PERMUTAÇÕES SIMPLES

São arranjos simples de n ele -

men tos tomados k a k em que n = k.

Assim, permutações simples são

agru pamentos que diferem entre si

apenas pela ordem de seus ele -

mentos.

Podemos dizer que uma per mu -

ta ção de n elementos é qualquer

agru pa mento orde nado desses n ele -

mentos.

Por exemplo, as permuta ções dos

elementos distintos A, B e C são ABC,

ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.O número de permutações sim -

ples de n elementos é dado por

2. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

Sejam α elementos iguais a a, βelementos iguais a b, γ elementosiguais a c, . . ., λ elementos iguais a l,num total de α + β + γ + ... + λ = nelementos.

O número de permutações dis -

tintas que podemos obter com esses

n elementos é

3. PERMUTAÇÕESCIRCULARES

O número de permutações cir cu -lares de n elementos é dado por

n!Pn = An,n = ––––––––– = n!

(n – n)!Pn = n!

n!Pn

(α, β, γ, ..., λ)= ––––––––––––––––

α! . β! . γ! … λ!

P’n = (n – 1)!

1. COMBINAÇÕES SIMPLES

São agrupamentos que diferem

entre si apenas pela natureza de

seus elementos.

Podemos dizer que uma com -

binação de n elementos dis tintos to -

mados k a k ( n ≥ k) é uma escolha

não ordenada de k dos n elementos

dados.

Por exemplo, as combinações

dos 4 elementos distintos A, B, C e D,

tomados 3 a 3, são ABC, ABD, ACDe BCD.

É bom notar que ABC e BAC,

bem como todas as permutações de

A, B e C, representam a mesma com -

binação. O mesmo acontece com

cada um dos agrupamentos ABC,

ACD e BCD.O número de combinações sim -

ples de n elementos, tomados k a k,ou classe k (n ≥ k), é dado por

2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO

O número de arranjos com repe -tição de n elementos k a k é dado por

3. COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO

O número de combinações comrepetição de n elementos k a k é dadopor

An,k n! n Cn,k = –––––– = –––––––––– =� �Pk k!(n – k)! k

n!Cn,k = ––––––––––

k!(n – k)!

A*n, k = nk

n + k – 1C*

n,k = Cn+k – 1,k = ( )k

1. CONCEITO DE PROBABILIDADE

Seja uma experiência em quepode ocorrer qualquer um de nresultados possíveis. Cada um dos n

resultados possíveis é chamadoponto amostral e o conjunto S detodos os pontos amostrais é chamadoespaço amostral; qualquer sub -con junto A do espaço amostral S échamado de evento.

Chama-se probabilidade de ocor -rer um evento A de um espaço amos

tral S ≠ Ø ao número ,

em que n(A) é o nú mero de elementos

n(A)P(A) = –––––

n(S)

MÓDULO 52 Probabilidade, Definição e União de Eventos

MÓDULOS 50 e 51Combinações Simples e Arranjos e Combinações com Repetição

C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 1

de A, e n(S) é o número de elementosde S.

Na prática, costuma-se dizer queprobabilidade é o quociente entreo número de casos favoráveis,que é n(A), e o número de casospossíveis, que é n(S).

2. PROPRIEDADES

Sendo S ≠ Ø um espaço qual quer,A, um evento de S e A

—, o com -

plementar de A em S, valem asseguintes propriedades:

• P(Ø) = 0

• P(S) = 1

• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P(A) + P(A—

) = 1

3. UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Sejam A e B dois eventos de umespaço amostral S ≠ Ø.

A probabilidade de ocorrer A ouB é dada por

Observe que o número de ele -mentos de A ∪ B, n(A ∪ B), é dado porn(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) ⇔

⇔ = + – ⇔

⇔ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Se A ∩ B = Ø, A e B são chama -dos eventos mutuamente exclusivos.Neste caso,

Se A ∩ B = Ø e A ∪ B = S, A e B

são chamados eventos exaustivos.

Então,

Generalizando: sejam n eventos

A1, A2, A3, ..., An de um espaço

amostral S, tais que

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S.Assim,

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =

= P(S) = 1

Além disso, se A1, A2, A3, ... , Ansão, dois a dois, mutuamente exclu si -vos, então eles são eventos exausti vos.

Assim sendo,

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =

= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

✍ Exercício ResolvidoNuma urna, existem 10 bolas nu -meradas de 1 a 10. Retirando-se,ao acaso, uma bola dessa urna,

qual a probabilidade de se tera) um múltiplo de 2 ou um múlti -

plo de 3?b) um número ímpar ou um múlti -

plo de 6?

ResoluçãoO espaço amostral é

S = {1; 2; 3; ... ; 10} e n(S) = 10.

a) 1) O evento “múltiplo de 2” é

A = {2; 4; 6; 8; 10} e n(A)= 5.

2) O evento “múltiplo de 3” é

B = {3; 6; 9} e n(B) = 3.

3) A ∩ B = {6} e n(A ∩ B) = 1.

4) P(A) = = ,

P(B) = = e

P(A ∩ B) = = .

5) P(A∪B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Logo,

P(A ∪ B) =

= + – = = 70%

b) 1) O evento “número ímpar” é

A = {1; 3; 5; 7; 9} e n(A) = 5.

2) O evento “múltiplo de 6” é

B = {6} e n(B) = 1.

3) A ∩ B = Ø e n(A ∩ B) = 0

(A e B são mutuamente ex -

clusivos).

4) P(A) = = ,

P(B) = = e

P(A ∩ B) = 0.

5) P(A ∪ B) =

=P(A)+P(B)–P(A∩B)=P(A)+P(B)

Logo,

P(A∪B)= + = = 60%.

Respostas: a) 70% b) 60%

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

n(A ∪ B)––––––

n(S)n(A)––––n(S)

n(B)––––n(S)

n(A ∩ B)––––––

n(S)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1

5––10

n(A)––––n(S)

3––10

n(B)––––n(S)

1–––10

n(A ∩ B)––––––––

n(S)

7––10

1––10

3––10

5––10

5––10

n(A)––––n(S)

1––10

n(B)––––n(S)

6––10

1––10

5––10

2 –


– 3

MÓDULO 53Probabilidade Condicional e Intersecção de Eventos

1. PROBABILIDADECONDICIONAL

Dados dois eventos A e B de umespaço amostral S ≠ Ø, chama-seproba bilidade de A condicionada a Ba probabilidade de ocorrer A, saben -do-se que já ocorreu ou vai ocorrer oevento B.Indica-se por P(A/B).

Observe que

P(A/B) = ⇔

⇔ P(A/B) = ⇔

⇔ P(A/B) =

2. EVENTOS INDEPENDENTES

Os eventos A e B de um espaçoamos tral S são independentes se

.

3. INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS

❑ Propriedade

Se A e B são independentes,

então P(B/A) = P(B) e

.

P(A ∩ B)P(A/B) = –––––––––––

P(B)

n(A ∩ B)–––––––––

n(B)

n(A ∩ B)–––––––––

n(S)––––––––––––

n(B)––––n(S)

P(A ∩ B)––––––––

P(B)

P(A/B) = P(A) OU P(B/A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)

A e B independentes ⇔

⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

A e B dependentes ⇔

⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

MÓDULO 54 Lei Binomial de Probabilidade

Considere uma experiência que érealizada várias vezes, sempre nasmes mas condições, de modo que oresul tado de cada uma seja indepen -dente das demais. Considere, ainda,que cada vez que a experiência é rea -li zada ocorre, obrigatoriamente, umevento A cuja probabili da de ép ou o complemento A

—cuja

probabilidade é 1 – p.

1. PROBLEMA

Realizando-se a experiência des -cri ta exatamente n vezes, qual é aprobabilidade de ocorrer o evento Asomente k vezes?

2. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

a) Se ocorre apenas k vezes oevento A, num total de n experiên -cias, então deverá ocorrer exata men -te n – k vezes o evento A

—.

b) Se a probabilidade de ocorrero evento A é p e do evento A

—é

1 – p, então a probabilidade de ocor -rer k vezes o evento A e n – kvezes o evento A

—, numa certa

ordem, é

p . p . p . ... . p .

k fatores

. (1 – p) . (1 – p) . (1 – p) . ... . (1 – p) =

(n – k) fatores

= pk . (1 – p)n – k

c) As k vezes em que ocorre o

evento A são quaisquer entre as nvezes possíveis. O número de manei -

ras de escolher k vezes o evento A é,

pois, Cn, k.

d) Existem, portanto, Cn,k even -

tos diferentes, todos com a mesma

probabilidade pk . (1 – p)n – k e,

assim sendo, a probabilidade procu -

ra da é

Observações

a) Fala-se em lei binomial de pro -

ba bilidade, porque a fórmula repre sen -

ta o termo Tk + 1 do de sen vol vi men to

de [p + (1 – p)]n.

b) O número Cn, k pode ser subs -

tituído por Cn, n – k ou Pnk, n – k, já que

Cn, k = Cn, n – k = Pnk, n – k = .

Cn,k . pk . (1 – p)n – k

n!–––––––––k! (n – k)!


4 –

O número real x que substitui ca da um dos númerosreais x1, x2, x3, … xn é a sua média. Podemos ter:

• Média aritmética

x1 + x2 + x3 + … + xn =

= x + x + x + … + x ⇒

⇒

• Média geométrica

x1 . x2 . x3 . … xn =

= x . x . x . … x ⇒

⇒

• Média harmônica1 1 1 1

––– + ––– + ––– + … + ––– = x1 x2 x3 xn

1 1 1 1= –– + –– + –– + … + –– ⇒

x x x x

⇒

• Média aritmética ponderada

P1 . x1 + P2 . x2 + … + Pn . xn =

= P1 . x + P2 . x + … + Pn . x ⇒

⇒

x1 + x2 + x3 +…+ xnx = ––––––––––––––––––––––n

xn = x1 . x2 . x3 . … xn

1x = ––––––––––––––––––––––––––––

1 1 1 1––– + ––– + ––– + … + ––– x1 x2 x3 xn––––––––––––––––––––––––––n

P1 . x1+P2 .x2+…+Pn . xnx = ––––––––––––––––––––––––––––

P1 + P2 + … + Pn

MÓDULO 55 Médias

MÓDULO 56 Noções de Estatística I

1. CONCEITO

Estatística é um ramo da Mate -mática Aplicada. A palavra Estatísticaprovém da palavra latina Status e éusada em dois sentidos:

• ESTATÍSTICAS (no plural) refe -rem-se a dados numéricos e sãoinformações sobre determinado as -sunto, coisa, grupo de pessoas etc.obtidas por um pesquisador.

• ESTATÍSTICA (no singular) sig - nifica o conjunto de métodos usa dosna condensação, aná li ses e inter -pretações de dados numéri cos.

De um modo geral, conceitua-seEstatística da seguinte forma:

É ciência, quando estuda popu la -ções; é método, quando serve deinstrumento a uma outra ciência. Étam bém arte, ciência-método e mé to -do-ciência, segundo vários trata dis -tas, daí advindo uma varie dade dede finições. Eis algumas:

“Conjunto dos processos que tempor objeto a observação, a clas si -ficação formal e a análise dos fenô -menos coletivos ou de massa, e porfim a indução das leis a que tais fe -nômenos obedecem globalmente”(Mil ton da Silva Rodrigues).

“A Estatística é a parte da Mate -mática Aplicada que se ocupa em ob -ter conclusões a partir de dadosobservados” (Ruy Aguiar da SilvaLeme).

“A Estatística é o estudo numé -rico dos fatos sociais” (Levasseur).

“É observação metódica e tãouni versal quanto possível dos fatoscon siderados em globo, reduzidos agrupos homogêneos e interpretadosmediante a indução matemática”(Ferraris).

2. POPULAÇÃO E AMOSTRA

❑ PopulaçãoÉ um conjunto de elementos

com uma característica comum.

O termo é mais amplo que nosen so comum, pois envolve aglo me -ra do de pessoas, objetos ou mesmoideias.

ExemploTodos os alunos do Ensino Médio

do Brasil.❑ Amostras

São subconjuntos da população,que conservam, portanto, a carac te -rís tica comum da população e são re -tira das por técnicas adequadas,cha madas de amostragem.

Exemplo500 alunos do Ensino Médio do

Brasil.

❑ ParâmetrosSão características numéricas da

população. ExemploQI médio dos estudantes do En -

sino Médio do Brasil.

❑ EstimativasEm geral, por problemas de tem -

po e dinheiro, trabalha-se com amos -tras e não com a população.


– 5

Os elementos numéricos carac-terísticos de uma amostra são esti ma -tivas dos elementos corres pon dentesna população, que são os parâ me -tros.

3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

Quando se vai fazer um levan ta -men to de uma população, um dospas sos é retirar uma amostra dessapopulação e obter dados relativos àvariável desejada nessa amostra.

Cabe à Estatística sintetizar es sesdados na forma de tabelas e gráficosque contenham, além dos va lores dasvariáveis, o número de ele mentoscorrespondentes a cada variável.

Ilustramos, a seguir, esse proce -dimento, acompanhando com umexem plo.❑ Dados brutos

É o conjunto dos dados numéri -cos obtidos e que ainda não foramorganizados.

ExemploA partir de uma lista de chama -

da, em ordem alfabética, obteve-se oconjunto de alturas, em cm, de 20estudantes:

168, 168, 163, 164, 160, 160,164, 166, 169, 169, 166, 168,162, 165, 165, 164, 168, 166,161, 168.

❑ RolÉ o arranjo dos dados brutos em

ordem crescente (ou decrescente).No exemplo apresentado, temos

o seguinte rol:160, 160, 161, 162, 163, 164,164, 164, 165, 165, 166, 166,166, 168, 168, 168, 168, 168,169, 169.

❑ Amplitude total (H)É a diferença entre o maior e o

me nor dos valores observados. Noexemplo:

H = 169 – 160 ⇒ H = 9

❑ Frequência absoluta ( fi ) É o número de vezes que o

elemento aparece na amostra:

❑ Frequência relativa ( fr )

É dada por:

em que n é o número de elementos da

amostra ( n = ∑ fi )

Observe que ∑ fr = 1

❑ Frequência relativa percentual ( ƒ% )

❑ Frequência absoluta acumulada (fa)É a soma da frequência do valor

da variável com todas as frequências

anteriores:

❑ Frequência relativa acumulada ( fra )É a soma da frequência relativa

do valor da variável com todas asfrequências relativas anteriores.

❑ Frequência percentualacumulada ( ƒ%a )

❑ Distribuição defrequênciasÉ o arranjo dos valores da variá -

vel e suas respectivas frequências.

fifr = –––

n

xi fi

160161162163164165166167168169

2111323052

∑ 20

xi fi fr

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

2

1

1

1

3

2

3

0

5

2

2 ÷ 20 = 0,10

1 ÷ 20 = 0,05

1 ÷ 20 = 0,05

1 ÷ 20 = 0,05

3 ÷ 20 = 0,15

2 ÷ 20 = 0,10

3 ÷ 20 = 0,15

0 ÷ 20 = 0

5 ÷ 20 = 0,25

2 ÷ 20 = 0,10

∑ 20 1,00

ƒ% = fr . 100

xi fi fr f%

160161162163164165166167168169

2111323052

0,100,050,050,050,150,100,1500,250,10

10555

151015

02510

∑ 20 1,00 100

xi fi fr f% fa

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

2

1

1

1

3

2

3

0

5

2

0,10

0,05

0,05

0,05

0,15

0,10

0,15

0

0,25

0,10

10

5

5

5

15

10

15

0

25

10

0 + 2 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

5 + 3 = 8

8 + 2 = 10

10 + 3 = 13

13 + 0 = 13

13 + 5 = 18

18 + 2 = 20

∑ 20 1,00 100

ƒ%a = fra . 100


6 –

4. CLASSES

O número de elementos de umaamostra, de um modo geral, é gran de.Para condensá-los, os valo res obtidosdevem ser, normalmente, distribuídosem classes.

A distribuição de frequências dos dados de uma amostra distri -buídos em classes é idêntica à que éfeita com cada valor da variável, ado -tan do-se as seguintes normas:

❑ O número de classes (nc)É da ordem de ��n, em que n é o

número total de elementos da amos -

tra.

❑ A amplitude da classe (h)É, aproximadamente, o quocien te

entre a amplitude total (H) e o númerode classes (nc).

❑ O ponto médio da classe (PM)É a média aritmética entre o limi -

te inferior e o limite superior de cada

classe. É o valor da variável que re pre -

senta a classe: PM = Xi.

❑ ExercícioNum teste de raciocínio numéri co,

obtiveram-se os seguintes da dosbrutos:

nc � ��n

Hh � ––––

nc

xi fi fr f% fa fra f%a

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

2

1

1

1

3

2

3

0

5

2

0,10

0,05

0,05

0,05

0,15

0,10

0,15

0

0,25

0,10

10

5

5

5

15

10

15

0

25

10

2

3

4

5

8

10

13

13

18

20

0,10

0,15

0,20

0,25

0,40

0,50

0,65

0,65

0,90

1,00

10

15

20

25

40

50

65

65

90

100

∑ 20 1,00 100

76 – 60 – 41 – 55 – 78 – 48 –69 – 85 – 67 – 39 – 60 – 85 – 57 – 74 – 65 – 84 – 77 – 65 –52 – 33 – 80 – 61 – 45 – 77 – 53 – 59 – 73 – 55 – 91 – 41 –94 – 65 – 94 – 98 – 89 – 88 –66 – 66 – 73 – 42 – 71 – 35 – 68 – 54 – 47 – 74 – 64 – 35 –50 – 61

Fazer a distribuição de fre -quên cias dos dados dessa amos -

tra, distribuindo-os em classes.

❑ Resolução

• Cálculo do rol

33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 –

42 – 45 – 47 – 48 – 50 – 52 –

53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 –

60 – 60 – 61 – 61 – 64 – 65 –

65 – 65 – 66 – 66 – 67 – 68 –

69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 –

76 – 77 – 77 – 78 – 80 – 84 –

85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 –

94 – 98

• Cálculo da amplitude total

H = 98 – 33 = 65

• Cálculo do número de classes

nc ≅ ��n

nc ≅ ��50 ≅ 7

• Cálculo da amplitude de classe

h = = ≅ 9,3

Adotaremos h = 10.

65––––

7

H––––nc

• Distribuição de frequências

Classes PM fi fr f% fa fra f%a

30 � 40

40 � 50

50 � 60

60 � 70

70 � 80

80 � 90

90 � 100

35

45

55

65

75

85

95

4

6

8

13

9

6

4

0,08

0,12

0,16

0,26

0,18

0,12

0,08

8

12

16

26

18

12

8

4

10

18

31

40

46

50

0,08

0,20

0,36

0,62

0,80

0,92

1,00

8

20

36

62

80

92

100

∑ 50 1,00 100

5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICADA DISTRIBUIÇÃO DEFREQUÊNCIAS

As tabelas de distribuição defrequências vistas no item 4 podemser representadas graficamente.

A finalidade principal disso éfornecer as infor mações analíticas deuma maneira mais rápida. Descre -veremos apenas três tipos de grá -ficos: histogramas, polí gonos defre quên cias e polígonos de frequên -cias acumuladas.

❑ HistogramasÉ a representação gráfica de uma

distribuição de frequências por meiode retângulos justapostos. Noeixo das abscissas, temos os limi tesdas classes e no eixo das or de nadas,as frequências (fi ou fr ou ƒ%).

❑ Polígono de frequênciasÉ um gráfico de linhas que se

obtém unindo os pontos médios dospa tamares dos retângulos do his to -grama.


– 7

❑ Polígono de frequências acumuladasPolígono de frequências acu mu ladas ou OGIVA DE

GALTON é uma representação gráfica que tem no eixodas abscissas os limites das classes e no eixo dasordenadas, as fre quências acumuladas (fa ou fra ou ƒ%a)que se situam abaixo de um determinado limite superior.

❑ ExemploFazer a representação gráfica da distribuição de

frequências apresen tada na tabela a seguir:

Observações– Conforme vemos na figura, o his to grama e o polí -

gono de fre quên cias em termos de fi, fr e ƒ% têmexatamente o mesmo as pec to, mudando apenas aes cala vertical.

– Observe que, como o 1o. valor é bem maior que zero,adotamos aproximá-lo do zero segundo a con -venção:

Classes PM fi fr f% fa fra f%a

30 � 4040 � 50

50 � 60

60 � 70

70 � 80

80 � 90

90 � 100

35

45

55

65

75

85

95

4

6

8

13

9

6

4

0,08

0,12

0,16

0,26

0,18

0,12

0,08

8

12

16

26

18

12

8

4

10

18

31

40

46

50

0,08

0,20

0,36

0,62

0,80

0,92

1,00

8

20

36

62

80

92

100

∑ 50 1,00 100

6. MEDIDAS DE POSIÇÃO

As medidas de posição servem para localizar osdados sobre o eixo da variável em questão. As mais im -por tantes são: a média, a me dia na e a moda.

A média e a mediana tendem a se localizar emvalores centrais de um conjunto de dados. Por essa ra -zão, costuma-se dizer que são me didas detendência central. A moda, por sua vez, indica aposição de maior concentração de dados.

❑ Média aritmética

– Dados não agrupadosSendo X1, X2, X3, ..., Xn os n valo res de uma variável

X, define-se mé dia aritmética, ou simplesmente mé dia,como sendo:

ExemploA média aritmética dos valores 3; 5; 7; 8 é

–– 3 + 5 + 7 + 8X = ––––––––––––– = 5,75

4– Dados agrupadosSendo X1, X2, X3, ..., Xn os n va lores da variável X

com frequên cias f1, f2, f3, ..., ƒn, respectiva mente, de fine-se média aritmética, ou sim ples mente média, como

n∑ Xi— i = 1

X = –––––––n


8 –

sendo

sendo ∑ fi = n.

ExemploA média aritmética da distribui ção

de dados a seguir é:

1 . 1 + 3 . 2 + 5 . 3 + 1 . 4—X = –––––––––––––––––––––––––

10—X = 2,6

– Dados agrupados em classes

A média aritmética é calculada

co mo no item anterior, lembrando que

cada classe é representada pelo seu

ponto médio (Xi = PM).

Exemplo

5. 3 + 10 . 5 + 14 . 7 + 8 . 9 + 3 . 11—X = –––––––––––––––––––––––––––––––– ⇒

40

⇒—X = ⇒ X = 6,7

❑ Moda (Mo)Define-se moda (ou modas) de

um conjunto de valores dados como

sendo o valor de frequência má -xima (ou os valores da fre quên ciamáxi ma).

Exemplosa) A moda do conjunto de dados 2,

2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12 é 9.Observe que 9 é o elementomais frequente.

b) O conjunto de dados 2, 3, 3, 3, 4,4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10 tem duas modas:

e

c) Para a distribuição

a moda é 248, pois é o valor de

frequência máxima (23).

d) Para os dados agrupados emclas ses, a seguir, podemos di zer,pelo menos, que a classe mo dalé 2 � 3.

❑ Mediana (Md)Colocando-se os valores da va riá -

vel em ordem crescente, a me dianaé o elemento que ocupa a posiçãocen tral. Em outras palavras: amedia na divide um conjunto de ndados em dois subconjuntos comigual número de elementos.

• Cálculo da mediana para dados não agrupados

– Se n for ímpar, a mediana é o

valor central dos n dados do rol.

É o elemento de ordem .

Exemplo

A mediana dos dados 5; 7; 8; 10;

15 é 8, que é o 3o. termo do rol.

– Se n for par, a mediana é a mé -dia aritmética dos dois dadoscentrais do rol. É a média ari t mé -tica entre os dados de ordem

e + 1

ExemploOs valores centrais do rol 5; 7; 8;

10; 14; 15 são o 8 e o 10.

A mediana dos valores deste rol é

• Cálculo da mediana para dados agrupadosem classes

Calcula-se e, pela frequência

acumulada, identifica-se a classe quecontém a mediana. Em seguida,calcula-se a mediana usando umafórmula. O mais prático, porém, é usaro gráfico de frequências acu muladaspercentuais (OGIVA DE GALTON).

Exemplo

n∑ fiXii = 1X

–= ––––––––––n

268––––40

Mo = 9

Mo1= 3 Mo2

= 8

Mo = 248

n + 1–––––

2

5 + 1(––––––) = 32

n––2

n––2

8 + 10Md = –––––––– = 9

2

n––2

xi fi1234

1351

∑ 10

Classes PM = xi fi

2 � 44 � 66 � 88 � 10

10 � 12

3579

11

5101483

∑ 40

Classes fi

0 � 11 � 22 � 33 � 44 � 5

3101785

xi 243 245 248 251 307

fi 7 17 23 20 8

Classes fi fa

34 � 45

45 � 55

55 � 65

65 � 75

75 � 85

85 � 95

5

12

18

14

6

3

5

17

35

49

55

58


– 9


10 –

1o.) no ponto B, temos fa = 58, que corres -ponde a ƒ%a = 100.

2o.)o ponto A é médio de OBe, nesse ponto, temos fa = 29, que correspon dea ƒ%a = 50.

3o.) o valor da variável asso -ciado a ƒ%a = 50 é amedia na.

4o.) da OGIVA, concluímos,pois, que Md ≅ 62.

Construída a OGIVA, a partir dos dados, note que:

MÓDULO 57 Noções de Estatística II

1. MEDIDAS DE DISPERSÃO

❑ IntroduçãoAs medidas de posição vistas até

aqui, média, mediana e moda, têmcon ceitos diferentes, detalhes pró - prios, que ajudam semelhan te men te

a representar um conjunto de dados.Entretanto, a informação forneci -

da pelas medidas de posição, emgeral, necessita ser completada pe -las MEDIDAS DE DISPERSÃO. Estasservem para indicar o quanto os da -

dos se apresentam dispersos em tor -no da região central. Carac terizam,portanto, o grau de variação existen -te no conjunto de valores e, por isso,são também chamadas MEDIDAS DEVARIABILIDADE.


– 11

ExemploSuponha que as notas de 2 alu -

nos no decorrer do ano foram:

Aluno A: 2; 3; 4; 3; 8;10 →—X = 5

Aluno B: 5; 6; 4; 5; 4; 6 →—X=5

Ambos obtiveram a mesma mé dia(X–

= 5), entretanto percebe-seclaramente que o aluno A, de péssi -mos resultados iniciais, conseguiurecuperar-se no fim, enquanto o alunoB manteve-se praticamente no mes -mo nível.

Isso significa que as notas do alu - no B não foram dispersas como asno tas do aluno A.

Portanto, a medida de posiçãopo derá ser completada por uma me -dida de dispersão (amplitude, desviomédio, desvio padrão, variância) quepassaremos a descrever.

❑ AmplitudeAmplitude (H), ou intervalo

total, é definida como a diferençaen tre os valores extremos da série, ouseja:

ExemploSejam os valores 4; 5; 7; 9; 10; 13

Por depender de apenas dois va -lores do conjunto de dados, a ampli -tude contém relativamente poucainformação quanto à dispersão, poisse sujeita a grandes flutuações deuma amostra para outra.

Suponhamos que numa classe,os pesos dos alunos se distribuamentre 45 e 75 kg, a amplitude sejaH = 75 – 45 = 30 kg. Se entrar nessaclasse um aluno com 100 kg, a nova

am plitude será 100 – 45 = 55kg,quase o dobro da anterior apenas porcausa de um aluno.

❑ DesvioUma maneira de medir o grau de

dispersão ou concentração de cada

valor da variável em relação às me -

didas de tendência central é fazer a

diferença entre o valor da variável e a

média.

Esta diferença é chamada des -vio e representada por D.

Exemplo

Um aluno que obteve as notas 2,

3, 4, 3, 8, 10 conseguiu uma média

X–

= = 5.

Os desvios de cada uma das no -

tas são:

Observe que ∑Di = 0.

❑ ObservaçãoAo calcular a média dos desvios,

para conhecer um desvio global do

conjunto, o resultado é sempre ZE RO,

pois ∑Di = 0.

Assim, para obter um resultadoque exprima a média dos desvios,costuma-se proceder de dois modos:

a) calcular a média dos módulosde cada desvio;

b) calcular a média dos quadra -dos dos desvios e em se gui daextrair a raiz quadrada.

O primeiro é chamado desvio

médio (Dm) e o segundo é chamado

desvio padrão (s).

❑ Desvio médio (Dm)

ou

❑ Desvio padrão (s)

❑ Variância

É o quadrado do desvio padrão.

H = Xmáx – Xmín

H = 13 – 4 = 9

Di = Xi – X—

2 + 3 + 4 + 3 + 8 + 10––––––––––––––––––––––

6

∑ |Di|Dm = –––––––

n

∑ fi|Di|Dm = ––––––––

n

∑ fi Di2

s2 = ––––––––––n

xi Di = Xi –—X

2343810

– 3– 2– 1– 2

35

∑ fiDi2

s = ––––––––n


12 –

1. RAZÃO

Razão entre dois números a e b

(b ≠ 0), nessa ordem, é o quociente

(ou a : b). O número a é cha mado

de primeiro termo ou antecedente, e

o número b é chamado segundo

termo ou consequente. A razão in -

versa de a e b é (a ≠ 0).

2. PROPORÇÃO

Dizemos que os números a, b, ce d (b ≠ 0 e d ≠ 0), nessa ordem,formam uma PROPORÇÃO se, e so -men te se, a razão entre a e b é igualà razão entre c e d. Indicação:

= (ou a : b = c : d),

em que a e d são chamados extre -mos e b e c são chamados meios.

3. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Dados os números a, b, c e d(b ≠ 0 e d ≠ 0), então:

1) (Fundamental)

⇔

3) ⇔

(b + d ≠ 0)

4) ⇔

(se ab tem o mesmo sinal de cd)

4. GRANDEZAS PROPORCIONAIS

❑ Notação

Em geral, letras maiúsculas do

nos so alfabeto representam GRAN -

DEZAS QUAISQUER, e letras minús -

culas do nosso alfabeto, cada uma

com um índice numérico, represen -

tam os VALORES dessas grandezas.

Assim, quando escrevemos:

A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...),estamos referindo-nos às grande zasA e B e aos seus valores a1, a2, a3, ...e b1, b2, b3, ... num dado pro ble ma.Estamos dizendo ainda que, nesseproblema, “quando a gran deza Aassume o valor a1(ou a2 ou a3 ou ...),a grandeza B assume o valor b1(ou b2ou b3 ou ...), respec ti va mente”, e que“a1 e b1 (ou a2 e b2 ou a3 e b3ou ...) são VALORES COR RES PO N -DENTES das grandezas A e B”.

❑ Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)Uma grandeza A é DIRETAMEN-

TE PROPORCIONAL a uma gran de za

B se, e somente se, AS RAZÕES entre

os valores de A e os corres pon -

dentes valores de B forem CONS -

TANTES, isto é, se A = (a1, a2, a3, ...)

e B = (b1, b2, b3, ...); então:

⇔

⇔

em que k é constante.

❑ Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)

Uma grandeza A é INVER SA -

MEN TE PROPORCIONAL a uma

gran deza B se, e somente se, OS

PRODUTOS entre os valores de A e

os corres pon dentes valores de B fo -

rem CONS TAN TES, isto é, se A = (a1,

a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...); então:

⇔

⇔

em que k é constante.

❑ Observações1) É evidente que, “se A é GDP (ou

GIP) a B, então B é GDP (ou GIP,respectivamente) a A”.

2) Quando dizemos que “A e B sãogran dezas diretamente (ou inver -sa men te) proporcionais”, esta mosquerendo dizer que “A é umagran deza diretamente (ou inver -sa men te, respectivamente) pro -por cio nal à grandeza B”.

3) Quando dizemos que “A e B sãogran dezas proporcionais”, omi tin -do a especificação “DIRETA -MENTE” ou “INVERSAMENTE”, éporque ou essa especificaçãoestá suben tendida no problema,ou o problema não depende des -sa es pecificação.

4) É evidente que duas grandezasquaisquer podem NÃO SER dire -tamente NEM inversamente pro -porcionais.

5) PROPRIEDADE: se a grandezaA = (a1, a2, a3, …) É INVERSA -MEN TE PROPORCIONAL à gran -deza B = (b1, b2, b3, …), então agrandeza A = (a1, a2, a3, …) é DI -RETAMENTE PROPORCIONAL àgrandeza

( 1 1 1 )B' = –––, –––, –––, … , b1 b2 b3

com b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, b3 ≠ 0, …

Demonstração

Se A = (a1, a2, a3, … ) e B = (b1,

b2, b3, …) são GIP, então temos que:

a1b1 = a2b2 = a3b3 = … ⇒

a––b

b––a

c––d

a––b

ad = bca c–– = ––b d

a c a + b c + da) –– = –– ⇔ –––––– = ––––––b d b d

(a ≠ 0 e c ≠ 0)

a c a + b c + db) –– = –– ⇔ –––––– = ––––––b d b d

�2)

a + c c c–––––– = ––– =––b+ d b d

a c–– = ––b d

ac a2 c2–––– = –––– =–––bd b2 d2

a c–– = ––b d

A é GDP a B

a1 a2 a2–––– = –––– = –––– = ... = kb1 b2 b3

A é GIP a B

a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = k

MÓDULO 58 Grandezas Proporcionais


– 13

a1 a2 a3⇒ ––––– = ––––– = ––––– = … ⇒

1 1 1–––– –––– ––––b1 b2 b3

⇒ A = (a1, a2, a3, …) e

1 1 1B' = ( –––, –––, –––, …), com b1,

b1 b2 b3

b2 e b3 ≠ 0, são GRANDEZAS DI -

RETAMENTE PRO POR CIONAIS.

5. DIVISÃO PROPORCIONAL

a) DIVIDIR um número N em

PARTES (suponhamos: x, y e z)

DIRETAMENTE PROPOR CIO -

NAIS aos núme ros a, b e c

significa deter minar os núme -

ros x, y e z, de tal modo que:

(I) as sequências (x, y, z) e (a, b,

c) sejam diretamente propor -

cio nais;

(II) x + y + z = N.

Para isso, usando a definição

de GDP e as propriedades das

proporções, podemos usar a

seguinte TÉCNICA OPERA TÓ -

RIA:

x y z––– = ––– = –––a b c� ⇔

x + y + z = N

x + y + z x y z–––––––––– = –– = –– = ––a + b + c a b c⇔ � ⇔

x + y + z = N

N x––––––––– = ––a + b + c a

N y⇔ �––––––––– = ––

a + b + c b

N z––––––––– = ––a + b + c c

e então calculamos x, y e z.

b) DIVIDIR um número M em PAR -

TES INVERSAMENTE PROPOR -

CIONAIS aos números m, n e p É

O MESMO QUE DIVIDIR M em

PARTES DIRETAMENTE PRO -

POR CIO NAIS aos INVERSOS:

, , ,

com m ≠ 0, n ≠ 0 e p ≠ 0.

1––m

1––n

1––p

MÓDULO 59 Regra de Três

1. REGRA DE TRÊS SIMPLES (R3S)

❑ DefiniçãoÉ o método prático empregado

para resolver o seguinte problema:

“Quando comparamos duasgran dezas A e B propor cio nais,

relacionando dois valores de A com

dois valores corres pondentes de B,

determinamos um dos qua tro va -lo res, uma vez que se jam conhe -cidos os outros três.”

❑ Técnica operatória

a1 ................ b1Valores � a2 ................ b2

(um dos quatro é a incógnita doproble ma). Se A e B forem GDP,montamos a proporção:

=

(da qual calculamos o valor desco -

nhe cido).

Se A e B forem GIP, montamosuma das proporções:

= ou =

(invertemos uma das razões e calcu -lamos o valor desconhecido).

2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA (R3C)

❑ DefiniçãoÉ o método prático empregado

para resolver proble ma análogo ao da

regra de três simples, só que en vol -

vendo MAIS DE DUAS GRAN DEZAS

PROPOR CIONAIS.

❑ Propriedades

Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é

diretamente proporcional a uma gran -

deza B(b1, b2, ...) e a uma gran deza

C(c1, c2, ...), então:

❑ Técnica operatória

(fundamental)

a1 ..... b1 ..... c1 ..... d1Valores � x ..... b2 ..... c2 ..... d2

Comparamos cada grandeza (B,C, D etc.) com a grandeza funda men -tal A (a que contém a incógnita) sepa -ra damente.

Suponhamos que ocorram:

B e A (GDP), C e A (GIP) e D e A

(GDP).Nesse caso, montamos a propor -

ção:

a1 b1 c2 d1––– = ––– . ––– . –––, com base na qualx b2 c1 d2

calculamos x.

GrandezaD

GrandezaC

GrandezaB

GrandezaA

a1 b1 c1–––– = –––– . ––––a2 b2 c2

b2–––b1

a1–––a2

b1–––b2

a2–––a1

b1–––b2

a1–––a2

Grandeza B

Grandeza A


14 –

1. PORCENTAGEM

❑ Noção intuitiva

Exemplo“O índice de analfabetismo da cidade X é de 12%

(lê-se 12 por cento)” significa que, em média, 12 de cada

100 habitantes são anal fa betos.

❑ Nomenclatura usual

Exemplo

Em “25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”, temos:

o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(%)a PORCENTAGEM é p = 20

ObservaçãoUsa-se também o símbolo “ ‰ ”, que significa “por

mil”.

Exemplos

1) “O índice de mortalidade infantil do país Y é de 15‰ao ano” significa que, em média, de cada 1000crianças que nascem por ano, 15 morrem.

2) Em “25‰ de R$ 80,00 é R$ 2,00”, temos:

o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(‰)a PORMILAGEM é p = 2

❑ Técnica operatóriaPara resolver problemas, estabe lecemos a seguinte

REGRA DE TRÊS SIMPLES:

100 (ou 1000) ..............................Pi ................................................... p'

da qual, por REGRA DE TRÊS SIM PLES, obtemos o valor

desconhecido.

ExemploCalcule 25% de 80.

Temos:100% correspondem a 8025% correspondem a x

Então:

100 80 25 . 80–––– = ––– e, portanto, x = ––––––––, isto é, x = 20.25 x 100

Ao escrevermos p%, estamos representando o

número ou p : 100.

Assim, temos:

a) (20%)2 = 4%, pois: (20%)2 =

20 2 2 2 4= (––––) = (–––) = –––– = 4%

100 10 100

b) 25% de 400 é igual a 100, pois:

2525% . 400 = –––– . 400 = 100

100

c) 32 é 80% de 40, pois:

32 ––– p GDP 32 40� ⇒ ––– = –––– ⇒

p 10040 ––– 100

⇒ p = 80 ou 32 = p% . 40 ⇒

p⇒ 32 = –––– . 40 ⇒ p = 80

100

d) 40 é 125% de 32, pois:

40 ––– p GDP 40 32� ⇒ ––– = –––– ⇒

p 10032 ––– 100

⇒ p = 125 ou 40 = p% . 32 ⇒

p⇒ 40 = –––– . 32 ⇒ p = 125

100

e) Um valor, ao passar de 32 para 40, aumentou 25%,

pois:

(100 + p)% . 32 = 40 ⇒

100 + p⇒ ––––––––. 32 = 40 ⇒ p = 25

100

f) Um valor, ao passar de 40 para 32, decresceu 20%,

pois:

(100 – p)% . 40 = 32 ⇒

100 – p⇒ –––––––– . 40 = 32 ⇒ p = 20

100

p––––100

Grandezado problema

Grandeza% (ou ‰)

MÓDULO 60 Porcentagem e Juros


– 15

g) Um valor de 50, após um aumento de 15%, passa aser 57,5, pois:

115(100 + 15)% . 50 = –––– . 50 = 57,5

100

h) Um valor de 50, após um decrés cimo de 15%, passa

a ser 42,5, pois: 85

(100 – 15)% . 50 = –––– . 50 = 42,5100

i) Um valor de 50, após um au mento de 15% e, em

seguida, um desconto de 15%, passa a ser 48,875,

pois:

(100 + 15)% . 50 . (100 – 15%) =

115 85= ––––– . 50 . –––– = 48,875

100 100

j) Um aumento de 10% seguido de um aumento de

10% não é um aumento de 20%, pois:

110% . 110% . x = 121% x =

= (100 + 21)% . x

Corresponde a um único aumen to de 21%!

k) Um desconto de 10% seguido de um desconto de

10% não é um desconto de 20%, pois:

90% . 90% . x = 81% x =

= (100 – 19)% . x

Corresponde a um único descon to de 19%!

2. JUROS SIMPLES

Denominamos juros simples aqueles que não sãosomados ao ca pital durante o tempo de seu em prego.Assim, a taxa incide apenas sobre o capital aplicadoinicialmente.

Sendo

J = juros,

C = capital,

i = taxa,

t = tempo,

M = montante,

temos:

e

3. JUROS COMPOSTOS

Neste sistema, após cada perío do (dia, mês, anoetc.), os juros são somados ao capital acumulado atéentão (juros sobre juros). Em se guida, a taxa incide sobreo novo valor obtido, e assim suces siva mente.

Então:

e

ExemploCalcule o montante ao final de três meses, com a

aplicação de um capital de R$ 10 000,00 à taxa de 4% ao

mês, pelo sistema:

a) de juros simples;

b) de juros compostos.

Resolução:

a) J =

J = = 1200

M = C + J == 10000 + 1200 = 11200

b) M = C . (1 + i)t

M = 10000 . 1 + 3

=

= 10000 . (1,04)3 =

= 10000 .1,124864 = 11248,64

Obs.: J = M – C = 11248,64 – 10000 = 1248,64

Respostas: a) R$ 11200,00b)R$ 11248,64

�4–––––100�

10000 . 4 . 3––––––––––––

100

Cit–––––100

J = M – C

M = C . (1 + i)t

M = C + J

CitJ = –––––––

100


16 –

FRENTE 2 Álgebra

1. PROPRIEDADES

• Se A é invertível, então A–1 é úni ca.

• Se A é invertível, então (A–1)–1 = A.

• Se A e B são invertíveis e de mesma ordem, então (A . B)–1 = B–1 . A–1.

• Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t.

• Se A é invertível, então det (A–1) = .1

–––––––det (A)

MÓDULO 25Propriedades da Matriz

Inversa e Equações Matriciais

1. SISTEMAS LINEARES

• Um sistema (S) de m equa -

ções lineares (m ∈ �*) com n

incógnitas (n ∈ �*), x1, x2, x3, …, xn, é

um conjunto de equações da forma:

com m ≥ 2 e n ≥ 2

no qual os coeficientes aij são núme -

ros reais não todos nulos simultanea -

mente e os termos bi são números

reais quaisquer.

• Se todos os mesmos bi forem

nulos (i = 1, 2 …, m), então (S) é um

sistema linear homogêneo.

• Dizemos que a n-upla de nú -me ros reais (α1, α2, …, αn) é umaSOLUÇÃO do sistema (S) se foremverdadeiras todas as sentenças de(S) fazendo-se xi = αi.

• Um sistema (S) é COMPATÍ VEL

(ou possível) se existir pelo me nos

uma solução; (S) é INCOM PATÍVEL

(ou impossível) se não admite so -

lução.

Se "V" é o conjunto solução (ouconjunto verdade) do sistema (S), en -tão devemos ter uma das seguintessituações:

– Compatível e determina -do: quando V é um conjunto unitário.

– Compatível e indetermi -na do: quando V é um conjuntoinfinito.

– Incompatível: quando V é o

conjunto vazio.

❑ Matrizes de um sistemaNum sistema linear, definem-se as

duas matrizes seguintes:

que recebem o nome de:

MI = matriz incompleta.

MC = matriz completa (ou as -

socia da ao sistema).

Se a matriz M.I. for quadrada, o

seu determinante é dito deter mi -nan te do sistema (D).

(s) �a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

……………………….....……………...

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n……………………………………………………am1 an2 … amn

MI =

a11 a12 … a1n b1a21 a22 … a2n b2…………………….…………………………….…am1 an2 … amn bm

MC =

MÓDULO 26Sistema Normal,

Regra de Cramer e Escalonamento


Exemplo

• O sistema

é possível e determinado, pois apre sen ta uma única soluçãoque é S = {(1, 2)}.

• O sistema

é possível e indeterminado, pois apre senta infinitassoluções da forma S = {(k, k – 2)}.

Observe, nesse exemplo, que a se gunda equação é a

primeira com am bos os membros multiplicados por 2.

• O sistema

é impossível, pois não existe par or de nado (x, y) que torne

as duas sen tenças verdadeiras "simultanea men te".

• No sistema , de finem-se:

Ml = e MC =

e o determinante do sistema D = det MI =

2. SISTEMA NORMAL

• O sistema linear (S) com "m" equações e "n"incógnitas será "NORMAL" quando:

e

❑ Resolução de um sistema normal• Teorema de Cramer

Qualquer sistema normal admite uma e uma só

solução dada por:

x1 = ; x2 =

x3 = ; …; xn = onde:

– D é o determinante do sistema.

– Di é o determinante que se ob tém de D, trocando

a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn.

Exemplo

• O sistema

é normal, pois o número de equações é igual ao número

de incógnitas e o determinante do sistema:

D = = – 2 ≠ 0

O Teorema de Cramer nos garan te que a solução éúnica e obtida por:

x = = = 1, pois Dx = = – 2

y = = = 2, pois Dy = = – 4

{x – y = 22x – 2y = 4

{x – y = 2x – y = 4

{x + 2y = 53x + 4y = 11

13

24 1

324

511

13

24

m = n D ≠ 0

511

24

– 2–––– 2

Dx–––D

13

511

– 4–––– 2

Dy–––D

13

24

{x + 2y = 53x + 4y = 11

Dn–––D

D3–––D

D2–––D

D1–––D

x + 2y = 5x + y = 3{

– 17

MÓDULO 27 Escalonamento (Método de Gauss)

1. DEFINIÇÃO: SISTEMASEQUIVALENTES

Dizemos que dois sistemas sãoequivalentes se e somente se apre -sen tarem o mesmo conjunto solução.

Para transformar um sistema numsistema equiva lente mais simples,pode-se

• permutar duas equações;• multiplicar qualquer uma das

equações por um número real dife -rente de zero;

• multiplicar uma equação porum número real e adicioná-la à outraequação.

Exemplo

Vamos resolver o sistema:

x – y + z = –2 (a1)(l) x – 2y – 2z = –1 (b1)�

2x + y + 3z = 1 (c1)

transformando-o num sistema equi -

valente mais simples, seguindo o se -

guin te roteiro:

• para obter (b2), multiplique (a1)

por –1 e adicione o resultado a (b1);

• para obter (c2), multiplique (a1)

por –2 e adicione o resultado a (c1).

x – y + z = –2 (a1)(ll) – y – 3z = 1 (b2)�

3y + z = 5 (c2)

• para obter (b3), multiplique (b2)

por (–1); para obter (c3), multiplique

(b2) por 3 e adicione o resultado a

(c2).

x – y + z = –2 (a1)(lll) y + 3z =–1 (b3)�

– 8z = 8 (c3)

Assim, como (l), (ll) e (lll) são equi -

valentes:

• de (c3), obtém-se z = –1;

• substituindo-se em (b3), ob -

tém-se y = 2 e substituindo-o em (a1),

obtém-se x = 1.

Logo, V = {(1; 2; –1)}


2. DISCUSSÃO

Se for possível transformar um sistema (S) num

sistema equivalente mais simples do tipo

pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b.

Assim, se• a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.

• a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível eindeterminado.

• a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.

x – y + z = – 2y + 3z = – 1

az = b�

18 –

1. SUBMATRIZ

Seja a matriz A = [ aij ]mxn

Submatriz de A é qualquer ma -

triz que se obtém de A eliminando-se

"r" linhas e "s" colunas. Seu deter -

minante é chamado "menor" de A, se

a matriz for quadrada.

❑ Característica de A"É a ordem máxima dos meno res

não todos nulos que se pode ex trair

de A".

2. TEOREMA DE KRONECKER

Característica de uma matriz é "p"se, e somente se:

l. Existir pelo menos um "menor"de ordem p diferente de zero(de terminante de ordem p ≠ zero).

ll. Todos os "menores" orlados ao

"menor" do item (l) de ordem

p + 1 são iguais a zero.

❑ Propriedades da característicaA característica de uma matriz

não se altera quandol. trocamos entre si duas filas

paralelas.ll. trocamos ordenadamente li -

nhas por colunas.lll. multiplicamos uma fila por uma

constante k ≠ 0.lV. acrescentamos ou eliminamos

filas nulas.

V. acrescentamos ou eliminamosuma fila que seja combinaçãolinear de outras filas paralelas.

Vl.somamos a uma fila uma com -bi nação linear de outras filasparalelas.

Exemplos

1 2 3 • Se M = 4 1 5 , então

0 – 3 – 3

p = 2, pois existe um "menor" deordem 2 diferente de zero. Por exem -plo:

1 2 e o "menor" de ordem 3 é�4 1 �

igual a zero:

1 2 3 4 1 5 = 00 – 3 – 3

1 2 –1 5 –1 • Se M = 3 1 0 4 –1 ,

4 3 –1 9 2

então p = 3, pois existe um menor de

ordem 3 diferente de zero:

1 2 –13 1 –1 = – 20 ≠ 04 3 2

e a ordem 3 é a máxima possível.

• A característica da matriz

1 2 3 4 1 50 – 3 – 3

é igual à característica das seis ma tri -zes abaixo.

1 3 2• 4 5 1 (prop. l)

0 – 3 – 3

1 4 0 • 2 1 – 3 (prop. ll)

3 5 – 3

1 10 3 • 4 5 5 (prop. lll)

0 – 15 – 3

1 2 3 0 • 4 1 5 0 (prop. lV)

0 – 3 – 3 0

1 2 3 6 • 4 1 5 10 (prop. V)

0 – 3 – 3 – 6

1 2 3 – 2 • 4 1 5 – 1 (prop. VI)

0 – 3 – 3 + 3

3. TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI

Seja (S) um sistema linear e se jam:

• "p" a característica da matriz

incompleta (Ml);

• "q" a característica da matriz

completa (MC);

• "m" o número de equações;

• "n" o número de incógnitas.

❑ Teorema de Rouché-Capelli

• p ≠ q ⇔ Sistema Impossível (SI)

• p = q = n ⇔ Sistema Possível e

Determinado (SPD)

• p = q < n ⇔ Sistema Possível e

Indeterminado (SPI)

MÓDULO 28Característica de uma Matriz e Teorema de Rouché-Capelli


Observação

No (SPI), o número Gi = n – p é

chamado grau de indeterminação do

Sistema.

Exemplos

Sejam p e q as características

das matrizes incompleta e completa,

respectivamente.

• O sistema

é impossível, pois

MI = ⇒ p = 1,

MC = ⇒ q = 2,

e portanto p ≠ q

• O sistema

é possível e indeterminado, pois

MI = ⇒ p = 1,

MC = ⇒ q = 1,

e como n = 2, temos p = q < n

• O sistema

é possível e determinado, pois

MI = ⇒ p = 2,

MC = ⇒ q = 2,

e como n = 2, temos p = q = n

11

– 1– 1

11

– 1– 1

24

� x – y = 22x – 2y = 4

12

– 1– 2

12

– 1– 2

24

� x + 2y = 5x + y = 3

11

21

11

21

53

x – y = 2x – y = 4{

– 19

1. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO (SLH)

Para um sistema linear homogê neo:• as matrizes M.l. e M.C., em bo ra diferentes, terão

certamente a mes ma característica (p = q). Um S.L.H. é,pois, sempre possível;

• a ênupla (0, 0, …, 0) sempre é solução da equa -ção ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0, ai ∈ � (chamada trivial);

• A "C.N.S." para o S.L.H. admitir

– só uma solução trivial é p = n.– outras soluções além da trivial é p < n.

Exemplox + 2y + z = 0

O sistema � 3x + y – z = 0

ax + 2y – z = 0 é sempre possível, pois:

• (0, 0, 0) é solução;

1 2 1 • MI = 3 1 – 1 tem

a 2 – 1

ca racterística p ≥ 2, pois existe um menor de ordem 2diferente de zero:

� 1 2 �3 1

A característica p é igual a 2 se o menor de ordem 3for igual a zero, ou seja:

13� 1 2 1 � – 3a + 13 = 0 ⇔ a = ––––3 1 – 1 =3

a 2 – 1

A característica p é igual a 3 se o menor de ordem

3 for diferente de zero, ou seja, se a ≠ .

Assim,se a = , o sistema ad mite infinitas soluções

além da forma tri vial (0, 0, 0), soluções da forma

S = { k, – , }. E, se a ≠ , o sistema admite

somente a solução trivial (0, 0, 0).

13–––3

13–––3

4k–––3

5k–––3

13–––3

MÓDULO 30 Sistema Linear Homogêneo

1. TEOREMA DE CRAMER

• det MI = D ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e

determinado.

2. TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI

• p ≠ q ⇔ o sistema é impossível.• p = q = n ⇔ o sistema é possí vel e determinado.• p = q < n ⇔ o sistema é pos sível e indeterminado,

sendo:p – característica da MI

q – característica da MC

n – número de incógnitas

3. MÉTODO DE GAUSS

A equação az = b do sistema (S), de três equaçõesa três incógnitas (x, y, z) após o escalonamento, po derápermitir a discussão:

• a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.• a = b = 0 ⇒ o sistema é possí vel e indeterminado.• a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.

MÓDULO 29 Discussão de Sistemas Lineares


20 –

FRENTE 3 Geometria Analítica

MÓDULO 25 Circunferência: Equações Reduzida e Geral

A circunferência é um dos mais importantes lugaresgeométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudodetalhado.

1. DEFINIÇÃO

Dado um ponto C de um plano (chamado centro) e

uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se

circunferência ao lugar geo métrico (L.G.) dos pontos do

plano que distam r do ponto C.

2. EQUAÇÃO REDUZIDA (OU CARTESIANA) DA CIRCUNFERÊNCIA

Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r.Considerando um ponto genérico P(x; y) pertencente àcircunferência, teremos:

P ∈ circunferência ⇔ dPC = r ⇔

⇔ ��(x – a)2 + (y – b)2 = r ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

A equação

é denominada equação reduzida da circunferência.

• Caso particular: Se o centro da circunferência é a

origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta

Exemplos

1) Obter a equação reduzida da circunferência de

centro C(– 2; 3) e raio 5.

ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta:

⇔(x – (–2))2+ (y –3)2 = 52 ⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25,

denominada equação reduzida.

2) Obter a equação reduzida da cir cunferência decentro na origem e raio 5.

Resolução

A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos:

(x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25

3. EQUAÇÃO GERAL (OU NORMAL) DA CIRCUNFERÊNCIA

Desenvolvendo a equação reduzida da circunfe rên -

cia: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⇔

⇔ x2 + y2 –2ax– 2by+a2+b2 – r2 = 0

Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p,

resulta:

que é denominada equação geral da circunferência.

Exemplo

Determine a equação geral da cir cun ferência de

centro C(–1; 3) e raio 5.

Resolução

A partir da equação

(x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equa ção reduzida:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desen volvida, resulta:

x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25 ⇔

⇔ x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0,

denominada equação geral da circunferência.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 + y2 = r2

x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0


– 21

MÓDULO 26 Determinação do Centro e do Raio

1. DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

❑ Equação reduzidaDada a equação reduzida de uma circunferência:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 , de imediato conclui-se que

o centro é C(a ; b) e o raio é r.

Exemplo

A circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9

tem centro C (2; – 5) e raio r = 3.

❑ Equação geralDada a equação geral de uma circunferência,

x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0, o centro e o raio são

obtidos comparando-se essa equação com a equa ção

x2 + y2 – 2a . x – 2b . y + a2 + b2 – r2 = 0.

Notando-se que os coeficientes de x2 e y2 são

iguais a 1, a obtenção do centro e do raio é feita da

seguinte forma:

• Na determinação das coordenadas do centro, os

coeficientes de x e y (m e n) devem ser divididos por

(–2), pois a partir das equações, conclui-se que:

Assim, as coordenadas do centro são:

• Obtido o centro C(a; b), o raio é determinado a par tir

da fórmula: , (com a2 + b2 – p > 0),

visto que das equações, temos:

p = a2 + b2 – r2 ⇔ r2 = a2 + b2 – p

Observações

• Quando a2 + b2 – p = 0, a equação representa

apenas o ponto C(a; b).

• Quando a2 + b2 – p < 0, a equação nada repre -

sen ta.

�m

– 2a = m ⇔ a = ––––– 2n

– 2b = n ⇔ b = ––––– 2

r = ��a 2 + b2 – p

m n C�––––; ––––�– 2 – 2

a b

Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r, com

equa ção (x – a)2 + (y – b)2 = r2 e um ponto P(x0; y0) do

plano cartesiano.

A posição do ponto P em relação à circunferência é

obtida pelo cálculo da distância do ponto P ao centro Cda circunferência e comparada com a medida do raio r.

Dessa forma, temos:

• P(x0; y0) pertence à circun fe rên cia ⇔

⇔ (x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2

• P(x0; y0) é interno à circun fe rência ⇔

⇔ (x0 – a)2 + (y0 – b)2 < r2

• P(x0; y0) é externo à circun fe rência ⇔

⇔ (x0 – a)2 + (y0 – b)2 > r2.

Exemplo

Representar gra ficamente os pon tos que satisfa -

zem à inequação x2 + y2 ≤ 9.

Resolução

A equação x2 + y2 = 9 repre senta uma circunferên cia

de centro C(0; 0) e raio r = 3. Des sa forma, a inequa ção

x2 + y2 ≤ 9 representa os pon tos da circunferência e os

pon tos internos a esta, e sua representação gráfica é:

MÓDULO 27Posição dos Pontos do Plano

em Relação a uma Circunferência


22 –

1. DEFINIÇÃO

Dados dois pontos F1 e F2 (focos) de um plano, com

F1F2 = 2f, e uma medida 2a (2a > 2f), chama-se ELIP -

SE ao lugar geométrico dos pontos P do plano, tal que:

2. ELEMENTOS PRINCIPAIS

• Centro é o ponto C;

• Distância focal = F1F2 = 2 . f;

• Eixo maior = A1A2 = 2 . a;

• Eixo menor = B1B2 = 2 . b;

• Vértices são os pontos A1 e A2;

• Polos são os pontos B1 e B2;

• Focos são os pontos F1 e F2.

A partir do triângulo retângulo CB1F1, da figura, temos:

3. EQUAÇÃO REDUZIDA

❑ Seja a elipse com eixo maior (e focos) contido no

eixo dos “x” e centro na origem:

A equação reduzida dessa elipse é:

❑ Seja a elipse com eixo maior (e focos) contido no

eixo “y” e centro na origem:

A equação reduzida da elipse, neste caso, é:

PF1 + PF2 = 2a

a2 = b2 + f2

x2 y2⎯⎯ + ⎯⎯ = 1a2 b2

x2 y2–––– + –––– = 1b2 a2

MÓDULO 28 Elipse


– 23

4. OBSERVAÇÕES

Se o centro da elipse for o ponto C (g; h) e os eixos

da elipse forem paralelos aos eixos coordenados, te re -

mos as seguintes figuras e equa ções reduzidas:

a)

b)

5. EXCENTRICIDADE

Chama-se EXCENTRICIDADE da elipse à razão:

. Como 0 < f < a, então 0 < e < 1.

(x – g)2 (y – h)2–––––––––– + ––––––––– = 1

b2 a2

fe = ––a

(x – g)2 (y – h)2––––––––– + ––––––––– = 1

a2 b2

MÓDULO 29 Hipérbole

1. DEFINIÇÃO

Dados dois pontos F1 e F2 (fo cos) de um plano, com

F1 F2 = 2f, e uma medida 2a (2a < 2f), chama-se

HIPÉRBOLE ao lugar geométrico dos pontos P do

plano, tal que:


• Centro é o ponto C;

• Distância focal = F1F2= 2 . f;

• Eixo transverso = A1A2 = 2 . a;

• Eixo conjugado = B1B2 = 2 . b;

• Vértices são os pontos A1 e A2;

• Polos são os pontos B1 e B2;

• Focos são os pontos F1 e F2;

• Assíntotas são as retas d1 e d2.

A partir do triângulo retângulo CB1D da figura, temos:


❑ Seja a hipérbole com eixo trans verso (e focos) conti -do no eixo dos “x” e centro na origem.

Sendo:

• focos: F1(f; 0) e F2(– f; 0)� • vértices: A1(a; 0) e A2 (– a; 0)

• polos: B1(0; b) e B2(0; – b)

a equação reduzida da hipérbole resulta:

❑ Seja a hipérbole com eixo trans verso (e focos)contido no eixo “y” e centro na origem.

| PF1 – PF2 | = 2a

f2 = a2 + b2

x2 y2

–––– – ––––– = 1a2 b2


24 –

Sendo:

• focos: F1(0; f) e F2(0; – f)� • vértices: A1(0; a) e A2(0; – a)

• polos: B1(b; 0) e B2(– b; 0)

a equação reduzida da hipérbole resulta:

4. COMPLEMENTOS

Se a hipérbole tiver centro no ponto C(g; h) e oseixos paralelos aos eixos coordenados, teremos as se -guin tes figuras e equações redu zi das:

a)

b)

5. HIPÉRBOLE EQUILÁTERA

❑ Uma hipérbole é denominada equilátera quan doas medidas dos eixos transversal e conjugado sãoiguais, isto é, quando as me di das a e b são iguais(a = b).

As equações reduzidas das hi pér boles equiláteras,

com centro na origem, resultam:

ou

As assíntotas, nesses casos, são as bissetrizesdos quadrantes pares e ímpares.

❑ Um caso importante de hipérbole equilátera é obtido

fazendo-se uma rotação (nos casos acima) de mo do a

deixar os eixos cartesianos como assín to tas e

focos nas bis setrizes dos quadrantes:

• Focos na bissetriz dos qua dran tes ímpares

(y = x). A equação, nesse caso, resulta ,

com k > 0.

• Focos na bissetriz dos qua dran tes pares (y = – x).

A equação, nesse caso, resulta , com k < 0.

6. EXCENTRICIDADE

, como f > a, então e > 1.

(y – h)2 (x – g)2–––––––––– – –––––––––– = 1

a2 b2

x2 – y2 = a2 y2 – x2 = a2

x . y = k

x . y = k

(x – g)2 (y – h)2–––––––––– – –––––––––– = 1

a2 b2

y2 x2

–––– – –––– = 1a2 b2

fe = –––

a


– 25

1. DEFINIÇÃO

Dados um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz), com

F ∉ d, per tencentes a um mesmo plano, chama-se

PARÁBOLA ao lugar geométrico dos pontos P do pla -

no, equidistantes do ponto F e da reta d.


• Foco é o ponto F;

• Diretriz é a reta d;

• Vértice é o ponto V;

• Parâmetro = 2 . f (VF = Vd = f).


❑ Seja a parábola com eixo de si metria contido no eixo“x”, vértice na origem e voltada para a “direita”.

Sendo:

{• foco: F (f; 0)• diretriz: x = – f

a equação reduzida da pará bola será:

❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver

voltada para a “es que r da”, teremos:

{• foco: F (– f; 0)• diretriz: x = f

e sua equação reduzida será:

❑ Seja a parábola com eixo de si me tria contido no eixo

“y”, vértice na origem e voltada para “cima”.

Sendo:

{• foco: F(0; f)

• diretriz: y = – f

a equação reduzida da pará bola será:

❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol -

ta da para “bai xo”, teremos:

{• foco: F(0; – f)• diretriz: y = f

y2 = 4 . f . x

y2 = – 4 . f . x

x2 = 4 . f . y

PF = Pd

MÓDULO 30 Parábola


26 –

e sua equação reduzida será:

4. COMPLEMENTOS

❑ Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h),eixo de simetria paralelo ao eixo “x” e voltada para a“direita”, sua equação reduzida será:

❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol -tada para a “es quer da”, sua equação reduzida será:

Desenvolvida a equação redu zi da, resultará da

forma: ,com a ≠ 0.

❑ Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h),eixo de simetria paralelo ao eixo “y” e voltada para“cima”, sua equação reduzida será:

❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol -

tada para “bai xo”, sua equação reduzida será:

Desenvolvida a equação redu zi da, resultará da

forma: , com a ≠ 0.

5. EXCENTRICIDADE

Chama-se EXCENTRICIDADE na parábola à razão:

x = a . y2 + b . y + c

(x – g)2 = 4 . f . (y – h)

(x – g)2 = – 4 . f . (y – h)

y = a . x2 + b . x + c

PFe = –––– = 1Pd

(y – h)2 = – 4 . f . (x – g)

(y – h)2 = 4 . f . (x – g)

x2 = – 4 . f . y


– 27

FRENTE 4 Geometria Métrica e de Posição

1. SECÇÃO PARALELA À BASE DE UMA PIRÂMIDE

Quando interceptamos todas as arestas laterais dapirâmide por um plano paralelo à base, que não con témesta, nem o vértice, obte mos uma secção poligonal, talque:

• As arestas laterais e a altura ficam divididas namesma razão.

• A secção obtida e a base são polígonos seme -lhantes.

• A razão entre as áreas da sec ção (As) e da base(Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distân ciasao vér tice.

• A razão entre os volumes das pirâmidessemelhantes VA’B’C’... e VABC ... é igual ao cubo darazão entre suas alturas.

• A “parte” (região) da pirâmide compreendida

entre a base e a cita da secção é denominada TRON -CO DE PIRÂ MI DE DE BASES PARA LE LAS.

2. CÁLCULO DO VOLUME DE UM TRONCODE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS

Sendo AB e Ab as áreas das ba ses, H, a altura(distância entre os planos das bases) e V, o volume deum tronco de pirâmide de bases pa ra lelas, tem-se:

3. TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS

Seccionando-se um cone por um plano paralelo àbase dele, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e umtron co de cone de bases para lelas.

Sendo R e r osraios das bases e ha altura do tronco decone de ba ses para -lelas, tem-se que oseu volu me é dadopor:

e sua área lateral é dada por:

4. SÓLIDOS SEMELHANTES

Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas éigual ao quadrado da razão de semelhança, e a razãoentre os volumes é igual ao cubo da razão de se me lhan -ça.

Assim, se dois sólidos de áreas, respectivamente,iguais a A1 e A2, e volumes, respectivamente, iguais aV1 e V2 são semelhantes numa razão K, então:

e

VA’ VB’ VC’ h–––– = –––– = –––– = … = –––VA VB VC H

As h2

–––– = ––––Ab H2

VVAB’C’... h3

––––––––– = ––––VVABC... H3

HV = ––– (AB + Ab + ��AB . Ab )

3

π hVt = ––––– (R2 + r2 + R r)3

A� = π (R + r) g

V1–––– = K3V2

A1–––– = K2A2

MÓDULO 25 Troncos


28 –

MÓDULO 26 A Esfera e suas Partes

1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA

É a superfície gerada pela revo lução completa de

uma semicircun ferência (ABA’) em torno de seu diâ metro

(AA’), como mostra a figura.

A área de uma superfície esfé rica de raio R é dadapor:

2. ESFERA

É o sólido limitado por uma su per fície esférica.

O volume de uma esfera de raio R é dado por:

3. PARTES DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

• Fuso esférico

• Zona esférica

• Calota esférica

4. PARTES DA ESFERA

• Cunha esférica

• Setor esférico

ASE = 4 π R2

π R2 α°Af = ––––––––

90°

Azona = 2π R h

Acal = 2π R h

π R3 α° Vc = ––––––––

270°

4Vesf = ––– π R3

3

2V = –– π R2 h

3


• Segmento esférico de uma base • Segmento esférico de duas bases

π hV = ––––– (3r2 + h2)

6

π hV = –––– [3 (r1

2 + r22 ) + h2]

6

– 29

MÓDULO 27 Inscrição e Circunscrição de Sólidos

1. ESFERA INSCRITA NO CUBO

r + r = a ⇔

2. CUBO INSCRITO NA ESFERA

(2R)2 = (a��2 )2

+ a2 ⇔ar = ––– 2

a��3R = ––––––

2


3. ESFERA INSCRITA NO CILINDRO

e

4. CILINDRO INSCRITO NA ESFERA

5. CILINDRO INSCRITO NO CUBO

e

6. CUBO INSCRITO NO CILINDRO

e

7. ESFERA INSCRITA NO CONE

No triângulo retângulo BCA, de acordo com oTeorema de Pitágoras, tem-se:

(2R)2 = (2r)2 + h2

h = a aR = –––2

h = a a��2R = ––––––

2r = R h = 2 . R

g2 = h2 + R2

30 –


Da semelhança dos triângulos retân gulos DOA eBCA, resulta:

8. CONE INSCRITO NA ESFERA

No triângulo retângulo MAO, de acordo com o

Teorema de Pitágoras, tem-se:

9. ESFERA INSCRITA NUMA PIRÂMIDEREGULAR DE BASE QUADRADA

No triângulo retângulo AMV, de acordo com o Teo -

rema de Pitágoras, tem-se:

Da semelhança dos triângulos retân gulos POV e

AMV, resulta:

⇔

� 2g2 = h2 + (––)2

2r h – r––– = ––––––� g

r h – r–––– = ––––––�/2 gR2 = r2 + (h – R)2

r h – r––– = ––––––R g

– 31


1. ENTES PRIMITIVOS

Entende-se por “entes primitivos”tudo o que não pode ser definido. Nageometria, usamos três conceitos pri -mi tivos: o PONTO, a RETA e o PLA -NO. Apesar de não poder defini-los,po demos estudá-los e rela cioná-los, eé isso o que a “geo me tria de posi ção”faz.

Representam-se o PONTO, aRETA e o PLANO da seguinte forma:

Observe que para os pontos usa -mos geralmente letras maiús culas,para as retas, letras minús culas epara plano, letras do alfabeto grego.

2. POSTULADOS

Entende-se por “postulado” todapropriedade que não possui de mons - tração e que, portanto, só pode seraceita por ser evidente.

❑ Postulados de existênciaa)Na reta ou fora dela

exis tem infinitos pontos:

b)No plano ou fora deleexis tem infinitos pontos:

❑ Postulado da inclusãoSe dois pontos distintos de uma

reta pertencem a um plano, ela estácontida neste plano.

❑ Postulados dadeterminação

a)Determinação da reta

Dois pontos distintos determi -

nam uma reta.

b)Determinação do planoTrês pontos não colineares de -

ter mi nam um plano.

3. CASOS DE DETERMINAÇÃODE PLANOS

Além do caso abordado no itemanterior, têm-se mais três outrasformas de se determinar um plano,que são as seguintes:

❑ Por um ponto e uma retaUma reta e um ponto não per ten -

cente a ela determinam um plano.

❑ Por duas retas concor ren tesDuas retas concorrentes de ter -

minam um plano.

❑ Por duas retas paralelas distintasDuas retas paralelas distintas de -

terminam um plano.

32 –

MÓDULOS 28 e 29Paralelismo, Perpendicularismo no

Espaço e Projeções Ortogonais


4. POSIÇÕES RELATIVAS

❑ Entre retasa)Coincidentes

Possuem todos os pontos em co -mum.

b)Concorrentes

Possuem um único ponto em co -mum.

c)Paralelas (distintas ou coincidentes)

Quando coincidem ou quandonão possuem pontos em comum eexiste um plano que as contém.

d)Reversas

Quando não existe plano que ascontém.

❑ Entre reta e plano

a)Contida

Quando todos os pontos da retaper ten cem ao plano.

b) Incidente

Quando a reta e o plano pos suemum único ponto em comum.

c)Paralela

Quando a reta e o plano não pos -suem pontos em comum.

❑ Entre planos

a)Coincidentes

Possuem todos os pontos em co -mum.

b)Secantes

Interceptam-se numa reta.

c)Paralelos

Quando coincidem ou possuemin tersecção vazia.

5. INTERSECÇÃO DE PLANOS

❑ Intersecção de dois planosSe dois planos distintos pos suem

um ponto em comum, então eles seinterceptam numa reta.

P ∈ α, P ∈ β e α ≠ β ⇒ ∃ | r |α ∩ β = r

❑ Intersecção de três planosSe três planos distintos se inter -

cep tam dois a dois em três retas,então ou elas são concorrentes nummesmo ponto, ou são paralelas.

– 33


6. TEOREMA FUNDAMENTAL DOPARALELISMO DE RETA COM PLANO

A condição necessária e sufi cien te para que umareta seja para lela a um plano é que não esteja con tidanele e seja paralela a uma reta desse plano.

7. TEOREMA FUNDAMENTAL DO PARALELISMO DE PLANOS

A condição necessária e sufi cien te para que doisplanos distintos sejam paralelos é um deles conter duasretas concorrentes entre si e pa ralelas ao outro.

r � α, r // βs � α, s // β } ⇔ α // βr � s = {P}

8. TEOREMA DE TALES

Um feixe de planos paralelos determina sobre duastransversais segmentos correspondentes respec tiva -mente proporcionais.

α //β // γ // ζ // …⇒ = = …AB

–––––A’B’

BC–––––B’C’

CD–––––C’D’

34 –


9. PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

❑ DefiniçãoUma reta é perpendicular a um pla no se, e somente

se, ela é per pen dicular a todas as retas do plano quepassam pelo ponto de intersecção dela com o plano(pé).

❑ Teorema fundamental doperpendicularismo entre reta e plano

A condição necessária e su fi ciente para que umareta seja per pen dicular a um plano é que forme ân guloreto com duas concor rentes do plano.

❑ Teorema das três perpendiculares

Sendo r perpendicular a α no ponto P, s contida em

α e passando por P, t contida em α, não passando por

P e perpendicular a s em Q, e R um ponto qualquer de

r, então a reta RQ↔

é perpendicular à reta t.

❑ Propriedades do perpendicularismo de reta com plano

a) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano

são paralelas.

b) Dois planos perpendiculares a uma mesma retasão paralelos.

t ⊥ r � αt ⊥ s � α } ⇒ t ⊥ αr � s = {P}

r ⊥ α } ⇒ r // ss ⊥ α

α ⊥ r } ⇒ α // ββ ⊥ r

– 35


10.PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS

Dois planos são perpendiculares se, e somente se,

um deles contém uma reta perpendicular ao outro.

❑ Propriedades do perpendicularismo de planos

a) Se uma reta é perpendi cular a um plano, qualquer

plano que a contenha é perpendicular ao primeiro.

b) Se dois planos secantes são perpendiculares aum ter cei ro plano, a sua intersecção também seráperpendicular a este terceiro plano.

c) Se dois planos são perpen dicu lares, toda reta deum, per pen dicular à intersecção, é per pendi cular aooutro.

11. PROJEÇÕES ORTOGONAIS

❑ Projeção de um pontoA projeção ortogonal de um ponto num plano é o “pé

da perpen dicular” ao plano pelo ponto.

O ponto P’ é a projeção ortogonal de P em α. O

plano α é chamado plano de projeção e a reta

perpendicular r é chamada reta projetante.

β ⊥ α

γ ⊥ α � ⇒ r ⊥ α

β ∩ γ = r

α ⊥ β

α ∩ β = s � ⇔ r ⊥ βr ⊂ α

r ⊥ s

r � α } ⇒ α ⊥ βr ⊥ β

r ⊥ α β ⊥ α

r � β γ ⊥ α

r � γ � ⇒ �δ ⊥ α

r � δ

36 –


❑ Projeção de uma figura

A projeção ortogonal de uma figura num plano é o

conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura.ExemploA projeção ortogonal de um cilindro num plano

paralelo ao eixo é um retângulo. A projeção do mesmo

cilindro num plano paralelo à base é um círculo.

❑ Projeção de uma retaA projeção ortogonal de uma reta num plano é o

conjunto das projeções ortogonais dos pontos da reta

neste plano.

a) Se a reta for perpendicular ao plano, a sua pro -

jeção orto gonal será um ponto.

Na figura, P é a projeção orto gonal de r em α.

b) Se a reta não for perpen di cular ao plano, a suaprojeção ortogonal será outra reta.

Na figura, r’ é a projeção ortogonal de r em �.

❑ Ângulo entre reta e planoSe uma reta é perpendicular a um plano, o ângulo

entre ela e o plano é reto. Se a reta é oblíqua em relação

ao plano, o ângulo entre ela e o plano é o ângulo que elaforma com a sua projeção ortogonal.

Na figura, temos:

a) A reta s forma ângulo reto com �.

b) O ângulo � que a reta r forma com o plano � é o

ângulo que a reta r forma com sua pro jeção

ortogonal r’.

❑ Retas de maior decliveChamamos de retas de maior declive de um plano �

em relação a um plano � às retas de � que formam omaior ângulo possível com �. Prova-se que, se os doisplanos são secantes, as retas de maior declive de umem relação ao outro são per pendiculares à intersecção.

Na figura, r é uma reta de maior declive de � em

relação a �.

❑ Ângulos entre planosDefine-se ângulo entre dois planos como sendo o

ângulo que uma reta de maior declive de um forma como outro.

Na figura,r é uma reta de maior declive de � em relação a �r’ é a projeção ortogonal da reta r em �

� é o ângulo entre � e �

– 37


1. DIEDROS

❑ DefiniçãoDois planos secantes α e β de ter minam no espaço

quatro semiespa ços.

Chama-se DIEDRO a intersecção não vazia de doisdesses semies pa ços.

Na figura, os semiplanos α e β são faces e a reta aé a aresta do diedro determinado pela intersecção dossemiespaços I e I’.

❑ Secção normal (ou reta) de um diedroChama-se secção normal (ou re ta) de um diedro a

intersecção desse diedro com um plano perpendicularà sua aresta.

Observações

a) Todas as secções retas do mesmo diedro são

congruentes.

b) A medida de um diedro é a medida da sua secção

reta.

c) Dois diedros são congruentes quando suas

secções retas são con gruentes.

2. TRIEDROS

❑ Definição

Dadas três semirretas Va

→, Vb

→e Vc

→de mesma origem

V e não copla nares, consideremos os semiespa ços I, II

e III, como se segue:

I com origem no plano (bc) e contendo Va

→

II com origem no plano (ac) e contendo Vb

→

III com origem no plano (ab) e contendo Vc→

Chama-se triedro determinado por Va

→, Vb

→e Vc

→a

intersecção dos semiespaços I, II e III.

V(a; b; c) = I ∩ II ∩ III

38 –

MÓDULO 30 Poliedros Convexos e Regulares


O ponto V é denominado vértice do triedro: as

semirretas Va

→, Vb

→e Vc

→são as arestas, os ângulos aV

^b,

aV^

c e bV^

c (ou ab, ac, e bc ) são as faces, e d1, d2, e d3

são os diedros do triedro.

❑ Relações entre as faces de um triedroa) Em todo triedro, qualquer face é menor que a

soma das outras duas.

Assim, sendo f1, f2 e f3 as faces de um triedro, temos:

b) A soma das medidas (em graus) das faces de um

triedro qual quer é menor que 360°.

Assim:

❑ Relações entre os diedros de um triedroa) Em qualquer triedro, a medida (em graus) de um

diedro aumentada de 180° supera a soma das medidas

dos outros dois.

Assim, sendo d1, d2 e d3 as me didas (em graus) dos

diedros de um triedro, temos:

b) A soma dos diedros de um trie dro está com -

preendida entre 2 re tos (180°) e 6 retos (540°).

Assim, sendo d1, d2 e d3 as me didas (em graus) dos

diedros de um trie dro, temos:

180° < d1 + d2 + d3 < 540°

3. POLIEDROS CONVEXOS

❑ DefiniçãoConsideremos um número finito n (n ≥ 4) de

polígonos convexos, tal que:– dois polígonos não estão num mesmo plano;– cada lado de polígono é co mum a dois e somente

dois polígo nos;

– o plano de cada polígono dei xa todos os demais

polígonos num mes mo semiespaço.

Assim, ficam determinados n se mi espaços, cada um

dos quais tem origem no plano de um polígono e contém

os demais.

A intersecção desses n semies paços é denominada

poliedro conve xo.

❑ ElementosUm poliedro convexo possui: fa ces, que são os

polígonos con vexos; arestas, que são os lados dos

polí gonos, e vértices, que são os vér tices dos po -

lígonos. A reunião das faces é denomi nada super fíciedo poliedro.

❑ Relação de Euler

Para todo poliedro convexo de V vértices, A arestas

e F faces, ou para sua superfície, vale a relação:

❑ Soma dos ângulos das facesEm todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos

ângulos de to das as suas faces é dada por:

4. POLIEDROS DE PLATÃO

Um poliedro é denominado polie dro de Platão

quando:

a) todas as faces têm o mesmo número de lados;

b) em todos os vértices, concorre o mesmo número

de arestas;

c) vale a relação de Euler:

(V – A + F = 2).

f1 < f2 + f3� f2 < f1 + f3f3 < f1 + f2

f1 + f2 + f3 < 360°

d1 + 180° > d2 + d3� d2 + 180° > d1 + d3d3 + 180° > d1 + d2 V – A + F = 2

S = (V – 2) . 360°

– 39


ObservaçãoExistem apenas cinco classes de poliedros de Platão.

5. POLIEDROS REGULARES (THODI)

São os poliedros de Platão em que as faces são regulares e con gruen tes.

Existem, portanto, apenas cinco tipos de poliedros regulares:

1) Tetraedros regulares

2) Hexaedros regulares (cubos)

3) Octaedros regulares

4) Dodecaedros regulares

5) Icosaedros regulares

40 –


4.1. Matemática - Teoria - Livro 4

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