Matemática Aula 00 - Teoria Funções
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RELAO: Dados dois conjuntos, A e
B, no vazios, definimos uma relaoR de A em B como um subconjunto deA x B; portanto R est contido em A xB.Considere A={0 ; 1} e B = {2 ; 3}.Temos:
A x B ={( 0 ; 2),(0 ; 3), (1; 2), (1 ; 3)}
FUNO
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NOTAO: Podemos escrever uma relao de
A em B das seguintes formas: Nomeando seus pares ordenados;R1 ={(0 ; 2),(0 ; 3),(1 ; 2), (1 ; 3)}
Atravs de uma sentena matemtica;R2= {(x,y) A x B | y = x + 1}, onde cada conjunto
representado A = {0 ; 1} B = {2 ; 3}. DOMNIO E IMAGEM DE UMA RELAOAo conjunto formado por todos os primeiros
elementos dos pares ordenados (x,y), de uma
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Relao damos o nome de domnio e representamos
Por D(R).Os segundos elementos desses pares formam oconjunto do contra domnio CD(R).
Os elementos em que o primeiro conjunto faz relaocom os elementos do segundo conjunto, chamamosde conjunto imagem, representado por Im(R).
REPRESENTAO DE UMA RELAOPodemos representar uma relao ou por um
diagrama de setas ou no plano cartesiano.
VEJAMOS UM EXEMPLO A SEGUIR.
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Sendo A= {1 ; 2} e B = {3; 4; 5; 6},temossua representao no diagrama de setas.Dada a funo Y = x + 3, onde D ={1; 2},
CD ={3;4;5;6} e Im = {4 ; 5}
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EXERCITANDO:SENDO R UMA RELAO POR R = {(x,y) IN* x IN*
|y = 2x - 10}, DETERMINE:a) R b) D(R) c)Im(R) d) grfico de R
X Y = 2X - 10 Y1 Y = 2.1 10 - 8
2 Y = 2.2 - 10 - 6
3 Y = 2.3 - 10 - 4
4 Y = 2.4 - 10 - 2
5 Y = 2.5 - 10 0 no pertence a IN*
R = {(1;8),(2;6,(3;4),(4;2)}D(R) = {1; 2; 3; 4}Im(R) = {2; 4; 6; 8}
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REPRESENTAO NO PLANO
CARTESIANO
-2 -1 0 1 2
65
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1
CONTRA DOMNIO Y
DOMNIO X
(2 ; 5)
(1 ; 4)
COORDENADAS(1 ; 4) e (2 ; 5)
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REPRESENTAO GRFICA
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10987
654
321
EIXO X
EIXO Y
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Dados conjuntos A e B, no
vazios, dizemos que a relao f de Aem B funo se, e somente se, paraqualquer x pertencente ao conjunto Aexiste, em correspondncia, um nico(I) y pertence a B tal que o par
ordenado (x,y) pertena a f. F funo de A em B V x A, | Y B| (x; y) f
FUNO - CONCEITO
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NOTAO E VALOR NUMRICO
NOTAO:Podemos escrever uma funo f: A B atravs de suasvariveis X( independente) e Y(dependente). Exemplos: Y = 3x + 4x ou f(x) = 3x + 4x Y = 2x + 1 ou f(x) = 2x + 1
VALOR NUMRICO DE UMA FUNOChamamos de valor numrico de uma funo o valorQue a varivel y = f(x) assume quando atribumos a
a x um determinado valor. Vejamos:F(x) = 3x + 4x + 6, ento f(2) = 3.2 + 4.2 + 6, f(2) =26
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DOMNIO, IMGEM E CONTRADOMNIO
SEJA A FUNO F: A B
-2.-1.0.
1.
.-2
.-1.0.1
.2.3
AB R= {(-2;-1),(-1;0),(0;1),(1;2)}
Df = {-2 ; -1; 0; 1}Imf = {-1 ;0; 1 ;2}CDf = B ={-2; -1; 0; 1; 2; 3 }
Observao: decorre da definio que Im(f) est contidoNo CD(f), Ou Im(f) est contido em B
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GRFICO DE UMA FUNO
Para esboar o grfico de uma funo no planoCartesiano, devemos atribuir valores a x,
determinando os respectivos valores numricosde Y.Vejamos o exemplo de f: E F, definida por
Y = 2x, sendo E ={0; 1; 2}e F ={-4; -2; 0; 2; 4; }x y = 2x y-2 y = 2.(-2) -4
-1 y = 2.(-1) -20 y = 2. 0 01 y = 2.1 22 y = 2.2 4
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EXERCCIOS DE FIXAO
1- SENDO R UMA RELAO POR R= {(x,y) IN* x IN* |
X + 4 = Y}, DETERMINE:a) R b)D(R) c)Im(R) d) Cd(R) e) Grfico de R2- SE Y = X + 1, e X < 6 /X IN*, CONSTRUA O
GRFICO DE R, IDENTIFICANDO SEU CAMPO DEATUAO, BEM COMO SEU DOMNIO, CONTRADOMNIO, IMGEM DE R.
OBS: OS EXERCCIOS DEVEM SER APRESENTADOSAO PROFESSOR EM ESTRUTURA DIGITAL, PARAQUE POSSAM SER VISUALIZADOS E DISCUTIDOSPOR TODA A EQUIPE.
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RECONHECIMENTO DE UMA
FUNOATRAVS DO GRFICOANALIZANDO UM GRFICO DE UMA RELAO,
PODEMOS IDENTIFICAR SE EST UMA FUNO OUNO. PARA TAL S TRAAR PERPENDICULARESAO EIXO X POR VALORES PERTENCENTES AO DOMNIO,SE TODAS AS PERPENDICULARES INTERCEPTAREM O
GRFICO EM APENAS UM PONTO, ENTO ESSA RELAOREPRESENTA POR ESSE GRFICO UMA FUNO.OBSERVE:
ESSE GRFICO REPRESENTAUMA FUNO, POIS TODAS ASPERPENDICULARES AO EIXO XINTERCEPTAM O GRFICO EMAPENAS UM S PONTO.
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Y
X
ESSE GRFICO NO REPRESENTA UMA FUNO,POIS CADA PERPENDICULAR INTERCEPTA-O EMDOIS PONTOS DISTINTOS.