4.2 Funções Densidades Con2nuas -...
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4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeExponencialAdensidadeexponencialéu:lizadacomumenteparaestabelecer
estruturasdeprobabilidadesemexperimentoscujoseventosestãosituadosnaretareal[0,∞].Umaaplicaçãogeralecomumcorrespondeàrepresentaçãooumodelagemdeexperimentosassociadosàvidaú:ldeobjetosouduraçãodeocorrências
DadensidadeGama,fazendoα=1,reparametrizandoβ=θ,obtém-searepresentaçãodadensidade
exponencial:parâmetro:θ>0
( )( ) ββ
βββ /x/x e
.ex,;xf
−−−
=Γ
==1
11
11
( ) ( ) ( )xIe;xf ,
/x
∞
−
= 0θθ
θ
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeExponencialMédiaeVariância:Resolvendoporpartes,Assim:Prova:exercícioparacasa.
( ) ( ) dxexdx;xfxXE /x θ
θθ −
∞∞
∫∫ ==1
00
( )∫ ∫−= vduuvudv
θθ θθθ
/x/x evdxedv
dxduxu
−− −=⇒=
=⇒=1
( )0
00 0
∞−=+
∞−= −−
∞−
∫θθθ θ
θθ /x/x/x edxexeXE
( ) θ=XE
( ) 2θ=XVar
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
Ex.:4.8(M.c.4)Tempomédiodevidaú:ldeumequipamento=500horasQualaprobabilidadedoequipamentofuncionarporaomenos1000horas?U:lizandoumdensidadeexponencialcomedefinindoavariávelaleatóriaX:tempodeduraçãodoequipamento,busca-seconhecer:( ) 500==θXE
P X ≥1000( ) = 1θe−x/θ
1000
∞
∫ dx =0
∞
∫ 1500
e−x/500dx = − 500500
e−x/500 ∞1000
=
( ) 13530110002
,e
XP =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=≥
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeQui-QuadradoADensidadeQui-Quadradoéumadasfamíliasdedensidadetambém
derivadadaDensidadeGamacujapar:cularidademaisproeminenteestánasuaassociaçãocomaDensidadeNormale,assim,napossibilidadedesuau:lizaçãofrequenteemaplicaçõesdetestesdehipótesesees:maçãodeintervalosdeconfiança.
Formalmente,daDesnsidadeGama,,redefinindoosparâmetrosdeformaque:,épossívelobter:
( )( ) α
βα
βαβα
.ex,;xf
/x
Γ==
−−1
22 == βα e/v
( )( )
( )( )
( )
( ) 2
212
2
212
222222
/v
/x/v
/v
/x/v
./vexv;xf
./vex,/v;xf
Γ==⇒
Γ==
−−−−
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasOuseja,Densidade:Parâmetro:,inteiro.Oparâmetrovéreferidocomo“grausdeliberdade”dadistribuição,o
que,comoveremos,estáassociadoaonúmerodedensidadesNormal(padronizadas)cujasomapodeserrepresentadaporumaDensidadeQui-Quadrado.
MédiaeVariância:Resolvendoporpartes:
( )( )
( ) 2
212
22 /v
/x/v
./vexv;xf
Γ==
−−
0>v
( )( )
( ) ( )( ) dxex
/vdx
./vexxXE /x/v
/v/v
/x/v22
022
212
0 221
22−
∞−−∞
∫∫Γ
=Γ
=
( )∫ ∫−= vduuvudv( )
22
122
22
/x/x
/v/v
evdxedv
dxxvduxu
−−
−
−=⇒=
=⇒=
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
Como,jáquedaDensidadeGama,então:Exercícioparacasa:mostrarque
( )( )
( )
( )
( )222
20
2
221
2
122
0
22
22
02 /v
.dxxvexedxex
/vXE
/v
/v/x/v/x
/x/v/v Γ
+∞
−
=Γ
=
−−∞
−
−∞ ∫∫
( )( )
( )22 2
122
0
/v
.dxxevXE /v
/v/x
Γ=
−−∞
∫
( ) ( )22 2122
0/vdxxe /v/v/x Γ=−−
∞
∫
( )
( )1
22 2
122
0 =Γ
−−∞
∫
/v
.dxxe
/v
/v/x
( ) vXE =
( ) ( )( )
( )vdx
./vexvxXVar
/v
/x/v
222 2
212
0
2 =Γ
−=−−∞
∫
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeQui-QuadradoDenotação:HáduasimportantespropriedadesdadensidadeQui-Quadradoquedevem
serdestacadas:i)Sesãokvariáveisaleatóriasindependentescomdensidades
Qui-Quadradocom,respec:vamente,grausdeliberdade(parâmetros)dadospor,então:
onde.Prova:exercícioparacasa(usarpropriedadedaDensidadeGama).
( )2v~X χ
kX,......,X1
kv,......,v1
( )2
1v
k
ii ~XY χ∑
=
= ∑=
=k
iivv
1
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeQui-Quadradoii)Assumaquesãoduasvariáveisaleatóriasindependentes,
ondeetemdensidadeQui-Quadradacomgrausdeliberdade.EntãotemdistribuiçãoQui-Quadradocomgrausdeliberdade.Prova:exercícioparacasa(usarpropriedadedaDensidadeGama).Observação:Emaplicaçõesdetestesdehipóteses,emgeral,háinteresseemse
conheceroslimitessuperioreinferior,respec:vamente,hel,taisquee,onde.
21 XeX( )2
1 1v~X χ 21 XXY += 1vv >
2X
1vv−
( ) α=≥ hxP ( ) α=≤ lxP ( )10,∈α
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
Emgeral,.Aprobabilidadedestes
eventos,comoassociadopodeserencontradaemtabelasconstruídasparaadensidade.
Note-sequeoslimiteshelpodemencontradossolucionando-seasequações:
1000500250010 ,,,,,,, ==== ααααα
( )2vχ
( )
( )
( )
( )αα =
Γ=
Γ
−−−−∞
∫∫ dx./vexedx
./vex
/v
/x/vl
/v
/x/v
h2
212
02
212
2222
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasEx.4.9:Assumaque.Obtenhaentãoosvaloresdeheltaisque.NatabeladaQui-Quadradocomv=25eα=0,05épossívelnotarque:,assim:
( )225χ~X
( ) ( ) 050,lxPhxP =≤=≥
( ) 652537050652537 ,h,,xP =⇒=≥
( ) ( ) 0501 ,lxPlxP =≥−=≤
( ) 6114149500501 ,l,,lxP =⇒=−=≥
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeNormalPassíveldeseru:lizadaparamodelarumagrandevariedadedeestruturasde
probabilidadevariáveisaleatórias,aDensidadeNormaléadensidademaisu:lizadaemtrabalhosaplicados.
Trêsrazõessão,emgeral,u:lizadaparajus:ficarseuusofrequente:suatratabilidadeanalí:ca,seuformatosimétricoemtornodamédiaefácilcaracterizaçãoemtermosdedamédiaevariânciaeofatode,sobdeterminadascondições(TeoremadoLimiteCentral),poderseru:lizadacomoaproximaçãoparadiferentesdistribuiçõesemgrandesamostras.
Formalmente,taldensidadeédadapelafunção:Parâmetros:e.Notação:
( )2
21
21 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
= bax
eb.
b,a;xfπ
( )∞∞−∈ ,a 0>b
( )2b,aN~X
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeNormalUmresultadobastanteú:larespeitodaDensidadeNormaléoseguinte:Se,então.Paramostraresteimportanteresultado,note-seque:Usandoofatodeque,Subs:tuindo,agora,:
( )2b,aN~X ( ) ( )10,N~baXZ −
=
( ) ( ) ( )azbXPzbaXPzZP +≤=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛≤
−=≤
( )2b,aN~X
( ) ( ) dxeb.
azbXPzZPazb
bax
∫+
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=+≤=≤
2
21
21π
( ) ( )( )dxb/dtb/axt 1=⇒−=
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeNormalOqueindicaadensidadeparaZouque,ouaindaqueZtemumaDensidadeNormalPadronizada(DensidadeNormalcoma=0eb=1).
( )( )
===≤ ∫∫
−+
∞−
−+
∞−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− b
aazb
tazbbax
bdteb.
dxeb.
zZP2
2
21
21
21
21
ππ
( )∫∞−
−=
z tdte
221
21π
( )( )221
2110
te,;zg−
=π
( ) ( )10,N~baXZ −
=
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeNormalMédiaeVariância:Como,.Assim:Como,então:.Logo:
( ) aZbXbaXZ +=⇒
−= ( ) ( ) aZbEXE +=
( )( )
∫∞
∞−
−= dze.zZE
z 221
21π
( )
( )2
2
21
21
z
z
zedz
ed−
−
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ( )( )
( ) 000211
21 2
21
=−−=∞−
∞−=
−
ππ
zeZE
( ) µ==+= aabXE 0
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeNormalParaobteravariânciadeX,perceba-sequecom,.ParaobteravariânciadeZ,note-seque:..Resolvendoporpartes:,jáqueéDensidadeNormaldeZ.
( ) aZbXbaXZ +=⇒
−=
( ) ( )ZVarbXVar 2=
( ) ( ) ( ) ( )222 ZEEZZEZVar =−=
( ) ( )∫∞
∞−
−= dze.zZE
z 221
22
21π
22 22 /z/z evdzzedv
dzduzu−− −=⇒=
=⇒=
( ) ( ) ( ) ( )=+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
∞−
∞−= ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−−dzedzezeZE
zzz 22221
21
21
2
210
21
ππ
( ) 1102 =+=ZE ( )221
21 ze−
π
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
Assim,.Oquepermiteperceberque:Adenotaçãogeneralizadaé.Oprocessodetransformaçãodeumavariávelaleatóriaem
umaoutravariávelaleatóriaNormalPadrãoéimportantenasaplicaçõesumavezquepermiteassociareventosparaXaeventosemZ.
Maisespecificamente,seAéumeventoassociadoaX,entãoa
probabilidadedeocorrênciadeA,P(A),ob:daapar:rdadensidadeéequivalenteàprobabilidadedeocorrênciadeB,P(B),ob:da
apar:rdadensidade,onde.
( ) ( ) 12 == ZEZVar
( ) ( ) 222 σ=== bZVarbXVar
( ) ( )102 ,N~Ze,N~X σµ
( )2σµ,N~X( )10,N~Z
( )2σµ,;xf( )10,;zg ( )
σµ−
=xz
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeNormalEx.4.10:(M.c.4)Consumodegasolinaeeficiênciadeumcarro.X:milhasoukmporgalão,comassumidaDistribuiçãoNormalcom.Ouseja,.Qualaprobabilidadedeumcarrofazerentre16e19milhasporgalão?EmtermosdeumavariávelcomDensidadeNormalPadrão,aindagaçãoé:OndeF(z)éafunçãodedistribuiçãoacumuladadeZ.DatabeladaDistribuiçãoNormalPadronizada:
5017 ,e == σµ ( )25017 ,,N~X
( ) ou,,
x,
PxP ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤
−≤
−=≤≤
501718
5017
5017161816
( ) ( ) ( ) ( )22221816 −−=≤≤−=≤≤ FFzPxP
( )( )
97720212
221 2
,dteFt
== ∫∞−
−
π
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
DensidadeNormalPelasimetria:Oquepermiteobter:Teorema4.1Se,entãotemdensidade,ouseja,.Prova:exercícioparacasa.AprovafazusodaassociaçãoentreaFunçãoGeradoradeMomentos
(FGM)eafunçãodensidade.Especificamente,paradensidadeGama,aFGMéob:dafazendo:
( ) ( ) 02280977201212 ,,FF =−=−=−
( ) ( ) 954400228097720221816 ,,,zPxP =−=≤≤−=≤≤
( )10,N~X 2XY = ( )21χ ( )
21
2 χ~XY =
( ) ( )( ) ( )
=Γ
=Γ
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−∞
−−∞
∫∫ dxex..
dxex.e.
eEtMxt
/xtxtxX
βαα
βαα βαβα
11
0
1
0
11
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNotando,agora,queparaaebconstantesposi:vas,éumdensidadeGama(a,b),tem-seque:.Assim,épossívelfazer:Que,subs:tuindomaFGMdaDensidadeGamaacima,gera:
( ) ( )( ) ( )
=Γ
=Γ
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−∞
−−∞
∫∫ dxex..
dxex.e.
eEtMxt
/xtxtxX
βαα
βαα βαβα
11
0
1
0
11
( )( )
dxex..
tM t/x
X⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−∞
∫Γ
= ββ
ααβα
11
0
1
( )( )
b/xaa exb.a
b,a;xf −−
Γ= 11
( )oudxex
b.ab/xa
a∫∞
−− =Γ0
1 11 ( )∫∞
−− Γ=0
1 ab/xa b.adxex
( )α
ββ
α
ββ
α ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−Γ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−∞
∫ t.dxex. t
/x
111
0
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
ePermitemobter:Ouseja,paraumaDensidadeGama(a,b):Para,éinfinitaenãoexiste.NocasodaDensidadeQui-Quadrado,e.Assim:
( )( )
dxex..
tM t/x
X⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−∞
∫Γ
= ββ
ααβα
11
0
1( )
αββ
α
ββ
α ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−Γ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−∞
∫ t.dxex. t
/x
111
0
( ) ( )( )
βββ
β
βα
ααα
α/tpara
tt..tM X 1
11
1<⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−Γ
Γ=
( ) ββ
α
/tparat
tM X 111
<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
β/t 1≥ ∫∞ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−⇒<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
0
11011 dxex
xtβα
β( )tM X
2/v=α 2=β
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
,epara:.Come,aFunçãoGeradoradeMomentosdeYédadapor:Masnote-seque.Oquepermitefazer:
( )2
211 /v
X ttM ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
= ( )21χ ( ) 21
211 21
/t,t
tM/
X <⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
( )10,N~X 2XY =
( ) ( ) ( ) dxe.eeEeEtM /xtxtxtyY
2222
21 −
∞
∞−∫===
π( )
( )( )
( )=
−−==
−−∞
∞−−
−−−∞
∞−∫∫ dxe.
t.tdxe.
tx
//tx
212
212121
2
22
221121
21
ππ
( )( )
( ) dxe.t
.t/t
x
//
2
212121
2121
221121
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−∞
∞−−
− −
∫−
−=π
( )( ) ( )( ) 1210
2211 1212
1
21
2
21=−=
−∫∫∞
∞−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−∞
∞−−
−
dxt,Ndxe.t
/t
x
/ π
( ) ( ) 2121121
2121 /t,
tttM
//
Y <⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−= −
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasQuecorrespondeaFunçãoGeradoradeMomentosdeuma.Logo,.Teorema4.2:Sejamvariáveisaleatóriasindependentescomdensidades
NormalPadrão().Então,ousejatemdistribuiçãoQui-Quadradocom“n”grausdeliberdade.Prova:aprovafazusodoseguinteresultadoparavariáveisaleatórias
independentes:
( ) 21211 21
/t,t
tM/
Y <⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
( )21χ
( )21
2 χ~XY =
nX,......,X1( )10,N~X i ( )
2
1
2n
n
ii ~XY χ∑
=
=
∑=
=n
iiXY
1
2
( ) ( )tMtMXYn
iXY
n
ii i∏∑
==
=⇒=11
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNocasodoTeorema4.2,.MascomofoivistonoTeorema4.1,,com.Logo,com,Oqueindicaque.ComoocorrecomaDensidadeQui-Quadrado,aDensidadeNormalé
bastanteú:lnarealizaçãodetestesdehipótesesarespeitodevaloresdeparâmetros.
∑=
=n
iiXY
1
2
( )21
2 χ~X i ( )21
211
2
/
X ttM
i⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
∑=
=n
iiXY
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) 2121211
221
12 /t,tttMtM
n
i
/n/n
iXYi
<−=−== ∏∏=
−−
=
( )2n~Y χ
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNestesen:do,ésempreú:lconhecerosvaloreslimitessuperior,h,e
inferior,l,paradadoα:e
( ) ( )hFdxehxP
xh
−==−=≥
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
∞−∫ 1
21
2
21
ασπ
σµ
( ) ( )lFdxelxP
xl
===≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
∞−∫ α
σπ
σµ
2
2
21
4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNaprá:ca,aobtençãodesteslimiteseaprobabilidadedesteseventos
associadoséfeitau:lizandoastabelasparaocasodaDensidadeNormalPadronizada,oqueexigeapadronizaçãodeX:
TabeladaNormalPadrão
( ) ( )σµ
σµ
σµ −
=≤=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤
−=≤
llondelzPlxPlxP **
( ) ( )σµ
σµ
σµ −
=≥=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≥
−=≥
hhondehzPhxPhxP **
0,00 0,01 . 0,05 .
0,0
0,1
.
1,9 0,9744
.
4.2FunçõesDensidadesCon2nuas
Ondeasentradasfornecemaseguinteprobabilidade:Ex.4.11(M.c.4)Com,obter.
( ) 9744022
22
29512,dtezzPdte
t,
'
tz ,
=⇒≤=
−
∞−
−
∞−∫∫
ππ
( )42,N~X ( )295,XP ≥
( ) ( )645122295
22295 ,zP,xP,xP ≥=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≥
−=≥
( ) 05095050164511 ,,,zP =−=≤−=