Lista de exercıcios 4: Demonstracao de teoremas matematicos

Prof. Ricardo J. Pinheiro

09/11/2008

Univercidade - Unidade Bonsucesso - Tecnologia em Sistemas de Informacao - Logica Matematica

Algumas definicoes que podem ser uteis:

• Algoritmo de Euclides, ou algoritmo da divisao: Um numero n ∈ Z qualquer pode ser escrito da forma n = b.q + r,onde b, q e r ∈ Z.

• Um numero e um quadrado perfeito se ele e um numero n ∈ Z, n = k2 para algum inteiro k.

• Um numero e um numero primo se ele e um numero n ∈ N, n > 1que nao e divisıvel por nenhum inteiro positivodifrente de 1 e de n.

• Dados dois numeros, x e y, x < y significa que y − x > 0.

• O valor absoluto ou modulo de um numero x e escrito da forma |x|, e e igual a x se x ≥ 0 e e igual a −x se x ≤ 0.

1 Prove as proposicoes dadas abaixo:

1. Se n = 25, 100 ou 169, entao n e um quadrado perfeito e e uma soma de dois quadrados perfeitos.

2. A soma de dois numeros inteiros ımpares e par.

3. O produto de quaisquer dois numeros inteiros consecutivos e par.

4. O quadrado de um numero par e divisıvel por 4.

5. Sejam x, y ∈ Z. Logo, se x < y , entao x2 < y2.

6. Se dois numeros inteiros sao divisıveis por algum inteiro n, entao sua soma tambem e divisıvel por n.

7. O quadrado de um inteiro ımpar e da forma 8k + 1 para algum inteiro k.

8. O produto dos quadrados de dois inteiros e um quadrado perfeito.

9. O produto de quaisquer tres inteiros consecutivos e par.

10. A soma de um inteiro e o seu cubo e par.

11. A soma de dois numeros racionais e um numero racional.

12. Seja x um numero primo. Logo,√

x nao e um numero racional.

2 Prove por inducao matematica as seguintes proposicoes, para qualquerinteiro n:

1. 2 + 6 + 10 + ... + (4n− 2) = 2n2

2. 1 + 5 + 9 + ... + (4n− 3) = n(n + 1)

3. 4 + 10 + 16 + ... + (6n− 2) = n(3n + 1)

4. 12 + 32 + ... + (2n− 1)2 = n(n−1)(2n+1)3

1

5. 11.2 + 1

2.3 + 13.4 + ... + 1

n(n+1) = nn+1

6. 12 − 22 + 32 − 42 + ... + (−1)n+1n2 = (−1)n+1(n)(n+1)2

7. n2 > n + 1 para n ≥ 2.

8. 1 + 2 + ... + n < n2para n > 1.

Gabarito

Questao 1:

1. Se n = 25, temos que n = 25 = 52 = 9 + 16 = 32 + 42. Se n = 100, temos que n = 100 = 102 = 36 + 64 = 62 + 82.Se n = 169, temos que n = 169 = 132 = 25 + 144 = 52 + 122.

2. Sejam x = 2a + 1 e y = 2b + 1, numeros ımpares, e a e b sao numeros inteiros. Entao, x + y = (2a + 1) + (2b + 1) =2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1), onde a + b + 1 ∈ Z. Logo, x + y e um numero par.

3. Sejam dois numeros inteiros, x e x + 1. O produto desses dois numeros e dado por x(x + 1) = x2 + x. Se n e umnumero par, ele e da forma x = 2k, e o produto e da forma 4k2 + 2k = 2[k(2k + 1)]. Podemos afirmar que k(2k + 1)e um numero par. Logo 2[k(2k + 1)] e um numero par. Se n e um numero ımpar, ele e da forma x = 2k + 1, e oproduto e da forma (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1= 4k2 + 6k + 2= 2[k(2k + 3) + 1], que e um numeropar.

4. Seja x = 2a um numero par, e a um numero inteiro. Logo, o quadrado desse numero par e x2 = (2a)2 = 4a2, ondem2 ∈ Z. Logo, x2e divisıvel por 4.

5. Se x < y, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por x e y, um de cada vez. Logo, teremos quex2 < xy, e xy < y2. Unindo ambas as expressoes, teremos que x2 < xy < y2, e x2 < y2.

6. Suponhamos que x e y sao divisıveis por z. Logo, x e y sao da forma x = az, e y = bz, onde a e b sao inteiros. Sesomarmos x e y, teremos que x + y = az + bz = (a + b)z, onde a + b e um inteiro. Logo, x + y e divisıvel por z.

7. Seja x um numero inteiro ımpar, ou seja, da forma x = 2a+ 1. Entao, x2 = (2a+ 1)2 = 4a2 + 4a+ 1 = 4a(a+ 1) + 1.Mas temos que a(a + 1) e um numero par (conforme visto no exercıcio 3. Logo, a(a + 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto, 4.2k + 1 = 8k + 1.

8. Sejam x e y numeros inteiros. Logo, o quadrado perfeito de x e y sao respectivamente x2 e y2. Logo, o produto deambos e x2y2 = (x y)2e um quadrado perfeito.

9. Seja x um numero inteiro. O produto de tres inteiros consecutivos sera x (x+1) (x+2) = x (x2+3x+2) = x3+3x2+2x.Se x for um numero par, ele e da forma x = 2a. Substituindo x por 2a, teremos que o produto sera 8a3 + 6a2 + 4a =2[a (a + 1) (a + 2)], que e um numero par. Se x for um numero ımpar, ele e da forma x = 2a + 1. Substituindo x por2a+ 1, teremos que o produto sera (2a+ 1)3 + 3(2a+ 1)2 + 2(2a+ 1)= 8a3 + 12a2 + 6a+ 1 + 12a2 + 12a+ 3 + 4a+ 2=8a3 + 24a2 + 22a + 6= 2(4a3 + 12a2 + 11a + 3), que e um numero par.

10. Seja x um numero inteiro, e x3 seu cubo. Se x e um numero par, ou seja, da forma x = 2a, a soma sera x + x3 =2a + 8a3 = 2[a(1 + 4a2)], que e um numero par. Se x e um numero ımpar, ou seja, da forma x = 2a + 1, a soma serax + x3 = (2a + 1) + (2a + 1)3= 2a + 1 + 8a3 + 12a2 + 6a + 1= 8a3 + 12a2 + 8a + 2= 2(4a3 + 6a2 + 4a + 1), que e umnumero par.

11. Sejam x e y numeros racionais, ou seja, da forma x = mn e y = p

q , onde m, n p q ∈ Z, e n, q 6= 0. Entao,

x + y = mn + p

q = (pn+mq)nq , onde pn + mq e nq sao inteiros, com nq 6= 0. Portanto, x + y e racional.

12. Vamos supor, por absurdo, que√

xe um numero racional. Logo,√

xpode ser escrito na forma mn , .onde m e n sao

numeros inteiros, n 6= 0 e m e n nao tem fatores comuns. Logo, x = m2

n2 → m2 = xn2. Logo, m2 e divisıvel por x.Como x e um numero primo, m e um multiplo de x, e podemos dizer que m = x k, para algum k que seja inteiro.Voltando a equacao, temos que m2 = (x k)2 = x n2→ x2 k2 = x n2→ n2 = x k2. Isso implica que n e multiplo de xtambem. So que afirmamos no inıcio que m e n nao tem fatores comuns, e acabamos de ver que eles tem x comofator comum. Logo, vemos que

√x nao pode ser um numero racional.

2

Questao 2:

Pelo Primeiro Princıpio da Inducao, teremos que:

• Provar a proposicao para P (1);

• Supondo que P (k) e verdadeiro, provar que P (k + 1) tambem e verdadeiro.

1. Temos que P (1) = 4(1)−2 = 2(1)2, ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 2+6+10+...+(4k−2) = 2k2

e verdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k + 1) = 2 + 6 + 10 + ... + (4k− 2) + (4(k + 1)− 2) = 2(k + 1)2. Logo,2 + 6 + 10 + ... + (4k − 2) + [4(k + 1) − 2]. Usando P (k), substituiremos boa parte da expressao por 2k2. Entao,P (k + 1) = 2k2 + [4(k + 1)− 2] → 2k2 + 4k + 4− 2 → 2k2 + 4k + 2 → 2(k2 + 2k + 1) → 2(k + 1)2, como querıamosdemonstrar.

2. Temos que P (1) = 1 = 1[2(1)− 1], ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 1 + 5 + 9 + ... + (4k− 3) =k (2k−1) e verdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k+1) = 1+5+9+...+(4k−3)+[4(k+1)−3] = (k+1) [2(k+1)−1]→ (k+1)(2k+1)→ 2k2+3k+1. Usando P (k) em P (k+1), substituiremos boa parte da expressao por k (2k−1).Entao, P (k+1) = k (2k−1)+[4(k+1)−3]→ 2k2−k+4k+4−3→ 2k2+3k+1→ (k+1)(2k+1)→ (k+1) [2(k+1)−1],como querıamos demonstrar.

3. Temos que P (1) = 6−2 = 1 [3 (1)+1], ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 4+10+16+...+(6k−2) =k(3k + 1) e verdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k + 1) = 4 + 10 + 16 + ... + (6k − 2) + [6(k + 1) − 2] =(k + 1)(3(k + 1) + 1)→ (k + 1)(3k + 4)→ 3k2 + 7k + 4. Logo, usando P (k) em P (k + 1), substituiremos boa parteda expressao por k (3k + 1). Entao, P (k + 1) = k (3k + 1) + [6(k + 1)− 2] → 3k2 + k + 6k + 6− 2 → 3k2 + 7k + 4→ (k + 1)(3k + 4)→ (k + 1)(3(k + 1) + 1), como querıamos demonstrar.

4. Temos que P (1) = 12 = 1(2−1)(2+1)3 , ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 12 + 32 + ... + (2k− 1)2 =

k(2k−1)(2k+1)3 → 4k3−k

3 e verdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k+1) = 12+32+...+(2k−1)2+[2(k+1)−1]2 =(k+1)(2(k+1)−1)(2(k+1)+1)

3 → (k+1)(2k+1)(2k+3)3 → (k+1)(4k2+8k+3)

3 → 4k3+12k2+11k+33 Logo, usando P (k) em P (k + 1),

substituiremos boa parte da expressao por 4k3−k3 . Entao, P (k + 1) = 4k3−k

3 + (2k + 1)2→ 4k3−k3 + 4k2 + 4k + 1→

4k3−k3 + 12k2+12k+3

3 → 4k3−k+12k2+12k+33 → 4k3+12k2+11k+3

3 , como querıamos demonstrar.

5. Temos que P (1) = 11.2 = 1

1+1 , ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 11.2 + 1

2.3 + ... + 1k(k+1) = k

k+1

e verdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k + 1) = 11.2 + 1

2.3 + ... + 1(k+1)(k+2) = k+1

k+2 Logo, usando P (k)

em P (k + 1), substituiremos boa parte da expressao por kk+1 Entao, P (k + 1) = k

k+1 + 1(k+1)(k+2)→

k(k+2)+1(k+1)(k+2)→

k2+2k+1(k+1)(k+2)→

(k+1)2

(k+1)(k+2)→k+1k+2 , como querıamos demonstrar.

6. Temos que P (1) = 12 = (−1)2(1)(2)2 ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 12−22 + ...+(−1)(k+1)k2 =

(−1)(k+1)(k)(k+1)2 e verdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k + 1) = 12 − 22 + ... + (−1)(k+2)(k + 1)2 =

(−1)(k+2)(k+1)(k+2)2 Logo, usando P (k) em P (k + 1), substituiremos boa parte da expressao por (−1)(k+1)(k)(k+1)

2 .

Entao, P (k+1) = (−1)(k+1)(k)(k+1)2 +(−1)(k+2)(k+1)2 → (−1)k+1k(k+1)+2(−1)k+2(k+1)2

2 → (−1)k+2(k+1)[k(−1)−1+2(k+1)]2

→ (−1)k+2(k+1)(−k+2k+2)2 → (−1)k+2(k+1)(k+2)

2 como querıamos demonstrar.

7. Temos que P (2) = 22 > 2 + 1 ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = k2 > k + 1 e verdadeiro. Logo,mostraremos entao que P (k + 1) = (k + 1)2 > k + 2→ k2 + 2k + 1 > k + 2→ k2 + 2k + 1 > (k + 1) + 2k + 1→k2 + 2k + 1 > 3k + 2. Como 3k + 2 > k + 2, logo k2 + 2k + 1 > k + 2, como querıamos demonstrar.

8. Temos que P (2) = 1 + 2 < 22 → 3 < 4 ou seja, e verdadeiro. Suponhamos entao que P (k) = 1 + 2 + ... + k < k2 everdadeiro. Logo, mostraremos entao que P (k +1) = 1+2+ ...+k +(k +1) < (k +1)2→ k2 +(k +1) < k2 +2k +1 =(k + 1)2. Entao, 1 + 2 + ... + n < n2 para qualquer valor de n > 1, como querıamos demonstrar.

3