4A2S - Representação de Sinais e Resposta de Sistemas

Processamento Digital de Sinal Representao de Sinais e Resposta de Sistemas

Licenciatura em Engenharia Electrotcnica 1999/2000 Pgina 1/15

Processamento Digital de Sinal

Representao de sinais

e

Resposta de Sistemas

Ricardo Jorge de Loureiro Silva

N1841



Procedimentos

Utilizei o MatLab como ferramenta de trabalho, seguindo a proposta do

professor, implementei os exerccios descritos na ficha de laboratrio referente

prtica n1.

Trabalho prtico No primeiro ponto foram geradas e representadas uma srie de sequncias

ao longo do intervalo determinado para cada sequncia. Ponto 1 sequncia 1

6n6- , )5(312341 nnnnx

O sinal x1(n) um sinal discreto amostrado para uma gama de valores de n

compreendida entre 6 e 6. composto por uma sequncia de impulsos discretos

deslocados.

Este impulso discreto definido por:

0,00,1

nn

n

Caso, esteja deslocado no tempo, ento:

0

0

,0,1

0nnnn

nn

Destas duas hipteses de caracterizao do impulso posso concluir que o

sinal pode assumir apenas trs valores, os correspondentes ao deslocamento do

impulso 3, 1 e 5.



Representao no MatLab do sinal x1 [n]

Ponto 1 sequncia 2

20n0 ,181010 )6(4.02 nunuenununnx n

O sinal x2[n] composto por trs tipos de sinais: uma rampa, um degrau e

uma exponencial.

Relativamente ao primeiro sinal, a rampa discreta, pode ser definido por

nnr para todo o Z0

sendo Z0 o conjunto de nmeros naturais positivos e negativos, com o zero

includo

O segundo sinal o degrau discreto que definida da seguinte forma

0,00,1

nn

nu



Caso estejamos perante um degrau deslocado ento:

0,00,1

nnnn

nu

O terceiro sinal uma exponencial discreta, que neste caso concreto uma

exponencial decrescente, uma vez que o seu expoente tanto menor quanto maior

for o n.

Considerando que x2[n] o produto de todos estes sinais, posso concluir

tericamente, que o resultado da primeira parte do sinal ser uma rampa apenas

definida entre 0 e 10, visto ser o produto de uma rampa discreta por uma diferena

do degrau na origem por um deslocado 10 unidades para a direita.

A segunda parte do sinal a multiplicao de uma exponencial decrescente

com a subtraco de um degrau na origem com um, deslocado 18 unidades, o que

quer dizer que essa exponencial vir apenas definida no valores de n entre 0 e 18.

Representao grfica no MatLab do sinal x2 [n]



Ponto 1 sequncia 3

40n0 ),(3.0)5

08.0cos(3

nWnnX

sendo w(n) uma sequncia aleatria com mdia zero e varincia unitria.


Ponto 1 sequncia 4

X(n)={...,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,...}

Esta sequncia pode ser dividida em duas partes:

a parte real que X(n)={...,5,3,0,2,1,5,3,1,2,,1,5,3,0,2,1,...} e a parte imaginria

formada pela sequncia X(n)={...,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,...} dentro de

uma gama de valores entre 20 e 20.

Ambas as frequncias tem perodo igual a 5.



Representao grfica no MatLab do sinal x4 [n] Parte real

Parte imaginria



Ponto 1 alinea b

Gerar o sinal complexo e representar a amplitude, fase, valor real e imaginrio

em quatro subplot.

10n10- ,)5.02.0(5 njenx


Anlise terica do sinal

O sinal x5(n) pode ser decomposto da seguinte forma

njnnjn eeenx 5.02.05.02.05

Atravs da frmula de Euler a exponencial complexa pode ser transformada

numa soma de senos e cosenos.



Ento :

)5.0()5.0cos(2.05 njsinnenx n (1)

Com este sinal transformado atravs da frmula de Euler podemos passar ao

clculo da amplitude, fase, valor real e valor imaginrio.

a) Amplitude

A amplitude de um sinal complexo consiste em calcular a raiz quadrada

dos quadrados da parte real e imaginria. Se nos lembrarmos da frmula

principal da trigonometria, o quadrado do cos(0.5n) mais o quadrado do

sen(0.5n) igual a um, pelo que:

nn eenx 2.022.05

Amplitude x5 [n]

O mdulo ou amplitude deste sinal vai assumir tantos valores quantos

os de n.



b) Fase

A fase de um sinal complexo a tangente da parte imaginria sobre a

parte real, pelo que atravs da expresso (1) vem que:

nntagarctagnnarctagnx 5.0))5.0((

)5.0cos()5.0sen(

5

Fase x5 [n]

c) Valor real x5(n)

A parte real de um sinal a que se encontra sobre o eixo real. Se

observarmos a expresso(1)

V.R= )5.0cos(2.0 ne n



d) Valor imaginrio x5(n)

A parte imaginria de um sinal a que se encontra sobre o eixo

imaginrio. Se observarmos a expresso (1)

V.I= )5.0sen(2.0 ne n

Ponto 2 alinea a

Dada a seguinte equao s diferenas:

y(n) - y(n-1) + 0.4 * y(n-2) = x(n) +x(n-1); n

Calcular e representar a resposta recursivamente a resposta a uma rampa r(n)

entre n=-10, ... , +15 supondo como condies iniciais :

Y(-3)=-2; y(-2)=1; y(-1)=-3

Ponto 2 alinea b

Calcular e representar a resposta impulsional h(n) entre n=-20 ,...., +20, e

verifique se o sistema especificado por h(n) estvel.

Por definio, a resposta a um impulso de um sistema LTI, a resposta do

sistema quando lhe aplicado um impulso unitrio localizado em n=0, quando as

condies iniciais do sistema so zero.

Sendo assim, x(n)=x(n)-x(n-1) e y(n)=h(n)



Quando o sistema representado custa de equaes diferenciais, que o

caso, a resposta impulsional pode ser obtida de pelo menos trs maneiras

diferentes:

Resposta recursiva

Resposta atravs da resoluo da equao s diferenas

1 Equao caracterstica

2 Razes da equao caracterstica

3 Soluo Homognea

4 Soluo Particular

5 Soluo Homognea mais Particular

Transformada de Fourier

1 Aplicar a transformada de Fourier ao sistema (DTFT)

2 Factorizar o denominador da expresso obtida em 1

3 Fazer a expanso em fraces parciais

4 Aplicar expresso 4 a transformada inversa de Fourier (IDTFT)

RESPOSTA RECURSIVA

Para se determinar a resposta usando este mtodo, tem que se partir das

condies iniciais.

Neste sistema, Y(-3)=-2 , Y(-2)=1 e Y(-1)=-3, para que o sistema em anlise

seja causal. Um sistema diz-se causal se a sada no depende dos valores futuros

da entrada. RESPOSTA DA EQUAO S DIFERENAS

1 Sendo h() h(n1)+0.4h(n-2)+ (n)+ (n-1)

TRANSFORMADA DE FOURRIER DISCRETA

)1(9.0)1()2(4.01 2 jwjwjwjwjwjw eXeYeeYeeYnXnXnYnYnY



Em (1) aplicou-se a propriedade do deslocamento no tempo da DTFT.

)2(1e9.0e1eY jw2jwjw

Em (2) aplicou-se a transformada de Fourier do impulso unitrio discreto.

(3) )6.025.1(11

)96.025.1(11

2.11

)96.025.1)(96.025.1(1

9.011

2

jwjw

jwjwjwjwjw

ejejj

jejeeeeY

Em (3) fez-se a factorizao do polinmio do denominador e a expanso em

fraces parciais.

nujnujj

ejejjnY

nn

jwjw

96.025.196.025.12.1

1

)96.025.1(11

)96.025.1(11

2.111

O sistema especificado por H[n] estvel?

Por definio, um sistema diz-se estvel se para uma entrada limitada a sada

tambm for limitada.

Ponto 3

Um sistema discreto h(n), linear e invariante no tempo caracterizado pela sua

resposta impulsional h(n)=u(n).

Determine a resposta do sistema a entrada x(n), para =0.5, N1=10 e N2=20.

Diga justificando se o sistema causal e/ou estvel.



soutroscasoNNnN

NnNNn

n

nXNn

n

0

00

00

)(

122

21

1

2

Seja o sistema assim representado:

De onde se pode retirar que

A operao acima utilizada chamada de convoluo. A convoluo de dois

sinais a soma sucessiva da multiplicao de um sinal por outro deslocado no

tempo, ou seja:

H[n]

X[n] Y[n]

nHnXnY

k k

kHknXknHkXnY



Convoluo de X(n) com h(n)

O sistema especificado por H(n) estvel?

Por definio, um sistema diz-se estvel se para uma entrada limitada a sada

tambm for limitada..



ndice

Procedimentos ............................................................................................................ 2

Trabalho prtico .......................................................................................................... 2

Ponto 1 sequncia 1 ..................................................................................... 2

Representao no MatLab do sinal x1 [n] ............................................ 3

Ponto 1 sequncia 2 ..................................................................................... 3

Representao grfica no MatLab do sinal x2 [n] ................................. 4

Ponto 1 sequncia 3 ..................................................................................... 5

Representao grfica no MatLab do sinal x3 [n] ................................ 5

Ponto 1 sequncia 4 ..................................................................................... 5

Representao grfica no MatLab do sinal x4 [n] ................................ 6

Ponto 1 alinea b............................................................................................ 7

Representao grfica no MatLab do sinal x5 [n] ................................. 7

Anlise terica do sinal .................................................................................... 7

Fase x5 [n] ........................................................................................... 9

Ponto 2 alinea a.......................................................................................... 10

Ponto 2 alinea b.......................................................................................... 10

Ponto 3 .......................................................................................................... 12

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