Processamento Digital de Sinal Representao de Sinais e Resposta de Sistemas
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Processamento Digital de Sinal
Representao de sinais
e
Resposta de Sistemas
Ricardo Jorge de Loureiro Silva
N1841
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Procedimentos
Utilizei o MatLab como ferramenta de trabalho, seguindo a proposta do
professor, implementei os exerccios descritos na ficha de laboratrio referente
prtica n1.
Trabalho prtico No primeiro ponto foram geradas e representadas uma srie de sequncias
ao longo do intervalo determinado para cada sequncia. Ponto 1 sequncia 1
6n6- , )5(312341 nnnnx
O sinal x1(n) um sinal discreto amostrado para uma gama de valores de n
compreendida entre 6 e 6. composto por uma sequncia de impulsos discretos
deslocados.
Este impulso discreto definido por:
0,00,1
nn
n
Caso, esteja deslocado no tempo, ento:
0
0
,0,1
0nnnn
nn
Destas duas hipteses de caracterizao do impulso posso concluir que o
sinal pode assumir apenas trs valores, os correspondentes ao deslocamento do
impulso 3, 1 e 5.
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Representao no MatLab do sinal x1 [n]
Ponto 1 sequncia 2
20n0 ,181010 )6(4.02 nunuenununnx n
O sinal x2[n] composto por trs tipos de sinais: uma rampa, um degrau e
uma exponencial.
Relativamente ao primeiro sinal, a rampa discreta, pode ser definido por
nnr para todo o Z0
sendo Z0 o conjunto de nmeros naturais positivos e negativos, com o zero
includo
O segundo sinal o degrau discreto que definida da seguinte forma
0,00,1
nn
nu
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Caso estejamos perante um degrau deslocado ento:
0,00,1
nnnn
nu
O terceiro sinal uma exponencial discreta, que neste caso concreto uma
exponencial decrescente, uma vez que o seu expoente tanto menor quanto maior
for o n.
Considerando que x2[n] o produto de todos estes sinais, posso concluir
tericamente, que o resultado da primeira parte do sinal ser uma rampa apenas
definida entre 0 e 10, visto ser o produto de uma rampa discreta por uma diferena
do degrau na origem por um deslocado 10 unidades para a direita.
A segunda parte do sinal a multiplicao de uma exponencial decrescente
com a subtraco de um degrau na origem com um, deslocado 18 unidades, o que
quer dizer que essa exponencial vir apenas definida no valores de n entre 0 e 18.
Representao grfica no MatLab do sinal x2 [n]
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Ponto 1 sequncia 3
40n0 ),(3.0)5
08.0cos(3
nWnnX
sendo w(n) uma sequncia aleatria com mdia zero e varincia unitria.
Representao grfica no MatLab do sinal x3 [n]
Ponto 1 sequncia 4
X(n)={...,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,...}
Esta sequncia pode ser dividida em duas partes:
a parte real que X(n)={...,5,3,0,2,1,5,3,1,2,,1,5,3,0,2,1,...} e a parte imaginria
formada pela sequncia X(n)={...,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,...} dentro de
uma gama de valores entre 20 e 20.
Ambas as frequncias tem perodo igual a 5.
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Representao grfica no MatLab do sinal x4 [n] Parte real
Parte imaginria
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Ponto 1 alinea b
Gerar o sinal complexo e representar a amplitude, fase, valor real e imaginrio
em quatro subplot.
10n10- ,)5.02.0(5 njenx
Representao grfica no MatLab do sinal x5 [n]
Anlise terica do sinal
O sinal x5(n) pode ser decomposto da seguinte forma
njnnjn eeenx 5.02.05.02.05
Atravs da frmula de Euler a exponencial complexa pode ser transformada
numa soma de senos e cosenos.
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Ento :
)5.0()5.0cos(2.05 njsinnenx n (1)
Com este sinal transformado atravs da frmula de Euler podemos passar ao
clculo da amplitude, fase, valor real e valor imaginrio.
a) Amplitude
A amplitude de um sinal complexo consiste em calcular a raiz quadrada
dos quadrados da parte real e imaginria. Se nos lembrarmos da frmula
principal da trigonometria, o quadrado do cos(0.5n) mais o quadrado do
sen(0.5n) igual a um, pelo que:
nn eenx 2.022.05
Amplitude x5 [n]
O mdulo ou amplitude deste sinal vai assumir tantos valores quantos
os de n.
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b) Fase
A fase de um sinal complexo a tangente da parte imaginria sobre a
parte real, pelo que atravs da expresso (1) vem que:
nntagarctagnnarctagnx 5.0))5.0((
)5.0cos()5.0sen(
5
Fase x5 [n]
c) Valor real x5(n)
A parte real de um sinal a que se encontra sobre o eixo real. Se
observarmos a expresso(1)
V.R= )5.0cos(2.0 ne n
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d) Valor imaginrio x5(n)
A parte imaginria de um sinal a que se encontra sobre o eixo
imaginrio. Se observarmos a expresso (1)
V.I= )5.0sen(2.0 ne n
Ponto 2 alinea a
Dada a seguinte equao s diferenas:
y(n) - y(n-1) + 0.4 * y(n-2) = x(n) +x(n-1); n
Calcular e representar a resposta recursivamente a resposta a uma rampa r(n)
entre n=-10, ... , +15 supondo como condies iniciais :
Y(-3)=-2; y(-2)=1; y(-1)=-3
Ponto 2 alinea b
Calcular e representar a resposta impulsional h(n) entre n=-20 ,...., +20, e
verifique se o sistema especificado por h(n) estvel.
Por definio, a resposta a um impulso de um sistema LTI, a resposta do
sistema quando lhe aplicado um impulso unitrio localizado em n=0, quando as
condies iniciais do sistema so zero.
Sendo assim, x(n)=x(n)-x(n-1) e y(n)=h(n)
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Quando o sistema representado custa de equaes diferenciais, que o
caso, a resposta impulsional pode ser obtida de pelo menos trs maneiras
diferentes:
Resposta recursiva
Resposta atravs da resoluo da equao s diferenas
1 Equao caracterstica
2 Razes da equao caracterstica
3 Soluo Homognea
4 Soluo Particular
5 Soluo Homognea mais Particular
Transformada de Fourier
1 Aplicar a transformada de Fourier ao sistema (DTFT)
2 Factorizar o denominador da expresso obtida em 1
3 Fazer a expanso em fraces parciais
4 Aplicar expresso 4 a transformada inversa de Fourier (IDTFT)
RESPOSTA RECURSIVA
Para se determinar a resposta usando este mtodo, tem que se partir das
condies iniciais.
Neste sistema, Y(-3)=-2 , Y(-2)=1 e Y(-1)=-3, para que o sistema em anlise
seja causal. Um sistema diz-se causal se a sada no depende dos valores futuros
da entrada. RESPOSTA DA EQUAO S DIFERENAS
1 Sendo h() h(n1)+0.4h(n-2)+ (n)+ (n-1)
TRANSFORMADA DE FOURRIER DISCRETA
)1(9.0)1()2(4.01 2 jwjwjwjwjwjw eXeYeeYeeYnXnXnYnYnY
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Em (1) aplicou-se a propriedade do deslocamento no tempo da DTFT.
)2(1e9.0e1eY jw2jwjw
Em (2) aplicou-se a transformada de Fourier do impulso unitrio discreto.
(3) )6.025.1(11
)96.025.1(11
2.11
)96.025.1)(96.025.1(1
9.011
2
jwjw
jwjwjwjwjw
ejejj
jejeeeeY
Em (3) fez-se a factorizao do polinmio do denominador e a expanso em
fraces parciais.
nujnujj
ejejjnY
nn
jwjw
96.025.196.025.12.1
1
)96.025.1(11
)96.025.1(11
2.111
O sistema especificado por H[n] estvel?
Por definio, um sistema diz-se estvel se para uma entrada limitada a sada
tambm for limitada.
Ponto 3
Um sistema discreto h(n), linear e invariante no tempo caracterizado pela sua
resposta impulsional h(n)=u(n).
Determine a resposta do sistema a entrada x(n), para =0.5, N1=10 e N2=20.
Diga justificando se o sistema causal e/ou estvel.
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soutroscasoNNnN
NnNNn
n
nXNn
n
0
00
00
)(
122
21
1
2
Seja o sistema assim representado:
De onde se pode retirar que
A operao acima utilizada chamada de convoluo. A convoluo de dois
sinais a soma sucessiva da multiplicao de um sinal por outro deslocado no
tempo, ou seja:
H[n]
X[n] Y[n]
nHnXnY
k k
kHknXknHkXnY
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Convoluo de X(n) com h(n)
O sistema especificado por H(n) estvel?
Por definio, um sistema diz-se estvel se para uma entrada limitada a sada
tambm for limitada..
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ndice
Procedimentos ............................................................................................................ 2
Trabalho prtico .......................................................................................................... 2
Ponto 1 sequncia 1 ..................................................................................... 2
Representao no MatLab do sinal x1 [n] ............................................ 3
Ponto 1 sequncia 2 ..................................................................................... 3
Representao grfica no MatLab do sinal x2 [n] ................................. 4
Ponto 1 sequncia 3 ..................................................................................... 5
Representao grfica no MatLab do sinal x3 [n] ................................ 5
Ponto 1 sequncia 4 ..................................................................................... 5
Representao grfica no MatLab do sinal x4 [n] ................................ 6
Ponto 1 alinea b............................................................................................ 7
Representao grfica no MatLab do sinal x5 [n] ................................. 7
Anlise terica do sinal .................................................................................... 7
Fase x5 [n] ........................................................................................... 9
Ponto 2 alinea a.......................................................................................... 10
Ponto 2 alinea b.......................................................................................... 10
Ponto 3 .......................................................................................................... 12
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