LISTA DE EXERCCIOS

Ps-Graduao em Economia - PPGEA/UFJFDisciplina: Microeconomia IProfa: Flvia Chein

4a. Lista de Exerccios - 2014

Data de Entrega: 26 de maio de 2014.

1 Exerccio 1:

Suponha uma economia com dois indivduos e dois bens. Os indivduos tma funo utilidade denida por:

UA (x1; x2) = UB (x1; x2) =MAX fx1; x2gDesenhe a Caixa de Edgeworth e mostre os pontos timos de Pareto.

2 Exerccio 2:

Suponha uma economia com 02 agentes (agentes 1 e 2) e 02 bens (bens A eB) com as seguintes funes utilidade:

U (xA1; xB1) =1

3lnxA1 +

2

3lnxB1

U (xA2; xB2) =1

2lnxA2 +

1

2lnxB2

w = (10; 5; 10; 5)

a) Encontre os equilbrios competitivos.b) Encontre as alocaes timas de Pareto.

a) Encontre os equilbrios competitivosConsidere que w=(10,5,10,5)=(wA1; wB1; wA2; wB2)Para o indivduo 1: Max U(xA1; xB1) = 13 lnxA1 +

23lnxB1

s.a. p1xA1 + p2xB1 p1wA1 + p2wB1

1

xA1; xB1 0O Lagrangeano :L = 1

3lnxA1 +

23lnxB1 [p1xA1 + p2xB1 p1wA1 p2wB1] + A1xA1 +

B1xB1As CPO so:@L@xA1

= 13xA1

p1 + A1 = 0@L@xB1

= 23xB1

p2 + B1 = 0 [p1xA1 + p2xB1 p1wA1 p2wB1] = 0A1xA1 = 0B1xB1 = 0Considerando-se as preferncias localmente no saciadas as restries

sero sempre efetivas:- xA1; xB1 > 0 =) A1; B1 = 0 = 1

3xA1p1= 2

3xB1p2=) xB1 = 2p1p2xA1

> 0 =) p1xA1 + p2xB1 = p1wA1 + p2wB1Desta forma encontramos as funes demandas do indivduo 1:xA1 =

p1wA1+p2wB13p1

= wA13+ p2wB1

3p1;

xB1 =2(p1wA1+p2wB1)

3p2= 2

3p1wA1p2

+ 2wB13

Ao resolvermos o problema de maximizao da utilidade para o indivduo2 encontramos:xA2 =

p1wA2+p2wB22p1

= wA22+ p2wB2

2p1;

xB2 =p1wA2+p2wB2

2p2= p1wA2

2p2+ wB2

2

A razo de preos do market-clearing dada por:p1wA1+p2wB1

3p1+ p1wA2+p2wB2

2p1= wA1

3+ p2wB1

3p1+ wA2

2+ p2wB2

2p1= wA1 + wA2

p2p1

wB13+ wB2

2

= 2

3wA1 +

12wA2

p2p1

2wB1+3wB2

6

= 4wA1+3wA2

6p2p1= 4wA1+3wA2

2wB1+3wB2= 40+30

10+15= 70

25= 14

5

Encontrando-se as quantidades das cestas timas:xA1 = 103 +

53145= 10+14

3= 24

3= 8

xB1 = 2351410 + 2

35 = 50

21+ 10

3= 50+70

21= 120

21= 40

7

xA2 = 102 +14552= 5 + 7 = 12

xB2 = 514102+ 5

2= 25

14+ 5

2= 25+35

14= 60

14= 30

7

B) Encontre as alocaes timas de paretoPara encontrarmos as alocaes ecientes de pareto resolvemos o prob-

lema para o indivduo 1:Max U(xA1; xB1) = 13 lnxA1 +

23lnxB1

2

s.a. 12lnxA2 +

12lnxB2 U(xA2; xB2)

xA1 + xA2 wA1 + wA2xB1 + xB2 wB1 + wB2

As restries sero analisadas como ativas pois as preferncias so forte-mente monotnicas:

12lnxA2 +

12lnxB2 = U(xA2; xB2)

xA2 = WA xA1xB2 = WB xB1Montamos o lagrangeano internalizando as duas ltimas restries:L = 1

3lnxA1+

23lnxB1

12ln(WA xA1) + 12 ln(WB xB1) U(xA2; xB2)

As CPO so:@L@xA1

= 13xA1

+ 2(WAxA1) = 0

@L@xB1

= 23xB1

+ 2(WBxB1) = 0

12ln(WA xA1) + 12 ln(WB xB1) U(xA2; xB2)

= 0:

= 2(WAxA1)3xA1

= 4(WBxB1)3xB1

=) xA1xB1

= (WAxA1)(WBxB1) =

(20xA1)(10xB1) =)

xA1xB1

=2

12ln(WA xA1) + 12 ln(WB xB1) = U(xA2; xB2)ln(20 2xB1)+ ln(10xB1) = 2U(xA2; xB2) =) (20 2xB1)(10xB1) =

e2U(xA2;xB2)

Resolve-se para xB1 e a partir do valor encontrado possvel encontrarmosxA1;XA2 ; xB2

3 Exerccio 3:

Suponha uma economia na qual existem dois bens que so vendidos no mer-cado internacional. Os dois bens so produzidos internamente utilizando doisfatores de produo. As funes de produo para os dois bens podem serdescritas por:

f1(k1; l1) =1

2ln (k1) +

1

4ln (l1)

f2(k2; l2) =1

3ln (k2) +

1

3ln (l2)

Os preos internacionais para estes bens so dados por: p=(1; 1) :

3

As rmas so tomadoras de preos no mercado de fatores. Existe umadotao de fatores na economia dada por: e = (2; 2) :a) Encontre a alocao de fatores de equilbrio nesta economia e o vetor

de preo dos fatores (w1; w2) >> 0 como funo das dotaes iniciais.

b) Verique tambm que esta soluo equivalente a soluo encontradano equilbrio do planejador, ou seja, a soluo Pareto Eciente.

a) Encontre a alocao de fatores de equilbrio nesta economia e o vetorde preos dos fatores (w*1; w*2) como funo das dotaes iniciais.considere que w1 =) preo do capital e w2 =) preo do trabalho.O problema de maximizao do lucro da rma 1 dado por:Max = 1

2ln k1 +

14ln l1 w1k1 w2l1

As CPO so dadas por:@@k1

= 12k1 w1 = 0 =) k1 = (2w1)1

@@l1= 1

4l1 w2 = 0 =) l1 = (4w2)1

O problema de maximizao do lucro da rma 1 dado por:Max = 1

2ln k1 +

14ln l1 w1k1 w2l1

As CPO so dadas por:@@k1

= 12k1 w1 = 0 =) k1 = (2w1)1

@@l1= 1

4l1 w2 = 0 =) l1 = (4w2)1

O problema de maximizao do lucro da rma 2 dado por:Max = 1

3ln k2 +

13ln l2 w1k2 w2l2

As CPO so dadas por:@@k2

= 13k2 w1 = 0 =) k2 = (3w1)1

@@l1= 1

4l2 w2 = 0 =) l2 = (3w2)1

O equilbrio no mercado de insumos dado por:k1 + k2 = K = 2l1 + l2 = L = 2Os preos dos fatores sero dados por:- Para o fator capital: (2w1)1 + (3w1)1 = 2 =) 3+26w1 = 2 =) w1 = 512- Para o fator trabalho:(4w2)1 + (3w2)1 = 2 =) 3+412w2 = 2 =) w2 = 724Assim as demandas pelos insumos so:-k1 = 65 ; k2 =

45; l1 =

67; l2 =

87:

b)Verique tambm que esta soluo idntica a encontrada no problemado planejador, ou seja, a soluo Pareto Eciente.

4

O problema do planejador maximizar a receita total, dada a dotaoda economia. Pode ser descrito como:Max = 1

2ln k1+

14ln l1+

13ln k2+

13ln l2+ [2 k1 k2]+' [2 l1 l2]

As CPO so dadas por:@@k1

= 12k1 = 0 =) = 1

2k1(1)

@@l1= 1

4l1 ' = 0 =) ' = 1

4l1(2)

@@k2

= 13k2 = 0 =) = 1

3k2(3)

@@l1= 1

3l2 ' = 0 =) ' = 1

3l2(4)

Igualando (1) (3) e (2) (4) encontramos:12k1= 1

3k2=) k1 = 32k2

14l1= 1

3l2=) l1 = 34 l2

Alm disso, como:k1 + k2 = K = 2 =) 52k2 = 2 =) k2 = 45 ; k1 = 65l1 + l2 = L = 2 =) 74 l2 = 2 =) l2 = 87 ; l1 = 67E as solues so, desta forma, idnticas. Logo, a soluo Pareto E-

ciente.

4 Exerccio 4:

Considere uma economia com um consumidor, um produtor e dois bens: umbem de consumo e lazer. O consumidor tem uma dotao de 24 horas paraalocar entre lazer e trabalho e no possui dotao dos bens de consumo.Alm disso o consumidor proprietrio da rma. A funo utilidade doconsumidor dada por:

U(x1; x2) = lnx1 + lnx2

A funo de produo da rma:

f (z) =pz

Encontre o equilbrio Walrasiano desta economia.

5

5 Exerccio 5:

a) Enuncie o segundo teorema do bem estarConsidere uma economia especicada por:

(Xi;i)Ii=1 ; fYjgJj=1 ; $

e suponha que so convexas e localmente no saciadas. Alm disso Yj convexo. Ento 8 alocao PO (xy) ; 9 um p=(p1; p2:::pL) 6= 0 tal que(xy; p) um quase-equilbrio de preos com transferncias.b) Quais as hipteses sucientes para garantir a validade do segundo

teorema do bem estar? Explique. vlido sob a hiptese de no saciedade local das ; mas temos tambm

duas hipteses implcitas importantes:- mercados completos- indivduos tomadores de preosHipteses fundamentais: convexidade da tecnologia e das preferncias

6 Exerccio 6

A) EXPLIQUE O TEOREMA DE STOPER SAMUELSON.B) EXPLIQUE O TEOREMA DE RYBCZYNSKIC) EXPLIQUEADIFERENADEQUASE-EQUILBRIODEPREOS

COM TRANSFERNCIAS E EQUILBRIO DE PREOS COM TRANS-FERNCIAS

7 Exerccio 7:

a) Na implementao do timo considerando um bem pblico, discuta osequilbrios de votao, subscrio e Lindahl e a condio BLS.b) Discuta as principais questes relativas implementao do timo na

presena de externalidades e o teorema de Coase.a) Na implementao do timo considerando um bem pblico, compare

os equilbrios de subscrio e de Lindahl. Discuta a condio BLS.

O equilbrio de subscrio

6

A primeira soluo consite em pedir ao consumidor para subscrever partede sua riqueza para contribuir para a produo do bem pblico. Suponhaque a riqueza do consumidor i Ri. Ele pode subscrever si para a produodo bem pblico, consumindo, desse modo, xi = Ri si unidades do bemprivado. A quantidade total produzida de bem pblico ser simplesmentef(Pn

i=1 si):

A escolha de i da quantidade si feita de acordo com os princpios doequilbrio de Nash: o consumidor i pegar a quantidade subscrita poroutros consumidores si como dada e ir resolver o problema:

8

O equilbrio de Lindahl

Assuma que preos personalizados para os bens pblicos possam serestabelecidos. Cada consumidor i deve pagar pi por unidade de bempblico que ele consome.

O produtor do bem pblico ir perceber um preo p = Pni=1 pi e pro-duzir at o nvel em que o seu custo marginal se igualar a p:

g0(z) = p

Todo consumidor ir igualar a sua taxa marginal de substituio ao seupreo personalizado:

@Ui=@z

@Ui=@xi= pi

Em equilbrio, a quantidade de bem pblico demandada por cada con-sumidor deve ser igual a quantidade produzida, ou:

8i = 1; :::; n zi(pi ) = z(p) Desde resultado deduz-se que:

nXi=1

@Ui=@z

@Ui=@xi=

nXi=1

pi = p = g0(z)

Logo a condio BLS vericada. Agora o equilbrio de Lindahl levaao timo de Pareto (Lindahl, 1919).

A desvantagem desse processo que assume de fato a existncia de n"micro-mercados" no qual um nico consumidor compra o bem pblicoa um preo personalizado. Nessas circunstncias, difcil the manterhipteses competitivas a no ser que se assuma que os consumidores sodivididos em grupos homogneos do ponto de vista da sua propensoa pagar pelo bem pblico - um mercado (e um preo) por grupo sersuciente.

8

O equilbrio de Lindahl

No caso oposto, ser de interesse de cada consumidor subestimar suademanda na expectativa de que os outros sejam mais honestos e que onvel de produo de bens pblicos seja alto o suciente para satisfazersuas necessidades - problema do "free-rider" (Wicksell, 1896)

b) Discuta as principais questes relativas implementao do timo napresena de externalidades e o teorema de Coase.O equilbrio competitivo

Suponha que a rma 2 tome os fatores poluentes y1 e xc1 como dados.Ento, se os preos dos bens forem p1 e p2; as escolhas dos agenteslevaram a:

que ineciente. Em um equilbrio competitivo os agentes levam emconsiderao as conseqncias de seus escolhas em seu prprio bem-estar,igualando a taxa marginal de substituio privada e a de transformao. Emcondies usuais, pode-se mostrar que existe muito do bem 1 sendo produzidoe consumido.

Em seu famoso artigo de 1960, Coase coloca em dvida a necessidadede interveno governamental na presena de externalidades.

O seu argumento bastante simples: b(q) o benefcio que a rmapoluente obtm do nvel de produo poluente q e c(q) o custo que imposto ao "poludo"

Quando b cncava e c crescente e convexa, o nvel timo de poluio dado por:

b0(q) = c

0(q)

9

Suponha que o "status quo" q0 corresponda a uma situao em queb0(q0) < c

0(q0), e, ento o nvel de poluio muito alto. Ento o

agente poluente e o que sofre a poluio tm interesse em negociar.

Faa " ser um nmero pequeno positivo e suponha que o poluidor pro-ponha diminuir o nvel de poluio para (q0 ") em troca de um paga-mento t", em que t est entre b

0(q0) e c

0(q0). Dado que t > c

0(q0), a

oferta aumenta os lucros da poluidor e igualmente benca para opoluido uma vez que t < b

0(q0): Ento as duas partes concordao em

reduzir o nvel de poluio.

Se os direitos de propriedade so claramente denidos e os custos detransao so zero, as partes afetadas pela externalidade conseguemeliminar a inecincia mediante o simples recurso de negociao.

8 Exerccio 8:

Na presena de bens pblicos e externalidades, quais os equilbrios e inter-venes possveis? O que muda em termos de informao necessria em cadatipo de interveno (por exemplo, cotas versus tarifao).

9 Exerccios Mas-Colell:

Exerccio Mas-Colell 10.C.2Exerccio Mas-Colell 10.C.10Exerccio Varian 17.4 17.6 17.8 17.11 18.2

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