4º_ESTUDO_DIRIGIDO_EQUAÇÃO_DIFERENCIAL_OSCILADOR_HARMÔNICO_LUIZ_TADEU_GABRIEL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - UFOP

LUIZ TADEU GABRIEL

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO

OURO PRETO

2011



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LUIZ TADEU GABRIEL

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO

OURO PRETO2011

Trabalho referente à 1º avaliação

da disciplina Mecanica classica do

5° período do Curso de

Licenciatura em Matematica – UFOP/CEAD.

Orientador: Profº Carlos Joel Franco



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Sumário

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 4

2. OSCILADOR HARMÔNICO ........................................................................................... 5

3. METODO DOS OPERADORES ..................................................................................... 9

4. SOLUÇÃO DO OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO ............................................. 13

5. CONCLUSÃO .............................................................................................................. 14

REFERÊNCIAS BIBLIIOGRAFICAS ................................................................................... 15



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1. INTRODUÇÃO

O estudo do oscilador harmˆonico apresenta uma ampla faixa de aplicaçõespedagogicas, um oscilador harmônico em um trillho de correr pode apresentar

diversos limites da fenomenologia das oscilações. O oscilador harmônico forçadoestudado `a luz do teorema trabalho-energia pode prover um excelente trabalho deaprendizado com ferramentas computacionais. O classico oscilador harmônico queoscila em uma frequencia caracteristica ao ser perturbado por uma força oscilantecom a mesma frequência caracterıstica do oscilador apresentara oscilações onde aamplitude das oscilações aumentarão linearmente com o tempo, quando se tem estasituação o oscilador esta em ressonância. Este fenômeno é muito util, um exemplo éa quebra da ponte sobre o estreito de Tacoma, um caso de ressonância. O estudodas oscilações tambem é uma interessante aplicação de metodos matematicos nafısica. O oscilador harmônico amortecido ou forçado solucionado pelo metodo deGreen apresenta um interessante exemplo fısico do uso deste metodo.

Trabalharemos em questão com o oscilador harmônico amortecido e forçado,onde usando a notação análoga ao livro texto do Symon, a equação de movimento

de uma partícula de massa m, sujeita à força harmônica F = -kx (Lei de Hooke), à

força de atrito F = -bv e a uma força externa F (t ) é dada pela segunda Lei de Newton

que após divisão pela massa m da partícula, modifica-se para

na qual g (g = ) é o parâmetro que indica a intensidade do amortecimento do

movimento, enquanto é a freqüência do oscilador não amortecido. A Eq. (2)

é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, não homogênea. A seguir

apresentaremos as soluções da equação diferencial de segunda ordem, não

homogênea, obtidas por meio de operadores diferenciais.



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2. OSCILADOR HARMÔNICO

O estudo do oscilador harmônico para sistemas microscópicos é igualmenteimportante ao estudo de sistemas oscilatórios macroscópicos. Em particular o

movimento vibracional de dois átomos numa molécula diatômica é bemrepresentado por um oscilador harmônico. A análise do oscilador harmônico emmecânica quântica envolve a determinação das soluções da equação deSchrödinger para uma partícula de massa m e coordenadas x movendo-se numaregião onde a energia potencial V(x) tem a forma do oscilador harmônico da pelaequação;

(1)

Fig.1 – Energia potencial do oscilador esboçada em função dodeslocamento das partículas

No caso macroscópico, a constante k define a dureza da mola do oscilador. Numsistema macroscópico a “mola” pode envolver forças elétricas ou nucleares, cuja

“dureza” pode ser expressa pelo valor da constante k . Mas, como a equação deSchrödinger envolve a energia potencial do sistema, e não a força agindo sobre apartícula, é melhor pensar em k como uma constante que descreve quãobruscamente a energia potencial do sistema aumenta do seu valor de referência V =0 na posição de equilíbrio x = 0, à medida que a partícula se fasta ponto deequilíbrio.

A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico pode ser re-escritaagora usando a eq. (1);

(2)



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Esta é uma equação diferencial que, segundo a mecânica quântica, rege ocomportamento do mesmo sistema, que a mecânica newtoniana afirma ser regidopor;

(3)

Agora veremos que as duas equações levam à soluções correspondentes quandoelas são aplicadas a osciladores macroscópicos. Para os osciladores microscópicos,as previsões das duas equações são divergentes, e a experiência mostra quesomente aquelas feitas através da equação de Schrödinger são corretas.

Uma forma mais simples de resolver esta equação é fazendo algumasmudanças de variáveis, como a seguir;

(4)

Substituindo as equações (4) em (2), a equação de Schrödinger assume a forma,

(5)

Fazendo a mudança de variável , tem-se que,

(6)

Usando este resultado a equação de Schrödinger pode ser re-escrita em função danova variável s, como a seguir,

(7)ou,

(8)onde,

A equação (8) é a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, o termo

é a freqüência de um oscilador macroscópico e conseqüentemente éuma quantidade adimensional. Lembre-se também que, de acordo com o postulado



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de Born, representa a densidade de probabilidade que neste caso é a densidadede probabilidade por unidade de comprimento.

Um truque para achar a solução desta equação diferencial é obter inicialmente asolução assintótica, ou seja, a solução para valores muito grande de s e depoisadaptar esta solução para que seja válida para todo valor de s , isto é

o que implica em

(9)Uma possível solução desta equação é,

, (10)

onde n é um número inteiro positivo. Derivando duas vezes a equação acima comrespeito a variável s , tem-se

(11)

Com isto vimos que a equação (9) é forma assintótica da solução procurada, a qualsugere que uma solução geral para a equação (8), válida para todos os valores de s ,

deve ser igual a

, (12)

onde H(s) é uma função a ser determinada. Substituindo a equação (12) em (8),obtém-se,

(13)

onde a aspa indica a derivada com respeito a s . Agora, escrevemos H na forma desérie de potência:

(14)

Note que potências negativas não são permitidas neste caso, pois esta gera pontosfisicamente não aceitáveis para s=0 . Então,

(15)e



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(16)

devido ao fato de que os dois primeiros termos do somatório são identicamentenulos. Substituindo as equações (14), (15) e (16) em (13), obtemos

(17)

Esta equação é válida para qualquer valor de s somente se o coeficiente de cadapotência de s for nulo. Dai obtém-se as seguintes relações de recorrência,

(18)

Assim, por repedidas aplicações da equação (18) pode-se expressar os coeficientes

de como função de multiplicado pelas constantes ou dependendo se p épar ou impar, respectivamente. Com isto temos as seguintes condições de soluçõesfisicamente aceitáveis,

(i)

(ii) se n é par e se n é impar

Para achar solução da equação completa multiplica-se a solução da parteassintótica por um polinômio: H(s) de.

Fazendo a substituição desta solução na equação diferencial do osciladorchegamos a uma equação diferencial bem conhecida em matemática: A equaçãodiferencial de Hermite. As soluções desta equação diferencial são os polinômios deHermite Hv(x), que serão discutidos em outras seções.

Para que as soluções sejam aceitáveis . Neste ponto aparece onúmero quântico característico do oscilador harmônico n . Portanto,

,

onde é a freqüência do oscilador e n = 1, 2, 3, ....

A diferença de energia entre dois níveis adjacentes para n muito grande é dada por;



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cujo valor não é suficientemente grande para ser mensurável para númerosquânticos grandes, que são característicos dos osciladores harmônicosmacroscópicos.

Fig.2- Curvas de energia potencial e digramas de níveis de energia para(a) oscilador harmônico e (b) átomo de hidrogênio

3. METODO DOS OPERADORES

Para determinar a solução geral desta equação, introduzimos o operador de

diferenciação D º , tal que a Eq. (2) assuma a seguinte forma

Facilmente a Eq. (3) pode ser reescrita na forma fatorada

em que P + e P – são coeficientes constantes (em geral números complexos) quesatisfazem duas condições. A primeira condição é que a soma desses coeficientes éo próprio parâmetro de amortecimento,

e a segunda condição é que o produto dos coeficientes é igual ao quadrado dafrequência natural de oscilação,

As Eqs. (5) e (6) podem ser reconhecidas como um sistema de duas equações eduas incógnitas. Portanto os coeficientes P + e P – podem ser obtidos explicitamente eos resultado são



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e

Existem três possibilidades para considerar: a) o amortecimento crítico se g2 = ;

b) o amortecimento subcrítico (ou subamortecimento) se g2 < e c) o

amortecimento supercrítico(ou superamortecimento) se g2 > . No caso (a) oscoeficientes P + e P – obedecem à condição P + = P –. Nesse caso teremos que procurar

uma outra solução homogênea a fim de satisfazer às condições inicais: x (0) = x 0 e(0) = v 0. Faremos isso em seguida. No caso (b) os coeficientes P + e P – são números

complexos e conjugados P + = . No caso (c) P + e P – são números reais e distintosentre si.

Para achar a solução geral da Eq. (4), introduzimos uma nova variável Z –, definidapor

que é uma combinação linear da velocidade e da posição da partícula em umdeterminado instante de tempo, como mostra a última igualdade de (9). Usando Z

–(t )

, a Eq. (4) fica

que é uma equação diferencial ordinária, não homogênea, de primeira ordem cuja

solução pode ser obtida explicitamente. De fato, usando o fator integrante ealgumas manipulações algébricas, chegamos à solução

onde a constante de integração A – é determinada pela condição inicial A – = Z –(0) =v 0 - P –x 0.

Usando a simetria da equação de movimento nos coeficientes P + e P – podemos, demaneira análoga ao que foi feito acima, reescrevê-la como uma equação de primeiraordem da forma

na qual introduzimos a função Z +(t ) = (D - P +) x = - P + x = v (t ) - P + x (t ).



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A solução da Eq. (12) é determinada da mesma maneira que foi feito para a Eq.(10), bastando somente trocar P + por P – e A – por A+, na Eq. (11). A forma analíticapara Z +(t ) é dada por

em que a constante de integração A+ também é fixada pelas condições iniciais dosistema A+ = Z +(0) = v (0) - P +x (0) = v 0 - P +x 0.

Usando as duas soluções de Z –(t ) e Z +(t ) , determinamos a posição e a velocidadeda partícula em qualquer instante de tempo. Por exemplo, a velocidade da partículaé dada por:

enquanto que a posição em qualquer instante de tempo é calculada por meio daigualdade

Substituindo os valores de Z + e Z –, calculados por intermédio das Eqs. (11) e (13),na Eq. (15), obtemos o seguinte resultado:

que é a solução desejada da equação diferencial (2). Note que o primeiro termo x h

na Eq. (16) é a solução da equação homogênea associada. O segundo termo x p éuma solução particular, que de maneira reduzida pode ser escrita na forma

A conhecida função de Green emerge naturalmente através da identificação



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na qual estendemos os limites de integração de -¥ até +¥, supondo que a força atuaa partir de um instante t = 0.

Definindo o novo parâmetro , a solução homogênea x h assume umaspecto mais simplificado

Nesse caso, a função de Green também pode ser convenientemente modificada,para outra expressão matemática mais conhecida [1]

No caso do oscilador criticamente amortecido, o limite ® 0, leva à soluçãohomogênea

com a respectiva função de Green (20) assumindo a forma

Para o oscilador subamortecido, o parâmetro passa a ser um número imaginário

puro ( = i w1) . Quando esse valor é substituído na equação do movimento (19), asfunções hiperbólicas se transformam nas funções trigonométricas e a equação demovimento fica

A respectiva função de Green, nesse regime de subamortecimento é dadaexplicitamente por



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4. SOLUÇÃO DO OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO

Considere uma particula de massa m em um potencial unidimensional

com k > 0. A força que atua sobre a particula é:

Suponha que age sobre a particula, alem da força F, uma força qualquer G quedepende apenas do tempo. A segunda lei de Newton permite escrever a equação demovimento da partcula:

, ou ainda:

Seja

Vamos supor que Podemos então multiplicar a equação (1) pore, em seguida, somar , nos dois lados dela, obtendo:

A equação (2) pode ser integrada, reduzindo assim a ordem da equação diferencial.Verifique que a equação a seguir é igual a anterior efetuando as derivadas em cadalado.

Integrando a equação temos:

onde é uma constante que será definida pelas condições iniciais doproblema, dessa forma, sempre que k1 estiver multiplicada por outras constantes



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poderemos omiti-las sem perda de generalidade. Lembrando que ,

podemos dividir a equação (3) por :

Novamente, podemos integrar a equação. Efetue a derivada em relação ao tempono lado esquerdo e verifique que a equação a seguir é igual a anterior:

Integrando obtemos finalmente:

onde é a segunda constante a ser determinada pelas condições iniciaisdo problema.

Então, a solução do oscilador harmônico forçado por uma força genérica G(t) é:

A solução foi encontrada supondo . Contudo, a posição x(t) de umapartícula deve ser uma função contínua. Se G(t) = 0, x(t) = xh(t) é a solução

homogênea do oscilador harmônico, e a solução xh(t) é contínua e vale para

Se e k1 = k2 = 0, x(t) = xp(t) é a solução particular do oscilador harmônicoforçado, e seu domínio de validade vai depender de G(t) e do comportamento dasolução particular obtida.

5. CONCLUSÃO

Neste trabalho foi apresentado o estudo do oscilador harmônico e sua importante e

ampla aplicação nos fundamentos matematicos na fisica, em atenção maior ao



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oscilador harmônico forçado. Partindo por bases fisicas simples, como o uso da lei

de Hooke e lei de Newton, descrevemos uma equação diferencial de segunda

ordem, onde trabalhando matematicamente reduzindo-a e encontrando suas

soluções.

REFERÊNCIAS BIBLIIOGRAFICAS



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A.C. Bertuola; M.S. Hussein; M.P. Pato - O oscilador harmônico amortecido forçado

revisitado - Rev. Bras. Ensino Fís. vol.27 no.3 São Paulo July/Sept. 2005.

Disponivel em: < www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-

47442005000300005>. Acesso em: 04, 05 e 06/11/11

A.C. Bertuola; M.S. Hussein; M.P. Pato - O oscilador harmônico amortecido forçado

revisitado - Revista Brasileira de Ensino de Fisica, v. 27, n. 3, p. 327 - 332, (2005).

Disponivel em: < http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v27_327.pdf>. Acesso em: 04, 05

e 06/11/11

MUNDIM, Kleber - O Oscilador Harmônico - Universidade de Brasília

Lab. de Modelagem de Sistemas Complexos. Disponivel em:<http://vsites.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QQ/aula-10/aula-10.htm> . Acesso em:

04, 05 e 06/11/11

MATHEUS, Guilherme C. - Solução do oscilador harmônico forçado

- S~ao Paulo, 9 de outubro de 2008 . Disponível em: <

http://socrates.if.usp.br/~gmatheus/oscilador.pdf> . Acesso em: 04, 05 e 06/11/11

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-47442005000300005


http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v27_327.pdf

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http://socrates.if.usp.br/~gmatheus/oscilador.pdf

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http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v27_327.pdf



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