5- Polos
5
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 1 PÓLOS NA REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DOS ESTADOS 1. Motivação e necessidade Pólos de um sistema fornecem o comportamento dinâmico do sistema ⇒ tempo de resposta, frequencia natural, coeficiente de amortecimento etc. Como já conhecido ⇒ os pólos de um sistema são as raízes do denominador da sua FT. Para calcular os pólos de um sistema descrito na forma do espaço dos estados é necessário primeiro obter a sua FT? • Não ⇒ os pólos podem ser calculados diretamente da forma do espaço dos estados usando conceitos básicos de álgebra linear. 2. Pólos de um sistema na forma SS Lembrando que a FT é obtida da forma SS por meio da seguinte expressão: ( ) D B A I C G + - = -1 ) ( s s (1) e que G(s) pode ser calculada por: [ ] A I D C B A I G - - - = s s s det det ) ( . (2) Então os pólos de G(s) são obtidos a partir das raízes da equação característica do sistema, ou seja, fazendo-se: [ ] 0 det = - A I s (3) Esse mesmo resultado pode ser obtido por meio do cálculo dos autovalores da matriz A. Os pólos de um sistema na forma SS são os autovalores da matriz A de transição dos estados. 3. Autovalores e autovetores de uma matriz A
-
Upload
bruno-willians -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
description
polos no uso de espaço de estados
Transcript of 5- Polos
-
Eduardo Lobo Lustosa Cabral
1
PLOS NA REPRESENTAO DO ESPAO DOS ESTADOS
1. Motivao e necessidade
Plos de um sistema fornecem o comportamento dinmico do sistema tempo de resposta, frequencia natural, coeficiente de amortecimento etc.
Como j conhecido os plos de um sistema so as razes do denominador da sua FT.
Para calcular os plos de um sistema descrito na forma do espao dos estados necessrio primeiro obter a sua FT? No os plos podem ser calculados diretamente da forma do espao dos estados
usando conceitos bsicos de lgebra linear.
2. Plos de um sistema na forma SS
Lembrando que a FT obtida da forma SS por meio da seguinte expresso:
( ) DBAICG += 1)( ss (1)
e que G(s) pode ser calculada por:
[ ]AIDCBAI
G
=
s
s
sdet
det)( . (2)
Ento os plos de G(s) so obtidos a partir das razes da equao caracterstica do sistema, ou seja, fazendo-se:
[ ] 0det = AIs (3)
Esse mesmo resultado pode ser obtido por meio do clculo dos autovalores da matriz A.
Os plos de um sistema na forma SS so os autovalores da matriz A de transio dos estados.
3. Autovalores e autovetores de uma matriz A
-
Eduardo Lobo Lustosa Cabral
2
O problema de autovalor e autovetor de uma matriz quadrada de dimenso n definido da seguinte forma:
[ ] 0= ivAIi , para i = 1, ... , n. (4)
onde i so os autovalores da matriz e vi so os autovetores da matriz.
A eq. (4) possui duas solues uma trivial, onde vi = 0, e outra no trivial com vi 0.
Para se ter a soluo no trivial deve-se ter que o [ ] 0det = AI .
Em resumo o clculo de autovalores e autovalores realizado da seguinte forma:
Clculo dos autovalores resolve-se [ ] 0det = AI ; Clculo dos autovetores para cada autovalor obtm-se o seu autovetor correspondente
por meio da equao (4); Os autovetores no so nicos, existem infinitas possibilidades.
Para servem os autovetores da matriz A? Os autovetores da matriz de transio dos estados fornecem informao importante sobre
o comportamento dinmico do sistema representam, junto com os plos, os modos dinmicos do sistema.
4. Matriz de autovetores
Os autovetores de uma matriz calculados anteriormente so chamados autovetores da direita e podem ser dispostos em uma matriz.
Matriz dos autovetores da direita da matriz A do sistema:
)(nxn
= n21 vvvV L os autovetores so dispostos em colunas. (5)
Pode-se definir tambm os autovetores da esquerda de uma matriz matriz dos autovetores da esquerda da matriz A do sistema:
)(
1
nxn
==
n
2
w
w
w
VW
1
M os autovetores da esquerda so as linhas da matriz (6)
-
Eduardo Lobo Lustosa Cabral
3
A matriz A pode ser escrita em funo das matrizes dos seus autovetores da direita e da esquerda:
VWA = (7)
onde a matriz formada pelos autovalores da matriz A:
)(
2
1
00
0000
nxnn
=
L
MOMM
L
L
(8)
Exemplo 1:
Calcule os autovalores e autovetores da seguinte matriz:
=
0123
A ;
Os autovalores so obtidos fazendo-se:
02)3(01
23det0)det( =++=
+=
AI ,
ou seja,
0232 =++ .
As razes dessa equao so
=
=
.2;1
2
1
Os autovetores so obtidos resolvendo-se a eq. (4) para cada um dos autovalores.
Para 1 = 1
==
==+=
+
.0;022
011
231
12111211
12111211
12
11
vvvv
vvvv
v
v
Observe que as duas equaes resultantes para obter v11 e v21 so iguais no clculo dos elementos dos autovetores tem-se sempre (n 1) equaes, assim, deve-se adotar um dos elementos do vetor e calcular os outros.
Adotando v12 = 1 v11 = 1
=
11
1v .
-
Eduardo Lobo Lustosa Cabral
4
Para 2 = 2
==
==+=
+
.202;202
021
232
22212221
22212221
22
21
vvvv
vvvv
v
v
Adotando v22 = 1 v21 = 2
=
12
2v .
Em geral se utiliza autovetores normalizados, ou seja 1=iv .
Norma de um vetor = 2jvv
Assim no caso tem-se:
=
22
221v
=
55552
2v
Exemplo 2:
Calcule os autovalores e autovetores da seguinte matriz:
=
200110
023A ;
Como essa matriz triangular os seus autovalores so os elementos da diagonal, assim:
=
=
=
.2;1
;3
3
2
1
Aplicando o mesmo procedimento anterior, tem-se:
Para 1 = 3
=
===+
==
=
+
+
0;0404
;0020
230011300233
13
12131312
1212
13
12
11
v
vvvv
vv
v
v
v
Adotando v11 = 1
=
001
1v .
-
Eduardo Lobo Lustosa Cabral
5
Para 2 = 1
=
=
==+
=
+
+
.03;0
;20240
210011100231
23
23
22212221
23
22
21
v
v
vvvv
v
v
v
Adotando v21 = 1 resulta em
=
02
1
2v .
5. Exerccios
1) Calcule manualmente e depois verifique por meio do Matlab os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
a)
=
0132
A ; b)
=
1012
A ;
c)
=
002002010
A . c)
=
301100
021AAAA
Principais comandos do Matlab a serem utilizados: eig;
norm.
