71

Unidade 4 HIDRÁULICA DOS SOLOS

4.3) Percolação

O termo percolação significa “movimento de água no solo” e insere-se, juntamente com a capilaridade e a permeabilidade, no estudo da Hidráulica dos Solos. O assunto é de importância fundamental em qualquer obra de terra, como barragens, muros de arrimo, aterros em geral etc. e para o seu bom entendimento é necessário conhecer certos princípios da Mecânica dos Fluidos, como os regimes de escoamento (laminar, permanente), a Equação de DARCY (v = k.i), o princípio de BERNOULLI para fluidos em movimento (He + Hp + ∆H = H ) e outros, cujas abordagens já ocorreram no item anterior (Unid. 4.2 – Permeabilidade).

Equação diferencial do fluxo

Consideremos num maciço terroso sujeito à percolação de água, um elemento de dimensões dx, dy e 1 (Fig.4.20). Embora a rigor o fluxo de água através do solo se processe normalmente segundo 3 dimensões, é admissível considerá-lo bidimensional por simplificação, conforme faremos a seguir. Sejam vx e vy as componentes da velocidade com que a água penetra no elemento de solo. À saída passarão a ser respectivamente: vx + dvx e vy + dvy.

vy + dvy

vx vx + dvx dy vy

dx Fig. 4.20 Sendo iguais as quantidades de água que entram e saem do elemento, teremos:

dxdyy

vvdydx

x

vvdxvdyv y

yx

xyx

∂∂

++

∂∂

+=+ ..

cujo desenvolvimento conduz a:

0=∂∂

+∂∂

y

v

x

v yx ( Eq. 4.13 ) conhecida como Equação da Continuidade

(conservação de massa)

Sendo válida a Equação de DARCY (Eq. 4.5), temos:

x

Hkdx

x

H

dxk

dx

dHkikv xxxxxx ∂

∂=∂∂=== 1

. , onde

dxx

vvdvv

dyy

vvdvv

xxxx

yyyy

∂∂+=+

∂∂

+=+

72

kx = Coeficiente de Permeabilidade na direção x, H = Carga hidráulica total.

Analogamente: y

Hkv yy ∂

∂=

Fazendo-se a substituição dessas expressões na Eq. 4.13, chega-se a:

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

Hk

x

Hk yx (Eq. 4.14)

que é a Equação Geral do Fluxo ou Equação de LAPLACE, que rege o movimento dos líquidos em meios porosos e também outros fenômenos físicos (transmissão de calor, campo elétrico etc.). Se o meio for isotrópico em relação à permeabilidade (kx = ky ≠ 0) a Eq. 4.14 se simplifica para: ( Eq. 4.15 ) A solução dessa equação é representada por um reticulado ortogonal (Fig. 4.21) composto por duas famílias de curvas parabólicas confocais ortogonais entre si, denominada REDE DE ESCOAMENTO ou REDE DE FLUXO (“flow net”) ou ainda REDE DE PERCOLAÇÃO.

Fig. 4.21

A rede é composta pelas LINHAS DE FLUXO que representam as trajetórias das “partículas” do fluido e pelas LINHAS EQUIPOTENCIAIS, nas quais todos os pontos possuem idêntico valor de carga hidráulica total (H). Entre duas dessas equipotenciais existe uma diferença de carga ∆H. As linhas de fluxo adjacentes definem um canal de fluxo, responsável por uma parcela ∆(Q/t) da vazão total Q/t. Note-se que no caso de kx = ky, as redes de fluxo para materiais diferentes terão a mesma forma geométrica. Demonstra-se facilmente que numa rede de fluxo a razão ∆L/a entre os lados dos “retângulos” formados, é constante. Se estabelecermos essa relação como sendo igual a 1 ⇒ ∆L = a, o traçado da rede será feito com maior facilidade, embora não chegaremos exatamente a quadrados, pois seus lados são curvos, mas será sempre possível inscrever um círculo tangenciando os quatro lados da malha.

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

H

x

H

73

Processos de solução ou métodos de obtenção das redes de fluxo

1) Exato Método analítico. Consiste em estabelecer as condições iniciais ou de contorno e integrar a equação diferencial do fluxo, obedecendo-as. Chega-se então às equações das curvas equipotenciais e das linhas de fluxo, traçadas a seguir por pontos. Existem várias limitações à utilização deste método, devido às dificuldades em se definir as condições de contorno e à sua complexidade matemática, deixando-o restrito apenas aos casos mais simples.

2) Aproximados 2.1) Método dos modelos reduzidos. Consiste em se reproduzir fielmente em areia, a forma geométrica e as condições de contorno do maciço em estudo. Emprega-se para tal uma caixa com paredes transparentes munidas de piezômetros (tubos plásticos transparentes) pelos quais se terão as equipotenciais. As linhas de fluxo ficam definidas a partir da observação do percurso de gotas de substancias corantes (permanganato de potássio, por exemplo) devidamente aplicadas em pontos do maciço. 2.2) Analógicos (semelhantes a outros fenômenos também regidos pela Equação de LAPLACE) 2.2.1) Método da analogia elétrica. Parte da igualdade entre a equação do fluxo elétrico através de um meio condutor e a do fluxo hidráulico em meios porosos. Desta forma é possível alcançar-se a rede de fluxo promovendo-se, em modelos reduzidos com materiais isolantes e condutores, diferenças de potencial elétrico entre dois pontos, em correspondência com a diferença de potencial hidrostático causador da percolação. As linhas de corrente elétrica terão o mesmo formato que as linhas de fluxo. Com o auxílio de uma ponte de Wheatstone é possível medir os potenciais em vários pontos, ao que chegaremos às equipotenciais. 2.2.2) Método da analogia magnética. 2.3) Numéricos – Permitem a solução das EDP em qualquer distribuição espacial e geometria, com propriedades dos materiais bastante variáveis e variações com o tempo, ou seja, em condições transientes. 2.3.1) MEF – Método dos Elementos Finitos, 2.3.2) MDF – Método das Diferenças Finitas, 2.3.3) MEC – Método dos Elementos de Contorno.

2.4) Método gráfico. A rede é obtida traçando-a a mão livre por tentativas, procurando-se seguir certas condições e recomendações. É um método de ampla aplicabilidade e que requer certa prática de quem o utiliza, mas não depende da habilidade manual para desenho, pois se as regras forem cuidadosamente seguidas, a equação de LAPLACE será atendida e a solução será única. Deve-se atentar para os seguintes aspectos: a) as linhas de fluxo e as equipotenciais são normais entre si; b) as malhas serão “quadradas” (embora seja também correta a forma retangular, o que dificulta

o traçado); c) as condições limites serão determinadas observando-se que:

- todas as superfícies de entrada e saída de água são equipotenciais; - toda superfície impermeável é uma linha de fluxo e - as linhas freáticas – NA (u = p atm.) tem, em cada ponto, o potencial H dado por sua

própria cota, ou seja: u/γa = 0 ⇒ H = Z.

ARTHUR CASAGRANDE fornece as sugestões a seguir, como forma de auxílio ao traçado das redes (extraído do vol. 2 - H.P.CAPUTO):

74

- observar o aspecto das redes de fluxo bem desenhadas; quando a figura estiver bem gravada, tentar reproduzi-la de memória;

- para uma primeira tentativa, não traçar mais que 4 ou 5 canais de fluxo, pois a preocupação com maior número poderá desviar a atenção de outros detalhes importantes;

- não tentar acertar detalhes antes que a rede, como um todo, se apresente aproximadamente correta;

- notar sempre que todas as transições, entre trechos retos e curvas das linhas, são suaves e de forma elíptica ou parabólica. Os “quadrados”, em cada canal de fluxo, mudam gradativamente de tamanho.

A seguir apresentam-se exemplos de redes de fluxo traçadas pela solução gráfica, nos casos de uma cortina de estacas-prancha cravadas num terreno arenoso (Fig. 4.22) – que é o problema clássico de FORCHHEIMER, e de uma barragem impermeável sobre um terreno permeável, assente sobre duas linhas de estacas-prancha (Fig. 4.23).

Fig. 4.22

Fig. 4.23

Nos casos em que o terreno seja anisotrópico (kx ≠ ky) a rede de fluxo poderá ser obtida empregando-se o chamado Artifício de SAMSIOE, que consiste numa transformação de coordenadas, multiplicando-se as dimensões segundo a direção x por (ky/kx )

½ ou então por (kx/ky )

½ se optarmos por alterar as medidas segundo a direção y. Feito isso resolvemos o problema como se fosse isótropo e em seguida retornaremos o desenho às dimensões originais, o que sem dúvida provocará uma deformação na rede.

Cálculo da vazão (Q/t)

Para fins do dimensionamento de sistemas de filtro-drenagem. De uma rede de fluxo corretamente traçada, podemos assegurar que: a) a diferença de carga total entre duas linhas equipotenciais adjacentes é constante, e

75

b) a quantidade de água que percola entre duas linhas de fluxo (canal de fluxo) é constante. Essas propriedades permitem-nos determinar a quantidade de água que se infiltra através de um maciço terroso, por unidade de comprimento. Com efeito, sendo a e ∆∆∆∆L as dimensões da malha, Nd o número de quedas de potencial, Nf o número de canais de fluxo e os demais termos já conhecidos, temos:

fNt

Q

t

Q.∆= f

d

tff Na

NL

HkNa

L

HkNAik ..

..1......

∆∆

=∆∆==

d

ft N

N

L

aHk ...

∆∆=

a = ∆L ⇒

(Eq. 4.16) Nf / Nd é chamado de Fator de Forma (F). Nf = número de linhas de fluxo menos 1 Observe que Nd = número de equipotenciais menos 1 Na Fig. 4.22, por exemplo, Nd = 10 e Nf = 4 ⇒ Fator de forma = 0,4. Cálculo da pressão neutra (u) Devido ao princípio das tensões efetivas (σ’ = σ - u). Num ponto qualquer P (Fig. 4.24) da rede de fluxo, aplica-se a equação de BERNOULLI:

HHZu

a

=∆++γ

de onde tem-se que:

(Eq. 4.17)

Fig. 4.24

P

H

Montante

Jusante

∆Ht

Plano de carga

Piezômetro

Z

u/γa

∆H

RN (“datum”)

FHkt

Qt ..∆=

aZHHu γ).( −∆−=

76

onde d

td N

HNH

P

∆=∆ . e =

PdN número de quedas de potencial até o ponto P, contado na rede

de fluxo (podendo ser fracionário). Cálculo do fator de segurança (FS) à ruptura hidráulica

Por causa dos carreamentos e erosões, externas e internas. Em certos pontos da rede de fluxo, geralmente junto a superfícies livres, pode ser detectado o risco de ruptura, causado pela elevação do valor do gradiente hidráulico (i). Basicamente as duas formas mais comuns de ruptura hidráulica são o fenômeno da areia movediça (também denominada quicksand), situação típica de areias finas e o da retroerosão tubular (também denominada piping).

Fig. 4.25

σ`= 0 ⇒ γsub.∆L = γa.∆H ⇒ (Eq. 4.18-a) denominado gradiente hidráulico crítico – icr

Pode-se ainda substituir γsub por ( )

ea

+−

1

1γδ, obtendo: (Eq. 4.18-b)

onde δ é a densidade (relativa) das partículas de areia e e o índice de vazios. Obs.: Como para a maioria dos solos γsub ≈ γa ⇒ icr ≈ 1, o que não é desejável (Ortigão)

Sendo ∆H constante na rede de fluxo, à medida que ∆L diminui, cresce o i, podendo atingir um grave valor máximo (imáx.). Este máximo gradiente hidráulico – normalmente próximo à superfície de descarga – condiciona a segurança contra a ruptura, expresso por:

(Eq. 4.19) Ele é extraído da rede de fluxo, onde ∆Lmín. é o comprimento do lado do menor “quadrado” (trecho de uma linha de fluxo), junto à superfície de descarga.

eicr +

−=1

1δ

No caso de fluxo ascendente, como na figura 4.25, se a coluna de água no tubo piezométrico cresce gradualmente, o ∆H aumenta a ponto da poropressão (u) correspondente equiparar com a tensão efetiva, anulando-a (σ`= 0). É como se as partículas do solo perdessem o peso, gerando o fenômeno da areia movediça. Isto naturalmente representa uma situação de alta instabilidade no local, podendo provocar a ruptura da obra.

A tensão efetiva na base do CP da figura 4.25 é:

σ`= σ – u = γsat.∆L – γa(∆H + ∆L) = γsub.∆L – γa.∆H

cra

sub iL

H =∆∆=

γγ

..

mínmáx L

Hi

∆∆=

77

Naturalmente imáx. < icr e portanto (Eq. 4.20)

Por exemplo: icr ≅ 3 × imáx., caso no qual FS = 3. Bibliografia adicional - “Movimento d’água no solo” – JOÃO BATISTA NOGUEIRA. EESC, 1976. - “Mecánica de Suelos – Tomo III: Flujo de Agua en Suelos” – EULALIO JUÁREZ BADILLO & ALFONSO RICO RODRIGUEZ. Editorial Limusa. México, 1976. - “Modelagem de problemas de Engenharia: solução de equações diferenciais parciais pelo método dos elementos finitos” – FRANCISCO CHAGAS DA SILVA FILHO. UNIFOR - “Percolação de água através da fundação permeável de uma cortina de estacas-prancha” – Trabalho de iniciação científica. Sabrina Resende Antunes1, Lívia Lara Dias de Morais1 e Victor Magno Coelho dos Santos1 (1. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais). Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC – Florianópolis, SC – Julho/2006.

1.

≥=máx

cr

i

iFS

78

Questões teóricas

1) O que representa a Equação de LAPLACE no estudo da Hidráulica dos Solos?

2) O que é, como é constituída e para que serve a rede de fluxo, no estudo da Hidráulica dos Solos?

3) O que é um canal de fluxo?

4) O que é o Fator de Forma da Rede de Fluxo?

5) Descreva sucintamente 3 métodos de obtenção das redes de fluxo num maciço terroso.

6) Cite pelo menos 3 condições que devem ser respeitadas no traçado da rede de fluxo pelo método gráfico de FORCHHEIMER.

7) Cite 3 exemplos de aplicações práticas que atestem a importância da determinação das redes de fluxo em problemas de engenharia. Problemas práticos

8) Trace a rede de fluxo do sistema da figura 4.21. Para colocar a figura em escala, considere que o diâmetro do CP seja 15 cm. Em seguida calcule a vazão que percola, usando o fator de forma.

Resp.: 5,4 × 10-2 cm3/s

9) Dados: Calcule:

(a) a vazão (Q/t) que

percola através do maciço permeável. Resp.: 1,25 ℓ/s

(b) O valor da pressão

neutra (u) no ponto P. Resp.: ~ 192 kPa

Cortina de estaca-prancha com 50 m de extensão

Impermeável

NA1

NA2 ≡NT 10m

P •

8m

20m

4m

15m

k = 5×10-4 cm/s

Fig. 4.26 (Fora de escala)

79

10) Calcule a vazão total perdida por percolação, por unidade de comprimento da fundação, numa barragem de concreto cuja seção transversal é apresentada na Fig. 4.27, onde foi traçada a correspondente rede de fluxo.

NA1 . Concreto . impermeável NT ≡ NA2

45 m . . . . . ................................ ......................................... ................................ .................. ..........................................

....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................... k = 4 × 10-2 cm/s ......................................................................................................... .........................................................................................................

Substrato rochoso (rocha sã)

Fig. 4.27

Resp.: 60 cm3/s (por cm)

11) A figura 4.28 representa a Rede de Fluxo na seção transversal de uma barragem homogênea de terra com filtro horizontal, tipo tapete. Sabendo que a permeabilidade do maciço é de 2 x 10 -7 m/s e a espessura da lâmina de água a montante é H = 2N°+18 = _ _ _ m, calcule: (a) o valor da vazão através da barragem por unidade de comprimento longitudinal.

Resp.: (Nº + 9) × 10-7 m3/s

(b) O valor da carga piezométrica no ponto marcado com ××××, situado a Z = 2N°+3 =_ _ _m acima do RN. Resp.: 5(39-Nº)/16 m

Fig. 4.28 – Corte transversal

12) Na figura 4.29 encontra-se esboçada a seção transversal de uma barragem de peso em CCR - Concreto Compactado a Rolo. Esta barragem tem sua fundação em terreno homogêneo, isotrópico e permeável, constituído por areia compacta, cujo coeficiente de permeabilidade (k) foi determinado em laboratório como sendo igual a 2,5 x 10-3 cm/s. Para este caso, trace a rede de fluxo subterrâneo e, a partir dela, calcule: (a) a vazão (em l/s) por metro de comprimento da barragem. (b) A vazão (em m3/dia), considerando que a barragem tem 40 m de extensão. (c) O valor da pressão neutra (u) num ponto P situado no encontro das diagonais (linhas

tracejadas) abaixo da barragem.

80

NAmontante Água 12 m NT NT ≡ NA jusante

3m 24 m 15 m Terreno permeável (areia compacta) Substrato rochoso (impermeável)

Fig. 4.29 (Fora de escala)

SOLUÇÃO

Traçado da Rede de Fluxo pelo método gráfico, em escala.

a) Cálculo da vazão, para 1 m

ss

m

t

Q/1,010

12

412

1010

5,2 34

23l==××

×= −

b) Cálculo da vazão para 40 m

diamt

Q/6,34540

86400/1

10 34

=×=−

d

ft N

NHk

t

Q..∆=

81

c) Cálculo da poropressão u

BERNOULLI, num ponto P qualquer:

mN

HH

d

t 112

12 ==∆

=∆

mN

NHHNH

d

dtdP

P

P661 =×=×∆=∆×=∆

HN

NHZ

u

d

dt

a

P =×∆++γ

276610

=++u ⇒ ( ) kPau 150122710 =−=

13) Refazer a resolução do problema 6.1, página 75, Capítulo 6, vol.3 – Exercícios e Problemas Resolvidos, 4a edição do livro Mecânica dos Solos e suas aplicações, de HOMERO PINTO CAPUTO, Livros Técnicos e Científicos S.A., R.J., 1987. Conservar as dimensões indicadas na Fig. 6.1 mas ampliar a escala. Obs.: a espessura da lâmina de água à montante é de 6,00 metros.

Resp.: 1 ℓ/s

HHZu

a

=∆++γ