53696690 Unidade 05 Distribuicao de Probabilidade

UNIDADE 05

Distribuição de Probabilidade

SUMÁRIO 1. Introdução ............................................................................................................................. 3

2. Variável aleatória .................................................................................................................. 3

2.1 Definição e classificação ............................................................................................... 3

2.2 Distribuição de probabilidade (caso discreto) ............................................................... 4

2.3 Valor esperado e variância e suas propriedades. ......................................................... 6

3. Distribuição de probabilidade - Variáveis discretas .............................................................. 9

3.1 Distribuição de Bernoulli .............................................................................................. 10

3.2 Distribuição Binomial ................................................................................................... 11

3.3 Distribuição de Poisson ............................................................................................... 18

4. Distribuição de probabilidade – Variável contínua ............................................................. 23

4.1 Distribuição Uniforme .................................................................................................. 27

4.2 Distribuição Normal ..................................................................................................... 30

4.3 Aproximação Normal ................................................................................................... 39

4.3.1 Aproximação Normal para Binomial .................................................................... 39

4.3.2 Aproximação Normal para Poisson ..................................................................... 41

4.3.3 Aproximação Normal com correção de continuidade ......................................... 42

5 Exercícios resolvidos ...................................................................................................... 43

6 Exercícios propostos ...................................................................................................... 50

7 Bibliografia ...................................................................................................................... 53

Estatística Básica − 3 − prof. José Aguinaldo

1. Introdução

No estudo sobre probabilidades, iniciamos com o conceito de experimento aleatório e espaço amostral. O espaço amostral, como foi visto, consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. No caso de lançar uma moeda duas vezes, o espaço amostral seria KK, KC, CK, CC com K indicando cara e C indicando coroa.

Em vez de trabalhar com o espaço amostral KK, KC, CK, CC podemos definir uma variável de nosso interesse e associar cada resultado dessa variável à um resultado do espaço amostral. Esta variável é denominada de variável aleatória e o conjunto formado pelos valores desta variável e suas respectivas probabilidades é denominado de distribuição de probabilidade .

2. Variável aleatória

2.1 Definição e classificação

A variável aleatória é uma função que associa um valor numérico do conjunto de números reais (ℜ) à cada ponto do espaço amostral (Ω). De uma forma menos formal, podemos dizer que a variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende do acaso (fatores aleatórios).

Variável aleatória A variável aleatória é uma função que associa um número do conjunto de números reais (ℜℜℜℜ) à cada resultado do espaço amostral (ΩΩΩΩ).

Portanto, a variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado depende de fatores aleatórios. O fator aleatório usado aqui é para explicar que não podemos antecipar exatamente o resultado que irá sair, pois isso dependerá do acaso.

Classificação do tipo das variáveis aleatórias

Uma variável aleatória pode ser classificada em discreta ou contínua e é comum denota-la pelas letras latinas maiúsculas X, Y, Z, etc e os valores observados pelas letras minúsculas x, y, z, etc


VARIÁVEL ALEATÓRIA

DISCRETA CONTÍNUA

Os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou contável de resultados. Os valores vêm de uma CONTAGEM.

Os possíveis valores estão contidos em um conjunto infinito ou incontável de resultados. Os valores vêm de uma MENSURaÇÃO

X = “número de filhos por família”

x = 0, 1, 2, ...

X = “tempo de vida de lâmpadas”

x ∈ [0 ; ∞ ) Y = “número de peças com defeitos em uma

caixa com 20 peças” y = 0, 1, 2, ... 20

Y = “tempo diário de uso do computador”

y ∈ [0 ; 24]

2.2 Distribuição de probabilidade (caso discreto)

Conhecer quais os resultados possíveis de uma variável aleatória não é suficiente, também devemos saber qual é a probabilidade de cada resultado ocorrer. O conjunto formado pelos resultados da variável X e suas respectivas probabilidades é denominado de distribuição de probabilidade. A distribuição de probabilidade nos permite verificar a “forma” como os valores estão distribuídos (quais os mais comuns e os menos comuns). O gráfico abaixo mostra a distribuição de probabilidade para a variável aleatória X = “número de e-mails que chegam durante uma hora”. Pelo gráfico, nota-se que é mais provável chegar 2 ou 3 e-mails em uma hora do que chegar 8 e-mails.

876543210

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

Número de e-mails

Pro

babilidade


EXEMPLO 01 - Uma moeda honesta é lançada duas vezes para cima de forma independente. Construa a distribuição de probabilidade da variável X = “número de caras”.

Solução ------------------------------------------- --------------------------------------------------

A coluna 1 da tabela abaixo lista o espaço amostral, a coluna 2 lista os resultados possíveis da variável X e a coluna 3 mostra a probabilidade de ocorrer cada resultado.

Espaço amostral ΩΩΩΩ

x Probabilidade

KK 2 P(KK) = P(K)⋅P(K) = 0,50⋅0,50 = 0,25 KC 1 P(KC) = P(K)⋅P(C) = 0,50⋅0,50 = 0,25 CK 1 P(CK) = P(C)⋅P(K) = 0,50⋅0,50 = 0,25 CC 0 P(CC) = P(C)⋅P(C) = 0,50⋅0,50 = 0,25

Resumindo a tabela acima temos a seguinte distribuição de probabilidade de X:

Na distribuição de probabilidade, a correspondência entre os valores da variável aleatória X e as respectivas probabilidades é definida pela função de probabilidade1 que representamos por:

f(x) = P(x) = P(X = x)

onde f(x) = probabilidade de a variável X assumir o valor x

Característica da função de probabilidade f(x) Uma função de probabilidade deve satisfazer:

i) f(xi) ≥ 0 A função f(x) é não-negativa

ii) 1)( =∑i

ixf A soma das probabilidades deve ser igual a 1.

É bom destacar que a distribuição de probabilidade é uma distribuição teórica, pois reflete o que teoricamente esperamos da variável aleatória e não os valores de fato observados no dia-a-dia. Para ilustrar o que foi dita aqui, o gráfico abaixo mostra os resultados observados, quando 15 pessoas lançaram a moeda duas vezes para cima. Note que as proporções 1 A função f(x) é denominada de função probabilidade, quando a variável for discreta. Caso a variável seja contínua, a função f(x) é denominada de função densidade de probabilidade.


observadas de caras não são exatamente iguais às probabilidades que esperamos teoricamente, mas as diferenças são pequenas.

210

10

8

6

4

2

0

Número de caras

Frequência

4 (27%)

9 (60%)

2 (13%)

EXEMPLO 02 - A tabela abaixo caracteriza uma distribuição de probabilidade? Justifique.

x 0 1 2 3

P(x) 0,25 0,50 0,25 0,25

2.3 Valor esperado e variância e suas propriedades. Da mesma forma que sintetizamos os dados de uma amostra calculando a média, mediana, variância, desvio-padrão, quartil etc, também podemos sintetizar uma distribuição de probabilidade calculando essas mesmas medidas descritivas. Suponha que a variável aleatória discreta X pode assumir os valores Nxxx ,,, 21 L com as

respectivas probabilidades de ocorrência )(,),(),( 21 Nxfxfxf L . Então:

• O valor esperado (ou valor médio ) da variável X é:

∑=µ= )()( ii xfxXE

• A variância da variável X é:

( )∑ µ−=σ= )()( 22ii xfxXVar ou

222 )()( µ−=σ= ∑ ii xfxXVar (fórmula alternativa)

• O desvio-padrão da variável X é:

)()( XVarXdp =σ=

Onde

)()()()( 2211 NNii xfxxfxxfxxfx +++=∑ L

( ) ( ) ( ) ( ) )()()()( 22

221

21

2NNii xfxxfxxfxxfx µ−++µ−+µ−=µ−∑ L


)()()()( 22

221

21

2NNii xfxxfxxfxxfx +++=∑ L Propriedades do valor esperado E(X) e

variância Var(X) Sejam ‘a’ e ‘b’ duas constantes, então:

Valor Esperado Variância

bbE =)(

bXaEbaXE ±=± )()(

)()()( YEXEYXE ±=±

0)( =bVar

)()( 2 XVarabaXVar =±

Var(Y)Var(X))( +=± YXVar se X, Y são independentes2

EXEMPLO 03 - Com dados do último CENSO, a assistente social de um Centro de Saúde constatou que 20% das famílias de uma região não tinham filhos, 25% tinham apenas um filho, 30% dois, 15% três, 5% quatro e 5% cinco filhos. Considerando a variável X = “número de filhos por família”

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 0,20 0,25 0,30 0,15 0,05 0,05 Pede-se:

a) A probabilidade de uma família tenha mais de dois filhos; b) A probabilidade de uma família tenha pelo menos um filho; c) P(X ≤ 1); P(1 ≤ X ≤ 3); P(X > 5) d) Determine o valor esperado de filhos (ou seja, o número médio de filhos) e) Determine o desvio-padrão de X.

Solução ------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- a) P(“família ter mais de dois filhos”) = P(X > 2) = f(3) + f(4) + f(5) = 0,25 (ou 25%) b) c) d) Valor Esperado

05,0505,0415,0330,0225,0120,00)x(fxi

ii ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==µ ∑ = 1,75 filho

O número médio do número de filhos por família é de 1,75 filhos (quase dois filhos)

e) Desvio-padrão da variável X

Primeiro vamos calcular a variância de X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05,075,1505,075,1415,075,1330,075,1225,075,1120,075,10

)()(

222222

22

−+−+−+−+−+−=

µ−=σ ∑ ii

i xfx

= 0,6125 + 0,14063 + 0,01875 + 0,23438 + 0,25313 + 0,52813

= 1,788 filho2 (lembre-se, a unidade da variância é sempre ao quadrado)

Agora vamos calcular o desvio-padrão da variável X

788,1==σ variância = 1,34 filho

2 Se X e Y não forem independentes, então Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2⋅Cov(X,Y), onde Cov(X,Y)

é a covariância entre X e Y.


CÁLCULO ALTERNATIVO De forma alternativa, podemos calcular o valor esperado e a variância usando uma tabela no EXEMPLO 3.

x f(x) x ⋅⋅⋅⋅f(x) x2.f(x)

0 0,20 0,00 0,00 1 0,25 0,25 0,25 2 0,30 0,60 1,20 3 0,15 0,45 1,35 4 0,05 0,20 0,80 5 0,05 0,25 1,25

Total 1 1,75 4,85

• Valor esperado: ∑=µ

iii xfx )( = 1,75 filho

• Variância: 2

1

22 )( µ−=σ ∑=

N

iii xfx = 4,85 – (1,75)2 = 1,788 (filhos)2

• Desvio-padrão: 788,1==σ variância = 1,34 filho

EXEMPLO 04 - Sabendo que E(X) = 10 e Var(X) = 5 e usando as propriedades do valor esperado e variância para calcular E(Y), Var(Y) e dp(Y) nas situações abaixo:

a) Y = 3X + 20 b) Y = 5⋅(X – 4) + 20. c) Y = 5⋅(X – 1/5) + 2X + 10 d) Y = 5⋅(2 – X) – 4. Solução ------------------------------ ------------ ----------------------------------------------------------------------- a) Y = 3X + 20

E(Y) 20)X(E3)20(E)X3(E)20X3(E +⋅=+=+= 5020103 =+⋅=

Var(Y) 45590)X(Var3)20(Var)X3(Var)20X3(Var 2 =⋅=+⋅=+=+=

dp(X) 71,645 == Agora resolvam a ‘ b’, ‘c’, e ‘d’

EXEMPLO 05 - Uma peça deverá ser embalada em uma caixa. A peça tem peso médio de 25 kg e desvio-padrão de 3 kg e a caixa tem peso médio de 2 kg e desvio-padrão de 1 kg. Qual será a média e o desvio-padrão da peça embalada?

OBS: Para x = 2 e f(x) = 0,30 temos: x⋅f(x) = 2⋅ 0,30 = 0,60 e x2.f(x) = 22⋅0,30 = 1,20


EXEMPLO 06 - Você tem a sua disposição três investimentos (A, B, C). A tabela a seguir mostra o retorno anual (para cada 1000 dólares investidos) de cada um desses investimentos sob condições econômicas distintas, bem como a probabilidade de que cada uma dessas condições econômicas venha a ocorrer.

Retorno em dólares para cada 1000 dólares investidos em cada situação econômica

Situação econômica

Probabilidade Investimento

A Investimento

B Investimento

C Recessão 0,20 -30 0 -30

Estagnação 0,50 40 52 76

Crescimento 0,30 60 20 0

a) Qual dos três investimentos você escolheria aplicar? Baseie sua resposta no valor esperado dos investimentos.

b) Qual dos três investimentos é o de menor risco? Em investimentos, sabe-se que quanto maior a variabilidade, maior será o risco do investimento.

3. Distribuição de probabilidade - Variáveis discr etas

No estudo de um problema real do dia-a-dia, freqüentemente deparamos com situação onde devemos tomar alguma decisão com o auxilio das probabilidades. Por exemplo, no estudo do dimensionamento de um estacionamento, o número de carros que entram no estacionamento por hora é uma variável de interesse e o conhecimento da distribuição de probabilidade dessa variável seria de grande auxílio.

O comportamento da variável de interesse pode ser descrito por uma expressão matemática, denominada de modelo probabilístico, que associa as probabilidades à cada valor da variável em estudo, permitindo assim, obter a sua distribuição de probabilidade. Com os modelos probabilísticos podemos calcular a probabilidade de um resultado acontecer sem ter que coletar previamente os dados.

Há uma variedade de modelos probabilísticos, tanto para as variáveis aleatórias discretas, quanto para as variáveis aleatórias contínuas. Alguns desses modelos probabilísticos estão citados logo abaixo:

Modelos para variável discretas Modelos para variáv eis contínuas

Distribuição de Bernoulli;

Distribuição Binomial;

Distribuição de Poisson;

Distribuição Geométrica;

Distribuição Hipergeométrica, etc.

Distribuição Uniforme;

Distribuição Normal;

Distribuição Exponencial;

Distribuição Lognormal;

Distribuição Qui-quadrado, etc.


3.1 Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli é o modelo mais simples para variável discreta e dele são originados outros modelos probabilísticos para variável discreta. O modelo é indicado para situações em que observamos ou não alguma característica de nosso interesse. Por exemplo:

• Lançar uma moeda: Sair cara ou não;

• Selecionar uma peça de um lote: É defeituosa ou não;

• Selecionar um aluno: Foi reprovado em matemática ou não;

• Tem computador em casa: Sim ou não;

• Paciente que fez cirurgia de alto risco: Sobreviveu ou não.

Os experimentos acima são denominados de Experimentos de Bernoulli. Experimentos de Bernoulli – Experimento simples, onde somente dois resultados são possíveis

(sucesso ou fracasso).

A probabilidade de ocorrer um sucesso é denotada por p e a probabilidade de ocorrer um fracasso é denotada por q. Então,

P(ocorrer sucesso) = P(S) = p P(ocorrer fracasso) = P(F) = q = 1 − p

Numa linha de produção, onde 40% das peças são defeituosas, uma peça é selecionada. Sucesso (S) = Peça com defeito p = P(sucesso) = 0,40 Fracasso (F) = Peça não está com defeito q = P(Fracasso) = 0,60


3.2 Distribuição Binomial A distribuição Binomial (ou modelo Binomial) é uma generalização da distribuição de Bernoulli. Com a distribuição Binomial podemos, por exemplo, calcular:

• a probabilidade de sair menos de 4 caras em 15 lançamentos de uma moeda honesta. • a probabilidade de sair no máximo 3 peças com defeitos em um lote com 20 peças

Dstribuição Binomial Quando são realizadas n ensaios independentes de Bernoulli e o nosso interesse recai sobre a variável X = “Número de sucessos nos n ensaios”, então a função probabilidade de X é dada por:

xnx qpx

nxf −⋅⋅

=)( com x = 0, 1, ..., n

Valor esperado e Variância : pn⋅==µ E(X) qpn ⋅⋅==σ Var(X)2 Para representar uma variável x com distribuição Binomial com n tentativas e probabilidade de sucesso p usamos a seguinte notação:

X ~ Binomial(n; p) . onde

• n = número de ensaios (tentativas ou realizações) independentes; • x = o número de sucessos nos n ensaios; • p e q = probabilidade de sucesso e fracasso (constante em cada ensaio);

• !)!(

!

xxn

n

x

n

⋅−=

• n! = n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅…⋅1 (lê-se n fatorial)

EXEMPLO 07 - Resolva os fatoriais e a combinação a seguir

a) 5! b) 0!

c) !38

!40

d)

=

8

50508C

Solução ------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------

a) 12012345!5 =⋅⋅⋅⋅= 5! (lê-se 5 fatorial)

b) 1 !0 = (por definição)

c) 15603940!38

!383940

!38

!40 =⋅=⋅⋅=

d) =⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅

=−

=

6

484950

!47)123(

!47484950

!47!3

!50

)!350(!3

!50

3

5019600

é o número de ocorrências de x sucessos em n ensaios. Isto é, uma combinação de x sucessos em n tentativas.


Critérios para saber se a distribuição Binomial é a dequada

i) Os n ensaios são independentes. Ou seja, o resultado de um ensaio não tem efeito no resultado do outro.

ii) Cada tentativa tem apenas dois resultados, denotados por sucesso (S) ou fracasso (F). iii) A probabilidade p de sucesso permanece constante em todas as tentativas.

Para entender os critérios acima, veja o exemplo de selecionar uma amostra de 4 peças de uma caixa com 20 peças, onde há 8 peças com defeito. Será que podemos usar a distribuição Binomial para a variável X = “número de peças com defeito na amostra”? Caso a retirada fosse feita com reposição, a probabilidade de a peça ser defeituosa seria sempre a mesma em cada retirada (p = 8/20 = 0,40), portanto, neste caso, podemos usar a distribuição Binomial. Por outro lado, se a retirada for feita sem reposição, a probabilidade seria diferente em cada retirada, já que o total de peças na caixa não seria o mesmo em cada retirada. Neste caso, portanto, não poderíamos usar a distribuição Binomial.

EXEMPLO 08 - Em cada situação abaixo, identifique o número de ensaios, o sucesso e a probabilidade de sucesso e de fracasso.

i) Sabe-se que 40% dos clientes que entram em uma loja fazem algum tipo de compras. Considerando os próximos 10 clientes que entram na loja, qual a probabilidade de quatro o mais clientes realizarem alguma compra?

ii) A probabilidade de uma peça ser fabricada com defeito é 0,05. Um grande lote com peças será rejeitado se uma amostra de 20 peças apresentarem três ou mais peças defeituosas, qual a probabilidade do lote ser rejeitado?

iii) Sabe-se que 10% dos que reservam lugar em um vôo desistem do embarque. Se 120 clientes reservaram o vôo, qual a probabilidade de quatro ou mais clientes realizarem alguma compra?

Solução ------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------

Situação Ensaio Sucesso p q

i) n = 10 clientes Cliente realizar compras 0,40 0,60

ii) n = 20 peças A peça está com defeito 0,05 0,95

iii) n = 120 clientes Cliente desistir do embarque 0,10 0,90


EXEMPLO 09 - Uma máquina desajustada produz 40% de peças com defeito. Supondo que 4 peças foram selecionadas aleatoriamente das peças produzidas durante um dia de produção, determine a probabilidade de:

a) Determine a probabilidade de exatamente três peças ser defeituosas b) Determine a probabilidade de uma a três peças serem defeituosas c) Determine a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa. d) Qual o número médio de peças com defeito na amostra? e) Qual é o desvio-padrão do número de peças com defeito? f) Mostre a distribuição de probabilidade da variável X (ou seja, mostre uma tabela com

os valores possíveis de X e suas respectivas probabilidades) g) Determine a probabilidade de no máximo uma peça não ser defeituosa. h) Liste todos os resultados possíveis onde aparecem 3 peças com defeitos, calcule a

probabilidade de cada resultado, some-os e veja se o resultado coincidiu com o resultado obtido na letra “a”.

Solução ------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ X = “número de peças com defeitos” segue distribuição Binomial com n = 4 e p = 0,40 A função probabilidade de X é

xxxx

xxxxf 4 4 60,040,0

)!4(!

!460,040,0

4)( −− ⋅

−⋅=⋅⋅

=

→ Veja que foram selecionadas 4 peças (n = 4) ao acaso, sendo que cada peça ou está com

defeito (sucesso) ou não (fracasso) e a probabilidade de a peça estar com defeito é sempre igual a 0,40 (p = 0,40) para cada peça. Por isto, o distribuição Binomial é adequado neste problema.

a) P(“três peças serem defeituosas”) = 3 43 60,040,0)!34(!3

!4)3( −⋅⋅

−⋅=f

60,0064,016

2460,040,0

!1!3

!4 13 ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

60,0064,04 ∗∗= %)36,15 ( 1536,00864,04 ou=∗=

15,36% das vezes em uma amostra de 4 peças, três delas estarão com defeito.

b) P(“de uma a três peças serem defeituosas”) = P(1 ≤ X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 0,3456 + 0,3456 + 0,1536 = 0,8448 (ou 84,48%)

1 41 60,040,0

)!14(!1

!4)1( −⋅⋅

−⋅=f = 31 60,040,0

!3!1

!4 ⋅⋅⋅

= 4∗0,064∗0,60 = 0,3456

2 42 60,040,0)!24(!2

!4)2( −⋅⋅

−⋅=f = 22 60,040,0

!2!2

!4 ⋅⋅⋅

= 6∗0,16∗0,36 = 0,3456

3 43 60,040,0)!34(!3

!4)3( −⋅⋅

−⋅=f = 13 60,040,0

!3!1

!4 ⋅⋅⋅

= 4∗0,064∗0,60 = 0,1536


c) P(“pelo menos uma peça defeituosa”) = P(X ≥ 1) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4)

= 0,3456 + 0,3456 + 0,1536 + 0,0256

= 0,8704 (ou 87,04%)

As probabilidades f(1), f(2) e f(3) foram obtidas na letra ‘b’

4 44 60,040,0)!44(!4

!4)4( −⋅⋅

−⋅=f = 04 60,040,0

!0!4

!4 ⋅⋅⋅

= = 1∗0,0256∗1 = 0,0256

ATENÇÃO: O mesmo resultado acima poderia ter sido obtido se aplicar a regra do “pelo menos um ...” que vimos na unidade anterior.

P(“ pelo menos um ...”) = 1 – P(“ nenhum ...”)

P(“pelo menos uma peça defeituosa”) = 1 – P(“nenhuma peça estar defeituosa”)

= 1 – f(0)

= 1 – 0,1296 = 0,8704 (ou 87,04%)

0 40 60,040,0

)!04(!0

!4)0( −⋅⋅

−⋅=f = 40 60,040,0

!4!0

!4 ⋅⋅⋅

= = 1∗1∗0,1296 = 0,1296

Resultados interessantes (usando a regra do complem ento)

P(X ≥≥≥≥ a) = 1 – P(X < a) P(X > a) = 1 – P(X ≤ a)

d) Número médio (ou número esperado) de peças com defeito E(X) = µ = n∗p

µ = n∗p = 4∗0,40 = 1,6 peça (quase duas) com defeito em média

e) Desvio-padrão do número de peças com defeito )(XVar=σ

)(XVar=σ = 98,060,040,04 =∗∗=∗∗ qpn peça com defeito

f) Distribuição de probabilidade da variável X

x 0 1 2 3 4 f(x) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256

f(0) obtido da letra ‘c’ f(1), f(2), f(3) e f(4) foram obtidos da letra ‘b’

43210

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

x

f(x)


g) P(“de no máximo uma peça não ser defeituosa”) = ? Veja que agora estamos trabalhando com número de peça não defeituosas . Até agora trabalhamos com o número de peças defeituosas , por isto usamos a probabilidade de sucesso igual a p = 0,40. No entanto, para resolver a letra ‘g’ temos que usar como probabilidade de sucesso o valor p = 0,60, que é a probabilidade de a peça não ser defeituosa 3. P(“de no máximo uma peça não ser defeituosa”) = P(X ≤ 1) = f(0) + f(1)

= 0,0256 + 0,1536

= 0,1792 (ou 17,92%)

0 40 40,060,0

)!04(!0

!4)0( −⋅⋅

−⋅=f = 40 40,060,0

!4!0

!4 ⋅⋅⋅

= 1∗1∗0,16 = 0,0256

1 41 40,060,0)!14(!1

!4)1( −⋅⋅

−⋅=f = 31 40,060,0

!3!1

!4 ⋅⋅⋅

= 4∗0,60∗0,064 = 0,1536

h) Aparecer 3 peças com defeito em 4 peças

Vamos chamar de S = sucesso = “peça defeituosa” F = fracasso = “peça não defeituosa” Diferentes f ormas de aparecer três

peças defeituosas Probabilidade Cálculos

FSSS P(FSSS) =

0,40∗0,603 = 0,0864

P(FSSS) = P (F)P(S)P(S)P(S) = 0,40∗0,60∗0,60∗0,60

SFSS P(SFSS) = 0,40∗0,603 =

0,0864

P(SFSS) = P (S)P(F)P(S)P(S) = 0,60∗0,40∗0,60∗0,60

SSFS P(SSFS) = 0,40∗0,603 =

0,0864

P(SSFS) = P (S)P(S)P(F)P(S) = 0,60∗0,60∗0,40∗0,60

SSSF P(SSSF) =

0,40∗0,603 = 0,0864

P(SSSF) = P (S)P(S)P(S)P(F) = 0,60∗0,60∗0,60∗0,40

Total 4∗0,0864 = 0,3436 ---

Obs: Assumindo independência entre os eventos, então P(FSSS) = P (F)P(S)P(S)P(S). A probabilidade de sair 3 peças com defeitos em uma amostra com 4 peças foi 0,3436, o mesmo valor obtido na letra ‘a’. Veja que tivemos 4 diferentes formas de sair três peças com defeitos e cada uma delas a probabilidade foi igual a 0,40∗0,603, então de uma maneira geral, a probabilidade de ocorrer x sucessos é

( ) xnx qp

n

xp −××

=ensaios em sucessos

sair de diferentes

formas de Número

sucessos"ocorrer x " com

( )!!

!

ensaios em sucessos

sair de diferentes

formas de Número

xnx

nC

n

x nx −

==

= combinação de n de x em x

3 Para esta letra estamos admitindo que X =”número de peças não defeituosa” segue a distribuição Binomial com n = 40 e p =0,60


EXEMPLO 10 - Um restaurante sabe que 85% dos clientes que reservam mesa realmente comparecem. O restaurante tem somente 20 lugares, mas acabou aceitando fazer 22 reservas, determine a probabilidade de o cliente que fez reserva aparecer no restaurante e ser acomodado em sua mesa.

Solução ------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- X = “número de clientes que fizeram reservas comparecerem” segue distribuição Binomial com n = 22 e p = 0,85, com função probabilidade igual a:

xxxx

xxxxf 22 22 15,085,0

)!22(!

!2215,085,0

2)( −− ⋅

−⋅=⋅⋅

=

→ Veja que o restaurante aceitou fazer 22 reservas (n = 22). Cada cliente que fez reserva

pode aparecer (sucesso) ou não e a probabilidade de o cliente aparecer é sempre igual a 0,85 (p = 0,85) em cada reserva. Por isto, é que estamos usando a distribuição Binomial.

Os clientes que fizeram reservar serão acomodados em seus lugares se, e somente se, aparecerem no máximo 20 clientes (se aparecer 21 ou 22 clientes alguém ficará sem lugar no restaurante), então

P(“todos serem acomodados”) = P(X ≤ 20) = f(20) + f(19) + ... + f(0) Veja que temos que usar 21 vezes a função probabilidade f(x), o que é muito trabalhoso, certo? O que fazer, então? Usar a regra do complemento P(X ≤ 20) = 1 – P(X > 20) = 1 - [ f(21) + f(22) ]

21 2221 15,085,0)!2122(!21

!22)21( −⋅⋅

−⋅=f = 121 15,085,0

!1!21

!22 ⋅⋅⋅

= 0,1087

22 2222 15,085,0

)!2222(!22

!22)22( −⋅⋅

−⋅=f = 022 15,085,0

!0!22

!22 ⋅⋅⋅

= 0,028

P(X ≤ 20) = 1 - [ 0,1087 + 0,028 ] = 1- 0,1367 = 0,8633 (ou 86,33%) A probabilidade de o cliente que fez reserva aparecer no restaurante e ser acomodado em sua mesa é de 0,8633.


Alguns gráficos da distribuição Binomial Abaixo, temos alguns gráficos da distribuição Binomial. Observe que em cada gráfico, as hastes estão em torno da média µµµµ = np .

x

P(x

)

1 09876543210

0 .30

0 .25

0 .20

0 .15

0 .10

0 .05

0 .00

x

P(x

)

109876543210

0 .25

0 .20

0 .15

0 .10

0 .05

0 .00

x

P(x

)

109876543210

0 .3 0

0 .2 5

0 .2 0

0 .1 5

0 .1 0

0 .0 5

0 .0 0

n = 1 0 p = 0 .2 0 n = 1 0 p = 0 .5 0 n = 1 0 p = 0 .8 0

Usando o Excel No Excel, a função DISTRBINOM(x; n; p; FALSO) retorna a probabilidade f(x) de ocorrer x sucessos em n provas, enquanto que a função DISTRBINOM(x; n; p; VERDADEIRO) retorna a probabilidade de ocorrer no máximo x sucessos em n provas. Veja abaixo um exemplo onde foram calculados f(6) e P(X ≤ 6) de uma distribuição Binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,40.

= DISTRBINOM(C2; 10; 0,40; FALSO) = DISTRBINOM(C2; 10; 0,40; VERDADEIRO)


3.3 Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson (ou modelo de Poisson) é uma distribuição útil como modelo teórico para descrever a probabilidade de ocorrer um número de eventos ao longo de um intervalo de tempo (ou de área, ou de volume, ou de cumprimento, etc).

Exemplos de situações, onde o modelo de Poisson é adequado: • Número de chamadas telefônicas por minuto; • Número de carros que chegam ao estacionamento durante uma hora; • Número de pessoas infectadas por unidade de área; • Número de acidentes por dia; Distribuição de Poisson

Se o número médio de eventos no intervalo é igual a λ, então a variável aleatória X que é igual ao número de eventos no intervalo tem uma distribuição de Poisson com parâmetro λ. As probabilidades são obtidas pelo modelo matemático abaixo:

!)(

x

exf

x λ−⋅λ= com x = 0, 1, 2 ,...

Valor esperado E(X) e variância Var(X)

E(X) = µ = λλλλ Var(X) = σ2 = λλλλ

Notação: X ~ Poisson( λλλλ) significa que a variável X = “número de x eventos em um intervalo” segue a distribuição de Poisson com taxa média igual λλλλ onde

f(x) = P(X = x) é a probabilidade de ocorrer x eventos

λλλλ = taxa média de eventos no intervalo (de tempo, de comprimento, etc) com λ > 0

x = número de ocorrência de eventos no intervalo

e ≈ 2,718282 - é o número neperiano ou número de Euler (pronuncia-se óiler)

x! = x⋅(x-1)⋅(x-2)⋅…⋅2⋅1 - é o x fatorial (ou fatorial de x)

Resultados interessantes (usando a regra do complemento) ∗ P(X ≥ a) = 1 – P(X < a) ∗ P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) ∗ P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X < a)


EXEMPLO 11 - Os navios chegam a um porto segundo uma distribuição de Poisson com média de 2 navios por hora. Determine a probabilidade:

a) Chegar exatamente três navios em uma hora; b) Chegar pelo menos um navio em uma hora; c) Chegar exatamente três navios em 30 minutos; d) Chegar pelo menos um navio em duas horas;

Solução: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X = “número de navios que chegam ao porto em uma hora” segue a distribuição de Poisson com taxa média de λλλλ = 2 navios a cada hora. Portanto a função probabilidade é:

!

2)(

2

x

exf

x −⋅= onde x = 0, 1, 2, ...

a) P(“chegar exatamente três navios em uma hora”) = f(3)

180447,06

135335,08

!3

2)3(

23

=⋅=⋅=−e

f (ou 18,05%)

com → 3! = 3∗2∗1 = 6 → e-2 = (2,718282)-2 = (1 / 2,718282)2 = (0,367879)2 = 0,135335 Resposta: P(“chegar exatamente três navios em uma hora”) = 0,1805

18,05% das vezes chegarão exatamente 3 navios em um intervalo de um intervalo de uma hora (Por exemplo, de 8:00 às 9:00 hs, ou 14:30 às 15:30 horas, ou 16:15 às 17:15 hs, etc)

b) P(“chegar pelo menos um navio em uma hora”) = P(X ≥ 1)

L+++=≥ )3()2()1()1( fffXP (veja que não conseguiremos calcular, pois

teoricamente vai até infinito). A solução é usar a regra do complemento:

)0(1)1(1)1( fXPXP −=<−=≥ = 1 – 0,135335 = 0,864665 (ou 86,47%)

135335,01

135335,01

!0

2)0(

20

=⋅=⋅=−e

f

com → 0! = 1 (por definição) → e−2 = (2,718282)−2 = (1 / 2,718282)2 = (0,367879)2 = 0,135335

Resposta: P(“chegar pelo menos um navio em uma hora”) = 0,8647

86,47% das vezes chegará pelo menos um navio em um intervalo de uma hora


c) P(“chegar exatamente três navios em 30 minutos”) = f(3) Para trabalhar com intervalo de 30 minutos temos que encontrar a taxa média de navios que chegam durante um intervalo de 30 minutos. Como sabemos que a taxa média é de dois navios por horas, então em 30 minutos espera-se que a taxa média seja de 1 navio. Foi usada a regra de três: 2 navios --------- 1 hora k navios ---------- 0,5 hora ( = 30 minutos)

k = 2∗ 0,5 / 1 = 1 navio Agora, vamos trabalhar com a taxa média é de λλλλ = 1 navio a cada 30 minutos.

061313,06

367879,01

!3

1)3(

13

=⋅=⋅=−e

f (ou 6,13%)

Resposta: P(“chegar exatamente três navios em 30 minutos”) = 0,0613

6,13% das vezes chegarão exatamente 3 navios durante um intervalo de 30 minutos.

c) P(“chegar pelo menos uma navio em duas horas”) = P( X ≥ 1)

Para trabalhar com intervalo de 2 horas temos que encontrar a taxa média de navios que chegam durante um intervalo de 2 horas. Como sabemos que a taxa média é de dois navios por horas, então em duas horas espera-se que a taxa média seja de 4 navios. 2 navios --------- 1 hora k navios ---------- 2 horas

k = 2∗ 2 / 1 = 4 navios Agora, vamos trabalhar com a taxa média é de λλλλ = 4 navios a cada duas horas.

)0(1)1(1)1( fXPXP −=<−=≥ = 1 – 0,018316 = 0,981684 (ou 98,17%)

018316,01

018316,01

!0

4)0(

40

=⋅=⋅=−e

f

→ e−4 = (2,718282)−4 = (1 / 2,718282)4 = (0,367879)4 = 0,018316

Resposta: P(“chegar exatamente três navios em 30 minutos”) = 0,9817 98,17% das vezes chegará pelo menos um navio durante um intervalo de 30 minutos.


Alguns gráficos da distribuição de Poisson Abaixo temos alguns exemplos de gráficos da distribuição de Poisson para diferentes taxa média λλλλ (note que a distribuição está mais concentrada em torno de λλλλ).

x

P(x)

1 41 21 086420

0 . 3 0

0 . 2 5

0 . 2 0

0 . 1 5

0 . 1 0

0 . 0 5

0 . 0 0

xP(x)

1 41 21 086420

0 . 2 0

0 . 1 5

0 . 1 0

0 . 0 5

0 . 0 0

m é d ia = 2 m é d ia = 5

Usando o Excel No Excel, a função POISSON(x; λλλλ; FALSO) retorna a probabilidade f(x) de ocorrer x eventos e a função POISSON(x; λλλλ; VERDADEIRO) retorna a probabilidade de ocorrer no máximo x eventos. Veja abaixo um exemplo onde foram calculados f(6) e P(X ≤ 6) de uma distribuição de Poisson com taxa média de λλλλ = 8.

Usando o modelo de Poisson como aproximação do mode lo Binomial

A distribuição de Poisson surgiu como uma forma limite da distribuição Binomial, por isso, algumas vezes o modelo de Poisson é usado como aproximação do modelo Binomial. Uma regra empírica para usar tal aproximação é n ≥ 100 e n ⋅⋅⋅⋅p ≤ 10.

Se a variável discreta X segue a distribuição Binomial com

parâmetros n e p

n grande (n >100) e p pequeno, de forma que n⋅⋅⋅⋅ p ≤ 10

A variável discreta X segue aproximadamente a distribuição de

Poisson com parâmetro λλλλ = n ⋅⋅⋅⋅p

xnx qpx

nxf )( −⋅⋅

=

!)(

x

exf

x λ−⋅λ=

EXEMPLO 12 - Em uma região, apenas 2% das pessoas têm computador em casa. Uma escola tem 100 alunos, qual a probabilidade de que oito desses alunos tenham computador em casa?

=POISSON(A2; 8; VERDADEIRO) =POISSON(A2; 8 ; FALSO)


Solução: ------------------------------------------ ---------------------------------------------------- X = “número de alunos com computador em casa” segue a distribuição Binomial com parâmetros n = 100 alunos e p = 0,02 (probabilidade da pessoa ter computador em casa) P(“de oito alunos terem computador em casa”) = f(8)

8 0018 85,015,08

100)8( −⋅⋅

=f = 8 0018 85,015,0

)!8100(!8

!100 −⋅⋅−⋅

Calcular o fatorial de 100! é um pouco trabalhoso. Podemos usar a aproximação de Poisson. Voltando ao exemplo: λ = n ⋅⋅⋅⋅p = 100⋅0,02 = 2

→ !8

2)8(

28 −⋅= ef =

40320

135335,0256⋅ = 0,000859

O resultado acima seria valor aproximado de f(8) usando a distribuição de Poisson. O valor exato, usando a distribuição Binomial, seria 0,000743.


4. Distribuição de probabilidade – Variável contín ua

Até o momento, vimos algumas distribuições para as variáveis aleatórias discretas, essas Como a variável aleatória contínua pode assumir infinitos valores dentro de um intervalo de números reais, o cálculo da probabilidade dessa variável assumir um determinado valor perde o sentido, visto que essa probabilidade seria sempre zero.

Veja o exemplo da vida útil de uma bateria de celular, que é uma variável contínua. Se assumir que essa vida útil pode variar de 10 horas a 72 horas (valores fictícios), a probabilidade de uma bateria durar exatamente 20,456 horas seria zero. Uma explicação de forma bem simples poderia ser dada da seguinte forma:

Se todos os valores possíveis dentro do intervalo de 10 a 72 horas forem igualmente prováveis, então:

P(“bateria durar exatamente 10,456 horas“) = 01

)456,01P(X =∞

==

onde o símbolo ∞ indica infinito, que é o total de valores possíveis dentro do intervalo de 10 a 72 horas. Sabendo deste resultado, não tem muito sentido calcular probabilidade de ocorrer um determinado valor, quando se trata de variável contínua. Então, o que é feito nestes casos ?

Quando se trata de variável contínua, devemos sempre calcular a probabilidade de a variável ter um valor compreendido entre dois valores quaisquer. Ou seja, calculamos a probabilidade de a variável assumir determinado valor dentro de um intervalo [a; b]. Veja o exemplo a seguir para ilustrar que acabamos de dizer. Veja o exemplo a seguir para ilustrar que acabamos de dizer.

EXEMPLO 13 - Na figura abaixo, o ponteiro gira livremente sobre um círculo dividido em oito setores. Como variável de interesse, vamos considerar a distância do ponto inicial até o ponto em que o ponteiro irá parar. Se o ponteiro for colocado para girar no sentido horário, determine a probabilidade de o ponteiro:

Solução ------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- a) O ponteiro sob o círculo é posto a girar, podendo parar em qualquer posição ao longo do círculo. É de esperar que seja quase impossível de o ponteiro parar exatamente em cima do ponto “k”, portando a probabilidade disto ocorrer será praticamente zero, ou seja, P(A) ≈ 0 onde o evento A = “parar exatamente em cima do ponto k”. b) Sendo razoável assumir que os 8 intervalos [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70) e [70; 80) sejam igualmente prováveis, então:

P(“cair no intervalo [10; 20)”) = 1/8 = 0,125.

a) Parar exatamente em cima do ponto “k” (nem um pouco antes e nem um pouco depois).

b) Parar dentro do intervalo [10; 20].


No exemplo anterior, podemos representar as probabilidades associadas a cada intervalo usando um histograma construído de forma que as áreas dos retângulos representem as probabilidades de interesse.

A área do retângulo sombreado no histograma acima é igual a 1/8. Para que área fosse realmente 1/8, a altura do histograma teve que ser 1/80, pois área de retângulo = base ∗∗∗∗ altura = 1 / 8

(20-10) ∗ altura = 1 / 8 10 ∗ altura = 1 / 8 altura = 1 / 80

Note, com o histograma acima, que há uma relação entre probabilidade e área. Isto sempre acontecerá, quando trabalhamos com distribuição de variável contínua. Supondo que o círculo fosse dividido em 16 intervalos, sendo que intervalo tem a mesma probabilidade 1/16, o histograma correspondente seria:


Podemos dividir o círculo em 32 intervalos, 64 intervalos e assim por diante e mesmo assim sua altura permanecerá com o mesmo valor 1/80. Então, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos o seguinte histograma: Este histograma teórico é determinado pela função f(x) que denominamos de função densidade de probabilidade ou simplesmente função densidade da variável X. Com a função densidade f(x) podemos calcular teoricamente P(43 ≤ X ≤ 65), probabilidade de o ponteiro cair a uma distância de 43 a 65 a partir do ponto inicial, calculando a área de um retângulo. Escolhendo adequadamente a função densidade f(x) para a variável de interesse, podemos calcular a probabilidade teórica de a variável assumir um valor dentro do intervalo [a; b], simplesmente calculando a área da curva no intervalo [a; b]. Abaixo, temos um histograma para as notas de matemática dos candidatos em um vestibular e a função densidade f(x) (note como o histograma reflete de uma maneira aproximada a realidade da variável).

10090807060504030200

Notas

Densidade d

e fre

quência

10090807060504030200

Notas

Densidade d

e fre

quência

807060504030201000

X

1 / 80

f(x)

Função densidade f(x) Histograma

Probabilidade de obter mais de 80 pontos

Portanto,

P(43 ≤ X ≤ 65) = 0,275.


ATENÇÃO: É bom deixar bem claro que a função densidade f(x) não fornece diretamente a probabilidade , ela apenas é usada no cálculo de área e esta área corresponderá a nossa probabilidade de interesse. Em situações simples, iremos calcular áreas de retângulos, triângulos ou outras figuras geométricas mais simples, mas em situações mais complexas, o cálculo das áreas irá requer o uso de cálculo de integral .

A função densidade abaixo, descreve o tempo de vida de um tipo especial de lâmpada. O cálculo da área neste caso não é tão simples assim, se pretendemos calcular a probabilidade de uma lâmpada sobreviver mais de 15 mil horas devemos recorrer ao uso da integral.

Abaixo temos algumas características importantes de uma função densidade. Características da função densidade f(x)

• É uma função não-negativa, ou seja, f(x) ≥ 0;

• A área total da curva definida por f(x) é igual a 1 (Figura 1 abaixo);

• A probabilidade de a variável assumir um valor no intervalo [a; b] é: P(a ≤ X ≤ b) = área da curva no intervalo [a; b] (figura 2 abaixo);

• A probabilidade de a variável assumir um determinado valor é sempre zero. Ou seja, P(X = k) = 0 (Figura 2 abaixo);

• A inclusão ou exclusão dos extremos não altera o valor da probabilidade, ou seja, P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b)

A probabilidade de uma lâmpada sobreviver mais de 15 mil horas é igual a:

P(X > 15) = 153,0dx)x(f

15

=∫∞

ATENÇÃO: Não se desespere, não vamos usar integral

na nossa disciplina.


4.1 Distribuição Uniforme A distribuição Uniforme é o modelo mais simples para variável contínua. Este modelo é adequado, quando é razoável assumir que intervalos iguais da variável tenham mesma probabilidade.

Distribuição Uniforme

Se a variável aleatória X segue a distribuição uniforme no intervalo [a; b], então a função densidade f(x) é dada por:

b] [a; xse 0

b] [a; xse a-b

1

)(

∉

∈

=xf

Valor esperado E(X) e variância Var(X)

2)(

abxE

+=µ= 12

)()(

22 ab

xVar−=σ=

EXEMPLO 14 - A empresa Pica-Pau Ltda corta madeiras em forma de toras. O comprimento das toras varia uniformemente de 30 cm a 90 cm.

a) Determine a probabilidade de uma tora ter comprimento • maior que 80 cm • de 65 cm a 70 cm • exatamente 75 cm

b) Se 1200 toras forem cortadas, qual o número de esperado de toras com comprimento maior que 80 cm.

c) Qual o valor esperado e o desvio-padrão do comprimento das toras.

d) Sabendo que 90% das toras têm comprimento de k cm no máximo. Determine o valor de k.

e) Determine os três quartis (Q1, Q2 e Q3) dos comprimentos das toras. Solução ------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ Se os comprimentos das toras variam uniformemente de 30 a 90, então podemos assumir a distribuição uniforme para a variável X= “comprimento das toras” com função densidade f(x) igual a:

90] [30; xse 0

90] [30; xse 60

1

)(

∉

∈

=xf

60

1

f(x)

x 30

ab −1

f(x)

x a b


a) P(“comprimento ser maior que 80”) = P(X > 80) = 0,1667 P(“comprimento de 65 cm a 70 cm”) = P(65 ≤ X ≤ 70) = 0,0833 P(“comprimento exatamente 75 cm”) = P(X = 75) = 0 (a área não existe)

b) Se P(X > 80) = 0,1667 então cerca de 16,67% das toras terão comprimentos maiores que 80cm, então de um total de 1200 toras o número de toras com 80 cm ou mais é aproximadamente 200 toras ( = 16,67% de 10000). c) O tamanho médio µ das toras é:

→ 602

3090

2)( =+=+==µ ab

xE cm

O desvio-padrão σ dos comprimentos das toras é:

→ 32,1730012

)3090(

12

)()(

22

==−

=−

==σab

xVar cm

d) P(“comprimento no máximo k”) = 0,90. área = base ∗ altura = 0,90 (k – 30) ∗ 1/60 = 0,90 ⇒ k = 54 + 30 = 84 cm e) Lembre-se de que Q1 = P25 então basta repetir a letra ‘d’ usando 0,25 no lugar de 0,90. Para o Q2, usar 0,50 no lugar de 0,90 e para o Q3 usar 0,75 no lugar de 0,90.

x

f(x)

60

1

30 k 90

0,90


EXEMPLO 15 - Um gerador de números aleatórios segue a distribuição uniforme no intervalo de 10 a 20.

a) Determine a probabilidade de o número gerado ser: • Maior que 17. resp: 0,30 • Menor que 12,5. resp: 0,25 • Entre 14 e 16. resp: 0,20 • Exatamente o número 18 resp: 0

b) Se 1000 números são gerados, quantos deles serão maiores que 17? resp: ≈ 300 números

c) Qual o valor médio e desvio-padrão dos números gerados. resp: µ = 15 σ = 2,89

EXEMPLO 16 - O tempo requerido para completar uma operação de montagem segue a distribuição uniforme no intervalo de 30 a 40 minutos.

a) Determine a probabilidade de uma montagem requerer

• Mais de 37 minutos para ser completado. • de 34 a 36 minutos; • Exatamente 34 minutos.

b) Sabendo que 25% das vezes, o tempo de montagem é, no máximo, k segundos, determine o valor de k.

c) Qual é a média e a variância do tempo de montagem. Respostas: a) 0,30 0,20 0 b) k = 32,5 min c) µ = 35 e σ2 = 8,33


4.2 Distribuição Normal

A distribuição Normal é a distribuição de probabilidade mais usada na Estatística, pois serve de modelo para um grande número de variáveis contínuas e também como modelo aproximado para outras distribuições de probabilidade (Binomial, Poisson, etc).

Em inferência estatística, uma área da estatística que procura tomar decisões acerca da população usando apenas os dados de uma amostra, a média amostral é a variável de maior interesse e conhecer a sua distribuição de probabilidade é de grande importância. Se o tamanho da amostra for considerado grande (n ≥ 30), podemos usar a distribuição normal como modelo adequado para descrever os resultados da média amostral, mesmo se a população de onde a amostra foi retirada não seguir a distribuição normal. Esse é o resultado do Teorema Central do Limite (principal teorema na Estatística) e que mostra a grande importância da distribuição normal.

Distribuição normal

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros µµµµ e σσσσ, se a sua função densidade f(x) for dada por:

, para − ∞ < x < ∞

onde4, σ > 0 e = 2,718282 ππππ = 3,14159

NOTAÇÃO: X ~ Normal ( µµµµ; σσσσ) → “A variável X tem distribuição normal com média µµµµ e desvio-padrão σσσσ.

Valor esperado E(X), variância Var(X) e desvio-padrão dp(X) da variável X E(X) = µ Var(X) = σ2

dp(X) = σ

4 e = número neperiano ou número de Euler (pronuncia-se óiler).

2 x

2

1

e2

1)x(f

σµ−−

⋅π⋅σ

=

x

f(x)

µµµµ


Efeito da média µµµµ e do desvio-padrão σσσσ na curva normal A média µ determina o valor do centro da curva normal, enquanto que o desvio-padrão σ determina a largura da curva normal. Quanto menor o valor do desvio-padrão σ, menor será a variabilidade dos dados, conseqüentemente menor será a largura da curva.

Algumas características da distribuição Normal (1) A média, mediana e moda são iguais. Ou seja, µ = Md = mo; (2) A curva normal, além de ter uma área total igual a 1, é simétrica em torno da média µ,

sendo assim, P(X < µ - b) = P(X > µ + b);

(3) P(X ∈ [a; b]) = P(a ≤ X ≤ b) = área da curva no intervalo [a; b] (4) A inclusão ou exclusão dos extremos não altera o valor da probabilidade. Portanto,

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b)

80706050403020100

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

f(x)

µ = 20 σ = 4

µ = 50 σ = 8 µ = 20

σ = 8


(5) Quaisquer que sejam os valores da média µµµµ e do desvio-padrão σσσσ de uma distribuição normal, os seguintes resultados são válidos:

P(µ − 1⋅σ ≤ X ≤ µ + 1⋅σ) = 0,6827 - Cerca de 68,3% dos valores estão a um desvio-padrão distante da média;

P(µ − 2⋅σ ≤ X ≤ µ + 2⋅σ) = 0,9545 - Cerca de 95,5% dos valores estão a 2 desvios-padrões

distante da média; P(µ − 3⋅σ ≤ X ≤ µ + 3⋅σ) = 0,9973 - Cerca de 99,7% dos valores estão a 3 desvios-padrões

distante da média;

Se as notas em matemática dos candidatos em um vestibular forem normalmente distribuídas com média de µ = 65 pontos e desvio-padrão de σ = 12 pontos, então aproximadamente 95% desses candidatos irão obter notas de 41 a 89 pontos, pois

41 = 65 –2∗12 (= µ – 2∗σ)

89 = 65 + 2∗12 (= µ + 2∗σ)

Distribuição normal padrão

A distribuição normal padrão é um acaso especial da distribuição normal onde a média é zero (µ = 0) e desvio-padrão é um (σ = 1). As áreas dessa distribuição são obtidas com o auxilio de tabelas e serve de referência para calcular probabilidades das outras distribuições normais

Por que usamos tabela na distribuição normal?

Como foi dito anteriormente, as probabilidades são obtidas resolvendo a integral da função densidade no intervalo de interesse. O grande problema é que integrar algebricamente uma curva normal não é possível e a solução encontrada foi usar métodos numéricos5 para calcular de forma aproximada as áreas de interesse. Essas áreas são calculadas apenas para a distribuição normal padrão.

5 Métodos computacionais usados para obter a integral de uma função

Montgomery, 2002


Para obter as áreas de outros intervalos teremos que lembrar de que a curva normal é simétrica em torno da média, de que área total é um e de que as áreas dos intervalos (-∞; 0] e [0; +∞) são iguais a 0,50.

A tabela que vamos usar fornece a área da curva normal padrão no intervalo de zero até um determinado valor, ou seja, no intervalo [0; zc].

Por exemplo, usando a tabela normal padrão, qual a probabilidade P(0 ≤ Z ≤ 1,58)?

O valor zc =1,58 deverá ser dividido em duas partes (1,5 e 8). A primeira parte (1,5) deverá ser localizada na primeira coluna da tabela e a segunda parte (8) deverá ser localizada na primeira linha da tabela. Na interseção dessas duas partes teremos o valor 0,442947 que é a probabilidade desejada.

Usando a tabela normal padrão, P(0 ≤ Z ≤ 1,58) = 0,442947.

Usando o resultado acima, outras probabilidades podem ser obtidas. Veja a seguir: P(Z > 1,58) = 0,50 – 0,442947 = 0,057053 (lembre-se de que a área no intervalo [0; ∞] é igual a 0,50)

Por simetria, temos que: P(-1,58 ≤ Z ≤ 0) = 0,442947 P(Z < -1,58) = 0,057053

Continuando com a tabela normal padrão, qual o valor de zc tal que P(0 ≤ Z ≤ zc) = 0,35? Resposta: O valor de zc é 1,04

0 1,58 Z

Tabela normal padrão z 8 ... ↓ 1,5 → 0,442947 ...

P(0 ≤ Z ≤ 1,58) =

Tabela normal padrão z 4 ... ↑ 1,0 ← 0,350830

... mais próximo

de 0,35

P(0 ≤ Z ≤ zc) = 0,35

0 zc Z

-1,58 0 Z

0,057053

0,442947

0 0 1,58 Z

0,05705


EXEMPLO 17 - Sabendo que a variável Z tem distribuição normal padrão, responda:

a) P(Z < 1,85) b) P(Z > - 2,33) c) P(2,33 ≤ Z ≤ 1,50) d) P(-2,33 ≤ Z ≤ -1,50) e) P(-1,80 ≤ Z ≤ 0,85) f) Calcule k tal que P(Z ≤ k) = 0,95. g) Calcule k, tal que P(Z ≤ k) = 0,05.

Solução ---------------------------------------------------------------------------------------------- a) P(Z < 1,85) = 0,5 + 0,467843 = 0,967843 ( = área sombreada na figura abaixo) b) P(Z > -2,33) = 0,5 + 0,490097 = 0,990097 ( = área sombreada na figura abaixo) c) P(2,30 ≤ Z ≤ 1,50) = área no intervalo [0; 2,30] − área no intervalo [0; 1,50] = 0,489276 − 0,433193 = 0,056083 d) P(-1,86 ≤ Z ≤ 0,85) = área no intervalo [-1,86; 0] + área no intervalo [0; 0,85] = 0,468557 + 0,302337 = 0,770894

0 0 1,85

0,5

Da tabela normal padrão

0,467843 Observação P(Z < 1,85) = P(Z ≤ 1,85)

0 -2,33 0

0,5

Da tabela normal padrão

0,490097

0 0 1,5 2,3

0,056083

-1,86 0 0,85 Z


e) P(-2,30 ≤ Z ≤ -1,50) = área no intervalo [-2,30; 0] − área no intervalo [-1,50; 0] = 0,489276 − 0,433193

= 0,056083 (veja que por simetria já poderíamos ter obtido este resultado)

e) Calcule k tal que P(Z ≤ k) = 0,95.

Resposta: O valor de k é 1,65.

Veja que o valor 0,95 corresponde a área da curva sob o intervalo (−∞; 0]. Sabendo que a área no (−∞; 0] é igual a 0,50, então o restante 0,45 fica sendo a área no intervalo [0; k]. Como a tabela só trabalha com áreas no intervalo [0; z c], por isto é que olhamos na tabela o valor correspondente a área 0,45. e encontramos k = 1,65. f) Calcule b tal que P(Z ≤ b) = 0,05. Da letra ‘e’ podemos concluir que P(Z ≤ 1,65) = 0,95 e P(Z > 1,65) = 0,05. Por simetria, sabemos que P(Z < −1,65) = 0,05 (certo?), então com isto a resposta para a letra ‘f’ é b = −1,65’ Padronização de uma variável Até agora só trabalhamos com a distribuição normal padrão. E como devemos trabalhar com as outras distribuições de probabilidades? Qualquer variável X tendo distribuição normal com média µ e desvio-padrão σ pode ser “transformada” em uma distribuição normal padrão, basta, para isto, padronizar a variável X.

X tem distribuição normal com média µ e desvio-padrão σ.

Z tem distribuição normal padrão com média µ = 0 e desvio-padrão σ = 1.

0 -2,3 -1,5 0 Z

Da letra ‘c’ e por simetria temos 0,056083

0 0 1,65

0,95

0,05

0

0,95

-1,65 0 Z

Tabela normal padrão z 5 ... ↑ 1,6 ← 0,449 497

... mais próximo

de 0,45 0 0 k = ?

0,50 0,45

P(0 ≤ Z ≤ k) = 0,45

σµ−= x

z

Padronização


X ~ Normal( µµµµ; σσσσ)

Z ~ Normal(0; 1)

( )

σµ−≤=≤ a

ZPaXP = olhar as áreas na tabela da normal padrão

( )

σµ−≤≤

σµ−=≤≤ b

Za

PbXaP = olhar as áreas na tabela da normal padrão

EXEMPLO 18 - Em uma região, o quociente intelectual (QI) das pessoas adultas segue a distribuição normal com média de 100 pontos e desvio-padrão de 15 pontos. Escolhendo uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade desta pessoa:

a) ter QI maior que 120 pontos. b) ter QI menor que 75 pontos. c) ter QI de 110 a 120 pontos. d) ter QI de 75 a 120 pontos.

Solução ------------------------------------------- --------------------------------------------------- Como variável de interesse vamos definir X = “QI de uma pessoa adulta” e pelo enunciado do problema sabemos que X segue a distribuição normal com média µ = 100 pontos e desvio-padrão σ = 15 pontos. a) P(“um pessoa adulta ter QI maior que 115 pontos”) = P(X > 115) = ? Para usar a tabela normal padrão devemos inicialmente padronizar o valor 115.

15

100120120

−=σ

µ−=→= xzx = 1,33

b) P(“um pessoa adulta ter QI menor que 75 pontos”) = P(X < 75) = ?

Padronizando o valor 75:15

1007575

−=σ

µ−=→= xzx = -1,67

0 100 120 x 0 1,33 z

= 0,5 - 0,408241 = 0,091759

Resposta: P(X > 120) = P(Z > 1,33) = 0,091759 Cerca de 9,18% das pessoas adultas têm QI maior que 115 pontos.

Resposta: P(X < 75) = P(Z < -1,67) = 0,047460 Cerca de 4,7% das pessoas adultas têm QI menor que 75 pontos.

-1,67 0 z

0 75 100 x

= 0,5 - 0,452540 = 0,047460


c) P(“um pessoa adulta ter QI de 110 a 120 pontos”) = P(110 ≤ X ≤ 120) = ?

Padronizando o valor 110: 15

100110110

−=σ

µ−=→= xzx = 0,67


100120120

−=σ

µ−=→= xzx = 1,33

P(0,67 ≤ Z ≤ 1,33) = área no intervalo [0; 1,33] − área no intervalo [0; 0,67]

= 0,408241 − 0,248571= 0,15 d) P(“um pessoa adulta ter QI de 75 a 120 pontos”) = P(75 ≤ X ≤ 120) = ?


1007575

−=σ

µ−=→= xzx = -1,67


100120120

−=σ

µ−=→= xzx = 1,33

P(0,67 ≤ Z ≤ 1,33) = área no intervalo [−1,67; 0] + área no intervalo [0; 1,33]

= 0,452540 + 0,408241 = 0,860781

0

0 0,67 1,33 z

0,159670

100 110 120

Resposta: P(110 ≤ X ≤ 120) = P(0,67 ≤ Z ≤ 1,33) = 0,159670 Cerca de 15,97% das pessoas adultas têm QI de 110 a 120 pontos.

Resposta: P(75 ≤ X ≤ 120) = P(-1,67 ≤ Z ≤ 1,33) = 0,860781 Cerca de 86,1% das pessoas adultas têm QI de 75 a 120 pontos.

75 100 120

-1,67 0 1,33


EXEMPLO 19 - Continuando com o EXEMPLO 18.

a) Cerca de 95% das pessoas adultas têm QI menor que b pontos. Determine o valor de b?

b) A MENSA é uma organização que reúne os 2% de maior QI da população. Qual o menor QI que permite alguém ingressar na MENSA?

Solução ------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ a) Sabendo que 95% das pessoas têm QI menor que b pontos, pela figura abaixo vemos que

45% têm QI de 100 a b pontos, ou seja, P(100 ≤ X < b) = 0,45.

Após padronização temos que P(100 ≤ X < b) = P(0 ≤ Z ≤ zc) = 0,45. Pela tabela normal padrão, sabemos que zc = 1,65 (se tiver dúvidas ainda, veja o exemplo 11e). Então,

15

100−=σ

µ−= bxzc = 1,65 → b – 100 = 1,65*15 = 24,75

Portanto, b = 124,75 pontos.

b) Como queremos encontrar um valor b do QI tal que 2% das pessoas estejam acima e 98% estejam abaixo. Então, na realidade, estamos na mesma situação da letra “a” acima, bastando trocar 0,95 por 0,98.

Usando o mesmo raciocínio da letra “a”, temos que b = 130,75 pontos (usando zc = 2,05). Portanto, para ingressar na MENSA, a pessoa deve obter no mínimo 130,75 pontos no teste de admissão.

P(0 ≤ Z ≤ k) = 0,45

0

0 zc z

0,50 0,45

100 b x


4.3 Aproximação Normal

4.3.1 Aproximação Normal para Binomial Em situações onde temos que usar a distribuição binomial, um valor muito grande para o n torna o cálculo das probabilidades muito cansativo. Uma alternativa para este problema é usar a distribuição normal como uma aproximação para a distribuição binomial. As condições para este uso requerem um n muito grande e um p não muito próximo de 0 ou de 1 (veja a regra prática a seguir).

Se a variável discreta X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p

Regra prática 6 A variável X terá aproximadamente uma distribuição normal com parâmetros pn ⋅=µ e

qpn ⋅⋅=σ

Então, se você lançar um dado para cima 300 vezes a probabilidade de se obter a face quatro mais de 80 vezes é obtida pela distribuição binomial, mas podemos usar a distribuição normal para obter uma aproximação da probabilidade.

P(X > 80) ≈≈≈≈ P(X > 80)

EXEMPLO 20 - De acordo com o último censo, 20% das famílias de uma região vivem abaixo da linha da pobreza. De uma amostra aleatória de 80 famílias e usando a aproximação normal, determine:

a) A probabilidade de menos de 10 famílias amostradas viverem abaixo da linha da pobreza; b) A probabilidade de 15 a 25 famílias amostradas viverem abaixo da linha da pobreza c) A probabilidade de menos de 25% das famílias amostradas viverem abaixo da linha da

pobreza; d) A probabilidade de mais de três quartos das famílias amostradas viverem abaixo da linha

da pobreza; e) O número esperado das 80 famílias amostradas que vivem abaixo da linha da pobreza?

Solução ------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- Veja que a variável X = “número de família que vive abaixo da linha da pobreza” segue a distribuição binomial com n = 80 famílias e p = 0,20 (probabilidade de uma família viver abaixo da linha da pobreza), porém vamos usar a aproximação normal para calcular as probabilidades. Verificando as condições: n⋅p = 80 = 80⋅0,20 = 16 ≥ 5 (ok) n⋅(1 - p) = 80⋅(1 - 0,20) = 64 ≥ 5 (ok) Então X segue aproximadamente a distribuição normal com média pn ⋅=µ = 16 e desvio-

padrão )1( ppn −⋅⋅=σ = )20,01(20,080 −⋅⋅ = 3,5777.

6 Esta condição é uma regra prática usada por muitos autores. No exemplo do dado, temos µ = n⋅p = 300⋅1/6 = 50 e σ2 = n⋅p⋅(1-p) = 300⋅1/6⋅(1-1/6) = 41,667

n⋅ p ≥ 5 n⋅ q ≥ 5

Normal com µ = 50 e σ = 6,45

Binomial com n = 300 e p = 1/6


a) P(“menos de 10 famílias”) = P(X < 10) =

Padronizando o valor 10: 5777,3

161010

−=σ

µ−=→= xzx = -1,68

Então: P(X < 10) = P(Z < -1,68) = área no intervalo (−∞; 0] – área no intervalo [-1,68; 0] = 0,5 – 0,453521 = 0,046479 (faça o desenho da curva normal)

b) P(“de 15 a 20 famílias”) = P(15 ≤ X ≤ 20) =


161515

−=σ

µ−=→= xzx = -0,28


162020

−=σ

µ−=→= xzx = 1,12

Então: P(15 ≤ X ≤ 20) = P(-0,28 ≤ Z ≤ 1,12) = área no intervalo [−0,28; 0] + área no intervalo [0; 1,12] = 0,110261 + 0,368643 = 0,478904 (faça o desenho da curva normal)

c) “... menos de 25% das famílias...” equivale a “... menos de 20 famílias ...” (25% de 80 é igual

a 20) P(“menos de 20 famílias”) = P(X < 20)


162020

−=σ

µ−=→= xzx = 1,12

Então: P(X < 20) = P(Z < 1,12) = área no intervalo (−∞; 0] + área no intervalo [0; 1,12] = 0,5 + 0,368643 = 0,868643 (faça o desenho da curva normal)

d) “... mais de ¾ das famílias...” equivale a “... mais de 60 famílias ...” (75% de 80 é igual a 60)

P(“mais de 60 famílias”) = P(X > 60)


166060

−=σ

µ−=→= xzx = 12,30

Então: P(X > 60) = P(Z > 12,30) = área no intervalo [0; +∞) − área no intervalo [0; 12,30] = 0,5 − 0,5 = 0,0 (faça o desenho da curva normal)

e) O número médio (ou valor esperado) de famílias que vivem abaixo da linha da pobreza é µ = 16 famílias.

Quando usamos a aproximação Normal para a Binomial, estamos aproximando uma variável discreta (que só assumem valores inteiros) por uma variável contínua (que pode assumir quaisquer valores dentro de um intervalo de número reais). È de se esperar que algum ajuste deva ser feito. Este ajuste é denominado de correção de continuidade e esta descrita na seção 4.3.3.


EXEMPLO 21 - Sabe-se que 40% dos alunos em uma escola têm carro próprio. De uma turma com 15 alunos, determine a probabilidades abaixo usando a distribuição Binomial e a aproximação normal .

a) No máximo 3 alunos terem carro próprio. b) Pelo menos 10 alunos terem carro próprio. c) Exatamente 6 alunos terem carro próprio. d) Menos de 2 alunos terem carro próprio. e) Mais 6 alunos terem carro próprio.

4.3.2 Aproximação Normal para Poisson Da mesma forma que usamos a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial, nós podemos também usá-la como aproximação da distribuição de Poisson. A condição é de que o produto n⋅p seja um valor razoável (maior que 5, por exemplo 7).

Se a variável discreta X segue a distribuição de Poisson com parâmetro λ

Regra prática A variável X terá aproximadamente uma distribuição normal com

parâmetros λ=µ e λ=σ

EXEMPLO 22 - Se a indústria de tecido XYZ sabe que em sua produção costuma apresentar defeitos que segue a distribuição de Poisson com uma taxa média de 2 defeitos a cada 50 metros de tecido. Determine

a) A probabilidade de um rolo com 200 metros de tecido apresentar 12 ou mais defeitos. b) A quantidade esperada de rolos que teriam menos de 5 defeitos em uma amostra de 80

rolos de 200 metros. Solução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Veja que a variável X = “número de defeitos em um rolo com 200 metros” segue a distribuição de Poisson λ = 8 defeitos (note que dois defeitos a cada 50 metros equivalem a oito defeitos a cada 200 metros), porém vamos usar a aproximação normal com µ = λ = 8 e

8284,28 ==λ=σ . a) P(“Doze ou mais defeitos”) = P(X ≥ 12) = P(Z ≥ 1,41) = 0,0793 b) P(“de menos de 5 defeitos”) = P(X < 5) = P(Z < -1,06) = 0,1446

Veja que 14,46% dos rolos de 200 metros apresentam menos de 5 defeitos, então de uma amostra de 80 rolos espera-se que 12 (14,46% de 80) rolos tenham menos de 5 defeitos.

7 Alguns falam λ ≥ 10

λ ≥ 5


4.3.3 Aproximação Normal com correção de continuida de

Quando usamos a aproximação Normal para a Binomial e/ou Poisson, estamos aproximando uma variável discreta (que só assumem valores inteiros) por uma variável contínua (que pode assumir quaisquer valores dentro de um intervalo de número reais). È de se esperar que algum ajuste deva ser feito. Este ajuste é denominado de correção de continuidade e esta descrita em outra seção.

A correção de continuidade ajuda a melhorar as probabilidades obtidas por meio da aproximação normal para a Binomial e/ou Poisson. A correção é simplesmente somar ou subtrair 0,5 ao valor (antes de obter as probabilidades). P(X ≤ a) = P(X ≤ a + 0,5) P(X ≥ a) = P(X ≥ a - 0,5) P(X = a) = P(a - 0,5 ≤ X ≤ a + 0,5)

EXEMPLO 23 - Volte ao exemplo 20 e use a aproximação normal com correção de continuidade.

Solução --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) P(“menos de 10 famílias”) = P(X < 10) = P(X ≤ 9) ≈ P(X ≤ 9,5)

5777,3

165,9xz5,9x

−=σ

µ−=→= = -1,82

Então: P(X < 10) ≈ P(X ≤ 9,5) = P(Z < -1,82) = 0,5 – 0,4656 = 0,0344 <<< continuar >>>

EXEMPLO 24 - Volte ao exemplo 22 e use a aproximação normal com correção de continuidade.

Solução ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) P(“Doze ou mais defeitos”) = P(X ≥ 12) = P(X ≥ 11,5) = .... Resposta: 0,1057 b) P(“de menos de 5 defeitos”) = P(X < 5) = P(X ≤ 4) = P(X ≤ 4,5) = ... Resposta: 0,1057


5 Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 01 - (Corrar e Theóphilo, 2003) A empresa Masters & Doctos é uma empresa de prestação de serviços de auditoria independente e consultoria empresarial. A diretoria da empresa precisa decidir quanto à contratação de um novo gerente de projetos. As alternativas propostas foram:

Contratar um gerente para projetos de auditoria ou Contratar um gerente para projetos de consultoria.

A tabela abaixo resume os retornos proporcionados pela decisão tomada em dois possíveis cenários (mercado em alta ou mercado em baixa). Por exemplo, a contratação de um gerente de consultoria pode representar um retorno de $360.000, caso o mercado esteja em alta8 ou um prejuízo de $50.000, caso o mercado esteja em baixa. Contratar Gerente de Consultoria Contratar Gerent e de Auditoria

Cenário Probabilidade Retorno (em mil) Cenário Probabilidade Retorno

(em mil) Mercado e m

ALTA 0,80 360 Mercado em

ALTA 0,80 240

Mercado em BAIXA 0,20 -50

Mercado em BAIXA 0,20 5

Supondo que a probabilidade do mercado estar em ALTA seja 0,80 e do mercado estar em BAIXA seja 0,20, responda:

a) Caso o gerente de consultoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno.

b) Caso o gerente de auditoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno.

c) Com base nos resultados obtidos em “a” e “b”, qual deveria ser a melhor decisão para a empresa?

d) Calcule o coeficiente de variação dos retornos em cada proposta. Qual proposta apresenta menor risco nos retornos? Obs: Em análise financeira, investimento com menor variabilidade tem menor risco.

SOLUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a) Caso o gerente de Consultoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno.

E(RConsultoria) = µC = ∑[xi*fi] = [360*0,80] + [(-50)*0,20] = $278 mil

b) Caso o gerente de Auditoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno.

E(RAuditoria) = µA = ∑[xi*fi] = [240*0,80] + [5*0,20] = $193 mil

c) Com base nos resultados obtidos em “a” e “b”, qual deveria ser a melhor decisão para a empresa?

Contratar o gerente de consultoria, pois o retorno esperado (ou seja, retorno médio) é maior.

8 Uma alta demanda por serviços de consultoria.


d) Calcule o coeficiente de variação dos retornos em cada proposta. Qual proposta apresenta menor risco nos retornos? Obs: Em análise financeira, investimento com menor variabilidade tem menor risco.

•••• Contratando gerente de Auditoria µA = ∑[xi*fi] = $193 mil Variância: σ2

A = ∑(xi −µA)2*fi = (240 -193)2*0,80 + (5 -193)2*0,20 = 8836 Desvio-padrão = σA = RAIZ(8836) = $94 mil → CV = σA / µA = 94 / 193 = 0,487 (ou 48,7%) •••• Contratando gerente de Consultoria µC = ∑[xi*fi] = 278 mil $ Variância: σ2

A = ∑(xi −µC)2*fi = (360 – 278)2*0,80 + (-50 - 278)2*0,20 = 26896 Desvio-padrão = σA = RAIZ(26896) = $164 mil $ → CV = σA / µA = 164 / 278 = 0,59 (ou 59%) •••• Então, a proposta com menor risco é “Contratando gerente de Auditoria”, pois apresenta

menor CV.

EXERCÍCIO 02 - De acordo com pesquisa da Fecomércio-RJ (Federação do Comércio do Rio de Janeiro), em parceria com o Instituto Ipsos, 42% dos brasileiros assumiram que compraram produtos piratas em 2007. Considere uma amostra de 6 brasileiros escolhidos ao acaso, determine a probabilidade.

a) De todos deles comprarem produtos piratas.

b) De menos de dois deles comprar produtos piratas

c) De pelo menos um deles comprar produtos piratas.

d) De apenas dois deles não comprarem produtos piratas.

SOLUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A variável X = “Número de brasileiros que compram produtos piratas em 2007” segue a distribuição Binomial com n = 6 e p = 0,42.

• Por que foi escolhida a distribuição Binomial ???

Porque cada um dos 6 brasileiros escolhidos representa um experimento simples de Bernoulli com probabilidade de sucesso (que é de comprar produtos piratas) igual a 0,42.

“Um experimento de Bernoulli se caracteriza quando temos um experimento com apenas dois resultados (sucesso e fracasso) sendo a probabilidade de sucesso igual a p”

a) P(“todos comprarem”) = P(X = 6) = 0,0055

f(6) = 6 66 58,042,0)!66(!6

!6 −⋅⋅−⋅

= 0,0055

Lembre-se

0! = 1 (por definição) e 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720


b) P(“menos de dois ...”) = P(X < 2) = f(0) + f(1) = 0,0381 + 0,1654 = 0,2035

f(0) = 060 58,042,0)!06(!0

!6 −⋅⋅−⋅

= 0,0381 f(1) = 161 58,042,0)!16(!1

!6 −⋅⋅−⋅

= 0,1654

c) P(“pelo menos um ...”) = P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – f(0) = 1 – 0,0381 = 0,9619

Lembre-se da seguinte dica

P(“pelo menos um comprar ...”) = 1 – P(“nenhum comprar ...”)

c) P(“apenas dois deles não comprarem”) = P(“apenas quatro comprarem”) = f(4) = 0,1570

= f(4) = 0,1570

f(4) = 4 ,,)!(!

! −⋅⋅−⋅

64 580420464

4 = 0,1570

OBS: Note que se dois não compraram, significa que quatro compraram.

Ou, podemos também trocar a probabilidade de sucesso p = 0,42 para 0,52 (pois 52% dos brasileiros não compram produtos piratas em 2007)

f(2) = 2 62 42,058,0)!26(!6

!6 −⋅⋅−⋅

= 0,1570

EXERCÍCIO 03 - O tempo necessário para realizar auditoria de balanços contábeis segue aproximadamente uma distribuição normal com média de 40 minutos e desvio-padrão de 12 minutos.

a) Supondo que uma empresa de contabilidade pública irá realizar uma auditoria, determine a probabilidade de a empresa:

i) Gastar mais de 75 minutos com a auditoria; ii) Gastar de 55 minutos a 70 minutos; iii) Gastar de meia hora a uma hora;

b) Se a empresa tiver 50 balanços contábeis para ser auditadas, quantas delas levarão menos de 20 minutos? Obs: Inicialmente, calcule a probabilidade de se gastar menos de 20 minutos.

c) Cerca de 20% das auditorias gastam mais de k minutos. Determine o valor de k.

Solução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Definindo a variável X = “tempo para realizar auditoria”, temos que X segue a distribuição normal com µ = 40 min e σ = 12 min

OBS: No cálculo de probabilidades usando a distribuição normal, ajuda muito quando desenhamos a curva normal com as regiões de interesse sombreadas.

a)

i) P(X > 75) = P(Z > 2,92) = 0,5 – área[0; 2,92) = 0,5 – 0,498250 = 0,00175

onde z = (75 - 40)/12 = 2,92

OBS: área[0; 2,92] na TABELA = 0,498250

0 40 75 x

= 0,5 - 0,498250 = 0,00175


ii) P(55 ≤ X ≤ 70) = P(1,25 ≤ Z ≤ 2,50) = área[0; 2,5] – área[0; 1,25]

= 0,493790 - 0,394350 = 0,099440

onde z = (55-40)/12 = 1,25 área[0; 1,25] = 0,394350

z = (70-40)/12 = 2,50 área[0; 2,50] = 0,493790

iii) P(30 ≤ X ≤ 60) = P(-0,83 ≤ Z ≤ 1,67) = 0,296731 + 0,452540 = 0,749271

onde z = (30-40)/12 = -0,83 área[0; -0,83] = área[0; 0,83] = 0,296731

z = (60-40)/12 = 1,67 área[0; 1,67] = 0,452540

b) P(X < 20) = P(Z < -1,67) = 0,5 - 0,452540 = 0,0475 (ou seja, 4,75%)

4,75% de 50 = 2,4 ≈ 2 balanços. Do total de 50 balanços, espera-se que dois deles levem menos de 20 minutos para serem auditadas.

*** Ou usar regra de três

100% ------ 50 x = 4,75* 50 / 100 = 2,4

4,75% ------ x

c) P(X > k) = P(Z > zc) = 0,20

Fazendo o desenho da curva normal e sombreando corretamente as regiões, veremos que P(Z > zc) = 0,20 implica que P(0 ≤ Z ≤ zc) = 0,30 e, pela tabela normal padrão, temos zc = 0,84.

Agora, basta resolver a equação

zc = (k - µ)/ σ = 0,84 → ( k – 40) = 0,84*12 = 10,08 → k = 50,08 min

0

= 0,493790 - 0,394350 = 0,099440

40 55 70 x

30 40 60 x

= 0,296731 + 0,452540 = 0,749271

0 40 k = ? x

0,20 0,30


EXERCÍCIO 04 - Sabe-se que pequenos defeitos em folhas de compensado seguem a distribuição de Poisson com uma média de dois defeitos por metro quadrado.

a) Qual a probabilidade de aparecer no mínimo três defeitos em uma folha com 1 metro quadrado?

b) Qual a probabilidade de aparecer mais de um a três defeitos em uma folha com 1 metro quadrado?

c) Qual a probabilidade de aparecer no máximo dois defeitos em uma folha de 1,50 metros x 2,20 metros?

Solução -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A variável X = “número de defeito por metro quadrado” segue a distribuição de Poisson com média de λ = 2 defeitos/m2. A função probabilidade de X é

( )!x

exf

x λ−λ= com x = 0, 1, 2, ... e = 2,7183

a) P(“aparecer no mínimo três defeitos em uma folha”) = P(X ≥ 3) = 0,3233

P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 − [f(2) + f(1) + f(0)]

OBS: Optamos por usar o complemento, pois P(X ≥ 3) envolveria calcular a probabilidade de f(3), f(4), f(5) e assim sucessivamente, o que seria nada prático de se fazer.

Vamos primeiro calcular f(2), f(1) e f(0) separadamente.

• ( )2

13534,04

!2

e22f

22 ⋅==−

= 0,2707 ( )1

13534,02

!1

e21f

21 ⋅==−

= 0,2707

• ( )1

13534,01

!0

e20f

20 ⋅==−

= 0,1353

e−2 = (2,7183) -2 = (1/2,7183)2 = (0,36788)2 = 0,1353 (ou use a função = exp(-2) no Excel)

P(X ≥ 3) = 1 − [ f(3) + f(2) + f(1) ] = 1 – (0,2707+0,2707+0,1353) = 1 – 0,6767 = 0,3233 ( ou 32,33%).

RESPOSTA: A probabilidade de aparecer no mínimo 3 defeitos em uma folha com um metro quadrado é de 0,3233

b) P(“aparecer de um a três defeitos ... ”) = P(X ∈ [1; 3]) = P(1 ≤ X ≤ 3)

= f(1) + f(2) + f(3) = 0,7218

• ( )1

13534,02

!1

e21f

21 ⋅==−

= 0,2707 ( )2

13534,04

!2

e22f

22 ⋅==−

= 0,2707

• ( )6

13534,08

!3

e23f

23 ⋅==−

= 0,1804

P(1 ≤ X ≤ 3) = 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 = 0,7218 ( ou 72,18%).

RESPOSTA: A probabilidade de aparecer de um a três defeitos em uma folha com um metro quadrado é de 0,7218


c) P(“aparecer no máximo dois defeitos em uma folha de 1,50 metros x 2,20 metros”)

= P(X ≤ 2)

Aqui temos uma folha com as seguintes dimensões 1,50 metros x 2,20 metros o que daria uma área de 1,5 x 2,2 = 3,30 metros quadrados. Neste caso ainda podemos usar a distribuição de Poisson, porém temos que alterar a média λ.

Usando a regra de três simples

2 defeitos -------------- 1 m2

λ* defeitos ------------- 3,30 m2

λ* = (2 x 3,30)/1 = 6,6 defeitos em folhas com 3,3 m2

P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2)

• ( )1

00136,01

!0

e6,60f

6,60 ⋅==−

= 0,00136 ( )1

00136,06,6

!1

e6,61f

6,61 ⋅==−

= 0,00898

• ( )4

00136,056,43

!2

e6,62f

6,62 ⋅==−

= 0, 02963

P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0,001360 + 0,00898 + 0,02963 = 0,03997 ( ou ≈ 4%).

RESPOSTA: A probabilidade de aparecer no máximo dois defeitos em uma folha com 1,5 x 2,2 metros é 0,04.

EXERCÍCIO 05 - Volte ao EXERCÍCIO 2, mas agora considere que a amostra aleatória foi de 60 brasileiros. Responda os itens abaixo usando a aproximação normal .

a) Qual o valor esperado (µ) e o desvio-padrão (σ) da variável X = “número de brasileiros amostrados que compram produtos piratas”.

b) Qual a probabilidade de, no máximo, 20 desses brasileiros terem comprado produtos piratas?

c) Qual a probabilidade de mais da metade desses brasileiros terem comprado produtos piratas? obs: “... mais da metade ...” = “ ... mais de 30 (= metade de 60) ...”

d) Qual a probabilidade de exatamente 55% desses brasileiros terem comprado produtos piratas? obs: “... exatamente 55% ...” = “ ... exatamente 33 (= 55% de 60) ...”

Solução ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a)

A variável X = “Número de brasileiros que compraram produtos piratas em 2007” segue a distribuição Binomial com n = 60 e p = 0,42.

Para usar a aproximação normal as condições n∗p ≥ 5 e n∗(1-p) ≥ 5 devem ser satisfeitas

n∗p = 60 ∗ 0,42 = 25,2 ≥ 5 ok e

n∗(1-p) = 60 ∗ 0,58 = 34,8 ≥ 5 ok


Como as duas condições acima foram satisfeitas, então podemos usar a aproximação Normal para distribuição Binomial.

Sendo assim, a variável X tem aproximadamente distribuição normal com média µ = n∗p = 25,2

e desvio-padrão qpn ⋅⋅=σ = 3,823.

RESPOSTAS:

Média: µ = n∗p = 60*0,42 = 25,2 brasileiros

desvio-padrão: 616,1458,042,060qpn =⋅⋅=⋅⋅=σ = 3,823 brasileiros

b) P(“no máximo 20 comprarem ...”) = P(X ≤ 20) = P(Z ≤ -1,36)

= 0,5 – 0,413085 = 0,086915

onde z = (20-25,2)/3,823 = -1,36 área[0; -1,36] na TABELA NORMAL = 0,413085 (Faça o desenho da curva normal com a área sombreada)

c) P(“mais da metade comprarem ...”) = P(X > 30) = P(Z > 1,26)

= 0,5 - 0,396165 = 0,103835

onde z = (30-25,2)/3,823 = 1,26 área[0; 1,26] na TABELA NORMAL = 0,396165 (Faça o desenho da curva normal com a área sombreada)

d) P(“exatamente 55% desses brasileiros comprarem . ..”) = P(X = 33) = P(Z = 2,04) = 0

onde z = (33 - 25,2)/3,823 = 2,04

Em (d) o valor obtido não é foi uma boa aproximação, pois se usássemos modelo Binomial (que seria o mais correto) para calcular P(X = 33) o valor obtido seria diferente de zero.

A aproximação normal poderia ser melhorada usando o que chamamos de correção de continuidade. Esta correção seria simplesmente somar e subtrair 0,5 do valor 33 antes de calcular a probabilidade. Então, em vez de calcular a probabilidade P(X = 33) deveríamos calcular a probabilidade de X estar dentro do intervalo [32,5 ; 33,5].

P(32,5 ≤ X ≤ 33,5) = P(1,91 ≤ Z ≤ 2,17) = 0,484997 – 0,471933 = 0,013063 (valor aproximado)

onde z = (32,5-25,2)/3,823 = 1,91 área[0; 1,91] na TABELA NORMAL = 0,471933 z = (33,5-25,2)/3,823 = 2,17 área[0; 2,17] na TABELA NORMAL = 0,484997

OBS: Usando o modelo Binomial teríamos f(33) = 0,01 3313 (valor exato)


6 Exercícios propostos

EXERCÍCIO 01 - Um dado honesto é lançado duas vezes para cima de forma independente. Construa a distribuição de probabilidade da variável aleatória X = “soma das faces voltadas para cima”.

EXERCÍCIO 02 - A tabela abaixo mostra distribuição de probabilidade para o lucro obtido nas vendas diárias de uma peça

x Lucro em $

-20 -5 40 70 120 150

f(x) Probabilidade

0,05 0,10 0,35 k 0,25 0,15

a) Determine o valor de k, de forma que a tabela acima seja realmente uma distribuição

de probabilidade. b) Qual é a probabilidade de o estabelecimento não ter prejuízo. c) Qual seria o lucro diário esperado nas vendas das peças. d) Calcule o desvio-padrão do lucro diário. e) Qual seria o lucro mensal esperado nas vendas das peças.

Obs: 1 mês = 30 dias

EXERCÍCIO 03 - Suponha que os pesos de uma peça apresentam uma média de 25 kg e desvio-padrão de 3 kg. Essa peça deverá ser embalada em uma caixa que pesa em média 2 kg com desvio-padrão de 1 kg. Qual será a média e o desvio-padrão da peça embalada?

EXERCÍCIO 04 - Uma prova tem 6 questões com quatro alternativas cada uma. Um aluno não estudou para a prova e resolveu “chutar” as questões. Determine a probabilidade de o aluno:

a) Acertar no máximo 1 questão b) Acertar todas as questões c) Acertar pelo menos uma questão d) Errar no máximo uma questão.

EXERCÍCIO 05 - O gerente da loja XYZ sabe que 80% dos clientes que entram na loja fazem algum tipo de compras. Vamos considere os próximos 6 clientes que entrarão na loja e que X = “número de clientes que farão alguma compra”.

x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 0,00006 ? 0,01536 ? 0,24576 0,39322 ?

a) Complete a distribuição de probabilidade para a variável X. b) Qual a probabilidade de menos de 3 clientes realizarem alguma compra? c) Qual a probabilidade de mais de 4 clientes realizarem alguma compra?


EXERCÍCIO 06 - Sabe-se que 5% das peças são fabricadas com defeito. Um grande lote com peças será rejeitado se uma amostra de 20 peças apresentarem 3 ou mais peças defeituosas, qual a probabilidade de o lote ser rejeitado? Resposta: P(X ≥ 3 ) = 0,07548

EXERCÍCIO 07 - Sabe-se que 10% das pessoas são canhotas em certa empresa. No setor XYZ dessa empresa trabalham 25 funcionários.

a) Qual o número esperado de funcionários canhotos no setor XYZ? b) Determine a probabilidade de:

• Haver mais de 3 canhotos no setor XYZ • Haver nenhum canhoto no setor XYZ

Resposta: µ = 2,5 P(X > 3) = 0,23641 f(0) = 0,07179

EXERCÍCIO 08 - Testes indicam que o tempo de duração das geladeiras da marca XYZ tem distribuição normal com média de 72 meses e desvio-padrão de 18 meses. a) O fabricante estipulou como garantia um prazo máximo de 6 meses, período no qual ele

ficará obrigado de consertar qualquer defeito que surgir no equipamento. Determine a probabilidade de uma geladeira estragar durante a garantia.

b) Se forem vendidas 150 mil geladeiras durante um ano, qual o número esperado de geladeiras que o fabricante deverá consertar durante o prazo da garantia?

c) Sabendo que 98% das geladeiras conseguem durar mais de k meses, determine o valor de k.

Respostas: a) 0,000121 b) cerca de 18 geladeiras c) k = 108,9 meses

EXERCÍCIO 09 - Sabe-se que 10% das pessoas que estão na fila de um banco desistem de permanecer na fila. Em uma fila com 100 pessoas,

a) Calcule, usando a aproximação normal , a probabilidade de menos de oito pessoas desistirem de permanecer na fila.

b) Calcule, usando a aproximação normal , de mais de um quarto das pessoas desistirem de permanecer na fila.

Respostas: µ = 10 σ = 3 a) P(X < 8) = P(z < -0,67) = 0,25143 b) mais de ¼ equivale dizer mais de 25% de 100 = 25, então P(X > 25) = P(z > 5) = 0,0

EXERCÍCIO 10 - m exame de múltipla escolha foi elaborado com 10 questões, cada uma com quatro opções. A aprovação no exame exige do aluno que ele acerte pelo menos 60% da prova. Um aluno nada estudou e está pretendendo “chutar” as questões.

a) Qual a probabilidade de ele acertar todas as questões?

b) Qual a probabilidade de ele errar oito questões?

c) Qual a probabilidade de ele ser aprovado no exame?

d) Qual o número esperado de questões que este aluno acertaria?

Respostas:

a.) p(10) = 0,0000009537

b.) “errar 8 questões” ⇒ “acertar 2 questões” Então, p(2) = 0,18771

c.) P(ser aprovado) = P(acertar no mínimo 6 questões) = p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10) = 0,01973

d.) número médio de questões corretas = µ = n⋅p = 2,5 questões (de 2 a 3 questões)


EXERCÍCIO 11 - Uma fabrica de chocolate comercializa barras de chocolate que pesam em média 200 gramas. Os pesos são normalmente distribuídos com uma desvio-padrão de 40 gramas.

a) Qual a probabilidade de uma barra de chocolate escolhida ao acaso pesar de 200 a 250 gramas?

b) Qual a probabilidade de uma barra de chocolate escolhida ao acaso pesar menos de 90 gramas?

c) Qual o número esperado de barras de chocolate com peso superior a 230 gramas, se você comprasse 20 barras?

Respostas:

a.) P(200 ≤ X ≤ 250) = P(0 ≤ Z ≤ 1,25) = 0,3944 (ou 39,44%)

b.) P(X < 90) = P(Z < -2,75) = 0,003 (ou 0,3%)

c.) P(X > 230) = P( Z > 0,75) = 0,2266 (ou 22,66%) 22,66% de 20 = 4,5 barras (de 4 a 5 barras)

EXERCÍCIO 12 - Um banco recebe em média 6 cheques sem fundo por dia. Qual é a probabilidade de que ele receba:

a) nenhum cheque sem fundo um determinado dia?

b) 4 cheques sem fundo durante um determinado dia?

c) pelo menos um cheque sem fundo um determinado dia?

d) um cheque sem fundo da Terça-feira?

e) dez cheques sem fundo durante um determinado dia?

f) dez cheques sem fundo em um intervalo de dois dias seguidos?

DICA: Apesar de não estar falando do modelo a ser utilizado, note que o modelo de POISSON é o mais adequado, pois temos a informação de uma taxa média de 6 cheques sem fundos durante o intervalo de um DIA (λ = 6 cheques/dia). O modelo Binomial não é aplicado aqui, pois não temos a probabilidade de sucesso (p) e nem o número de tentativas (n) independentes.

Repostas

a) 0,002479 b) 0.13385 c) 0,997521 d) 0,014873 e) 0.04130 f) 0.10484

EXERCÍCIO 13 - Seu computador na empresa onde trabalha recebe e-mail a uma taxa média de 2 e-mails a cada cinco minutos. Durante uma hora de serviço qual a probabilidade de você ter recebido mais de trinta e-mails (usando a aproximação Normal para Poisson). Resposta: P(X > 30) = P(Z > 1,22) = 0,1112 (sem correção de continuidade) P(X > 30) = P(X > 30 +0,5) = P(X > 30,5) = P(Z > 1,33) = 0,0918 (com correção de continuidade)


7 Bibliografia

• BRUNI, Leal Adriano, Estatística Aplicada à Gestão Empresarial, São Paulo: Editora Atlas. 2ª Edição, 2008.

• LEVINE, David M.; STEPHAN, David; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística: Teoria e Aplicações usando Microsoft Excel em Português. 5 ed.. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos. 2005.

• TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2005. 656p.

• MARTINS, Gilberto de Andrade, Estatística Geral e Aplicada. São Paulo, Editora Atlas, 2005.

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