TABALHO 02

Modelo para Digitao

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINAana paula kretzerpaula assunoSILMARA APARECIDA FINGR

trigonometria e funes elementarescases de aplicaes trigomtricas - projeto 2

Palhoa2013ana paula kretzerpaula assunosilmara aparecida fingr

trigonometria e funes elementarescases de aplicaes trigomtricas - projeto 2

Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia Civil em Trigonometria e Funes Elementares como requisito parcial avaliao final da disciplina.

Prof. Jefferson Jaques Andrade

Palhoa2013lista de ilustraes

Figura 1: Planta de Cobertura.....................................................................................................7Figura 2 :Elementos do Telhado.................................................................................................7 Figura 3: Ficha Tcnica Modelo Romana...................................................................................8Figura 4: Altura do Telhado........................................................................................................8Figura 5: Desenho do Dimensionamento da Tesoura 1..............................................................9Figura 6: Desenho do Dimensionamento da Tesoura 2...........................................................10 Figura 7: Desenho do Dimensionamento dos Caibros............................................................12 Figura 8: Desenho esquemtico do traado.......................................................................... 15 Figura 9: Valores da curva......................................................................................................15 Figura 10: Informaes obtidas................................................................................................17 Figura 11: Crescimento da bactria por fisso binria ou cissiparidade..................................19Figura 12 - Aspecto do lodo ativado........................................................................................20

lista de grficosGrfico 1- Ciclo de Vida das Bactrias ....................................................................................20

Grfico 2- Curva de Crescimento da Colnia de Bactrias....................................................21

lista de tabelas

Tabela 1 Planilha de Dimensionamento de Madeiramento para Tesouras............................10 Tabela 2 Planilha de Dimensionamento de Madeiramento para Chapuz.............................11Tabela 3 Planilha de dimensionamento de madeiramento para Cumeeira, teras e contrafrechal......11 Tabela 4 Planilha de Dimensionamento de Madeiramento para Caibros.............................13 Tabela 5 Planilha de dimensionamento de madeiramento para ripas...................................13 Tabela 6 Planilha de madeiramento.......................................................................................14 Tabela 7 Planilha de telhas.....................................................................................................14

sumrio1introduo6

1.1 objetiVos especficos6

2desenvolvimento7

2.1 aplicao da trigonometria no Clculo do telhado ......................7

2.2 APLICAES DA TRIGONOMETRIA CLCULO DE CURVAS DE UMA RODOVIA................................................................................................................................15

2.3 APLICAES DA TRIGONOMETRIA NO CLCULO DA CURVA NORMAL DE CRESCIMENTO BACTERIANO ...........................................................................................12

3 CONSIDERAES FINAIS ..........................................................................................23

4 REFERNCIAS............................................................................................................,,. 24

1

4

introduo

O trabalho tem como objetivo apresentar cases de utilizao de operaes trigonomtricas aplicadas diretamente em trs situaes usuais na Engenharia civil e ambiental. Como aplicao na construo civil so apresentados clculos referentes ao dimensionamento do madeiramento e o levantamento quantitativo de telhas romanas de um telhado de duas guas com beiral de 80 cm de uma edificao de 10 m x 20 m.

Como aplicao na construo de rodovias so apresentados clculos de curvatura e uma rodovia.

Como aplicao na Engenharia ambientai so apresentados clculos da curva normal de crescimento bacteriano.

O tempo de gerao (TG) corresponde o tempo necessrio multiplicao bacteriana. Esse tempo varia conforme a espcie em questo e a fase de crescimento ou diviso celular. A curva normal de crescimento microbiano representa o aumento da populao em um determinado perodo de tempo.

1.1 OBJETIVOS ESPECFICOS

- Apresentar aplicao de operaes trigonomtricas na determinao do madeiramento e a quantidade de telhas para uma casa de 10 ml x 20 ml com um telhado de duas guas e beiral de 80 cm em toda a volta.

- Apresentar aplicao de operaes trigonomtricas na determinao de alguns clculos necessrios ao projeto de uma rodovia .

- Apresentar aplicao de trigonomtricas na determinao clculos da curva normal de crescimento bacteriano. desenvolvimento2.1 APLICAES DA TRIGONOMETRIA NO CLCULO DO TELHADO

Situao: Determinar o madeiramento e a quantidade de telhas para uma casa de 10m x 20m com um telhado de duas guas e beiral de 80 cm em toda a volta. So apresentados os seguintes dados:

Figura 1: Planta de Cobertura Fonte: Elaborao dos Autores

Figura 2:Elementos do Telhado Fonte: : http://www.cec.com.br/dicas-construcao-elementos-da-tesoura-no-telhado

Dados do madeiramento: - tamanho comercial das peas : 2,50 m- bitola da madeira de tesouras e chapuz : 12 x 8 (cm)- bitola da madeira de teras e cumeeira: 10 x 6 (cm)- bitola da madeira de caibros: 8 x 5 (cm)- bitola da madeira de ripas : 3 x 3 (cm)

- Inclinao: entre 30% e 45%- Comprimento Mdio: 465 mm- Largura Mdia:280 mm - Altura Mdia:62,9 mm- Telhas por m:10,5 peas - Distncia mx. entre ripas: 41,5 cm*- Comprimento da telha de cumeeira :480 mmFicha Tcnica Modelo Romana: Figura 3: Ficha Tcnica Modelo RomanaFonte: http://rondoville.com.br/produtos/telha-ceramica-romana-e-americana

Passo 1: Clculo da altura e ngulo de inclinao do telhado:

FIGURA 4: Altura do Telhado Fonte: Elaborao dos autores

Altura: caimento adotado 45% largura da gua x % de inclinao

H= 5 m x H= 2,25 m

ngulo de inclinao do telhado: tg = : tg = tg = 0,45 arc tg = 24,23

ngulo de inclinao do telhado = 24,23Passo 2: Clculo das tesouras

FIGURA 5: dimensionamento da tesouras -1 Fonte: Elaborao dos autores

Linha: ( a ): vo = 10 m dimenso comercial = 12 x 6 x 250 cm Quantidade de tesouras no telhado : 4 tesouras

N de peas = N de peas = = 4 peas por tesoura

N total de peas = peas de 12 x 8 x 250

Pendural (e) : altura = 2,25 m dimenso comercial = 12 x 6 x 2,50 m Quantidade de tesouras no telhado : 4 tesouras

N de peas = = 0,9 (1 pea) N de peas = = 0,9 (1 pea) N de peas = 1 pea por tesoura x 4 tesouras N total de peas = peas

Pernas(d) : dimenso comercial = 12 x 6 x 250 c m Quantidade por tesoura : 2 pernas Quantidade de tesouras no telhado : 4 tesouras

d = e + b d = 2,25 + 5,00 d= 5,0625 + 25 d= d= 5,48 m /perna

comprimento total de madeira = 5,48 ( 2 pernas x 4 tesouras) = 43,84 m N total de peas = = 17,53 peas 18 peas de 12 x 8 x 250

As peas tero emenda com encaixes de madeira e chapa metlica sobreposta na emenda parafusada com parafuso de ao inox

Pontaletes (f) :dimenso comercial = 12 x 6 x 250 cm Quantidade de pontaletes por tesoura : 2 tesouras Quantidade de tesouras no telhado : 4 tesouras tg = : tg 24,23 = 0,45 = = 2,5 x 0,45 f= 1,13 m

N de peas = 2 pontaletes por tesoura x 1,13 = 2,26 (1 pea de 2,50m )

N de peas = 1 x 4 tesouras N total de peas = peas

Escora (g) : dimenso comercial = 12 x 6 x 250 c m Quantidade por tesoura : 2 pernas Quantidade de tesouras no telhado : 4 tesouras

g = c2 + f g = 2,5 + 1,13 g= 6,25 + 1,28 d= g= 2,74 m /pontalete

comprimento total de madeira = 2,74 ( 2 escoras x 4 tesouras) = 21.92 m N total de peas = = 8,77 peas 9 peas de 12 x 8 x 250

FIGURA 6: Desenho do Dimensionamento da Tesoura -2 Fonte: Elaborao dos autores

Tabela 1 Planilha de Dimensionamento de Madeiramento para Tesouras PeaQtde(unid.)Dimenso/pea (m)Qtd. Madeira/tesoura(m)Bitola comercial(cm)Quantidade de tesouras (unid.)Quantidade total de peas de 2,50 m (unid.)(com quebra de sobra)

Linha110,0010,00

12 x 8

4

16

Pendural 12,252,254

Pernas25,4810,9618

pontaletes21,132,264

Escora22,745,489

Total de peas de madeira com bitola de 12 x 8 x 250 51 PEAS

Fonte: Elaborao dos autores

As peas tero emenda com encaixes de madeira e chapa metlica sobreposta na emenda parafusada com parafuso de ao inox

Passo 3: Clculo do chapuz

Chapuz : dimenso comercial = 12 x 6 x 250 m Quantidade no telhado : 2 chapuz Vo = (20,00 + 0,80 +080 ) Comprimento = 2 x 43,20 m N total de peas = = 16 peas 18 peas de 12 x 8 x 250

Tabela 2 Planilha de Dimensionamento de Madeiramento para ChapuzPeaQtde(unid.)Vo (m)Comprimento Madeira(m)Bitola comercial(cm)Quantidade total de peas de 2,50 m (unid.)(com quebra de sobra)

Chapuz 220,0040,0012 x 8 x 25016

Total de peas de madeira com bitola de 12 x 8 x 25016 PEAS


As peas tero emenda com encaixes de madeira e chapa metlica sobreposta na emenda parafusada com parafuso de ao inox.

Passo 4: Clculo da cumeeira , tera, contrafrechal

Cumeeira(1 pea) ,tera, contrafrechal : dimenso comercial = 12 x 6 x 250 m Quantidade no telhado : 1 cumeeira + 2 teras + 2 contrafrechal

Vo = 20,00 + 0,80 +080 Comprimento = 21,60 m N total de peas de cumeeira = = 8,64 peas 9 peas

N total de peas para teras = = 17,28 peas 18 peas

N total de peas = = 17,28 peas 18 peas

Tabela 3 Planilha de dimensionamento de madeiramento para Cumeeira, teras e contrafrechal PeaQtde(unid.)Vo (m)Comprimento Madeira (m)Bitola comercial(cm)Quantidade total de peas de 2,50 m (unid.) (com quebra de sobra)

Cumeeira 121,60 21,6010 x 6 x 2509

Tera 243,2018

Contrafrechal 243,20 18



As peas tero emenda com pregos de ao inox.

Passo 5: Clculo dos caibros

Caibro : dimenso comercial : 8 x 5 x 250 m Afastamento entre caibro: 1 mQuantidades de guas do telhado : 2 guas

FIGURA 7: Desenho do Dimensionamento dos Caibros Fonte: Elaborao dos autores

Tamanho do caibro: Comprimento do caibro =

= = = 6,356 m adotado = 6,40 m

Quantidade de caibro no telhado = y 1= caibro adicional da ponta em cada gua de telhado Vo= 21,60m

Y= Y= Y= 46 caibros

Quantidade de caibro no telhado = 46 caibros de 8 x 5 x 640 cm N total de peas para caibros = = 117,76 118 peas + 2 peas de quebra

Tabela 4 Planilha de Dimensionamento de Madeiramento para Caibros PeaQtde/gua (unid.)Comprimento do caibro (m)Total Madeira/gua (m)N de guas do telhado Bitola comercial(cm)Quantidade total de peas de 2,50 m (unid.)(com quebra de sobra)

Caibros 236,40147,2028 x 5 x 250120



As peas tero emenda com pregos de ao inox

Passo 6: Clculo das ripas

Ripas : dimenso comercial : 3 x 3 x 250 m Afastamento entre ripas : 40 cmQuantidades de guas do telhado : 2 guas

Comprimento do caibro = mComprimento do ripamento = mQuantidade de ripas no telhado = y 1= ripa adicional da ponta em cada gua de telhado

Y= Y= Y= 34 caibros

Quantidade de ripamento no telhado = 34 linhas de ripas 3 x 3 x 21,60 cm

N total de peas para ripas = = = 293,76 294 peas = 293,76 +10% = 323,35 325 peasTabela 5 Planilha de dimensionamento de madeiramento para ripas PeaQtde/gua (unid.)Vo (m)Qtd. Madeira/gua N de guas do telhado Bitola comercial(cm)Quantidade total de peas de 2,50 m (unid.)(com quebra de sobra)

Ripas 1721,60 367,2023 x 3 x 250325


Fonte: Elaborao dos autoresAs peas tero emenda com pregos de ao inox

Passo 7: Clculo das telhas

-Telhas por m:10,5 peas- Quantidades de guas do telhado : 2 guas - quebra de 10%

rea do telhado A = A = A = 276,48m N total de telhas = (276,48 x 10,5) + 10% = 2.903 +10% = 3.193 N total de telhas a adquirir = 3.200 telhas

Passo 8: Clculo das telhas de cumeeira - Comprimento da telha de cumeeira :480 mm N total de telhas = () + 10% = 45 +10% = 49,5N total de telhas de cumeeira = 50 telhas

Passo 9: Sntese de resultados

Tabela 6 Planilha de madeiramento Madeiramento do telhado

UtilizaoQtde. parcial (peas)Qtde. total (peas)Especificao

Tesouras 5167Angelim 12 x 8 x 250 cm

chapuz16

cumeeira525Angelim 10 x 6 x 250 cm

Tera 10

Contrafrechal 10

Caibros 120120Angelim 8 x 5 x 250 cm

Ripas 325325Angelim 3 x 3 x 250 cm


Tabela 7 Planilha de telhasTelhas cermicas tipo romana

EspecificaoQuantidade

Telhas cermicas romana 3.200 telhas

Telhas de cumeeira 50 telhas


2.2. APLICAES DA TRIGONOMETRIA CLCULO DE CURVAS DE UMA RODOVIA

A mobilidade urbana palavra chave no crescimento das cidades hoje. A populao aumentou consideravelmente em nosso pas, de 2000 a 2010 a populao brasileira cresceu cerca de 12%. A frota de carros em nosso pas teve um crescimento espantoso comparado populao, no mesmo perodo a frota cresceu cerca de 114%.Santa Catarina tem a capital brasileira com segundo maior ndice de veculos por habitante. So cerca de 642 veculos para cada 1000 habitantes.Em detrimento do crescimento da frota de veculos o governo fortaleceu o investimento em rodovias, o que causou um aquecimento na produo de projetos rodovirios.Ao longo do trabalho ilustraremos alguns clculos necessrios ao projeto de uma rodovia bem como cada um de seus elementos.

Para iniciarmos o clculo de um projeto de rodovia necessrio estabelecer algumas definies. Partiremos do princpio de que o traado j esteja definido e que ele esteja sobre uma superfcie plana.Uma rodovia composta de retas que se ligam atravs de curvas, a fim de torn-la mais suave para o trfego. O raio dessas curvas pode variar devido a vrios fatores; velocidade, elevao, entre outros. Calcularemos o raio atravs das informaes fornecidas ignorando os fatores externos. Para isso usaremos o traado abaixo, bem como as informaes abaixo descritas.

FIGURA 8: Desenho esquemtico do traado Fonte: Elaborao dos autores

Passo 1 : Determinao dos valores dos elementos de curva

Traa-se uma linha perpendicular a reta PC;PI e outra perpendicular a reta PI;PT. O encontro das linhas traadas ser o centro do arco da curva, que ter como raio a distncia do ponto O ao ponto PT.

FIGURA 9: Valores da curva Fonte: Elaborao dos autoresRelaes trigonomtricas

Passo 2: Determinao do ngulo entre retas

Atravs dos clculos descobriremos o ngulo das retas entre PC;O e O;PT.Dado: T = T = 80m

Passo 3 : Clculo do afastamento

A seguir calcularemos o valor de e atravs da expresso obtida com as relaes trigonomtricas. O valor de e a distncia entre o ponto mdio do arco e o ponto PI.

Passo 4: Clculo do comprimento da curva

O prximo passo ser calcular o comprimento da curva DC, que vai do pontoo PC ao ponto PT.

Abaixo o desenho com as informaes obtidas:

FIGURA 10: Informaes obtidas Fonte: Elaborao dos autores

Por fim, segue a planta do alinhamento com todas as informaes obtidas atravs do programa AUTOCAD, comprovando assim os clculos realizados.Esta pgina ser substituda pelo desenho do CAD da Ana

2.3. APLICAES DA TRIGONOMETRIA NO CLCULO DA CURVA NORMAL DE CRESCIMENTO BACTERIANO

Bactrias so organismos unicelulares, procariticos, que podem ser encontrados na forma isolada ou em colnias. So microorganismos constitudos por uma clula, sem ncleo celular nem organelosmembranares. As bactrias so organismos extremamente adaptveis e, por isso, extremamente capazes de viver em qualquer ambiente daTerra.As bactrias crescem ou se multiplicam de forma assexual por fisso binria ou cissiparidade. Sendo assim, cada clula, em um determinado intervalo de tempo (tempo de gerao) originar duas clulas semelhantes clula de origem. Ocorre alongamento da clula, replicao do DNA, invaginao da membrana e da parede celular formando um septo separador.O tempo de gerao (TG) corresponde o tempo necessrio multiplicao bacteriana. Esse tempo varia conforme a espcie em questo e a fase de crescimento ou diviso celular. A Escherichia coli, uma bactria entrica, apresenta um TG de 20 minutos, enquanto Rhizobiumsp., bactria fixadora de nitrognio, tem TG de 3-5 horas. A fase de maior crescimento quando a bactria est adaptada ao meio e dispe de nutrientes e fatores ambientais necessrios ao crescimento.

FIGURA 11: Crescimento da bactria por fisso binria ou cissiparidade

O processo de tratamento por lodos ativados estritamente biolgico e aerbio, no qual o esgoto bruto do afluente e o lodo ativado so misturados intimamente, agitados e aerados, aps este procedimento, o lodo formado enviado para o decantador secundrio, onde a parte slida separada do esgoto tratado, sendo este ltimo descartado.O lodo ativado formado, principalmente de bactrias, algas, fungos e protozorios, sendo as bactrias os microrganismos de maior importncia, uma vez que so responsveis pela deteriorao da matria orgnica e pela formao dos flocos.

FIGURA 12 - Aspecto do lodo ativado.

CURVA NORMAL DE CRESCIMENTO BACTERIANO

A curva normal de crescimento microbiano representa o aumento da populao em um determinado perodo de tempo. Isto pode ser evidenciado, inoculando-se bactrias em meio lquido e realizando-se contagem do nmero de clulas periodicamente ao longo de um determinado perodo. Com isto, observa-se que a cultura passa por quatro fases distintas.

GRAFICO 1- Ciclo de Vida das Bactrias

- Fase lag: Fase adaptativa ou de latncia, na qual a clula ativa intensamente seu metabolismo, porm no se multiplica. Esta fase bastante varivel conforme a espcie. Algumas levam horas e outras, dias;

- Fase log ou exponencial: conhecida como fase logartmica, caracteriza-se pela fase de diviso constante das clulas, duplicando a populao a cada gerao. Denomina-se tambm de fase de crescimento exponencial, estabelecendo-se graficamente a representao de uma reta ascendente. Este o objeto do calculo apresentado.

- Fase estacionria: fase em que o nmero de clulas novas sendo geradas diminui, equivalendo-se ao nmero de clulas destrudas pelo prprio metabolismo e escassez nutricional. Desta forma, a populao continua se multiplicando, mas no cresce, torna-se estvel e com alta competitividade por espao e nutrientes. Nesta fase, as bactrias capazes de formar esporos, iniciam este processo para se manterem viveis em fase mais crtica;

- Fase de declnio: nesta fase, as clulas raramente se multiplicam. A populao decresce, pois as clulas entram em colapso, devido escassez nutricional e formao de substncias txicas. Algumas bactrias conseguem se manter vivel por longo tempo, mesmo nestas condies, outras so severamente afetadas e no mais se recuperam.

Passo 1: Clculo do crescimento exponencial das bactrias:

Sabe-se que sob certas condies em laboratrio, o crescimento da populao de bactrias duplica em intervalos regulares e a taxa de crescimento aumenta exponencialmente (2,2,2,....., 2) onde n o nmero de geraes. Partindo de uma situao que envolve o crescimento de uma populao inicial de 12 bactrias que se duplicam a cada hora. Aps 10 horas, qual seria o nmero de bactrias?

Resoluo: f(x)= k.ax A base exponencial 2, pois h duplicao de quantidade de bactrias. Logo, a funo pode ser escrita como f(t)= 12.2t, onde: k= n de bactrias da colnia analisada a = clula me duplicada t = tempo de incubao

f(t)= 12.20 = 12 bactrias f(t)= 12.25 = 384 bactriasf(t)= 12.21 = 24 bactriasf(t)= 12.26 = 768 bactriasf(t)= 12.22 = 48 bactriasf(t) = 12.27 = 1.536 bactriasf(t)= 12.23 = 96 bactriasf(t) = 12.28 = 3.072 bactriasf(t)= 12.24 = 192 bactriasf(t) = 12.29 = 6.144 bactriasf(t) = 12.210 = 12.288 bactrias

F(t) = 12 x Grfico 2- Curva de Crescimento da Colnia de Bactrias.Fonte: Elaborao dos autores

Passo 2. - Clculo do tempo de geraoO tempo de gerao ou duplicao (g) o tempo mdio necessrio para que ocorra a formao de 2 clulas filhas a partir de uma clula me. Este valor calculado a partir da seguinte equao:g = t / n

em que: n - n de geraes ocorridas durante o perodo t de crescimento exponencial

N - o nmero de unidades formadoras de colnias no tempo t; N0 - o nmero de unidades formadoras de colnias no tempo t0g- o tempo de duplicao (ou, de gerao) (min ou h)t tempo de incubaon inicial de bactrias= 102 n final de bactrias= 105 tempo de incubao= 5 h

= 1,32g= 5 h /1,32 = 4 h e 18 min.

3- CONSIDERAES FINAIS

Com as situaes de cases apresentados verifica se que as operaes trigonomtricas so grandes ferramentas de preciso da determinao de dimensionamentos com se aplica nas situaes 1 e2 ao nvel macroscpico. E so tambm importantes em aplicaes microscpicas. No caso especfico num teste de laboratrio de anlises fsico-qumico de tratamento de guas residuais.

4- REFERNCIAS1. [Internet] TelhaCermica Romanae Americana | Madeireira rondoville . Acesso em 3 out. 2013.

2- [Internet] Elementos da tesouranotelhado- Construo | C&C Casa:. Acesso em 3 out. 2013.3- [Internet] http://www.e-escola.pt/topico.asp?id=233

4- [Internet] http://pt.wikipedia.org/wiki/Bact%C3%A9ria

5- [Internet] http://professor.ucg.br/siteDocente/admin/arquivosUpload/3909/material/Crescimento%20Populacional%20de%20Bact%C3%A9rias.pdf

6- [Internet] http://www.cienciaviva.pt/rede/oceanos/2desafio/Actividades%20complementares%20fagos.pdf

7- SEVERINO SOARES SILVA; O n da mobilidade urbana. Disponvel em: http://mundieditora.uberflip.com/i/165756. Acesso em: 04 de outubro de 2013.

8- O ESTADO DE S. PAULO; Populao do Brasil passa dos 200 milhes de habitantes em 2013. Disponvel em: http://www.estadao.com.br/noticias/cidades,populacao-do-brasil-passa-dos-200-milhoes-de-habitantes-em-2013,1069145,0.htm. Acesso em: 04 de novembro de 2013.

9- IBGE; Populao. Disponvel em: http://www.ibge.gov.br/home/mapa_site/mapa_site.php#populacao. Acesso em: 04 de novembro de 2013.

10- LCIO MENDES; Traado de Estradas Parte 1. Disponvel em: http://sites.florianopolis.ifsc.edu.br/agrimensura/files/2013/04/Tra%C3%A7ado-de-Estradas-parte-1.pdf. Acesso em: 01 de novembro de 2013.

11- DJALMA MARTINS PEREIRA, EDUARDO RATTON, GILZA FERNANDES BLASI, MRCIA DE ANDRADE PEREIRA, WILSON KSTER FILHO; Projeto Geomtrico de Rodovias. DTT/UFPR. 2013

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