1

5a Lista de Exercícios IM 458 - TÓPICOS EM MÉTODOS NUMÉRICOS

O propósito desta lista é implementar problemas simples de escoamentos com transferência de calor e analisar as respostas numéricas contra resultados analíticos. Na implementação destes problemas utilize a opção de solver elíptico do phoenics. 1. Escoamento Laminar em um Tubo Cilíndrico: Considere o escoamento de ar (PRPS

= 0) em um tubo com raio igual a 0.05 m e comprimento igual a 7.5 m. O escoamento de ar entra no tubo a 20oC e é aquecido pelas paredes que estão mantidas a uma temperatura fixa de 100oC. O escoamento na entrada até o seu desenvolvimento hidrodinâmico e térmico estão representados nas figuras a seguir:

No presente problema você vai resolver numericamente o problema de entrada num escoamento forçado num duto de seção circular:

a) Para um perfil completamente desenvolvido o perfil é parabólico

−=

2

1*2)(RyWyW , onde W é a velocidade média. Em particular, para y =

0 (centro do tubo) a velocidade local é igual a duas vezes a velocidade média. Compare o valor que você determinou numericamente com este resultado analítico, use o autoplot para mostrar como a velocidade na linha de centro varia com z, mostre também perfis de velocidade w para algumas posições z, como sugerido pelas ilustrações acima.

b) analise a região de desenvolvimento hidrodinânico, compare seu resultado numérico com a relação de Shah e London (White Viscous Flow);

DDD

ZRe056.0

Re035.016.0

++

≈

2

c) Usando o VRVIEWER ou o PHOTON faça os contornos de temperatura constante para o ar. Agora retome o problema considere um gás hipotético com as mesmas propriedades do ar porém sua condutibilidade térmica é 10 vezes menor, isto é, 2.58E-03 W/moC. Compare o campo de temperatura desta simulação com aquele do ar. Justifique a principal razão física das diferenças entre os campos.

2. Escoamento numa Placa Plana (Blasius). Você vai determinar numericamente os

campos de velocidades e de temperatura para o escoamento de ar (PRPS = 0) com velocidade de 0.5 m/s (P = 105 Pa e 20oC) a uma posição z=1.5 m do bordo de ataque da placa. Compare sua solução com a de Blasius dada na forma de tabela abaixo. Considere um domínio de 2 m na direção do escoamento. Faça uma escolha apropriada da dimensão do domínio na direção transversal do escoamento. Uma grade com 30 volumes na direção transversal e 20 na direção paralela ao escoamento é

suficiente. H é a variável de similaridade definida por: L

Wy

νη

2inf= onde Winf é a

velocidade da corrente livre e L é a posição a jusante do bordo de ataque (L=1.5 m).

η 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 W/Winf 0 0,09391 0,18761 0,28058 0,37196 0,46063

η 1,4 1,8 2 2,4 2,6 3 3,4 4 5

W/Winf 0,62439 0,76106 0,81669 0,90107 0,9306 0,96905 0,98797 0,99777 0,99994

POSIÇÃO DO ´PROBE´ Z = 1.5 M E Y = 25 mm

z = 1.5 m

010

203040

5060

0 0,2 0,4 0,6

(m/s)m

m

3

3. Escoamento com baixo Reynolds (Stokes) A figura a seguir trata-se de uma visualização do escoamento de glicerina em um degrau realizada por Taneda (1979) utilizando partículas de alumínio em suspensão. O número de Reynolds, baseado na altura do degrau é 0.02. Você deve reproduzir as trajetórias das partículas utilizando o recurso das linhas de corrente do VRVIEWER (em regime permanente a trajetória e as linhas das partículas são coincidentes) e comparar a altura da região de recirculação determinada experimentalmente com aquela dada pelo resultado numérico!

Para economizar recursos computacionais simule somente metade do domínio, isto é, somente uma expansão abrupta. Considere um domínio no plano (XY) com a dimensões: XULAST = 0.6 m e YVLAST = 0.3 m, além disto o degrau é posicionado na origem e tem dimensões de 0.3 m e 0.15 m nas direções x e y respectivamente. Dicas: seja bastante cuidadoso com a escolha da malha para você capturar a região de recirculação; altere o fator de relaxação de U1 e V1, DTFALS para 1. Utilize o recurso de multi-runs para que você possa reutilizar o resultado de uma rodada na seguinte, para isto, após criar um phi-file do caso vá em ´initialization´ e clique em restart for all variables´ você deve notar que no campo inicial para as variáveis deve aparecer READFI.

4

4. Convecção natural em uma cavidade quadrada 2D. Você vai simular o campo de

temperaturas obtido numa cavidade quadrada de lado igual a 10 cm, causado pela diferença de temperatura entre duas paredes verticais. O fluido do domínio é ar (incompressível, PRPS = 0) , as paredes verticais estão a 20oC e 30oC E as paredes horizontais são adiabáticas, porém com atrito. Defina cuidadosamente uma malha e os fatores de relaxação. Compare solução numérica do campo de temperaturas (use o photon, SURFACE-VALUE) com a solução de referência, G. DE VAHL DAVIS, Natural Convection of Air in a Square Cavity: a Bench Mark Numerical Solution, Int. J. for Numerical Methods in Fluids, Vol. 3, 249-264, 1983, reproduzida na página seguinte por conveniência. Nela o número de Rayleigh é definido por: Ra = gβL3∆T/(να) e o caso a ser simulado tem Ra = 106.

- O movimento do fluido é causado pela diferença de empuxo do ar aquecido ou

resfriado e a temperatura de referência (T = 25oC). Este empuxo causa um movimento no fluido ascendente na parede quente e descendente na parede fria. O problema é modelado resolvendo-se simultâneamente as equações da massa, quantidade de movimento nas direções x e y e também a equação da energia. Considerando que a direção vertical coincide com a gravidade então esta equação do momento possui um termo fonte extra associado ao empuxo gerado pela diferença de temperatura. A hipótese de Bousinesq é utilizada para modelar este termo. São quatra as equações que serão simultâneamente resolvidas. De forma genérica elas podem ser representadas por:

- φ Γ S Massa 1 0 0 Momento x U1 RHO1*ENUL -dP/dX Momento y V1 RHO1*ENUL -dP/dY + gβ(T-Tref) Energia TEM1 RHO1*ENUL/PRNDTL(TEM1) 0 - sendo g a aceleração da gravidade, β o coef. de expansão do ar (β = 1/Tabsoluta) e PRNDTL(TEM1) é o número de Prandtl do ar, Pr = ν/α = 0.7 . O segundo termo fonte no momento y representa o termo de empuxo modelado por Bousinesq. A seguir são fornecidos o campo de temperatura obtido no phoenics (Ra = 106) e as soluções Benchmark.

( ) ( ) S V t

=φ∇Γ−φρ⋅∇+ρ φ∂∂

φr

5

6

5 DIFUSÃO X CONVECÇÃO – Neste exercício será comparado os efeitos combinados da difusão e convecção num escoamento laminar assim como o efeito que cada um causa isoladamente. Para tanto será feito utilização do comando TERMS do grupo 8 para ativar ou desativar os termos difusivos e convectivos de uma simulação. Carregue o exercício no. 1 da LE#1 (curva plana 180). No VR, desative o modelo de turbulência e ponha em seu lugar o laminar. Os demais comandos e especificações (grade, condições de contorno, velocidade de entrada, propriedades etc) serão os mesmos. Rode o caso laminar e salve os campos de pressão e velocidade. Desative os termos convectivos e rode novamente o caso. Por último desative os termos difusivos e rode novamente o caso, lembre-se porém neste caso de desativar também as condições de contorno nas paredes NORTH e SOUTH (porque?). Compare as soluções obtidas para o campo de velocidadades e de pressão e faça os comentários que considerar pertimentes. LAMINAR (CONV&DIF) DIFUSÃO CONVECÇÃO

1.

7

6 ESCOAMENTO POTENCIAL. Determine as linhas de corrente e de equi-potencial para o escoamento potencial ao redor de um cilindro. Tome inicialmente o plano YZ como domínio do problema com dimensões de 1mx1m. Considere uma grade (40x40). O cilindro possui 0.3 m de raio posicionado no centro do domínio. Faça o potencial na face LOW e HIGH igual a -4 e +4, já nas faces NORTH e SOUTH do domínio faça gradiente nulo. Repita o mesmo problema porém considere o plano XY ao invés do YZ. Você notou alguma diferença no número necessário de iterações? Se sim, explique porque houve a diferença. Dica: Implemente no q1 as linhas:

Group 13. Boundary & Special Sources PATCH (UPSTRM ,LOW ,1,1,1,40,1,1,1,1) COVAL (UPSTRM ,POT , FIXVAL ,-4.000000E+00) PATCH (DWSTRM ,HIGH ,40,40,1,40,1,1,1,1) u COVAL (DWSTRM ,POT , FIXVAL , 4.000000E+00)