FACULDADEDECINCIASSOCIAISAPLICADASDEBELOHORIZONTEMATEMTICAProf. PauladeCamposOliveiraBeloHorizonte,24desetembrode2008.Sumrio1 Reviso 31.1 Nmeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Nmeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Nmeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Introduo aos Nmeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 A Origem dos Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 O ConjuntoZ dos Nmeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Mximo Divisor Comum - MDC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4.1 Tcnica para o Clculo do MDC . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5 Mnimo Mltiplo Comum - MMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5.1 Tcnica para o Clculo do MMC . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Nmeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 A Idia de Nmero Fracionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Fraes Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Operaes com Fraes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4.1 Adio e Subtrao de Nmeros Fracionrios . . . . . . . 121.3.4.2 Multiplicao de Nmeros Fracionrios. . . . . . . . . . . 131.3.4.3 Diviso de Nmeros Fracionrios . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Fraes e Nmeros Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1 O Papel das Fraes e Nmeros Decimais . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Elementos Histricos Sobre os Nmeros Decimais . . . . . . . . . . 141.4.3 Fraes e Nmeros Decimais(Potnciasde 10) . . . . . . . . . . . . 151.4.4 Leitura de Nmeros Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.5 Transformando Fraes em Nmeros Decimais . . . . . . . . . . . . 161.4.6 Transformando Nmeros Decimais em Fraes . . . . . . . . . . . . 171.4.7 Propriedades dos Nmeros Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.7.1 Multiplicao por uma potncia de 10 . . . . . . . . . . . 171.4.7.2 Diviso por uma potncia de 10. . . . . . . . . . . . . . . 171.4.8 Operaes com Nmeros Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.8.1 Adio e Subtrao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.8.2 Multiplicao de nmeros decimais . . . . . . . . . . . . . 181.4.8.3 Diviso de nmeros decimais . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.9 Dzima Peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.9.1 A geratriz de uma dzima peridica. . . . . . . . . . . . . 211.4.9.2 A Geratriz de uma Dzima Simples . . . . . . . . . . . . . 211.4.9.3 A Geratriz de uma Dzima Composta . . . . . . . . . . . . 211.4.9.4 Dica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22iiiSUMRIO1.5 Potenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.1 Algumas Particularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2 Convenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.3 Outras Convenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.4 Propriedades da Potenciao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.4.1 Multiplicao de Potncias de Mesma Base . . . . . . . . 251.5.4.2 Diviso de Potncias de Mesma Base . . . . . . . . . . . . 261.5.4.3 Potncia de Potncias de Mesma Base . . . . . . . . . . . 261.5.4.4 Potncia com Expoente Negativo . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Expresses Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Razes e Propores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.1 Razes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.1.1 Razes Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.2 Propores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.2.1 Propriedade Fundamental das Propores . . . . . . . . . 311.7.2.2 Propriedades Gerais das Propores . . . . . . . . . . . . 321.7.2.3 Nmeros Diretamente Proporcionais . . . . . . . . . . . . 331.7.2.4 Nmeros InversamenteProporcionais . . . . . . . . . . . . 341.7.3 Grandezas Proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.3.1 Grandezas Diretamente Proporcionais . . . . . . . . . . . 351.7.3.2 Grandezas InversamenteProporcionais . . . . . . . . . . . 361.8 Regra de Trs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8.1 Regra de Trs Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8.2 Regra de Trs Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9.1 Taxa Percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.9.2 Problemas de Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.10Expresses Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.10.1 Monmio ou Termo Algbrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.10.2 Operaes com Monmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.10.2.1 Adio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.10.2.2 Subtrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.10.2.3 Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.10.2.4 Diviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10.2.5 Potenciao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10.3 Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.10.3.1 Adio de Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.10.3.2 Subtrao de Polinmios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.10.3.3 Multiplicao de Polinmios. . . . . . . . . . . . . . . . . 511.10.4 Produtos Notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.10.4.1 Quadrado da Soma de Dois Termos. . . . . . . . . . . . . 531.10.4.2 Quadrado da Diferena de Dois Termos . . . . . . . . . . 541.10.4.3 Produto da Soma Pela Diferena de Dois Termos . . . . . 551.10.5 Fatorao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.10.5.1 Fator Comum em Evidncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.10.5.2 Agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.10.5.3 Diferena de Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 581.10.5.4 Trinmio Quadrado Perfeito. . . . . . . . . . . . . . . . . 59Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 ivSUMRIO1.10.6 Simplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.11Equaes do 1oGrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.11.1 Processo de Resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.12Inequao do 1oGrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.13Sistemas de Equaes do 1oGrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.13.1 Mtodos de Resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.13.1.1 Mtodo da Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.13.1.2 Mtodo da Adio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.14Equaes do 2oGrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.14.1 Processo de Resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.14.1.1 Equaes Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.14.1.2 Equaes Incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.15Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 1Captulo1. Reviso1.1. NmerosNaturaisO conjunto dos nmeros naturais representadopela letra maisculaN e estes nmerosso construdos com os algarismos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que tambm so conhecidoscomo algarismos indo-arbicos. No sculo VII, os rabes invadiram a ndia, difundindo oseu sistema numrico.Emboraozeronosejaumnmeronatural nosentidoquetenhasidoprovenientedeobjetos de contagens naturais, iremos consider-lo como um nmero natural uma vez queele temas mesmaspropriedades algbricas queos nmerosnaturais. Na verdade,o zerofoicriadopeloshindusnamontagemdosistemaposicional denumeraoparasupriradecincia de algo nulo.Na seqncia consideraremos que os naturais tm incio com o nmero zero e escreveremoseste conjunto como:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}RepresentaremosoconjuntodosnmerosnaturaiscomaletraN. Asreticncias(trspontos) indicam que este conjunto no tem m. N um conjunto com innitos nmeros.Excluindo o zero do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto ser representadopor:N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}3CAPTULO 1. REVISO1.1.1. NmerosPrimosUmnmeroprimoumnmeronatural comexatamentedoisdivisoresnaturaisdistintos,sendoestesumonmero1eooutroelemesmo.Vejamos os exemplos a seguir, onde D(n) indica todos os divisores den.Exemplos:a) 1 no primo pois D(1) = {1}b) 2 primo pois D(2) = {1, 2}c) 3 primo pois D(3) = {1, 3}d) 5 primo pois D(5) = {1, 5}e) 7 primo pois D(7) = {1, 7}f) 14 no primo pois D(14) = {1, 2, 7, 14}Observao: 1noprimopois temapenas1divisoretodonmeronaturalpodeserescrito como o produto de nmeros primos, de forma nica.1.2. NmerosInteiros1.2.1. IntroduoaosNmerosInteirosNa poca do Renascimento, os matemticos sentiram cada vez mais a necessidade de umnovo tipo de nmero, que pudesseser a soluo de equaes to simples como:x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0AsCincias precisavamdesmbolospararepresentar temperaturasacimaeabaixode0oC, porexemplo. Astrnomosefsicosprocuravamumalinguagemmatemticaparaexpressara atrao entre dois corpos.Quandoumcorpoagecomumaforasobreoutrocorpo, estereagecomumaforademesma intensidade e sentido contrrio. Mas a tarefa no cava somente em criar um novonmero, era preciso encontrar um smbolo que permitisse operar com esse nmero criado,de modo prtico e eciente.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 41.2. NMEROS INTEIROS1.2.2. AOrigemdosSinaisAidiasobreossinaisvemdoscomerciantesdapoca. Osmatemticosencontraramamelhornotaoparaexpressaressenovotipodenmero. Vejacomofaziamtais comer-ciantes:Suponha queumdeles tivesseemseuarmazmduas sacas defeijo com10 kg cada. Seesse comerciante vendessenum dia 8 Kg de feijo, ele escrevia o nmero 8 com um trao(semelhante ao atual sinal de menos) na frente para no se esquecer de que no saco faltava8 Kg de feijo.Masseeleresolvessedespejarnooutrosacoos2Kgquerestaram, escreviaonmero2comdoistraos cruzados(semelhanteaoatualsinaldemais)nafrente,para selembrarde que no saco havia 2 Kg de feijo a mais que a quantidade inicial.Comessanovanotao,os matemticospoderiam,nosomenteindicaras quantidades,mas tambm representar o ganho ou a perda dessas quantidades, atravs de nmeros, comsinal positivo ou negativo.1.2.3. OConjuntoZdosNmerosInteirosDenimos oconjuntodos nmeros inteiros comoareuniodoconjuntodos nmerosnaturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotadopela letraZ (Zahlen = nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por:Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}ExemplosdesubconjuntosdoconjuntoZa) Conjunto dos nmeros inteiros excludo o nmero zero:Z= {..., 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, ...}b) Conjunto dos nmeros inteiros no negativos:Z+= {0, 1, 2, 3, 4, ...}Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 5CAPTULO 1. REVISOc) Conjunto dos nmeros inteiros no positivos:Z= {..., 4, 3, 2, 1, 0}1.2.4. MximoDivisorComum-MDCConsideremos os conjuntos dos divisores respectivamentedos nmeros 40 e 16.D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}Observando que D(40) D(16) = {1, 2, 4, 8}, podemos armar que:I) Os divisores comuns de 40 e 16 so 1, 2, 4, 8.II) O maior divisor comum de 40 e 16 8.Ento,o nmero8 chamadomximodivisorcomumde40 e16, queser representadopor MDC (40, 16) = 8.Da podemos dizer que:Dados2oumaisnmeros,nosimultaneamentenulos,chama-semximodivisorcomumdessesnmerosomaiordosseusdivisorescomuns.1.2.4.1. TcnicaparaoClculodoMDCVamos determinar o mximo divisor comum de 60 e 24. J sabemos que:D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}D(60) D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}MDC(60,24) = 12.Agora, vamos obter o MDC pela tcnica dedecomposioemfatoresprimos.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 61.2. NMEROS INTEIROSa) Decompe-se cada nmero em fatores primos.b) o MDC ser o produto dos fatores comuns, cada um deles elevado ao menor expoente.60 230 215 35 5124 212 26 23 3160 = 223 524 = 233_MDC(60, 24) = 223 = 121.2.5. MnimoMltiploComum-MMCConsideremos os conjuntos dos mltiplos respectivamentedos nmeros 6, 8 e 12.M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,...}M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,...}M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,...}Observando que M(6) M(8) M(12)= {0, 24, 48,...}, podemos armar que:I) Os mltiplos comuns de 6, 8 e 12 so 0, 24, 48,...II) O menor mltiplo comum, diferente de zero, de 6, 8 e 12 24.Ento, o nmero 24 chamado mnimo mltiplo comum de 6, 8 e 12, que ser representadopor MMC (6,8,12) = 24.Da podemos dizer que:Dados2oumaisnmeros, diferentesdezero, chama-semnimomltiplocomumdessesnmerosomenordosseusmltiploscomuns,diferentesdezero.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 7CAPTULO 1. REVISO1.2.5.1. TcnicaparaoClculodoMMCPodemos determinar oMMCde2oumaisnmeros diferentes de0, peloprocessodedecomposioemfatoresprimos, conforme a seguinte regra:I) Decompe-se cada nmero em fatores primos.II) oMDCseroprodutodetodososfatorescomunsenocomuns, cadaumdeleselevado ao maior expoente.6 23 318 24 22 2112 26 23 316 = 2 38 = 2312 = 223_MMC(6, 8, 12) = 233 = 24De modo prtico, as decomposies so feitas simultaneamente,pois desta maneira j seobtm os fatores comuns e no comuns com o maior expoente, conforme o exemplo:6, 8, 12 23, 4, 6 23, 2, 3 23, 1, 3 31, 1, 1 24MMC(6, 8, 12) = 233 = 241.3. NmerosRacionaisH3000antes de Cristo, os gemetras dos faras doEgitorealizavammarcaodasterrasquecavamsmargensdorioNilo, paraasuapopulao. Mas, noperododejunhoasetembro, orioinundavaessasterraslevandopartedesuasmarcaes. LogoCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 81.3. NMEROS RACIONAISosproprietriosdasterrastinhamquemarc-lasnovamenteeparaisso, elesutilizavamuma marcao com cordas, que seria uma espciede medida, denominada estiradores decordas.Aspessoasutilizavamascordas, esticando-aseassimvericavamquantasvezesaquelaunidadedemedidaestavacontidanosladosdoterreno, masraramenteamedidadavacorretanoterreno, isto, nocabiaumnmerointeirodevezesnosladosdoterreno;sendoassimelessentiramanecessidadedecriarumnovotipodenmero- onmerofracionrio, onde eles utilizavam as fraes.1.3.1. Introduos vezes, ao tentar partir algo em pedaos, como por exemplo, uma pizza, ns a cortamosem partes que no so do mesmo tamanho.Logoissodariaumagrandeconfuso, poisquemcariacomapartemaior? Ouquemcaria com a parte menor? lgico que algum sairia no prejuzo.Pensemos nesteexemplo: Doisirmosforamjuntoscomprarchocolate. Elescom-praram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam comear a comer quandochegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedao paraa amiga?Qual deveria ser o tamanho do pedao?Eles discutiram e chegaram seguinteconcluso:Paraquenenhumdosdoiscomessemenos, cadaumdariametadedochocolateparaaamiga.Voc concorda com esta diviso?Por qu?Como voc poderia resolver esta situao para que todos comessempartes iguais?O quevocacha destafrase: Quemparte e repartee no cacom a melhorparte,ou bobo ou no tem arte.Elementos gerais para a construo de fraesCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 9CAPTULO 1. REVISO1.3.2. AIdiadeNmeroFracionrioRelacionando nmeros racionais com fraes, um nmero racional o que pode ser escritona forma:mnonde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser no nulo, isto , n deve ser diferentede zero. Freqentementeusamosm/n para signicar a diviso dem porn.Comopodemos observar, nmeros racionais podemser obtidos atravs darazo(emLatim: ratio=razo=diviso=quociente)entredoisnmerosinteiros, razopelaqual, oconjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmosna literatura a notao:Q = {m/n : me n emZ, n diferente de zero}Quando h interesse, indicamosQ+para entender o conjunto dos nmeros racionais pos-itivoseQoconjuntodosnmerosracionaisnegativos. Onmerozerotambmumnmero racional.Para expressar, matematicamente, uma parte ou algumas partes iguais de um todo, vamosusar um par ordenado de nmeros naturais.Para representar os elementos que no so tomados como partes inteiras de alguma coisa,utilizamos o objeto matemtico denominado frao.Ento, chama-se frao todo par ordenado de nmeros naturais, com o segundo = 0, onde:o primeiro nmero indica quantas partes estamos tomando do inteiro.o segundo nmero indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.Numafrao, oprimeironmerochama-senumeradoreosegundonmerochama-sedenominador;ambos constituem os termos de uma frao.Assim:Na frao12, 1 o numerador e 2 o denominador.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 101.3. NMEROS RACIONAISNa frao35, 3 o numerador e 5 o denominador.Oconjuntodosnmerosnaturaisquenoincluiozero, tendoemvistaquezerofoiumnmerocriadoparadar signicadonuloaalgo, representadopeloconjuntoNserrepresentado por:N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}Assim, todos os nmeros naturais, diferentes de zero, representam em partes foi divididoo inteiro, ou seja, representam os denominadores.Osnmerosquenorepresentampartesinteiras, masquesopartesdeinteiros, con-stituemosnmerosracionaisno-negativos, aquirepresentadosporQ+, ondeestaletraQ signica quocienteou diviso de dois nmeros inteiros naturais.Q+ =_0, ..., 14, ..., 12, ..., 1, ..., 2, ..._1.3.3. FraesEquivalentesDuas fraes so equivalentes se representam a mesma parte do inteiro.Uma fraoequivalente obtidamultiplicando-seou dividindo-se(quandopossvel)ostermosdeumafraoporummesmonmeronatural, difer-entedezero.Exemplos:a)12=24 1 22 2=24b)12=36 1 32 3=36c)68=34 6 28 2=34d)1620=45 16 420 4=45Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 11CAPTULO 1. REVISO1.3.4. OperaescomFraes1.3.4.1. AdioeSubtraodeNmerosFracionriosTemos de analisar dois casos:1oCaso: DenominadoresIguaisParasomarousubtrairfraescom denominadoresiguais,bastacon-servarodenominadoresomarousubtrairosnumeradores.Exemplos:a)47+27=4 + 27=67b)57 27=5 27=37c)25+125=2 + 125=145d)199119=19 119=892oCaso: DenominadoresDiferentesPara somar ou subtrair fraes com denominadores diferentes, uma soluo obterfraes equivalentes, de denominadores iguais ao MMCdos denominadores dasfraes. Assim,Para somar ou subtrair fraes com denominadores diferentes,primeiro calcule o MMC, trasforme as fraes em fraes equivalentescomodenominadorencontradonoMMC, eassimprocedacomonasomaousubtraoparadenominadores iquais: conserveodenomi-nador(MMC)esomeousubtraiaonumerador.Exemplo1: Somar as fraes45e52. Primeiro calculamos o MMC entre 5 e 2, queneste caso a multiplicao dos dois denominadores, assim obtemos MMC(5,2)=10. Depois, transformamosasfraesemfraesequivalente, dividindooresultado encontrado no MMC(5,2) pelos denominadores e multiplicando pelosnumeradores correspondentes:45=?10 (10 5) 4 = 8 81052=?10 (10 2) 5 = 25 2510Encontradas asequaes equivalentes fazemos asoma, conformeo1ocaso,conservamos o denominador e somamos o numerador.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 121.3. NMEROS RACIONAIS810+2510=8 + 2510=3310Exemplo2: Subtrair as fraes712e1115. Primeirocalculamos oMMCentre12e15, comonaseo1.2.5, assimMMC(12,15) =60. Depois, transfor-mamos as fraes em fraes equivalente, dividindo o resultado encontrado noMMC(12,15)pelosdenominadoresemultiplicandopelosnumeradorescorre-spondentes:712=?60 (60 12) 7 = 35 35601115=?60 (60 15) 11 = 44 4460Encontradas as equaes equivalentes fazemos a subtrao, conforme o 1ocaso,conservamos o denominador e subtraimos o numerador.3560 4460=35 4460= 960Resumindo: utilizamosoMMCparaobterasfraesequivalentesedepoissomamosnormalmente as fraes, que j tero o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.1.3.4.2. MultiplicaodeNmerosFracionriosPara multiplicarmos nmeros fracionrios, devemos multiplicar numer-adorpornumeradoredenominadorpordenominador.Exemplos:a)83 43=8 43 3=329b)5243= 5 42 3= 206= 206= 103Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 13CAPTULO 1. REVISO1.3.4.3. DivisodeNmerosFracionriosParadividirmosnmerosfracionrios,devemosefetuarumamultiplicaode fraes, considerando que a primeira frao multiplicada pela se-gundafraoinvertida(ouseja,onumeradorpassaparadenominadoreodenominadorparanumerador).Exemplos:a)8343=83 34=2412= 2 b)119207=119720=771801.4. FraeseNmerosDecimais1.4.1. OPapeldasFraeseNmerosDecimaisAsfraesdecimais enmerosdecimais possuemnotriaimportnciacotidiana. Taisconceitos sousados emmuitas situaes prticas, embora, muitas vezes passemdes-percebidas.Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de caf por R$ 2,80 e pagando a compra com umanota de R$ 5,00, obtm-se R$ 2,20 detroco. Nesteexemplo,podemos observar o uso defraesenmerosdecimais. Atravsdestetipodecompra, usamosoconceitodefraodecimal juntamentecomosistemadepesagem(1/2Kg), nmerosdecimaisjuntamentecom o sistema monetrio. Muitas outras situaes utilizam de fraes e nmeros decimais.1.4.2. ElementosHistricosSobreosNmerosDecimaisHojeemdiacomumousodefraes. Houvetempo, pormqueasmesmasnoeramco-nhecidas. O homem introduziu o uso de fraes quando comeou a medir e representarmedidas.Osegpciosusavamapenasfraesquepossuamonmero1divididoporumnmerointeiro,como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais fraes eram denominadas fraesegpcias e ainda hoje tm muitas aplicaes prticas.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 141.4. FRAES E NMEROS DECIMAISOsbabilniosusavamemgeral fraescomdenominador60. provvel queousodonmero60pelosbabilniossedeveaofatoqueumnmeromenordoque100commaior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantementefraes com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o nmero 12 por ser umnmeroqueemborapequeno, possui umnmeroexpressivodedivisoresinteiros. Comopassardostempos, muitasnotaesforamusadaspararepresentarfraes. Aatualmaneira de representao data do sculo XVI.Os nmeros decimais tm origem nas fraes decimais. Por exemplo, a frao 1/2 equivale frao 5/10 que equivale ao nmero decimal 0,5.Stevin(engenheiroematemticoholands), em1585ensinouummtodoparaefetuartodas as operaes por meio de inteiros, sem o uso de fraes, no qual escrevia os nmerosnaturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posio ocupadapelavrgulanonumeraldecimal. Estemtodofoiaprimoradoeem1617Napierpropso uso de um ponto ou de uma vrgula para separar a parte inteira da parte decimal. Pormuitotempoos nmerosdecimaisforam empregadosapenas paraclculos astronmicosemvirtude daprecisoproporcionada. Os nmeros decimais simplicarammuitoosclculos epassaramaser usados commais nfaseaps acriaodosistemamtricodecimal.1.4.3. FraeseNmerosDecimais(Potnciasde10)Dentre todas as fraes, existe um tipo especial cujo denominador uma potncia de 10.Este tipo denominado frao decimal.Exemplos de fraes decimais, so:1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/100Todafraodecimal podeserrepresentadaporumnmerodecimal, isto, umnmeroque tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vrgula.A frao 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:127100= 1, 27Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 15CAPTULO 1. REVISOonde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notao subentendeque a frao 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:127100=100 + 27100=100100+27100= 1 + 0, 27 = 1, 27A frao 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 a parte inteira e 8 a parte decimal.Aqui observamos que este nmero decimal menor do que 1 porque o numerador menordo que o denominador da frao.1.4.4. LeituradeNmerosDecimaisParalernmerosdecimaisnecessrioprimeiramente,observara localizaodavrgulaque separa a parte inteira da parte decimal.Exemplos:0,6: Seis dcimos0,37: Trinta e sete centsimos0,189: Cento e oitenta e nove milsimos3,7: Trs inteiros e sete dcimos13,45: Treze inteiros e quarenta e cinco centsimos130,824: Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milsimos.1.4.5. TransformandoFraesemNmerosDecimaisPodemos escrever afraodecimal 1/10como: 0,1. Estafraolidaumdcimo".Notamosqueavrgulaseparaaparteinteiradapartefracionria. Umaoutrasituaonos mostra que a frao decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se l da seguintemaneira: dois inteiros e trinta e um centsimos".Emgeral,transforma-seumafraodecimalemumnmerodecimalfazendocomqueonume-radordafraotenhaomesmonmerodecasasdecimaisqueonmerodezerosdodenominador. Naverdade,realiza-sea divisodonumeradorpelo denominador. Porexemplo:a) 130/100 = 1,30 b) 987/1000 = 0,987 c) 5/1000 = 0,005Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 161.4. FRAES E NMEROS DECIMAIS1.4.6. TransformandoNmerosDecimaisemFraesTambmpossvel transformarumnmerodecimalemumafraodecimal. Paraisto,toma-se como numerador o nmero decimal sem a vrgula e como denominador a unidade(1) seguidadetantos zeros quantas foremascasas decimais donmerodado. Comoexemplo, temos:a) 0,5 = 5/10b) 0,05 = 5/100c) 2,41 = 241/100d) 7,345 = 7345/10001.4.7. PropriedadesdosNmerosDecimaisZeros aps o ltimo algarismo signicativo: Umnmerodecimal nosealteraquando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros direita do ltimo algarismo no nulode sua parte decimal. Por exemplo:a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000d) 20 = 20,000001.4.7.1. Multiplicaoporumapotnciade10Para multiplicarum nmerodecimalpor 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vrgulapara a direita uma, duas, ou trs casas decimais, de acordo com o nmero de zeros.Exemplos:a) 7,4 10 = 74 b) 7,4 100 = 740 c) 7,4 1000 = 74001.4.7.2. Divisoporumapotnciade10Paradividirumnmerodecimalpor10,100,1000,etc, bastadeslocaravrgulaparaaesquerda uma, duas, trs, ... casas decimais tambm de acordo com a quantidade de zeros.Exemplos:a) 247,5 10 = 24,75 b) 247,5 100 = 2,475 c) 247,5 1000 = 0,2475Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 17CAPTULO 1. REVISO1.4.8. OperaescomNmerosDecimais1.4.8.1. AdioeSubtraoPara efetuar a adio ou a subtrao de nmeros decimais temos que seguir alguns passos:a) Igualaraquantidadedecasasdecimaisdosnmerosdecimaisaseremsomadosousubtrados acrescentando zeros direita de suas partes decimais.b) Escrever osnumeraisobservandoascolunasdaparteinteira(unidades, dezenas,centenas,etc), de forma que:i) oalgarismodasunidadesdeumnmerodeverestarembaixodoalgarismodas unidades do outro nmero,ii) o algarismo das dezenas de um nmero dever estar em baixo do algarismo dasdezenas do outro nmero,iii) o algarismo das centenasdeverestarembaixo do algarismodas centenasdooutro nmero, etc),iv) a vrgula dever estar debaixo da outra vrgula, ev) apartedecimal (dcimos, centsimos, milsimos, etc)deformaquedcimossob dcimos, centsimos sob centsimos,milsimos sob milsimos,etc.c) Realizar a adio ou a subtrao.Exemplos:a) 0, 24 + 7, 10, 24+ 7, 1 0, 24+ 7, 107, 34b) 3, 4 + 11, 1753, 4+ 11, 175 3, 400+ 11, 17214, 572c) 20 17, 1520- 17 ,15 20, 00- 17, 153, 85d) 103, 50 88, 5103, 50- 88, 5 103, 50- 88, 5015, 001.4.8.2. MultiplicaodenmerosdecimaisPodemos multiplicar dois nmeros decimais transformando cada um dos nmeros decimaisem fraes decimais, realizar a multiplicao de numerador por numerador e denominadorpordenominador, edepoisnovamentetransform-losemnmerosdecimais, dividindoonumerador pelo denominador.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 181.4. FRAES E NMEROS DECIMAISOu,podemostambmmultiplicaros nmerosdecimaiscomosefosseminteirosedaraoprodutotantascasasquantasforemascasasdomultiplicandosomadassdomultipli-cador.Exemplos:a) 2, 24 1, 7224100 1710=38081000= 3, 808 ou2,24 1,71568+ 2243,808b) 3, 15 0, 25315100 25100=787510000= 0, 7875 ou3,15 0,251575+ 6300,78751.4.8.3. DivisodenmerosdecimaisComovistoanteriormente, semultiplicarmostantoodividendocomoodivisordeumadivisopor10, 100ou1000, oquocientenosealterar. Utilizandoessasinformaespoderemosefetuardivisesentrenmerosdecimaiscomosefossemdivisesdenmerosinteiros.Assim, dividendo e divisor tero apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por10paraqueoquocientenosealtere. Assimtantoodividendocomoodivisorseronmeros inteiros. Na prtica, dizemos que "cortamos"a vrgula.Exemplos:a) 7, 65 1, 8 =7, 651, 8=7, 65 1001, 8 100=765180= 4, 25b) 0, 1 23, 458 =0, 123, 458=0, 1 100023, 458 1000=10023458= 0, 0043Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 19CAPTULO 1. REVISO1.4.9. DzimaPeridicaUmadzimaperidicaumnmerorealdaforma:m, npppp...ondem, nepsonmerosinteiros, sendoqueonmeropserepetein-denidamente, razopelaqual usamosostrspontos: ... apsomesmo.Apartequeserepetedenominadaperodo.Em alguns livros comum o uso de uma barra sobre o perodo ou uma barra debaixo doperodo ou o perodo dentro de parnteses, mas, para nossa facilidade de escrita, usaremosreticncias.Exemplos:a) 0,3333333... = 0,3b) 1,6666666... = 1,6c) 12,121212... = 12,12d) 0,9999999... = 0,9e) 7,1333333... = 7,13Umadzimaperidicasimplesseapartedecimalformadaapenaspeloperodo. Algunsexemplosso:0,333333... =0,(3)=0,33,636363... =3,(63)=3,63Umadzimaperidicacompostasepossui umapartequenoserepeteentreaparteinteiraeoperodo. Porexemplo:0,83333333... =0,830,72535353... =0,7253Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 201.4. FRAES E NMEROS DECIMAIS1.4.9.1. AgeratrizdeumadzimaperidicaDada umadzimaperidica,qualserafrao quedorigem aestadzima? possveldeterminar afrao(nmeroracional)quedeuorigemaumadzimaperidica. Estafrao chamada de geratriz da dzima peridica.1.4.9.2. AGeratrizdeumaDzimaSimplesAgeratrizdeumadzimasimplesumafraoquetemparanumeradoroperodoeparadenominadortantosnovesquantosforemosalgarismosdoperodo(lembrandoqueperodoapartequerepete).Exemplos:a) 0, 777... =79: o perodo o valor 7,que formado por apenas umdgito,por isso,apenas um algarismo 9 no denominador.b) 0, 2323... =2399: operodoovalor23, queformadopordoisdgitos, porisso,temos dois algarismos 9 no denominador.c) 3, 7575... = 3 + 0, 7575... = 3 +7599=297 + 7599=37299 : neste caso temos uma parteinteira, o valor 3, separamos a parte inteira da racional, geramos a frao da parteperidica e ento fazemos a soma das duas partes, utilizando MMC.1.4.9.3. AGeratrizdeumaDzimaCompostaAgeratrizdeumadzimacompostaumafraodaformand,ondenformadapelapartenoperidicaseguidadoperodo, menosapartenoperidica.dtantosnovesquantosforemosalgarismosdoperodoseguidosdetantoszerosquantosforemosalgarismosdapartenoperidica.Exemplos:a) 0, 12525... =125 1990=124990: o perodo o valor 25, que formado por dois dgitos(25), apartenoperidicaovalor 1, assimcolocamos nonumerador ovalorCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 21CAPTULO 1. REVISO125(partenoperidicaseguidadoperodo)menos1(partenoperidica), nodenominador colocamos dois noves, referentes ao perodo (25) e um zero referente parte no peridica (1).b) 0, 04777... =047 04900=43900: o perodo o valor 7, que formado por um dgito (7),a parte no peridica o valor 04, assim colocamos no numerador o valor 47 (partenoperidica seguidado perodo)menos 4(parte noperidica),no denominadorcolocamosumnove, referentesaoperodo(7)edoiszerosreferentespartenoperidica (04).c) 3, 23555... = 3 + 0, 23555... = 3 +235 23900= 3 +212900=2700 + 212900=2912900 : nestecaso temos uma parte inteira, o valor 3, separamos a parte inteira da racional, ger-amos a frao da parte peridica e ento fazemos a soma das duas partes, utilizandoMMC.1.4.9.4. DicaQuandotemosumadzimaperidicacomparteinteirapodemosutilizaromtododageratriz para dzima composta, com a diferena que para a parte inteira no adicionamoszeros ao denominador.Exemplos:a) 3, 7575... =375 399=37299 : o perodo o valor 75 e a parte no peridica o valor 3,que neste caso inteiro. Assim colocamos no numerador o valor 375, que representaapartenoperidicaseguidadoperodosubtramosapartenoperidica3enodenominador colocamos dois noves que referem ao nmero de algarismos do perodoe no adicionamos zeros pois a parte peridica no inteira.b) 3, 23555... =3235 323900=2912900 : operodoovalor5eapartenoperidicaovalor323, quenestecasocontmumnmerointeiro(3). Assimcolocamosnonumeradorovalor3235, querepresentaapartenoperidicaseguidadoperodosubtrandoapartenoperidica(323)enodenominadorcolocamosumnovequerefere ao nmero de algarismos do perodo (5) e adicionamos somente dois zeros, poisa parte peridica formada por umaparte inteirae outra no inteira,a parte nointeira o valor 23 com dois algarismos e por isso temos dois zeros no denominador.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 221.5. POTENCIAO1.5. PotenciaoApotnciaumprodutodefatoresiguaisbase, sendotomadostantosfatoresquantoforoexpoente.an=nfatores .. a a,ondeaabaseenoexpoente.Exemplo: 25=5fatores .. 2 2 2 2 2 = 32,onde 2 a base, 5 o expoente e 32 a potncia (resultado da operao potenciao).1.5.1. AlgumasParticularidadesPotnciacomexpoentempar: conservasinaldabaseSimbolicamente: (a)m= ame/ou am= amPotnciacomexpoentepar: resultadopositivoSimbolicamente: (a)m= ame/ou am= amExemplos:a) 113= 11 11 11 = 1331b) 32= 3 3 = 9c) (3)2= (3) (3) = 9d) 104= 10 10 10 10 = 10000e) (10)4= (10) (10) (10) (10) = 10000f) 43= 4 4 4 = 64g) (4)3= (4) (4) (4) = 64h) 73= 7 7 7 = 343i) (7)3= (7) (7) (7) = 343Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 23CAPTULO 1. REVISO1.5.2. ConvenesConsideramos 21, 31, 41, 51, . . . ,20, 30, 40, 50, . . . , comopotnciaseconvencionamos:21= 2,31= 3,41= 4,51= 5,. . . ,20= 1,30= 1,40= 1,50= 1,. . . , isto :Qualquernmeroelevadoaoexponte1(um)igualbase.Simbolicamente: a1= aExemplos:a) 51= 5 b) 81= 8 c) (3)1= 3 d) (7)1= 7Qualquernmero,diferentede0,elevadoaoexponte0(zero)igual1(um).Simbolicamente: a0= 1, a = 0OBS:Noexiste00Exemplos:a) 50= 1 b) 80= 1 c) (3)0= 1 d) (7)0= 11.5.3. OutrasConvenesPotnciadebase0(zero)eexpoentediferentedezeroigual a0.Simbolicamente: 0n= 0, n = 0OBS:Noexiste00Exemplos:a) 02= 0 b) 03= 0 c) 04= 0 d) 05= 0Umapotnciadebase1sempre1Simbolicamente: 1n= 1Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 241.5. POTENCIAOExemplos:a) 12= 1 b) 13= 1 c) 14= 1 d) 15= 1Qualquerpotnciade10igual aoalgarismo1seguidodetantoszerosquantasforemasunidadesdoexpoente.Simbolicamente: 100= 1,101= 10,102= 100,103= 1000,...Exemplos:a) 100= 1b) 101= 10c) 102= 100d) 103= 1000e) 104= 10000f) 105= 100000g) 106= 1000000h) 107= 10000000i) 108= 1000000001.5.4. PropriedadesdaPotenciaoAs propriedadesseguintessovlidas parapotnciascombasepertencenteaos nmerosreais e expoente inteiro.1.5.4.1. MultiplicaodePotnciasdeMesmaBaseBastaconservarabaseesomarosexpoentes:Simbolicamente: am an= am+nExemplos:a) 104103= 104+3= 107b) a a4a2= a1+4+2= a7c) (7)2(7) = (7)2+1= (7)3d) (3)2(3)1(3)0= (3)2+1+0= (3)3= 27Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 25CAPTULO 1. REVISO1.5.4.2. DivisodePotnciasdeMesmaBaseBastaconservarabaseesubtrairosexpoentes:Simbolicamente: aman= amnExemplos:a) 2523= 253= 22= 4b) 106102= 1062= 104= 10000c) (3)6(3)3= (3)63= (3)3= 27d) (7)10(7)8= (7)108= (7)2= 491.5.4.3. PotnciadePotnciasdeMesmaBaseBastaconservarabaseemultiplicarosexpoentes:Simbolicamente: (am)n= amnExemplos:a) (22)3= 223= 26= 64b) (102)(5)= 10(2)(5)= 210= 1024c) (102)3= 1023= 106= 1000000d) (33)3= 333= 39= 196831.5.4.4. PotnciacomExpoenteNegativoTodonmeroelevadoaumexpoentenegativoigual aumafraoondeonumerador sempre aunidade eodenominador omesmonmeroelevadoaomesmoexpoente,pormcomsinalpositivo.Simbolicamente: am=_1a_m, a = 0Exemplos:a) 32=132=19b) (4)3=1(4)3= 164c) 53=153=1125d) (2)6=1(2)6=164Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 261.6. EXPRESSESNUMRICASTodafraoelevadaaumexpoentenegativoigual suafraoinversaelevadaaoexpoentepositivo.Simbolicamente:_ab_m=_ba_m, a, b = 0Exemplos:a)_25_2=_52_2=254b)_23_1=_32_1=32c)_34_3=_43_3= 6427d)_58_2=_85_2= 64251.6. ExpressesNumricasExpressonumricaumaseqenciadeoperaesfundamentais: diviso,multiplicao, subtraoeadio, quepodemser agrupadas comousodeparnteses,colchetesechaves. Umaexpressoditanumricaquandopossuiapenasnmerosemsuasoperaes.Paracalcularcorretamentequalquerexpressonumrica, necessrioobedeceralgumasprioridades. Ento, devemos teremmentequedevemos fazerosclculosnaseguinteordem:1o: Parnteses ( );2o: Colchetes [ ];3o: Chaves { };4o: Potncia e/ou raiz, na ordem em que aparecem;5o: Multiplicao e/ou diviso, na ordem em que aparecem;6o: Soma e/ou subtrao, na ordem em que aparecem.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 27CAPTULO 1. REVISOExemplo1: 2 +{5[3 (5 10) + 1] + 4} 3De acordocomaordemapresentada, devemos comear comaoperaoque seencontra dentro dos parnteses: 5 10 = 5, cando assim a expresso:2 +{5[3 (5) + 1] + 4} 3Comotemosumsinalnegativodoladodeforadoparnteses, temosdeinverterosinal de dentro, deixando a expressoda seguinte forma:2 +{5[3 + 5 + 1] + 4} 3Seguindoaordemestabelecida, temosderesolver asoperaesqueestodentrodos colchetes:2 +{5[9] + 4} 3Como no apresentado nenhum sinal antes do colchete, trata-se de uma multipli-cao,5[9] = 5 9 = 45, assim:2 +{45 + 4} 3A prxima operao a ser feita a que se encontra dentro das chaves:2 +{49} 3Como o sinal do lado de fora das chaves positivo, conserva-se o sinal de dentro:2 + 49 3Agora, resolve-seprimeiro a adio, pois esta aparece em primeiro lugar:51 3e por ltimo a subtrao, dando assim o resultado da expresso:48Exemplo2:__12__23__43__2_32_1Resolve-se primeiro a multiplicao entre parnteses e o parnteses que se encontraaps o sinal de diviso:__26__43__2_23_Simplica-se a frao26por 2, restando13:__13__43__2_23_Retira-se os parnteses, sinal positivo mantmsinal de dentro e sinal negativoinverte-sesinal de dentro:_13+43_2_23_Resolve-sea subtrao_33_2_23_Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 281.7. RAZES E PROPORESSimplica-se a frao33, chegando-se ao resultado 1:_1_2_23_Eleva-se o 1 ao expoente 2 resultando ao prprio 1:1 23Diviso com frao, mantm-se a primeira e multiplica-se pela segunda invertida:11 32Faz-se a multiplicao direta, numerador por numerador e denominador pordenominador, e assim chegamos ao resultado nal:321.7. RazesePropores1.7.1. RazesAnalise as situaes seguintes:Situao1: Ricardo, MariaCludiaeNivaldocolecionamselos. OlbumdoRicardotem240selos,odeMariaCludiatem120eodeNivaldotem40. EstclaroqueRicardo possui mais selos que Maria Cludia e esta mais que Nivaldo. O nmero deselosdeRicardoodobrodeMariaCludia, ouseja,oquocienteentreonmerode selos dele e dela 2.noselosdeRicardonoselosdeM.Cl audia=240120= 2O nmerode Maria Cludia o triplo do deNivaldo, ou seja, o quocienteentreosnmeros de selos dela e dele :noselosdeM.Cl audianoselosdeNivaldo=12040= 3Nos dois casos observamos que o quociente indica muito bem quanto uma coleo maior que a outra.Situao2: Um automvel A, movido a gasolina, consome 24 litros de combustvel parairdeumacidadeaoutra. Umautomvel B, movidoalcool gasta36litrosdecombustvel para fazer o mesmo percurso. evidente que B gasta mais que A, masquanto?O quociente entre o combustvelgasto por B e por A:Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 29CAPTULO 1. REVISO alcooldeBgasolinadeA=3624= 1, 5O quociente indica que para cada litro de combustvel gasto por A, o carro B gasta1,5 litros de combustvel. O Carro A, em relao quantidade de combustvel gasto, mais econmico que o B.Pudemosnotarnasduassituaesanterioresqueoquocientedeumnmeroporoutroservemuito bem para compar-los.Na Matemtica o quociente de dois nmeros chamado derazo.Razoentreduasgrandezasoquocienteindicadodosnmerosqueme-demessasgrandezasnumamesmaunidade.A razo de dois nmeros ou a razo entredois nmeros indicadapora : b ouabqueselrazodeaparab"ourazoentreaeb"ouaestparab". Oprimeironmerochamado deantecedente e o segundo deconseqente.1.7.1.1. RazesEquivalentesDizemos que as razes,12,24,36,510, . . .so equivalentes e se indica:12 24 36 510Estasrazessoequivalentespoisindicamamesmarelao, ouseja, aoobtermosumnmero decimal (dividirmos numerador por denominador) encontraremos o mesmo valor.Exemplo: Calcular a razo equivalentea25cujo conseqenteseja 30.Soluo:25=x30Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 301.7. RAZES E PROPORESPercebe-sequeo denominador foi multiplicadopor 6, ento para se obter a razo equiv-alente a25basta multiplicar o numerador tambm por 6:25=2 65 6=12301.7.2. ProporesA razo de 12 para 4 e124 , que igual a 3.A razo de 18 para 6 e186 , que igual a 3.Assim sendo, as razes124e186exprimem o mesmo quociente 3. Por esse motivo dizemosque as razes124e186so iguais, ou seja,124=186 .Duasrazessoiguaisquandoelasexpressamquocientesiguais.Uma igualdade entre duas razes chamada uma proporo.Por exemplo, as razes124e186so iguais. A igualdade124=186 uma proporoDadoquatronmeros a, b, ced, todosdiferentesdezero, dizemosqueformamnessaordemumaproporoquandoarazoabigual razocd,ouseja:ab=cdL-seaestparabassimcomocestparad.1.7.2.1. PropriedadeFundamentaldasProporesTomemos por exemplo, a proporo124=186 , sabemos que para reconhecer a validade ouno de uma proporo, usamos a propriedade de que nas razes iguais, os produtos do an-Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 31CAPTULO 1. REVISOtecedente de uma pelo conseqente da outra so iguais, ou, o produto das multiplicaescruzadas so iguais, logo:12

??????????18

4 612 6. .extremos= 4 18. .meiosEstapropriedade, que serve parareconhecer avalidade ounode umaproporo, chamada depropriedadefundamental e pode ser assim enunciada:Em toda proporoab=cdo produto dos extremos (ad) igual ao produtodosmeios(b c),ouseja,(a d) = (b c).1.7.2.2. PropriedadesGeraisdasProporesVamos ver nestaseoalgumas propriedades das propores que podemser teis naresoluo de exerccios.1aPropriedade: Emtodaproporo, asomadosdoisprimeirostermosestparaoprimeirotermoassimcomoasomadosdoisltimostermosestparaoterceiro.Em smbolos:seab=cd, entoa + ba=c + dcExemplo: Da proporo72=216decorre7 + 27=21 + 621, ou seja,97=27212aPropriedade: Emtodaproporo, asomadosdoisprimeirostermosestparaosegundo termo assim como a soma dos dois ltimos termos est para o quarto. Emsmbolos:seab=cd, entoa + bb=c + ddExemplo: Da proporo72=216decorre7 + 22=21 + 66, ou seja,92=2763aPropriedade: Em toda proporo, a diferena dos dois primeiros termos est para oprimeiro termo assim como a diferena dos dois ltimos termos est para o terceiro.Em smbolos:Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 321.7. RAZES E PROPORESseab=cd, entoa ba=c dcExemplo: Da proporo72=216decorre7 27=21 621, ou seja,57=15214aPropriedade: Em toda proporo, a diferena dos dois primeiros termos est para osegundo termo assim como a diferena dos dois ltimos termos est para o quarto.Em smbolos:seab=cd, entoa bb=c ddExemplo: Da proporo72=216decorre7 22=21 66, ou seja,52=1565aPropriedade: Emtodaproporo, asomadosantecedentesestparaasomadosconseqentesassimcomoqualquerantecedenteestparaoseuconseqente. Emsmbolos:seab=cd, entoa + cb + d=abea + cb + d=cdExemplo: Da proporo72=216decorre7 + 212 + 6=72, ou seja,288=726aPropriedade: Em toda proporo, a diferena dos antecedentes est para a diferenados conseqentes assim como qualquer antecedente est para o seu conseqente. Emsmbolos:seab=cd, entoa cb d=abea cb d=cdExemplo: Da proporo72=216decorre7 212 6=72, ou seja, 144=721.7.2.3. NmerosDiretamenteProporcionaisObserve os nmeros da sucesso,2, 6, 10, 18Observe agora os nmeros da sucesso1, 3, 5, 9Vocnotoucertamentequeosnmerosdaprimeirasucessosoexatamenteosdobrosdosnmerosdasegunda, ouseja, oquocientedecadatermodaprimeirasucessopelotemo correspondenteda segunda sempre o mesmo ( 2).21=63=105=189Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 33CAPTULO 1. REVISOPor esse motivo dizemos que os nmeros da sucesso 2, 6, 10, 18 sodiretamentepropor-cionaisaos nmeros da sucesso 1, 3, 5, 9 e que o fator de proporcionalidade 2.Osnmerosdasucessoa, b, c, d, e, . . .sodiretamenteproporcionais aosnmerosdasucessoa, b, c, d, e, . . .quandoasrazes(osquocientes)decadatermodaprimeirasucessopelotermocorrespondentedasegundasucessosotodosiguais:aa=bb=cc=dd=ee= . . .Ovalordessesquocienteschamadofatordeproporcionalidade.1.7.2.4. NmerosInversamenteProporcionaisObserveos nmeros da sucesso,2, 3, 4, 6Observeagora os nmeros da sucesso12, 8, 6, 4Vocnotoucertamentequeoprodutodecadatermodaprimeirasucessopelotermocorrespondenteda segunda sempre o mesmo ( 24).2 12 = 3 8 = 4 6 = 6 4Note ainda que o quociente de cada termo da primeira sucesso pelo inverso do termo dasegunda sempre o mesmo:2112=318=416=614Por essemotivo dizemos queos nmeros da sucesso2, 3, 4, 6 soinversamentepropor-cionaisaos nmeros da sucesso 12, 8, 6, 4 e que o fator de proporcionalidade 24.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 341.7. RAZES E PROPORESOsnmerosdasucessoa, b, c, d, e, . . .soinversamenteproporcionais aosnmerosdasucessoa, b, c, d, e, . . .quandoosprodutosdecadatermodaprimeirasucessopelotermocor-respondentedasegundasucessosotodosiguais:a a= b b= c c= d d= e e= . . .Ovalordessesprodutoschamadofatordeproporcionalidade. Notequeistoequivaleaarmar: asrazes(quocientes)decadatermodaprimeirasucessopeloinversodotermocorrespondentedasegundasucessosotodasiguais:a1a=b1b=c1c=d1d=e1e= . . .1.7.3. GrandezasProporcionais1.7.3.1. GrandezasDiretamenteProporcionaisPense na seguinte situao: Renata est na padaria do seu Joaquime pretende compraruns biscoitos deliciosos que custam R$ 2,00 cada. Quanto Renata vai gastar?Bem, tudo vai depender do nmero de biscoitos comprados. A tabela abaixo mostra comopodem variar o nmero de biscoitos e o preo.node biscoitos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12preo(R$) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Voc observa que o nmero de biscoitos que Renata pode comprar varivele que Renatapode gastar uma quantiavarivel. Entretanto, voc observa que a quantia gasta sempreigualaonmerodebiscoitoscompradosvezes2. ArazoentreonmerodebiscoitoseCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 35CAPTULO 1. REVISOseu preo sempre a mesma:12=24=36=48= =1224Por essemotivodizemos queagrandeza nmerodebiscoitos eagrandeza preodosbiscoitos sograndezasdiretamenteproporcionais.Duasgrandezasvariveissochamadasdegrandezasdiretamentepropor-cionaisquandoarazoentreosvaloresdaprimeiragrandezaeosvalorescorrespondentesdasegundasempreamesma.1.7.3.2. GrandezasInversamenteProporcionaisPense agoranaseguinte situao: Renatacomprou120biscoitos napadariadoseuJoaquim,levouparacasaedistribuiuparaosirmos,dandoamesmaquantidadeparatodos. Quantos biscoitos cada um ganhou?Aquitambm a resposta vai depender do nmero de irmos de Renata. A tabela abaixomostra como varia o nmero de biscoitos dependendo do nmero de irmos.node irmos 1 2 3 4 5 6node biscoitos 120 60 40 30 24 20Voc observa que o nmero de biscoitos dados a cada irmo varivel e que o nmero deirmos queRenata pode tertambmvarivel. Entretanto,vocobservaqueo nmerode irmos vezes o nmero de biscoitos dados a cada um sempre 120:1 120 = 2 60 = 3 40 = 4 30 = 5 24 = 6 20Por esse motivodizemos que a grandeza nmerode irmos e a grandeza nmerodebiscoitos sograndezasinversamenteproporcionais.Duas grandezas variveis sochamadas degrandezas inversamente pro-porcionais quandoaprodutoentreosvaloresdaprimeiragrandezaeosvalorescorrespondentesdasegundasempreamesmo.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 361.8. REGRA DE TRS1.8. RegradeTrsMuitas vezes estamos diante de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inver-samenteproporcionais. Parasuaresoluomuitoimportanteconheceraregraprticachamadaregradetrs.1.8.1. RegradeTrsSimplesumaregraprticaquenospermitecompararduasgrandezasproporcionais, AeB,relacionando dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporoem que se conhecem trs termos e o quarto o procurado.A regra de trs simples consiste em montarmos uma tabela, colocando cada coluna, orde-nadamente,os valores damesmagrandezae,da,obtermosumaequao. Essaequaoteramesmaforma databelaquandoasgrandezasforemdiretamenteproporcionais.Nocasodegrandezasinversamenteproporcionais, amontagem daequaoserfeitainvertendo-se a razo de uma das grandezas.Exemplo1: Cinco metros de um tecido custam R$ 8,00. Quanto custam nove metrosdesse mesmo tecido?comprimento(m) preo(R$)59_8x_As grandezas consideradas so diretamente proporcionais (aumentando-se o compri-mento, aumenta-se tambm o preo, por esse motivo as setas caram para o mesmolado). Da:59=8x5x = 9 85x = 72 x =725x = R$14, 40Exemplo2: Trs torneiras completamenteabertas enchemum tanque em 1 hora e 30minutos. Quantas torneiras iguais a essasseriamnecessriasparaenchero mesmotanque em 54 minutos?tempo(min) node torneiras90543x_As grandezas consideradas so inversamenteproporcionais (diminuindo-se o tempopara encher o tanque, precisa-se de mais torneiras, por esse motivo as setas caramCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 37CAPTULO 1. REVISOuma para cima e outra para baixo). Da:5490=3x54x = 90 354x = 270 x =27054x = 5torneirasExemplo3: Aproduodeumatecelagemde8000metrosdetecido/dia. Comaadmissodemais 300operrios, aindstriapassouaproduzir 14000metrosdetecido/dia. Qual era ento o nmero de operrios antes da admisso?Chamaremos dex o nmero de funcionrios antes da admisso.node operrios metros/diaxx + 300_800014000_As grandezasconsideradas sodiretamenteproporcionais(aumentando-seapro-duo aumenta-se o no de operrios, por esse motivo as setas caram para o mesmolado). Da:800014000=xx + 30014000x = 8000 (x + 300)14000x = 8000x + 24000006000x = 2400000x =24000006000x = 400oper ariosExemplo4: Para transportar certo volume de areia para uma construo foram utiliza-dos 30 caminhes, carregados com 4m3de areia cada um. Adquirindo-se caminhescom capacidade para 5m3de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazertal servio?node caminhes m3de areia30x_45As grandezas consideradas so inversamente proporcionais (aumentando-se a quan-tidade de m3de areiatransportadapor cadacaminho, precisar-se-de menoscaminhes paraoservio, poressemotivoassetas caramparaladosopostos).Da:30x=545x = 30 45x = 120x =1205x = 24caminh oesCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 381.8. REGRA DE TRS1.8.2. RegradeTrsComposta uma regra prtica utilizada na resoluo de problemas envolvendouma grandeza com-posta1. A regra de trs composta realizada da seguinte maneira:Montamosumatabela, colocandoemcadacoluna, ordenadamente, osvaloresdecada grandeza.Vericamos se a grandeza que contm a incgnita (x)comporta-se com proporcional-idadediretaouinversa, emrelaoacadaumadasoutras(quandosupe-secon-stantes as demais grandezas).Caso haja dependncia inversa,invertemos os elementos da respectiva coluna.Montamos aequao, relacionandoagrandezaquecontmavarivel xcomasdemais grandezas.Exemplo1: Trs operrios, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peas. Quantaspeas desse mesmo tipo produziro sete operrios, trabalhando 9 dias?node operrios node dias node peas3769400xVamoscompararagrandezaquecontmavarivel nodepeas acadaumadasoutras:Primeiramentecolocaremos uma seta na varivel node peas.node operrios node dias node peas3769400x_Supondoonodediasconstante, ouseja, comoseonodediasnoestivessepresente no problema, assim com o node operrios aumentando o node peasproduzidastambmaumenta, porisso, estasgrandezassodiretamentepro-porcionais e as setas cam para o mesmo lado.node operrios node peas37_400x_Supondoo nodeoperrios constante,ouseja,desconsiderea existnciadestavarivel, comonode dias aumentandoonodepeas produzidas tambmaumenta, porisso, estasgrandezassodiretamenteproporcionaiseassetascam para o mesmo lado.node dias node peas69_400x_1 umagrandeza quevaria emdependnciacom duas ou mais grandezasCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 39CAPTULO 1. REVISOJuntando todas as variveis, temos:node operrios node dias node peas37_69_400x_Pararesolveroproblemacolocamosemformadefraoosdadosrelativosavarivel que contm a incgnita xe igualamos multiplicao em frao dasoutras variveis,seguindo a direo das setas, deste modo:400x=37 69Agora s resolver e achar o valor de x:400x=37 69400x=186318x = 63 40018x = 25200x =2520018x = 1400 peas.Exemplo2: Umciclistapercorre120kmem2dias, dirigindo3horaspordia. Emquantos dias percorrer 500 km viajando 5 horas por dia?km rodado horas por dia node dias120500352xVamoscompararagrandezaquecontmavarivel nodedias acadaumadas outras, por isso colocaremos uma seta nesta varivel:km rodado horas por dia node dias120500352x_Supondooaquantidade dehoras viajadapor diaconstante, comonodekmaumentandoonodediastambmaumenta,porisso,estasgrandezassodiretamente proporcionais e as setas cam para o mesmo lado.km rodado node dias120500_2x_Supondo o no de km constante, com o no de horas viajadas por dia aumentandoo no de dias para percorrer o mesmo percurso diminui, por isso, estas grandezasso inversamenteproporcionais e as setas cam para lados opostos.horas por dia node dias352x_Juntando-se todas as variveis temos:Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 401.9. PORCENTAGEMkm rodado horas por dia node dias120500_352x_Para resolvermos o problema colocamos os dados referentes varivel que con-tm a incgnita xe igualamos as outras seguindo a direo das setas, assimigualamosonodediasmultiplicaodonodekmrodadospeloinversodonode horas por dia, assim:2x=120500 53Agora s resolver e achar o valor de x:2x=120500 532x=6001500600x = 2 1500600x = 3000x =3000600x = 5 dias.1.9. PorcentagemSabemos que cada nmero racional pode ser representado por muitas fraes, todas equiv-alentes entre si.Por exemplo, as fraes:12,24,36,48,510, . . .so diferentes formas de representar o mesmo nmero racional.Sabemos tambm quecada nmeroracional pode ser representadopor um nmerodeci-mal. Por exemplo:12= 0, 5,34= 0, 75,35= 0, 6,47100= 0, 47Apassagemdafraoparaonumeradordecimal feitadividindo-seonumeradorpelodenominador da frao. Por sua vez, cada numeral decimal equivale a uma frao decimal,ou seja, a uma frao cujo denominador uma potncia de 10.0, 5 =510, 0, 25 =25100, 0, 6 =610, 0, 47 =47100Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 41CAPTULO 1. REVISO1.9.1. TaxaPercentual muito freqenteouvir-se frases com estas:Grande liqidao, 40% de desconto...Em tal pas, o ndice de alfabetizao de 90%...Em meu servio, ganho 10% de comisso...AprimeirasentenasignicaquesobrecadaR$100,00 decomprasfeitaumareduode R$ 40,00; a segunda, em cada 100 habitantes do pas, 90 so alfabetizados; a terceira,sobre cada R$ 100,00 da mercadoria vendida ganho R$ 10,00,...Umafraocujodenominador100,chamadadefraocentesimal.So exemplos de fraes centesimais:7100,19100,30100,80100,115100,201100claro,queas fraes centesimais(comoqualquerfrao) podemserrepresentadaspornumerais decimais. Por exemplo, as fraes acima podem ser assim representadas:0, 07 0, 19 0, 30 0, 80 1, 15 2, 01Existe, entretanto, umaoutraformaderepresentarasfraescentesimais, muitousadano comrcio e nas atividades econmicas em geral, que a seguinte:7100= 7%(leia: sete por cento)19100= 19%(leia: dezenovepor cento)30100= 30%(leia: trinta por cento)Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 421.9. PORCENTAGEM115100= 115%(leia: cento e quinze por cento)201100= 201%(leia: duzentos e um por cento)Cadaumdos numerais 7%, 19%, 30%, etcchamadodetaxaporcentual. As taxasporcentuais podem no ser dadas por nmeros inteiros. Exemplos: 3,5% 4,7% 62,3%.Nesses casos devemos dar a seguinte interpretao:3, 5% =3, 5100=3510004, 7% =4, 7100=47100062, 3% =62, 3100=62310001.9.2. ProblemasdePorcentagemOsproblemasdeporcentagemsoresolvidospormeiodeumaregradetrssimplesedireta.Exemplo1: AocomprarumatelevisodeR$1000,00, obtiveumdescontode12%.Qual foi o desconto?Este problema equivalentea este outro: Quanto 12% de R$ 1000,00?Para resolver este problema forma-se a seguinte regra de trs:R$ %1000x_10012_1000x=10012100x = 1000 12100x = 12000x =12000100x = 120 reais de desconto.Exemplo2: AocomprarumobjetocujopreoeradeR$200,00,obtiveumdescontode R$ 30,00. Qual foi a taxa de desconto?Este problema equivalentea este outro: R$ 30,00 quanto de R$ 200,00?Para resolver este problema forma-se a seguinte regra de trs:R$ %20030_100x_Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 43CAPTULO 1. REVISO200x=100x200x = 30 100200x = 3000x =3000200x = 15%.Exemplo3: AocomprarumobjetoobtiveodescontodeR$80,00. Qual opreodoobjeto se a taxa de desconto 20%?Este problema equivalente a este outro: R$ 80,00 20% de que quantia?Formando uma regra de trs simples:R$ %80x_20100_80x=2010020x = 80 10020x = 8000x =800020x = 400 reais.1.10. ExpressesAlgbricas1.10.1. MonmioouTermoAlgbricoTodoprodutodenmeros reais, expressoounopor variveis (letras);chamadoexpressomonmica ouabreviadamente monmiooutermoalgbrico.Assim, so monmios ou termos algbricos:3x; a2b;10xy2;12a; 34xy;2xNum monmio destacamos:a) o fator constante ou parte numrica, chamadocoecientenumrico.b) a varivel ou produto das variveis, inclusive seus expoentes, chamado parte literal.Assim, por exemplo:Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 441.10. EXPRESSESALGBRICASMonmio Coeciente Parte Literal2x 2 x3ab 3 ab5x2-5 x212a2b2c12a2b2cComo 1 o elemento neutro da multiplicao, temos:+1x = x1a = a+1xy2= xy21a2b3= a2b3Observaes:a) Seummonmiotemcoecientezero, representasempreonmerorealzero, nestecaso, recebe o nome demonmionulo.Exemplos: 0x = 0;0a2b = 0;0xy3= 0b) Todo nmero real um monmio sem parte literal.Exemplos: 2; 12; 3c) Doismonmiossoiguaissetmomesmovalornumricoparaquaisquervaloresdados s variveis.Exemplos: 3x2ye62yx2Doisoumaismonmiosoutermossochamadossemelhantesquandotmamesmaparteliteralounotmparteliteral.Assim, os monmios a seguir so semelhantes pois tm a mesma parte literal:2x e 3x2a2b; 12a2b; 5a2b4x3;2x3; 34x32pq2e 75pq2am; 2am; 13am8; 9; 15Os monmios, a seguir, no so semelhantes pois no tm a mesma parte literal:Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 45CAPTULO 1. REVISO2x2e3x 5a2b e5ab 12x3y2e2x2y31.10.2. OperaescomMonmios1.10.2.1. AdioPara adicionar termos semelhantes, somamos os coecientes e conservamosaparteliteral.Exemplos:a) 3x + 7x = (3 + 7)x = 10xb) 15y + 23y= (15 + 23)y = 38yc) 2x2+ x2= (2 + 1)x2= 3x2d) 2ab +35ab = (2 +35)ab =135 ab1.10.2.2. SubtraoParasubtrairmostermossemelhantes, subtrairmososcoecientesecon-servamosaparteliteral.Exemplos:a) 3x 7x = (3 7)x = 4xb) 10y 3y = (10 3)y= 7yc) 2x2x2= (2 1)x2= x2d) 2ab 35ab = (2 35)ab =75ab1.10.2.3. MultiplicaoParamultiplicarmosdoismonmiosdevemosobedeceraseguinteregra:I) Calcula-seoprodutodoscoecientesnumricos;II) Calcula-seoprodutodaspartesliterais, aplicandoapropriedadedoprodutocompotnciasdemesmabase.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 461.10. EXPRESSESALGBRICASExemplos:a) (5a2b3) (3ab2x) = [(5) (3)] [a2 a] [b3 b2] x = 15a3b5xb) (6abc) (4a2b) = [(6) (4)] [a a2] [b b] c = 24a3b2cc) (13ax3) (12a4x) = [(13) (12)] [a a4] [x3 x] =16a5x41.10.2.4. DivisoParadividirmosdoismonmiosdevemosobedeceraseguinteregra:I) Calcula-seoquocientedoscoecientesnumricos;II) Calcula-seo quocientedaspartes literais,aplicandoa propriedadedoquocientecompotnciasdemesmabase.Exemplos:a) (12a5b3) (4a2b2) = [(12) (4)] [a5a2] [b3b2] = 3a3bb) (5x3y) (2xy) = [(5) (2)] [x3x] [y y] =52x2c) (23a2bx2)(43abx5) = [(23)(43)][a2a][bb][x2x5] = [(23)(34)]ax3= a2x31.10.2.5. PotenciaoPara elevarmos uma potncia um monmio devemos obedecera seguinteregra:I) Calcula-seapotnciadoscoecientesnumricos;II) Calcula-seapotnciadaspartesliterais,aplicandoapropriedadedapotnciadeumapotncia.Exemplos:a) (2ab3x2)3= (2)3 (a)3 (b3)3 (x2)3= 8a3b9x6Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 47CAPTULO 1. REVISOb) (3x2y3)3= (3)3 (x2)3 (y3)3= 27x6y9c) (x2y5z3)5= (x2)5 (y5)5 (z3)5= x10y25z151.10.3. PolinmiosUm polinmio uma expresso algbrica formada por somas de monmios.Exemplos:a) 3x + 7y b) a2+ 2a 3b 35c) 2x28x 11.10.3.1. AdiodePolinmiosDenominamos soma de dois ou mais polinmios ao polinmio que se obtmadicionandotodosostermosdospolinmiosdados.S podemos adicionar termos semelhantes e, essa operao ser feita sobre os coecientes,mantendo-seaparteliteral. Observeque, senohouvertermosemelhanteparaoperar,ele apenas ser repetido.1o: Eliminamos os parnteses, que neste caso so precedidos pelo sinal de mais(+, ousem sinal) conservando os sinais dos termos que esto dentro dos parnteses.2o: Reduzimos os termos semelhantes.Exemplo1: Dados os polinmios: A = 3a+4b c e B= a7b +8c, indicamos a somaA + Bcomo segue:A + B= (3a + 4b c) + (a 7b + 8c)Vamos calcular essa soma:1o: Eliminar os parnteses:A + B= 3a + 4b c + a 7b + 8cCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 481.10. EXPRESSESALGBRICAS2o: Reduzir os termos semelhantes:A + B= (3a + a) + (4b 7b) + (c + 8c)A + B= 4a 3b + 7cColocando em uma forma prtica, observe a colocao dos termos semelhantesum sob o outro:A 3a + 4b c+B a 7b + 8cA + B 4a 3b + 7cExemplo2: Dados os polinmiosA = x22x + 1,B= 3x21,C= 2x + 3, vamoscalcular a somaA + B + C:A + B + C = (x22x + 1) + (3x21) + (2x + 3)= x22x + 1 + 3x21 2x + 3= (1 + 3)x2+ (2 2)x + (1 1 + 3)= 4x24x + 3Forma prtica:A x2 2x + 1+B 3x2 1+C 2x + 3A + B + C 4x2 4x + 31.10.3.2. SubtraodePolinmiosDenominamos diferenade dois polinmios aopolinmioque se obtmsubtraindoosegundodoprimeiro.Comonaadio, asubtraotambmspodeserfeitacomtermossemelhantes, sendoessa operao feita sobre os coecientes, mantendo-se a parte literal. Novamente, observeque, se no houver termo semelhantepara operar, ele apenas ser repetido.1o: Eliminamos os parnteses, que neste caso so precedidos pelo sinal de menos(),trocando os sinais de todos os termos que esto dentro dos parnteses.2o: Reduzimos os termos semelhantes.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 49CAPTULO 1. REVISOExemplo1: Dadosospolinmios: A=3a + 4b ceB=a 7b + 8c, indicamosasubtraoABcomo segue:AB= (3a + 4b c) (a 7b + 8c)Vamos calcular essa soma:1o: Eliminar os parnteses:A + B= 3a + 4b c a + 7b 8c2o: Reduzir os termos semelhantes:A + B= (3a a) + (4b + 7b) + (c 8c)A + B= 2a 11b 9cColocando em uma forma prtica, observe a colocao dos termos semelhantesum sob o outro:A 3a + 4b cB a + 7b 8cA + B 2a + 11b 9cExemplo2: Dados os polinmiosA = x22x + 1,B= 3x21,C= 2x + 3, vamoscalcular a somaA B C:AB C = (x22x + 1) (3x21) (2x + 3)= x22x + 1 3x2+ 1 + 2x 3= (1 3)x2+ (2 + 2)x + (1 + 1 3)= 2x2+ 0x 1= 2x21Forma prtica:A x2 2x + 1B 3x2+ 1C + 2x 3A B C 2x2+ 0x 1A B C 2x2 1Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 501.10. EXPRESSESALGBRICAS1.10.3.3. MultiplicaodePolinmiosMonmio MonmioOprodutodedois monmios omonmiocujocoecienteoprodutodoscoecientesdosmonmiosdadosecujaparteliteral oprodutodaspartesliteraisdeles.Exemplos:a) (3x2y2)(2x3) = 3 2 x2 x3 y2= 6x5y2b)_65ab2__152a2b3_ =65 _152_ a a2 b2 b3= 9010a3b5= 9a3b5Monmio PolinmioNa multiplicao de ummonmio por umpolinmio aplicamos a pro-priedadedistributiva: multiplicamosomonmioportodosostermosdopolinmioeadicionamososresultados.Exemplo1: (3x) (4x + 5)= 3x ( 4x + 5 )= 3x 4x + 3x 5= 12x2+ 15xExemplo2: x2 (x23x + 4)= x2 ( x2 3x + 4 )= (x2 x2) + (x2) (3x) + (x2) 4= x4+ 3x34x2Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 51CAPTULO 1. REVISOPolinmio PolinmioPara multiplicarmos dois polinmios,multiplicamoscadatermo de um de-les por todos os termos do outro e adicionamosos resultados. O polinmioobtidodenominadoprodutodospolinmiosdados.Exemplo1: (2x + 3) (3x 4)= ( 2x

+ 3

) ( 3x 4 )= 2x 3x + 2x (4) + 3 3x + 3 (4)= 6x28x + 9x 12= 6x2+ x 12Exemplo2: (x22) (x2+ 3x 1)= ( x2

2

) ( x2+ 3x 1 )= x2 x2+ x2 3x + x2 (1) + (2) x2+ (2) 3x + (2) (1)= x4+ 3x3x22x26x + 2= x4+ 3x33x26x + 21.10.4. ProdutosNotveisProdutosnotveissoresultadosdemultiplicaesdepolinmiosemquearespostaconhecidasemsernecessriorealizaramultiplicaotermoatermo.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 521.10. EXPRESSESALGBRICAS1.10.4.1. QuadradodaSomadeDoisTermosO quadrado da soma de dois termos a e b indicado por: (a +b)2. Para fazer esse clculobasta multiplicara + b pora + b:(a + b)2= ( a+ b ) ( a + b )= a a + a b + b a + b b= a2+ ab + ba + b2Comoab = ba, temosab + ab = 2ab, assim:= a2+ 2ab + b2RegraPrtica( a + b )2= a2+ 2ab + b21otermo 2otermo quadrado duas vezes quadradodo o produto do1otermo dos termos 2otermoDaqui podemos tirar a seguinteregra:Oquadradoda soma de dois termos igual aoquadrado doprimeiro,maisduasvezesoprodutodoprimeiropelosegundo,maisoquadradodosegundo.Exemplos:a) (x + 3)2= x2+ 2 x 3 + 32= x2+ 6x + 9b) (2x + 1)2= (2x)2+ 2 2x 1 + 12= 4x2+ 4x + 1c) (5x + 3y)2= (5x)2+ 2 2x 3y + (3y)2= 25x2+ 30xy + 9y2d) (2xy + 4)2= (2xy)2+ 2 2xy 4 + 42= 4x2y2+ 16xy + 16Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 53CAPTULO 1. REVISO1.10.4.2. QuadradodaDiferenadeDoisTermosOquadradodadiferenadedoistermosaebindicadopor: (a b)2. Parafazeresseclculo basta multiplicara b pora b:(a b)2= ( a b ) ( a b )= a a + a (b) + (b) a + (b) (b)= a2ab ba + b2Comoab = ba, temos ab ab = 2ab, assim:= a22ab + b2RegraPrtica( a b )2= a2 2ab + b21otermo 2otermo quadrado duas vezes quadradodo o produto do1otermo dos termos 2otermoDaqui podemos tirar a seguinte regra:Oquadrado da soma de dois termos igual aoquadrado doprimeiro,menosduasvezesoprodutodoprimeiropelosegundo, maisoquadradodosegundo.Exemplos:a) (x 3)2= x22 x 3 + 32= x26x + 9b) (2x 1)2= (2x)22 2x 1 + 12= 4x24x + 1c) (5x 3y)2= (5x)22 2x 3y + (3y)2= 25x230xy + 9y2d) (2xy 4)2= (2xy)22 2xy 4 + 42= 4x2y216xy + 16Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 541.10. EXPRESSESALGBRICAS1.10.4.3. ProdutodaSomaPelaDiferenadeDoisTermosO produtodasomapeladiferenadedois termosaeb indicadopor: (a + b) (a b).Para fazer esse clculo basta multiplicara + b pora b:(a + b) (a b) = ( a+ b ) ( a b )= a a + a (b) + b a + (b) (b)= a2ab + ba b2Comoab = ba, temos ab + ab = 0, assim:= a2b2RegraPrtica( a + b ) ( a b ) = a2 b21otermo 2otermo quadrado quadradodo do1otermo 2otermoDaqui podemos tirar a seguinteregra:Oprodutodasomapeladiferenadedoistermosigual aoquadradodoprimeiromenosoquadradodosegundotermo.Exemplos:a) (x + 3)(x 3) = x232= x29b) (2x + 1)(2x 1) = (2x)212= 4x21c) (5x + 3y)(5x 3y) = (5x)2(3y)2= 25x29y2d) (2xy + 4)(2xy 4) = (2xy)242= 4x2y216Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 55CAPTULO 1. REVISO1.10.5. FatoraoParafatorarumpolinmioprecisamosdescobrirquaisfatoresdevemsermultiplicadosdemodoqueoresultadosejaopolinmiodado. aformafatoradaoprodutoindicadodesses fatores.Fatorarumaexpressoalgbricaconsisteemtransformaressaexpressonumprodutodepolinmiosoudepolinmiosemonmios.Estudaremos a seguir alguns casos de fatorao de polinmios.1.10.5.1. FatorComumemEvidnciaObserveo polinmioab + ac. Ele formado de dois termosab e acque apresentam em comum o fatora. Pela propriedade distributiva, sabemos que:ab + ac = a (b + c)O produto a (b+c) a formafatoradado polinmio dado. Na forma fatorada, dizemosque ofatorcomuma est colocado emevidncia.Quando os termos de um polinmio apresentam um fator comum, podemoscoloc-loemevidnciaobtendoumaformafatoradadopolinmio.Exemplo1: Vamos fatorarkx + ky + kz.O fator comum a todos os termos k. Dividindo o polinmio por k, obtemos:x + y + zColocandokem evidncia, temos:kx + ky + kz= k (x + y + z)Para vericarmos se estamos corretos, basta efetuar a multiplicaok (x + y + z).k (x + y + z) = k ( x + y + z ) = kx + ky + kzCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 561.10. EXPRESSESALGBRICASExemplo2: Fatorarx2+ 3x.x2+ 3x = x ( x + 3 )fator x2: x 3x : xcomumExemplo3: Fatorar20a2x4+ 12a3x24a4x.Parafazerafatoraocompletaprecisocolocartodososfatorescomunsemev-idncia. Se caso uma varivel aparecer em todos os termos com expoentes diferentes,elapostaemevidnciaelevadaaomenorexpoenteapresentado. Quandohco-ecientes numricos, costumamos colocar oMDC(MximoDivisor Comum) emevidncia. Essas observaes so mostradas a seguir:20a2x4+ 12a3x24a4x = 4a2x ( 5x3+ 3ax a2)fator20a2x44a2x12a3x24a2x4a4x4a2xcomum1.10.5.2. AgrupamentoPodemos fatorar certos polinmios agrupando os seus termos de talmaneiraque:1o: emcadagrupohajaumfatorcomum;2o: fatorandocadagrupo,observa-sequeelesapresentamumnovofatorcomumque,aosercolocadoemevidncia, completaafatorao.Observe os termos do polinmio:ax mx + ay myOsdoisprimeirostermosapresentamofatorcomumxeosdoisltimosofatorcomumy. Vamos agrupar os termos colocando em evidncia os fatores comuns:(ax mx) + (ay my) = x (a m) + y (a m)Temos a somadedois produtos. Nessesprodutos,(a m) o fator comum. Colocando(a m) em evidnciatemos:(a m) (x + y)Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 57CAPTULO 1. REVISOExemplo1: Fatorar: ax + ay + bx + byax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by)= a (x + y) + b (x + y)= (x + y) (a + b)Exemplo2: Fatorar: x2+ xy x yx2+ xy x y = (x2x) + (xy y)= x (x 1) + y (x 1)= (x 1) (x + y)Exemplo3: Fatorar: ax a 3x + 3ax a 3x + 3 = (ax a) (3x 3)= a (x 1) + 3 (x 1)= (x 1) (a + 3)Lembre-se que efetuando a multiplicao indicada, o resultado deve dar o polinmio inicial.Use esse fato para vericar se a resposta est correta.1.10.5.3. DiferenadeDoisQuadradosVoc sabe quando um monmio quadrado perfeito?Ummonmio denominado quadrado perfeito quando ele igual aoquadradodeoutromonmio.Exemplos:1) x2 quadrado perfeito, poisx2= (x)2.2) 16a2 quadrado perfeito, pois16a2= (4a)2.3) y4 quadrado perfeito, poisy4= (y2)2.4) x4y12 quadrado perfeito, poisx4y12= (x2y6)2.A expressoa2b2representa a diferena de dois quadradosa2e b2. A diferena de doisquadrados um produto notvel. Sabemos que a2b2 igual ao produto da soma (a+b)Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 581.10. EXPRESSESALGBRICASpela diferena(a b), isto :a2b2= (a + b) (a b)Assim,(a + b) (a b) a forma fatorada dea2b2.Aformafatoradadeumadiferenadequadrados oprodutodasomapeladiferenadasbasesdelenaordemdadaExemplo1: a2b2a2b2=(a + b)(a b)Exemplo2: x29x29

=x232=(x + 3)(x 3)32Exemplo3: 16a2116a2

1

=(4a)212=(4a + 1)(4a 1)(4a)212Exemplo4: a4b4a4

b4

=(a2)2(b2)2= (a2+ b2)(a2b2) = (a2+ b2)(a + b)(a b)(a2)2(b2)21.10.5.4. TrinmioQuadradoPerfeitoOtrinmioa2+ 2ab + b2denominadotrinmioquadradoperfeito, porqueigual aoquadrado do binmioa + b:a2+ 2ab + b2= (a + b)2Otrinmioa2 2ab + b2tambmumtrinmioquadradoperfeito, porqueigual aoquadrado do binmioa b:a22ab + b2= (a b)2Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 59CAPTULO 1. REVISO(a + b)2 a forma fatorada do trinmioa2+ 2ab + b2.(a b)2 a forma fatorada do trinmioa22ab + b2.Reconhecemos umtrinmioquadradoperfeitoeobtemos suaformafa-toradanotandoque:1o: temtrstermos;2o: doisdeseustermossoquadradosperfeitosa2eb2;3o: o outro termo mais, ou menos,duas vezes o produto das bases (+2abou 2ab). Osinaldestetermo(+ou-)mantidonaformafatorada((a + b)2ou(a b)2,respectivamente).Exemplo1: x2+ 10x + 25

x2+10x+25

=x2+ 2 5 x + 52=(x+5)252Exemplo2: a26ab + 9b2

a26ab +9b2

= x22 a 3b + (3b)2=(a3b)2(3b)2Exemplo3: 9a2x26ax + 1

9a2x2

6ax+1

= (3ax)22 3ax 1 + 12=(3ax1)2(3ax)212Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 601.10. EXPRESSESALGBRICAS1.10.6. SimplificaoJ sabemos queo quocientededois nmerosreais pode serescrito na forma fracionria.Da mesma forma, podemos assim representar o quociente de duas expresses polinmias.Ento, temos a denio:Fraes algbricas um quociente de duas expresses polinmias,indicadanaformafracionria.Assim, so fraes algbricas:x2y2x + a5ax8yab3x1x yComo as expresses polinmias que constituem os termos da frao representam nmerosreais, valemparaasfraesalgbricasasmesmaspropriedadesdasfraesaritmticas.Assim:I) Se o numerador e o denominador so expresses polinmias iguais, a frao iguala 1.Exemplos:a)3a3a= 1 b)2xy2xy= 1 c)a + 2ba + 2b= 1II) Multiplicando-seou dividindo-seo numeradoreo denominadordeumafrao porummesmonmero, diferentedezero, obtm-seumafraoequivalentefraodada, inclusivefazendo com que os termos da frao mudem de sinal.Exemplos:a)8a2 56x 5=40a230xb)12x 48y 4=3x2yc)2a (1)3x (1)= 2a3xIII) Seonumerador for divisvel pelodenominador, afraoalgbricaigual aummonmio ou polinmio.Exemplos:a)12a24a= 3a b)x2+ 2x + 1x + 1=(x + 1)2x + 1= x + 1Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 61CAPTULO 1. REVISOc)x24x + 4x 2=(x 2)2x 2= x 2 d)x24x + 2=(x + 2)(x 2)x + 2= x 2Parasimplicarmosumafraoalgbricatemosdedividironumeradoreodenominadordafraopordivisorescomuns.Exemplos:a)12a2bx28ax3= 12 a a b x28 a x2 x=3ab2xb)2mm2+ m=2 mm (m + 1)=2m + 1c)a2x2a2+ 2ax + x2=(a x) (a + x)(a + x)2=a xa + x1.11. Equaesdo1oGrauUma equao comuma incgnita x e conjunto universo R denomi-nada equao do 1ograu, se puder ser reduzida atravs de operaeselementaresforma:a x + b = 0emqueaebsonmerosreaisea = 0Na equaoa x + b = 0, temos:x aincgnita;a ocoeciente;b o termoindependente.1.11.1. ProcessodeResoluoChama-sesoluoou raizde umaequaoa um valorreal que,substitudonaequao, atorneverdadeiraCopyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 621.12. INEQUAO DO 1oGRAUPara obter com facilidade a soluo de uma equao do 1ograu, podemos utilizar o pro-cesso dedutivo, que consiste emisolaravarivel x, realizandoparaistooperaesinversasnaordeminversa.Exemplo1: 2x 10 = 0Observequeno1omembrodaequaoqueamultiplicaotemprioridadesobreasubtrao. Paraisolar x, devemos desfazer essas operaesnaordeminversa:primeiro a subtrao e depois a multiplicao. Para desfazer a subtrao, utiliza-sesua inversa que a adio. Somando em ambos os membros o nmero 10: 2x10+10 = 0 +10 2x = 10. Para desfazer a multiplicao, utilizamos sua inversa que a diviso. Dividindoambos os membros pelo nmero2:2x2=102 . Logo, a soluoda equao2x 10 = 0 x = 5.Exemplo2: 3x 15 = 03x 15 + 15 = 0 + 15 3x = 15, soma-se 15 em ambos os membros;3x3=153x = 5, divide-se ambos os membros por 3.Exemplo3: Popularmente, troca-se os valores de membro, invertendo suas operaes:2(x + 1) 3(x 5) = 5(x + 1), primeiro elimina-se os parnteses:2x + 2 3x + 15 = 5x + 5, ento passa-se tudo que tem x"para o 1omembroe o que no tem x"para o 2omembro:2x 3x 5x = 5 2 15, realiza-se as operaes possveis para reduzir: 6x = 12, multiplica-se os dois membros por 1:6x = 12, passa-se o6 para o 2omembro dividindo:x =126 , realiza-se a operao:x = 2, assim a soluo x = 2.1.12. Inequaodo1oGrauUmainequaocomumaincgnitaxeoconjuntouniversoRdenomi-nadainequaodo1ograusepuder ser reduzida, atravs deoperaeselementares, aumadasformas:ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0,emqueaebsonmerosreaisea = 0.Asinequaessoresolvidasdeformasemelhantesequaes: transforma-secadain-equaoemoutramaissimpleseequivalente,atqueoconjuntosoluoqueevidente.Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 63CAPTULO 1. REVISOExemplo1: Resolver a inequao: 3x 12 0:Passa-se somando o 12 para o 2omembro: 3x 12;Passa-se dividindo o 3 para o 2omembro: x 123;Realiza-se a operao: x 4S= {x R|x 4}Exemplo2: Resolver a inequao: 4x + 5 2x 9:4x 2x 9 5(passou-seoquetinhaxparao1omembro, eoquenotinhax para o 2omembro);2x 14 (realizou-se as operaes)x 142(passou-se o 2 dividindo o 2omembro);x 7;S= {x R|x 7}Exemplo3: Resolver a equao: 3x > 6Nestecaso, tem-sedemultiplicarambososmembrospor 1, obtendoassim3x< 6(quandomultiplica-sepor 1inverte-seosinal dedesigualdade, eento resolve-se o restante normalmente),x < 63, (passou-se o 3 dividingo o 2omembro);x < 2;S= {x R|x < 2}1.13. SistemasdeEquaesdo1oGrauDuassentenasmatemticasdotipox + y=5e4x y=10formamumsistemaquando,esomentequandoprocuraroparcomum(x, y)quedevesatisfazerambas. Nessecaso, usa-se, paraindicarosistema, damaneiraabaixo._x + y = 54x y = 10Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 641.13. SISTEMAS DE EQUAESDO 1oGRAU1.13.1. MtodosdeResoluo1.13.1.1. MtododaSubstituio_x + y = 54x y = 10Toma-seumadessasequaes(aprimeira, porexemplo)edelaobtemosaexpressodovalor de uma das incgnitas (x, por exemplo):x + y= 5 x = 5 yEssa expresso do valor de x substituir a incgnita x na 2aequao.4x y= 10 4(5 y) y= 10 20 4y y= 104y y= 10 205y= 10 (1) 5y= 10 y=105 y= 2Substituindoy = 2 na expresso do valor de x:x = 5 y x = 5 2 x = 3Portanto, a soluo o par(3, 2).Vericao:x + y= 5 3 + 2 = 5 (verdadeiro)4x y = 10 4 3 2 = 10 12 2 = 10 (verdadeiro)1.13.1.2. MtododaAdioEste processo consiste na eliminao de uma das incgnitas pela adio das duas equaesdo sistema. Observe que, no sistema a seguir, pela adio das equaes membro a membro,umadasincgnitasfoieliminada, poisoscoecientesdessaincgnita(y)sosimtricos(mesmo valor, porm sinais contrrios).___x + y = 54x y = 105x = 15Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 65CAPTULO 1. REVISOLogo,x = 3. Assim, agora basta substituir o valor dex em qualquer uma das equaes:x + y = 53 + y = 5y = 5 3y = 2E assim a soluo o par(3, 2).Quandooscoecientesnososimtricos, deve-seempregaralgunsartifciosdeclculobaseados nas propriedades das operaes. Como por exemplo,no sistema a seguir:_3x + 14y = 84x + 3y = 5Nesse caso, no tem-se valor simtrico, em nenhuma das incgnitas, nem ao menos simetriaporsinal. Assim, paraseeliminar aincgnitax, multiplica-seostermosdaprimeiraequaopor 4eostermosdasegundaequaopor 3(poderiasertambm, 4e3,ouaindasefosseeliminaraincgnitay, multiplicar-se-iaaprimeiraequaopor3easegundapor 14, sendoqueumadasduasdeveriatersinal negativoparacompletar asimetria)._3x + 14y = 8 (4)4x + 3y = 5 (3)Assim,___12x + 56y = 32 12x 9y = 15+ 47y = 47 y= 1Substituindoy= 1 em uma das equaes do sistema preparado, tem-se:3x + 14y = 83x + 14(1) = 83x 14 = 83x = 8 + 143x = 6x =63x = 2Portanto, a soluo o par(2, 1).Vericao:3x + 14y = 8 3 2 + 14 (1) = 8 6 14 = 8 (verdadeiro)4x + 3y = 5 4 2 + 3 (1) = 5 8 + (3) = 5 8 3 = 5 (verdadeiro)Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 661.14. EQUAESDO 2oGRAU1.14. Equaesdo2oGrauChama-seequaodo2ograutodaequaodaformaax2+bx+c = 0,ondea,becsonmerosreaisea = 0aocoecientedex2;bocoecientedex;cocoecienteindependente;xavariveil real.Equao a b cx25x + 6 = 0 1 -5 6x2+ 12x 15 = 0 -1 12 -15x2100 = 0 1 0 -1003x2+ 12x = 0 3 12 04x2= 0 4 0 02x27x + 12 = 0 2 -7 12Quandotodososcoecientesforemnonulos, aequaodenominadaequaocom-pletado 2ograu.Chama-seraizdeumaequaodo2ograuonmeroreal,que,substitudonolugardaincgnita,tornaasentenamatemticaverdadeira.1.14.1. ProcessodeResoluo1.14.1.1. EquaesCompletasNesse caso, o melhor processo de determinao das solues da equao a soluo geraldada por:Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 67CAPTULO 1. REVISOx = b 2a, onde = b24acSe > 0,aequaotemduasrazesreaisdiferentes.Se = 0,aequaotemduasrazesreaisiguais.Se < 0,aequaonoadmiterazesreais.Exemplo1: Resolva a equao: x25x + 6 = 0Calcula-se, primeiro, o valor de, sendo nesta equaoa = 1, b = 5, c = 6.Assim, = b24ac = (5)24 1 6 = 25 24 = 1Agora, encontra-se o valor de x:x = b 2 ax = (5) 12 1x =5 12x=5 12=42= 2 e x=5 + 12=62= 3Exemplo2: Resolva a equao: x27x + 12 = 0Calcula-se, primeiro, o valor de , sendo nesta equao a = 1, b = 7, c = 12.Assim, = b24ac = (7)24 1 12 = 49 48 = 1Agora, encontra-se o valor de x:x = b 2 ax = (7) 12 1x =7 12x=7 12=62= 3 e x=7 + 12=82= 41.14.1.2. EquaesIncompletasPara uma equao de 2oGrau se chamada de incompleta, precisamos queb = 0 ouc = 0oub = c = 0. Assim, as formas gerais das equaes incompletas so:ax2+ bx = 0 ax2+ c = 0 ax2= 0Copyright c Prof. PauladeCamposOliveira-2Sem/2008 681.14. EQUAESDO 2oGRAU1oCaso: Equaes do tipoax2+ bx = 0, ondeb = 0 ec = 0.Temosax2+ bx = 0Fatorando x: x(ax + b) = 0Umprodutodedoisfatoresnulo,ouseja, igualazero,quando:x = 0 x = 0 umaraizouax + b = 0 x = baoutraraizLogo,S= {0, ba}Exemplo: Resolva a equaox23x = 0.x= 0;x= ba= 31= 32oCaso: Equaes do tipoax2+ c = 0, ondeb = 0 ec = 0.Temosax2+ c = 0. Isolando a varivelx, vem:ax2= c x2= cax = _caLogo,x= _caex=_ca.Obs.: Aequaoterrazesreaissomentesec