62571876-apostila

ÍNDICE

Cálculo de peso 6

Caldeiraria 5

Exercício 1 10

Exercício 2 14

Exercício 3 19

Exercício 4 21

Exercício 5 25

Exercício 6 25

Exercício 7 28

Exercício 8 38

Exercício 9 48

Exercício 10 59

Exercício 11 75

Exercício 12 88

Exercício 13 99

Exercício 14 115

Exercício 15 124

Exercício 16 130

Introdução 4

Planificação 7

Cilíndrica 20

Curva de gomos 34

Dobramento de chapas 8

2

Interseção cilíndrica 44

Oblíqua de diâmetros iguais 54

Perpendicular de diâmetros iguais 44

Concêntrica de diâmetros quaisquer 68

Excêntrica de diâmetros quaisquer 85

Transição 95

Quadrada para redonda 95

Assimétrica 111

Concêntrica 95

Retangular para redonda 122

Assimétrica 127

Concêntrica 122

Tronco de cone 26

3

INTRODUÇÃO

Este trabalho foi elaborado visando facilitar a planificação dos sólidos geométricos

utilizados normalmente na caldeiraria.

Os procedimentos até então empregados são puramente geométricos e o modelo que

será usado aqui é puramente matemático. Tal modelo permite que sejam preparados

aplicativos para cálculos precisos dispensando programas de alto custo financeiro que exige

grande sacrifício para empresas de menor porte.

Sobretudo o mais interessante é a precisão com se obtém as medidas desejadas. Falhas

eventuais serão de origem construtiva e não conceptiva, tão comuns em empresas onde o

projeto ainda não é informatizado.

4

CALDEIRARIA

A caldeiraria é um setor da indústria de estruturas metálicas que produz peças de chapas

em formato espacial. O material mais comum é o aço carbono estrutural, mas usam-se outros

em menor escala, como o aço inoxidável, alumínio, cobre, latão e titânio.

O desenvolvimento do trabalho será restrito ao dimensionamento das peças

planificadas, não se considerando cálculos de resistência dos materiais e nem de capacidade

das máquinas a serem utilizadas nos processos produtivos.

Como a carga horária é restrita, será visto o essencial para o que é feito no dia-a-dia das

empresas do setor.

Figuras geométricas não constantes neste compêndio devem ser elaboradas pelos

procedimentos tradicionais da geometria.

5

CÁLCULO DE PESO

É necessário nas áreas de orçamento e projeto saber o peso das peças que serão

construídas. Para calcular o peso de qualquer peça basta encontrar seu volume e conhecer a

densidade do material empregado. O volume pode ser obtido multiplicando a área da peça

pela sua espessura.

Na maioria dos casos, em caldeiraria, o material utilizado é o aço estrutural que é um

aço com baixo teor de carbono, mas outros materiais também são utilizados como cobre,

alumínio, latão, aço inoxidável, titânio, etc. Segue abaixo um quadro com o peso específico

(ρ ) para estes materiais.

Peso específico

Material kgf/dm 3 N/dm3

Aço carbono 7,85 76,98Aço inoxidável 7,85 76,98

Alumínio 2,71 26,58Cobre 8,93 87,57Latão 8,8 86,3Titânio 4,5 44,13

Quadro 1 – Densidade de materiais usados em caldeiraria.

Os cálculos devem ser realizados com unidades iguais. O volume de uma peça, se

obtido em mm3, o valor deve ser dividido por 1.000.000 para se converter em dm3.

6

PLANIFICAÇÃO

Planificação é a projeção da superfície de uma figura geométrica sobre um plano. Para

se obter uma projeção fiel, é preciso que seja teórica, considerando as dimensões neutras da

figura considerada. É preciso saber que as planificações são realizadas para se obter figuras

planas que, depois de conformadas, serão convertidas em sólidos geométricos.

Os processos de conformação envolvem sempre deformação permanente (plástica) nos

materiais. Os materiais deformados plasticamente sofrem estricções localizadas ao longo da

região deformada. Estas estricções alteram a espessura das chapas envolvidas, e,

conseqüentemente, o comprimento pós-deformação. Nos processos de dobramento há

necessidade de atenção sobre este fato pois as alterações promovidas podem superar a

tolerância admitida nas medidas finais da peça.

7

PLANIFICAÇÃO DE DOBRAMENTO DE CHAPAS

Quando o coeficiente de deformação (kd) é maior que 0,16 torna-se necessário adotar

medida para evitar que o alongamento comprometa a tolerância das dimensões finais da peça.

Uma medida que pode ser adotada é a correção de valor do raio médio reduzindo-o. Isto fará

com que as dimensões finais da peça em construção fiquem dentro dos padrões aceitáveis

pelas normas.

R

ekd = (1)

Observando a equação 1 tem-se:

kd = coeficiente de deformação.

e = espessura da chapa (mm).

R = raio de dobra (mm).

Rn

e R

α

Figura 1 – Chapa dobrada (seção transversal).

O raio de dobra (R) é sempre cotado internamente e nele não se verifica deformações

decorrente do dobramento pois a ferramenta utilizada age como barreira mantendo-o uniforme

em toda sua extensão.

8

Quando se tratar de dobra com kd < 0,16, as perdas serão insignificantes, podendo-se

adotar como raio neutro o raio médio, que obtém-se por:

2

eRRm += (2)

Porém se kd > 0,16, deve ser feita a correção do raio neutro (Rn) e esta pode ser obtida

pela equação:

4,4

6,4 eRRn

+= (3)

Assim sendo, baseado nas equações 1, 2 e 3 pode se afirmar que:

216,016,0

4,4

6,4 eRRmk

eRRn d +=⇒≤≤⇐+= (4)

De acordo com a sentença acima fica fácil escolher a fórmula de cálculo para planificar

a dobra do perfil.

EXERCÍCIO 1.

9

Uma peça deve ser construída de acordo com o desenho representado pela figura 2.

50

R10

3/16”

Material: Chapa preta ABNT 1010/20.

60

40

Figura 2 – Chapa dobrada.

Esta é uma peça muito simples, conseqüentemente a planificação também é.

A peça deve ser dividida em três partes: duas planas e uma curvada.

É muito fácil encontrar as dimensões das partes planas, basta subtrair a espessura e o

raio de dobra da medida correspondente.

Assim sendo têm-se:

- Aba menor = 40 – R – e = 40 – 10 – 3/16” = 40 -10 – 4,7625 = 25,2375.

10

- Aba maior = 50 – R – e = 50 – 10 – 3/16” = 50 – 10 – 4,7625 = 35,2375.

Cálculo das abas:Comprimento 40 Raio = 10 espessura 4,7625 aba menor 25,2375

altura h 50 " " " " aba maior 35,2375

A região curvada é que requer um cuidado maior.

Encontrar o coeficiente de deformação kd:

Segundo a equação 1 (pg 5), kd = R

e =

10

"163 =

10

7625,4 =

0,47625.

Coeficiente de deformação e Raio Neutro:R 10 e 4,7625 k d 0,47625 Rn = 11,53693

Como kd ≥ 0,16deve ser usada a equação 3 (pg 7), o que dará:

4,4

6,4 eRRn

+= = 4,4

7625,4106,4 +× =

4,4

7625,50 = 11,5369.

Encontrado o raio neutro Rn, calcula-se o desenvolvimento da curva.

Multiplicando-se o raio por π será obtido o comprimento da curva para 180 graus.

Como o ângulo de dobra é de 90 graus o comprimento é proporcional:

180

.. απ Rnl = =

180

905369,11 ××π = 18,122

11

Comprimento da curva:Rn = 11,53693 α = 90 l = 18,12217

Uma vez encontrado as dimensões das três regiões basta fazer a somatória para

encontrar as medidas externas da peça:

L = 25,2375 + 35,2375 + 18,122 = 78,597 mm.

Em caldeiraria trabalha-se com uma casa decimal e tal só deve ser aplicado após a

conclusão dos cálculos para evitar somatória de erros.

Assim L = 78,6 mm.

Outro dado a considerar é a linha de dobra. Uma peça a ser confeccionada em prensa

dobradeira, a linha de dobra fica no meio da região curvada. Se a conformação for feita em

viradeira de chapa a peça deve ter delimitado o início e o fim da dobra para que o operador se

oriente na execução da tarefa. O desenho da peça planificada para prensa ficará:

12

60

44,3

78,6

Figura 3 – Planificação de dobra para prensas.

Enquanto para as viradeiras será:

60

35,2

53,4

78,6

Figura 4 – Planificação de dobra para viradeiras.

Para calcular o peso da peça basta encontrar o volume e multiplicar pela densidade.

Assim:

13

Peso = 1000000

... ρeLB =

1000000

98,767625,46,7860 ××× = 1,729 N

Desejando-se o peso em quilogramas:

Peso = 1000000

... ρeLB =

1000000

85,77625,46,7860 ××× = 0,176 kgf.

Cálculo do peso teórico:B 60 ρ 7,85L 78,6 peso: 0,176311 kgfe 4,7625 peso: 1,729016 N

EXERCÍCIO 2.

Planificar e calcular o peso da peça conforme a figura 5 em aço ASTM A-36.

R 8 (Típ) 27

40o

20 1/8” 30

67


A peça acima requer um estudo mais apurado que a do exercício 1, pois os ângulos de

dobra não são ortogonais e o comprimento de uma aba não está definido, o que vai exigir

cálculo.

14

O primeiro passo para a planificação é separar a peça no sentido longitudinal em partes

distintas, que são três partes planas e duas curvas. Em seguida calcular as dimensões de cada

região.

Para encontrar o comprimento da região plana entre as curvas deve-se traçar duas linhas

perpendiculares à inclinação passando pelo centro do raio de dobra, em seguida calcular a

distância entre os centros dos raios de dobra no sentido vertical, que dará:

dcc = 27 – 2 (R + e) = 27 – 2 (8 + 3,175) = 4,65 mm.

Distância centro a centro das dobras (dcc)altura h = 27 R = 8 e = 3,175 dcc = 4,65

Uma vez encontrado a dcc calcular a distância vertical total desta região:

dvt = dcc +R.cosα + (R + e).cosα = dcc + (2.R + e).cosα =

4,65 + (2 × 8 + 3,175).cos40º = 4,65 + 19,175.cos40º = 19,339 mm.

Distância vertical total dvtdcc = 4,65 α = 40R = 8 dvt = 19,3389e = 3,175 l d = 30,08599

Com este valor encontra-se o comprimento diagonal:

°==

40sen

339,19

sen αdvt

ld = 30,086 mm.

A distância horizontal intermediária pode ser determinada com:

dhi = dvt.cosα + (2.R + e).senα = 30,086.cos40º + (2 × 8 + 3,175).sen40º.

15

⇒ dhi = 35,373 mm.

dhi e l 1

dvt = 30,08599 aba = 20R = 8 α = 40e = 3,175 dhi = 35,37266

Comprimento 67 l 1 = 11,62734

A parte plana não cotada é encontrada com:

l1 = 67 – 20 – dhi = 47 – dhi = 47 - 35,373 = 11,627 mm.

Para calcular a parte curva é só seguir o roteiro do exercício 1 na pg 9.

8

175,3==R

ekd = 0,396875 mm

Coeficiente de deformação e Raio Neutro:R = 8 e = 3,175 k d = 0,396875 Rn = 9,085227

Como kd ≥ 0,16deve ser usada a equação 3 (pg 7), o que dará:

4,4

.6,4 eRRn

+= = 4,4

175,386,4 +× =

4,4

975,39 = 9,08522 mm.

Encontrado o raio neutro Rn, calcula-se o desenvolvimento da curva.

Multiplicando-se o raio por π será obtido o comprimento da curva para 180 graus.

Como o ângulo de dobra é de 40 graus o comprimento é proporcional:

16

180

.. απ Rnlc = =

180

4008522,9 ××π = 6,3427 mm

Comprimento da Curva ( l c ) :Rn = 9,08522 α (graus) = 40 l c = 6,34268

O comprimento total da peça é obtido por:

2021 +++= ldlcll = 11,627 + 12,6854 + 30,086 + 20 = 74,3984 mm.

Comprimento total:l 1 = 11,62734 aba = 20l c = 6,34268l d = 30,08599 l = 74,39869


Assim:

Peso = 1000000

... ρeLB =

1000000

98,76175,33984,7430 ××× = 0,5455 N


Peso = 1000000

... ρeLB =

1000000

85,7175,33984,7430 ××× = 0,056 kgf.

Peso teórico:B = 30 Peso:L = 74,39869 0,055629 kgfe = 3,175 0,545532 N

O desenho da peça planificada deve informar que as linhas de dobra devem ser traçadas

em faces opostas da chapa.

17

Lado oposto

α = 40o 30

11,6 20

18 26,3

74,4

Figura 6 – Planificação para viradeiras.

Lado oposto

α = 40° 30

23,2

59,6

74,4

Figura 7 – Planificação para prensas dobradeiras.

EXERCÍCIO 3.

Planificar e calcular o peso teórico para a peça, em aço, conforme a figura 8.

25

18

45°

50,8

R12 (Típ)

45° ¼”

30 36

56,2


PLANIFICAÇÃO CILÍNDRICA

As estruturas tubulares são muito comuns na mecânica, tanto para sustentação quanto

para transporte/movimentação de fluídos. Os cálculos são muito simples, basta encontrar o

perímetro da seção tubular, o comprimento é sempre segmentado e, via de regra, não precisa

ser calculado, pois já é determinado no desenho/projeto.

19

e

d

Figura 9 – Seção transversal de uma peça tubular.

O cálculo do perímetro deve sempre ser realizado pelo diâmetro médio. Para encontrar

o diâmetro médio (dm) basta subtrair a espessura (e) do diâmetro externo. Como na maioria

dos casos uma estrutura tubular é sempre cotada externamente pode-se afirmar que:

dm = d - e (5)

O perímetro (P) se obtém por:

P = π dm (6)

EXERCÍCIO 4.

Planificar e calcular o peso de uma peça conforme a figura 10.

3/16”

20

φ 250 600

Figura 10 – Peça tubular cilíndrica em aço estrutural.

A planificação desta peça é muito simples. Será formado um retângulo cujas dimensões

são: o comprimento do tubo e o perímetro do círculo. Isto dará:

Perímetro do círculo:

P = π .dm = π (d-e) = π (250-4,7625) = π (245,2375) = 770,44 mm.

Observação: se o diâmetro estivesse cotado internamente, seria: dm = (di + e).

Cálculo do Perímetrod = 250 e = 4,7625 P = 770,4363

Assim o retângulo toma as dimensões:

Sentido de calandragem 600

21

770,4

Figura 11 – Planificação da peça da figura 10.


Assim:

Peso = 1000000

... ρePL =

1000000

98,767625,44,770600 ××× = 169,47 N


Peso = 1000000

... ρePL =

1000000

85,77625,44,770600 ××× = 17,281 kgf.

Peso teórico:B = 600 Peso:L = 770,4 17,28113 kgfe = 4,7625 169,47 N

Para traçar o retângulo que a peça forma é preciso tomar certos cuidados para que os

ângulos entre as linhas estejam a 90º. Como em caldeiraria constroem-se peças de grandes

dimensões, torna-se inviável o uso de esquadro para este fim. Aplica-se o método 3-4-5 para

a obtenção das linhas perpendiculares.

Como traçar o retângulo pelo método 3-4-5:

1 – Toma-se uma chapa com dimensões compatíveis com a peça a ser traçada.

22

2 – Traça-se uma linha próxima da margem longitudinal e punciona-se próximo da

margem transversal.

3 – Abre-se o cintel com uma medida múltipla de três com dimensão próxima da largura

da chapa e traça-se o raio perpendicular com centro no puncionado.

4 – Usa-se o mesmo valor utilizado para encontrar o primeiro raio para multiplicar por 4

e encontrar o segundo. Abre-se o cintel com o segundo raio e traça-se uma curva cruzando a

linha longitudinal tendo como centro o puncionado. Punciona-se o cruzamento.

23

5 – Seguindo o critério anterior encontra-se o terceiro raio (multiplicando-se a constante

por 5). Abre-se o cintel com esta medida e, com centro no novo puncionado, traça-se uma

curva cruzando com o primeiro raio.

6 – Traça-se uma reta passando pelo cruzamento dos raios e pelo primeiro puncionado

atravessando a chapa. As linhas estão perpendiculares. Quanto maiores forem os raios

múltiplos de 3, 4 e 5, maior será a precisão da perpendicularidade entre as linhas.

Partindo das duas linhas iniciais pode-se completar o retângulo.

24

EXERCÍCIO 5

Planificar e calcular o peso de uma estrutura tubular em cobre com as seguintes

dimensões:

- Diâmetro: d = 320 mm.

- Espessura: e = 5,5 mm.

- Comprimento: L = 920 mm.

EXERCÍCIO 6

Planificar e calcular o peso de uma estrutura tubular em titânio nas dimensões:

- Diâmetro: d = 418 mm.

- Espessura: e = 6,3 mm.

- Comprimento: L = 1140 mm.

PLANIFICAÇÃO DE TRONCO DE CONE

Estruturas tubulares tronco-cônicas fazem parte do cotidiano da caldeiraria. A

planificação é simples, bastando conjugar cálculos algébricos e trigonométricos para obter os

resultados de projeção da figura espacial no plano.

d

25

Quadrante Comprimento das linhas de dobra

1o (67)

2o (68)

3o (69)

4o (70)

e

h

D

Figura 12 – Vista em corte de um tronco de cone

Na figura 12 pode se observar:

D = diâmetro maior.

d = diâmetro menor.

h = altura.

e = espessura.

Não está determinado o ângulo de inclinação da peça e isto pode ser calculado com

facilidade com a equação:

−=

h

dDarctg

.2α (7)

B

Rg rg β

F

C

26

A

Figura 13 – Planificação de um tronco de cone.

Observando a figura 13 pode-se ver que a planificação de um tronco de cone é o mesmo

aberto sobre um plano. Na planificação deve se prever as dimensões exatas antes de sua

conformação. Todas as informações devem ser processadas pelas dimensões das linhas

neutras (ou médias), somente para encontrar o ângulo de inclinação do cone é que não é

necessária tal medida. Para encontrar as dimensões da planificação deve-se usar as equações:

Dm = (D - e) (8)

β = 180.senα (9)

αsen.2

dmrg = (10)

αsen.2

DmRg = (11)

A = 2.Rg.senβ (12)

B = 2.rg.senβ (13)

C = Rg (1 – cosβ ) (14)

F = Rg – rg.cosβ (15)

Área: S = π [(Rg)2 – (rg)2] senα (16)

EXERCÍCIO 7

27

Um tronco de cone deve ser construído em chapa de aço ASTM A-36 com as seguintes

dimensões:

- Diâmetro maior: D = 1260 mm.

- Diâmetro menor: d = 650 mm.

- Espessura: e = 5/16”.

- Altura: h = 812 mm.

Planificar e calcular o peso.

Ø650

5/16”

812

Ø1260

Com as quatro dimensões básicas calcula-se o ângulo de inclinação da peça. Utiliza-se

a equação 7:

−=

h

dDarctg

.2α =

×−8122

6501260arctg ⇒ α = 20,587°.

Cálculo do ângulo de inclinação:D = 1260 d = 650 h = 812 α = 20,58697

Tendo já o α , calcula-se os raios de giração maior e menor e o semi-ângulo de

abertura do segmento (β ).

28

Segundo a equação 9, tem-se:

β = 180 senα = 180 sen 20,587° = 63,29318°.

Pela equação 10:

°−=−==

587,20sen.2

9375,7650

sen.2sen.2 ααeddm

rg = 912,98 mm.

Na equação 11:

°−=

°−==

587,20sen.2

9375,71260

587,20sen.2sen.2

eDDmRg

α =1780,38 mm.

Equação 12:

A = 2 Rg senβ = 2 × 1780,376 × sen63,29318° = 3180,883 mm.

Equação 13:

B = 2 rg senβ = 2 × 912,9835 × sen63,29318° = 1631,169 mm.

Equação 14:

C = Rg (1 – cosβ ) = 1780,376 (1-cos63,29318°) = 980,2296 mm.

Equação 15:

F = Rg – rg cosβ =1780,376 – 912,9835 × cos63,29318° = 1370,058 mm.

Equação 16:

29

Área: S = π [(Rg)2 – (rg)2] senα = π [(1780,376)2 – (912,9835)2] sen20,58697° →

Área = 2580738 mm2.

Dimensionamento do tronco de cone

D = 1260 d = 650h = 812 e = 7,9375

α = 20,58697 C = 980,2296

β = 63,29318 F = 1370,058A = 3180,883 Rg = 1780,376B = 1631,169 rg = 912,9835

Área: 2580738 mm2

Peso teórico:Material kgf N

Aço: 160,8042 1576,95Alumínio: 55,30845 542,3906

Cobre: 182,9276 1793,907Latão: 180,2646 1767,792

O peso teórico (Pt) se obtém com o produto da área (S), espessura (e) e peso específico

do material (ρ ), dividido por 1x106 (conversão de mm3 para dm3). Donde, para o aço:

1000000

.. ρeSPt = =

1000000

85,79375,72580738 ×× = 160,8042 kgf.

Ou 1000000

98,769375,72580738 ×× = 1576,95 N.

A planificação da peça fica conforme a figura (substituir as letras pelos valores calculados):

B

Rg

rg β

F C

30

A

A traçagem da planificação de um tronco de cone não é complicada. Precisa ter uma

chapa com dimensões suficientes para a peça. Faz-se um puncionado próximo da margem

transversal com distância da base um pouco superior (aprox. 5 mm) à medida C.

Abre-se o cintel com a medida A e traça-se um raio, tendo como centro o puncionado,

cruzando uma linha imaginária paralela à base.

Mede-se uma distância a partir da base, igual à do puncionado anterior, sobre o raio, e

punciona-se.

31

Abre-se o cintel com a medida Rg e traçam-se dois raios cruzando-se na parte superior

acima, tendo como centro cada um dos puncionados. Punciona-se o cruzamento.

Tendo como centro o puncionado mais recente, traça-se o Rg ligando os dois pontos

(puncionados anteriores). Traça-se duas retas ligando o centro aos dois outros puncionados.

32

Abre-se o cintel com a medida rg e traça-se o raio atravessando as retas. Puncionam-se

os cruzamentos e a traçagem está pronta.

PLANIFICAÇÃO DE CURVA TUBULAR DE GOMOS.

As curvas de gomos são de uso freqüente nos desvios de direção das tubulações por

serem os dutos de menor perda inercial dos fluídos transportados. A construção de curvas de

gomos não é muito complicada, mas deve-se saber que quanto maior o número de gomos

mais eficiente será o rendimento no transporte dos fluídos, porém será de construção mais

difícil. O projetista deve ficar atento para conseguir um bom rendimento da tubulação sem

tornar a construção muito complicada.

33

d

e

α

β

Rc

Figura 14 – Curva tubular de gomos

De acordo com a figura 14 tem-se:

d = diâmetro da curva.

e = espessura da chapa.

Rc = raio da curva.

α = ângulo de inclinação do gomo.

β = ângulo da curva.

Convém saber que:

- A curva pode ter qualquer ângulo (β ), embora a figura 14 mostre 90°.

- Pode haver quantos gomos forem necessários em uma curva.

- O raio da curva (Rc), não deve ser menor que 2,5 vezes o diâmetro.

34

A figura apresenta dois semigomos situados nas extremidades da curva e outros gomos

mediais. Um semigomo é exatamente a metade de um gomo, o que facilitará os cálculos,

bastando planificar um semigomo para que toda a curva esteja planificada.

Outro fato importante é que a planificação tem um eixo de simetria, por isto planifica-se

apenas a metade do semigomo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0

x2

π dm

Figura 15 – Planificação de um semigomo.

A linha central é um eixo de simetria.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0

x3

π dm

Figura 16 – Planificação de um gomo.

35

Comparando as figuras 15 e 16 nota-se que a planificação é a mesma, apenas

duplicando as linhas no sentido oposto. Na figura 15 existe uma linha de simetria (8) e na

figura 16 são duas as linhas de simetria, uma horizontal e outra vertical, daí a mesma

numeração da parte superior e inferior.

Ainda na análise da figura 15 vê-se que a linha 2 é correspondente à distância x2 e na

figura 16, a linha 3 corresponde à distância x3.

O comprimento de cada linha numerada depende do ângulo de inclinação da peça e da

distância x. A linha 0 (zero) é a altura menor (ou h) e a linha de simetria vertical é a altura

maior da peça (ou H).

A distância x pode ser qualquer porém é usual tomar o perímetro (π ×dm) e dividi-lo

em partes iguais pares para que haja uma linha de simetria. Nas figuras 15 e 16 a divisão foi

em 16 partes iguais, daí a numeração crescente até 8 e decrescente até 0 (zero). Esta prática

facilita os cálculos.

A figura 14 mostra uma curva com 3 gomos e 2 semigomos perfazendo 4 gomos,

todavia uma curva pode ter quantos gomos forem necessários.

As dimensões podem ser calculadas por:

gn.2

βα = (17)

αtgdm

Rch .2

−= (18)

αtgdm

RcH .2

+= (19)

dd n

dm

n

Px

.π==∆ (20)

nd = número de divisões do perímetro.

ng = número de gomos.

36

Para calcular o comprimento das linhas usa-se a equação:

( )

−+=

dm

xhHhl

.

.180sen. 2

π (21)

Através da equação 21 calcula-se todas as linhas variando apenas os valores de x. Para

tornar os cálculos mais simplificados pode-se dispor as parcelas em colunas e fazer um

quadro com os resultados. Tomando como exemplo a figura 6, com 16 divisões ter-se-á o

seguinte:

linha nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 0 ∆ x 2∆ x 3∆ x 4∆ x 5∆ x 6∆ x 7∆ x 8∆ xl h H

Quadro 2 – Exemplo para preenchimento de dados.

O quadro 2 mostra o número de linhas a calcular, deve-se substituir os valores de x e

preencher os campos de l (substituindo h e H conforme equações 18 e 19). Os valores de l são

encontrados pela equação 21. A letra P representa o perímetro, conforme equação 6.

A área (S) de um semigomo pode ser encontrada por:

2..

hHdmS

+=π (22)

Quando se deseja a área total da curva basta multiplicar o valor encontrado pelo dobro

do número de gomos, donde ter-se:

37

Stotal = π dm ng (H+h) (23)

ng = número de gomos.

EXERCÍCIO 8

Planificar uma curva de gomos cilíndricos em aço ASTM A-36, com os seguintes

dados:

Diâmetro externo: d = 1040 mm.

Espessura da chapa: e = 1/4".

Raio da curva: Rc = 2800 mm.

Ângulo total da curva: β = 100°.

As chapas existentes no estoque possuem largura de 1200 mm. Esta medida deverá ser

suficiente para conter um gomo inteiro da curva.

Ø1040

6,35

38

α

β =100°

2800

Cálculo do perímetro P:

P = π dm = π (1040 – 6,35) = 3247,31 mm.

Conhecido o perímetro, determina-se um número de divisões para que ∆ x não fique

muito distante de 100 mm. Para isso basta voltar a vírgula duas casas decimais. O número de

divisões tem de ser inteiro e múltiplo de 2, assim escolhe-se nd = 32.

Encontrado o perímetro e o número de divisões, acha-se o valor de ∆ x.

32

31,3247==∆dn

Px = 101,48 mm.

Agora parte-se para a planificação de meio gomo. Se terão 32 divisões devem ser

calculadas 16 linhas. As demais serão simétricas.

Os cálculos dos comprimentos das linhas devem seguir as equações 17 a 21.

Como não foi informado o número de gomos (para atender a equação 17) deve-se partir

para determinar, primeiro a maior linha, que é a linha 16 (linha 16 = H). A largura das chapas

a serem utilizadas é de 1200 mm, o que limitará H a 600mm. Desta forma tem-se:

39

Como αtged

RcH .2

−+= , logo 600.

2

35,610402800 ≤

−+ αtg , e:

−+

=

2

35,610402800

600arctgmáxα donde α máx = 10,25°.

Voltando à equação 17, gn.2

βα = conclui-se que ng > °×°=25,102

100

2αβ

Daí concluir-se que ng > 4,88. Como ng tem que ser um número inteiro, a curva deverá ter

cinco gomos. Então:

gn.2

βα = = 52

100

× = 10°.

αtgdm

Rch .2

−= =

−−

2

35,610402800 tg10° = 402,59 mm.

αtgdm

RcH .2

+= =

−+

2

35,610402800 tg10° = 584,85 mm.

Para a continuação dos cálculos deve-se encontrar os valores de x e dispô-los em uma

tabela. Dá para notar que x = ∆ x multiplicado pelo no da linha.

linha 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 0 101,478 202,957 304,435 405,913 507,392 608,87 710,348 811,83

linha 9 10 11 12 13 14 15 16x 913,31 1014,78 1116,26 1217,74 1319,22 1420,7 1522,18 1623,65

Com a equação 21 calcula-se as demais linhas.

Como ( )

−+=

dm

xhHhl

.

.180sen. 2

π

40

( )

××−+=

65,1033

0180sen.59,40285,58459,402 2

0 πl = 402,59 mm.

( )

××−+=

65,1033

48,101180sen.59,40285,58459,402 2

1 πl = 404,34 mm.

( )

××−+=

65,1033

96,202180sen.59,40285,58459,402 2

2 πl = 409,52 mm.

( )

××−+=

65,1033

44,304180sen.59,40285,58459,402 2

3 πl = 417,94 mm.

E assim sucessivamente até a linha 16. O que dará:

d = 1040 e = 6,35 α (graus) 10Rc = 2800 ng = 5 α (rad) 0,174533

β = 100 nd = 32

∆ x = 101,4784 h = 402,5854 H = 584,8457

x 0 0 l 0 402,5854 x 9 913,3052 l 9 511,4942

x 1 101,4784 l 1 404,3364 x 10 1014,784 l 10 528,5896

x 2 202,9567 l 2 409,5222 x 11 1116,262 l 11 544,3448

x 3 304,4351 l 3 417,9436 x 12 1217,74 l 12 558,1543

x 4 405,9134 l 4 429,2768 x 13 1319,219 l 13 569,4875

x 5 507,3918 l 5 443,0863 x 14 1420,697 l 14 577,9089

x 6 608,8701 l 6 458,8415 x 15 1522,175 l 15 583,0947

x 7 710,3485 l 7 475,9369 x 16 1623,654 l 16 584,8457

x 8 811,8268 l 8 493,7155

As equações 22 e 23 mostram como encontrar as áreas, respectivamente, de um

semigomo e da curva inteira. O produto da área (S), espessura (e) e o peso específico (ρ ) é o

peso teórico. Assim:

Área de um semigomo:

41

( )2

5854,4028457,584.35,61040.

+−=πS = 1603246,08 mm2.

Área da curva inteira:

Stotal = π (1040-6,35) × 5 × (584,8457+402,5854) = 16032460,83 mm2.

Para encontrar o peso teórico:

Pt semigomo: 1000000

.. ρeSPt = =

1000000

98,7635,607,1603246 ×× = 783,726 N.

Pt curva: 1000000

.. ρeSPt total= =

1000000

98,7635,67,16032460 ×× = 7837,26 N.

d = 1040 e = 6,35Rc = 2800 ng = 5

β = 100 nd = 32h = 402,585354 H = 584,8457

Peso teórico:Área mm² N kgf

Semigomo 1603246,07 783,726 79,91781

Gomo 3206492,14 1567,452 159,8356

Curva 16032460,7 7837,26 799,1781

Para o cálculo do peso teórico de outros materiais, ver a tabela de peso específico na

página 4.

O desenho do semigomo fica com esta configuração.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

405,91

42

32 × 101,4784 = 3247,31

Um gomo (inteiro) fica assim:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

32 × 101,4784 = 3247,31

PLANIFICAÇÃO DE INTERSEÇÃO CILÍNDRICA.

São diversas as possibilidades de interseção entre figuras geométricas diferentes, no

entanto, as mais freqüentes são as de iguais formas de seção transversal e estes casos serão

estudados doravante. Dois tubos ao serem interceptados, sendo de diâmetros iguais, serão

sempre concêntricos. Podem ser retos ou oblíquos.

PLANIFICAÇÃO DE INTERSEÇÃO PERPENDICULAR DE PEÇAS CILÍNDRICAS

DE DIÂMETROS IGUAIS

L

b

43

e a h

d

Figura 17 – Interseção tubular cilíndrica perpendicular de diâmetros iguais.

A planificação de interseções é feita em duas peças distintas. A peça a é a interceptora e

a b é a receptora. Ambas devem ser planificadas por quadrantes. Cada quadrante pode ser

dividido em quantas partes forem necessárias; é comum evitar distância entre linhas muito

superior a 100 mm.

A peça interceptora dá a seguinte planificação:

0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 h

x3

π dm

Figura 18 – Planificação da interceptora da interseção cilíndrica perpendicular.

Assim como na figura 15 as linhas não contínuas são de simetria e o comprimento das

linhas numeradas depende da distância x. Para esta peça basta calcular um quadrante, o que

pode ser feito pela equação:

+=

dm

xdmhl

.

.180sen. 2

π (24)

44

As equações 24 e 26 são válidas para: 0 (zero) ≤ x ≤ 4

.dmπ

A linha de simetria maior (linha 4 da figura 18) pode ser chamada de linha H, assim

como a linha 0 (zero) é a linha h. A área da peça interceptora pode ser determinada pela

equação:

+∆= ∑∑

−1

10

..2MM

llxS (25)

Onde lM é a linha maior.

Para facilitar pode-se elaborar o seguinte quadro:

nº 0 1 2 3 4x = 0 ∆ x 2×∆ x 3×∆ x 4×∆ xl = h


A peça receptora (b) também carece de cálculo de apenas um quadrante, mas a

disposição da abertura difere da interceptora. A abertura pode localizar-se nas extremidades

da peça conforme figura 19 ou na região interna como na figura 20, dependendo das

necessidades do projeto.

0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 h

L

45

0 1 2 3 4 4 3 2 1 0

x2

π dm

Figura 19 – Planificação de uma peça receptora de interseção com abertura concêntrica nas extremidades.

A figura 19 mostra planificada uma peça receptora de uma interseção perpendicular de

estrutura tubular. Analisando a figura será encontrado:

2

dLh

−=

Os comprimentos das linhas podem ser obtidos pela equação 26.

+=

dm

xdhl

.

.180sen. 2

π (26)

Como no quadro 3 deve-se fazer outro quadro semelhante para facilitar.

nº 0 1 2 3 4x = 0 ∆ x 2×∆ x 3×∆ x 4×∆ xl = h L / 2


A figura 20 mostra o recorte bidimensionalmente centrado, para facilitar o raciocínio,

mas pode perfeitamente estar situado em qualquer parte no interior da peça. Como mostrado

na figura 20,

46

2

dLh

−= (27)

A área da peça receptora pode ser obtida por:

2

....2

1

10

LdmllxS

MM π+

+∆= ∑∑

−

(28)

4 3 2 1 0 1 2 3 4 h

L

4 3 2 1 0 1 2 3 4

π dm /2 x2

π dm

Figura 20 - Planificação de uma peça receptora de interseção com abertura concêntrica no interior

EXERCÍCIO 9.

47

Planificar e calcular o peso de uma interseção ortogonal, de iguais diâmetros, com os

seguintes dados:

Material: chapa preta em aço SAC 50.

Diâmetro (d) = 1180 mm.

Espessura da chapa (e) = 3/16”.

Comprimento da receptora (L) = 2400 mm.

Altura menor da interceptora (h) = 600 mm.

Solução:

dm = (d-e) = 1180 – 4,7625 = 1175,2375 mm.

Perímetro: P = π dm = 3692,1175 mm.

∆ x = nd

dm.π ≈ 100 mm.

100

.dmnd

π≈ ≈ 100

2375,1175×π ≈ 36,92.

Como nd deve ser um número inteiro, neste caso, múltiplo de 4, opta-se por:

nd = 36.

O que dará 9 divisões por quadrante.

Definido o número de divisões (nd), encontra-se:

∆ x = nd

dm.π =

36

2375,1175×π = 102,559 mm.

48

Agora calculam-se os valores de x e monta-se o quadro:

Linha nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x = 0 102,559 205,118 307,676 410,235 512,794 615,353 717,912 820,471 923,029

Observa-se que o valor de x é o produto de ∆ x pelo número da linha correspondente,

sem erros de arredondamento.

Com os valores de x definidos calculam-se os comprimentos das linhas seguindo a

equação 24.

Tendo

+=

dm

xdmhl

.

.180sen. 2

π , calculam-se as linhas variando apenas o valor de x na

equação, o que proporciona:

×××+=

2375,1175

0180sen2375,1175600 2

0 πl = 600 mm.

×××+=

2375,1175

56,102180sen2375,1175600 2

1 πl = 608,93 mm.

×××+=

2375,1175

12,205180sen2375,1175600 2

2 πl = 635,44 mm.

E assim sucessivamente, até a linha 9 e preencher o quadro:

d = 1180 e = 4,7625 nd = 36 h = 600

Linha nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x = 0 102,56 205,12 307,68 410,24 512,79 615,35 717,91 820,471 923,029

l = 600 608,93 635,44 678,73 737,48 809,9 893,81 986,64 1085,58 1187,62

Concluídos os cálculos dimensionais, calcula-se o peso da peça interceptora conforme

as observações da página 4 e a equação 25.

49

S = 2 × 102,56 × [(600 + 608,93 + 635,44 + 678,73 + 737,48 + 809,9 +

893,81 + 986,64 + 1085,58 + 1187,62) + (608,93 + 635,44 + 678,73 + 737,48 +

809,9 + 893,81 + 986,64 + 1085,58)] = 3.007.152,669 mm2.

Agora basta multiplicar a área pela espessura e o peso específico e por 10-6 para se obter

o peso teórico da peça.

Pt = S. e. ρ . 10-6

Pt = 3.007.152,669 × 4,7625 × 7,85 × 10-6 = 112,42 kgf.

Ou 3.007.152,669 × 4,7625 × 76,98 × 10-6 = 1102,5 N.

E preencher o quadro completo.

d = 1180 e = 4,7625 nd = 36 h = 600

Linha nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x = 0 102,5588193 205,12 307,68 410,24 512,79 615,35 717,91 820,471 923,029

l = 600 608,9272492 635,44 678,73 737,48 809,9 893,81 986,64 1085,58 1187,62

Área 3007152,669 mm² Peso Teórico: 112,42 kgf.1102,5 N.

Agora os cálculos para a peça receptora:

O comprimento da peça é de 2400 mm e, supõe-se que a interseção seja centrada, logo:

2

11802400

221

−=−== dLhh = 610 mm.

Os comprimentos das linhas são determinados pela equação 26.

50

( )

−××+=

7625,41180.

0180sen1180610 2

0 πl = 610 mm.

( )

−

××+=7625,41180.

56,102180sen1180610 2

1 πl = 618,96 mm.

( )

−

××+=7625,41180.

12,205180sen1180610 2

2 πl = 645,58 mm.

Dar seqüência aos cálculos até a linha 9 e preencher o quadro.

d = 1180 e = 4,7625 nd = 36 h = 610

Linha nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x = 0 102,56 205,12 307,68 410,24 512,79 615,35 717,91 820,471 923,029

l = 610 618,96 645,58 689,05 748,03 820,76 905 998,21 1097,55 1200

Cálculo do peso teórico:

Como 2

....2

1

10

LdmllxS

MM π+

+∆= ∑∑

−

tem-se:

S = 2×∆ x×[(610+618,96+645,58+689,05+748,03+820,76+905+998,21+

1097,55+1200)+(618,96+645,58+689,05+748,03+820,76+905+998,21+1097,55)]+

( )2

24007625,41180. ×−π = 7.477.823,841 mm2.

Pt = S. e. ρ . 10-6 = 7.477.823,841 × 4,7625 × 7,85 × 10-6 = 279,56 kgf.

Ou 7.477.823,841 × 4,7625 × 76,98 × 10-6 = 2741,6 N.

Tudo calculado, preenche-se o quadro.

51

d = 1180 e = 4,7625 nd = 36 h = 610 L = 2400

Linha nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x = 0 102,5588193 205,12 307,68 410,24 512,79 615,35 717,91 820,471 923,029

l = 610 618,9634257 645,58 689,05 748,03 820,76 905 998,21 1097,55 1200

Área 7477823,841 mm² Peso Teórico: 279,56 kgf.2741,6 N.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

36 × 102,559 = 3692,12

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2400

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

52

923,03 18 × 102,559 = 1846,06

3692,12

Para completar o desenho basta substituir os números de identificação das linhas pelos

valores calculados correspondentes.

PLANIFICAÇÃO DE INTERSEÇÃO OBLÍQUA DE PEÇAS CILÍNDRICAS DE

DIÂMETROS IGUAIS

L

d

β

γ

α

Figura 21 - – Interseção tubular cilíndrica oblíqua de diâmetros iguais.

53

Uma tubulação pode ser interceptada por outra em ângulos oblíquos. A planificação

difere da perpendicular que apresenta equações simplificadas. As equações utilizadas nos

cálculos das planificações oblíquas podem ser usadas nas perpendiculares, basta considerar o

ângulo de inclinação (α ) que é 90°.

A planificação da peça interceptora deve ser feita de tal forma que a emenda se dê no

menor comprimento de solda, que é a menor altura (h1) e assim será a peça planificada:

No caso da interseção oblíqua a peça deve ser planificada em duas etapas. De acordo

com a figura 21 pode-se notar que cada lado da interceptora possui ângulos distintos (podendo

ser iguais nos casos de interseções de ângulos retos). A mesma coisa se vê na planificação

onde as curvas, central e das extremidades, também são distintas e o eixo de simetria é a linha

0a no centro da peça. Os cálculos, diante disso, devem ser feitos distintamente utilizando uma

equação para a curva central e outra para as extremas.

H h2 H

0 1 2 3 4 3a 2a 1a 0a 1a 2a 3a 4 3 2 1 0 h1

x2 x3

π dm

Figura 22 – Planificação da interceptora da interseção cilíndrica oblíqua.

54

O ângulo α é a inclinação da peça interceptora em relação ao eixo da receptora. Quanto

aos outros ângulos:

2

αβ = (29)

γ = 90 - β (30)

As linhas de encaixe das peças formam sempre um ângulo reto, donde: β + γ = 90o.

αtg

dmhh += 12 (31)

Os comprimentos das linhas serão:

a) de h1 até H.

γπ

tgdm

xdmhl .

.

.180sen. 2

1

+= (32)

b) de h2 até H.

βπ

tgdm

xdmhl .

.

.180sen. 2

2

+= (33)

Assim como a equação 24, as de número 32, 33, 35 e 36, também são válidas apenas

para um quadrante.

A área da peça interceptora pode ser calculada pela equação:

55

+++∆= ∑ ∑∑∑

−− Ma

a

Ma

a

MM

llllxS0

1

1

1

10

. (34)

M é a linha maior da faixa de h1 a H e Ma, da faixa de h2 a H. M e Ma darão o mesmo

valor.

Para a peça receptora empregam-se as seguintes equações para calcular os

comprimentos das linhas:

a) de h1 até H.

γπ

tgdm

xdhl .

.

.180sen. 2

1

+= (35)

b) de h2 até H.

βπ

tgdm

xdhl .

.

.180sen. 2

2

+= (36)

Tanto na peça receptora quanto na interceptora facilita usar o quadro:

Linha nº 0 1 2 3 4 4a 3a 2a 1a 0a

x = 0 1∆ x 2∆ x 3∆ x 4∆ x 4∆ x 3∆ x 2∆ x 1∆ x 0

l = h1 h2


Para preencher os dados no quadro 5, substitui-se h1 e h2 e anota-se nos demais

intervalos os valores calculados. Não se deve esquecer que P é o comprimento da

circunferência da tubulação: P = π dm. Outro fato a ser lembrado é que o perímetro pode ter

quantas divisões forem necessárias embora na ilustração seja apenas em 16 partes.

56

Sendo desejado a peça receptora pode ter sua abertura nas extremidades semelhante ao

mostrado na figura 19.

A peça receptora fica com a seguinte planificação:

4a 3a 2a 1a 0a 1a 2a 3a 4a h2

L

4 3 2 1 0 1 2 3 4 h1

x3 x2

π dm

Figura 23 - Planificação de uma peça receptora de interseção oblíqua com abertura no interior

57

A área da peça planificada é calculada por:

+++∆= ∑ ∑∑∑

−− Ma

a

Ma

a

MM

llllxS0

1

1

1

10

. + 2

.. Ldmπ(37)

EXERCÍCIO 10.

Planificar e calcular o peso de uma interseção oblíqua tubular de diâmetros iguais, em

aço SAR 55, com os seguintes dados:

Diâmetro externo (d) = 780 mm.

Comprimento da peça receptora (L) = 1750 mm.

Espessura da chapa (e) = 3/16” (4,7625 mm).

Ângulo de inclinação entre os dutos (α ) = 55°.

Comprimento da linha menor da peça interceptora (h1) = 400 mm.

Solução:

dm = (d - e) = 780 – 4,7625 = 775,2375 mm.

Perímetro: P = π dm = 2435,4804 mm.

∆ x = nd

dm.π ≈ 100 mm.

100

.dmnd

π≈ ≈ 100

2375,775×π ≈ 24,92.

Como nd deve ser um número inteiro, neste caso, múltiplo de 4, opta-se por:

58

nd = 24.

O que dará 6 divisões por quadrante.

Definido o número de divisões (nd), encontra-se:

∆ x = nd

dm.π =

24

2375,775×π = 101,4784 mm.

Agora calculam-se os valores de x e monta-se o quadro:

Linha nº 0 1 2 3 4 5 6

x = 0 101,478 202,957 304,435 405,914 507,392 608,87

O próximo passo é descobrir os ângulos β e γ de acordo com as equações 29 e 30.

2

αβ = = 2

º55 = 27,5°.

γ = 90 - β = 90 – 27,5 = 62,5°.

Em seguida os demais valores da peça interceptora.

αtg

dmhh += 12 = °

−+55

7625,4780400

tg = 942,83 mm.

Diâmetro ( d ) = 780 β = 27,5Espessura ( e ) = 4,7625 γ = 62,5Inclinação ( α ) = 55 h 2 = 942,827

h 1 = 400

59

As linhas são calculadas conforme as equações 32 e 33.

de h1 até H.

º5,62.2375,775

0180sen)2375,775(400 2

0 tgl

×××+=

π = 400 mm.

º5,62.2375,775

4784,101180sen)2375,775(400 2

1 tgl

×××+=

π = 425,372 mm.

º5,62.2375,775

9567,202180sen)2375,775(400 2

2 tgl

×××+=

π = 499,759 mm.

º5,62.2375,775

4351,304180sen)2375,775(400 2

3 tgl

×××+=

π = 618,091 mm.

º5,62.2375,775

9134,405180sen)2375,775(400 2

4 tgl

×××+=

π = 772,304 mm.

º5,62.2375,775

3918,507180sen)2375,775(400 2

5 tgl

×××+=

π = 951,89 mm.

º5,62.2375,775

8701,608180sen)2375,775(400 2

6 tgl

×××+=

π = 1144,609 mm.

de h2 até H.

º5,27.2375,775

0180sen)2375,775(827,942 2

0 tgl a

×××+=

π = 942,827 mm.

º5,27.2375,775

4784,101180sen)2375,775(827,942 2

1 tgl a

×××+=

π = 949,703 mm.

º5,27.2375,775

9567,202180sen)2375,775(942,827 2

2 tgl a

×××+=

π = 969,861 mm.

º5,27.2375,775

4351,304180sen)2375,775(942,827 2

3 tgl a

×××+=

π = 1001,927 mm.

º5,27.2375,775

9134,405180sen)2375,775(942,827 2

4 tgl a

×××+=

π = 1043,72 mm.

60

º5,27.2375,775

3918,507180sen)2375,775(942,827 2

5 tgl a

×××+=

π = 1092,384 mm.

º5,27.2375,775

8701,608180sen)2375,775(942,827 2

6 tgl a

×××+=

π = 1144,609 mm.

A área da peça interceptora pode ser calculada pela equação:

+++∆= ∑ ∑∑∑

−− Ma

a

Ma

a

MM

llllxS0

1

1

1

10

.

S = ∆ x.[(l0 + l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6) + (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) + (l0a + l1a + l2a + l3a + l4a + l5a + l6a)

+ (l1a + l2a + l3a + l4a + l5a)]

Substituindo os valores, tem-se: S = 101,4784 × [(400 + 425,3719 + 499,7586+

618,0908+ 772,3043 + 951,8898 +1144,609) + (425,3719 + 499,7586+ 618,0908+ 772,3043

+ 951,8898) + (942,8271 + 949,7027 + 969,8607 + 1001,928 + 1043,718 + 1092,384 +

1144,609) + (949,7027 + 969,8607 + 1001,928 + 1043,718 + 1092,384)] = 2058190,12 mm2.

O peso teórico dá:

Pt = S. e. ρ . 10-6 = 2058190,116 × 4,7625 × 7,85 × 10-6 = 76,947 kgf.

Ou 754,59 N.

Monta-se então o quadro para a peça interceptora.

61

d = 780 h 1 400e = 4,7625 h 2 942,8271

α = 55 n d 24

β = 27,5 ∆ x 101,4784

γ = 62,5

x 0 0 l 0 400 l 0a 942,8271

x 1 101,4784 l 1 425,3719 l 1a 949,7027

x 2 202,9567 l 2 499,7586 l 2a 969,8607

x 3 304,4351 l 3 618,0908 l 3a 1001,928

x 4 405,9134 l 4 772,3043 l 4a 1043,718

x 5 507,3918 l 5 951,8898 l 5a 1092,384

x 6 608,8701 l 6 1144,609 l 6a 1144,609

Área = 2058190 mm²Peso teórico = 76,94672 kgf.

754,5896 N.

Para a peça receptora deve-se seguir os passos adiante:

Presume-se que: h1 = h2.

O cálculo pode ser realizado pela equação:

h1 + h2 = αsen

dL − (38)

h1 + h2 = °

−55sen

7801750 = 797,7958 mm.

h1 = h2 = 2

7958,797 = 398,9 mm.

62

Os cálculos das linhas são realizados da mesma forma que para a peça interceptora,

modificando apenas dm por d.

De h1 até H.

º5,62.2375,775

0180sen)780(9,398 2

0 tgl

×××+=

π = 398,8979 mm.

º5,62.2375,775

4784,101180sen)780(9,398 2

1 tgl

×××+=

π = 424,4257 mm.

°

×××+= 5,62.

2375,775

9567,202180sen7809,398 2

2 tglπ = 499,2694 mm.

º5,62.2375,775

4351,304180sen)780(9,398 2

3 tgl

×××+=

π = 618,3285 mm.

º5,62.2375,775

9134,405180sen)780(9,398 2

4 tgl

×××+=

π = 773,4894 mm.

º5,62.2375,775

3918,507180sen)780(9,398 2

5 tgl

×××+=

π = 954,1781 mm.

º5,62.2375,775

8701,608180sen)780(9,398 2

6 tgl

×××+=

π = 1148,081mm.

de h2 até H.

º5,27.2375,775

0180sen)780(9,398 2

0 tgl a

×××+=

π = 398,8979 mm.

º5,27.2375,775

4784,101180sen)780(9,398 2

1 tgl a

×××+=

π = 405,8157 mm.

º5,27.2375,775

9567,202180sen)780(98,93 2

2 tgl a

×××+=

π = 426,0976 mm.

º5,27.2375,775

4351,304180sen)780(98,93 2

3 tgl a

×××+=

π = 458,3614 mm.

º5,27.2375,775

9134,405180sen)780(398,9 2

4 tgl a

×××+=

π = 500,4085 mm.

63

º5,27.2375,775

3918,507180sen)780(398,9 2

5 tgl a

×××+=

π = 549,3733mm.

º5,27.2375,775

8701,608180sen)780(398,9 2

6 tgl a

×××+=

π = 601,9191mm.

A área da peça planificada é calculada por:

+++∆= ∑ ∑∑∑

−− Ma

a

Ma

a

MM

llllxS0

1

1

1

10

. + 2

.. Ldmπ

S = ∆ x. [(l0 + l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6) + (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) + (l0a + l1a + l2a + l3a + l4a + l5a +

l6a) + (l1a + l2a + l3a + l4a + l5a)] + 2

.. Ldmπ

Substituindo os valores, tem-se:

S = 101,4784 × [(398,8979 + 424,4257 + 499,2694 + 618,3285 + 773,4894 + 954,1781

+1148,081) + (424,4257 + 499,2694 + 618,3285 + 773,4894 + 954,1781) + (398,8979 +

405,8157 + 426,0976 + 458,3614 + 500,4085 + 549,3733 + 601,9191) + (405,8157 +

426,0976 + 458,3614 + 500,4085 + 549,3733)] + ( )

2

1750.7625,4780. −π =

3528127,394 mm2.

O peso teórico dá:

Pt = S. e. ρ . 10-6 = 3528127,394 × 4,7625 × 7,85 × 10-6 = 131,9012477 kgf.

Ou 1293,509371 N.

64

Em seguida monta-se o quadro:

e = 4,7625 h 2 398,8979

α = 55 n d 24

β = 27,5 ∆ x 101,4784

γ = 62,5 L 1750

x 0 0 l 0 398,89791 l 0a 398,8979

x 1 101,4784 l 1 424,425703 l 1a 405,8157

x 2 202,9567 l 2 499,269404 l 2a 426,0976

x 3 304,4351 l 3 618,328539 l 3a 458,3614

x 4 405,9134 l 4 773,489425 l 4a 500,4085

x 5 507,3918 l 5 954,178104 l 5a 549,3733

x 6 608,8701 l 6 1148,08094 l 6a 601,9191

Área = 3528127,39 mm²Peso teórico = 131,901248 kgf.

1293,50937 N.

Concluídos os cálculos é só desenhar as peças receptora e interceptora como a seguir.

Os números das linhas devem ser substituídos pelos valores calculados.

6a 5a 4a 3a 2a 1a 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a

1750

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

24 × 101,48 = 2435,5

65

6a 5a 4a 3a 2a 1a 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a

0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0

24 × 101,48 = 2435,5

As equações usadas para os cálculos de interseção oblíqua podem ser aplicadas para a

ortogonal, bastando não esquecer de usar α = 90°.

66

PLANIFICAÇÃO DE INTERSEÇÃO PERPENDICULAR CONCÊNTRICA DE

PEÇAS CILÍNDRICAS DE DIÂMETROS QUAISQUER

É muito comum interseção com peças tubulares de diâmetros distintos. A figura 24

mostra tal interseção, que só é possível quando a peça interceptora tem diâmetro menor que a

receptora.

d

D

Figura 24 – Desenho em três vistas de uma interseção perpendicular concêntrica de diâmetros distintos.

67

Para a planificação da peça interceptora segue os mesmos critérios das interseções.

0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 h H

x3

π dm

Figura 25 – Planificação da interceptora vista na figura 24.

O comprimento das linhas é calculado pela equação:

+=

2sen 2 θ

Dhl (39)

H = h + 2

22 dmDD −− (40)

=D

dm

xdm

.

360sen.

arcsenπθ (41)

D = diâmetro do tubo receptor.

d = diâmetro do tubo interceptor.

A área pode ser obtida pela equação:

+∆= ∑∑

−1

10

2MM

llxS (25)

Onde lM é a linha maior.

68

Como pode-se notar o ângulo θ depende da distância x. Assim ter-se-á θ1 para x1, θ2 para

x2, etc.

A medida x se obtém multiplicando o nº da linha desejada por ∆ x e ∆ x pela equação

20.

A montagem do quadro seguinte facilita a compreensão.

nº 0 1 2 3 4

x 0 ∆ x 1 ∆ x 2 ∆ x 3 ∆ x 4 ∆ xθl h H


O quadro 6 foi elaborado segundo a divisão mostrada na figura 25, fracionada em 16

partes iguais. A divisão porém pode ser feita por qualquer múltiplo de 4 pois será considerado

apenas um quadrante para facilitar os cálculos.

A equação 41 encontra o ângulo para qualquer valor de x mesmo que seja maior que o

comprimento do quadrante e, conseqüentemente, o valor de l será exato aplicando-se a

equação 39.

A figura 26 mostra as linhas de traçagem nos sentidos longitudinal e transversal.

Considera-se como longitudinal o perímetro do diâmetro da peça receptora.

Os comprimentos das linhas transversais são definidos por:

−=

dm

xdhl

.

360cos

2 π (42)

e das longitudinais:

69

−=

dm

x

Dm

dDmHl

.

360senarcsen

360

.

ππ

(43)

A peça receptora tem a seguinte configuração:

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 h

L

H

π Dm

Figura 26 – Planificação da receptora da figura 24.

A montagem do quadro facilita a compreensão:

nº 0 1 2 3 4

x 0∆ x 1∆ x 2∆ x 3∆ x 4∆ x

l transversal h - d /2 h

l longitudinal H


Para preencher o quadro 7 é bom lembrar que o perímetro (P) para determinar os

valores de x se refere ao diâmetro da peça interceptora.

70

Desejando-se pode ser usado processo cartesiano para o dimensionamento. Em tal caso

as medidas são dadas em pares coordenados (longitudinal, transversal) para cada ponto tendo

como referência os eixos de simetria da abertura.

Assim sendo a planificação fica da seguinte forma:

12 13 14 15 0 1 2 3

h

L

11 10 9 8 7 6 5 4

H

π Dm

Figura 27 – Peça receptora da figura 24 com planificação cartesiana.

Para a planificação cartesiana, cada ponto numerado deve apresentar cotas pares, sendo

a primeira longitudinal e a outra transversal. A separação das cotas pode ser feita por ponto e

vírgula. As equações para determinar os pontos são:

=

dm

x

Dm

dDma

.

360senarcsen

360

.

ππ

(44)

=

dm

xdb

.

360cos

2 π (45)

71

A cota a é a coordenada (longitudinal) e a b é a abscissa (transversal). As equações 44 e

45 podem ser utilizadas para qualquer quadrante. Valores negativos se referem a cotas abaixo

da linha de simetria longitudinal (cotas transversais) e à esquerda da transversal (cotas

longitudinais).

A figura 27 mostra 16 divisões mas o número pode ser qualquer múltiplo de 4, mesmo

para a opção pela figura 26.

nº 0 1 2 3 4 5 6 7

a 0

b d /2nº 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

Quadro 8 – Exemplo para preenchimento de dados para planificação cartesiana.

Pode-se também adotar o seguinte procedimento:

Determinar uma linha de simetria de referência (F) para as cotas x e dimensioná-las de

acordo com o número de identificação.

Neste caso deve-se adotar para determinar os valores de a pela equação 44 e os

comprimentos das linhas pela 42.

Para facilitar pode-se elaborar o seguinte quadro:

nº 0 1 2 3 4

x 0

y 0∆ x 1∆ x 2∆ x 3∆ x 4∆ x


72

Desta forma se terá a seguinte configuração:

c3

4 2 1 0 1 2 3 4 h

3

L

F

π Dm

Figura 28 – Planificação da peça receptora da figura 24.

A área é definida por:

L [(π Dm) – 2cmáx] + 2[(l0.c1 + l1.c2 + l2.c3 + l3.c4 + l4.c4) – (l2.c1 + l3.c2 + l4.c3)]

Para números de divisões acima de 4, deve-se aumentar a quantidade de conjugados

(l×c) mantendo a seqüência mostrada acima.

73

EXERCÍCIO 11.

Planificar e calcular o peso teórico de uma interseção perpendicular, concêntrica, com

os seguintes dados:

Diâmetro da peça receptora D = 1000 mm.

Diâmetro da peça interceptora d = 420 mm.

Comprimento da peça receptora L =1500 mm.

Altura menor da peça interceptora h = 300 mm.

Espessura da chapa e = 3/16”.

Material: ABNT 1010/20.

Começa–se pela peça interceptora.

A primeira coisa a fazer é determinar o valor de H, depois os de Δx, θ, os de l e

preencher o quadro.

H = h + 2

22 dmDD −− = 300 + ( )2

7625,442010001000 22 −−− = 345,1435 mm.

Cálculo do perímetro P:

P = π .dm = π (420 – 4,7625) = 1304,5 mm.

Conhecido o perímetro, determina-se um número de divisões para que ∆ x não fique

muito distante de 100 mm. Para isso basta voltar a vírgula duas casas decimais. O número de

74

divisões tem de ser inteiro e múltiplo de 4, assim escolhe-se nd = 16 (poderia ser 12 mas seria

um nº de divisões muito pequeno, isto afetaria a qualidade da traçagem da peça).

dd n

dm

n

Px

.π==∆ = ( )

16

7625,4420 −π = 81,53 mm.

=D

dm

xdm

.

360sen

arcsen1

πθ =

×

1000

5,1304

53,81360sen2375,415

arcsen = 9,1433°.

θ2 =

×

1000

5,1304

063,163360sen2375,415

arcsen = 17,0746°.

θ3 =

×

1000

5,1304

595,244360sen2375,415

arcsen = 22,5587°.

θ4 =

×

1000

5,1304

127,326360sen2375,415

arcsen = 24,5343°.

Os comprimentos das linhas:

+=

2

0sen1000300 2

0l = 300 mm.

+=

2

1433,9sen1000300 2

1l = 306,353 mm.

+=

2

074,17sen1000300 2

2l = 322,039 mm.

+=

2

559,22sen1000300 2

3l = 338,256 mm.

75

+=

2

534,24sen1000300 2

4l = 345,144 mm.

Área da peça interceptora:

+∆= ∑∑

−1

10

2MM

llxS

S = 2×81,532×(300+306,353+322,039+338,256+345,144+306,353+322,039+338,256)

= 420449 mm2.

Peso teórico:

Pt = S .e .ρ .10-6.

= 420449 × 4,7625 × 7,85 ×10-6 = 15,719 kgf.

d = 420 e = 4,7625 h = 300D = 1000 n d = 16

nº 0 1 2 3 4

x 0 81,53169 163,0634 244,5951 326,1268

θ 0 9,143316 17,07464 22,55868 24,53427

l 300 306,353 322,0385 338,2564 345,1435Área 420449 mm²

Peso teórico: 15,71875 kgf.154,1483 N.

Uma vez calculado, faz-se o desenho.

0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0

16 × 81,531 = 1304,5

Agora os cálculos da peça receptora.

Primeiro os cálculos referentes à figura 26.

Os comprimentos das linhas transversais são definidos por:

76

×××−=2375,415

0360cos

2

4207500 π

l = 540 mm.

×××−=

2375,415

532,81360cos

2

4207501 π

l = 555,985 mm.

×××−=

2375,415

063,163360cos

2

4207502 π

l = 601,508 mm.

×××−=

2375,415

595,244360cos

2

4207503 π

l = 669,637 mm.

×××−=

2375,415

127,326360cos

2

4207504 π

l = 750 mm.

d = 420 h = 750e = 4,7625 n d = 16

nº 0 1 2 3 4

x 0 81,53169 163,0634 244,5951 326,1268

l 540 555,9853 601,5076 669,6365 750

Caso h seja diferente de 2

L, as linhas devem ser enumeradas até

2dn

e os cálculos

continuados com a mesma equação, o que originarão dimensões superiores à h, completando

o circulo com comprimentos de linhas a partir de uma única referência.

Já as longitudinais, considerando H = 2

.Dmπ:

××××−=2375,415

0360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,995315,15630 π

πl = 1563,315 mm.

××××−=

2375,415

532,81360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,995315,15631 π

πl = 1482,526 mm.

××××−=

2375,415

063,163360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,995315,15632 π

πl = 1412,526 mm.

77

××××−=

2375,415

595,244360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,995315,15633 π

πl = 1364,015 mm.

××××−=

2375,415

127,326360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,995315,15634 π

πl = 1346,522 mm.

D = 1000 d = 420 n d = 16e = 4,7625 H = 1563,315 L = 1500

nº 0 1 2 3 4

x 0 81,5316925 163,0634 244,5951 326,1268

l 1563,315 1482,5984 1412,526 1364,015 1346,522

Caso H seja diferente de 2

.Dmπ, as linhas devem ser enumeradas até nd e os cálculos

continuados com a mesma equação, o que originarão dimensões superiores à H, completando

o circulo com comprimentos de linhas a partir de uma única referência.

Para a traçagem desta peça deve-se executar as linhas de ambos os lados para que a

elipse se complete. Se H for diferente da metade do perímetro, a traçagem será realizada a

partir de uma margem longitudinal e outra transversal.

A seguir o desenho da peça receptora.

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 750

1500

78

H = 1563,315

π Dm = 3126,63

A construção da receptora pelo processo cartesiano, (figura 27), requer os seguintes

cálculos:

Primeiro as coordenadas:

×××××=2375,415

0360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9950 π

πa = 0 mm.

×××××=

2375,415

532,81360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9951 π

πa = 80,717 mm.

×××××=

2375,415

063,163360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9952 π

πa = 150,789 mm.

×××××=

2375,415

595,244360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9953 π

πa = 199,3 mm.

×××××=

2375,415

127,326360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9954 π

πa = 216,793 mm.

E assim sucessivamente até o ponto 15 (o ponto 16 seria idêntico ao zero).

Depois as abscissas:

×××=2375,415

0360cos

2

4200 π

b = 210 mm.

79

×××=

2375,415

532,81360cos

2

4201 π

b = 194,015 mm.

×××=

2375,415

063,163360cos

2

4202 π

b = 148,492 mm.

×××=

2375,415

595,244360cos

2

4203 π

b = 80,3635 mm.

×××=

2375,415

127,326360cos

2

4204 π

b = 0 mm.

E assim sucessivamente até o ponto 15 (o ponto 16 é idêntico ao zero).

Em seguida preenche-se o quadro e efetua-se o desenho.

D = 1000 d = 420 e = 4,7625 n d = 16

Ponto nº 0 1 2 3 4 5 6 7

x 0 81,5317 163,063 244,595 326,127 407,658 489,19 570,722

a 0 80,717 150,789 199,3 216,793 199,3 150,789 80,717

b 210 194,015 148,492 80,3635 1,3E-14 -80,364 -148,49 -194,01

Ponto nº 8 9 10 11 12 13 14 15

x 652,25 733,785 815,317 896,849 978,38 1059,91 1141,44 1222,98

a 3E-14 -80,717 -150,79 -199,3 -216,79 -199,3 -150,79 -80,717

b -210 -194,01 -148,49 -80,364 -4E-14 80,3635 148,492 194,015

12 13 14 15 0 1 2 3

h

L

11 10 9 8 7 6 5 4

H

80

π Dm = 3126,63

Desejando os cálculos conforme a figura 28, é necessário utilizar os processos:

Calcular os valores de c e de l, preencher o quadro e desenhar a peça.

Logo:

×××××=2375,415

0360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9950 π

πc = 0 mm.

×××××=

2375,415

532,81360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9951 π

πc = 80,717 mm.

×××××=

2375,415

063,163360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9952 π

πc = 150,789 mm.

×××××=

2375,415

595,244360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9953 π

πc = 199,3 mm.

×××××=

2375,415

127,326360sen

2375,995

420arcsen

360

2375,9954 π

πc = 216,793 mm.

e

×××−=2375,415

0360cos

2

4207500 π

l = 540 mm.

×××−=

2375,415

532,81360cos

2

4207501 π

l = 555,985 mm.

×××−=

2375,415

063,163360cos

2

4207502 π

l = 601,508 mm.

×××−=

2375,415

595,244360cos

2

4207503 π

l = 669,637 mm.

81

×××−=

2375,415

127,326360cos

2

4207504 π

l = 750 mm.

A área é definida por:

L [(π Dm) – 2cmáx] + 2[(l0.c1 + l1.c2 + l2.c3 + l3.c4 + l4.c4) – (l2.c1 + l3.c2 + l4.c3)] =

1500 [(π × 995,2375) – 2×216,793] + 2[(540×80,717 + 555,985×150,789 + 601,508×199,3

+ 669,637×216,793 + 750×216,793) – (601,508×80,717 + 669,637×150,789+750×199,3)] =

4551708 mm2.

D = 1000 d = 420 e = 4,7625n d = 16 h 750 L = 1500

nº 0 1 2 3 4

x 0 81,53169 163,0634 244,5951 326,1268

c 0 80,717 150,789 199,3 216,793l 540 555,9853 601,5076 669,6365 750

Área: 4551708 mm².Peso: 170,1685 kgf.

1668,783 N.

c3

4 2 1 0 1 2 3 4 h

3

L

F

82

π Dm

PLANIFICAÇÃO DE INTERSEÇÃO PERPENDICULAR EXCÊNTRICA DE PEÇAS

CILÍNDRICAS DE DIÂMETROS QUAISQUER

d

h

H

D

83

a

Figura 29 – Interseção perpendicular de diâmetros distintos em posição qualquer.

A figura 29 mostra um duto com uma interseção perpendicular tangente. Esta é uma

situação limite. A medida a pode ter qualquer valor dentro de:

0 (zero) ≤ a ≤ 2

dD −

A peça interceptora é mostrada pela figura 30 e tem a seguinte configuração:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0

x3

π .dm

Figura 30 – Planificação da interceptora da figura 20.

84

Como a peça da figura 30 mostra a planificação de uma interceptora na extremidade

(tangente) da receptora, a linha 8 é a mesma linha H. Todavia as equações apresentadas

servem para quaisquer valores de a dentro de seus limites admissíveis. Para encontrar os

valores de x basta dividir o perímetro pelo número de divisões (no caso apresentado são 16

divisões).

O valor de cada linha pode ser calculado por:

22

.

360cos

22

−

−

−= a

dm

xdDHl

π(46)

A equação 46 pode ser utilizada para quaisquer interseções perpendiculares.

Quando se tratar de casos como o da figura 17, basta considerar D = d, e a = 0. A

diferença é que a primeira linha será a H, mas é só colocar na seqüência desejada que tudo

estará correto.

A equação 36 também pode ser substituída bastando anular o valor de a (a = 0).

O quadro 2 pode ser utilizado para preencher os dados calculados para esta peça.

A área da peça interceptora é calculada pela equação 25

A peça receptora apresenta o seguinte aspecto:

y4

0 2 3 4 5 6 7 8

1 C

85

Figura 31 – Planificação da peça receptora da figura 29.

Para a planificação da peça mostrada na figura 31 deve-se observar que as medidas x

não são regulares como nas vistas anteriormente, mas sim o afastamento a partir da linha de

simetria π. dm/2 (ou outro escolhido) e não da linha de simetria da peça interceptora. Os

valores negativos para x mostram as cotas à direita da linha de simetria.

A equação seguinte pode ser usada para qualquer ângulo do contorno do recorte, mas

basta que seja limitado aos 180o pois do outro lado cota-se em espelho.

−−

−

=D

da

Ddm

xda

Dmy

2arcsen

.

360cos2

arcsen360

. ππ(47)

O comprimento das linhas enumeradas de 0 a 8 são determinados por:

−=

dm

xdCl

.

360sen

2 π (48)

As linhas posteriores à 4 seguem valores simétricos e continuando os cálculos após x8

obtém-se os valores para a construção da curva em espelho, porém partindo de um mesmo

ponto de referência.

Para esta peça o preenchimento do quadro seguinte facilita o trabalho:

86

nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 0∆ x 1∆ x 2∆ x 3∆ x 4∆ x 5∆ x 6∆ x 7∆ x 8∆ x

ylnº 9 10 11 12 13 14 15 16x 9∆ x 10∆ x 11∆ x 12∆ x 13∆ x 14∆ x 15∆ x 16∆ x

yl


EXERCÍCIO 12.

Calcular a planificação de uma interseção, em aço, com os seguintes dados:

Diâmetro da peça receptora D = 1127 mm.

Diâmetro da peça interceptora d = 432 mm.

Altura do centro da receptora à borda da interceptora H = 800 mm.

Comprimento da receptora L = 1600 mm.

Afastamento entre os centros a = 200 mm.

Espessura da chapa e = 1/4" (6,35 mm).

Peça interceptora:

dm = d – e = 432 – 6,35 = 425,35 mm.

P = π dm = π × 425,35 = 1337,22 mm.

nd ≈ 100

P ≈

100

22,1337 ≈ 13,37 divisões.

87

Para não ficar um nº de divisões muito pequeno adota-se o múltiplo de 4 logo acima de

13, que dará 16 divisões. Escolhido o nº de divisões, acha-se o valor de ∆ x.

∆ x = nd

dm.π =

16

22,1337 = 83,576 mm.

E em seguida os cálculos para os comprimentos das linhas conforme a equação 46.

22

0 20022,1337

0360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 236,73 mm.

22

1 20022,1337

576,83360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 236,5 mm.

22

2 20022,1337

152,167360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 238,49 mm.

22

3 20022,1337

729,250360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 248,85 mm.

22

4 20022,1337

305,334360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 273,19 mm.

22

5 20022,1337

881,417360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 312,52 mm.

22

6 20022,1337

457,501360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 360,56 mm.

88

22

7 20022,1337

033,585360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 402,65 mm.

22

8 20022,1337

609,668360cos

2

432

2

1127800

−

××−

−=l = 419,9 mm.

Preenche-se o quadro e efetua-se o desenho.

D = 1127 d = 432 e = 6,35 n d = 16

H = 800 L = 1600 a = 200 ∆ x = 83,5762

n° 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 0 83,5762 167,152 250,729 334,305 417,881 501,457 585,033 668,609

l 236,727 236,5 238,486 248,853 273,187 312,521 360,557 402,652 419,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0

16 × 83,576 = 1337,22

Meia peça ampliada:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Para planificar a peça receptora deve-se encontrar os valores de y (equação 47), em

seguida calcular os comprimentos das linhas l (equação 48).

Com a equação 47, tem-se:

89

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

0360cos4322002

arcsen360

65,11200

ππy = 0 mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

576,83360cos4322002

arcsen360

65,11201

ππy =16,35

2 mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

15,167360cos4322002

arcsen360

65,11202

ππy =62,97

mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

73,250360cos4322002

arcsen360

65,11203

ππy =133,4

5 mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

3,334360cos4322002

arcsen360

65,11204

ππy =219,22

mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

88,417360cos4322002

arcsen360

65,11205

ππy =310,3

4 mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

46,501360cos4322002

arcsen360

65,11206

ππy =394,9

mm.

90

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

03,585360cos4322002

arcsen360

65,11207

ππy =457,5

4 mm.

−×−

×××−×

×=1127

4322002arcsen

1127

65,425

61,668360cos4322002

arcsen360

65,11208

ππy =481,2

4 mm.

Com a equação 48:

Considerando C =2

L, = 800 mm, tem-se:

×××−=

65,425

0360sen

2

4328000 π

l = 800 mm.

×××−=

65,425

576,83360sen

2

4328001 π

l = 717,34 mm.

×××−=

65,425

152,167360sen

2

4328002 π

l = 647,27 mm.

×××−=

65,425

73,250360sen

2

4328003 π

l = 600,44 mm.

×××−=

65,425

305,334360sen

2

4328004 π

l = 584 mm.

×××−=

65,425

881,417360sen

2

4328005 π

l = 600,44 mm.

×××−=

65,425

457,501360sen

2

4328006 π

l = 647,27 mm.

×××−=

65,425

03,585360sen

2

4328007 π

l = 717,34 mm.

91

×××−=

65,425

609,668360sen

2

4328008 π

l = 800 mm.

Preenche-se o quadro:

D = 1127 d = 432 e = 6,35n d = 16 a = 200 C = 800

nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 0 83,5762 167,152 250,73 334,305 417,881 501,457 585,03 668,609

y 0 16,3515 62,9659 133,45 219,217 310,342 394,903 457,54 481,241

l 800 717,34 647,265 600,44 584 600,442 647,265 717,34 800


E efetua-se o desenho:

y4 = 219,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 800

Detalhe ampliado.

92

l0

l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8

y6

PLANIFICAÇÃO DE TRANSIÇÃO

Transição é um duto que apresenta diferentes formas de seção transversal em cada

extremidade. Serão estudados neste compêndio apenas os tipos mais comuns.

93

PLANIFICAÇÃO DE TRANSIÇÃO QUADRADA/REDONDA CONCÊNTRICA

Este é o tipo mais conhecido e construído de transição.

d 0 1 2 1 0

h

a

2 1 0 1 2

1

0

1 C θ

Figura 32 – Transição quadrada para redonda concêntrica.

A figura 32 mostra um dos mais comuns tipos de transição. A construção é por meio de

dobramento sucessivo de chapas. As linhas são enumeradas para tornar mais fácil a

compreensão e a planificação do sólido. A figura mostrada apresenta quatro dobras em cada

quadrante, perfazendo um total de cinco linhas. Por ser a peça concêntrica as linhas possuem

94

simetria no quadrante e os quadrantes, também, são simétricos. Daí a necessidade de

dimensionar apenas as linhas 0, 1 e 2 do sólido em vez das 16 divisões da circunferência.

Número de Divisões da Circunferência (nd).

O círculo deve ser dividido em números inteiros para cada quadrante e não pode ser um

número qualquer, deve ser calculado para evitar ocorrência de frestas e de trabalho excessivo

para a confecção do sólido geométrico.

Cmáx θmáx

Figura 33 – Detalhe de montagem de uma peça cilíndrica sobre a transição.

A figura 33 mostra um detalhe de montagem de uma peça tubular cilíndrica

(sombreada) com a parte circular da transição. Nota-se que a parte que deveria ser cilíndrica

na transição, na realidade é uma sucessão de retas. As retas devem tangenciar o cilindro em

sua metade enquanto que sua extremidade não deve avançar além da metade da espessura da

95

chapa. Para satisfazer este quesito tanto o ângulo θ quanto a medida C são limitados pelas

equações:

dmeCmáx ..4= (49)

=

d

dmemáx

..4arcsen2θ (50)

Uma vez calculado o θmáx encontra-se o número de divisões (nd) que deve ser um

número inteiro obedecendo a equação:

máx

ndθ90≤ (51)

O número de linhas (nl ) obtém-se por: nl = nd + 1

O valor de θ obtém-se por:

nd

90=θ (52)

A transição é, na maioria das vezes, desenvolvida em duas metades. Se tratando de

peças de grande porte costume-se construir quadrantes em vez da metade. Tal procedimento

facilita a conformação mas aumenta a quantidade de solda, o que onera o custo de produção.

A planificação da meia peça fica da seguinte forma:

C

f 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0

96

am/2

am

Figura 35 – Planificação de meia peça da figura 23.

am = a – e (53)

=

2sen

θdC (54)

( ) 22

2h

daF +

−= (55)

( ) ( ) ( ) ( )γγ cossen...2242

1 222 +−++= dmamdmamhl (56)

Para facilitar monta-se o quadro:

linha nº 0 1 2

γ 0 x θ 1 x θ 2 x θ

l


Se o quadrante tiver 5 divisões serão calculadas as linhas 0, 1 e 2 que ficarão dispostas

no desenho com a seqüência: 0, 1, 2, 2, 1, 0. (Cinco divisões → 6 linhas).

Sendo seis divisões, a seqüência fica: 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0; o que força o cálculo de 3

linhas, e assim sucessivamente.

EXERCÍCIO 13.

97

Planificar uma transição quadrada para redonda concêntrica em aço ABNT 1010/20,

com espessura = ¼”, conforme desenho e dados abaixo.

Φ 622

840

1180

C θ

O primeiro passo é determinar o número de divisões em cada quadrante da transição.

Deve-se considerar que o número de divisões deve ser um número inteiro e que, sendo esta

transição quadrada para redonda concêntrica, os quadrantes serão simétricos. Daí a

necessidade de dimensionar apenas algumas das linhas de dobra.

O ângulo θ e a medida C são limitados pelas equações:

dmeCmáx ..4=

98

=

d

dmemáx

..4arcsen2θ

( )35,662235,64 −×=máxC = 125,05 mm.

e

( )

−×=

622

35,662235,64arcsen.2máxθ = 23,196°.

O que dará, de acordo com os dados fornecidos (clicar duas vezes sobre o quadro e

preencher ou substituir os dados em negrito):

espessura: 6,35 mm.

diâmetro: 622 mm.

Cmáx = 125,05 mm.

θ máx = 23,19616 graus.



máxmínnd

θ90

)( = → ( ) 19616,23

90=mínnd = 3,88.

O que nos leva a escolher nd igual a 4 divisões no quadrante.

O número de linhas (nl ) obtém-se por: nl = nd + 1 = 4 + 1 = 5 linhas.


nd

90=θ = 4

90 = 22,5 graus.

99

Definido o valor de θ...

=

2sen

θdC =

2

º5,22sen622 = 622.sen11,25º = 121,35 mm.

am = a – e = 1180 - 6,35 = 1173,65 mm.

am/2 = 586,825 mm.

( ) 22

2h

daf +

−= = ( ) 2

2

8402

6221180 +

−

Para calcular os comprimentos de linha de dobra, estas devem ser enumeradas como

visto na apostila e tal número deve ser multiplicado por θ. Este será o ângulo para o cálculo

das linhas.

ângulo θ = 22,5 graus

linha nº 0 1 2ângulo de dobra γ 0 22,5 45

Os cálculos dos comprimentos das linhas de dobra são realizados pela equação:

( ) ( ) ( ) ( )γγ cossen..2242

1 222 +−++= dmamdmamhl

Como se pode ver, na equação acima, somente os ângulos são variáveis. Desta forma

efetua-se um cálculo para cada linha variando apenas o ângulo γ .

100

( ) ( ) ( ) ( )º0cosº0sen65,61565,1173265,61565,1173284042

1 2220 +×××−++=l

( ) ( ) ( ) ( )º5,22cosº5,22sen65,61565,1173265,61565,1173284042

1 2221 +×××−++=l

( ) ( ) ( ) ( )º45cosº45sen65,61565,1173265,61565,1173284042

1 2222 +×××−++=l

O que dará (clicar duas vezes sobre o quadro e preencher ou substituir os dados em

negrito):

a = 1180 d = 622 e = 6,35h = 840 n d = 4

a m = 1173,65 dm = 615,65 Cmáx = 125,05a m / 2 = 586,825 θ = 22,5 C = 121,3462

n º 0 1 2 f

γ 0 22,5 45 885,122l 1061,981 1008,489 989,0187

Meia peça Peça inteiraÁrea: 1502758 mm² 3005516 mm²

Peso: 74,90872 kgf. 149,8174 kgf.734,6036 N. 1469,207 N.

Este quadro mostra o dimensionamento e o peso teórico de uma transição com nd = 4.

A planificação da meia peça fica da seguinte forma:

l0= 1061,98.

C = 121,35 l1 = 1008,49.

f = 885,12 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 l2 = 989,02.

101

am/2

= 586,825

am = 1173,65

Se o quadrante tiver 5 divisões serão calculadas as linhas 0, 1 e 2 que ficarão dispostas

no desenho com a seqüência: 0, 1, 2, 2, 1, 0. (Cinco divisões → 6 linhas).

Sendo seis divisões, a seqüência fica: 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0; o que força o cálculo de 3

linhas, e assim sucessivamente.

Se a peça do exercício tivesse o nº de divisões do quadrante maior que 4, apresentaria as

seguintes opções:

a = 1180 d = 622 e = 6,35h = 840 n d = 5

a m = 1173,65 dm = 615,65 Cmáx = 125,05a m / 2 = 586,825 θ = 18 C = 97,30224

n º 0 1 2 f

γ 0 18 36 885,122l 1061,981 1016,782 992,193699


Peso: 74,92507 kgf. 149,8501 kgf.734,7639 N. 1469,528 N.

102

a = 1180 d = 622 e = 6,35h = 840 n d = 6

a m = 1173,65 dm = 615,65 Cmáx = 125,05a m / 2 = 586,825 θ = 15 C = 81,18729

n º 0 1 2 3 f

γ 0 15 30 45 885,122l 1061,981 1023,039 997,781217 989,0187


Peso: 74,93414 kgf. 149,8683 kgf.734,8529 N. 1469,706 N.

a = 1180 d = 622 e = 6,35h = 840 n d = 7

a m = 1173,65 dm = 615,65 Cmáx = 125,05a m / 2 = 586,825 θ = 12,8571429 C = 69,6419

n º 0 1 2 3 f

γ 0 12,85714 25,7142857 38,57143 885,122l 1061,981 1027,848 1003,4089 990,6415

17236,8821Meia peça Peça inteira

Área: 1503379 mm² 3006758 mm²

Peso: 74,93968 kgf. 149,8794 kgf.734,9072 N. 1469,814 N.

a = 1180 d = 622 e = 6,35h = 840 n d = 8

a m = 1173,65 dm = 615,65 Cmáx = 125,05a m / 2 = 586,825 θ = 11,25 C = 60,96666

n º 0 1 2 3 4 f

γ 0 11,25 22,5 33,75 45 885,122l 1061,981 1031,632 1008,4889 993,96946 989,0187

29628,896 30109,986Meia peça Peça inteira

Área: 1503452 mm² 3006903,1 mm²

Peso: 74,9433 kgf. 149,8866 kgf.734,9427 N. 1469,8854 N.

103

Como já visto a planificação é realizada, na maioria das vezes, em duas metades. Para

traçar uma destas metades deve-se observar os seguintes passos:

1- Traçar uma linha contínua próxima da margem da chapa.

2- Puncionar sobre a linha um ponto distante am/2 da margem e outro ponto com a

medida am. Estes são os pontos focais.

3- Abrir o cintel com a medida l0 e traçar, centrado nos pontos focais, dois raios cruzando

no meio. Puncionar onde os raios se cruzarem.

104

4- Traçar duas retas ligando o cruzamento dos raios aos pontos focais.

4- Abrir o cintel com as medidas l1 e l2 traçando os respectivos raios centrados nos pontos

focais.

0

105

1

2

5- Abrir um compasso com a medida C e, tendo como centro o puncionado da

confluência dos raios zero, traçar um raio cruzando o raio 1 para cada lado. Puncionar

os cruzamentos.

0

1

2

6- Ligar com linhas retas as confluências dos raios zero com as do raio C com o raio 1 e

desta ao ponto focal correspondente.

0

1

106

2

7- Traçar o raio C ligando os raios 1 com o 2, puncionar e ligar com um traço estes

pontos e ao ponto focal.

0

1

2

8- Traçar o raio C ligando o raio 2 ao raio 1, puncionar e repetir a operação ligando o

raio 1 ao raio zero. Isto deve ser realizado para ambos os lados. Traçar linhas ligando os

puncionados entre si e ao ponto focal.

0

1

2

107

9- Abrir o cintel com a medida am/2 e traçar um raio de cada lado centrados nos pontos

focais.

10- Abrir o cintel com a medida f e, centrado no puncionado externo do raio zero, traçar

um raio que cruze o am/2 em cada lado da peça. Puncionar os cruzamentos e traçar linhas

unindo aos pontos que foram os centros dos raios.

108

Seguindo estes passos a meia peça estará pronta para seguir para os processos de corte e

conformação.

PLANIFICAÇÃO DE TRANSIÇÃO QUADRADA/REDONDA ASSIMÉTRICA.

A construção deste tipo de transição segue os mesmos princípios da concêntrica, porém

deve-se observar as distâncias entre as linhas de simetria da seção circular e o canto do

quadrante respectivo de onde se originam as linhas de dobra.

109

Não havendo concentricidade, pode ou não existir simetria. Caso haja simetria os

cálculos ficam mais simplificados, porém o que será mostrado a respeito atende a qualquer

situação, seja concêntrica ou não, com ou sem simetria.

d 4 3 2 1 0 19 18 17

16

15

h

I II

b a

2 3 4 5 6 7 8 9

1

0 10

19 11

18 12

17 C θ

16 g

15 14 13

Figura 35 – Transição quadrada para redonda assimétrica

A figura 35 mostra uma transição quadrada para redonda assimétrica. As equações

utilizadas para sua planificação podem ser usadas para quaisquer tipos de planificação de

transições quadradas ou retangulares para redonda.

Pode-se notar uma diferença inicial que as linhas de dobra são distintas, não havendo

imagens em espelho como ocorre nas concêntricas e nas simétricas.

110

A planificação é realizada em duas peças e, como são assimétricas, possuirão linhas de

dobra que devem ser calculadas uma a uma. As equações para as linhas de dobra também são

diferentes para cada quadrante.

C

j f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I

a-g-e/2

1o am 2o

Figura 36 – Planificação da parte I da transição quadrada para redonda assimétrica

C

j

f 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

111

II

g-e/2

3o am 4o

Figura 37 – Planificação da parte II da transição quadrada para redonda assimétrica

Nas figuras 36 e 37 estão marcados os pontos de convergência das linhas de dobra com

os respectivos números dos quadrantes de referência. Não se deve esquecer que as linhas de

dobra ficarão na parte interna da peça.

As equações para as cotas f e j dependem apenas da linha de emenda das peças,

enquanto as linhas de dobra dependem do quadrante considerado.

22

2h

dbf +

−= (57)

22

2h

dbaj +

−−= (58)

112


1o (59)

2o (60)

3o (61)

4o (62)

Para determinar a cota C usam-se as equações 49 a 54.

EXERCÍCIO 14.

Planificar uma transição quadrada para redonda concêntrica em aço ABNT 1010/20, com

espessura = 3/16”, conforme desenho e dados abaixo.

113

Ø 815

1200

I II

600 1600

C θ

700

A planificação é realizada em duas peças e, como são assimétricas, possuirão linhas de

dobra que devem ser calculadas uma a uma. As equações para as linhas de dobra também são

diferentes para cada quadrante.

O primeiro passo é determinar o número de divisões em cada quadrante da transição.

Deve-se considerar que o número de divisões deve ser um número inteiro e que, sendo esta

transição quadrada para redonda assimétrica, os quadrantes serão assimétricos. Daí a

necessidade de dimensionar todas as linhas de dobra.

Com a equações 49 a 54 determina-se C, nd e θ .

114

dmeCmáx ..4=

=

d

dmemáx

..4arcsen2θ

( )7625,48157625,44 −××=máxC = 124,24 mm.

e

( )

−××=

815

7625,48157625,44arcsen2máxθ = 17,537°.

O que dará, de acordo com os dados fornecidos (clicar duas vezes sobre o quadro e

preencher ou substituir os dados em negrito):

espessura: 4,7625 mm.

diâmetro: 815 mm.

Cmáx = 124,2378 mm.

θ máx = 17,53659 graus.



máxmínnd

θ90

)( = → ( ) 537,17

90=mínnd = 5,132.




115

nd

90=θ = 6

90 = 15 graus.


=

2sen

θdC =

×

2

º15sen815 = 815×sen7,5º = 106,38 mm.

Em seguida calcula-se as demais dimensões.

am = a – e = 1600 - 4,7625 = 1595,2375 mm.

am/2 = 797,61875 mm.

22

2h

dbf +

−= = ( ) 2

2

12002

815600 +

− = 1215,342 mm.

22

2h

dbaj +

−−= = 2

2

)1200(2

8156001600 +

−− = 1338,3 mm.



das linhas(γ ).

ângulo θ = 15 graus

linha nº 0 1 2 3ângulo de dobra γ 0 15 30 45

116

Os cálculos dos comprimentos das linhas de dobra para o primeiro quadrante são

realizados pela equação:

222

sen22

cos22

hdme

gadme

bal +

−−−+

−−−= γγ

222

0 12000sen2

2375,810

2

7625,470016000cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

222

1 120015sen2

2375,810

2

7625,4700160015cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

222

2 120030sen2

2375,810

2

7625,4700160030cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

222

3 120045sen2

2375,810

2

7625,4700160045cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

222

4 120060sen2

2375,810

2

7625,4700160060cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

222

5 120075sen2

2375,810

2

7625,4700160075cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

222

6 120090sen2

2375,810

2

7625,4700160090cos

2

2375,810

2

7625,46001600 +

°−−−+

°−−−=l

Os cálculos dos comprimentos das linhas de dobra para o segundo quadrante, são

realizados pela equação:

222

sen22

cos22

hdme

bdme

gal +

−−+

−−−= γγ

117

222

7 12000sen2

2375,810

2

7625,46000cos

2

2375,810

2

7625,47001600 +

°−−+

°−−−=l

222

9 120030sen2

2375,810

2

7625,460030cos

2

2375,810

2

7625,47001600 +

°−−+

°−−−=l

222

10 120045sen2

2375,810

2

7625,460045cos

2

2375,810

2

7625,47001600 +

°−−+

°−−−=l

222

11 120060sen2

2375,810

2

7625,460060cos

2

2375,810

2

7625,47001600 +

°−−+

°−−−=l

222

12 120075sen2

2375,810

2

7625,460075cos

2

2375,810

2

7625,47001600 +

°−−+

°−−−=l

222

13 120090sen2

2375,810

2

7625,460090cos

2

2375,810

2

7625,47001600 +

°−−+

°−−−=l

Com os dados calculados preenche-se o quadro e efetua-se o desenho.

a = 1600 d = 815 e = 4,7625 n d = 6b = 600 g = 700 h = 1200 θ = 15

a m = 1595,2375 d m = 810,2375 C = 106,3788

γ0 γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 γ6

0 15 30 45 60 75 90 graus

Peça I Peça II

n º l n º l n º l n º lj = 1338,3035 7 1428,182 f = 1215,342 21 1587,7030 1611,45142 8 1392,538 14 1401,331 22 1526,7131 1560,79565 9 1376,603 15 1354,228 23 1480,6662 1530,17196 10 1382,147 16 1321,356 24 1454,2333 1522,91035 11 1408,547 17 1306,089 25 1450,3114 1539,83213 12 1452,942 18 1310,086 26 1469,3465 1579,04259 13 1510,886 19 1332,907 27 1509,2146 1636,39831 f = 1215,342 20 1372,117 j = 1338,303

a-g-e/ 2 = 897,6 g-e/2 = 697,6

Área I: 3067521,34 mm² Área II: 2657654 mm²Peso I: 114,681202 kgf. Peso II: 99,35807 kgf.

1136,10653 N. 984,3056 N.

Área total: 5725176 mm²Peso total: 214,0393 kgf.

2120,412 N.

118

106,38

1338,3 0 1 2 3 4 5 6 10 1112 13

7 8 9 1215,3

897,6

1595,2

O desenho anterior se refere às linhas j, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, f, (a-g-

e/2), am/2, e as linhas C. A traçagem desta peça segue os mesmos princípios que foram

mostrados no exercício 13 observando porém que a numeração das linhas é diferente.

106,38

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1215,3 1338,3

697,6 1595,2

Planificação da parte II da transição quadrada para redonda assimétrica

O quadro abaixo é para planificação quando nd = 4.

119

a = 1600 d = 815 e = 4,7625 n d = 4b = 600 g = 700 h = 1200 θ = 22,5

a m = 1595,2375 d m = 810,2375 C = 158,9986

γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 4

0 22,5 45 67,5 90 graus

Peça I Peça II

n º l n º l n º l n º lj = 1338,3035 5 1428,182 f = 1215,342 15 1587,7030 1611,45142 6 1381,943 10 1401,331 16 1501,4991 1542,71993 7 1382,147 11 1335,769 17 1454,2332 1522,91035 8 1428,746 12 1306,089 18 1457,0353 1556,86689 9 1510,886 13 1319,254 19 1509,2144 1636,39831 f = 1215,342 14 1372,117 j = 1338,303

a-g-e/ 2 = 897,6 g-e/2 = 697,6

Área I: 3066537,82 mm² Área II: 2621123 mm²Peso I: 114,644433 kgf. Peso II: 97,99233 kgf.

1135,74227 N. 970,7757 N.

Área total: 5687661 mm²Peso total: 212,6368 kgf.

2106,518 N.

PLANIFICAÇÃO DE TRANSIÇÃO RETANGULAR PARA REDONDA

CONCÊNTRICA

Este sólido se assemelha ao representado pela figura 32. A diferença é que a base é um

retângulo e não um quadrado. A concentricidade faz com que haja uma linha de simetria no

centro de cada meia-peça. A existência de cotas em espelho simplifica o processo de

planificação.

Para determinar o número de dobras recorre-se às equações 49 a 54.

d

120

h

a b

2 3 4

1

0

C θ

Figura 38 – Transição retangular para redonda concêntrica.

Analisando a figura 38 pode-se determinar o plano de emenda para a peça representada.

Há de se levar em conta a capacidade da prensa dobradeira assim como o volume de solda

para proceder a união. No exemplo da figura 38 foi escolhido a linha de simetria mostrada

horizontalmente para a emenda e as linhas de dobra foram enumeradas de 0 (zero) a 4. Como

se trata de transição concêntrica as metades apresentam cotas em espelho que facilita o

desenvolvimento da planificação. Cada metade apresenta a seguinte imagem:

C

0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 f

121

bm/2

am

Figura 39 – Planificação de meia peça da figura 38.

Para determinar a cota C usam-se as equações 49 a 54. As demais cotas são definidas

por:

22

2h

daf +

−= (63)

( ) ( ) 222 2cos.sen.4

1hdmamdmbml +−+−= γγ (64)

EXERCÍCIO 15.

Planificar e calcular o peso de uma transição, em aço ASTM A-36, com os seguintes

dados:

Comprimento A = 1200 mm.

Largura B = 800 mm.

Diâmetro d = 490 mm.

Altura h = 1000 mm.

Espessura e = 3/16” = 4,7625 mm.

122

Como para qualquer transição, começa-se por determinar o nº de divisões por quadrante

da peça (nd). Recorre-se às equações 49 a 54.

dmeCmáx ..4=

=

d

dmemáx

..4arcsen2θ

( )7625,44907625,44 −××=máxC = 96,14 mm.

e

( )

−××=

490

7625,44907625,44arcsen2máxθ = 22,63°.


diâmetro: 490 mm.

Cmáx = 96,14455 mm.

θ máx = 22,63123 graus.

máxmínnd

θ90

)( = → ( ) 631,22

90=mínnd = 3,977.




nd

90=θ = 4

90 = 22,5 graus.


123

=

2sen

θdC =

×

2

º5,22sen490 = 490×sen11,25º = 95,594 mm.

As demais dimensões são calculadas pelas equações 63 e 64.

22

2h

daf +

−= = ( ) 2

2

10002

4901200 +

− = 1061,14 mm.

( ) ( ) 222 4cos.sen.2

1hdmamdmbml +−+−= γγ

( ) ( ) 2220 )1000(40cos.2375,4852375,11950sen.2375,4852375,795

2

1 +°−+°−=l

( ) ( ) 2221 )1000(45,22cos.2375,4852375,11955,22sen.2375,4852375,795

2

1 +°−+°−=l

( ) ( ) 2222 )1000(445cos.2375,4852375,119545sen.2375,4852375,795

2

1 +°−+°−=l

( ) ( ) 2223 )1000(45,67cos.2375,4852375,11955,67sen.2375,4852375,795

2

1 +°−+°−=l

( ) ( ) 2224 )1000(490cos.2375,4852375,119590sen.2375,4852375,795

2

1 +°−+°−=l

124

a = 1200 b = 800 d = 490e = 4,7625 h = 1000 n d = 4

a m = 1195,2375 b m = 795,2375 d m = 485,2375

C = 95,5942578 f = 1061,143

n º 0 1 2 3 4

γ 0 22,5 45 67,5 90

l 1133,19269 1110,119 1110,24 1133,528 1175,233

Meia peça Peça inteira

Área = 1439804,41 mm² 2879609 mm²Peso = 53,8279876 kgf. 107,656 kgf.

527,872235 N. 1055,744 N.

C = 95,59

0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 f = 1061,14

bm/2 = 397,62

am =1195,24

PLANIFICAÇÃO DE TRANSIÇÃO RETANGULAR PARA REDONDA

ASSIMÉTRICA

Este tipo de transição segue os mesmos princípios da representada pela figura 35. A

diferença é que a base é retangular e não quadrada.

d 4 3 2 1 0 19 18 17

16

125

15

h

I II

a b

A B

2 3 4 5 6 7 8 9

1

0 10

19 11

18 12

17 C θ

b

16 15 14 13

Figura 40 – Transição retangular para redonda assimétrica

C

j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f

I

B-b-e/2

1o Am 2o

126

Figura 41 – Planificação da parte I da transição retangular para redonda assimétrica

C

f 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 j

II

b-e/2

3o Am 4o

Figura 42 – Planificação da parte II da transição retangular para redonda assimétrica

Os cálculos, como no caso da figura 35 são elaborados linha por linha de dobra e as equações

são distintas para cada quadrante. Assim ficam a equações:

f → 22

2h

da +

− (65).

22

2h

daAj +

−−= (66)

127


1o (67)

2o (68)

3o (69)

4o (70)

Para determinar a cota C usam-se as equações 49 a 54.

EXERCÍCIO 16.

Planificar e calcular o peso de uma transição, em aço ASTM A-36, com os seguintes

dados:

Comprimento A = 1250 mm.

Largura B = 880 mm.

Diâmetro d = 480 mm.

Altura h = 1100 mm.

128

Espessura e = 3/16” = 4,7625 mm.

Medidas da base ao centro do diâmetro:

a = 450 mm.

b = 350 mm.

Solução:

Cálculo de C:

dmeCmáx ..4=

=

d

dmemáx

..4arcsen2θ

( )7625,44807625,44 −×=máxC = 95,15 mm.

e

( )

−×=

480

7625,44807625,44arcsen.2máxθ = 22,86653°.


diâmetro: 480 mm.

Cmáx = 95,1487 mm.

θ máx = 22,86653 graus.

máxmínnd

θ90

)( = → ( ) 86653,22

90=mínnd = 3,936.




nd

90=θ = 4

90 = 22,5 graus.

129


=

2sen

θdC =

2

º5,22sen480 = 480.sen11,25º = 93,64 mm.

Os cálculos das cotas f e j são efetuados com as equações 65 e 66.

f → 22

2h

da +

− = ( ) 2

2

11002

480450 +

− = 1119,866 mm.

22

2h

daAj +

−−= = ( ) 2

2

11002

4804501250 +

−− = 1234,342 mm.

Am = A – e = 1250 – 4,7625 = 1245,2375 mm.



das linhas.

ângulo θ = 22,5 graus

linhas nº 0 1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 1415 16 17 18 19

ângulo de dobra γ 0 22,5 45 67,5 90

Os comprimentos das linhas do primeiro quadrante (linhas 0 a 4) são calculados com a

equação 67.

130

222

cos22

sen22

hdme

aAdme

bBl +

−−−+

−−−= γγ

( ) 222

0 11000cos2

2375,475

2

7625,445012500sen

2

2375,475

2

7625,4350880 +

°−−−+

°−−−=l

( ) 222

1 11005,22cos2

2375,475

2

7625,445012505,22sen

2

2375,475

2

7625,4350880 +

°−−−+

°−−−=l

( ) 222

2 110045cos2

2375,475

2

7625,4450125045sen

2

2375,475

2

7625,4350880 +

°−−−+

°−−−=l

( ) 222

3 11005,67cos2

2375,475

2

7625,445012505,67sen

2

2375,475

2

7625,4350880 +

°−−−+

°−−−=l

( ) 222

4 110090cos2

2375,475

2

7625,4450125090sen

2

2375,475

2

7625,4350880 +

°−−−+

°−−−=l

Segundo quadrante: equação 68.

222

cos22

sen22

hdme

bBdme

al +

−−−+

−−= γγ (68)

( ) 222

5 11000cos2

2375,475

2

7625,43508800sen

2

2375,475

2

7625,4450 +

°−−−+

°−−=l

131

( ) 222

6 11005,22cos2

2375,475

2

7625,43508805,22sen

2

2375,475

2

7625,4450 +

°−−−+

°−−=l

( ) 222

7 110045cos2

2375,475

2

7625,435088045sen

2

2375,475

2

7625,4450 +

°−−−+

°−−=l

( ) 222

8 11005,67cos2

2375,475

2

7625,43508805,67sen

2

2375,475

2

7625,4450 +

°−−−+

°−−=l

( ) 222

9 110090cos2

2375,475

2

7625,435088090sen

2

2375,475

2

7625,4450 +

°−−−+

°−−=l

Terceiro quadrante: equação 69.

222

cos22

sen22

hdme

adme

bl +

−−+

−−= γγ (69)

222

10 )1100(º0cos2

2375,475

2

7625,4450º0sen

2

2375,475

2

7625,4350 +

−−+

−−=l

222

11 )1100(º5,22cos2

2375,475

2

7625,4450º5,22sen

2

2375,475

2

7625,4350 +

−−+

−−=l

222

12 )1100(º45cos2

2375,475

2

7625,4450º45sen

2

2375,475

2

7625,4350 +

−−+

−−=l

132

222

13 )1100(º5,67cos2

2375,475

2

7625,4450º5,67sen

2

2375,475

2

7625,4350 +

−−+

−−=l

222

14 )1100(º90cos2

2375,475

2

7625,4450º90sen

2

2375,475

2

7625,4350 +

−−+

−−=l

Quarto quadrante: equação 70.

222

cos22

sen22

hdme

bdme

aAl +

−−+

−−−= γγ (70)

( ) 222

15 1100º0cos2

2375,475

2

7625,4350º0sen

2

2375,475

2

7625,44501250 +

−−+

−−−=l

( ) 222

16 1100º5,22cos2

2375,475

2

7625,4350º5,22sen

2

2375,475

2

7625,44501250 +

−−+

−−−=l

( ) 222

17 1100º45cos2

2375,475

2

7625,4350º45sen

2

2375,475

2

7625,44501250 +

−−+

−−−=l

( ) 222

18 1100º5,67cos2

2375,475

2

7625,4350º5,67sen

2

2375,475

2

7625,44501250 +

−−+

−−−=l

( ) 222

19 1100º90cos2

2375,475

2

7625,4350º90sen

2

2375,475

2

7625,44501250 +

−−+

−−−=l

133

Efetuados os cálculos, preenche-se o quadro seguinte:

(Substituir apenas os dados em negrito).

A = 1250 B = 880 d = 480 h = 1100a = 450 b = 350 e = 4,7625 n d = 4

Am = 1245,2375 C = 93,643 dm = 475,2375

Parte I Parte II

Primeiro quadrante Segundo quadrante Terceiro quadrante Quarto quadrante

γ n º Linha n º Linha n º Linha n º Linha γ0 0 1342,38 5 1222,48 10 1172,58 15 1363,19 0

22,5 1 1317,15 6 1196,72 11 1152,35 16 1313,7 22,545 2 1317,46 7 1190,58 12 1149,1 17 1280,1 45

67,5 3 1343,25 8 1205,29 13 1163,46 18 1268,89 67,590 4 1389,35 9 1237,93 14 1192,67 19 1282,36 90

B-b-e/ 2 = 527,619 b-e/ 2 = 347,61875f = 1119,87 f = 1119,8661j = 1234,34 j = 1234,3419

Peso teórico : (parte I) (parte II) (total)66,7504 kgf. 57,51 kgf. 124,26 kgf.654,598 N. 563,98 N. 1218,57 N.

Agora é só substituir as cotas nos desenhos.

134

93,64

1234,34 1119,87

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I

527,62

1o 1245,24 2o

93,64

1234,34

1119,87 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

II

347,62 3º 4º

1245,24

Planilha de cálculo para nd = 5.


135

A = 1250 B = 880 d = 480 h = 1100a = 450 b = 350 e = 4,7625 n d = 5

Am = 1245,2375 C = 75,089 dm = 475,2375

Parte I Parte II


γ n º Linha n º Linha n º Linha n º Linha γ0 0 1342,38 6 1222,48 12 1172,578 18 1363,19 018 1 1320,25 7 1200,42 13 1155,119 19 1322,59 1836 2 1314,15 8 1190,51 14 1148,243 20 1291,14 3654 3 1324,91 9 1194,04 15 1152,812 21 1272,69 5472 4 1351,09 10 1210,54 16 1168,252 22 1269,62 7290 5 1389,35 11 1237,93 17 1192,67 23 1282,36 90

B-b-e/ 2 = 527,619 b-e/ 2 = 347,61875f = 1119,87 f = 1119,8661j = 1234,34 j = 1234,3419




136

A = 1250 B = 880 d = 480 h = 1100a = 450 b = 350 e = 4,7625 n d = 6

Am = 1245,2375 C = 62,653 dm = 475,2375

Parte I Parte II


γ n º Linha n º Linha n º Linha n º Linha γ0 0 1342,38 7 1222,48 14 1172,578 21 1363,19 015 1 1322,88 8 1203,31 15 1157,337 22 1328,84 1530 2 1314,3 9 1192,35 16 1149,277 23 1300,35 3045 3 1317,46 12 1190,58 17 1149,099 24 1280,1 4560 4 1332,05 11 1198,17 18 1156,82 25 1269,89 6075 5 1356,74 12 1214,43 19 1171,765 26 1270,67 7590 6 1389,35 13 1237,93 20 1192,67 27 1282,36 90

B-b-e/ 2 = 527,619 b-e/ 2 = 347,61875f = 1119,87 f = 1119,8661j = 1234,34 j = 1234,3419




137

A = 1250 B = 880 d = 480 h = 1100a = 450 b = 350 e = 4,7625 n d = 7

Am = 1245,2375 C = 53,743 dm = 475,2375

Parte I Parte II



12,86 1 1325,02 9 1205,58 17 1159,1 25 1333,45 12,925,71 2 1315,57 10 1194,57 18 1150,79 26 1307,74 25,738,57 3 1314,66 11 1190,18 19 1148,19 27 1287,63 38,651,43 4 1322,37 12 1192,71 20 1151,47 28 1274,42 51,464,29 5 1338,16 13 1201,98 21 1160,4 29 1268,98 64,377,14 6 1360,97 14 1217,38 22 1174,42 30 1271,68 77,1

90 7 1389,35 15 1237,93 23 1192,67 31 1282,36 90B-b-e/ 2 = 527,619 b-e/ 2 = 347,6188

f = 1119,87 f = 1119,866j = 1234,34 j = 1234,342




138

A = 1250 B = 880 d = 480 h = 1100a = 450 b = 350 e = 4,7625 n d = 8

Am = 1245,2375 C = 47,048 dm = 475,2375

Parte I Parte II



11,25 1 1326,7808 10 1207,39 19 1160,516 28 1336,98 11,2522,5 2 1317,1484 11 1196,72 20 1152,35 29 1313,7 22,533,75 3 1313,9857 12 1191,02 21 1148,481 30 1294,43 33,75

45 4 1317,4605 13 1190,58 22 1149,099 31 1280,1 4556,25 5 1327,3885 14 1195,42 23 1154,175 32 1271,43 56,2567,5 6 1343,2509 15 1205,29 24 1163,457 33 1268,89 67,578,75 7 1364,2445 16 1219,69 25 1176,493 34 1272,59 78,75

90 8 1389,3508 17 1237,93 26 1192,67 35 1282,36 90B-b-e/ 2 = 527,61875 b-e/ 2 = 347,61875

f = 1119,8661 f = 1119,8661j = 1234,3419 j = 1234,3419


139

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