UFSMintranet.ctism.ufsm.br/gsec/Publicacoes/Controle... · 6.4.1 Exercício resolvido.....78 6.5...

Controle AdaptativoTeoria e Aplicação

Rodrigo Varella Tambara

Universidade Federal de Santa Maria

Todos os direitos autorais reservados a Rodrigo Varella Tambara. A repro-dução de partes ou do todo deste trabalho só poderá ser feita com autori-zação por escrito do autor. Endereço: Rua Ernesto Alves, No 180, BairroPasso D’Areia, Santa Maria, RS, Brasil, CEP: 97020-270.

Sobre o Autor

Natural de Santa Maria, RS, recebeu o grau de Técnico em Eletrotécnica pelo Colé-gio Técnico Industrial de Santa Maria (CTISM) em 2004 e os graus de Bacharel, Mestree Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) em2008, 2010 e 2014, respectivamente. Entre 2014 e 2016 foi Professor Adjunto do Curso deEngenharia Biomédica do Centro Universitário Franciscano, Santa Maria. Foi ProfessorAdjunto do curso de Engenharia Elétrica na UFSM, campus de Cachoeira do Sul, entre2016 e 2018. Atualmente é Professor Adjunto do curso superior em Eletrônica Industrialno CTISM/UFSM. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica com ênfase em Teoriae Aplicação de Sistemas de Controle, Controle Adaptativo Robusto, Instrumentação Ele-trônica e Eletrônica de Potência atuando principalmente nos seguintes temas: Conversoresconectados à rede, Controle Adaptativo Robusto e Fontes de Potência CC e CA. É pesqui-sador do Grupo de Eletrônica de Potência e Controle (GEPOC) e do Grupo de Pesquisa eDesenvolvimento em Sistemas Elétricos e Computacionais (GSEC). Também é membro daSociedade Brasileira de Eletrônica de Potência (SOBRAEP).

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Prefácio

Os sistemas de controle estão presentes em diversos processos industriais e nos maisdiversos equipamentos utilizados em nosso dia a dia, tais como: fontes de alimentação,refrigeradores, automóveis, aeronaves, computadores, dentre outros. Dentro da teoria eaplicação de sistema de controle, os controladores adaptativos evoluíram de maneira sig-nificativa nas últimas décadas, principalmente devido a substancial evolução dos sistemaseletrônicos digitais, o que permitiu a sua implementação em sistemas microprocessados.

Inúmeras publicações abordam os controladores adaptativos sob diferentes aspectos.No entanto, grande parte dessas publicações não apresentam a teoria, destes sistemas, demaneira didática. Além disso, poucas publicações analisam os detalhes de projeto e imple-mentação digital desses controladores, em tempo discreto. Deste modo, pretende-se nestematerial, apresentar a teoria de controle adaptativo de maneira mais direta e didática, alémde apresentar os detalhes característicos da programação dos algoritmos adaptativos paraestimação de parâmetros e controle de sistemas. Para se atingir estes objetivos, diversosproblemas são apresentados e resolvidos através do software Matlab.

Este material busca atender o seguinte público alvo: alunos de graduação, pós-graduaçãoe profissionais de tecnologia.

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Agradecimentos

Agradeço à Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica (PPGEE) da UFSM pela formação e pela oportuni-dade de desenvolver este trabalho, bem como aos grupos de pesquisa GEPOC (Grupo deEletrônica de Potência e Controle) e GSEC (Grupo de Pesquisa e Desenvolvimento emSistemas Elétricos e Computacionais), pela oportunidade de desenvolver pesquisa cientí-fica/tecnológica de qualidade.

Gostaria de agradecer pelas valiosas revisões e discussões sobre controle adaptativo aosseguintes colegas da Universidade Federal de Santa Maria:• Álysson Raniere Seidel, Dr. Eng.• Hilton Abílio Gründling, Dr. Sc.• Jorge Rodrigo Massing, Dr. Eng.• Maikel Fernando Menke, Me. Eng.• Rafael Concatto Beltrame, Dr. Eng.

Como usar este material didático?

Esta obra apresenta a teoria de controle adaptativo, exemplos, exercícios resolvidos e oaplicativo MRAC Design para projeto e validação dos controladores.

Para o melhor aproveitamento deste texto, sugere-se que o leitor siga os seguintes passos:• Estude cuidadosamente a revisão matemática apresentada no Capítulo 2;• Leia a teoria básica de cada capítulo e reproduza as deduções matemáticas no papel;• Reproduza os exemplos apresentados neste material em seu computador, com os có-

digos disponíveis no Apêndice E. Os exemplos apresentados nos Capítulos 4, 5, 6 e 7podem ser reproduzidos no aplicativo MRAC Design, apresentado no Apêndice D;• Para entender o fluxograma das equações, leia a última seção dos Capítulos 3 e 4;• Para entender como realizar o projeto das equações do controle adaptativo, leia o

Capítulo 8;• Para se orientar neste material, o Apêndice F apresenta a lista completa de símbo-

los utilizada neste material e o Apêndice G possui um glossário de termos técnicosespecíficos.

Conteúdo

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Definições 151.1.1 Controle adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.4 Controle direto e indireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.5 Discretização das equações de tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Revisão bibliográfica 171.2.1 Robustez de controladores adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2 Sinais suficientemente ricos em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Aplicações recentes de controladores adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Conclusão do capítulo 20

2 Revisão matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Transformada de Laplace L 21

2.2 Transformada Z 21

2.3 Modelagem por variáveis de estado: contínuo e discreto 222.3.1 Aproximação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Modelagem por função de transferência: contínuo e discreto 23

2.5 Aproximações discretas de funções de transferência contínuas 24

2.6 Relação entre os modelos em espaço de estados e por função de transfe-rência: contínuo e discreto 24

2.7 Exercícios resolvidos 252.7.1 Problema simples de obtenção de filtros digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.2 Modelagem de circuitos e sintetização de filtros digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Estimação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Estimação de um parâmetro 29

3.2 Estimação de dois parâmetros 32

3.3 Estimação de vários parâmetros: caso vetorial 34

3.4 Estimação de parâmetros para o modelo entrada-saída 353.4.1 Parametrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 Lei de adaptação paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Exercícios resolvidos 373.5.1 Estimação de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.2 Estimação de dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.3 Estimação dos parâmetros de um circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.4 Estimação de parâmetros: abordagem entrada-saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Ordem de execução das variáveis 433.6.1 Estimação de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.2 Estimação de dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.3 Estimação de vários parâmetros: caso vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.4 Estimação de parâmetros para o modelo entrada-saída . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Controle por modelo de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 Controle adaptativo por modelo de referência: entrada-saída 454.1.1 Planta de primeira ordem com parâmetros conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.2 Um primeiro mecanismo de adaptação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.3 Planta de primeira ordem com parâmetros desconhecidos . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.4 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo n∗p = 1 . . . 53

4.1.5 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo n∗p ≥ 1 . . . 54

4.2 Normalização de leis adaptativas 54

4.3 Rejeição adaptativa de distúrbios periódicos 55

4.4 Controle adaptativo por modelo de referência com realimentação de es-tados 56

4.5 Exercícios resolvidos 564.5.1 Planta de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.2 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5.3 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5.4 Inversor conectado à rede elétrica com filtro L: rejeição adaptativa de distúrbioperiódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 Ordem de execução das variáveis 654.6.1 MRAC aplicado a uma planta de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6.2 MRAC aplicado a uma planta com grau relativo n∗p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6.3 MRAC aplicado a uma planta com grau relativo n∗p ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6.4 MRAC aplicado a uma planta com rejeição adaptativa de distúrbios . . . . . . . 65

5 Leis adaptativas do tipo gradiente e LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1 Considerações iniciais sobre leis de estimação de parâmetros 67

5.2 Leis adaptativas do tipo Gradiente 67

5.3 Leis de estimação paramétrica do tipo LS (Least-Squares) 68

5.4 Exercício resolvido 69

6 Análise de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1 Revisão de álgebra linear 73

6.2 Estabilidade em tempo contínuo de um MRAC: lei de adaptação gradiente74

6.3 Estabilidade em tempo contínuo de um MRAC: lei de adaptação LS 75

6.4 Estabilidade em tempo discreto de um MRAC: lei de adaptação gradiente76

6.4.1 Exercício resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5 Estabilidade em tempo discreto de um MRAC: lei de adaptação LS 79

7 Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1 Incertezas estruturadas 81

7.2 Incertezas não-estruturadas 81

7.3 Sinal erro de modelagem em 82

7.4 Aumento da robustez do controlador adaptativo 827.4.1 Exemplo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.5 Função σ-modification 877.5.1 Exemplo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8 Projeto e implementação digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1 Usar ou não usar um controlador adaptativo: Eis a questão! 93

8.2 A Necessidade de sinais ricos em frequência 93

8.3 Entrada-Saída ou realimentação de estados 94

8.4 O sinal de normalização m2 94

8.5 Lei de adaptação gradiente e LS 94

14

8.6 Ordem de atualização das variáveis do controlador adaptativo 95

8.7 Discretização das equações diferenciais 95

8.8 Atraso de implementação 95

8.9 Projeto do mecanismo de adaptação de parâmetros θ 95

8.10 Modelo de referência 96

8.11 Frequência de amostragem 1/T 97

8.12 Controle de plantas de fase não-mínima 978.12.1 Exemplo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A Equação do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

B Limitação e decrescimento de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

C Normas Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

D Guia do aplicativo MRAC Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

E Códigos em Matlab dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

F Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

G Glossário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Livros 143

Artigos 143

1. Introdução

1.1 Definições

1.1.1 Controle adaptativo

Na linguagem atual, o termo adaptar significa modificar o comportamento de acordo com asnovas circunstâncias ou situações. Então, controle adaptativo pode ser definido como umatécnica de controle que possui a capacidade de mudar seu comportamento de acordo comas modificações dos parâmetros, da dinâmica de um processo ou por distúrbios que afetameste sistema [Ast87]. Deste modo, pode-se notar que um controlador de ganhos fixos não éum sistema adaptativo. Um controlador adaptativo deve ter a capacidade de atualizar sualei de controle através da mudança dos seus ganhos (ou parâmetros) em tempo real, comoé ilustrado na Figura 1.1, onde um mecanismo de ajuste de ganhos atualiza o controlador apartir da medição dos sinais de entrada u e saída y e de um sinal de referência r.

Figura 1.1: Estrutura de um controlador adaptativo básico.

16 Capítulo 1. Introdução

Neste texto, a técnica de mapeamento ou escalonamento de ganhos (Gain Scheduling)não é abordada. Na técnica de mapeamento, os ganhos são pré-definidos e tabelados consi-derando um número finito de possíveis situações de operação. Neste texto, serão tratadasapenas técnicas de controle adaptativo nas quais os parâmetros do controlador são modifica-dos continuamente a partir de uma lei de adaptação paramétrica na forma de uma equaçãodiferencial.

A seguir, alguns conceitos importantes sobre sistemas de controle adaptativo são discu-tidos.

1.1.2 Robustez

Robustez é a capacidade do sistema de controle de se manter estável mesmo na presença dedistúrbios ou incertezas na planta.

Tratando-se de possíveis aplicações, controladores adaptativos robustos são recomen-dados para o controle de sistemas que apresentam incertezas estruturadas e/ou incertezasnão-estruturadas [Mil03]. Incerteza estruturada é definida como o desconhecimento da lo-calização exata dos polos e zeros da planta. Incerteza não-estruturada é definida como odesconhecimento do comportamento da fase e do ganho da planta em frequências de deter-minada faixa de operação, que por sua vez é causada por polos e zeros negligenciados.

É sabido que as técnicas de controle com ganhos fixos, largamente utilizadas na in-dústria, tais como PI (Proporcional-Integral) e PID (Proporcional-Integral-Derivativo) po-dem não garantir bom desempenho em certas aplicações, tal como controle de sistemas queapresentam variações paramétricas (incertezas estruturadas) e/ou dinâmicas não-modeladas(incertezas não-estruturadas) [DG08], ou seja, sistemas que apresentam pontos de opera-ção variáveis. Deste modo, o uso de uma técnica de controle adaptativa robusta é umainteressante escolha para tais aplicações.

Através desta reflexão, nota-se que sistemas de controle adaptativos são projetados paraestabilizar plantas sujeitas a parâmetros incertos e/ou dinâmicas não-modeladas, além demanter um bom desempenho, já que seus ganhos são adaptados em tempo real. Aliadoàs novas tecnologias, a sua implementação digital permite, facilmente, a reprogramação docontrolador.

1.1.3 Modelagem

Um passo muito importante para o projeto de qualquer controlador é a obtenção de ummodelo matemático para a planta a qual se deseja controlar. O modelo matemático expressao comportamento dinâmico da planta, com uma determinada precisão, dentro de uma faixade operação de interesse. Este modelo permitirá ao projetista realizar uma análise dascaracterísticas intrínsecas da planta, tais como: ganho estático, tempo de acomodação,sobre-elevação, frequência de ressonância e taxa de amortecimento. Neste documento sãoutilizadas duas abordagens de modelagem: a abordagem por espaço de estados e abordagementrada-saída. Na abordagem por espaço de estados, as variáveis de estados do sistema sãomedidas totalmente ou parcialmente. No caso de serem medidas parcialmente, as variáveisrestantes devem ser estimadas. Já a abordagem entrada-saída permite controlar a plantaatravés do acesso da entrada e da saída da planta. Como se tem acesso apenas a estas duasvariáveis, observadores internos são necessários para a estimação dos estados internos dosistema.

1.2 Revisão bibliográfica 17

1.1.4 Controle direto e indiretoOs controladores adaptativos ainda podem ser divididos em dois grandes grupos: os diretos(ou implícitos) [IT86] e [IS96] (Figura 1.2) e os indiretos (ou explícitos) [Gir+89] e [IS96](Figura 1.3). Considerando um sinal de referência r e uma saída y, no método direto, osganhos do controlador (vetor θ) são estimados diretamente, normalmente, a partir de ummodelo de referência pré-estabelecido [IT86], [LCM90], ou seja, não há a necessidade daestimação explícita dos parâmetros da planta. No método indireto, inicialmente, a lei deestimação paramétrica é utilizada para estimar os parâmetros da parte modelada da planta(vetor θp) e, com base nesta estimação explícita, os ganhos do controlador são calculados e,então, a ação de controle u é atualizada. Alguns métodos indiretos podem ser encontradosem [Ast88] e [QFC11]. Ainda, na literatura podem ser encontrados trabalhos que utilizamo método de controle direto e indireto concomitantemente [DN89].

Figura 1.2: Controlador adaptativo direto (implícito).

1.1.5 Discretização das equações de tempo contínuoOutra questão muito importante para a implementação dos controladores adaptativos é adiscretização das equações do sistema de controle adaptativo, já que este tipo de controla-dor é usualmente implementado em tempo discreto. Na literatura, encontram-se diferentestécnicas de discretização tais como: a transformada Z [Oga95] e a transformada δ (lê-se“delta”) [MG90]. A transformada Z é a técnica mais popular e difundida na literatura. Noentanto, em certas aplicações em que precisão numérica pode ser um problema de imple-mentação (tais como aplicações em aritmética de ponto-fixo), a transformada δ é uma boaopção, pois esta técnica minimiza os erros numéricos causados por arredondamento e/outruncamento [LG93], [RJL97], [NH03], [KR08], [PA09] e [Sáe+10].

1.2 Revisão bibliográficaNa aplicação das leis de controle é desejável que o sistema em malha fechada tenha ahabilidade de manter a estabilidade e bom desempenho, mesmo na presença de incertezasno modelo da planta, como dinâmicas não-modeladas, variações paramétricas e distúrbios,por exemplo. Esta propriedade é usualmente denominada robustez.


Figura 1.3: Controlador adaptativo indireto (explícito).

1.2.1 Robustez de controladores adaptativos

Desde a década de 80, várias modificações têm sido propostas em controladores adaptativoscom o intuito de melhorar algumas características importantes, tais como robustez e desem-penho (em transitórios e em regime permanente) do sistema de controle. Estas modificaçõessão baseadas, por exemplo, na inclusão de funções do tipo: σ-modification, normalizaçãorobusta e zona-morta [IT86]. Assim, muitas estruturas de controle adaptativo foram de-senvolvidas com extensas análises de estabilidade para resolver problemas de plantas comincertezas estruturadas e/ou não-estruturadas.

Vários trabalhos na literatura abordam a questão de estabilidade de controladores adap-tativos, tais como [NLV80], [Roh+82], [Mor85], [LG85], [IT86], [NA87], [IT88], [LCM90],[ID91], [Dat93], [AL94], [Grü95], [Ric03] e [Ste10]. No entanto, grande parte destes traba-lhos abordam estabilidade robusta de controladores adaptativos em tempo contínuo [IT86],[NA87], [LCM90], [Grü95], [Ric03] e [SG10]. Apesar destes trabalhos apresentarem extensi-vas análises de estabilidade, controladores adaptativos são, usualmente, implementados emtempo discreto. Deste modo, o projeto de controladores adaptativos em tempo contínuonão leva em consideração as características intrínsecas da implementação digital, tais como:atraso de implementação, retenção de amostras dentro de um período de amostragem fi-nito. Portanto, estas análises de estabilidade em tempo contínuo podem perder a validadeem uma aplicação de tempo discreto. Por isso, é importante o desenvolvimento das provasde estabilidade de controladores adaptativos diretamente em tempo-discreto.

As provas de estabilidade dos controladores adaptativos são extremamente importantesdevido aos seguintes motivos: i) A prova de convergência dos ganhos do controlador, mesmoque sob hipóteses idealizadas, dão credibilidade para as aplicações práticas de controladoresadaptativos; ii) A prova de estabilidade ajuda a caracterizar o grau de robustez de controla-dores adaptativos; e iii) A prova de estabilidade sugere meios para melhorar os controladores

1.2 Revisão bibliográfica 19

tanto no que diz respeito à estabilidade quanto ao desempenho [GHP84].Tratando-se de análises de estabilidade de controladores adaptativos, estas podem con-

siderar: variações paramétricas, dinâmicas não-modeladas e distúrbios. No caso da prova deestabilidade de sistemas sem o efeito de dinâmicas não-modeladas e de distúrbios, pode-seutilizar a teoria de Lyapunov [IS96] para provar que o erro de adaptação de parâmetros tendea zero quando t → ∞ e, por consequência, o erro de rastreamento ou regulação tambémtende a zero. No caso da análise ser realizada para sistemas com a presença de dinâmicasnão-modeladas e distúrbios, deve-se provar que a candidata à função de Lyapunov é limi-tada em módulo, que os sinais internos da malha fechada são limitados e que o módulo doerro de rastreamento é pequeno na média. Portanto, a robustez pode ser analisada atra-vés da capacidade do sistema de controle adaptativo ser estável na presença de variaçõesparamétricas, dinâmicas não-modeladas e distúrbios.

O uso da teoria de estabilidade de Lyapunov é utilizada devido à natureza não-lineardos controladores adaptativos.

1.2.2 Sinais suficientemente ricos em frequência

No desenvolvimento da teoria de controle adaptativo, a convergência paramétrica é garantidaquando o sinal de excitação da planta é suficientemente rico em frequência. Esta condiçãonecessária, garante que a solução da saída da planta y carrega informação sobre todos osparâmetros a serem identificados.

Assim, um sinal de excitação suficientemente rico em frequência possui um númeromínimo de frequências que excitam todos os modos da planta [IS96].

Exemplos:• Para identificar 1 parâmetro, basta um sinal de excitação constante;• Para identificar 2 parâmetros, basta um sinal senoidal com uma frequência diferente

de zero;• Para identificar 4 parâmetros basta uma série senoidal com duas frequências distintas

e diferentes de zero;• Para identificar 8 parâmetros basta uma série senoidal com quatro frequências distintas

e diferentes de zero.Ou seja, para identificar 2n parâmetros, necessitamos de uma soma de sinais senoidais

com, no mínimo, n frequências distintas e diferentes de zero.No entanto, em muitas aplicações, deseja-se rastrear uma referência senoidal num con-

trolador adaptativo de 4 ou mais parâmetros (ou ganhos adaptativos). Nesta situação,pode-se encontrar um conjunto solução para o vetor de ganhos adaptativos que minimize oerro de rastreamento na frequência em questão. E, deste modo, o objetivo do controlador éatingido.

1.2.3 Aplicações recentes de controladores adaptativos

Com o advento dos microcontroladores e DSCs (Digital Signal Controllers), tornou-se possí-vel a implementação de algoritmos adaptativos avançados, onde a implementação é realizadacom baixo custo e com frequência de amostragem de vários kHz [AK93]. Em [AW95] é apre-sentado um conjunto de aplicações típicas de controladores adaptativos onde são descritosexemplos de controladores adaptativos industriais. Em muitas aplicações, controladoresPIDs são preferidos devido à sua simplicidade de projeto e de ajuste e por não necessitar


de um grande aparato computacional para a sua implementação. No entanto, em váriasaplicações, devido à complexidade da planta a ser controlada, controladores adaptativos sãointeressantes soluções quando comparados a controladores de ganhos fixos, tais como PID,LQR (Linear Quadratic Regulator), ressonantes, repetitivos e outros.

O controlador RMRAC (Robust Model Reference Adaptive Controller) direto tem apre-sentado um bom desempenho em várias aplicações em Eletrônica de Potência, tais como[GCP97], [CRG00], [CMG00], [Ste06], [DG08],[Ste+08], [Ste10], [Mas+12], [Tam10], [Tam+10],[Tam+11a], [Tam+11b] e [Tam+13].

Os autores [CMG00] e [Ste06] desenvolveram controladores em tempo discreto imple-mentados em plataforma DSC para ajustar a tensão de saída de uma FPCA (Fonte dePotência CA) monofásica e trifásica, respectivamente. Na mesma linha, [DG08] projetouum controlador RMRAC para ajustar a forma de onda da tensão de saída de uma FPCAutilizada para o acionamento de uma máquina de vibração eletrodinâmica. Com este con-trolador, obteve-se bom rastreamento da referência e estabilidade em uma ampla faixa defrequências e amplitudes. Na área de controle de máquinas elétricas, objetivando obter bomdesempenho e estabilidade numa vasta faixa de velocidades, [Câm07] e [Mar06] utilizaramum controlador RMRAC para controle de velocidade de motores de indução trifásicos. Naárea de filtros ativos, [Ste+08] utilizou um controlador RMRAC para controle da correntesintetizada por um filtro ativo de potência paralelo. [Mas+12] apresenta um controladorcom alocação adaptativa de polos baseado no método LS para controlar a corrente de con-versores conectados à rede elétrica usando filtros LCL. Bons resultados experimentais sãoobtidos com o controlador adaptativo em uma grande faixa de variação paramétrica doselementos da rede.

1.3 Conclusão do capítuloAtravés da leitura deste capítulo, espera-se que o leitor tenha compreendido as motivaçõespara o desenvolvimento de técnicas de controle adaptativo.

Durante os próximos capítulos, o leitor irá desenvolver habilidades no que diz respeitoa teoria matemática necessária para o entendimento dos sistemas adaptativos, bem como aaplicação das respectivas equações.

2. Revisão matemática

Este capítulo apresenta uma pequena revisão sobre modelagem de sistemas físicos contínuose discretos. Assim, através das ferramentas matemáticas apresentadas, o leitor poderácompreender os conteúdos dos capítulos seguintes. No entanto, não é objetivo deste capítuloesgotar o assunto. Para isso, o leitor poderá expandir a sua revisão em livros de cálculo eálgebra linear.

2.1 Transformada de Laplace L

A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática de grande utilidade para a re-solução de equações diferenciais lineares. Além disso, nos possibilita representar sistemasdinâmicos no domínio da frequência onde, muitas vezes, as características dos sistemasfísicos ficam mais explícitas do que em relação ao domínio do tempo.

A Transformada de Laplace L unilateral de uma função de tempo contínuo x(t) é definidapela expressão

Lx(t) =

∫ ∞0

e−stx(t)dt = X(s) (2.1)

em que t é o tempo contínuo, s é a frequência complexa contínua e X(s) é a função nodomínio da frequência s.

2.2 Transformada Z

Para se representar ou resolver sistemas dinâmicos em tempo discreto, pode-se utilizar aTransformada Z. Esta ferramenta é essencial na análise e implementação de filtros e contro-ladores digitais. Assim, a Transformada Z pode ser interpretada como uma Transformadade Laplace para funções de tempo discreto.

22 Capítulo 2. Revisão matemática

A Transformada Z unilateral de uma função de tempo discreto x(kT ) é definida pelaexpressão

Zx(kT ) =∞∑k=0

e−skTx(kT ) = X(z) (2.2)

em que z é a frequência complexa discreta, k é um índice inteiro, T é o período de amos-tragem e X(z) é a função no domínio da frequência z.

Utilizando a função que mapeia os polos e zeros do plano s no plano z, ou seja z = esT ,e omitindo o período de amostragem T , pode-se reescrever (2.2) da seguinte forma

Zx(k) =∞∑k=0

z−kx(k) = X(z) (2.3)

Uma operação muito útil para implementação de filtros digitais é a operação de desloca-mento ou, do inglês: shift-operator. O avanço de ns amostras é realizado da seguinte forma

Z−1 znsx(z) = x(k + ns) (2.4)

e o atraso de ns amostras é realizado da seguinte forma

Z−1z−nsx(z)

= x(k − ns) (2.5)

2.3 Modelagem por variáveis de estado: contínuo e discretoO vetor de estado é o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistemadinâmico. Se pelo menos n variáveis x1, x2, x3,..., xn são necessárias para descrever comple-tamente o comportamento de um sistema dinâmico, então estas n variáveis são um conjuntode variáveis de estado. As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema,dado o estado presente, as excitações de entrada e as equações que descrevem a dinâmicado respectivo sistema.

Deste modo, o modelo por variáveis de estado é um conjunto de equações diferenciais(para o tempo contínuo) ou equações de diferenças (para o tempo discreto) de 1a ordemna forma matricial, representando as relações entre as entradas e saídas, e característicasinternas do sistema.

Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema, de-pendendo da escolha das variáveis de estado.

Neste texto, é dada atenção especial aos sistemas lineares e invariantes no tempo do tipoSISO (Single-Input, Single-Output), ou seja, com uma entrada u e uma saída y.

Assim, um sistema SISO linear e invariante no tempo pode ser modelado no domínio dotempo contínuo através de um sistema de equações de primeira ordem da seguinte forma

X(t) = AX(t) + Bu(t) (2.6)

em que X é o vetor de estado, u é o sinal de entrada do sistema, A e B são matrizes dedimensões adequadas.

2.4 Modelagem por função de transferência: contínuo e discreto 23

A solução geral de (2.6) é expressa por

X(t) = eA(t−t0)X(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.7)

A equação da saída de um modelo em espaço de estados é dada por

y(t) = CX(t) +Du(t) (2.8)

em que y é o sinal de saída do sistema, C é um vetor linha e D é um escalar.Considerando um sistema discreto, o mesmo pode ser modelado como

X(k + 1) = AdX(k) + Bdu(k) (2.9)

em que Ad = eAT e Bd = A−1(eAT − I)B. Nesta discretização, pode-se afirmar queX(t) = X(kT ).

A equação da saída é dada por

y(k) = CdX(k) +Ddu(k) (2.10)

Se o sistema for variante no tempo, tem-se as matrizes variáveis A(t), B(t), C(t) e D(t).

2.3.1 Aproximação de EulerO método de discretização de Euler nos permite solucionar uma equação na forma de va-riáveis de estados facilmente. Assim, quando o período de amostragem T é suficientementepequeno, a seguinte equação, denominada aproximação de Euler, pode ser utilizada

dX(t)

dt≈ X(k + 1)−X(k)

T(2.11)

Deste modo, a equação de estados (2.9) pode ser aproximada por

X(k + 1) ≈ (I + AT )X(k) + BTu(k) (2.12)

Esta aproximação é, comumente, utilizada para se calcular numericamente as equaçõesdiferenciais de primeira ordem dos sistemas adaptativos.

2.4 Modelagem por função de transferência: contínuo e discretoFunções de transferência relacionam o sinal de saída com o sinal de entrada de um sistemadinâmico, no domínio da frequência complexa s. Filtros e controladores são normalmenterepresentados por funções de transferência, tanto na análise como no projeto.

Um sistema SISO linear e invariante no tempo pode ser modelado no domínio da frequên-cia contínua s através da Transformada de Laplace, da seguinte forma

G(s) =Y (s)

U(s)= K

sm + bm−1sm−1 + bm−2s

m−2 + ...+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 + ...+ a1s+ a0

(2.13)


em que K, bm−1, bm−2, ..., b1, b0, am−1, am−2, ..., a1, a0 são coeficientes reais.Do mesmo modo que um sistema SISO linear e invariante no tempo pode ser modelado

no domínio da frequência discreta z através da Transformada de Z, da seguinte forma

G(z) =Y (z)

U(z)= Kd

zm + βm−1zm−1 + βm−2z

m−2 + ...+ β1z + β0zn + αn−1zn−1 + αn−2zn−2 + ...+ α1z + α0

(2.14)

em que Kd, βm−1, βm−2, ..., β1, β0, αm−1, αm−2, ..., α1, α0 são coeficientes reais.Para a obtenção das funções de transferência, todas as condições iniciais devem ser

zeradas. Além disso, para que o sistema seja causal, é necessário que n ≥ m.

2.5 Aproximações discretas de funções de transferência contínuasEm muitas situações, é preciso obter uma versão discreta a partir de uma função de trans-ferência contínua G(s).

Um método simples, baseado na derivada discreta, é a aproximação Backward DifferenceApproximation (BDA)

G(z) = G(s)|s =1− z−1

T(2.15)

Outro método mais preciso, baseado na integração trapezoidal, é a transformação bili-near, ou Transformada Tustin

G(z) = G(s)|s =2

T

1− z−1

1 + z−1(2.16)

Aqui, o termo “preciso” indica que: para um mesmo período de amostragem T , a Trans-formada Tustin gera um modelo com menores erros numéricos, em relação à técnica BDA.

2.6 Relação entre os modelos em espaço de estados e por função de transfe-rência: contínuo e discretoMuitas vezes, precisa-se converter um modelo de variáveis de estados para função de trans-ferência e vice-e-versa. É possível obter uma função de transferência contínua diretamentea partir das matrizes do modelo no espaço de estados da seguinte forma

G(s) = C(sI−A)−1B +D (2.17)

Do mesmo modo, pode-se obter uma função de transferência discreta diretamente apartir das matrizes do modelo no espaço de estados da seguinte forma

G(z) = C(zI−Ad)−1Bd +D (2.18)

Lembrando que os autovalores da matriz A são idênticos aos polos de G(s) (quando nãohá polos e zeros comuns). O mesmo é válido para o caso discreto.

A seguir, um exemplo simples, que introduz os conceitos discutidos anteriormente, édesenvolvido para o melhor entendimento dos conteúdos estudados neste capítulo.

2.7 Exercícios resolvidos 25

2.7 Exercícios resolvidos

2.7.1 Problema simples de obtenção de filtros digitais

Considere um filtro analógico modelado pela seguinte função de transferência G(s) =y(s)

u(s)=

5

s+ 20. Obtenha uma equação recursiva para implementação de um filtro digital G(z) =

y(z)

u(z), usando a aproximação BDA, com um período de amostragem de 10 ms.

Solução:

Através da expressão (2.15), pode-se obter a seguinte função de transferência discreta

G(z) =y(z)

u(z)=

5T

1 + 20T − z−1. Agora, substituindo o período de amostragem T = 10

ms, obtém-se G(z) =y(z)

u(z)=

0, 05

1, 2− z−1. Aplicando o produto cruzado, tem-se 1, 2y(z) −

z−1y(z) = 0, 05u(z) e, posteriormente, aplicando a Transformada Z−1, chega-se na se-guinte equação recursiva para implementação digital do filtro: y(k) = 0, 83333y(k − 1) +0, 04167u(k).

2.7.2 Modelagem de circuitos e sintetização de filtros digitaisSeja o circuito elétrico LCR apresentado a seguir:

Figura 2.1: Circuito elétrico LCR.

O circuito apresentado na Figura 2.1 pode representar, por exemplo, o filtro de saídade uma fonte ininterrupta de energia alimentando uma carga resistiva ou, até mesmo, ocircuito de saída de um conversor estático do tipo buck.

Definindo L = 1 mH, C = 25 µF e R = 100 Ω, obtenha:a) A equação diferencial que relaciona u(t) e y(t);

b) A função de transferência G(s) =Y (s)

U(s);

c) A função de transferência G(z) utilizando a Transformada Tustin, com um períodode amostragem de T = 1 µs;

d) A equação de recorrência para solução numérica de y;e) O diagrama de Bode de G(s) e G(z) em função da frequência em kHz;f) A equação de recorrência em um ambiente de programação, considerando que o sinal

de entrada u é um degrau unitário;


g) O modelo contínuo em espaço de estados, onde o vetor de estado é formado pelacorrente no indutor e pela tensão no capacitor;

h) A solução do modelo em espaço de estados utilizando o método de Euler. Programeo modelo discreto em um ambiente de programação, considerando que o sinal de entrada ué um degrau unitário.

Solução:

a) Aplicando as leis de Kirchhoff no circuito 2.1 e sabendo que a tensão sobre o capacitoré o próprio sinal y, pode-se escrever a equação diferencial de segunda ordem:

d2y(t)

dt2+

1

RC

dy(t)

dt+

1

LCy(t) =

1

LCu(t).

b) Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial obtida no item a) comcondições iniciais nulas, obtém-se a seguinte função de transferência:

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

LC

s2 +1

RCs+

1

LC

.

c) Utilizando a Transformada Tustin (2.16) com o respectivo período de amostragem,pode-se obter a seguinte função de transferência:

G(z) =9, 9979004409.10−6 + 1, 9995800882.10−5z−1 + 9, 99790044091.10−6z−2

1− 1, 9995600924z−1 + 0, 99960008398z−2.

Esta função de transferência também pode ser obtida através do software Matlab pormeio da função c2dm(num,den,T,’tustin’).

d) A partir do produto cruzado sobre a função de transferência do item c) e pela subse-quente aplicação da Transformada Z inversa, chega-se a seguinte equação de recorrência:

y(k) = 9, 9979004409.10−6u(k)+1, 9995800882.10−5u(k−1)+9, 99790044091.10−6u(k−2) + 1, 9995600924y(k − 1)− 0, 99960008398y(k − 2).

e) Utilizando a função bode(), do Matlab, sobre G(s) e G(z), obtém-se o gráfico ilustradona Figura 2.2:

Note que, o traçado do diagrama de de Bode de G(z) é truncado na frequência deNyquist, ou seja, na metade da frequência de amostragem. É possível notar que, próximoa frequência de Nyquist (500 kHz), há uma evidente diferença entre o ganho de G(s) e deG(z).

f) O código em Matlab está dado no Apêndice E.g) Aplicando as leis de Kirchhoff sobre o circuito, obtém-se a seguinte equação matricial

de estado:ddt

[iLvc

]=

[0 − 1

L1C − 1

RC

] [iLvc

]+

[1L0

]u.

h) Utilizando a aproximação de Euler (2.12) na equação do item g), chega-se a seguinteexpressão:[

iL(k + 1)vc(k + 1)

]=

[1 −T

LTC 1− T

RC

] [iL(k)vc(k)

]+

[TL0

]u(k).

O código em Matlab é apresentado no Apêndice E.


Figura 2.2: Diagrama de Bode do modelo contínuo G(s) (azul) e do modelo discreto G(z)(vermelho).

3. Estimação de parâmetros

Considere o problema de identificar, automaticamente, os valores de indutância, capaci-tância e resistência de um circuitos elétrico LCR de estrutura conhecida (Figura 2.1, porexemplo), tendo acesso apenas às medidas de corrente ou tensão do sistema. Este capítulotem o objetivo de apresentar algumas técnicas de estimação dos parâmetros de plantas emtempo real.

Define-se parâmetro como uma grandeza física que seja constante ou que varie muitopouco com o passar do tempo, ou mais lentamente que as variáveis de estado. Portanto,L, C e R podem ser considerados parâmetros de um circuito LCR. Veja que estas técnicasde estimação podem ser utilizada em estruturas de controladores adaptativos indiretos,conforme a Figura 3.1, ou apenas para fins de modelagem.

A Figura 3.1 apresenta uma estrutura de controle adaptativo indireto em que os parâ-metros da planta θp são estimados e, então, os ganhos do controlador θ (parâmetros docontrolador) são ajustados em tempo real. Então, para identificar os parâmetro da planta,este capítulo trata de estimadores de: um parâmetro, dois parâmetros e para um númeroarbitrário de parâmetros, utilizando modelos em espaço de estados ou entrada-saída.

3.1 Estimação de um parâmetroSeja um sistema físico linear modelado através da relação entre o sinal de saída y e a entradau

y(t) = θ∗u(t) (3.1)

em que deseja-se estimar o parâmetro desconhecido θ∗. Uma solução possível é

θ∗ =y(t)

u(t)(3.2)

no entanto, esta solução não é muito interessante pois u(t) 6= 0.

30 Capítulo 3. Estimação de parâmetros

Figura 3.1: Controlador adaptativo com estimação de parâmetros em tempo real.

Uma ideia seria calcular θ(t) (estimação de θ∗), tal que y(t)→ y(t), sendo que y(t) é aestimação de y(t).

Então, define-se a estimação de y(t) como

y(t) = θ(t)u(t) (3.3)

Assim, o erro de estimação de y(t) é

ε1(t) = y(t)− y(t) = y(t)− θ(t)u(t) (3.4)

Define-se, também, o erro de estimação paramétrica θ(t) como

θ(t) = θ(t)− θ∗ (3.5)

Substituindo (3.1) em (3.4), tem-se o erro de estimação de y em função do erro deestimação paramétrica

ε1(t) = θ∗u(t)− θ(t)u(t) = −θ(t)u(t) (3.6)

3.1 Estimação de um parâmetro 31

Para calcular o vetor de parâmetros θ(t), deve-se encontrar uma equação diferencial paraminimizar a função custo

J(θ) =1

2ε21 =

1

2(y(t)− θ(t)u(t))2 (3.7)

Para tornar J(θ) pequeno, é razoável variar o parâmetro θ no sentido do gradientenegativo de J(θ), tal como

∂θ

∂t= θ = −γ ∂J

∂θ= −γ

∂

(1

2(y − θu)2

)∂θ

(3.8)

sendo γ uma constante positiva.Este método é conhecido como regra de MIT, por ter sido criado no Instituto de Tecno-

logia de Massachusetts (em inglês: Massachusetts Institute of Technology - MIT).Resolvendo (3.8), tem-se

θ = γ (y − θu)u = γε1u (3.9)

Deste modo, a equação (3.9) é uma lei de estimação para um certo parâmetro θ.Outro método interessante para a obtenção de leis de estimação é através da análise de

estabilidade de Lyapunov, que será demonstrado a seguir.Seja uma função quadrática V

V =θ2

2γ(3.10)

se for possível provar que a derivada temporal V ≤ 0 (ou ∂V∂t ≤ 0), então θ será limitado e,

consequentemente, o sistema será estável.A derivada temporal de V é

V =θ

˙θ

γ=θθ

γ(3.11)

note que ˙θ = θ, pois θ∗ é uma constante.

Definindo a seguinte lei de estimação, tal como (3.9)

θ = γε1u (3.12)

e substituindo (3.12) em (3.11), tem-se

V = θε1u (3.13)

Agora substituindo (3.6) em (3.13), tem-se

V = −θ2u2 = −ε21 ≤ 0 (3.14)


Veja que a lei adaptativa (3.12) garante que V ≤ 0 e, deste modo, o sistema é estável,pois θ é limitado. Utilizando a teoria de normas (vide Apêndice C), tem-se que θ ∈ L∞.No entanto, para que o erro paramétrico θ tenda a zero, também será necessário que osinal u(t) seja suficientemente rico em frequência [IS96]. No caso particular de estimaçãode um parâmetro apenas, um sinal de excitação u do tipo degrau unitário é suficiente paraa estimação do respectivo parâmetro, já que este sinal de entrada excita a planta de modoque a solução y já carrega informação sobre o parâmetro θ∗.

A implementação digital de (3.12) pode ser realizada através da aproximação de Euler,conforme é descrito a seguir

θ(k + 1) = θ(k) + Tγε1(k)u(k) (3.15)

3.2 Estimação de dois parâmetrosConsidere uma planta de primeira ordem expressa em espaço de estados

x(t) = −ax(t) + bu(t), x(0) = x0 (3.16)

em que a e b são constantes, mas desconhecidos, ou seja, são parâmetros desconhecidos. Ossinais u e x estão disponíveis para medição. Assume-se que a > 0 (planta estável) e b 6= 0.

O objetivo será estimar a e b, tal que x(t)→ x(t).Assim, o erro de estimação de x é

ε1 = x− x (3.17)

O modelo de estimação em espaço de estados é expresso por

˙x(t) = −a(t)x(t) + b(t)u(t), x(0) = x0 (3.18)

A equação (3.18) é conhecida como modelo paralelo.Agora, deve-se encontrar equações diferenciais para se calcular a(t) (estimação de a) e

b(t) (estimação de b) em tempo real.Usando, novamente, o método de análise de estabilidade de Lyapunov, seja a seguinte

função quadrática

V =1

2

(ε21 + a2 + b2

)(3.19)

em que a(t) = a(t) − a e b(t) = b(t) − b, são os erros paramétricos de a(t) e b(t), respecti-vamente. Provando que V ≤ 0, então ε1(t), a(t) e b(t) são sinais limitados.

A derivada temporal de V é

V = ε1ε1 + a ˙a+ b˙b (3.20)

ou também

V = ε1ε1 + a ˙a+ b˙b (3.21)

3.2 Estimação de dois parâmetros 33

pois ˙a(t) = ˙a(t) e ˙b(t) =

˙b(t), pelo fato de a e b serem constantes.

Agora, é necessário encontrar uma equação para ε1. Assim, derivando (3.17) em relaçãoao tempo, tem-se

ε1 = x− ˙x (3.22)

Substituindo (3.16) e (3.18) em (3.22), pode-se escrever

ε1 = −a(x− x) + (a− a)x− (b− b)u (3.23)

ou simplesmente

ε1 = −aε1 + ax− bu (3.24)

Agora, substituindo (3.24) em (3.21), tem-se

V = −aε21 + axε1 − buε1 + a ˙a+ b˙b (3.25)

Definindo as seguintes leis adaptativas˙a = −xε1 (3.26)

e˙b = uε1 (3.27)

a equação (3.25) será simplesmente

V = −aε21 ≤ 0 (3.28)

Veja que as leis adaptativas (3.26) e (3.27) garantem que V ≤ 0. Deste modo, consi-derando que o sinal u seja suficientemente rico em frequência, os erros paramétricos a eb tendem a zero. No presente caso, onde deseja-se estimar dois parâmetros, um sinal deexcitação u senoidal é suficientemente rico para estimar os dois respectivos parâmetros.

Ainda, adicionando ganhos de adaptação γ1 > 0 e γ2 > 0, pode-se escolher a seguintefunção quadrática

V =1

2

(ε21 +

a2

γ1+b2

γ2

)(3.29)

Definindo as seguintes leis adaptativas˙a = −γ1xε1 (3.30)

e˙b = γ2uε1 (3.31)

a derivada temporal de V (3.29) será simplesmente

V = −aε21 ≤ 0 (3.32)

A implementação digital de (3.30) e (3.31) pode ser realizada através das seguintesequações

a(k + 1) = a(k)− Tγ1x(k)ε1(k) (3.33)

e

b(k + 1) = b(k) + Tγ2u(k)ε1(k) (3.34)


3.3 Estimação de vários parâmetros: caso vetorialAgora, o método será estendido para o caso de um sistema com um número arbitrário deparâmetros.

Considere uma planta de ordem np expressa em espaço de estados

X(t) = AX(t) + Bu(t),X(0) = X0 (3.35)

em que A e B são matrizes constantes mas desconhecidas. Os sinais u e X estão disponíveispara medição. Assumindo que os autovalores de A estão localizados no semiplano esquerdodo plano complexo C (planta estável).

O objetivo será estimar A e B, tal que X(t)→ X(t).Assim, o erro de estimação de X é

ε1 = X− X (3.36)

O modelo de estimação em espaço de estados é

˙X(t) = A(t)X(t) + B(t)u(t), X(0) = X0 (3.37)

Agora, deve-se encontrar equações diferenciais para se calcular A(t) (estimação de A) eB(t) (estimação de B).

Usando o método de Lyapunov: seja uma função quadrática V

V = εT1Pε1 + tr

(ATPA

γ1

)+ tr

(BTPB

γ2

)(3.38)

em que A(t) = A(t) − A e B(t) = B(t) − B, são os erros paramétricos de A(t) e B(t),respectivamente. tr representa a função traço de matriz. Ainda, P = PT > 0, PA+ATP =−I (equação de Lyapunov), e γ1, γ2 > 0. Provando que V ≤ 0, então ε1(t), A(t) e B(t) sãolimitados.

Para o desenvolvimento matemático, precisa-se encontrar uma equação para ε1. Assim,derivando (3.36) em relação ao tempo, tem-se

ε1 = X− ˙X (3.39)


ε1 = A(X− X

)−(A−A

)X−

(B−B

)u (3.40)

ou simplesmente

ε1 = Aε1 − AX− Bu (3.41)

Então, utilizando (3.41) é possível escrever, após algumas deduções matemáticas, aderivada temporal de V como

V = −εT1 ε1 + 2tr

(ATP ˙A

γ1− ATPε1XT +

BTP ˙B

γ2− BTPε1uT

)(3.42)

3.4 Estimação de parâmetros para o modelo entrada-saída 35

ou

V = −εT1 ε1 + 2tr

(ATP

˙A

γ1− ATPε1XT +

BTP˙B

γ2− BTPε1uT

)(3.43)

pois ˙A(t) =˙A(t) e ˙B(t) =

˙B(t), pelo fato de A e B serem constantes.

Agora, definindo as seguintes leis de estimação de parâmetros

˙A = γ1ε1XT (3.44)

e

˙B = γ2ε1uT (3.45)

Assim, substituindo (3.44) e (3.45) em (3.43), tem-se

V = −εT1 ε1 ≤ 0 (3.46)

Veja que as leis adaptativas (3.44) e (3.45) garantem que V ≤ 0. Agora, considerandoum sinal u(t) suficientemente rico em frequência tem-se que os erros paramétricos A(t) eB(t) tendem a zero.

Note que todas as leis de estimação de parâmetros obtidas são equações diferenciais deprimeira ordem. Para implementar estas leis digitalmente, utilize a aproximação de Euler,apresentada no Capítulo 2.

Além disso, para evitar divergências na implementação das leis adaptativas, apresentadasneste capítulo, pode-se utilizar um sinal de normalização m2. No caso vetorial, pode-se

escrever: ˙A =

γ1ε1XT

m2e ˙

B =γ2ε1uT

m2sendo que m2 = 1 + u2 ou m2 = 1 + XTX. O sinal

m2 ajudará a evitar divergências quando os sinais internos possuírem amplitude elevada.No Capítulo 4, uma seção é especialmente dedicada aos sinais de normalização.

A implementação digital de (3.44) e (3.45) pode ser realizada através das seguintesequações

A(k + 1) = A(k) + Tγ1ε1(k)XT (k) (3.47)

e

B(k + 1) = B(k) + Tγ2ε1(k)uT (k) (3.48)

3.4 Estimação de parâmetros para o modelo entrada-saída

Em muitas aplicações, tem-se acesso apenas aos sinais de entrada u e de saída y da planta.Assim, para estimar os parâmetros do respectivo sistema, tem-se que parametrizar a plantade um modo alternativo, como será apresentado a seguir.


3.4.1 ParametrizaçãoSeja um sistema, com entrada u e saída y, representado pela sua função de transferência

y(s)

u(s)=Z(s)

R(s)(3.49)

em que o polinômio R(s) é de ordem n e o polinômio Z(s) é de ordem n− 1. Deste modo,(3.49) pode ser representada pela seguinte razão de polinômios

Z(s)

R(s)=

bn−1sn−1 + bn−2s

n−2 + ...+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 + ...+ a1s+ a0

(3.50)

A parametrização do sistema irá gerar um novo sinal de saída h, da seguinte forma

h = θ∗Tφ (3.51)

sendo que θ∗ é o vetor que contém os coeficientes reais da planta

θ∗ = [bn−1; bn−2; ..., b1; b0; an−1; an−2; ...; a1; a0]T (3.52)

e o vetor φ

φ =

[αTn−1(s)

Λ(s)u;−

αTn−1(s)

Λ(s)y

]T(3.53)

contém os sinais de entrada u e saída y filtrados, sendo que

αi(s) =[si; si−1; ...; 1

]T (3.54)

e

Λ(s) = sn + λn−1sn−1 + ...+ λ1s+ λ0 (3.55)

é um polinômio Hurwitz arbitrário. Apesar da grande liberdade na escolha do polinômioΛ(s), este ainda deve possuir uma certa banda passante que mantenha a excitação dos sinaisdo vetor φ. Pode-se afirmar, assim, que o vetor φ deve ser persistemente excitante (PE).

A partir do sinal h pode-se reconstruir o sinal de saída y, da seguinte forma

y = h+ λTαn−1(s)

Λ(s)y (3.56)

e, portanto,

h = y − λT αn−1(s)Λ(s)

y (3.57)

sendo que λ = [λn−1;λn−2; ...;λ1;λ0]T .


3.4.2 Lei de adaptação paramétricaA estimação do sinal h é expressa por

h = θTφ (3.58)

e o erro de estimação de h

ε1 = h− h = h− θTφ (3.59)

Com o intuito de se obter uma lei de adaptação paramétrica, define-se a seguinte funçãocusto

J(θ) =ε212

=(h− θTφ)2

2(3.60)

A variação do parâmetro θ, no tempo, ocorrerá no sentido negativo do gradiente dafunção custo J , ou seja

dθ

dt= −Γ

∂J

∂θ= Γ

(h− θTφ

)φ (3.61)

ou simplesmentedθ

dt= Γεφ (3.62)

A equação acima é denominada: lei de adaptação Gradiente.Note que, na equação (3.62), o vetor φ influencia diretamente na variação do vetor θ.

Assim, é necessário que o filtro λ(s) não atenue, significativamente, as distintas frequênciasdo sinal de entrada u, para que, deste modo, pode-se encontrar os valores verdadeiros doscoeficientes da planta.

Para a implementação de (3.62), em tempo discreto, pode-se utilizar a seguinte equação

θ(k + 1) = θ(k) + TΓε(k)φ(k) (3.63)

3.5 Exercícios resolvidosAs soluções numéricas dos exercícios a seguir estão no Apêndice E.

3.5.1 Estimação de um parâmetroSeja um circuito elétrico modelado pela primeira lei de Ohm: i(t) = Gv(t), em que v é atensão, i é a corrente e G é a condutância elétrica. Suponha que G = 2. Então, projetee programe um estimador em tempo discreto para o parâmetro G, considerando que v é avariável de entrada (ou variável de excitação).

Solução:

A lei de adaptação paramétrica é baseada na Seção 3.1. A lei de Ohm é equacionada daseguinte forma: y(t) = θ∗u(t), sendo que y(t) = i(t), v(t) = u(t) e θ∗ = G. Foi escolhido umperíodo de amostragem T = 10 ms e um ganho de adaptação γ = 1. Como foi comentadono Capítulo 1, para a identificação de um parâmetro, um sinal de excitação do tipo degraué suficiente. No caso, usa-se u = 1.

A Figura 3.2 apresenta a identificação do parâmetro G = 2.A Figura 3.3 apresenta o erro de estimação de y.


0 5 10 15 20

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 3.2: Identificação do parâmetro G = 2.

0 5 10 15 20

-2

-1

0

1

2

3

Figura 3.3: Erro de estimação de y : ε1 = y − y.


3.5.2 Estimação de dois parâmetrosUm sistema dinâmico é representado pela seguinte equação: x(t) = −ax(t)+bu(t). Suponhaque a = 2 e b = 1. Então, projete e programe um estimador em tempo discreto para os doisparâmetros.

Solução:

A lei de adaptação paramétrica é baseada na Seção 3.2.Foi escolhido um período de amostragem T = 10 ms e ganhos de adaptação γ1 = 10 e

γ2 = 10. Para identificação de dois parâmetros, um sinal de excitação senoidal já é suficientepara que haja convergência paramétrica. No caso, foi utilizado um sinal de excitação u =sin (2πt).

A Figura 3.4 apresenta a identificação dos parâmetros a = 2 e b = 1.

0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 3.4: Identificação dos parâmetros a (vermelho) e b (azul).

A Figura 3.5 apresenta o erro de estimação de x.


0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 3.5: Erro de estimação de x : ε1 = x− x.

3.5.3 Estimação dos parâmetros de um circuito LCR

Seja o circuito elétrico LCR (Figura 2.1). Considere L = 1 mH, C = 100 µF e R =20 Ω. Projete um estimador de parâmetros em tempo discreto que identifique R, L e Cautomaticamente. Obs.: todos os estados estão disponíveis para medição.

Solução:

A lei de adaptação paramétrica é baseada na Seção 3.3.

Foi escolhido um período de amostragem T = 0, 5 µs e ganhos de adaptação γ1 = 2.107

e γ2 = 2.107. Embora o período T escolhido seja muito pequeno e os ganhos γ1 e γ2, muitograndes, essas escolhas foram feitas para que a simulação no Matlab se desenvolva maisrápido. O sinal de normalização escolhido foi: m2 = 1 + u2. Para garantir convergência detodos os parâmetros, um sinal de excitação do tipo onda quadrada u = square (400πt) foiutilizado.

A realização discreta do estimador de parâmetros, da matriz A e do vetor B é apresen-tada abaixo:[

a11(k) a12(k)a21(k) a22(k)

]=

[a11(k − 1) a12(k − 1)a21(k − 1) a22(k − 1)

]+ ...

...

Tγ1

[ε11(k − 1)ε12(k − 1)

] [x1(k − 1) x2(k − 1)

]m2


[b1(k)

b2(k)

]=

[b1(k − 1)

b2(k − 1)

]+

Tγ2

[ε11(k − 1)ε12(k − 1)

]u

m2

O modelo de estimação de estados (3.37) é discretizado através do método de Euler.Neste problema, quanto menor for o período de amostragem, mais exatos serão os valores

de L, C e R. Com o período utilizado, chega-se a: L = 1, 0000029 mH, C = 100, 0126 µF eR = 19, 90 Ω.

3.5.4 Estimação de parâmetros: abordagem entrada-saídaProjete e simule um estimador de parâmetros, em tempo discreto, para a planta G(s) =

2s+ 1

s2 + 3s+ 4, com base apenas nas medições de entrada e saída.

Solução:

Com base na Seção 3.4, devem-se projetar os seguintes itens: sinal de excitação u, Γ,αn−1, Λ(s) e o período de amostragem T .

Foi escolhido um período de amostragem T = 10 ms e Γ = 200I. Para garantir con-vergência de todos os parâmetros, um sinal de excitação, rico em frequência, do tipo onda

quadrada u = square

(2πt

5

)foi utilizado. Como a ordem da planta é n = 2, foi definido

um polinômio Hurwitz Λ(s) = s2 + s + 10 e o vetor α1 = [s; 1]T . O polinômio Λ(s) foiescolhido de modo a manter a excitação do vetor φ.

O vetor de parâmetros a ser estimado é: θ∗ = [b1; b0; a1; a0]T , sendo b1 = 2, b0 = 1,

a1 = 3 e a0 = 4.A Figura 3.6 apresenta a convergência de todos os coeficientes estimados da planta: b1,

b0, a1 e a0.A Figura 3.7 apresenta o erro de estimação do sinal h, ou seja, ε1 = h− h.


0 50 100 150 200 250 300

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 3.6: Estimação dos coeficientes da planta G(s).

0 50 100 150 200 250 300

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 3.7: Erro de estimação ε1 = h− h.

3.6 Ordem de execução das variáveis 43

3.6 Ordem de execução das variáveisA seguir é apresentada a ordem de execução das variáveis, a cada período de amostragem,para estimação dos respectivos parâmetros.

3.6.1 Estimação de um parâmetro• Atualização da variável de entrada u(k)• Medição da variável de saída y(k)• Atualização do parâmetro θ(k) = θ(k − 1) + Tγε1(k − 1)u(k − 1)• Estimação da variável de saída y(k)=θ(k)u(k)• Erro de estimação da variável de saída ε1(k) = y(k)− y(k)

3.6.2 Estimação de dois parâmetros• Atualização da variável de entrada u(k)• Medição do estado x(k)• Estimação do primeiro parâmetro a(k) = a(k − 1)− Tg1ε1(k − 1)x(k − 1)• Estimação do segundo parâmetro b(k) = b(k − 1) + Tg2ε1(k − 1)u(k − 1)• Estimação do estado x(k) = [1− a(k − 1)T ]x(k − 1) + b(k − 1)Tu(k − 1)• Erro de estimação do estado ε1(k) = x(k)− x(k)

3.6.3 Estimação de vários parâmetros: caso vetorial• Atualização da variável de entrada u(k)• Medição do estado X(k)• Estimação da matriz de estado A(k) = A(k − 1) + Tγ1ε1(k − 1)XT (k − 1)• Estimação da matriz de entrada B(k) = B(k − 1) + Tγ2ε1(k − 1)uT (k − 1)• Estimação do vetor de estado X(k) = [I + A(k − 1)T ]X(k − 1) + B(k − 1)Tu(k − 1)• Erro de estimação do vetor de estado ε1(k) = X(k)− X(k)

3.6.4 Estimação de parâmetros para o modelo entrada-saída• Atualização da variável de entrada u(k)• Medição da variável de saída y(k)• Atualização do vetor φ(k)• Atualização do vetor de parâmetros θ(k), que contém os coeficientes da planta• Atualização do sinal h(k)• Estimação de h(k): h(k)• Erro de estimação ε1(k) = h(k)− h(k)

4. Controle por modelo de referência

Este capítulo tem o objetivo de apresentar leis adaptativas para estimação (ou identificação)dos ganhos em controladores por modelo de referência.

O leitor notará que a grande maioria dos controladores adaptativos encontrados naliteratura utilizam modelo de referência devido à sua natureza mais intuitiva no projeto decontroladores. Assim, o desempenho do sistema em malha fechada estará dentro do modelode referência escolhido.

4.1 Controle adaptativo por modelo de referência: entrada-saída

Um sistema de controle por modelo de referência é aquele em que o comportamento dinâmicodo sistema em malha fechada é, idealmente, idêntico ao de um modelo de referência escolhidoWm(s) pelo projetista, conforme ilustrado na Figura 4.1, de modo que o sinal y siga o sinalym. Ou seja, as especificações de desempenho do controlador são definidas por uma funçãode transferência pré-definida (no caso, Wm), considerando um certo sinal de entrada r. Apartir das variáveis de entrada u e saída y da planta G(s), calcula-se um vetor de parâmetrosθ de tal modo que o erro de rastreamento e1 seja minimizado.

Assim, deseja-se que a resposta y da planta siga a resposta ym do modelo de referênciaWm(s).

Para facilitar o entendimento desta teoria, considere, inicialmente, uma planta de pri-meira ordem com parâmetros conhecidos.

4.1.1 Planta de primeira ordem com parâmetros conhecidos

Seja uma planta SISO de primeira ordem

Gp(s) =Y (s)

U(s)=

bps+ ap

(4.1)

46 Capítulo 4. Controle por modelo de referência

Figura 4.1: Controlador adaptativo por modelo de referência.

e um modelo de referência de primeira ordem

Wm(s) =Ym(s)

R(s)=

bms+ am

(4.2)

Define-se a seguinte lei de controle

U(s) = θ∗1R(s)− θ∗2Y (s) (4.3)

em que θ∗1 e θ∗2 são os ganhos do controlador, R(s) é um sinal de referência, Y (s) é a saídada planta (4.1) e Ym(s) é a saída do modelo de referência (4.2). O leitor concluirá, logo aseguir, que (4.3) possibilita realizar o “casamento” entre o modelo de referência Wm(s) e o

sistema em malha fechadaY (s)

R(s).

Para que o sistema em malha fechada se comporte tal como o modelo de referência, énecessário que Y (s) = Ym(s). Para isto, escreve-se

Y (s)

R(s)=Ym(s)

R(s)= Wm(s) (4.4)

4.1 Controle adaptativo por modelo de referência: entrada-saída 47

A saída da planta pode ser expressa como

Y (s) = Gp(s)U(s) (4.5)

Substituindo (4.3) em (4.5), pode-se escrever

Y (s)

R(s)=

Gp(s)θ∗1

1 +Gp(s)θ∗2(4.6)

Substituindo (4.1) em (4.6) e, adicionalmente, usando (4.4), pode-se escrever a seguinteequação de casamento

Y (s)

R(s)=

bpθ∗1

s+ ap + bpθ∗2=

bms+ am

=Ym(s)

R(s)(4.7)

Assim, os ganhos verdadeiros do controlador por modelo de referência são θ∗1 =bmbp

e

θ∗2 =am − apbp

. Note que o sobre-escrito “∗” significa que o valor do parâmetro é o verdadeiro,

ou desejado.O controlador apresentado aqui é denominado MRC (Model Reference Controller), ga-

rante que y = ym somente se a planta for perfeitamente conhecida (ap e bp conhecidos).Caso a planta tenha parâmetros desconhecidos ou incertos, um mecanismo de adaptação deparâmetros pode ser utilizado.

4.1.2 Um primeiro mecanismo de adaptação de parâmetrosImagine um sistema com um parâmetro a ser adaptado: θ. Propõe-se ajustar este parâmetrode modo que a função custo

J(θ) =1

2e21 (4.8)

seja minimizada. Neste caso, e1 representa um erro (e1 = y − ym, por exemplo). Paratornar J pequeno, é razoável modificar o parâmetro θ no sentido do gradiente negativo deJ (Regra de MIT), tal como

θ = −γ ∂J∂θ

= −γe1∂e1∂θ

(4.9)

em que γ é um ganho positivo e constante.Assim, será utilizado este primeiro método para identificar os parâmetros θ1 e θ2 para

o controle adaptativo por modelo de referência em uma planta de primeira ordem comparâmetros ap e bp desconhecidos.

4.1.3 Planta de primeira ordem com parâmetros desconhecidosFoi visto, anteriormente, que para o projeto do controlador por modelo de referência emuma planta de primeira ordem, necessita-se calcular dois parâmetros: θ1 e θ2. Deste modo,para utilizar a regra de MIT, calcula-se

dθ1dt

= −γe1∂e1∂θ1

(4.10)


e

dθ2dt

= −γe1∂e1∂θ2

(4.11)

Definindo o erro de rastreamento como

e1 = y − ym (4.12)

Agora, substituindo (4.12) nas derivadas∂e1∂θ2

e∂e1∂θ2

, tem-se

∂e1∂θ1

=∂y

∂θ1− ∂ym∂θ1

=∂y

∂θ1(4.13)

e

∂e1∂θ2

=∂y

∂θ2− ∂ym∂θ2

=∂y

∂θ2(4.14)

Note que∂ym∂θ1

= 0 e∂ym∂θ2

= 0 devido ao fato de que ym é um sinal que independe do

parâmetro a ser adaptado.A partir de (4.7), pode-se escrever

Y (s) =bpθ1

s+ ap + bpθ2R(s) (4.15)

Considerando que “s” no domínio da frequência é equivalente ao operador diferencial no

domínio do tempo, ou seja s ≡ d(.)

dt, assim, para realizar a derivada parcial no domínio do

tempo∂y

∂θ1, reescreve-se (4.15) da seguinte forma

y(t) =bpθ1

d(.)

dt+ ap + bpθ2

r(t) (4.16)

Agora, derivando parcialmente y(t) em relação a θ1, tem-se

∂y

∂θ1=

bpd(.)

dt+ ap + bpθ2

r (4.17)

Utilizando a mesma ideia para determinar θ2, derivando parcialmente y(t) em relação aθ2 obtém-se

∂y

∂θ2=

−b2pθ1(d(.)

dt+ ap + bpθ2

)2 r (4.18)


De (4.16) e (4.18), tem-se ainda

∂y

∂θ2=

−bpθ1d(.)

dt+ ap + bpθ2

y (4.19)

Então, é possível obter as derivadas parciais (4.17) e (4.19) necessárias para se calcular(4.10) e (4.11). No entanto, ap e bp são desconhecidos, o que nos impossibilita, a princípio,de calcular os respectivos parâmetros θ1 e θ2.

Se os coeficientes ap e bp fossem conhecidos, seria possível escrever

ap + bpθ∗2 = am (4.20)

mas se for considerado que θ1 e θ2 estão próximos dos seus valores verdadeiros (θ∗1 e θ∗2),então a seguinte aproximação é suficiente

ap + bpθ2 ≈ am (4.21)

Utilizando a aproximação (4.21) em (4.19) e (4.17), pode-se reescrever (4.10) e (4.11)como

dθ1dt

= −γ

(amr

d(.)dt + am

)e1 (4.22)

e

dθ2dt

= γ

(amy

d(.)dt + am

)e1 (4.23)

em que γ =γ′bpam

, e γ′ é uma constante positiva. Note que não é necessário saber exatamente

o valor de bp, apenas o seu sinal, pois γ é um valor escolhido pelo projetista com o objetivode se ajustar a velocidade de adaptação dos parâmetros θ1 e θ2. Assim, o valor de bp estádentro de γ.

Ainda, pode-se expressar (4.22) e (4.23) da seguinte forma alternativa

dθ1dt

= −γ(

amr

s+ am

)e1 (4.24)

e

dθ2dt

= γ

(amy

s+ am

)e1 (4.25)

Note que a representação em (4.24) e (4.25) mistura as variáveis independentes tempo“t” e frequência “s”. Mas o objetivo é apenas salientar que os sinais r e y são filtrados pelofiltro de primeira ordem

F (s) =am

s+ am(4.26)


Para a implementação digital de (4.24) e (4.25), pode-se utilizar a aproximação de Euler,como é mostrado a seguir

θ1(k + 1) = θ1(k)− Tγζr(k)e1(k) (4.27)

e

θ2(k + 1) = θ2(k) + Tγζy(k)e1(k) (4.28)

em que ζr(k) = F (z)r(k) e ζy(k) = F (z)y(k), e F (z) é a forma discreta do filtro (4.26). AFigura 4.2 apresenta um diagrama que ilustra os sinais r e y sendo processados pelo filtroF (z), gerando os sinais de saída ζr e ζy.

Figura 4.2: Processamento de sinal realizado pelo filtro F (z).

Por exemplo: para a implementação do filtro digital (genérico) de primeira ordem F (z) =ζr(z)

r(z)=

βmz + αm

, realiza-se o produto cruzado e, posteriormente, aplica-se a Transformada

Z−1 e, assim, tem-se a seguinte equação recursiva: ζr(k) = βmr(k − 1)− αmζr(k − 1).Este controlador adaptativo é denominado: MRAC (Model Reference Adaptive Control-

ler).

Exemplo ilustrativo

Seja uma planta Gp(s) =0, 8

s+ 1, 4, um modelo de referência Wm(s) =

3

s+ 3e um filtro

auxiliar F (s) =3

s+ 3. A Figura 4.3 apresenta a resposta y da planta e a resposta ym do

modelo de referência, e a Figura 4.4 apresenta os parâmetros adaptados θ1 e θ2, considerandoum ganho de adaptação γ = 2. Nesta simulação, a referência r é um sinal quadrado (sinal

rico em frequência) com amplitude unitária e período igual a 20 s, ou seja r = square

(2πt

20

).

O sistema foi discretizado utilizando um período de amostragem T = 10 ms e os modelosem s foram discretizados utilizando um ZOH (Zero-Order-Hold). Note que, considerandoγ = 2, os parâmetros θ1 e θ2 ainda não convergiram totalmente no gráfico.

Com o intuito de acelerar a convergência, uma nova simulação foi realizada considerandoγ = 5 (Figuras 4.5 e 4.6).

Assim, com γ = 5 os parâmetros θ1 e θ2 convergem para os valores verdadeiros θ∗1 = 3, 72e θ∗1 = 1, 97 (calculados a partir dos modelos em z) em cerca de 150 s. A medida que o valorde γ aumenta, mais rápida será a adaptação dos parâmetros do controlador. No entanto,valores muito elevados para γ podem tornar o sistema em tempo discreto instável.


0 50 100 150 200 250 300

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 4.3: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência com γ = 2.

0 50 100 150 200 250 300

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 4.4: Parâmetros adaptados θ1 e θ2 com γ = 2.


0 50 100 150 200 250 300

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 4.5: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência com γ = 5.

0 50 100 150 200 250 300

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 4.6: Parâmetros adaptados θ1 e θ2 com γ = 5.


4.1.4 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo n∗p = 1

Aqui, será desenvolvido um controlador adaptativo por modelo de referência para plantascom grau relativo unitário, descrito no livro “Robust Adaptive Control ” [IS96].

Então, considere uma planta Gp(s) de ordem np com grau relativo n∗p = 1. Inicialmente,modela-se a planta da seguinte forma

Gp(s) = kpZp(s)

Rp(s)(4.29)

em que kp é um ganho com sinal conhecido, Zp(s) é um polinômio mônico Hurwitz e Rp(s)é um polinômio mônico. Zp(s) possui mp raízes e Rp(s) possui np raízes, de tal modo deque o grau relativo de (4.29) é n∗p = np −mp, em que n∗p é igual a 1.

Agora, considere um modelo de referência estável

Wm(s) = kmZm(s)

Rm(s)(4.30)

em que km é um ganho escolhido pelo projetista, Zm(s) é um polinômio mônico Hurwitz eRp(s) é um polinômio mônico Hurwitz. Zm(s) possui mm raízes e Rm(s) possui nm raízes,de tal modo de que o grau relativo de (4.30) é n∗m = nm −mm, em que n∗m é igual a 1.

A ação de controle é expressa por

u = θTω (4.31)

em que ω =[ωT1 ;ωT2 ; y; r

]T , e ω1,ω2 ∈ Rnp−1. O vetor de ganhos θ =[θT1 ;θT2 ; θy; θr

]T , eθ1,θ2 ∈ Rnp−1.

A atualização de ω1 e ω2 é realizada através das seguintes equações

ω1 = Fω1 + qu (4.32)

e

ω2 = Fω2 + qy (4.33)

em que ω1(0) = 0 e ω2(0) = 0. O par (F,q) é controlável, F ∈ Rnp−1×np−1 e q ∈ Rnp−1.A implementação digital de (4.32) e (4.33) pode ser realizada pelo método de Euler da

seguinte forma

ω1(k + 1) = (I + FT )ω1(k) + qTu(k) (4.34)

e

ω2(k + 1) = (I + FT )ω2(k) + qTy(k) (4.35)

A seguinte lei de adaptação paramétrica poderá ser utilizada

θ(t) = −Γω(t)e1(t)sign(ρ∗) (4.36)

em que ρ∗ = kp/km, sign(.) representa a função sinal, e Γ = ΓT > 0, ou seja Γ é simétrica edefinida positiva (autovalores de Γ localizados no semiplano direito do plano complexo C).


A implementação digital de (4.36) pode ser realizada da seguinte forma

θ(k + 1) = θ(k)− TΓω(k)e1(k)sign(ρ∗) (4.37)

Lembrando que estas equações são válidas apenas para o controle de plantas com graurelativo unitário. Para o controle de plantas de grau relativo n∗p =≥ 1, algumas modificaçõessão necessárias.

4.1.5 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo n∗p ≥ 1

No mesmo livro [IS96], um controlador adaptativo por modelo de referência para plantascom grau relativo n∗p ≥ 1. Assim, quando o grau relativo da planta for n∗p ≥ 1, o algoritmode adaptação pode ser escrito da seguinte forma

θ(t) = −Γζ(t)ε1(t)sign(ρ∗) (4.38)

em que o erro aumentado é expresso por

ε1(t) = e1(t) + θT (t)ζ(t)−Wm(s)(θT (t)ω(t)

)(4.39)

(vide Apêndice A) sendo que o termo Wm(s)(θT (t)ω(t)

)representa a filtragem do sinal

escalar θT (t)ω(t) pelo modelo de referência Wm(s), ou Wm(z) para o caso discreto. E porfim, tem-se ζ(t) = Wm(s)Iω(t).

O erro aumentado ε1 está diretamente relacionado às provas de estabilidade para garantirque haja convergência paramétrica do vetor θ.

Para implementação digital do erro aumentado, escreve-se

ε1(k) = e1(k) + θT (k)ζ(k)−Wm(z)(θT (k)ω(k)

)(4.40)

O restante do equacionamento é idêntico ao apresentado na Seção 4.1.4.

4.2 Normalização de leis adaptativasO leitor notará que as leis adaptativas apresentadas nas seções anteriores possuem um graveproblema: a lei adaptativa diverge quando a amplitude da referência é grande. Para resolvereste problema utiliza-se normalização.

A normalização consiste em dividir a lei de adaptação por uma função escalar quadráticam2. Este sinal de normalização m2 é, normalmente, composto pelo sinais internos da malhafechada, que se encontram no numerador da lei de adaptação de parâmetros. Deste modo,este sinal m2 age como um freio que evita a divergência dos parâmetros estimados. Algumassoluções usuais são

m2 = 1 + ωTω (4.41)

ou

m2 = 1 + ζT ζ (4.42)

4.3 Rejeição adaptativa de distúrbios periódicos 55

ou ainda

m2 = 1 + ζTΓζ (4.43)

Veja que o termo 1, nas equações, é utilizado para evitar que m2 cruze por 0.Assim, tem-se, por exemplo, a seguinte lei adaptativa normalizada

θ(t) = −Γζ(t)ε1(t)sign(ρ∗)

m2(t)(4.44)

Quando m2 = 1, afirma-se que a lei adaptativa é não-normalizada.A implementação digital de (4.44) pode ser realizada da seguinte forma

θ(k + 1) = θ(k)− TΓζ(k)ε1(k)sign(ρ∗)

m2(k)(4.45)

Nos capítulos posteriores será mostrado que o sinal de normalização também aumentaa robustez do controlador em relação às dinâmicas não modeladas.

4.3 Rejeição adaptativa de distúrbios periódicosEm muitas aplicações, a planta é sujeita a distúrbios externos periódicos. Estes distúrbiospodem ser atenuados através da sua medição e, concomitantemente, pela sua incorporaçãona lei de controle. No entanto, pelo fato da fase do distúrbio ser, normalmente, desconhecidaserá utilizada a decomposição em componentes de seno e cosseno.

Seja um sistema modelado por espaço de estados com um distúrbio periódico d(t)

x(t) = −ax(t) + bu(t) + fd(t) (4.46)

em que a, b e f são constantes reais.Por simplicidade, supõe-se que d(t) seja um sinal senoidal mensurável

d(t) = Asin(ωot+ φo) (4.47)

em que A, ωo e φo são: amplitude, frequência angular e ângulo de fase, respectivamente.Expressando o distúrbio d(t) como

d(t) = Asin(ωot+ φo) = Asin(φo)cos(ωot) +Acos(φo)sin(ωot) (4.48)

ou simplesmente

d(t) = Accos(ωot) +Assin(ωot) (4.49)

Pode-se atenuar o distúrbio d(t) (4.49) através da seguinte ação de controle

ud(t) = θc(t)cos(ωot) + θs(t)sin(ωot) (4.50)

em que θc(t) e θs(t) são parâmetros a serem identificados e a frequência ωo é um parâmetroconhecido através da medição do distúrbio.


Deste modo, a lei de adaptação paramétrica irá identificar os pesos θc e θs para a atenuaro distúrbio da planta. Note que é necessário a obtenção das componentes em cosseno e seno(isto é, em fase e em quadratura) do respectivo distúrbio, a partir da medição do mesmo.

Se o distúrbio d(t) não for senoidal, ainda é possível estender a técnica considerandomais componentes harmônicas ωo1, ωo2, ωo3 e assim por diante, tal como

ud(t) =

imax∑i=1

[θci(t)cos(ωoit) + θsi(t)sin(ωoit)] (4.51)

em que i é o índice da harmônica.Por fim, adiciona-se a equação (4.51) na lei de controle

utotal(t) = u(t) + ud(t) (4.52)

Para a implementação de um controlador MRAC com rejeição de distúrbios senoidais,tem-se o vetor de ω =

[ωT1 ;ωT2 ; y; r;Vs;Vc

]T e o vetor de ganhos θ =[θT1 ;θT2 ; θy; θr; θs; θc

]T .V s e Vc são componentes em seno e cosseno, respectivamente, por exemplo: Vs = Asin(ωot)e Vc = Acos(ωot). Adicionamente, os sinais filtrados ζs e ζc são: ζs = Wm(s)Vs e ζc =Wm(s)Vs.

Para um melhor entendimento do conteúdo desta Seção, recomenda-se o estudo do exer-cício resolvido no final deste capítulo.

4.4 Controle adaptativo por modelo de referência com realimentação de es-tadosAs equações apresentadas anteriormente, supõe o acesso apenas aos sinais de entrada esaída da planta, u e y. No entanto, se for possível acessar os estados da planta, ou seja,o vetor X = [x1;x2;x3; ...;xn]T , os vetores ω1 e ω2 poderão ser substituídos pelo vetor deestado X. Deste modo, é possível entender que os vetores ω1 e ω2 têm a função de estimarinformações dos estados internos da planta. No entanto, é importar salientar que os estadosω1 e ω2 não serão iguais aos estados x1 e x2. Além disso, em muitos casos, um dos estadospoderá ser a própria saída da planta, ou seja x2 = y.

Veja o exemplo a seguir :Deseja-se controlar uma planta de segunda ordem. Se for utilizado apenas a realimen-

tação da saída, tem-se o seguinte vetor ω: ω = [ω1;ω2; y; r]T . No entanto, se for realizadauma realimentação adaptativa de estados, considerando que um dos estados é a própriasaída y da planta (x2 = y), tem-se o seguinte vetor ω: ω = [x1; y; r]T . Conclui-se entãoque, para a mesma planta de segunda ordem, o método de realimentação da saída necessitada adaptação de 4 parâmetros (θ = [θ1; θ2; θy; θr]

T ), enquanto na realimentação plena deestados, necessita-se adaptar 3 parâmetros (θ = [θ1; θy; θr]

T )

4.5 Exercícios resolvidos4.5.1 Planta de primeira ordem

Considere uma planta Gp(s) =0, 5

s+ 1, um modelo de referência Wm(s) =

2

s+ 2e um sinal

de referência r = square

(2πt

20

). Então, resolva:


a) Projete e simule um controlador por modelo de referência em tempo contínuo e tempodiscreto para a respectiva planta, com um período de amostragem T = 10 ms;

b) Projete e simule um controlador adaptativo por modelo de referência em tempodiscreto com T = 10 ms. Compare os resultados para γ = 1, 2 e 3.

Solução:

a) Utilizando a equação de casamento (4.7), pode-se escrever:0, 5θ∗1

s+ 1 + 0, 5θ∗2=

2

s+ 2Assim, os ganhos do MRC de tempo contínuo são: θ∗1 = 4 e θ∗2 = 2.Se forem utilizados os modelos discretos por meio de um retentor de ordem zero:

Gp(z) =0, 004975

z − 0, 99005eWm(z) =

0, 0198013

z − 0, 980199Pode-se escrever a equação de casamento da seguinte forma:

0, 004975θ∗1z − 0, 99005 + 0, 004975θ∗2

=0, 0198013

z − 0, 980199E, assim, tem-se os seguinte ganhos do MRC de tempo discreto: θ∗1 = 3, 98 e θ∗2 = 1, 98.Veja que, a medida que o período de amostragem torna-se mais pequeno, os ganhos do

MRC de tempo contínuo se aproximam dos ganhos do MRC de tempo discreto.A Figura 4.7 apresenta a resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência.

Note que ambas as respostas são iguais devido ao fato de ser conhecer exatamente o modeloda planta.

b) Para o controle da planta de primeira ordem Gp(s), pode-se utilizar o controladorMRAC apresentado na Seção 4.1.3. Neste controlador, o filtro auxiliar F (s) (estável) pode

ser escolhido como: F (s) =2

s+ 2, igual ao modelo de referência.

Os gráficos deste exercício serão omitidos devido ao fato de serem semelhantes ao doexemplo analisado neste capítulo (ver exemplo na Seção 4.1.3).

4.5.2 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗p = 1

Considere uma planta Gp(s) =−2s− 10

s2 − 2s+ 1, um modelo de referência Wm(s) =

3

s+ 3e um

sinal de referência r = square

(2πt

20

).

Então, projete e simule um controlador adaptativo por modelo de referência em tempodiscreto com T = 1 ms.

Solução:

O controlador MRAC utilizado para esta planta é apresentado na Seção 4.1.4. Nestecontrolador, deve-se definir o par (F, q), o sinal de normalização e o ganho de adaptaçãoγ. O par escolhido foi F = −1 e q = 1 e o ganho de adaptação foi γ = 20. O sinal denormalização escolhido foi: m2 = 1 + ωTω.

A Figura 4.8 apresenta a resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência.Note na Figura 4.8 que o rastreamento é atingido rapidamente.


0 20 40 60 80 100

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 4.7: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência com o controladorMRC.

A Figura 4.9 apresenta a adaptação dos quatro ganhos do controlador MRAC.Assim que os quatro ganhos do controlador convergem, o erro de rastreamento tende a

zero.

4.5.3 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗p = 2

Seja o circuito elétrico LCR (Figura 2.1). Considere L = 1 mH, C = 100 µF e R = 100 Ωcom condições inicias nulas. Projete um controlador adaptativo por modelo de referênciaem tempo discreto para controlar a tensão y, considerando T = 100 µs, um modelo de

referência Wm(s) =10.106

s2 + 1000s+ 10.106um sinal de referência r = 311sin (2π60t). Utilize

a abordagem entrada-saída.

Solução:

O controlador MRAC utilizado para esta planta é apresentado na Seção 4.1.5. Nestecontrolador, deve-se definir o par (F, q), o sinal de normalização e o ganho de adaptação γ.O par escolhido foi F = −10000 e q = 10000 e o ganho de adaptação foi γ = 200. O sinalde normalização escolhido foi: m2 = 1 + ζT ζ.

A Figura 4.10 apresenta a saída y da planta (corrente i) e a saída ym do modelo dereferência.

A Figura 4.11 apresenta o erro de rastreamento entre y e ym.A Figura 4.12 apresenta os ganhos do controlador.É importante salientar que a referência r, puramente senoidal, não é capaz de excitar


0 50 100 150 200 250 300

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 4.8: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência com o controladorMRAC.

0 200 400 600 800 1000

-5

0

5

Figura 4.9: Ganhos do controlador MRAC.


0 0.05 0.1 0.15 0.2

-300

-200

-100

0

100

200

300

Figura 4.10: Saída y da planta (corrente i) e a saída ym do modelo de referência.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-150

-100

-50

0

50

100

150

Figura 4.11: Erro de rastreamento entre y e ym.


0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4.12: Ganhos do controlador.

todos os modos de uma planta de segunda ordem. Devido a isso, o vetor de ganhos θ nãoconvergirá para o vetor θ∗. No entanto, um conjunto solução θ∗ será encontrado para arespectiva referência senoidal de modo a zerar o erro de rastreamento.


4.5.4 Inversor conectado à rede elétrica com filtro L: rejeição adaptativa de distúrbioperiódicoSeja o circuito elétrico apresentado na Figura 4.13, onde PCC representa o Point of CommonCoupling (Ponto de acoplamento Comum). A variável u representa a tensão de saída deum inversor monofásico. Considere Lc = 5 mH (indutância do filtro de saída), Lg = 1 mH(indutância da rede), rc = 0, 2 Ω (resistência parasita do indutor Lc), rg = 0, 2 Ω (resistênciaparasita do indutor Lg). A tensão da rede é vg = 311sin(2π60t+

π

4).

A partir destes parâmetros, projete um controlador adaptativo por modelo de referênciaem tempo discreto para controlar a corrente i no filtro L, considerando um período deamostragem T = 100 µs e um sinal de referência de corrente r = 5sin(2π60t).

Figura 4.13: Modelo de um inversor com filtro L conectado à rede elétrica.

Solução:

Pelo fato do modelo da planta ser de primeira ordem, o controlador MRAC utilizadoé baseado na Seção 4.1.3, com o sistema de rejeição de distúrbios apresentado na Seção

4.3. O modelo de referência escolhido foi: Wm =20000

s+ 20000. Este modelo de referência

garante ganho próximo a 0 dB e fase praticamente nula na frequência de 60 Hz e, assim,ym e r possuirão amplitudes e fases semelhantes. Neste problema, será considerado quea frequência do distúrbio é conhecida, no caso de 60 Hz. Isto é muito comum, já que,muitas vezes, o distúrbio pode ser medido. Assim, as componentes em cosseno e senosão: Vc = 10cos(2π60t) e Vs = 10sin(2π60t), respectivamente. O ganho de adaptação éγ = 5000. O sinal de normalização escolhido foi: m2 = 1 + y2 + r2 + ζ2c + ζ2s .

A Figura 4.14 apresenta a saída y da planta e a saída ym do modelo de referência.A Figura 4.15 apresenta o erro de rastreamento entre y e ym.A Figura 4.16 apresenta os ganhos do controlador, θ1 e θ2.A Figura 4.17 apresenta os ganhos do controlador relativos a parcela de rejeição de

distúrbio, θc e θs.


0 0.05 0.1 0.15 0.2

-15

-10

-5

0

5

10

15

Figura 4.14: Saída y da planta e a saída ym do modelo de referência.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-50

0

50

Figura 4.15: Erro de rastreamento entre y e ym.


0 0.05 0.1 0.15 0.2

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Figura 4.16: Ganhos do controlador, θ1 e θ2.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Figura 4.17: Ganhos do controlador, θc e θs.

4.6 Ordem de execução das variáveis 65

4.6 Ordem de execução das variáveisA seguir é apresentada a ordem de execução das variáveis, a cada período de amostragem,para implementação dos controladores adaptativos.

4.6.1 MRAC aplicado a uma planta de primeira ordem• Atualização do sinal de referência r(k)• Atualização da saída do modelo de referência ym(k)• Medição da saída da planta y(k)• Atualização do vetor de parâmetros do controlador θ(k), com base nas variáveis pas-

sadas• Atualização da ação de controle u(k)• Cálculo do erro de rastreamento e1(k) para o próximo período de amostragem• Sinal de normalização m2(k) para o próximo período de amostragem, se for utilizado

4.6.2 MRAC aplicado a uma planta com grau relativo n∗p = 1

• Atualização do sinal de referência r(k)• Atualização da saída do modelo de referência ym(k)• Medição da saída da planta y(k)• Atualização do vetor de parâmetros do controlador θ(k), com base nas variáveis pas-

sadas• Atualização dos vetores ω1(k) e ω2(k) para o próximo período de amostragem• Atualização da ação de controle u(k)• Cálculo do erro de rastreamento e1(k) para o próximo período de amostragem• Sinal de normalização m2(k) para o próximo período de amostragem, se for utilizado

4.6.3 MRAC aplicado a uma planta com grau relativo n∗p ≥ 1

• Atualização do sinal de referência r(k)• Atualização da saída do modelo de referência ym(k)• Medição da saída da planta y(k)• Atualização do vetor ζ(k)• Atualização do vetor de parâmetros do controlador θ(k), com base nas variáveis pas-

sadas• Atualização dos vetores ω1(k) e ω2(k) para o próximo período de amostragem• Atualização da ação de controle u(k)• Cálculo do erro de rastreamento e1(k) para o próximo período de amostragem• Cálculo do erro aumentado ε1(k) para o próximo período de amostragem• Sinal de normalização m2(k) para o próximo período de amostragem, se for utilizado

4.6.4 MRAC aplicado a uma planta com rejeição adaptativa de distúrbios• Atualização do sinal de referência r(k)• Atualização da saída do modelo de referência ym(k)• Medição da saída da planta y(k)• Atualização do vetor ζ(k)• Atualização do vetor de parâmetros do controlador θ(k), com base nas variáveis pas-

sadas


• Estimação dos sinais Vs(k) e Vc(k)• Atualização dos vetores ω1(k) e ω2(k) para o próximo período de amostragem• Atualização da ação de controle u(k)• Cálculo do erro de rastreamento e1(k) para o próximo período de amostragem• Cálculo do erro aumentado ε1(k) para o próximo período de amostragem• Sinal de normalização m2(k) para o próximo período de amostragem, se for utilizado

5. Leis adaptativas do tipo gradiente e LS

5.1 Considerações iniciais sobre leis de estimação de parâmetrosVisando controlar uma planta que apresente variações paramétricas e/ou dinâmicas não-modeladas, o sistema de controle adaptativo deve possuir um mecanismo de estimação ouidentificação paramétrica. Este mecanismo deve ter a capacidade de modificar os ganhosdo controlador, de maneira direta ou indireta, de modo a manter a estabilidade e bomdesempenho do sistema de controle.

Este capítulo tem o objetivo de diferenciar as duas técnicas de estimação de parâmetrosmais utilizadas: Gradiente e LS (Least-Squares).

5.2 Leis adaptativas do tipo GradienteAs leis adaptativas apresentadas até aqui, com um ganho de adaptação constante, sãodenominadas de leis adaptativas do tipo Gradiente. Por exemplo, a seguinte lei adaptativa

θ(t) = −σ(t)Γθ(t)− Γζ(t)ε1(t)

m2(t)(5.1)

é denominada: lei gradiente de adaptação normalizada.A seguir é apresentado um exemplo de equação recursiva para um algoritmo do tipo

gradiente (em tempo discreto), baseado no controlador apresentado em [IT86]

θ(k + 1) = (I− Tσ(k)Γ)θ(k)− T Γζ(k)ε1(k)

m2(k), (5.2)

em que θ é o vetor de ganhos (também denominado vetor de parâmetros) do controlador,σ é uma função auxiliar (definida no Capítulo 7), Γ é uma matriz que dita a velocidadede adaptação dos parâmetros θ, T é o período de amostragem, ζ é um vetor de regressão,ε1 é o erro aumentado (que é função do erro de rastreamento e do erro de adaptação deparâmetros) e m2 é um sinal de normalização para o sistema. Uma versão deste algoritmode identificação, em tempo contínuo, foi utilizado no trabalho de [IT86].

68 Capítulo 5. Leis adaptativas do tipo gradiente e LS

5.3 Leis de estimação paramétrica do tipo LS (Least-Squares)Uma classe de leis adaptativas, muito utilizada em controle adaptativo, é baseada no métododos mínimos quadrados, ou LS (Least-Squares). Estas leis adaptativas permitem que a taxade adaptação seja elevada, somente nos transitórios, o que agiliza bastante o processo deadaptação de parâmetros.

As leis de estimação de parâmetros do tipo LS são caracterizados por possuírem umamatriz de covariância P que dita a velocidade de adaptação de parâmetros. Normalmente,esta matriz é iniciada com um valor elevado para acelerar o processo de adaptação notransitório de partida do sistema de controle.

Um exemplo de lei de adaptação é apresentado abaixo

θ(t) = −P(t)ζ(t)ε1(t)

m2(t)(5.3)

em que a matriz P, que define a taxa de adaptação, é variável.Anteriormente, a regra de MIT foi utilizada a partir de uma função custo baseada no

erro quadrático, já o método LS é baseado na integral do erro quadrático, como é mostradoa seguir

J(θ) =1

2

∫ t

0ε21(τ)dτ (5.4)

Através dessa teoria é possível se obter diferentes equações diferenciais matriciais, talcomo

P(t) = −P(t)ζ(t)ζT (t)P(t)

m2(t)(5.5)

em que P(0) = P0, sendo que P = PT . A matriz P é também chamada de matriz decovariância. Escolhendo um normalizador adequado, pode-se garantir que a derivada de Pé sempre negativa, ou seja, P será sempre estável (norma decrescente com o tempo).

A equação (5.5) possui um inconveniente problema para sinais de referência ricos emfrequência: os elementos da matriz P tendem a zero em regime permanente. Assim, parasolucionar este problema pode-se utilizar a seguinte equação

P(t) = −P(t)ζ(t)ζT (t)P(t)

m2(t)+ βI (5.6)

em que β > 0.Agora, se o sinal de referência for uma senoide pura, pode-se utilizar a equação (5.5) e

os elementos da matriz P serão não nulos em regime permanente.Para implementação digital de (5.5), a seguinte equação pode ser utilizada

P(k + 1) = P(k)− T P(k)ζ(k)ζT (k)P(k)

m2(k)(5.7)

Um exemplo de algoritmo recursivo baseado no método LS é apresentado a seguir

θ(k + 1) = [I− Tσ(k)P(k)]θ(k)− T P(k)ζ(k)ε1(k)

m2(k). (5.8)


A equação (5.8), apesar de possibilitar o aumento da taxa de convergência do algoritmoadaptativo em transitórios, possui o inconveniente de, em alguns casos, levar a matriz P auma matriz nula em regime permanente. Algumas soluções propostas na literatura evitameste problema, tal como [SGM88], que propôs um algoritmo de adaptação de parâmetrosdo tipo LS, em tempo discreto em que a matriz de covariância P não tende a uma matriznula, em regime permanente.

A lei de adaptação de parâmetros proposta por [SGM88] é expressa pela seguinte equação

θ(k + 1) = θ(k)− αP(k)ζ(k)ε1(k)

m2(k)(5.9)

e a matriz de covariância P(k) pode ser calculada como segue

P(k) =1

λP(k − 1)− αP(k − 1)ζ(k)ζT (k)P(k − 1)

m2(k)− δP2(k − 1) + βI (5.10)

em que α, λ, δ e β são constantes positivas.

5.4 Exercício resolvido

Considere uma planta Gp(s) =1

s2 + s+ 1, um modelo de referência Wm(s) =

1

s2 + 2s+ 1

e um sinal de referência r = square

(2πt

20

).

Então, projete e simule um controlador adaptativo por modelo de referência em tempodiscreto com T = 10 ms, utilizando uma lei adaptativa do tipo LS com base nas equações(5.3) e (5.5).

Solução:

Neste controlador, deve-se definir o par (F, q) e a matriz de covariância inicial P = p0I.O par escolhido foi F = −1 e q = 1 e a matriz de covariância inicial P = 1000I. Onormalizador escolhido foi: m2 = 1 + ζT ζ.

A Figura 5.1 apresenta a saída y da planta e saída ym do modelo de referência.A Figura 5.2 apresenta os ganhos do controlador.A Figura 5.3 apresenta o erro de rastreamento entre y e ym.A Figura 5.4 apresenta o elementos da diagonal principal da matriz P.Pode-se notar que devido ao elevado valor de p0 (quando comparado ao valores típicos

de γ, da lei de adaptação gradiente), a convergência dos ganhos do controlador ocorrerapidamente.

O código em Matlab para simulação está no Apêndice E.

70 Capítulo 5. Leis adaptativas do tipo gradiente e LS

0 50 100 150 200 250 300

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 5.1: Saída y da planta e saída ym do modelo de referência.

0 50 100 150 200 250 300

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 5.2: Ganhos do controlador com a lei adaptativa LS.


0 50 100 150 200 250 300

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Figura 5.3: Erro de rastreamento com a lei adaptativa LS.

0 50 100 150 200 250 300

0

200

400

600

800

1000

Figura 5.4: Elementos da diagonal principal da matriz P.

6. Análise de estabilidade

Este capítulo apresenta a análise de estabilidade de algumas estruturas de controladoresadaptativos em tempo contínuo e tempo discreto para plantas de ordem np com grau relativo≥ 1. Devido à natureza não-linear dos controladores adaptativos, a abordagem utilizadabaseia-se na teoria de estabilidade de Lyapunov. Será demonstrado ao leitor que, atravésda análise de estabilidade em tempo discreto, restrições de projeto são obtidas.

Para facilitar o estudo deste capítulo, uma pequena revisão de álgebra linear é apresen-tada.

6.1 Revisão de álgebra linear

Considere uma matriz P ∈ Rn×n e um vetor ζ ∈ Rn×1. As seguintes propriedades sãoválidas:

1) Seja uma matriz P e um vetor ζ, então: (Pζ)T = ζTPT .2) Seja uma matriz P = PT (simétrica) e um vetor ζ, então: (Pζ)T = ζTP.

3) Seja uma matriz inversível P = PT , então:(P−1

)T= P−1.

4) Seja uma matriz inversível P = PT definida positiva, então P−1 é definida positiva,também. Obs.: uma matriz definida positiva é aquela que possui todos os seus autovaloreslocalizados no semiplano direito do plano complexo C.

5) Seja uma matriz P = PT definida positiva e um vetor ζ, em que ||ζ|| > 0, então:ζTPζ > 0.

6) Seja uma matriz inversível P = PT definida positiva e um vetor ζ, em que ||ζ|| > 0,então: ζTP−1ζ > 0.

Com estas seis propriedades em mente, o leitor terá maior facilidade para entender odesenvolvimento das equações matriciais apresentadas a seguir.

74 Capítulo 6. Análise de estabilidade

6.2 Estabilidade em tempo contínuo de um MRAC: lei de adaptação gradienteSeja uma planta de fase mínima Gp(s) de ordem np com grau relativo ≥ 1

Gp(s) = kpZp(s)

Rp(s)(6.1)

Considere um modelo de referência

Wm(s) = kmZm(s)

Rm(s)(6.2)

com grau relativo igual ao da planta Gp(s).A ação de controle é expressa por

u = θTω (6.3)

em que ω =[ωT1 ;ωT2 ; y; r

]T , e ω1,ω2 ∈ Rnp−1. O vetor de ganhos θ =[θT1 ;θT2 ; θy; θr

]T , eθ1,θ2 ∈ Rnp−1.

A atualização de ω1 e ω2 é realizada através das seguintes equações

ω1 = Fω1 + qu (6.4)

e

ω2 = Fω2 + qy (6.5)

em que ω1(0) = 0 e ω2(0) = 0. O par (F,q) é controlável, F ∈ Rnp−1×np−1 e q ∈ Rnp−1.A lei de adaptação possível é expressa por

θ = −Γζε1sign(ρ∗)

m2(6.6)

sendo que a forma computável do erro aumentado é ε1 = e1 + θT ζ − Wm

(θTω

)(vide

Apêndice A).Seja uma função definida positiva

V =1

2θTΓ−1θ (6.7)

lembrando que θ(t) = θ(t)− θ∗.Derivando (6.7), tem-se

V =1

2˙θTΓ−1θ +

1

2θTΓ−1

˙θ =

˙θTΓ−1θ (6.8)

Considerando sign(ρ∗) = 1, e também ε1 = θT ζ (vide Apêndice A), a derivada temporaldo erro paramétrico é

˙θ = θ = −

Γζ(θT ζ

)m2

(6.9)

6.3 Estabilidade em tempo contínuo de um MRAC: lei de adaptação LS 75

A transposta de (6.9) é

˙θT = θT = −

ζTΓ(θT ζ

)m2

(6.10)

Subsituindo (6.9) e (6.10) em (6.8), tem-se

V = −ζTΓ

(θT ζ

)Γ−1θ

m2= −

ζT(θT ζ

)θ

m2(6.11)

como θT ζ = ζT θ, pode-se escrever (6.11)

V = −

(θT ζ

)2m2

≤ 0 (6.12)

Veja que a lei adaptativa (6.6) garante que V ≤ 0. Deste modo, considerando um vetorζ persistemente excitante, pode-se garantir que o erro paramétrico θ tende a zero [IS96].

6.3 Estabilidade em tempo contínuo de um MRAC: lei de adaptação LSAgora, considere a seguinte lei de adaptação paramétrica do tipo LS

θ = −Pζε1sign(ρ∗)

m2(6.13)

em que

P = −PζζTP

m2(6.14)

e o erro aumentado ε1 = e1 + θT ζ −Wm

(θTω

)(vide Apêndice A).

Seja uma função definida positiva

V = θTP−1θ (6.15)

Derivando (6.15), tem-se

V =˙θTP−1θ + θT ˙P−1θ + θTP−1

˙θ (6.16)

Considerando sign(ρ∗) = 1, e também ε1 = θT ζ, a derivada temporal do erro paramé-trico pode ser expressa por

˙θ = θ = −

Pζ(θT ζ

)m2

(6.17)


˙θT = θT = −

ζTP(θT ζ

)m2

(6.18)


A derivada temporal de P−1 pode ser expressa por

˙P−1 = −P−1PP−1 (6.19)

substituindo (6.14) em (6.19), tem-se

˙P−1 =ζζT

m2(6.20)

Substituindo (6.17), (6.18) e (6.20) em (6.16), tem-se

V = −

(θT ζ

)2m2

≤ 0 (6.21)

Veja que a lei adaptativa formada por (6.13) e (6.14) garante que V ≤ 0. Deste modo,considerando um vetor ζ persistentemente excitante, pode-se garantir que o erro paramétricoθ tende a zero [IS96].

Todas as análises de estabilidade apresentadas até aqui foram desenvolvidas em tempocontínuo. Estas análises apresentam credibilidade limitada para o tempo discreto. Quandoo período de amostragem T for suficientemente pequeno, é possível utilizar a análise deestabilidade de tempo contínuo até um certo ponto.

No entanto, para se ter mais segurança acerca da estabilidade do controlador em tempodiscreto, pode-se utilizar uma função de Lyapunov discreta V (k) e provar que ∆V (k) =V (k + 1)− V (k) ≤ 0.

A seguir será apresentado que, com a análise de estabilidade em tempo discreto, restri-ções de projeto podem ser obtidas para o controlador adaptativo. Então, como exemplo,será analisada a estabilidade dos controladores adaptativos, em tempo discreto, com leiadaptativa do tipo gradiente e LS.

6.4 Estabilidade em tempo discreto de um MRAC: lei de adaptação gradienteSeja uma planta de fase mínima Gp(z) de ordem np com grau relativo ≥ 1

Gp(z) = kpZp(z)

Rp(z)(6.22)

Considere um modelo de referência

Wm(z) = kmZm(z)

Rm(z)(6.23)

com grau relativo igual ao da planta Gp(z).A ação de controle é expressa por

u(k) = θT (k)ω(k) (6.24)

em que ω(k) =[ωT1 (k);ωT2 (k); y(k); r(k)

]T , e ω1(k),ω2(k) ∈ Rnp−1. O vetor de ganhosθ(k) =

[θT1 (k);θT2 (k); θy(k); θr(k)

]T , e θ1(k),θ2(k) ∈ Rnp−1.

6.4 Estabilidade em tempo discreto de um MRAC: lei de adaptação gradiente77

A atualização de ω1(k) e ω2(k) é realizada através das seguintes equações

ω1(k + 1) = Fdω1(k) + qdu(k) (6.25)

e

ω2(k + 1) = Fdω2(k) + qdy(k) (6.26)

em que ω1(0) = 0, ω2(0) = 0, Fd = I + FT e qd = qT . O par (Fd,qd) é controlável,Fd ∈ Rnp−1×np−1 e qd ∈ Rnp−1.

A lei de adaptação escolhida é expressa por

θ(k + 1) = θ(k)− T Γζ(k)ε1(k)sign(ρ∗)

m2(k)(6.27)

em que a forma computável do erro aumentado é ε1(k) = e1(k)+θT (k)ζ(k)−Wm(z)(θT (k)ω(k)

)(vide Apêndice A) e m2(k) = 1 + ζT (k)Γζ(k) ou até mesmo m2(k) = 1 + ζT (k)ζ(k), de-pendendo da escolha do projetista.

Seja uma função definida positiva

V (k) =1

2θT (k)Γ−1θ(k) (6.28)

lembrando que θ(k) = θ(k)− θ∗.Determinando a variação de (6.28), tem-se

∆V (k) = V (k + 1)− V (k) =1

2θT (k + 1)Γ−1θ(k + 1)− 1

2θT (k)Γ−1θ(k) (6.29)

Considerando sign(ρ∗) = 1, ε1(k) = θT (k)ζ(k) (vide Apêndice A), e subtraindo θ∗ deambos os lado de (6.27) pode-se escrever o erro paramétrico da seguinte forma

θ(k + 1) = θ(k)− TΓζ(k)

(θT (k)ζ(k)

)m2(k)

(6.30)


θT (k + 1) = θT (k)− TζT (k)Γ

(θT (k)ζ(k)

)m2(k)

(6.31)

Substituindo (6.30) e (6.31) em (6.29), tem-se

∆V (k) = −T

(θT (k)ζ(k)

)2m2(k)

+1

2T 2

(θT (k)ζ(k)

)2ζT (k)Γζ(k)

m4(k)(6.32)

Veja que a lei adaptativa (6.27) nem sempre garante que ∆V < 0. Note que a equação(6.32) será < 0 para certos valores de m2, T e Γ. Então, analisa-se em quais situaçõespode-se garantir que ∆V < 0. Assim, fazendo

−T

(θT (k)ζ(k)

)2m2(k)

+1

2T 2

(θT (k)ζ(k)

)2ζT (k)Γζ(k)

m4(k)< 0 (6.33)


Realizando algumas simplificações na equação (6.33), tem-se

2

T>ζT (k)Γζ(k)

m2(k)(6.34)

Assim, a equação (6.34) é uma restrição de projeto para garantir a estabilidade dosistema de adaptação de parâmetros. No entanto, deve-se escolher um sinal de normalizaçãom2. Se for escolhido o sinal m2 = 1 + ζT (k)Γζ(k), tem-se a seguinte restrição de projeto

2

T>

ζT (k)Γζ(k)

1 + ζT (k)Γζ(k)(6.35)

Agora, veja que, para valores elevados de Γ, tem-se simplesmente

T < 2 (6.36)

Assim, considerando um período de amostragem T < 2 adequado para a planta, modelode referência e filtros internos escolhidos, o algoritmo adaptativo é estável para qualquermatriz Γ definida positiva.

Agora, se for escolhido o sinal de normalização m2 = 1 + ζT (k)ζ(k), e Γ = γI, conside-rando um ganho escalar γ > 0, tem-se a seguinte restrição de projeto

γ <2

T(6.37)

Vale salientar ao leitor que, as restrições de projeto apresentadas anteriormente sãoperfeitamente válidas quando a estrutura da planta (número de pólos e zeros) é conhecida.Se acaso a planta possuir pólos ou zeros negligenciados durante o projeto do controlador,um fator de segurança FS > 1 deverá ser adicionado, tal como

γ <2

T.FS(6.38)

Este fator de segurança FS poderá valer: 1, 1; 1, 2; ou 1, 3 de acordo com o grau dasincertezas.

6.4.1 Exercício resolvidoPara o exercício resolvido 4.5.3, determine a condição necessária sobre a matriz Γ = γI paraque o MRAC projetado, em tempo discreto, seja estável.

Solução:

No exercício supracitado, tem-se T = 100 µs e o sinal de normalização utilizado é

m2 = 1 + ζT ζ. Assim, a restrição de projeto é:2

T> γ. Deste modo, deve-se assegurar que

Γ < 20000I.

6.5 Estabilidade em tempo discreto de um MRAC: lei de adaptação LS 79

6.5 Estabilidade em tempo discreto de um MRAC: lei de adaptação LSAs lei de adaptação de parâmetros (6.13), em que a matriz P é descrita em (6.14), podemser expressas em tempo-discreto da seguinte forma

θ(k + 1) = θ(k)− T P(k)ζ(k)ε1(k)sign(ρ∗)

m2(k)(6.39)

,

P(k + 1) = P(k)− T P(k)ζ(k)ζT (k)P(k)

m2(k)(6.40)

e

m2 = 1 + ζT (k)P(k)ζ(k) (6.41)

Então, a fim de demonstrar a estabilidade da lei de adaptação em tempo-discreto, considerea seguinte função definida positiva

V (k) =1

2θT (k)P−1(k − 1)θ(k) (6.42)

Determinando a variação de (6.42), tem-se

∆V (k) = V (k+1)−V (k) =1

2θT (k+1)P−1(k)θ(k+1)− 1

2θT (k)P−1(k−1)θ(k) (6.43)

Subtraindo θ∗ de ambos os lado de (6.39) pode-se escrever o erro paramétrico da seguinteforma

θ(k + 1) = θ(k)− TP(k)ζ(k)

(θT (k)ζ(k)

)m2(k)

(6.44)


θT (k + 1) = θT (k)− TζT (k)P(k)

(θT (k)ζ(k)

)m2(k)

(6.45)


∆V (k) = −T

(θT (k)ζ(k)

)2m2(k)

+1

2T 2

(θT (k)ζ(k)

)2ζT (k)P(k)ζ(k)

m4(k)+θT (k)

(P−1(k)−P−1(k − 1)

)θ(k)

(6.46)

Como a matriz P(k) tem norma decrescente para T < 2 em2 = 1+ζT (k)P(k)ζ(k) (con-forme discutido no Apêndice B), pode-se concluir que θT (k)

(P−1(k)−P−1(k − 1)

)θ(k) ≤

0. Assim, pode-se reescrever (6.46) como

∆V (k) ≤ −T

(θT (k)ζ(k)

)2m2(k)

+1

2T 2

(θT (k)ζ(k)

)2ζT (k)P(k)ζ(k)

m4(k)(6.47)


Do mesmo modo que a lei de adaptação gradiente, a lei adaptativa (6.39) nem sempregarante que ∆V < 0. Note que a equação (6.46) será < 0 para certos valores de m2, T e P.Então, analisa-se em quais situações pode-se garantir que ∆V < 0. Assim, fazendo

−T

(θT (k)ζ(k)

)2m2(k)

+1

2T 2

(θT (k)ζ(k)

)2ζT (k)P(k)ζ(k)

m4(k)< 0 (6.48)

Realizando algumas simplificações na equação (6.48), tem-se

2

T>ζT (k)P(k)ζ(k)

m2(k)(6.49)

Assim, a equação (6.49) é uma restrição de projeto para garantir a estabilidade dosistema de adaptação de parâmetros. No entanto, deve-se escolher um sinal de normalizaçãom2. Considerando o sinal de normalização m2 = 1 + ζT (k)P(k)ζ(k), tem-se a seguinterestrição de projeto

2

T>

ζT (k)P(k)ζ(k)

1 + ζT (k)P(k)ζ(k)(6.50)

Agora, veja que, para valores elevados de P(k), tem-se simplesmente

T < 2 (6.51)

Assim, considerando um período de amostragem T < 2 adequado para a planta, modelode referência e filtros internos escolhidos, o algoritmo adaptativo é estável para qualquermatriz inicial P(0) > 0.

7. Incertezas

Todo o sistema físico real possui, idealmente, um modelo matemático não linear, varianteno tempo e de ordem infinita. No entanto, para fins de análise e projeto de controladores,busca-se um modelo matemático de ordem finita que seja suficientemente razoável na faixade operação definida. Assim, normalmente, utilizam-se modelos matemáticos de 1a, 2a ou3a ordem que leve em conta as dinâmicas dominantes da planta. Entretanto, a planta ésujeita às variações paramétricas ou dinâmicas não modeladas imprevisíveis, ou incertas,que podem instabilizar o controlador adaptativo. Deste modo, o projetista deve analisarse os pólos ou zeros não-dominantes (de alta frequência), podem instabilizar o sistema decontrole e, assim, quais soluções devem ser incorporadas ao controlador adaptativo de modoa aumentar a sua robustez em relação às respectivas incertezas.

7.1 Incertezas estruturadas

Uma incerteza estruturada é o não conhecimento da localização exata dos polos e zeros daplanta. Por exemplo, uma planta de primeira ordem pode ser representada matematica-mente por

x(t) = −(a+ δ1)x(t) + (b+ δ2)u(t) (7.1)

em que δ1 e δ2 são incertezas nos parâmetros conhecidos a e b.

7.2 Incertezas não-estruturadas

Uma incerteza não-estruturada é o não conhecimento do comportamento do ganho e dafase da planta em certas frequências. Por exemplo, uma planta pode ser representadamatematicamente por

G(s) = Gp(s) [1 + µm∆m(s)] (7.2)

82 Capítulo 7. Incertezas

em que Gp(s) é a parte modelada da planta, µm é o ganho da dinâmica multiplicativa e ∆m

é a função de transferência da dinâmica multiplicativa, ou

G(s) = Gp(s) + µa∆a(s) (7.3)

em que µa é o ganho da dinâmica aditiva e ∆a é a função de transferência da dinâmicaaditiva, ou

G(s) = Gp(s) [1 + µm∆m(s)] + µa∆a(s) (7.4)

ou, até mesmo por fatores estáveis

G(s) =Np(s) + ∆1(s)

Dp(s) + ∆2(s)(7.5)

em que ∆1(s) e ∆2(s) são Hurwitz, e Gp(s) =Np(s)

Dp(s).

As três formas de modelagem, das respectivas incertezas, podem ser combinadas entresí a fim de se escrever a dinâmica desconsiderada no momento do projeto do controlador.

7.3 Sinal erro de modelagem em

Se for utilizada a equação (7.4) para modelar a planta, pode-se escrever a saída y da seguinteforma

y(s) = G(s)u(s) = yp(s) + µmδm(s) + µaδa(s) (7.6)

em que yp(s) = Gp(s)u(s), δm(s) = Gp(s)∆m(s)u(s) e δa(s) = ∆a(s)u(s).Deste modo, nota-se que quanto maiores forem os ganhos µm e µa, maior será o erro de

modelagem em(s) = µmδm(s) +µaδa(s) e assim, o controlador adaptativo terá que ser maisrobusto para compensar este erro.

7.4 Aumento da robustez do controlador adaptativo

Para tornar o controlador adaptativo mais robusto com relação às incertezas, tem-se, nor-malmente, dois caminhos: modificar a equação da lei de controle u ou modificar a lei deadaptação paramétrica.

No caso da modificação da lei de controle, pode-se acrescentar ações de controle robustascomo, por exemplo, a ação Sliding-Mode, de modo a aumentar a robustez do controladoradaptativo.

Com relação à robustez da lei de adaptação paramétrica, pode-se incluir, por exemplo, afunção σ-modification para evitar que os ganhos do controlador divirjam, ou também pode-se modificar a equação do sinal de normalização m2 para evitar a divergência dos sinaisinternos da malha fechada.

7.4 Aumento da robustez do controlador adaptativo 83

7.4.1 Exemplo ilustrativoSeja uma planta G(s) = Gp(s) + µa∆a(s), em que a parte modelada da planta é Gp(s) =

0, 8

s+ 1, 4e a parte não modelada é µa∆a(s) =

6

s+ 10. Inicialmente, utilize o controlador

adaptativo, não normalizado (m2 = 1), apresentado na Seção 4.1.3. Considere um modelo de

referência Wm(s) =2

s+ 2, um filtro auxiliar F (s) =

2

s+ 2, γ = 5 e um sinal de referência

r do tipo onda quadrada com amplitude unitária e período igual a 20 s. O sistema édiscretizado utilizando um período de amostragem T = 10 ms com ZOH.

Depois, repita as simulações utilizando um sinal de normalização m2 = 1 + ζ2r + ζ2y , paraevidenciar o aumento da robustez do controlador.

Simulação sem normalização:Simulando o controlador não normalizado, tem-se os seguintes resultados: A Figura 7.1

apresenta a saída y da planta e a saída ym do modelo de referência. A Figura 7.2 apresentao erro de rastreamento. A Figura 7.3 apresenta os ganhos θ1 e θ2 do controlador.

0 50 100 150 200 250 300

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.1: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência, controlador nãonormalizado.

Nota-se, claramente, que a dinâmica não modelada µa∆a afeta o desempenho do con-trolador, gerando um erro de rastreamento significativo.


0 50 100 150 200 250 300

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.2: Erro de rastreamento e1, controlador não normalizado.

0 50 100 150 200 250 300

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.3: Parâmetros adaptados θ1 e θ2, controlador não normalizado.

7.4 Aumento da robustez do controlador adaptativo 85

Simulação com normalização:Com o intuito de aumentar a robustez do controlador com relação à dinâmica não

modelada, utiliza-se o sinal de normalização m2 = 1 + ζ2r + ζ2y .Agora, simulando o controlador normalizado, tem-se os seguintes resultados: A Figura

7.4 apresenta a saída y da planta e a saída ym do modelo de referência. A Figura 7.5apresenta o erro de rastreamento. A Figura 7.6 apresenta os ganhos θ1 e θ2 do controlador.

0 50 100 150 200 250 300

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.4: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência, controladornormalizado.

Com o sinal de normalização m2 escolhido, o controlador adaptativo ficou mais robustocom relação à dinâmica não modelada µa∆a(s).


0 50 100 150 200 250 300

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.5: Erro de rastreamento e1, controlador normalizado.

0 50 100 150 200 250 300

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.6: Parâmetros adaptados θ1 e θ2, controlador normalizado.

7.5 Função σ-modification 87

7.5 Função σ-modificationA função σ-modification tem o objetivo de aumentar a robustez da lei de adaptação pa-ramétrica. É normalmente utilizada quando existe o risco de divergência dos ganhos docontrolador devido à presença dinâmicas não modeladas. Deste modo, esta função tema tarefa de evitar que o ganhos divirjam, evitando assim, a instabilidade do sistema decontrole.

Esta função pode ser expressa por

σ(t) =

0 se ‖θ(t)‖ < M0

σ0 se ‖θ(t)‖ ≥M0(7.7)

em que σ0 é o valor máximo de σ(t),Mo é um limitante superior do vetor ‖θ∗‖ eM0 > 2‖θ∗‖.A Figura 7.7 apresenta um gráfico ilustrando o comportamento da equação 7.7.

Figura 7.7: Função σ-modification com transição do tipo degrau.

Nota-se que a função σ-modification em (7.7) apresenta uma descontinuidade do tipodegrau quando ‖θ‖ = M0. Esta descontinuidade pode, eventualmente, tornar a adaptaçãooscilatória.

Para suavizar o degrau da função σ, pode-se expressá-la da seguinte forma

σ(t) =

0 se ‖θ(t)‖ < M0

σ0

(‖θ(t)‖M0

− 1

)se M0 ≤ ‖θ(t)‖ ≤ 2M0

σ0 se ‖θ(t)‖ > 2M0

(7.8)

e, nesse caso, M0 > ‖θ∗‖.Como, normalmente, o valor de ‖θ∗‖ é incerto ou não sabido, M0 é sobre-dimensionado.A Figura 7.8 apresenta um gráfico ilustrando o comportamento da equação 7.8.


Figura 7.8: Função σ-modification com transição linear.

Assim, uma lei de adaptação paramétrica gradiente pode ser expressa por

θ(t) = −σ(t)Γθ(t)− Γζ(t)ε1(t)sign(ρ∗)

m2(t)(7.9)

e a sua implementação digital pode ser realizada através da seguinte equação

θ(k + 1) = (I− Tσ(k)Γ)θ(k)− T Γζ(k)ε1(k)sign(ρ∗)

m2(k)(7.10)

7.5.1 Exemplo ilustrativo

Seja uma planta Gp(s) =0, 5

s+ 1, um modelo de referência Wm(s) =

2

s+ 2. O algoritmo

de controle é baseado na Seção 4.1.1, sem normalização (m2 = 1), com um ganho de

adaptação γ = 5 e F (s) =2

s+ 2. Nesta simulação, a referência r é um sinal quadrado

com amplitude unitária e período igual a 20 s, ou seja r = square

(2πt

20

). O sistema foi

discretizado utilizando um período de amostragem T = 10 ms e os modelos em s foramdiscretizados utilizando um ZOH (Zero-Order-Hold). Para salientar o efeito benéfico dafunção σ-modification, o sistema iniciará com o seguinte vetor de parâmetros inicial θ =[10;−10]T , isto é, com valores iniciais longe da região de convergência.

Simulações sem a função σ-modification:A Figura 7.9 apresenta a resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência

e a Figura 7.10 apresenta os parâmetros adaptados θ1 e θ2. Note que, os ganhos ainda nãoconvergiram completamente e existe um erro de regime entre as respostas y e ym.


0 20 40 60 80 100

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Figura 7.9: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência, sem a funçãoσ-modification.

0 20 40 60 80 100

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Figura 7.10: Parâmetros adaptados θ1 e θ2, sem a função σ-modification.


Simulações com a função σ-modification:Com o intuito de apresentar as vantagens da função σ-modification, a equação (7.8) foi

adicionada ao controlador com σ0 = 0, 1 e M0 = 5. A Figura 7.11 apresenta a resposta yda planta e a resposta ym do modelo de referência e a Figura 7.12 apresenta os parâmetrosadaptados θ1 e θ2. Note que, os ganhos convergiram completamente, num mesmo intervalode tempo de 100 s, e praticamente não existe erro de regime entre as respostas y e ym.

0 20 40 60 80 100

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Figura 7.11: Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência, com a funçãoσ-modification.

O código em Matlab está no Apêndice E.


0 20 40 60 80 100

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Figura 7.12: Parâmetros adaptados θ1 e θ2, com a função σ-modification.

8. Projeto e implementação digital

8.1 Usar ou não usar um controlador adaptativo: Eis a questão!

O leitor pode se perguntar: Em quais situações se pode utilizar um controlador adaptativo?;ou: Pode-se resolver o problema com um controlador mais simples?

As repostas desses questionamentos não são óbvias. Alguns itens devem ser levados emconsideração, por exemplo:• O leitor está disposto a aprender a teoria de controle adaptativo?• O modelo da planta é incerto?• Há evidente imprevisão acerca do comportamento dinâmico da planta?• O sistema é sujeito à ruídos de grande amplitude?• Terei um microcontrolador rápido o suficiente para realizar todos os cálculos necessá-

rios?• O custo do microcontrolador é pequeno em relação ao sistema como um todo?Se você respondeu SIM à maioria das perguntas acima, um sistema de controle adapta-

tivo pode ser uma boa opção para a sua aplicação.É claro que um controlador PI (Proporcional-Integral) de ganhos fixos é muito mais

simples que um controlador adaptativo e, muitas vezes, este PI pode fornecer um resultadoaceitável. No entanto, deve se ter consciência que num sistema adaptativo, um computadorirá realizar o projeto do sistema de controle em tempo real, considerando todas as variaçõese erros do sistema em malha fechada.

8.2 A Necessidade de sinais ricos em frequência

Como foi comentado nas seções anteriores, para se garantir convergência paramétrica é ne-cessário que alguns sinais sejam suficientemente ricos em frequência. No caso de estimadoresde parâmetros em tempo real, o sinal de entrada u deve ser rico em frequência. Nos con-troladores adaptativos por modelo de referência, o sinal de referência r deve ser rico emfrequência para garantir a convergência paramétrica.

94 Capítulo 8. Projeto e implementação digital

Deste modo, um compromisso deve ser obedecido entre o teor de frequências durante oprocesso de adaptação e o desempenho da variável a ser controlada. Enquanto sinais comalto teor de frequência podem ajudar no processo de adaptação de parâmetros, distorçõespodem ocorrer na variável controlada. Deste modo, recomenda-se que em aplicações decontrole adaptativo, o projetista utilize um certo tempo de inicialização para a identificaçãodos parâmetros, de modo que essa inicialização dure apenas um pequeno intervalo de tempo.

8.3 Entrada-Saída ou realimentação de estados

Existem duas grandes abordagens para implementação de controladores: realimentação deestados e realimentação de saída (entrada-saída). Em controle adaptativo, a utilização decontrole por realimentação de estados pode diminuir o tamanho do algoritmo devido ao fatode não se precisar dos sinais internos ω1 e ω2 e, também, pela diminuição do número deparâmetros (ou ganhos) a serem calculados. No entanto, uma grande quantidade de sensoresdeve ser utilizada para medição de todos os estados da planta. Já os sistemas de controleadaptativo que tem acesso apenas a entrada e saída da planta, utilizam uma quantidademenor de sensores.

8.4 O sinal de normalização m2

Foi visto que as leis de adaptação não normalizadas podem divergir quando o sinal dereferência possui amplitude muito elevada, ou até na presença de dinâmicas não modeladas(incertezas não estruturadas). Este problema pode ser resolvido através da utilização desinais de normalização m2.

Diferentes sinais de normalização podem ser utilizados. No entanto, um compromissoentre robustez e velocidade de adaptação deve ser obedecido. Sinais de normalização comamplitude elevada tornam o sistema adaptativo mais robusto, no entanto podem tornaro mecanismo de adaptação muito lento, o que é indesejável em certas situações. Paraobedecer este compromisso deve-se analisar, com cuidado, qual sinal m2 apresenta melhordesempenho para a planta em questão.

8.5 Lei de adaptação gradiente e LS

Leis de adaptação do tipo Gradiente são mais simples de serem realizadas devido a menorquantidade de cálculos para a sua implementação. Isto se deve ao fato da matriz Γ serconstante e também por ela poder ser múltipla da matriz identidade (Γ = γI). Já, as leide adaptação do tipo LS, necessitam da atualização de todos os elementos da matriz decovariância P a cada período de amostragem. Assim, dependendo da ordem da planta, aatualização de P pode ser a tarefa mais extensa a ser realizada pelo microprocessador. Umasolução para diminuir o tempo de cálculo de P é determinar apenas os elementos acima dadiagonal principal e os da diagonal principal. Como P é simétrica, os elementos da diagonalinferior são idênticos aos da diagonal superior.

Mas em aplicações em que o tempo de processamento não é o fator mais importante,uma lei de adaptação LS pode fornecer uma maior velocidade de adaptação paramétrica, oque é útil nos transitórios.

8.6 Ordem de atualização das variáveis do controlador adaptativo 95

8.6 Ordem de atualização das variáveis do controlador adaptativo

Antes de se programar o algoritmo adaptativo, o projetista deve construir um fluxogramapara definir a correta ordem de atualização das variáveis do sistema. Muitos erros deprogramação ocorrem, normalmente, devido à ordem incorreta das equações.

Esta ordem de atualização não é única e, assim, o mesmo sistema de adaptação pode serimplementado de diferentes formas. Por exemplo: uma lei de adaptação pode ser caculadada seguinte forma

θ1(k + 1) = θ1(k)− Tγζr(k)e1(k) (8.1)

ou também

θ1(k) = θ1(k − 1)− Tγζr(k − 1)e1(k − 1) (8.2)

O formato (8.1) mostra que a atualização da variável θ1 pode se localizar no final doalgoritmo, já que ela só será utilizada no instante de tempo de k + 1. Já o formato (8.2)indica que a variável θ1 será utilizada no instante de tempo de k. As duas formas poderãoser utilizadas, desde que se obedeça a ordem de implementação das equações do sistemaadaptativo.

8.7 Discretização das equações diferenciais

Para a discretização das equações, a Transformada Z foi utilizada. No entanto, para adicretização da planta, utiliza-se normalmente um retentor de ordem zero, ou do inglêsZOH (zero-order-hold) em série com a função de transferência G(s). Para a discretização deequações diferenciais de primeira ordem no domínio do tempo, a aproximação de Euler podeser utilizada, desde que o período de amostragem T seja suficientemente pequeno. Para adiscretização dos filtros restantes, pode-se utilizar a técnica ZOH ou transformação bilinear.

8.8 Atraso de implementação

A programação de leis de controle adaptativas, normalmente, são mais extensas que astécnicas de controle convencionais de ganhos fixos. Por isto, requerem mais tempo deprocessamento dentro de um mesmo período de amostragem T . Assim, a ação de controlecalculada em um certo período de amostragem kT é sintetizada num período posterior(k + 1)T . Este atraso de implementação da lei de controle pode ser modelado por um pólona origem do plano z, ou seja, um pólo em z = 0. No projeto do controlador, o projetistapode modelar ou negligenciar esta dinâmica. Negligenciar o atraso de transporte no modeloda planta, implica em gerar um desvio de fase próximo à frequência de Nyquist. No caso, arobustez do controlador adaptativo poderá compensar este erro de modelagem.

8.9 Projeto do mecanismo de adaptação de parâmetros θ

Em resumo, para o mecanismo de adaptação de parâmetros, os seguintes itens devem serprojetados:


• Valor inicial do vetor de parâmetros θ(0): em muitos casos, o vetor de parâmetrosé inicializado com elementos nulos devido ao fato de não se ter conhecimento algumsobre os parâmetros da planta. Neste caso, o rastreamento só será atingido quandoocorrer a convergência dos ganhos do controlador adaptativo. Mas se, por ventura,for possível ter alguma ideia do valor inicial de θ∗, o desempenho transitório seráligeiramente melhorado, já que o processo de adaptação ocorrerá mais rápido.• Ganho de adaptação Γ, para leis adaptativas do tipo Gradiente: quanto maior for o

valor desta matriz, mais rápido será o processo de adaptação. No entanto, valoresmuito elevados para este ganho, podem tornar o sistema adaptativo instável. Então,tenha cuidado e moderação na escolha deste item.• Valor inicial da matriz de covariância P(0) = p0I, para leis adaptativas do tipo LS:

quanto maiores forem os elementos da matriz P, mais rápido será a convergência noperíodo transitório do sistema. Porém, do mesmo modo que ocorre com a matriz Γ,valores muito elevados para P(0), podem tornar o sistema instável.• Escolha do par (F,q): Existe uma grande liberdade para a escolha deste par. No

entanto, para que os vetores ω1 e ω2 possam ser controlados, o par (F,q) deve sercontrolável (matriz de controlabilidade com rank completo). Os autovalores de F,normalmente, são bem mais elevados do que os autovalores da planta a ser controlada.E, também, é comum projetar o par (F,q), de tal modo que o filtro (sI− F)−1 q tenhaganho de 0 dB na banda passante desejada.• Sinal de normalizaçãom2: este sinal tem o objetivo de tornar o controlador adaptativo

mais robusto com relação aos sinais internos de grande amplitude e com relação àsdinâmicas não-modeladas. Como foi discutido ao longo deste documento, diferentessinais de normalização poderão ser utilizados. Em linhas gerais, os sinais de norma-lização de grande amplitude (que possuem muitos termos quadráticos) tornam a leide identificação de parâmetros mais robusta e ao mesmo tempo, o processo de adap-tação fica mais lento, o que implica num transitório mais demorado. Deste modo,para tornar o sistema de adaptação mais rápido, o sinal de normalização deve possuiramplitude menor, o que acaba provocando a diminuição da robustez do sistema. Por-tanto, a escolha do sinal m2 passa pelo compromisso entre a robustez e o desempenhotransitório da lei de adaptação paramétrica.

8.10 Modelo de referência

No controlador MRAC, o modelo de referência define o comportamento da planta em ma-lha fechada. Então, o modelo de referência será escolhido a partir do seguintes critérios:overshoot, tempo de acomodação, tempo de subida, erro de regime permanente e bandapassante. Portanto, as seguintes recomendações são sugeridas:• Use um modelo de referência com ganho de 0 dB na faixa de frequências de interesse.

Deste modo, a amplitude do sinal de referência r será igual a amplitude da saída domodelo de referência ym;• Para que haja um “casamento” entre o modelo de referência e o sistema MRAC, o

grau relativo da planta deve ser igual ao grau relativo do modelo de referência;• Na dúvida sobre a escolha de um modelo de referência adequado, utilize, inicialmente,

um modelo de referência com um comportamento dinâmico semelhante ao da planta.Se o sistema em malha fechada for estável para este primeiro modelo, modifique o

8.11 Frequência de amostragem 1/T 97

modelo de referência para melhorar o desempenho transitório do sistema de controlede acordo com as especificações de desempenho desejadas.

8.11 Frequência de amostragem 1/T

Para uma razoável discretização da planta, dos filtros internos e do modelo de referência,utilize uma frequência de amostragem igual ou maior a dez vezes o módulo da frequênciado maior polo. Quanto maior for a frequência de amostragem, melhor será a discretizaçãoe os resultados do sistema adaptativo.

8.12 Controle de plantas de fase não-mínimaO controlador adaptativo por modelo de referência possui uma restrição com relação àsplantas de fase não-mínima, ou seja, plantas com zeros no semiplano direito do plano s.Neste tipo de planta, o controlador tentará adicionar pólos no semiplano direito com ointuito de cancelar os zeros de fase não-mínima. Por isto, o numerador da planta Zp(s) deveser Hurwitz.

No entanto, dependendo do caso, ainda é possível aplicar um controlador por modelode referência para este tipo de situação, por exemplo: se o zero no semiplano direito nãofor dominante (zeros de alta frequência), pode-se considerá-lo como uma dinâmica não-modelada. E, neste caso, o controlador adaptativo deverá ser robusto o suficiente paracompensar o efeito deste zero.

8.12.1 Exemplo ilustrativo

Seja uma planta G(s) =0, 1 (s− 10)

s+ 1com um zero no semiplano direito do plano s. O

respectivo zero corresponde a uma dinâmica dez vezes mais rápida que o pólo dominantes = −1. Assim, pode-se negligenciar o zero representando a planta da seguinte forma:G(s) = Gp(s) + µa∆a(s). É sabido que o modelo simplificado Gp(s) deve ter comporta-mento dinâmico semelhante ao da planta completa G(s), pelo menos na faixa de frequências

de interesse. Assim, uma escolha possível pode ser: Gp(s) =−1

s+ 1e assim, tem-se que

µa∆a(s) =0, 1s

s+ 1. O leitor poderá concluir que a resposta em frequência de G(s) e Gp(s)

são semelhantes nas baixas frequências, ou seja para ω << 10 rad/s, conforme é demons-trado na Figura 8.1.

Como foi explicado anteriormente, é necessário que o controlador adaptativo seja ro-busto o suficiente para que o zero negligenciado na modelagem não afete o comportamentoestável do sistema em malha fechada. O uso de um sinal de normalização m2 é de grandeimportância para garantir a estabilidade da lei de adaptação de parâmetros.


Figura 8.1: Diagrama de Bode do modelo completo G(s) (azul), do modelo simplificadoGp(s) (vermelho) e da dinâmica aditiva µa∆a(s) (amarelo).

Appendices

A. Equação do Erro

A análise apresentada aqui desconsidera incertezas não-estruturadas.Sem perda de generalidade, considere kp = km = 1 e θr(t) = 1 , então a lei de controle

(6.3), pode ser expressa por

u = θTω + r (A.1)

Subtraindo θ∗Tω dos dois lados de (A.1), tem-se

u− θ∗Tω = θTω + r − θ∗Tω (A.2)

ou simplesmente

u− θ∗Tω = θTω + r (A.3)

em que θ∗T =[θ∗T1 ;θ∗T2 ; θ∗y

]é o vetor de parâmetros desejados. Então, pode-se escrever

(A.3) como

θTω + r = u− θ∗Tω = u− θ∗T1 ω1 − θ∗T2 ω2 − θ∗yy (A.4)

ou ainda

θTω + r = [1− f1(s)−Gp(s)f2(s)]u (A.5)

em que f1(s) = θ∗T1 (sI− F)−1 q, f2(s) = θ∗y + θ∗T2 (sI− F)−1 q e θ = θ− θ∗ é o vetor errodos parâmetros.

De (A.5), obtém-se o sinal de referência (sinal de entrada do modelo de referênciaWm(s))

r = [1− f1(s)−Gp(s)f2(s)]u− θTω (A.6)

102 Capítulo A. Equação do Erro

Quando θ = θ∗, tem-se θ = 0, e consequentemente y = ym. Nesta situação, pode-seescrever

[1− f1(s)− f2(s)Gp(s)]u = W−1m (s)Gp(s)u (A.7)

o que implica dizer que

Gp(s) = Wm(s) [1− f1(s)− f2(s)Gp(s)] (A.8)

Como y = Gp(s)u, usando (A.8) pode-se escrever

y = Gp(s)u = Wm(s) [1− f1(s)− f2(s)Gp(s)]u (A.9)

Substituindo (A.5) em (A.9), tem-se

y = Wm(s)θTω + r (A.10)

Agora, usando (A.10) o erro de rastreamento pode ser reescrito da seguinte forma

e1 = y − ym = Wm(s)θTω (A.11)

Para se definir o erro aumentado ε1, considere a seguinte igualdade

Wm

(θ∗Tω

)= θ∗T (Wmω) (A.12)

Como θ∗ = θ − θ, (A.12), pode ser reescrito como

Wm

(θTω

)−Wm

(θTω

)= θT (Wmω)− θT (Wmω) (A.13)

ou também

θT ζ −Wm

(θTω

)= θT ζ −Wm

(θTω

)(A.14)

considerando ζ = WmIω.A igualdade (A.14) é fundamental para escrever o erro aumentado ε1. O lado direito de

(A.14) é computável e é utilizado para cálculo do erro aumentado em um ambiente digital.Já o lado esquerdo de (A.14) não é computável, mas é muito útil para as provas teóricas deestabilidade.

Então, somando o termo θT ζ−Wm

(θTω

)de (A.14) ao erro de rastreamento e1, tem-se

o erro aumentado computável digitalmente

ε1 = e1 + θT ζ −Wm

(θTω

)(A.15)

E, somando o termo θT ζ −Wm

(θTω

)de (A.14) ao erro de rastreamento e1, tem-se o

erro aumentado para fins de análise de estabilidade

ε1 = e1 + θT ζ −Wm

(θTω

)= θT ζ (A.16)

Analisando (A.16), é possível concluir que quando o vetor erro de parâmetros θ → 0tem-se que ε1 → 0.

B. Limitação e decrescimento de P

Considere a seguinte equação para a matriz P(k) > 0

P(k + 1) = P(k)− T P(k)ζ(k)ζT (k)P(k)

m2(k)(B.1)

e

m2 = 1 + ζT (k)P(k)ζ(k) (B.2)

Com o intuito de demonstrar a limitação e o descrescimento de P(k), define-se a seguintefunção positiva

V (k) = tr(P2(k)) (B.3)

A variação de V (k) é expressa por

∆V (k) = tr(P2(k + 1))− tr(P2(k)) (B.4)

Substituindo (B.1) em (B.4), tem-se

∆V (k) = tr

(P2(k)− 2TP2(k)

ζ(k)ζT (k)P(k)

m2(k)+ T 2P2(k)

[ζ(k)ζT (k)P(k)]2

m4(k)

)−tr(P2(k))

(B.5)

ou simplesmente

∆V (k) = tr

(−2TP2(k)

ζ(k)ζT (k)P(k)

m2(k)+ T 2P2(k)

[ζ(k)ζT (k)P(k)]2

m4(k)

)(B.6)

Para garantir que ∆V (k) < 0, a partir de (B.6) deve-se garantir que

2TP2(k)ζ(k)ζT (k)P(k)

m2(k)> T 2P2(k)

[ζ(k)ζT (k)P(k)]2

m4(k)(B.7)

104 Capítulo B. Limitação e decrescimento de P

Substituindo (B.2) em (B.7), tem-se

2TP2(k)ζ(k)ζT (k)P(k)

1 + ζT (k)P(k)ζ(k)> T 2P2(k)

[ζ(k)ζT (k)P(k)]2

[1 + ζT (k)P(k)ζ(k)]2(B.8)

Considerando que P(k) possa assumir valores tão altos quanto se queira, (B.8) pode sersimplificado da seguinte maneira

T < 2 (B.9)

Assim, (B.9) garante a limitação e o decrescimento de P(k), para qualquer valor deP(0) > 0.

C. Normas Lp

Para funções do tempo X(t), a norma Lp é definida por

‖X‖p =

(∫ ∞0‖X(t)‖pdt

)1/p

(C.1)

para p ∈ [1,∞) e afirma-se que X ∈ Lp quando ‖X‖p existe (isto é, ‖X‖p é finito).A norma L∞ é definida por

‖X‖∞ = sup‖X(t)‖, t ≥ 0 (C.2)

e afirma-se que X ∈ L∞ quando ‖X‖∞ existe.Quando um sinal X ∈ L∞, ‖X‖ é apenas limitado em amplitude. Se um sinal X ∈ L2,

‖X‖ possui energia finita (sinal de energia). E, por fim, se um sinal X ∈ L1, ‖X‖ decresceexponencialmente.

D. Guia do aplicativo MRAC Design

O aplicativo MRAC Design, Figura D.1, permite que o usuário projete e simule um con-trolador MRAC para plantas nominais de primeira e segunda ordem, com grau relativo≥ 1. No entanto, é possível especificar uma planta G(s) de ordem 3, porém o aplicativo iráconsiderar que a parte modelada Gp(s) possui ordem 1 ou 2 (de acordo com a escolha domodelo de referência).

Os algoritmos do aplicativo são baseados nas equações apresentadas nos capítulos 6 e 7,para plantas com grau relativo ≥ 1.

Figura D.1: Interface gráfica do aplicativo MRAC Design.

108 Capítulo D. Guia do aplicativo MRAC Design

Para realizar uma simulação, o usuário definirá as seguintes opções:- Plant num order: grau do numerador da planta (0, 1, 2 ou 3);- Plant den order: grau do denominador da planta (0, 1, 2 ou 3);- Model num order: grau do numerador do modelo de referência (0, 1 ou 2);- Model den order: grau do denominador do modelo de referência (0, 1 ou 2);- sign(kp/km), -1 or +1: sinal da relação kp/km (sign(ρ∗));- Num, plant: coeficientes do numerador da planta ([b1p b2p b3p]);- Den, plant: coeficientes do denominador da planta ([a1p a2p a3p]);- Num, model: coeficientes do numerador do modelo de referência ([β1m β2m β3m]);- Den, model: coeficientes do denominador do modelo de referência ([α1m α2m α3m]);- theta(0): valores iniciais do vetor de parâmetros θ. Para plantas nominais de primeira

ordem digitar [θy(0) θr(0)], para plantas nominais de segunda ordem digitar [θ1(0) θ2(0)θy(0) θr(0)];

- Adaptive law: chave seletora da lei de adaptação de parâmetros.

Gradient: θ(t) = −σ(t)Γθ(t)− Γζ(t)ε1(t)sign(ρ∗)

m2(t)

LS: θ(t) = −σ(t)P(t)θ(t)− P(t)ζ(t)ε1(t)sign(ρ∗)

m2(t)e P(t) = −P(t)ζ(t)ζT (t)P(t)

m2(t)- Sampling Time (s): período de amostragem, em segundos (T );- Gradient Gain: ganho γ de Γ = γI, quando escolhida a opção lei de adaptação do tipo

gradiente;- LS Gain: valor p0 de P(0) = p0I, quando escolhida a opção lei de adaptação do tipo

LS;- Pair (F, q): escolha dos parâmetros F e q. Se o modelo nominal da planta, Gp(s), for

de primeira ordem, defina F = 0 e q = 0 e escreva theta(0) na forma: [θy(0) θr(0)];- Normalization m: escolha do sinal de normalização. O sinal de normalização é escrito de

cinco formas: m=sqrt(1+wt.w) representam =√

1 + ωTω; m=sqrt(1+zt.z) representam =√1 + ζT ζ; m=sqrt(1+zt.G.z) representa m =

√1 + ζTΓζ; m=sqrt(1+zt.P.z) representa

m =√

1 + ζTPζ; e m=1 executa o algoritmo não normalizado;- Total time (s): tempo total de simulação, em segundos;- Sigma-modification: chave seletora on-off para acionamento da função σ-modification.

σ(t) =

0 se ‖θ(t)‖ < M0

σ0

(‖θ(t)‖M0

− 1

)se M0 ≤ ‖θ(t)‖ ≤ 2M0

σ0 se ‖θ(t)‖ > 2M0

- M0, sigma: parâmetro M0;- sigma0, sigma: parâmetro σ0;- Reference type: seleção do tipo de sinal de referência, ou seja, degrau, senoidal ou

quadrado;- frequency: frequência do sinal de referência;- amplitude: amplitude do sinal de referência;- phase: fase do sinal de referência;- Run: botão para rodar a simulação;- Interval: botão para ativar o intervalo escolhido em Time limits;- Time limits: intervalo de tempo da simulação;

109

Ao abrir o programa, os campos já estão pré-definidos com certos valores para facilitaro entendimento do usuário.

Após clicar no botão Run, o aplicativo atualizará os seguintes gráficos:1) Controller Gains : ganhosdocontroladoradaptativo;2) Tracking error e1: erro de rastreamento;3) Signals y, ym: sinais de saída da planta e do modelo de referência, respectivamente;4) Control action u: ação de controle;5) Principal diagonal elements of P : elementos da diagonal principal da matriz P;6) Signals ω1, ω2: sinais estimados da planta;7) ||θ||, M0, 2M0: norma do vetor θ, M0 e 2M0;8) Normalization signal m: sinal de normalização m;9) Augmented error ε1: erro aumentado ε1.Quando a simulação é finalizada, sem erros, no canto superior esquerdo a lâmpada verde

(Complete) será ligada, caso contrário a lâmpada vermelha (Error) acenderá.

E. Códigos em Matlab dos Exercícios

Observações importantes: i) para plotar os gráficos, utilize a função plot(); ii) ao copiar ecolar o código no Matlab, tome cuidado com eventuais erros de formatação de texto.

Exercício da Seção 2.7.2:

%Revisão de filtros digitais e solução numérica de sistemas dinâmicos

clcclear allclose allformat long e

%Parâmetros do circuito elétrico LCRR=100;L=1e-3;C=25e-6;

%Função de transferência contínua (em s)num_s=1/(L*C);den_s=[1 1/(R*C) 1/(L*C)];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da planta (em z)T=1e-6;[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’tustin’);G_z=tf(num_z,den_z,T)

%Reserva de memória para os vetores de interessentotal=30e3; %Número total de pontos no gráficosy=zeros(1,ntotal);u=ones(1,ntotal);tempo1=zeros(1,ntotal);tempo2=zeros(1,ntotal);X=zeros(2,ntotal);

112 Capítulo E. Códigos em Matlab dos Exercícios

%Coeficientes da planta discreta G(z)b0=num_z(1);b1=num_z(2);b2=num_z(3);

a0=den_z(1);a1=den_z(2);a2=den_z(3);

%Matriz e vetor do modelo em espaço de estadosA=[0 -1/L;1/C -1/(R*C)];B=[1/L;0];Ad=(eye(2)+A*T); %Discretização por EulerBd=B*T; %Discretização por Euler

%Laço de repetição da equação de recorrênciafor k=3:ntotalu(k)=1;y(k)=b0*u(k)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2)-a1*y(k-1)-a2*y(k-2);tempo1(k)=(k-3)*T;end

%Solução da equação de estado via método de Eulerfor k=1:ntotalX(:,k+1)=Ad*X(:,k)+Bd*u(k);tempo2(k+1)=(k)*T;end

113

Exercício da Seção 3.5.1:Código do Matlab:

%Algoritmo de estimação de parâmetros%Caso: um parâmetro

clcclear allclose all

Te=1; %Período do sinal de excitaçãoT=0.01; %Período de amostragem

ntotal=2e3; %Número total de pontos

%Variáveis de interessey=zeros(1,ntotal);y_e=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);theta=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

%Ganhos de adaptaçãog=1;

%Parâmetro a ser identificadotheta_est=2;

for k=2:ntotal

u(k)=1; %Sinal de excitaçãoy(k)= theta_est*u(k); %Medição da resposta da plantatheta(k)=theta(k-1)+T*g*E1(k-1)*u(k-1); %Lei adaptativay_e(k)=theta(k)*u(k); %y estimadoE1(k)=y(k)-y_e(k); %Erro de estimação de ytempo(k)=(k-2)*T; %tempoend



%Algoritmo de estimação de parâmetros%Caso: dois parâmetros


%Amplitude do sinal de excitaçãoAmp=1;


ntotal=1e4; %Número total de pontos

%Variáveis de interessex=zeros(1,ntotal);x_e=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);a_e=zeros(1,ntotal);b_e=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

g1=10;g2=10;

a=2; %Parâmetro desconhecidob=1; %Parâmetro desconhecido

for k=2:ntotal

u(k)=Amp*sin(2*pi*k*T/Te); %Sinal de Excitaçãox(k)= (1-a*T)*x(k-1)+b*T*u(k-1); %Medição da saída da planta (x)a_e(k) = a_e(k-1)-T*g1*E1(k-1)*x_e(k-1); %Lei adaptativa para ab_e(k) = b_e(k-1)+T*g2*E1(k-1)*u(k-1); %Lei adaptativa para bx_e(k)= (1-a_e(k-1)*T)*x_e(k-1) + b_e(k-1)*T*u(k-1); %Estimação de xE1(k)=x(k)-x_e(k); %Erro de estimação de xtempo(k)=(k-2)*T; %Tempoend

115


%Algoritmo de estimação de parâmetros de um circuito LCR%A identificação é realizada a partir da medição da corrente do indutor e%da tensão no capacitor


%Sinal de excitação uAmp=1; % amplitude do sinal de exitaçãofe=200; % frequencia do sinal de exitaçãoTe=1/fe; % Período do sinal de excitação

%R, L e CR=20; % Valor do resistorL=1e-3; % Valor do indutorC=100e-6; % Valor do capacitor

ntotal=3e5; % Número total de pontos na simulação

%Variáveis de interessex=zeros(2,ntotal);x1=zeros(1,ntotal);x2=zeros(1,ntotal);x1_e=zeros(1,ntotal); %estimadox2_e=zeros(1,ntotal); %estimadou=zeros(1,ntotal); %Sinal de excitação ua11_e=zeros(1,ntotal); %estimadoa12_e=zeros(1,ntotal); %estimadoa21_e=zeros(1,ntotal); %estimadoa22_e=zeros(1,ntotal); %estimadob1_e=zeros(1,ntotal); %estimadob2_e=zeros(1,ntotal); %estimadom_2=ones(1,ntotal); %NormalizadorE1=zeros(2,ntotal); %Erro de estimação de XE1_1=zeros(1,ntotal);E1_2=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

%Matrizes do sistema em espaço de estadoA=[0 -1/L; 1/C -1/(R*C)];a11=A(1,1)*ones(1,ntotal);a12=A(1,2)*ones(1,ntotal);a21=A(2,1)*ones(1,ntotal);a22=A(2,2)*ones(1,ntotal);

B=[1/L; 0];b1=B(1)*ones(1,ntotal);b2=B(2)*ones(1,ntotal);

I=eye(2); %Identidade 2x2

%identificação da frequencia polos


aut=eig(A);fn1=abs(aut(1))/(2*pi);fn2=abs(aut(2))/(2*pi);

f=4000*fn1; %Frequencia de amostragemT=1/f; %Período de amostragem

%Discretização da plantaAd=expm(A*T);Bd=inv(A)*(expm(A*T)-eye(2))*B;

%Ganhos de adaptaçãog1=10/T; %A divisão por T é simplesmente para cancelar com o T do algoritmo de identificaçãog2=g1;

% laço de repetiçãofor k=2:ntotal

u(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te); %Sinal de Excitaçãox(:,k)= Ad*x(:,k-1)+Bd*u(k-1); %Medição dos estados da planta, xx1(k)=x(1,k); %Estado x1x2(k)=x(2,k); %Estado x2

%Sinal de normalizaçãom_2(k-1)=1+u(k-1)*u(k-1);

%Identificar os elementos da matriz Apa11_e(k) = a11_e(k-1)+T*g1*E1_1(k-1)*x1_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a11a12_e(k) = a12_e(k-1)+T*g1*E1_1(k-1)*x2_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a12a21_e(k) = a21_e(k-1)+T*g1*E1_2(k-1)*x1_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a21a22_e(k) = a22_e(k-1)+T*g1*E1_2(k-1)*x2_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a22

%Identificar os elementos da matriz Bpb1_e(k) = b1_e(k-1)+T*g2*E1_1(k-1)*u(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para b1b2_e(k) = b2_e(k-1)+T*g2*E1_2(k-1)*u(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para b2

x1_e(k)= (1+a11_e(k-1)*T)*x1_e(k-1)+a12_e(k-1)*T*x2_e(k-1)+b1_e(k-1)*T*u(k-1);%Estimação de x1x2_e(k)= (1+a22_e(k-1)*T)*x2_e(k-1)+a21_e(k-1)*T*x1_e(k-1)+b2_e(k-1)*T*u(k-1);%Estimação de x2

E1_1(k)=x1(k)-x1_e(k); %Erro de estimação de x1E1_2(k)=x2(k)-x2_e(k); %Erro de estimação de x2E1(:,k)=[E1_1(k);E1_2(k)]; % x-x_e

tempo(k)=(k-2)*T; %Tempoend

%Parâmetros estimados: R, L e CL_e=1/b1_e(ntotal)C_e=1/a21_e(ntotal)R_e=-1/(a22_e(ntotal)*C_e)

117


%Algoritmo de estimação de parâmetros com base em um modeo entrada-saída%(I/O)

clcclear allclose all

%Amplitude do sinal de excitaçãoAmp=1;


%Parâmetros desconhecidos a serem identificadosb1=2;b0=1;a1=3;a0=4;

%Modelo da planta em snum_s=[0 b1 b0];den_s=[1 a1 a0];G_s=tf(num_s,den_s);

%Discretização da planta[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z);

beta1=num_z(2)beta2=num_z(3)alfa1=den_z(2)alfa2=den_z(3)

%Filtros internos em s; F1(s) e F2(s)L1=1;L0=10;num1_s = [0 1 0];den1_s = [1 L1 L0];F1_s=tf(num1_s,den1_s)

num2_s = [0 0 1];den2_s = [1 L1 L0];F2_s=tf(num2_s,den2_s)

%Discretização dos filtros internos[num1_z,den1_z] = c2dm(num1_s,den1_s,T,’zoh’); %F1(z)F1_z=tf(num1_z,den1_z)[num2_z,den2_z] = c2dm(num2_s,den2_s,T,’zoh’); %F2(z)F2_z=tf(num2_z,den2_z)

%Coeficientes da %F1(z)beta1_1=num1_z(2)beta2_1=num1_z(3)alfa1_1=den1_z(2)


alfa2_1=den1_z(3)

%Coeficientes da %F2(z)beta1_2=num2_z(2)beta2_2=num2_z(3)alfa1_2=den2_z(2)alfa2_2=den2_z(3)

%Variáveis de interessentotal=1e5; %Número total de pontosh=zeros(1,ntotal);h_e=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);y_e=zeros(1,ntotal); %Estimação de y a partir da parametrizaçãob1_e=zeros(1,ntotal);b0_e=zeros(1,ntotal);a1_e=zeros(1,ntotal);a0_e=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal);phi1=zeros(1,ntotal);phi2=zeros(1,ntotal);phi3=zeros(1,ntotal);phi4=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

%Ganho de adaptaçãog=200;

for k=3:ntotal

u(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te); %Sinal de Excitaçãoy(k)= -alfa1*y(k-1)-alfa2*y(k-2)+beta1*u(k-1)+beta2*u(k-2); %Reposta da plantaphi1(k)= -alfa1_1*phi1(k-1)-alfa2_1*phi1(k-2)+beta1_1*u(k-1)+beta2_1*u(k-2); %Sinal u filtrado por F1(z)phi2(k)= -alfa1_2*phi2(k-1)-alfa2_2*phi2(k-2)+beta1_2*u(k-1)+beta2_2*u(k-2); %Sinal u filtrado por F2(z)phi3(k)= -alfa1_1*phi3(k-1)-alfa2_1*phi3(k-2)-beta1_1*y(k-1)-beta2_1*y(k-2); %Sinal y filtrado por -F1(z)phi4(k)= -alfa1_2*phi4(k-1)-alfa2_2*phi4(k-2)-beta1_2*y(k-1)-beta2_2*y(k-2); %Sinal y filtrado por -F2(z)

%Estimação dos parâmetros da plantab1_e(k)=b1_e(k-1)+g*T*E1(k-1)*phi1(k-1);b0_e(k)=b0_e(k-1)+g*T*E1(k-1)*phi2(k-1);a1_e(k)=a1_e(k-1)+g*T*E1(k-1)*phi3(k-1);a0_e(k)=a0_e(k-1)+g*T*E1(k-1)*phi4(k-1);

%Sinais: h real, e h estimadoh(k)=y(k)+L1*phi3(k)+L0*phi4(k);h_e(k)=b1_e(k)*phi1(k)+b0_e(k)*phi2(k)+a1_e(k)*phi3(k)+a0_e(k)*phi4(k);

%Estimação de yy_e(k)=h_e(k)-L1*phi3(k)-L0*phi4(k);

E1(k)=h(k)-h_e(k); %Erro de estimação de htempo(k)=(k-3)*T; %Tempoend

119

Exercício da Seção 4.5.1:Código no Matlab:

%Controlador MRC aplicado a uma planta de primeira ordem


%Sinal de referência rAmp=1; %Amplitude da referênciaTe=20; %Período fundamental da referência

%Modelo da planta em snum_s=0.5;den_s=[1 1];G_s=tf(num_s,den_s);b=num_s(1); %Coeficiente do numeradora=den_s(2); %Coeficiente do denominador

%Discretização da plantaT=0.01; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,T)bz=num_z(2); %Coeficiente do numeradoraz=den_z(2); %Coeficiente do denominador

%Modelo de referência em snumW_s=2;denW_s=[1 2];W_s=tf(numW_s,denW_s);bm=numW_s(1); %Coeficiente do numeradoram=denW_s(2); %Coeficiente do denominador

%Discretização do modelo de referência[numW_z,denW_z] = c2dm(numW_s,denW_s,T,’zoh’);W_z=tf(numW_z,denW_z,T)bmz=numW_z(2); %Coeficiente do numeradoramz=denW_z(2); %Coeficiente do denominador

%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e4; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

%Projeto do MRC contínuotheta1_est_s = bm/btheta2_est_s = (am - a)/b

%Projeto do MRC discreto (utilizado na análise)theta1_est = bmz/bz


theta2_est = (amz - az)/bz

%theta1_est = 3.980099667498336;%theta2_est = 1.980099667498357;

%Laço de repetição para executação do controlador MRCfor k=2:ntotalr(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te); %Referência rym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1); %Saída do modelo de referência a ser seguido ymy(k)=-az*y(k-1)+bz*u(k-1); %Resposta da planta yu(k)=theta1_est*r(k) - theta2_est*y(k); %Ação de controle u

e1(k)=y(k)-ym(k); %Erro de rastreamento

tempo(k)=(k-2)*T; %Vetor tempoend

121

Código do Matlab:

%Controlador MRAC aplicado a uma planta de primeira ordem



%Modelo da planta em snum_s=0.5;den_s=[1 1];G_s=tf(num_s,den_s);


%Modelo de referência em snumW_s=2;denW_s=[1 2];W_s=tf(numW_s,denW_s);am=denW_s(2);


%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controlador

zetar=zeros(1,ntotal); %r filtrado por am/(s+am)zetay=zeros(1,ntotal); %y filtrado por am/(s+am)

%Taxa de adaptação do mecanismo de adaptação de ganhosg=5;

%Projeto do MRCtheta1_est = bmz/bz


theta2_est = (amz - az)/bz

%theta1_est = 3.980099667498336;%theta2_est = 1.980099667498357;

%Filtro digital para obtenção do zetar e do zetay%zetar(s)=F(s)*y(s)%zetay(s)=F(s)*y(s)%F(s)=am/(s+am)num2=am;den2=[1 am];G2=tf(num2,den2);%Discretizando[num2_z,den2_z]=c2dm(num2,den2,T,’zoh’);beta=num2_z(2)alfa=den2_z(2)%Obtem-se%zetar(z)=F(z)*y(z)%zetay(z)=F(z)*y(z)%F(z)=beta/(z+alfa)

%Laço de repetição para executação do controlador MRACfor k=2:ntotal

r(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te);ym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1);y(k)=-az*y(k-1)+bz*u(k-1);

theta1(k) = theta1(k-1) - T*g*zetar(k-1)*e1(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) + T*g*zetay(k-1)*e1(k-1);

u(k)=theta1(k)*r(k) - theta2(k)*y(k);

e1(k)=y(k)-ym(k);

%Saídas dos filtros auxiliares para o mecanisno de adaptaçãozetar(k)=-alfa*zetar(k-1)+beta*r(k-1);zetay(k)=-alfa*zetay(k-1)+beta*y(k-1);

tempo(k)=(k-2)*T;end

123


%Controlador MRAC aplicado a uma planta de segunda ordem com grau relativo%igual a 1



%Modelo da planta em skp=-2;num_s=kp*[1 5];den_s=[1 -2 1];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da plantaT=0.001; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,T)

b1=num_z(2)b2=num_z(3)a1=den_z(2)a2=den_z(3)

%Modelo de referência em skm=3;numW_s=km;denW_s=[1 3];W_s=tf(numW_s,denW_s)am=denW_s(2);


%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e6; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);w1=zeros(1,ntotal);w2=zeros(1,ntotal);m_2=ones(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controlador


theta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetay=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar=zeros(1,ntotal); %Ganho do controlador

%MRC Contínuotheta1_est=-4;theta2_est=-2;thetay_est= 3;thetar_est= km/kp;


%Par (F,q)F=-1;q=1;

Fd=1+F*T;qd=q*T;


r(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te);

ym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1);

y(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);

theta1(k) = theta1(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*w1(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*w2(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);thetay(k) = thetay(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*y(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);thetar(k) = thetar(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*r(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);

w1(k)=exp(F*T)*w1(k-1)+inv(F)*(exp(F*T)-1)*q*u(k-1);w2(k)=exp(F*T)*w2(k-1)+inv(F)*(exp(F*T)-1)*q*y(k-1);

u(k)=theta1(k)*w1(k) + theta2(k)*w2(k) + thetay(k)*y(k) + thetar(k)*r(k);e1(k)=y(k)-ym(k);m_2(k)=1+w1(k)*w1(k)+w2(k)*w2(k)+y(k)*y(k)+r(k)*r(k); %m^2 = 1+w’wtempo(k)=(k-3)*T;end

125


%Controlador MRAC aplicado a um circuito LCR


%Sinal de Referência rAmp=311; %Amplitude da referênciaTe=1/60; %Período fundamental da referência

%ParâmetrosR=100;L=1e-3;C=100e-6;

T=1/10e3; %Período de amostragem

%Modelo da planta em s, n*=2kp=1/(L*C);num_s=kp*[0 1];den_s=[1 1/(R*C) 1/(L*C)];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da planta[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,T)


%Modelo de referência em s, n*=2km=1/(L*C);numW_s=km*[0 1];denW_s=[1 10/(R*C) km]; %amortecimento maior que a plantaW_s=tf(numW_s,denW_s)

%Discretização do modelo de referência[numW_z,denW_z] = c2dm(numW_s,denW_s,T,’zoh’);W_z=tf(numW_z,denW_z,T)

beta1=numW_z(2)beta2=numW_z(3)alfa1=denW_z(2)alfa2=denW_z(3)

%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);


u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal); %Erro aumentadov=zeros(1,ntotal);w1=zeros(1,ntotal);w2=zeros(1,ntotal);zetaw1=zeros(1,ntotal);zetaw2=zeros(1,ntotal);zetay=zeros(1,ntotal);zetar=zeros(1,ntotal);m_2=ones(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetay=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar_est=km/kp;


%Par (F,q)F=-10e3;q=abs(F);

Fd=exp(F*T);qd=inv(F)*(exp(F*T)-1)*q;


r(k)=Amp*sin(2*pi*k*T/Te);

%Modelo de referênciaym(k)= -alfa1*ym(k-1)-alfa2*ym(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

%Filtros auxiliareszetaw1(k)= -alfa1*zetaw1(k-1)-alfa2*zetaw1(k-2)+beta1*w1(k-1)+beta2*w1(k-2);zetaw2(k)= -alfa1*zetaw2(k-1)-alfa2*zetaw2(k-2)+beta1*w2(k-1)+beta2*w2(k-2);zetay(k)= -alfa1*zetay(k-1)-alfa2*zetay(k-2)+beta1*y(k-1)+beta2*y(k-2);zetar(k)= -alfa1*zetar(k-1)-alfa2*zetar(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

%Saída da plantay(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);

theta1(k) = theta1(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*zetaw1(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*zetaw2(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);thetay(k) = thetay(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*zetay(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);thetar(k) = thetar(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*T*g*zetar(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);

w1(k)=Fd*w1(k-1)+qd*u(k-1);w2(k)=Fd*w2(k-1)+qd*y(k-1);

u(k)=theta1(k)*w1(k) + theta2(k)*w2(k) + thetay(k)*y(k) + thetar(k)*r(k); %u=theta’omega

%Erro aumentado

127

e1(k)=y(k)-ym(k);v(k)= -alfa1*v(k-1)-alfa2*v(k-2)+beta1*u(k-1)+beta2*u(k-2);E1(k) = e1(k) + theta1(k)*zetaw1(k) + theta2(k)*zetaw2(k) + thetay(k)*zetay(k) +thetar(k)*zetar(k) - v(k);

m_2(k)=1+zetaw1(k)*zetaw1(k)+zetaw2(k)*zetaw2(k)+zetay(k)*zetay(k)+zetar(k)*zetar(k);tempo(k)=(k-3)*T;end



%Controlador MRAC aplicado ao controle da corrente de um conversor conectado a rede elétrica com filtro L


%Sinal de Referência rAmp=5; %Amplitude da referênciaTe=1/60; %Período fundamental da referência

%Parâmetros do circuitoLc=5e-3;Lg=1e-3;rc=0.2;rg=0.2;

re=rc+rg;Le=Lc+Lg;

%Modelo da planta em snum_s=1/Le;den_s=[1 re/Le];G_s=tf(num_s,den_s);b=num_s(1); %Coeficiente do numeradora=den_s(2); %Coeficiente do denominador

%Discretização da plantaT=100e-6; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,T)bz=num_z(2); %Coeficiente do numeradoraz=den_z(2); %Coeficiente do denominador

%Modelo de referência em snumW_s=20000;denW_s=[1 20000];W_s=tf(numW_s,denW_s);bm=numW_s(1); %Coeficiente do numeradoram=denW_s(2); %Coeficiente do denominador


%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e4; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);vg=zeros(1,ntotal);

Vc=zeros(1,ntotal);

129

Vs=zeros(1,ntotal);

ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetac=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetas=zeros(1,ntotal); %Ganho do controlador

zetar=zeros(1,ntotal); %r filtrado por am/(s+am)zetay=zeros(1,ntotal); %y filtrado por am/(s+am)zetac=zeros(1,ntotal);zetas=zeros(1,ntotal);

m_2=ones(1,ntotal);


%Filtro digital para obtenção do zetar e do zetay%zetar(s)=F(s)*y(s)%zetay(s)=F(s)*y(s)%F(s)=am/(s+am)num2=am;den2=[1 am];G2=tf(num2,den2);%Discretizando[num2_z,den2_z]=c2dm(num2,den2,T,’zoh’);beta=num2_z(2)alfa=den2_z(2)%Obtem-se%zetar(z)=F(z)*y(z)%zetay(z)=F(z)*y(z)%F(z)=beta/(z+alfa)


r(k)=Amp*sin(2*pi*k*T/Te);

%Equação do distúrbio

phi=pi/4;vg(k)=311*sin(2*pi*k*T/Te + phi);

ym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1);y(k)=-az*y(k-1)+bz*u(k-1) - bz*vg(k-1);

theta1(k) = theta1(k-1) - T*g*zetar(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) - T*g*zetay(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);

%Ganhos referentes ao distúrbiothetac(k) = thetac(k-1) - T*g*zetac(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);


thetas(k) = thetas(k-1) - T*g*zetas(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);

fd=60; %Frequência do distúrbioVc(k)= 10*cos(2*pi*fd*k*T);Vs(k)= 10*sin(2*pi*fd*k*T);

%Saídas dos filtros auxiliares para o mecanisno de adaptaçãozetar(k)=-alfa*zetar(k-1)+beta*r(k-1);zetay(k)=-alfa*zetay(k-1)+beta*y(k-1);zetac(k)=-alfa*zetac(k-1)+beta*Vc(k-1);zetas(k)=-alfa*zetas(k-1)+beta*Vs(k-1);u(k)=theta1(k)*r(k) + theta2(k)*y(k) + thetac(k)*Vc(k) + thetas(k)*Vs(k);e1(k)=y(k)-ym(k);m_2(k)=1+y(k)*y(k)+r(k)*r(k)+zetac(k)*zetac(k)+zetas(k)*zetas(k);tempo(k)=(k-2)*T;end

131

Exercício da Seção 5.4:Código do Matlab:

%Controlador MRAC-LS aplicado a uma planta de segunda ordem



%Modelo da planta em s, n*=2kp=1;num_s=kp*[0 1];den_s=[1 1 1];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da plantaT=0.01; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,T,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,T)


%Modelo de referência em s, n*=2km=1;numW_s=km*[0 1];denW_s=[1 2 1];W_s=tf(numW_s,denW_s)

%Discretização do modelo de referência[numW_z,denW_z] = c2dm(numW_s,denW_s,T,’zoh’);W_z=tf(numW_z,denW_z,T)

beta1=numW_z(2)beta2=numW_z(3)alfa1=denW_z(2)alfa2=denW_z(3)

%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal); %Erro aumentadov=zeros(1,ntotal);w1=zeros(1,ntotal);w2=zeros(1,ntotal);


zetaw1=zeros(1,ntotal);zetaw2=zeros(1,ntotal);zetay=zeros(1,ntotal);zetar=zeros(1,ntotal);zeta=zeros(4,ntotal);m_2=ones(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetay=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar_est=km/kp;THETA=zeros(4,ntotal); %Ganho do controlador

%Matriz de covariância PP=zeros(4,4,ntotal);%Elementos da diagonal principalp1=zeros(1,ntotal);p2=zeros(1,ntotal);p3=zeros(1,ntotal);p4=zeros(1,ntotal);

%Par (F,q)F=-1;q=1;

%Laço de repetição para executação do controlador MRAC

%Inicialização da matriz Pp0=1000;

%Inicialização da Matriz: P(0) = p0*IP(1,1,1)=p0;P(1,1,2)=p0;

P(2,2,1)=p0;P(2,2,2)=p0;

P(3,3,1)=p0;P(3,3,2)=p0;

P(4,4,1)=p0;P(4,4,2)=p0;

for k=3:ntotal

r(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te);

%Modelo de referênciaym(k)= -alfa1*ym(k-1)-alfa2*ym(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

%Filtros auxiliareszetaw1(k)= -alfa1*zetaw1(k-1)-alfa2*zetaw1(k-2)+beta1*w1(k-1)+beta2*w1(k-2);zetaw2(k)= -alfa1*zetaw2(k-1)-alfa2*zetaw2(k-2)+beta1*w2(k-1)+beta2*w2(k-2);zetay(k)= -alfa1*zetay(k-1)-alfa2*zetay(k-2)+beta1*y(k-1)+beta2*y(k-2);zetar(k)= -alfa1*zetar(k-1)-alfa2*zetar(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

133

%Junta num vetor sózeta(:,k)=[zetaw1(k);zetaw2(k);zetay(k);zetar(k)];

%Matriz P%Pure LSP(:,:,k)=P(:,:,k-1)-T*P(:,:,k-1)*zeta(:,k-1)*zeta(:,k-1)’*P(:,:,k-1)/m_2(k-1);

%Elementos da diagonal principal da matriz Pp1(k)=P(1,1,k);p2(k)=P(2,2,k);p3(k)=P(3,3,k);p4(k)=P(4,4,k);

%Saída da plantay(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);

THETA(:,k) = THETA(:,k-1) -P(:,:,k-1)*(thetar_est/abs(thetar_est))*T*zeta(:,k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);

theta1(k) = THETA(1,k);theta2(k) = THETA(2,k);thetay(k) = THETA(3,k);thetar(k) = THETA(4,k);

w1(k)=exp(F*T)*w1(k-1)+inv(F)*(exp(F*T)-1)*q*u(k-1);w2(k)=exp(F*T)*w2(k-1)+inv(F)*(exp(F*T)-1)*q*y(k-1);

u(k)=theta1(k)*w1(k) + theta2(k)*w2(k) + thetay(k)*y(k) + thetar(k)*r(k); %u=theta’omega

%Atualização do erro aumentado: E1 = theta_til’zetae1(k)=y(k)-ym(k);v(k)= -alfa1*v(k-1)-alfa2*v(k-2)+beta1*u(k-1)+beta2*u(k-2);E1(k) = e1(k) +theta1(k)*zetaw1(k) + theta2(k)*zetaw2(k) + thetay(k)*zetay(k) + thetar(k)*zetar(k) - v(k);

m_2(k)=1+zetaw1(k)*zetaw1(k)+zetaw2(k)*zetaw2(k)+zetay(k)*zetay(k)+zetar(k)*zetar(k);



Exemplo da Seção 7.5.1:Código do Matlab:

%Controlador MRAC aplicado a uma planta de primeira ordem, utilizando a%função sigma-modification



%Modelo da planta em snum_s=0.5;den_s=[1 1];G_s=tf(num_s,den_s);


%Modelo de referência em snumW_s=2;denW_s=[1 2];W_s=tf(numW_s,denW_s);am=denW_s(2);


%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=10*ones(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=-10*ones(1,ntotal); %Ganho do controladorzetar=zeros(1,ntotal); %r filtrado por am/(s+am)zetay=zeros(1,ntotal); %y filtrado por am/(s+am)


%Filtro digital para obtenção do zetar e do zetay

135

%zetar(s)=F(s)*y(s)%zetay(s)=F(s)*y(s)%F(s)=am/(s+am)num2=am;den2=[1 am];G2=tf(num2,den2);[num2_z,den2_z]=c2dm(num2,den2,T,’zoh’);beta=num2_z(2)alfa=den2_z(2)

%Função sigma-modificationsigma=zeros(1,ntotal);sigma_0 = 0.1; %Valor pequenoM0=5;normtheta=zeros(1,ntotal);

%Laço de repetição para executação do controlador MRAC

for k=2:ntotalr(k)=Amp*square(2*pi*k*T/Te);ym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1);y(k)=-az*y(k-1)+bz*u(k-1);

theta1(k) = (1-sigma(k-1)*g*T)*theta1(k-1) - T*g*zetar(k-1)*e1(k-1);theta2(k) = (1-sigma(k-1)*g*T)*theta2(k-1) + T*g*zetay(k-1)*e1(k-1);

%sigma-modificationnormtheta(k)=sqrt(theta1(k)^2+theta2(k)^2);

if normtheta(k)<M0sigma(k)=0;elseif normtheta(k)>2*M0sigma(k)=sigma_0;elsesigma(k)=sigma_0*(normtheta(k)/M0-1);end

u(k)=theta1(k)*r(k) - theta2(k)*y(k);e1(k)=y(k)-ym(k);

%Saídas dos filtros auxiliares para o mecanisno de adaptaçãozetar(k)=-alfa*zetar(k-1)+beta*r(k-1);zetay(k)=-alfa*zetay(k-1)+beta*y(k-1);


F. Lista de símbolos

A seguir, são apresentados os principais símbolos utilizados neste documento.y: sinal de saída de uma planta ou sistemaym: sinal de saída do modelo de referênciau: sinal de entrada de uma planta ou sistemaud: ação de controle para rejeição de distúrbior: sinal de referência de um sistema de controleθ: vetor de ganhos ou parâmetrosθp: vetor de parâmetros de uma plantaθ: vetor erro paramétricoθ∗: vetor de ganhos ou parâmetros verdadeirosZ.: Transformada ZL.: Transformada de Laplacet: tempo contínuoτ : variável auxiliar para integrais temporaist0: tempo inicials: frequência complexa contínuaz: frequência complexa discretak: índice inteiro de função de tempo discretoT : período de amostragemA, B, C e D: matrizes de um sistema contínuo expresso por variáveis de estadoAd, Bd, Cd e Dd: matrizes de um sistema discreto expresso por variáveis de estadoX: vetor de estadox: variável de estadox0: valor inicial da variável de estadoJ : função custoγ: ganho escalar de adaptaçãoΓ: ganho matricial de adaptaçãoV : função escalar definida positiva

138 Capítulo F. Lista de símbolos

ε1: erro de estimaçãotr.: operador traço de matrizy: estimação da variável yn: ordem de um sistemaR, L e C: resistência, indutância e capacitância, respectivamenteZ(s): polinômio em s de ordem n− 1R(s): polinômio em s de ordem nh: sinal de saída de um sistema parametrizadoφ: vetor com sinais de entrada u e saída y filtradosi: índice inteiroα: vetor de termos si, si−1, ..., 1Λ(s): polinômio Hurwitz de ordem nλi: i-ésimo coeficiente do polinômio Hurwitz Λ(s)G(s): modelo completo de uma planta, por função de transferênciaGp(s): parte modelada de uma planta, por função de transferênciakp: ganho escalar da planta Gp(s)Zp(s): polinômio mônico do numerador da planta Gp(s)mp: ordem de Zp(s)Rp(s): polinômio mônico do denominador da planta Gp(s)np: ordem de Rp(s)n∗p: grau relativo np −mp

Wm(s): modelo de referência, por função de transferênciakm: ganho escalar de um modelo Wm(s)Zm(s): polinômio mônico do numerador do modelo de referência Wm(s)mm: ordem de Zm(s)Rm(s): polinômio mônico do denominador do modelo de referência Wm(s)nm: ordem de Rm(s)n∗m: grau relativo nm −mm

e1: erro de rastreamentoζ: vetor com sinais de saída de um filtro estávelω: vetor com sinais realimentados do sistema de controleF e q: matrizes de um sistema dinâmico em espaço de estadosρ∗: relação kp/kmm2: sinal de normalização das leis adaptativasd(t): sinal de distúrbioA, ω0 e φ0: amplitude, frequência angular e fase de um sinalVs e Vc: componentes em seno e cosseno, respectivamenteP: matriz quadrada definida positivaI: matriz identidadeσ: função sigma-modificationσ0: valor máximo da função sigma-modificationM0: limitante superior de ||θ∗||µm e µa: pesos das dinâmicas não modeladas multiplicativa e aditiva, respectivamenteµm∆m(s) e µa∆a(s): dinâmicas não modeladas multiplicativa e aditiva, respectiva-

mente, por função de transferência∆1(s) e ∆2(s): polinômios Hurwitz

139

δ1 e δ2: incertezas escalares nos parâmetros de uma plantaδa(s) e δm(s): sinais de saída das dinâmicas não modeladas aditivas e multiplicativas,

respectivamenteNp(s) e Dp(s): polinômios em sem: sinal erro de modelagem

G. Glossário

Para facilitar a leitura deste material, a definição de alguns termos técnicos é apresentadaa seguir.• Controle adaptativo: Técnica de controle que possibilita o ajuste automático dos

parâmetros, ou ganhos, de um controlador em tempo real.• Discretização: Transformação de equações de tempo contínuo para equações de tempo

discreto.• Filtro: Sistema capaz de selecionar ou rejeitar determinado conteúdo harmônico de

um dado sinal de entrada.• Função custo: Equação quadrática a ser minimizada pelo sistema de controle.• Função de transferência: Relação entre a Transformada de Laplace do sinal de saída

e a Transformada de Laplace do sinal de entrada, considerando todas as condiçõesiniciais nulas. É expresso na forma de uma razão de polinômios.• Incerteza estruturada: Não conhecimento exato da localização dos polos e zeros da

planta.• Incerteza não-estruturada: Não conhecimento do comportamento da fase e do ganho

da planta em frequências de determinada faixa de operação.• Lei de adaptação paramétrica: Equação para identificação dos parâmetros de uma

planta ou controlador.• Lei de controle: Equação que determina a atualização da ação de controle.• Modelo: Expressão matemática que define o comportamento das variáveis de um

sistema físico.• Modelo de referência: Equação matemática que define o comportamento dinâmico

desejado do sistema de controle por modelo de referência.• Modelo por variáveis de estado: Equação descrita pela derivada primeira do vetor de

estado.• Parâmetro: Grandeza física que é considerada constante ou que varie muito pouco

com o tempo.• Planta: Parte do sistema a ser controlada.

142 Capítulo G. Glossário

• Polinômio Hurwitz: Polinômio que possui todos as raízes no semi-plano esquerdo doplano complexo.• Polinômio mônico: Polinômio o qual a potência de maior ordem é multiplicada por 1.• Regra de MIT: Método de obtenção de uma lei de adaptação paramétrica baseado na

minimização de uma determinada função custo.• Robustez: Capacidade do sistema de controle de se manter estável mesmo na presença

de distúrbios ou incertezas na planta.• Sinal rico em frequência: Sinais que apresentam elevado conteúdo harmônico.• Vetor de estado: Vetor que contém o número mínimo de variáveis que descrevem o

comportamento dinâmico de um sistema para todo o tempo t.• ZOH (Zero-Order-Hold): Retentor de ordem zero, é um circuito capaz de armaze-

nar o valor instantâneo de uma variável medida e mantê-la constante até a próximaaquisição.

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