68_Alexandre de M Teixeira.pdf

APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNES ATRAVS

DO GEOGEBRA E DE TIPOS DIGITAIS?

Alexandre de Mattos Teixeira

Rio de Janeiro

Janeiro/2013

Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica, Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessrios obteno

do ttulo de mestre.

Orientadores:

Prof. Samuel Jurkiewicz, D.Sc.

Prof. Humberto Jos Bortolossi, D.Sc.

iii

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Central do CEFET/RJ

iv

Dedico esta dissertao minha filha Beatrice

e a todas as pessoas que estiveram sempre ao

meu lado ou que incentivaram meus estudos,

especialmente:

meus avs Joo (in memoriam) e Waltenira,

minha me Marimilia, minha tia Maringela,

meu tio Joo e meu av Osmar.

Obrigado por tudo que vocs fizeram por mim.

v

Agradecimentos

Ao meu orientador Samuel Jurkiewicz que acreditou na proposta de pesquisa

desde o incio, sempre me encorajando a desenvolver meu prprio pensamento e

promover o crescimento da minha cultura cientfica.

Ao meu co-orientador Humberto Bortolossi que sempre esteve disposto a me

ouvir, por sugerir outros percursos na pesquisa e me a ajudar a refletir nos momentos

difceis que apareceram no trabalho.

Aos docentes do PPECM: Alvaro Chrispino, Andreia Guerra, Dayse Pastore,

Mnica Waldhelm, Marco Braga, Rafael Barbastfano, Srgio Duarte e Tereza

Fachada; pelas aulas, conversas, indicaes de leitura e pelo excelente ambiente de

estudos que ajudaram a me proporcionar.

pr-reitora Neide da Fonseca Parracho de SantAnna pela autorizao, sem

restries, para a execuo do trabalho na instituio.

Ao Diretor Marcelos de Carvalho Caldeira pelo total apoio na infraestrutura

necessria para a realizao deste trabalho em seu campus.

Ao funcionrio Davi Azevedo Peres pelo auxlio no Laboratrio de Informtica

durante a realizao de todo o trabalho.

Aos estagirios Renan Oliveira Mattos de S e Mauricio Alfredo Ayala de

Carvalho pela ajuda na aplicao da pesquisa no Laboratrio de Informtica.

Aos colegas da turma de 2010 do PPECM pelo companheirismo e apoio nas

angstias e dificuldades no percurso que todo mestrando enfrenta.

Aos tcnicos e funcionrios do PPECM por sempre estarem dispostos a me

atender, tirar minhas dvidas e ajudar nos trmites administrativos.

Aos meus alunos das turmas da 1 srie do ensino mdio do ano letivo de 2011

que sempre se colocaram dispostos a colaborar com a pesquisa e que foram minha

grande inspirao na busca desta nova proposta de ensino-aprendizagem.

A todos que no foram mencionados, mas que de alguma forma, contriburam

para que eu pudesse concluir este trabalho.

vi

A sabedoria no um ideal a mais, ainda menos uma religio.

A sabedoria esta vida, tal como , mas vivida em verdade.

Claro, no h verdade absoluta, ou no temos acesso a ela: nunca estamos

totalmente na verdade, assim como raro estarmos totalmente no erro.

A sabedoria (...), o mximo de felicidade no mximo de lucidez.

menos um absoluto do que um processo.

(...) No faamos da sabedoria uma esperana,

um ideal que nos separaria do real.

Andr Comte-Sponville em A Felicidade, Desesperadamente

vii

RESUMO

APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNES ATRAVS

DO GEOGEBRA E DE TIPOS DIGITAIS?


Orientadores:

Samuel Jurkiewicz

Humberto Jos Bortolossi

Resumo da Dissertao de Mestrado submetida ao Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica do Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de mestre.

Nesta pesquisa buscou-se, inicialmente, avaliar a ocorrncia de Aprendizagem Significativa, segundo Ausubel, no estudo das funes afim e quadrtica com alunos da 1 srie do ensino mdio em uma instituio pblica. A abordagem dos assuntos do contedo programtico foi feita totalmente em um ambiente informatizado. Para tanto, alm da estrutura fsica do laboratrio de informtica do colgio, foi utilizado o programa gratuito e multiplataforma GeoGebra. Foi definido como trabalho final a ser apresentado pelos alunos, a construo de letras e numerais do tipo digital OCR A Extended. A verificao da ocorrncia de Aprendizagem Significativa deu-se atravs de observaes durantes as aulas, tabulaes de questionrios com respostas objetivas e discursivas e avaliaes institucionais.

Palavras- chave:

Aprendizagem Significativa; Funes; GeoGebra

Rio de Janeiro

Janeiro/2013

viii

ABSTRACT

MEANINGFUL LEARNING OF FUNCTIONS THROUGH

GEOGEBRA AND DIGITAL TYPES?


Advisors:

Samuel Jurkiewicz

Humberto Jos Bortolossi

Abstract of dissertation submitted to Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica do Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, as partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Teaching Mathematics.

This research aimed to initially evaluate the occurrence of Meaningful Learning, according to Ausubel, in the study of affine and quadratic functions with 1st grade high school students in a public institution. Addressing the issues of program content was completely done in a computerized environment. Therefore, besides the physical structure of the computer lab of the college, it was used the freeware and multiplatform software GeoGebra. It was defined as the final work to be presented by the students, the construction of letters and numerals of the digital type OCR A Extended. The verification of the occurrence of Meaningful Learning occurred through observations during lessons, tabs questionnaires with objective/discursive responses and institutional evaluations.

Keywords:

Meaningful Learning; Functions; GeoGebra

Rio de Janeiro

January/2013

ix

Sumrio

Introduo ............................................................................................................................... 1

Captulo I Referencial Terico e rea do Trabalho Desenvolvido

I.1 Aprendizagem Significativa ................................................................................... 4

I.2 Funes Afim e Quadrtica ................................................................................... 7

I.3 Geogebra .............................................................................................................. 9

I.4 Tipos digitais .......................................................................................................15

Captulo II Aplicao da Pesquisa no Laboratrio de Informtica

II.1 Descrio da Aplicao da Pesquisa .................................................................18

II.2 Entrega dos Arquivos e Dificuldades Encontradas .............................................20

II. 3 Questionrios ....................................................................................................22

Concluses e Sugestes .....................................................................................................32

Referncias Bibliogrficas...................................................................................................34

Apndices

A. 1 Fichas e Questionrios .....................................................................................36

A. 2 Construes feitas pelos alunos .......................................................................46

A. 3 Construes feitas pelo professor .....................................................................80

A. 4 Produto: livro paradidtico ................................................................................82

1

Introduo

A motivao inicial para a realizao desta pesquisa surgiu aps a verificao de resultados

de baixo rendimento no ensino-aprendizagem de funes na 1 srie do ensino mdio no ano

letivo de 2010 em um colgio onde o pesquisador lecionou. Notou-se, na mdia das duas

turmas trabalhadas (juntamente com outro professor), uma queda de mais de 30% do 2

trimestre para o 3 trimestre.

Mdias no ano letivo de 2011 (escala de 0 a 10)1

1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre

Turma A 8,0 7,6 5,1

Turma B 7,9 7,1 4,8

Tabela 1

Tambm foram constatados redues no rendimento nas demais turmas da instituio

de ensino. Nesta ltima etapa, os contedos programticos lecionados foram funo afim e

funo quadrtica, alm de uma parte de trigonometria.

Alguns aspectos que podem ter ocasionado a diminuio das mdias e, apesar de

poderem possuir influncias justificveis, no foram investigados. Pode-se citar, entre outros:

mudana de prioridade de estudos por parte dos alunos, peso maior da composio da queda

por parte da trigonometria e a fragmentao do processo de ensino-aprendizagem provocada

pela diviso do componente curricular matemtica em duas partes com um professor para cada

uma (Matemtica 1 e Matemtica 2).

Apesar de, praticamente, a totalidade do curso ser composta de aulas expositivas,

buscou-se uma nova metodologia de ensino apenas na etapa onde houve a queda de

rendimento. Juntamente a esta mudana do paradigma tradicional, a proposta da pesquisa

baseou-se na utilizao de novas abordagens possveis e difundidas em trabalhos acadmicos

recentes (PEREIRA, 2009; MADEIRA, 2009; PICCOLI, 2006; ZULATTO, 2002) onde novas

tecnologias fazem parte do processo de ensino-aprendizagem.

A escolha do assunto tipos digitais como tema gerador da situao-problema baseou-se

em amadurecimento de ideias surgidas aps leitura de livros, conversas com professores e

participaes em cursos e palestras. De fato, verificou-se que vrios designers de tipos,

quando iniciaram seus trabalhos, o fizeram utilizando retas e arcos de crculos.

1 Os termos Turma A e Turma B so fictcios.

2

Um dos primeiros experimentos de Capeto2 no design de tipos digitais foi a

construo digital de uma Helvetica, utilizando programao que permitia criar

formas vetoriais por meio de retas e arcos de crculos. Nessa poca3, no

existiam ferramentas digitais especficas como as que temos atualmente, que

utilizam curvas de Bzier cbicas e quadrticas (ESTEVES, p. 77-78).

Assim, julgou-se que, alm do assunto escolhido ser tecnicamente vivel (pois

considera o estgio de desenvolvimento dos estudantes), o percurso da abordagem refez o

caminho trilhado por parte dos profissionais que fundaram a rea de tipos digitais no Brasil.

O referencial terico em Educao considerado a Teoria da Aprendizagem

Significativa de Ausubel4. Verificou-se que existiam as condies necessrias para ocorrer esta

forma de aprendizagem:

Para haver aprendizagem significativa so necessrias duas condies. Em

primeiro lugar, o aluno precisa ter uma disposio para aprender: se o indivduo

quiser memorizar o contedo arbitrria e literalmente, ento a aprendizagem

ser mecnica. Em segundo, o contedo escolar a ser aprendido tem que ser

potencialmente significativo, ou seja, ele tem que ser lgica e psicologicamente

significativo: o significado lgico depende somente da natureza do contedo, e

o significado psicolgico uma experincia que cada indivduo tem. Cada

aprendiz faz uma filtragem dos contedos que tm significado ou no para si

prprio (PELIZZARI et al., p. 38).

De fato, o interesse pelos estudos da maioria dos alunos que ingressam, ano a ano, na

unidade do colgio onde foi feita a pesquisa, indicou que um dos pr-requisitos para a

aplicao da teoria seria atendido5. A importncia e a centralidade do assunto funes (entre

2 Rodolfo Capeto, designer brasileiro.

3 Dcada de 1980.

4 David Paul Ausubel (1918-2008), psiclogo norte-americano.

5 Os candidatos a alunos precisam prestar concurso pblico, fazer provas de matemtica e lngua portuguesa e serem

classificados dentro das duzentas vagas (na disputa com mais de mil e quinhentos inscritos em mdia), contadas as

reclassificaes, para poderem ingressar no referido colgio. Ou seja, h disposio e interesse na aprendizagem de assuntos

acadmicos.

3

os contedos do programa usual de matemtica no ensino mdio) e a gama de aplicaes que

possibilita, mostrou que a outra condio citada acima tambm foi atendida.

Os objetivos secundrios deste trabalho (o principal dado pelo prprio ttulo desta

dissertao) so: introduzir um software de matemtica, no caso o GeoGebra, para que os

alunos possam usufruir de seus recursos e poderem us-lo como ferramenta auxiliar de estudo

ao longo de sua vida escolar/acadmica; lanar um novo olhar sobre tpicos do contedo

programtico aproveitando os recursos computacionais (restrio de domnio e escalas,

inicialmente); intensificar o contato dos alunos com os assuntos estudados (aproveitando

melhor a carga horria disponvel) e proporcionar introduo a uma rea de conhecimento

(tipos digitais, no caso) e, assim, alargar a cultura discente e despertar possveis vocaes.

4

Captulo I Referencial terico e rea do Trabalho Desenvolvido

I.1 Aprendizagem Significativa

O referencial terico em Educao desta pesquisa a Teoria da Aprendizagem

Significativa6 de Ausubel7, apresentada inicialmente nos anos 1960 e centrada na

aprendizagem escolar. Continuou sendo desenvolvida nas dcadas seguintes por Novak,

Gowin, Moreira, entre outros8.

O que significa o conceito aprendizagem significativa? O que explica esse termo que

nos remete ideia, no senso comum, de aprender com significado e que seria antagnico ao

ato de decorar, como chamada popularmente a memorizao sem significados ou vnculos

(tcnica usada, por exemplo, por alunos no ensino formal na vspera de avaliaes)?

A aprendizagem significativa aquela em que o significado do novo

conhecimento adquirido, atribudo, construdo, por meio da interao com

algum conhecimento prvio, especificamente relevante, existente na estrutura

cognitiva do aprendiz (MOREIRA e MASINI, 2008, p. 15).

O destaque em itlico da palavra interao justificado na continuao do pargrafo,

pelos autores, por ser a palavra-chave do conceito. Alis, so enfticos ao escreverem que

se no h essa interao, no h aprendizagem significativa (Ibid, p. 16). Mais, ela no pode

ser arbitrria, nem literal. Isso quer dizer que: relaciona-se com determinados

conhecimentos anteriores e possui sentido para a pessoa de acordo com caractersticas

pessoais (histria de vida, viso de mundo etc), respectivamente.

Uma das condies para ocorrer aprendizagem significativa gera muitas discusses

entre professores do ensino bsico ou pedagogos: o interesse dos alunos na escolha pela

forma de aprender. Decorar e esquecer logo depois da avaliao ou aprender pois entendeu

o contedo e, assim, ir ret-lo por mais tempo (ou para sempre)? Os alunos decoram por

falta de esforo ou so os professores que no explicaram de modo adequado? Discusses

sobre culpa parte, quando feita uma anlise atravs da teoria de Ausubel, verifica-se que

existem alguns mitos. Sobre a ideia de reter o conhecimento (ou mesmo as informaes) por

mais tempo, MOREIRA e MASINI (2008, p.17) dizem que aprendizagem significativa no

6 AUSUBEL, D. P. The Psychology of Meaningful Learning. New York: Grune and Stratton, 1963.

7 David Paul Ausubel (1918-2008), psiclogo norte-americano.

8 Cf. MOREIRA e MASINI [2008], p.15.

5

aquela em que o sujeito nunca esquece (veremos que o esquecimento uma continuidade

natural [...]). Tambm sobre essa questo, um conceito utilizado a da zona cinza. Assim,

aprendizagem significativa e aprendizagem mecnica no constituem uma dicotomia. [...] H

um contnuo entre elas [...]. Quer dizer, as aprendizagens podem ser parcialmente

significativas, parcialmente mecnicas, mais significativas, mais mecnicas. H matizes. (Ibid.,

p. 23).

A outra condio, conhecimentos anteriores, tambm chamados no ambiente da escola

bsica de pr-requisitos para o aprendizado (bastantes citados em matemtica), possui uma

denominao, com contornos similares: subsunor. Este um dos conceitos principais da teoria

da aprendizagem significativa.

Esse conhecimento prvio (conceito, ideia, proposio, representao) que

servir de ancoradouro para o novo conhecimento e, ao mesmo tempo, se

modificar em funo da ancoragem, chamado de subsunor. Diz-se,

ento, que o aprendiz deve ter os subsunores adequados para dar

significado ao novo conhecimento (Ibid., p. 19).

A importncia dos anos escolares iniciais, que ainda no recebem a devida ateno em

nosso pas, aparece na teoria ausubeliana quando se estuda a origem dos primeiros

subsunores. Como eles so incorporados estrutura cognitiva do indivduo?

A resposta a formao de conceitos, um processo tpico das primeiras

conceitualizaes, no qual os conceitos so construdos por descobrimento,

gerao e avaliao de hipteses, generalizao a partir de instncias

especficas, induo, abstrao, at que a palavra conceito passe a representar

regularidades em eventos ou objetos. [...] A formao de conceitos tpica das

crianas pequenas [...] (Ibid., p. 22).

Esses primeiros (e fundamentais) passos, quando no so dados de modo eficaz,

podem explicar diversos casos de problemas de aprendizagem na educao formal. Contudo,

essa discusso foge do escopo deste trabalho e, no momento, natural se perguntar sobre a

etapa seguinte.

Uma vez construdos os primeiros conceitos subsunores eles comeam a

servir de ancoradouro para novas conceitualizaes e o processo de formao

de conceitos, progressivamente, passa a ceder lugar a outro que o da

6

assimilao de conceitos. [...] a assimilao de conceitos caracterstica de

adultos. [...] que o resultado da interao entre conhecimentos prvios e novos

[...] (Ibid., p. 22).

Na teoria iniciada por Ausubel ainda abordada a forma de aprendizagem significativa:

subordinada, superordenada ou combinatria (Ibid., p. 38). Conceitos que visam facilitar sua

ocorrncia, diferenciao progressiva e reconciliao integrativa, relacionados com a estratgia

de se partir do geral para o particular e vice-versa, respectivamente (Ibid., p. 37). Tambm,

recursos podem ajudar nesta facilitao, tais como: mapas conceituais (MOREIRA, 1997) e

diagramas V (MOREIRA et al., 1997).

Resumindo, a aprendizagem significativa pode ser interpretada como o resultado de

uma interao tridica entre alunos, professores e materiais educativos (MOREIRA e MASINI,

2008, p. 38).

7

I.2 Funes Afim e Quadrtica

I.2.1 Funo Afim

O conceito de funo afim, assim como o de polgono9 e o do conjunto dos nmeros

naturais (possuindo ou no o zero), no apresentado com uma s definio. Nesta pesquisa

estamos considerando que:

Uma f : IR IR chamada de funo afim se f(x) = ax + b, onde a IR e b IR.

A diferena com a outra definio, recorrente, a restrio de que a deve ser diferente

de zero. Desta maneira, o conceito seria idntico de uma funo polinomial do 1 grau.

Portanto, neste trabalho, entende-se que a funo constante (quando a igual a zero,

ou seja f(x) = b na definio anterior) um caso particular de uma funo afim.

Os tpicos da teoria da funo afim desenvolvidos com as duas turmas envolvidas

nesta pesquisa esto contidos no livro didtico10 adotado pela instituio onde foi realizada a

pesquisa. Ou seja:

Definio e exemplos;

Valor numrico;

Grficos e imagem;

Coeficientes: inclinao e toque no eixo das ordenadas;

Zero da funo;

Determinao da lei atravs de 2 pontos dados;

Inequaes polinomiais do 1 grau;

Problemas.

Alm destes assuntos, restrio de domnio fez parte do processo de ensino-

aprendizagem. Este tpico foi necessrio para a execuo do trabalho, feito pelos alunos,

envolvendo tipos digitais.

9 Autores de livros de matemtica (didticos ou no e nos mais diversos nveis) ora definem polgonos no podendo ter

autointersees (polgonos simples), ora sim. Alm disso, considera-se uma terceira definio (incluindo a regio interna) quando o

objetivo o clculo de reas. Analisei essa situao na minha monografia de concluso do curso de licenciatura em matemtica:

Definies em Matemtica no Ensino Fundamental: O Conceito de Polgono, IME/UERJ, 2003.

10 Cf. DANTE, 2008.

8

Os exerccios propostos foram, principalmente, os do livro didtico adotado. Listas do

site11 de um professor da instituio tambm foram utilizadas como exerccios complementares.

I.2.2 Funo Quadrtica

O conceito de funo quadrtica idntico ao de funo polinomial do 2 grau.

Uma f : IR IR chamada de funo quadrtica se f(x) = ax2 + bx + c,

onde a IR*, b IR e c IR.

Os tpicos da teoria da funo quadrtica desenvolvidos com os alunos foram:

Definio e exemplos;

Valor numrico;

Grficos;

Coeficientes: concavidade e toque no eixo das ordenadas;

Zeros da funo;

Vrtice e imagem;

Inequaes polinomiais do 2 grau;

Inequao-produto e inequao-quociente;

Problemas.

Houve discusso em relao viso global da parbola e de vizinhana de pontos

(viso local). A abordagem desse assunto foi facilitada pelos recursos que o software possui.

Tanto as ferramentas de zoom, quanto as possibilidades de alterao das escalas dos eixos do

plano cartesiano, motivaram questionamentos quanto forma de visualizao do grfico de

uma funo quadrtica.

A proposio de exerccios foi anloga que foi feita com a teoria da funo afim.

11

Disponvel em: . Acesso em: 05 nov. 2011.

9

I.3 GeoGebra

O que ? Para que serve? Na pgina principal do Instituto GeoGebra do Rio de

Janeiro12, um dos diversos membros do IGI (International GeoGebra Institutes)13, existe a

seguinte explicao:

Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra um software gratuito de

matemtica dinmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da

matemtica nos vrios nveis de ensino (do bsico ao universitrio). O GeoGebra

rene recursos de geometria, lgebra, tabelas, grficos, probabilidade, estatstica

e clculos simblicos em um nico ambiente. Assim, o GeoGebra tem a

vantagem didtica de apresentar, ao mesmo tempo, representaes diferentes

de um mesmo objeto que interagem entre si. Alm dos aspectos didticos, o

GeoGebra uma excelente ferramenta para se criar ilustraes profissionais

para serem usadas no Microsoft Word, no Open Office ou no LaTeX. Escrito em

JAVA e disponvel em portugus, o GeoGebra multiplataforma e, portanto, ele

pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS.

A tela do software, na verso 4.1.15, apresenta quatro partes distintas: menu, barra de

ferramentas, janelas e linha de comando. O menu (figura I.1), apresenta os seguintes tens:

Figura I.1 Menu do GeoGebra

Arquivo: item presente na maioria dos softwares. Alm dos comandos usuais (novo, abrir,

gravar, visualizar impresso e fechar), possui o comando exportar (figura I.2) que muito til

para que se possa utilizar as construes feitas no GeoGebra em outros programas, como

editores de texto, por exemplo.

12

Disponvel em: . Acesso em 6 abr. 2013.

13 No Brasil existem mais cinco institutos alm do localizado no Rio de Janeiro: Fortaleza, Maring, Rio Grande do Norte, So

Paulo e Uberlndia.

10

Figura I.2 Item de Menu Arquivo

Editar: item de menu presente tambm na maioria dos softwares. Possui, alm dos comandos

usuais (desfazer, refazer, copiar, colar e copiar para a rea de transferncia), propriedades e

outros que somente ficam habilitados (ou mesmo so listados) quando alguma construo est

selecionada (figura I.3).

Figura I.3 Item de Menu Editar

11

Exibir: outro item de menu disponvel na maioria dos softwares, mas apresentando comandos

especficos em cada um deles. Possibilita dispor na tela (figura I.4), as diversas janelas que o

GeoGebra possui e, assim, poder: construir grficos de funes e fazer construes

geomtricas (janela de visualizao), utilizar computao simblica (janela CAS) etc. Outras

funes so mostradas na figura abaixo.

Figura I.4 Item de Menu Exibir

Disposies: atravs das opes, define quais janelas sero representadas na tela do

GeoGebra. Nesta pesquisa, foi utilizada somente a disposio lgebra e Grficos.

Figura I.5 Item de Menu Disposies

12

Opes: este item apresenta funes relacionadas exibio das leis das funes (Descries

Algbricas), numerais (Arredondamento) e texto (Tamanho da Fonte e Idioma). Alm disso,

possui a importante funo Configuraes...14 (figura I.6) onde possvel fazer alteraes nas

diversas ferramentas do GeoGebra etc.

Figura I.6 Item de Menu Opes

Ferramentas: neste item tem-se acesso s ferramentas (para construo de pontos, retas,

crculos etc) que vm no GeoGebra (figura I.7) e possvel: criar uma nova, configur-las e

gerenci-las.

Figura I.7 Item de Menu Ferramentas

14

Esta funo passou a receber o nome de Avanadas nas verses seguintes do software.

13

Janela: apresenta, como na maioria dos softwares, a opo de abrir uma nova janela (do

Windows).

Ajuda: alm das funo usual presente na maioria dos softwares, tem-se acesso (figura I.8) ao

frum oficial do GeoGebra (GeoGebra Forum) onde dvidas podem ser tiradas com outros

usurios, ao site oficial (GeoGebra.org) onde so encontradas novas verses e informaes

do programa e, ao GeoGebra Tube, site oficial onde so disponibilizados recursos e

construes feitas por usurios do mundo todo.

Figura I.8 Item de Menu Ajuda

A barra de ferramentas permite o acesso rpido (figura I.9) s construes pr-definidas

pelo GeoGebra. Nesta pesquisa, a possibilidade de escrever leis de funes na forma literal

(ex.: y = ax + b) e com a ferramenta Seletor (cone com a sentena a = 2) variar os valores

dos coeficientes a e b, foi fundamental.

Figura I.9 Barra de Ferramentas do GeoGebra

As janelas do GeoGebra (Janela de lgebra, Janela de Visualizao etc) (figura I.10)

podem ser includas/excludas utilizando-se o menu exibir, como visto anteriormente.

14

Figura I.10 Janela de lgebra e Janela de Visualizao

A Entrada (figura I.11) o local onde deve-se digitar as leis das funes matemticas

(como y = ax+b) e onde acessa-se os comandos pr-gravados do software.

Figura I.11 Entrada

Atualmente existe um projeto15 para viabilizar o uso do software em Ipads e Tablets.

Est sendo preparada, tambm, a verso 5 do programa. Esta incluir a possibilidade de se

fazer grficos tridimensionais.

15

Disponvel em: . Acesso em 6 abr. 2013.

15

I.4 Tipos digitais

Hoje em dia, com a popularizao de programas editores de texto (por exemplo, os

contidos nos pacotes MS Office e Br Office)16 qualquer pessoa que utilize um computador

acaba entrando em contato com produtos da rea da tipografia digital. No ambiente

informatizado, antes de iniciar a digitao do que se deseja, basta escolher qual fonte e de qual

tamanho ser usada (neste pargrafo desta dissertao estamos usando a fonte Arial de

tamanho 11) e deixar fluir sua imaginao literria.

E, afinal, o que um tipo digital? Vamos, primeiramente, diferenciar escrita manual e

tipografia.

Geralmente os tipos tm sua origem no letreiramento. Nesse caso, eles so

diferentes da escrita manual, feita com um nico trao. Essa diferena,

entretanto, no essencial. [...] A diferena essencial entre a escrita manual e a

tipografia que, no primeiro caso, as palavras e as letras so feitas

simultaneamente, enquanto as letras tipogrficas so construdas

antecipadamente. Tipografia a escrita com letras pr-fabricadas [...]

(NOORDZIJ, 2000 apud ESTEVES, 2010, p. 22, traduo do autor).

O texto anterior utilizou uma palavra pouco comum no universo das pessoas que no

so da rea do Design Grfico: letreiramento. Seu conceito muito importante, pois juntamente

com a escrita manual e a tipografia, perfazem os trs modos de classificao da visualizao

da forma escrita.

So letras cujas partes significativas so feitas com mais de um trao. O termo

letras desenhadas nos lembra novamente da pena e do papel. Mas o escopo

do letreiramento , evidentemente, muito maior do que as formas de letras que

podemos desenhar no papel. Tambm esto includas as grandes letras em

non nos prdios. Letras gravadas em pedra tambm so letreiramentos. [...]

Esse processo parece ter mais em comum com a tipografia do que a escrita,

pois, em grande parte dos trabalhos de letreiramento, as formas das letras

parecem muito com os tipos de impresso. Mas essa uma falsa conexo. [...]

Letras desenhadas para formar palavras podem, em mos habilidosas, parecer

tipogrficas; mas o espaamento e o alinhamento so determinados

manualmente, e isso define o processo como letreiramento (SMEIJERS, 1996

apud ESTEVES, 2010, p. 20, traduo do autor).

16

Marcas registradas da Microsoft Corporation e da Oracle Corporation, respectivamente.

16

Tipo digital significa o mesmo que fonte tipogrfica digital. Usa-se a expresso famlia

tipogrfica digital a um conjunto de fontes derivadas de uma delas que seja considerada

padro (as outras podem estar em negrito, itlico, condensada etc). Portanto, quando

digitamos um texto atravs de um computador utilizamos, necessariamente, (conforme escolha

ou designao para o documento) um tipo digital.

O conjunto de caracteres (letras, numerais etc) que compe uma fonte pode possuir

qual quantidade? Olhando-se para o teclado de um computador pessoal, comea-se a

imaginar, em uma conta aproximada, que a ordem de grandeza desta quantidade ser obtida

atravs de uma potncia de valor equivalente a uma centena. Na verdade, o padro de

codificao mais usado atualmente e chamado de Unicode, define 110.117 caracteres!!!17 Claro

que existe a especificidade de cada lngua e nem mesmo tipgrafos usaro ao longo de suas

vidas metade deste valor18.

A tipografia digital comeou em 1975 com a traduo de desenhos tipogrficos

originais de Hermann Zapf e Gerard Unger para a nova tecnologia dos computadores da

poca (ESTEVES, 2010, p. 40). Curioso observar como foi feita esta construo por um

software: [...] esses primeiros tipos digitais eram descritos em linhas de contorno, a partir de

equaes matemticas simples, e renderizados em pixels, nos seus diferentes tamanhos de

corpo. (Ibid., p. 40).

Ou seja, no foram diretamente construdos no meio digital e os mtodos disponveis

ainda no utilizavam Curvas de Bzier cbicas ou quadrticas, apesar de que estas tcnicas

algbricas desenvolvidas por Paul de Casteljau e Pierre Bzier na Frana datam dos anos

1960 e 1970 (BRINGHURST, p. 199).

Outra data importante para o design de tipos digitais foi o ano de 1984: com a entrada

do Macintosh, computador pessoal da empresa Apple Computer, no mercado. A aposta em um

sistema operacional prprio, recursos grficos poderosos, bons perifricos de custos

acessveis e interface amigvel; fez com que a mquina com nome de um tipo de ma

(retirando a letra a), se tornasse o elo essencial de uma cadeia de publicao auxiliada por

computador na palavras de LVY (1993, apud ESTEVES, 2010, p. 41). Ainda sobre esse

momento histrico, Steve Jobs no seu celebrado discurso de 12 de junho de 2005 em

Stanford19, fazendo referncia ao curso de caligrafia que havia concludo sem saber

17

Disponvel em: . Acesso em: 02 jan. 2013.

18 Somente a ttulo de curiosidade, l no incio da tipografia no sculo XV, Gutenberg usava 290 caracteres de um tipo em

tamanho nico, em uma escrita sem acentuao, para compor sua Bblia de 42 linhas. (BRINGHURST, p. 196)

19 Disponvel em: . Acesso em: 03 jan. 2013.

17

exatamente no que o aplicaria, mostra um pouco da relao entre a vida de inventores e suas

criaes.

No entanto, dez anos mais tarde, quando estvamos projetando o primeiro

Macintosh, me lembrei de tudo aquilo. E o projeto do Mac inclua esse

aprendizado. Foi o primeiro computador com uma bela tipografia. Sem aquele

curso, o Mac no teria mltiplas fontes. E, porque o Windows era s uma cpia

do Mac, talvez nenhum computador viesse a oferec-las, sem aquele curso. 20

A Helvetica considerada a fonte mais famosa no mundo. Criada em 1957 por Max

Miedinger e Eduard Hoffmann, inspirou um interessante documentrio homnimo21 e foi

includa na primeira verso do Mac. Contudo, devido ao custo de licenciamento, a Microsoft

preferiu desenvolver uma fonte parecida (Arial) do que exibi-la na lista de opes que

acompanha seus editores de texto. Assim, atravs da popularidade do sistema operacional

Windows22, no foi possvel aos usurios identificar pelo nome o tipo (digital nos dias de hoje)

mais comum em propagandas, letreiros etc.

A fonte escolhida para servir como referncia para a construo das letras e numerais

pelos alunos, foi: OCR A Extended. Pela simplicidade (no imita escrita cursiva), por no

apresentar serifas e possuir o contorno dos caracteres boleados (como o trao do GeoGebra);

foi considerada a mais indicada. O prprio significado da sigla que a denomina, Optical

Character Recognition, j mostra no objetivo que foi buscado, a desambiguao em seus

elementos que esta fonte deve possuir.

20

Disponvel em: . Acesso em: 03 jan. 2013.

21 Disponvel em: . Acesso em: 03 jan. 2013.

22 Marca registrada da Microsoft Corporation.

18

Captulo II Aplicao da Pesquisa no Laboratrio de Informtica

II.1 Descrio da Aplicao da Pesquisa

O local utilizado, durante toda a pesquisa, foi o Laboratrio de Informtica do colgio.

Este foi reservado, at o final do perodo letivo, nos dois dias semanais de aula,23 apesar de

que, em sua maioria, foi ocupado somente uma vez a cada sete dias. Contudo, a marcao

dupla permitiu flexibilidade na mudana de horrios para compensar feriados e eventuais

fechamentos do laboratrio para manutenes. As desmarcaes foram feitas com

antecedncia de modo a no prejudicar outros professores que quisessem utilizar o recinto.

Esse era o nico lugar no colgio onde podia se dispor de computadores para trabalhar com

uma turma inteira de alunos. Mesmo assim, devido s dimenses, no era possvel, caso fosse

de interesse do docente, que cada discente trabalhasse sozinho em uma nica mquina. Alm

disso, apesar de possuir um tcnico responsvel, este no permanecia no local durante as

aulas e, caso ocorresse algum problema nas mquinas, ele teria que ser procurado onde

estivesse alocado naquele momento24. Tambm no era sua funo auxiliar na montagem do

equipamento (instalao do datashow e do notebook), nem na obteno de cadeiras (ou

carteiras), quando as que l estavam no eram em nmero suficiente, nas muitas vezes em

que isto foi necessrio25. Na poca, dois estagirios que cursavam licenciatura em matemtica

e que acompanharam toda a aplicao, ajudaram muitas vezes na soluo destes pequenos

problemas que tomavam tempo razovel para serem resolvidos.

A aplicao da metodologia iniciou-se, de fato, quando o contedo a ser ministrado foi

Funo Afim e prosseguiu em Funo Quadrtica. Ou seja, de Conjuntos at Introduo

s Funes em Matemtica 1 (Mat 1) e em toda a Trigonometria em Matemtica 2 (Mat

2) as aulas foram todas desenvolvidas nas duas turmas nas quais o pesquisador era o

professor regente do ano letivo de dois mil e onze26. Na sala de aula foi ministrado um curso

baseado, quase em sua totalidade, em aulas expositivas (anotao e explicao da teoria no

quadro com estmulo e abertura para intervenes por parte dos alunos, resoluo de

23

Conforme deciso em Colegiado do Departamento de Matemtica da instituio, na 1 srie do Ensino Mdio, Conjuntos e parte

do contedo de Funes foi alocada na disciplina Mat 1 e parte de Trigonometria em Mat 2. Ambas com 2 tempos cada,

perfazendo 4 tempos semanais.

24 O tcnico em questo era responsvel pela manuteno de todos os equipamentos de informtica do colgio (direo,

secretaria etc).

25 Ao lado do laboratrio existia um auditrio onde, devido existncia de aulas extras mais procuradas, alguns alunos

deslocavam cadeiras ou carteiras de outros ambientes para l.

26 As salas de aulas eram dotadas apenas de quadro-negro e giz como recursos fixos. O colgio possua alguns datashows na

poca e um deles foi reservado para ser usado tanto no laboratrio quanto em sala de aula. Este era conectado ao notebook do

pesquisador.

19

exerccios como exemplos tanto da aplicao da teoria como situaes-problemas, tempo para

os alunos executarem exerccios em sala para verificao de dvidas e seleo de exerccios

do livro didtico27 e/ou listas para resoluo no lar). Ou seja, de acordo com a literatura da rea

de metodologia do ensino, predominantemente com caractersticas do mtodo tradicional 28.

As avaliaes aplicadas em cada trimestre foram: um teste em dupla no valor de 30% da nota

final e uma prova individual valendo 70%. No terceiro trimestre (ltimo do ano), houve a

substituio de 10% do valor do teste em dupla pela nota da apresentao do trabalho de

construo dos caracteres. Nas aulas no Laboratrio de Informtica, o quadro branco no foi

usado para resumir toda a teoria. Nele, basicamente, foram escritos pelo professor: definies

das funes, dvidas e esclarecimentos quanto ao uso do software (na maioria das vezes

atravs das imagens projetadas pelo datashow) e dos enunciados das folhas entregues. Estas

foram cinco, distribudas ao longo das aulas, em um total de oito pginas, sendo: duas para

introduo ao GeoGebra (quatro pginas), duas para funo afim (duas pginas) e uma para

funo quadrtica (duas pginas). A primeira folha sobre o software, foi elaborada de modo a

tentar responder O que o GeoGebra? e, atravs de tutoriais, como utilizar seus recursos.

Os materiais e as informaes so do site oficial do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro29. J

a segunda folha teve o intuito de destacar as ferramentas e funes do ambiente do software,

julgadas mais importantes pelo pesquisador, para o auxlio no aprendizado das funes

matemticas que foram estudadas. As folhas sobre as funes serviram como guias de

estudos, orientando o aprendizado dos assuntos e propondo a experimentao de hipteses e

resoluo de problemas. Apresentavam, ao final de cada uma, lista com numerais referentes a

exerccios selecionados do livro didtico adotado. O uso de duas metodologias diferentes

possibilitou comparao atravs de uma das perguntas do questionrio aplicado aps o

trmino da execuo do trabalho.

O cronograma da aplicao e das avaliaes detalhado no quadro a seguir.

Cronograma da Aplicao

Data: Ao:

08/11/2011 Envio de e-mail para o Tcnico do Laboratrio de Informtica com o link para fazer o

download do instalador offline do Geogebra (verso 4.1.15.0).

11/11/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Introduo ao GeoGebra (folha 01) e Funo Afim

27 DANTE, 2008.

28 MIZUKAMI, M. G. N. Ensino: as abordagens do processo (Temas bsicos de educao e ensino). So Paulo: EPU, 1986. p. 7-

18.

29 Disponvel em: < http://www.geogebra.im-uff.mat.br/index.html>. Acesso em: 03 set. 2011.

20

(folha 01).

12/11/2011 Envio de e-mails (um para cada turma) com 20 tutoriais do Geogebra (do site do

Instituto Geogebra do Rio de Janeiro) no formato gif e indicao do link para fazer o

download do instalador offline do Geogebra (verso 4.1.15.0).

18/11/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Introduo ao GeoGebra (folha 02). Funo Afim

(folha 02).

Devoluo da Funo Afim (folha 01). Distribuio dos caracteres s duplas. Indicao

de fonte, exibio dos arquivos (marca dgua) e exemplo de construo (letra A).

20/11/2011 Envio de e-mails (um para cada turma) com as regras e observaes para a execuo

do trabalho de construo dos caracteres e com os modelos das letras e numerais

sorteados.

20/11/2011 Incio da troca de e-mails com as duplas para sanar dvidas.

25/11/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Funo Quadrtica (folha nica).

30/11/2011 Aplicao do Teste de Matemtica do 3 Trimestre (20%)

02/12/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Funo Quadrtica (folha nica) (continuao).

05/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com orientaes sobre construes de parbolas e de

planilha do Excel para resoluo de sistemas lineares com trs incgnitas e trs

equaes30 (anexada).

09/12/2011 Aula Extra (contraturno): Exerccios do livro e extra

Aula Regular: Dvidas do trabalho. Devoluo da Funo Quadrtica (folha nica).

15/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com as sugestes de respostas das questes

propostas nas folhas de funo afim e funo quadrtica.

17/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com esclarecimentos sobre os questionrios.

19/12/2011 Aplicao da Prova de Matemtica do 3 Trimestre (70%)

22/12/2011 Envio de e-mails (um para cada turma) com os questionrios em arquivos do tipo pdf.

27/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com as notas dos trabalhos e requisio dos

questionrios ainda no devolvidos por algumas duplas.

29/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com os questionrios em arquivos do tipo pdf e nova

requisio dos questionrios ainda no devolvidos por algumas duplas.

11/01/2012 Aplicao da Prova Final de Matemtica

Tabela II.1

II. 2 Entrega dos Arquivos e Dificuldades Encontradas

30


21

A entrega dos arquivos digitais com os trabalhos, apesar do planejamento inicial, no foi

integralmente feita pelos representantes de turma atravs de um CD. Apenas uma das turmas

seguiu a ideia original. Este fato se deveu ao acesso Internet em casa de pelo menos um dos

integrantes de cada uma das duplas. Consequentemente, houve o pedido de parte dos alunos

durante uma das aulas, de que fosse possvel haver a entrega atravs do envio para o

endereo de e-mail do professor. Devido a essas duas possibilidades, foi necessria maior

ateno na identificao do arquivo final. Observou-se a ltima modificao registrada na

gravao do arquivo (informao dada pelo sistema operacional). Desse modo, muitos

trabalhos foram enviados atravs de e-mails pessoais ou das turmas.

Os arquivos puderam ser enviados mais de uma vez at a data de entrega. Assim era

possvel analisar as dificuldades dos alunos em relao ao trabalho e intervir, como de fato

ocorreu, em situaes gerais nas construes e outras que estavam sendo consideradas

insolveis por uma grande parte deles. Isto serviu, tambm, para tirar o foco principal da

preocupao com a nota a ser obtida e centr-lo na execuo proposta e, principalmente, na

aprendizagem.

Em relao dificuldade de concluso, pode-se considerar que houve diviso em dois

grupos de caracteres: aqueles que s precisaram de funes afins para ser construdos e os

que tambm necessitaram de funes quadrticas.

As primeiras foram mais rapidamente executadas e somente houve a necessidade de

apontar para as duplas a falta de observao das regras de construo (uso de ferramentas

geomtricas do GeoGebra somente como auxlio, verificar as simetrias axiais e pontuais, ajuste

do caractere com a marca dgua31 etc).

J as letras e os numerais que no precisaram somente de segmentos de reta

horizontais ou inclinados (obtidos com restrio ao domnio de cada uma das funes afins)

geraram mais discusses. Uma das questes foi sobre a possibilidade de encontrar parbolas

que passassem por trs pontos, sendo um deles escolhido livremente. Fazendo na base da

tentativa e erro, com consideraes de expectativa da curvatura, os alunos se depararam

com grficos que apresentavam trechos que no eram de um s ramo da parbola (como

gostariam). Assim, e de modo indesejado, o vrtice esteve includo em algumas destas

tentativas que foram mostradas ao professor durante o processo de construo dos caracteres

de algumas duplas. O grfico a seguir (figura II.1) ilustra uma situao que ocorreu em um dos

trabalhos.

31 Para a execuo do trabalho de construo de letra ou numeral, foram criados arquivos do GeoGebra pelo

pesquisador, contendo em cada um, uma das letras (ou um dos numerais) escolhidos na cor cinza e colocados no

plano de fundo da janela de visualizao do software. Assim, o aluno deveria fazer a construo utilizando essa

marca dgua como referncia.

22

A soluo disponibilizada pelo professor foi a planilha do Excel Regra de Cramer e

Escalonamentos em Sistemas 5x5, disponvel no site do professor Walter Tadeu32 e

orientaes para seu uso, o aluno fornecia as coordenadas dos trs pontos por onde ele queria

que a parbola passasse.

Figura II.1 Dificuldade na Construo de Letra

Assim, os clculos para obteno dos coeficientes da funo polinomial do 2 grau eram

feitos pela mquina e poder-se-ia representar, com restrio de domnio, o trecho da parbola

em questo33. Vale ressaltar que o GeoGebra possui comandos que traam curvas atravs de

pontos fornecidos34, mas devido ao objetivo pedaggico da pesquisa, os mesmos no foram

indicados.

II. 3 Questionrios

Foram aplicados dois questionrios com questes objetivas e discursivas em ambos.

Estes foram entregues, em sala de aula, a cada aluno ou aos representantes discentes. Alm

disso, devido a solicitaes, uma cpia em pdf foi remetida para o endereo de e-mail de cada

uma das turmas. Ainda houve envio para o e-mail pessoal de cada aluno que pediu para que

32

Disponvel em . Acesso em 01 dez. 2011.

33 No exemplo ilustrativo da figura II.1 tem-se os pontos Q(2,41;0,39), S(2;0,5) e P(1,9;0,69) que geraram um sistema com as

equaes 5,81a + 2,41b + c = 0,39; 4a + 2b + c = 0,5 e 3,61a + 1,9b + c = 0,69. Sua soluo gerou os coeficientes da funo y =

3,17x2 14,27x + 16,35.

34 O comando RegressoPolinomial[ , ] com grau igual a 2, poderia ser usado neste caso.

23

isso ocorresse devido a extravio da folha impressa ou no recebimento devido ausncia

aula. Na prtica, isto ocorreu somente com uma aluna e apenas uma folha foi entregue digitada

em outro formato por falta da original.

Algumas duplas no deram importncia ao preenchimento. O professor teve que insistir

e buscar conscientiz-los do papel que estavam sendo incumbidos e a relevncia que o

trabalho poderia alcanar. Foi enfatizado pelo pesquisador que as marcaes e os textos

deveriam retratar a realidade vivida e observada por cada um. Acordou-se que as respostas

no seriam divulgadas publicamente com identificao pessoal e deveriam ser sinceras no

havendo qualquer possibilidade de retaliao se ocorressem crticas negativas abordagem.

Inclusive, aproveitou-se a oportunidade para se discutir como no levar a crtica para se atingir

o lado pessoal do outro.

Enquanto o primeiro questionrio foi voltado para caractersticas socioculturais e

avaliaes da abordagem utilizada, com o segundo buscou-se identificar a ocorrncia de

aprendizagem significativa atravs do modo de estudo dos alunos.

Na tabulao das respostas ao primeiro questionrio, das duas turmas reunidas,

observaram-se nos oito primeiros itens, que eram objetivos, os seguintes percentuais:

24

Questionrio 1 Perguntas de 1 a 8 e Percentuais das Respostas

1) Data de Nascimento (Idade em 31/12/2011)

14 anos 1,9% 15 anos 51,9% 16 anos 38,4% 17 anos 7,8%

2) Qual faixa social voc considera-se includo?

Baixa 14,9% Mdia 85,1% Alta 0%

3) Voc utilizou outro(s) computador(es) alm dos disponveis no colgio para realizar o trabalho?

Onde?

No 14,5% Sim. Casa 83,6% Sim. Lan-House 0% Sim. Outros 1,9%

4) O tempo para a concluso do trabalho, considerando os recursos que voc teve, foi suficiente?

No 14,6% Sim 85,4%

5) J havia estudado funo afim e funo quadrtica no 9 ano?

No. Nenhuma das duas 23,7% No. Apenas Funo Afim

14,5% Sim 61,8%

6) Voc est cursando pela primeira vez o 1 ano do Ensino Mdio?

No 9,1% Sim 90,9%

7) De um modo geral, ao estudar matemtica, voc acha que a informtica ajuda na

aprendizagem?

No 47,3% Sim 52,7%

8) Voc executou as tarefas propostas?

No 0% Sim, parcialmente 70,9% Sim, totalmente 29,1%

Tabela II.2

Analisando-se os percentuais das ocorrncias de respostas, v-se que:

I. O grupo era formado, em sua maioria, por jovens de 15 e 16 anos de classe

mdia, esta ltima informao segundo o julgamento deles.

II. Puderam, em sua maioria, executar em casa a construo do seu caractere

e consideraram suficiente o tempo que tiveram para a concluso do trabalho.

III. O grupo estava, em sua maioria, cursando a 1 srie do ensino mdio pela

primeira vez e mais de 60% j havia estudado as funes afim e quadrtica

no 9 ano do ensino fundamental.

25

IV. Verifica-se que houve uma diviso quase igualitria dos que consideram que

a informtica pode ajudar na aprendizagem de matemtica e dos que no

concordam com esta afirmao.

V. Por fim, observa-se que menos de 30% das duplas executaram totalmente

as tarefas propostas durante a aplicao da pesquisa.

Nas trs ltimas perguntas do questionrio, as respostas foram livres.

Questionrio 1 Perguntas de 9 a 11

9) O que voc achou desta abordagem de funo afim e funo quadrtica?

Cite um fator positivo e um negativo.

10) Esta forma de aprender exigiu que voc participasse ativamente das aulas (tomando a

iniciativa, levantando hipteses etc) do que o mtodo (mais prximo do tradicional)

usado em trigonometria (Mat 2)? Explique.

11) Voc tem alguma sugesto para melhorar o mtodo? Explique.

Tabela II.3

Com a pergunta 9, buscou-se verificar se o que foi pensado inicialmente, a possibilidade

de visualizao de vrias funes em curto espao de tempo e a observao da influncia dos

coeficientes no grfico, tambm foi identificado pelos alunos. Alm disso, encontrar falhas na

abordagem que possam ser aperfeioadas em uma nova aplicao.

J na pergunta 10, o objetivo foi identificar se ocorreu uma mudana na postura dos

alunos durante as aulas. Essa, tanto no sentido de mostrar menos passividade diante do

processo de ensino-aprendizagem, quanto da identificao da ocorrncia de aprendizagem

significativa.

Finalmente, na pergunta 11, a ideia foi permitir crticas de forma aberta e livre.

Para fazer a tabulao das respostas dessas trs perguntas, procedeu-se da seguinte

forma:

Foi identificada uma expresso (com as palavras de um determinado aluno) que,

supostamente, melhor caracteriza um grupo de outras similares e outras

respostas foram colocadas como ilustrativas (sempre representando entre aspas

as palavras de membros do corpo discente) ou apenas identificou-se o grupo de

respostas similares, com uma determinada expresso escolhida pelo

pesquisador.

26

Usou-se porcentagem ao invs de nmeros absolutos, pois se acredita que

assim pode ser feita uma melhor avaliao das respostas do conjunto de alunos

que participou da pesquisa.

Questionrio 1 Tabulao das Respostas da Pergunta 9

Pergunta 9: O que voc achou desta abordagem de funo afim

e funo quadrtica? Cite um fator positivo e um negativo. Porcentagem

de Alunos Fatores Positivos

Visualizao do grfico ( tornando a aula mais dinmica, o bom

foi visualizar o que estvamos fazendo, facilita na visualizao de

grficos etc)

24%

Abordagem foi boa (Boa, ajudou um pouco nos estudos, pois

com esse projeto podemos ver como e o porqu do grfico. Deu para

ter uma noo melhor das coisas, boa abordagem, pois podemos

visualizar melhor os grficos e suas transformaes, abordagem

bem legal, porque de certo modo mostrou as relaes das funes e

uma visualizao maior e melhor das funes etc)

11%

Houve uma abordagem mais dinmica e mais prtica, e permitiu

que os temas fossem entendidos mais facilmente (abordagem

muito interessante que nos ajudou a entender a matria com maior

facilidade, aulas mais dinmicas, melhorando a forma de

aprendizado e abordagem bem dinmica e diferente etc)

7%

Aprendemos a usar um programa (conhecer o programa etc) 5%

Fatores Negativos

Dificuldade em mexer no programa 15%

Por serem na sala de informtica, as aulas se tornaram muito

dispersivas (aulas dispersas, dificultando o aprendizado,

programa dispersou o contedo e a turma se dispersa muito)

13%

No ajuda a resolver problemas (que no possuem grficos etc) 5%

O local de informtica no ajudou (dificuldade de ateno pois a

sala mal cabe a turma etc) 5%

Tabela II.4

27


Pergunta 10: Esta forma de aprender exigiu que voc

participasse ativamente das aulas (tomando a iniciativa,

levantando hipteses etc) do que o mtodo usado em

trigonometria (Mat2)? Explique. S

im

Ma

is o

u

me

no

s

N

o

Porcentagem de alunos 47% 10% 43%

Experimentar hipteses me ajudou a entender melhor as

funes; Com essa abordagem a minha participao foi mais

ativa, pois havia a curiosidade de saber o que aconteceria nos

prximos passos da atividade; Pois nas aulas nos vimos

totalmente includos, objetivados e incentivados a tirar nossas

prprias concluses.; Porque o mtodo do GeoGebra, por eu

nunca ter usado antes, foi mais complicado de entender, fazendo

com que eu perguntasse e me interessasse mais.; Requer um

cuidado maior do aluno, pois a partir da no se tem contato

apenas com o livro e sim com um projeto auxiliar.; A cada

segundo que voc se descuida ir perder um detalhe, que com

certeza far a diferena, na hora de executar as funes (Pois a

todo momento era necessrio saber o que se estava sendo feito,

do contrrio, ns nos perdamos); Na sala de aula muito

montono, resolvemos a funo e fazemos a parbola, mas

ficamos um pouco sem a noo de como se chegou at ali,

diferente do GeoGebra, em que vamos as possibilidades da

parbola, podamos construir coisas, o que no papel no

possvel; Por ser um programa no qual podamos visualizar os

grficos das funes, ficou mais fcil pensar e opinar no que

podia ser feito com elas; S pelo fato de ser uma inovao no

mtodo de ensino, j algo positivo. Ajuda na percepo e S

achei que foi muito focado na prtica e pouco na teoria.

X

Horas que exigia que as pessoas participassem da aula,

fazendo os exerccios necessrios, mas horas que as pessoas

se dispersaram com o uso do computador. e O modo

tradicional de se aprender trigonometria na minha opinio seria

melhor, pois a trigonometria precisa de exerccios para ser

aprendida, mas o uso do GeoGebra para aprofundamento do

assunto muito bom.

X

28

Estvamos focados em aprender a mexer no GeoGebra;

Estvamos mais preocupados em mexer no GeoGebra do que

fazer os exerccios propostos.; Minha participao foi a mesma,

pois no via muita diferena quanto s aulas; O programa

interessante, mas no me ajudou como uma aula de exerccios

ajuda; Pois me dispersei bastante e no achei interessante

esse mtodo; A matria ficou mais solta, faltou uma

condensao dos assuntos. Nas aulas na informtica houve uma

carncia na presena ativa do professor, exigindo uma

autonomia enorme do aluno e As aulas tradicionais em sala de

aula me permite aprender e absorver melhor a matria.

X

Tabela II.5

29


Pergunta 11: Voc tem alguma sugesto para melhorar o mtodo?

Explique.

Porcentagem

de Alunos

Mudana na Metodologia: Antes de ir para a aula na informtica, o

professor deveria ensinar na sala de aula.; Dividir as aulas de funo no

GeoGebra e na sala de aula tambm, para praticarmos mais.; O professor

deveria utilizar o programa para fixar a matria e no para explicar a matria

com o programa, o que dificultou o entendimento.; Acho que ficaria melhor

se deixasse para usar o GeoGebra em s uma/duas aulas apenas, para

uma melhor visualizao das funes, porque dispersou muito os alunos e

dificultou um pouco a aprendizagem na parte terica.; A realizao do

trabalho com o GeoGebra deveria ser reduzida, ou pass-la para

aprofundamento do assunto para apenas estimular a capacidade de novas

aprendizagens em matemtica, no como tema obrigatrio; Criar mais

exerccios para auxiliar no programa. Alguns exerccios no ficaram muito

claros e foi um pouco difcil entender.; Acho que deveramos fazer

exerccios do livro pelo GeoGebra. Facilitaria no aprendizado. e As aula

poderiam ser realizadas na prpria sala de aula com o auxlio de um

datashow e o notebook, para no haver tanta disperso.

58%

Perodo maior de tempo: Acho que as aulas de aplicao do mtodo

poderiam ser realizadas em um perodo maior de tempo, pois assim

conciliaramos os exerccios propostos ao programa, adquirindo um

conhecimento mais completo.; Quando as aulas forem na informtica,

melhor que tenhamos mais tempo, pois algumas pessoas tm dificuldades

para usar o programa, e isso atrasa a aula e atrapalha a aprendizagem

delas mesmas.

8%

Preferncia pelo Mtodo Tradicional: Acho que o mtodo tradicional

melhor e que este mtodo inovador mais para quem quer seguir essa rea

da Matemtica.

4%

No utilizar mais o mtodo 4%

Nada sugeriram 26%

Tabela II.6

30

Questionrio 2 Perguntas de 1 a 5 e Percentuais das Respostas

1) De maneira geral, ao estudar matemtica para fazer uma avaliao, voc precisa decorar

(parar para memorizar sem vnculos ou significados por no ter entendido) trechos do contedo?

Sempre 6% s vezes 84% Nunca 10%

2) Quanto voc precisa decorar, geralmente, at a vspera de uma avaliao em matemtica?

Tudo ou quase isso 8% Prximo da metade 39% Nada ou quase isso 53%

3) A metodologia (abordagem usada pelo professor com: uso do software, do laboratrio e do

material impresso) possibilitou suficiente entendimento do assunto abordado e fez com que voc

precisasse decorar menos trechos do contedo?

Sim 52% Nunca decoro 10% No 38%

4) Voc tem hbito de recorrer a professor particular para esclarecer dvidas em matemtica?

Sempre 2% s vezes 31% Nunca 67%

5) Voc recorreu a professor particular para esclarecer alguma parte da matria de funo tratada

atravs da metodologia que usamos?

Sim 14% No 86%

Tabela II.7

Analisando-se os percentuais das ocorrncias de respostas, v-se que:

I. 90% dos alunos usam aprendizagem mecnica sempre ou s vezes.

II. Mais da metade dos alunos decoram nada (ou quase isso) at a vspera de

uma avaliao em matemtica.

III. Quase 60% do universo dos que decoram consideraram que a metodologia

possibilitou menor necessidade desse tipo de aprendizagem.

IV. Quase 70% dos alunos nunca recorrem a professor particular para esclarecer

dvidas.

V. Menos de 45% do universo dos que recorrem a professor particular, tiraram

dvidas externas da parte de funes ensinada atravs da metodologia.

Questionrio 2 Perguntas 6 e 7

6) O que voc acha que precisa ser memorizado com relao ao estudo de funes afins e

quadrticas?

7) Sobre as perguntas anteriores, gostaria de complementar ou esclarecer alguma(s) de suas

respostas?

Tabela II.8

31


Pergunta 6: O que voc acha que precisa ser memorizado com relao

ao estudo de funes afins e quadrticas?

Porcentagem de

Alunos

Algumas frmulas ou Frmulas principais 49%

Frmulas do Vrtice da Funo 26%

Significado de Cada Coeficiente (a, b e c) e suas influncias no grfico 12%

Leis das Funes Afim ou Quadrtica 10%

Frmulas de Zeros da Funo 6%

Parte de grficos 6%

Quadro de Sinais 4%

Exerccios mais frequentes 2%

Tabela II.9


Pergunta 7: Sobre as perguntas anteriores, gostaria de complementar

ou esclarecer alguma(s) de suas respostas?

Porcentagem

de Alunos

1Q: S memorizo frmulas; Decorar algumas frmulas inevitvel;

Como tenho certa facilidade, no preciso decorar ou Embora muitas

frmulas tenham que ser decoradas, com o decorrer das aulas, algumas

podem ser facilmente entendidas, atravs da metodologia.

10%

3Q: Penso que grficos ajudam bastante na compreenso de partes que

requerem certa abstrao geomtrica ou Continuei com algumas dvidas

que s foram sanadas no estudo para a prova ou No que no

possibilitou o entendimento, apenas dificultou um pouco.

6%

4Q: Tenho muita dificuldade desde o ensino fundamental, por isso, de vez

em quando, recorro a professores particulares. 2%

5Q: Tirou dvida com algum da famlia, monitor ou outro. 12%

Tabela II.10

32

Concluses e Sugestes

Comparativamente, as mdias das duas turmas no 3 trimestre, no foram discrepantes em

relao aos outros trimestres (em uma das turmas mantiveram-se constantes e, na outra, o

primeiro trimestre apresentou resultado geral 5% acima dos outros dois), como o desempenho

apresentado pelas turmas no ano passado que motivou esta pesquisa.

Nas observaes no laboratrio e nas discusses informais, chamou ateno a fala de uma

aluna que achou interessante ver um problema prtico sendo modelado e tentando ser

resolvido em tempo real. Ela identificou que dificuldades iam surgindo ao longo da execuo

do trabalho final (como o problema de qual parbola, se possvel, passar por trs pontos

escolhidos) em contraposio aos exerccios de um livro didtico que, para aplicao de

determinada teoria, possuem incio e fim bem definidos.

A abordagem possibilita em contedo, em relao ao modo tradicional: restrio de

domnio (geralmente trabalhado na 2 srie com funes injetora, sobrejetora e bijetora) e

discusso de escalas (uma curva muito aproximada se parece com uma reta). Alm do

aprendizado de um software para auxiliar nos estudos. Existe inteno de continuao do

trabalho onde ocorreria um aprofundamento da proposta (construo de uma fonte atravs de

programas prprios e estudo da teoria matemtica subjacente curvas de Bzier) e o

acrscimo de translaes e homotetia. Infelizmente, devido s restries de tempo, somente foi

possvel citar o vdeo do discurso de Steve Jobs em Stanford, que poucos conheciam. O filme

Helvetica no pode ser exibido. Ambos foram planejados para que gerassem discusses e,

possivelmente, despertassem vocaes um dos objetivos secundrios.

Os trabalhos finais executados pelos alunos apresentaram razovel fidelidade aos modelos

exibidos em marca dgua na janela de visualizao do GeoGebra e atingiram as expectativas.

Obviamente, as letras e os numerais que possuem curvas (B, C, O etc), foram os mais

difceis de serem construdos. Facilidades disponibilizadas pelo programa para a obteno de

grficos foram descobertas por vrios alunos, mas no atrapalharam a proposta de estudos

para que os objetivos fossem atingidos.

No primeiro questionrio, as crticas registradas foram voltadas, em sua maior parte, ao uso

do programa e ao ambiente fora da sala de aula. Os alunos apontaram como principal fator

positivo da abordagem a visualizao do grfico e o seu dinamismo, o que era esperado. Por

outro lado, em sua maioria, consideraram negativo a dificuldade em mexer no software e a

disperso gerada no ambiente informatizado. Acredita-se que isso se deve a questes

relacionadas com a prpria falta de amadurecimento do grupo. Alm disso, o tempo

despendido para a familiarizao com o GeoGebra, de fato foi abaixo do planejado e

provocado por motivos de fora maior (a greve provocou uma reduo de aproximadamente

10% dos dias letivos programados no incio do ano letivo).

33

A ocorrncia de aprendizagem significativa foi aumentada atravs da metodologia,

como indicou o segundo questionrio. Pelas respostas, 9 entre cada 10 alunos usam

aprendizagem mecnica em pequena parte do contedo matemtico, em geral, no estudo at a

vspera de uma avaliao. Desse universo dos que decoram, aproximadamente, 60%

indicaram que a metodologia possibilitou menor necessidade desse tipo de memorizao. Ou

seja, no espectro de aprendizagem com o contnuo mecnica-zona cinza-significativa houve

uma mudana neste grupo de alunos com uma concentrao mais prxima da aprendizagem

significativa. Alm disso, o questionrio 2 mostrou tambm que, devido ao formato das

avaliaes, h a preocupao, principalmente, de guardar frmulas. As mais citadas, sem

haver estmulo, foram as que fornecem as coordenadas do vrtice de uma parbola (grfico da

funo quadrtica).

Talvez seja necessrio discutir melhor o questionrio antes dos alunos responderem

(distino entre as classes sociais, dvidas entre terem estudado equao do 2 grau e funo

quadrtica uma aluna apontou funo afim e Bhskara etc).

Observou-se que a verso utilizada do GeoGebra no apresentou a possibilidade de se

usar a espessura nos grficos que o trabalho exigiu, mas tambm no inviabilizou-o (contudo

seria interessante se as retas pudessem ter no traado algo similar liberdade de tamanho que

as fontes digitais possuem nos editores de texto). Alm disso, o programa no permite usar

funes x = f(y) com domnio restrito a um intervalo real. Estas facilitariam muito na construo

dos caracteres e provavelmente em outros problemas.

No houve a oportunidade de ser verificado pelo pesquisador, no ano letivo seguinte, se o

programa foi usado pelos alunos na continuao dos estudos de funes e, assim, possibilitar

a testagem de hipteses e facilitar na visualizao de um grande nmero de grficos.

34

Referncias Bibliogrficas

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ZULATTO, Rbia B. A. Professores de Matemtica que utilizam softwares de geometria

dinmica: suas caractersticas e perspectivas. Dissertao (Mestrado em Educao

Matemtica) IGCE, UNESP, Rio Claro, SP, Brasil, 2002.

36

Apndices

A. 1 Fichas e Questionrios

INTRODUO AO GEOGEBRA PARTE 01

Estudaremos a funo afim e a funo quadrtica utilizando recursos do software GeoGebra. Leia abaixo o

texto que responde pergunta O que o GeoGebra? no site do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro35

.

Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra um software gratuito de matemtica

dinmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemtica nos vrios nveis de

ensino (do bsico ao universitrio). O GeoGebra rene recursos de geometria, lgebra,

tabelas, grficos, probabilidade, estatstica e clculos simblicos em um nico ambiente.

Assim, o GeoGebra tem a vantagem didtica de apresentar, ao mesmo tempo,

representaes diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Alm dos

aspectos didticos, o GeoGebra uma excelente ferramenta para criar se ilustraes

profissionais para serem usadas no Microsoft Word, no Open Office ou no LaTeX. Escrito

em JAVA e disponvel em portugus, o GeoGebra multiplataforma e, portanto, ele pode

ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS.

Vamos usar os tutoriais disponveis na pgina:

http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html

1 uma introduo tela do GeoGebra 4.x e suas janelas etc (tambm sobre outras janelas ocultas

acessveis atravs do boto Exibir).

25 Sobre a Barra de Estilo.

2 Sobre o boto Disposies no menu principal. Iremos usar, basicamente, a opo lgebra e

Grficos.

3 Construo de pontos e retas. Apesar de estarmos estudando funes, pontos e retas nos auxiliaro

na compreenso de elementos dos grficos e possibilitaro a construo de outros.

35


No precisamos de tudo que est contido

na pgina eletrnica acima. Assim,

seguem alguns comentrios sobre os

trechos que so importantes para o nosso

estudo. Siga a ordem sugerida.

Assista aos tutoriais (indicados pelo

numeral que aparece no incio de

cada frase abaixo) quantas vezes

forem necessrias!!!

37

5 Como ampliar, reduzir e mover a Janela de Visualizao. Sobre pontos livres e pontos fixos.

27 Como traar grficos das funes afins e das funes quadrticas.

28 Eixos Coordenados: como configurar a escala.

29 Eixos Coordenados: como configurar a aparncia (rtulos etc).

23 Como modificar o nmero de dgitos, definir novos elementos algbricos (ex. no tutorial:

permetro a partir das medidas dos lados de um tringulo descritas na Janela de lgebra).

4 Como apagar objetos e boto Desfazer (ou Ctrl+Z).

6 Como gravar, abrir e iniciar arquivos do GeoGebra (.ggb).

22 Como exportar figuras para editores de texto (BrOffice etc).

7 Como exibir, esconder e mover rtulos.

8 Como esconder e exibir objetos.

12 Como mudar a aparncia de um objeto.

13 Como mudar a aparncia de um objeto (boto direito do mouse).

14 Como traar uma mediatriz.

17 Como criar pontos semilivres, deixar rastro e traar lugares geomtricos (ex. no tutorial:

parbola).

18 Mais sobre rastro (ex. no tutorial: parbola).

24 Como marcar ngulos e modificar sua aparncia.

Os tutoriais 9, 10, 11, 15, 16, 19, 20, 21 e 26 no so importantes neste momento.

38

INTRODUO AO GEOGEBRA PARTE 02

Controle Deslizante ou Seletor (Barra de Ferramentas)

- Possibilita o uso de leis de funes em sua forma geral.

- Permite animaes.

Ex.: I) Clicar no boto destacado na figura ao lado.

II) Escolher local na janela de visualizao e criar os seletores a e b.

III) Digitar f(x) = a*x+b na linha de comando.

IV) Clicar no boto Mover (seta) e, clicando com o boto esquerdo do mouse, mexer o ponto do seletor

para alterar os valores de a ou b.

Obs: Clicando-se com o boto direito acessa-se a figura 1:

Animar inicia-se a animao

com os parmetros que esto em Propriedades...

na aba Controle Deslizante (figura 2).

Intervalo: valores mnimo e mximo que o

seletor ter com o incremento definido.

Controle Deslizante: seletor fixo, valores

aleatrios (teclando-se F9), disposio (horizontal

ou vertical) e largura (tamanho).

Animao: velocidade e modo de

repetio (oscilante, crescente etc).

FIGURA 1

FIGURA 2

39

V) Relembrar o tutorial 24. Construir um ngulo atravs de trs pontos, de tal modo que seja calculado no sentido

anti-horrio a partir do eixo x (figura 3).

1) Grfico de funo definida por mais de uma sentena

f(x) = se [ , , ]

Ex.:

2x, x 1f(x)

2, x 1 na linha de comando do GeoGebra deve ser representado por:

f(x) = se [ x > 1, 2x, 2 ]

2) Grfico de uma funo no intervalo [a, b]

funo [ , a, b ]

Ex.: f(x) x 2 no intervalo [0;2]

funo [-x+2, 0, 2]

3) Reflexo de um ponto em relao outro (ou de um ponto em relao a uma reta)

Reflexo[ , ]

Reflexo[ , ]

Ex.: Reflexo do ponto (3;2) em relao reta y = 1

Reflexo[ (3;2), y = 1 ] far aparecer na janela de visualizao o ponto (3;0)

O GeoGebra possui vrios comandos pr-gravados.

Como estamos interessados no estudo da funo afim e da funo

quadrtica, estes so os mais importantes no momento:

FIGURA 3

40

FUNO AFIM PARTE 01

A definio da funo afim a seguinte

1) Qual o grfico desta funo?

Usando o GeoGebra, fixe um valor para b (pode ser 0 ou 1 ou ...). Varie os valores de a. Teste

valores: positivos (pequenos e grandes), negativos (pequenos e grandes) e zero.

Investigue. Faa anotaes, se necessrio, no retngulo a seguir.

Agora faa o contrrio: fixe um valor para a. Varie os valores de b.

possvel chegar a uma concluso geral (pergunta 1) procedendo do modo como foi descrito

acima?

Ser que existe uma demonstrao acessvel que responda pergunta 1? Como voc

buscaria esta informao na internet?

2) Qual o papel de a e qual o de b no grfico da funo afim?

3) Dados os pontos (-1;4) e (2;1), possvel encontrar a funo afim cujo grfico passa por eles? O

GeoGebra poderia facilitar a soluo deste problema?

f : R R tal que f(x) = ax + b onde a, b R

Obs: Existem autores

de livros didticos que

consideram a R* na

funo afim,

igualando-a funo

polinomial do 1 grau.

41

FUNO AFIM PARTE 02

A partir da construo indicada na Introduo ao Geogebra - parte 02

4) Qual a relao entre o ngulo construdo e o coeficiente a (taxa de variao da funo afim)? Variando-se a e b

no seletor, a construo do ngulo manteve-se correta em relao sua definio?

5) A funo afim sempre possui zero (valor de x que torna y = 0)? Como encontr-lo com o GeoGebra? Quando h

zero da funo, sempre possvel encontrar seu valor exato com o software?

6) Exerccios Selecionados - livro Matemtica, Dante, Ed. tica, 2009 (1 ed.):

Pginas 55 a 63: 1, 3, 8, 9, 10, 12, 15, 27, 31 a 34, 41, 44 e 48.

42

FUNO QUADRTICA

A definio da funo quadrtica a seguinte

4) Qual o grfico desta funo?

Usando o GeoGebra, clique no boto do controle deslizante (seletor). Como fizemos para a

funo afim, instale seletores para a, b e c. Coloque limites de -50 a 50, quando a caixa de

dilogo de cada seletor abrir.

Crie a funo f(x)=a*x^2+b*x+c na linha de comando.

Estude a pgina 79 do Dante. Como se chama esta curva obtida?

5) Como as variaes de a alteram o grfico da funo quadrtica? E de b? E de c?

6) Digite na linha de comando =b^2-4*a*c. Qual a relao entre o grfico da funo e ?

f : R R tal que f(x) = ax2 + bx + c onde a R*; b, c R

43

7) O ponto que divide a parbola em dois ramos simtricos chamado de vrtice. O xv a mdia

aritmtica das abscissas de dois pontos do grfico que possuem mesmo y. Use y = c e encontre

atravs da lei da funo quadrtica o x do vrtice. Para encontrar o yv (y do vrtice) basta substituir

xv na lei. Quais so as coordenadas do vrtice? Digite xv e yv (e suas respectivas expresses) na linha

de comando do GeoGebra e crie este valores na Janela de lgebra. Finalmente digite V=(xv,yv) e

destaque o vrtice no grfico.

8) Vamos construir o eixo de simetria da parbola no GeoGebra. Se apenas criarmos uma reta que

passe por V, ela estar livre no GeoGebra e no acompanhar as variaes do grfico. Digite A=(xv-

0.5, a*(xv-0.5)^2+b*(xv-0.5)+c) e (usando copie e cole) B=(xv+0.5, a*(xv+0.5)^2+b*(xv+0.5)+c).

Use a ferramenta adequada e trace uma reta passando por estes pontos. Depois, usando outra

ferramenta, trace uma reta perpendicular ela e que passe por V. O que voc entendeu sobre a

construo destes pontos? A reta perpendicular o eixo de simetria? Oculte os passos das

construes e coloque a perpendicular no estilo pontilhado. Mude cor e espessura se quiser.

9) Mude a cor do vrtice (diferente do eixo e do grfico). Deixe a e c fixos (sugesto: a = 1 e c = 1) e varie

b. Ative o rastro de V. Que lugar geomtrico obtido com o rastro? Troque o valor de a para seu

oposto (ou simtrico). Que novo lugar geomtrico obtido? Como voc explicaria isto?

Exerccios Selecionados - livro Matemtica, Dante, Ed. tica, 2009 (1 ed.):

Pginas 73 a 63: 1, 2, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 22, 28, 35, 46, 57, 60, 61, 62, 64, 106, 110 e 111.

44

QUESTIONRIO TURMA:_______ TRABALHO DE FUNES COM O GEOGEBRA NOV/DEZ 2011

Marque apenas uma alternativa para cada pergunta.

Aluno(a):______________________________________________________________________ No:___________

1) Data de Nascimento: ______/______/______

2) Qual faixa social voc considera-se includo?

( ) Classe Baixa. ( ) Classe Mdia. ( ) Classe Alta.

3) Voc utilizou outro(s) computador(es) alm dos disponveis no colgio para realizar o trabalho? Onde?

( ) No. ( ) Sim. Casa. ( ) Sim. Lan-House. ( ) Sim. __________________.

4) O tempo para a concluso do trabalho, considerando os recursos que voc teve, foi suficiente?

( ) No. ( ) Sim.

5) J havia estudado funo afim e funo quadrtica no 9 ano?

( ) No. Nenhuma das duas. ( ) No. Apenas funo afim. ( ) Sim.

6) Voc est cursando pela primeira vez o 1 ano do Ensino Mdio?

( ) No. ( ) Sim.

7) De um modo geral, ao estudar matemtica, voc acha que a informtica ajuda na aprendizagem?

( ) No. ( ) Sim.

8) Voc executou as tarefas propostas?

( ) No. ( ) Sim, parcialmente. ( ) Sim, totalmente.

9) O que voc achou desta abordagem de funo afim e funo quadrtica? Cite um fator positivo e um

negativo.

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

10) Esta forma de aprender exigiu que voc participasse ativamente das aulas (tomando a iniciativa,

levantando hipteses etc) do que o mtodo (mais prximo do tradicional) usado em trigonometria (Mat 2)?

Explique.

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

11) Voc tem alguma sugesto para melhorar o mtodo? Explique.

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

45

QUESTIONRIO COMPLEMENTAR TRAB. DE FUNES COM O GEOGEBRA NOV/DEZ 2011

Marque apenas uma alternativa para cada pergunta.

Aluno(a):______________________________________________________________________ Turma:________

1) De maneira geral, ao estudar matemtica para fazer uma avaliao, voc precisa decorar (parar para

memorizar sem vnculos ou significados por no ter entendido) trechos do contedo?

( ) Sempre. ( ) s vezes. ( ) Nunca.

2) Quanto voc precisa decorar, geralmente, at a vspera de uma avaliao em matemtica?

( ) Tudo ou quase isso. ( ) Prximo da metade. ( ) Nada ou quase isso.

3) A metodologia (abordagem usada pelo professor com: uso do software, do laboratrio e do material impresso)

possibilitou suficiente entendimento do assunto abordado e fez com que voc precisasse decorar menos

trechos do contedo?

( ) Sim. ( ) Nunca decoro. ( ) No.

4) Voc tem hbito de recorrer a professor particular para esclarecer dvidas em Matemtica?

( ) Sempre. ( ) s vezes. ( ) Nunca.

5) Voc recorreu a professor particular para esclarecer alguma parte da matria de funo tratada atravs da

metodologia que usamos?

( ) Sim. ( ) No.

6) O que voc acha que precisa ser memorizado com relao ao estudo de funes afins e quadrticas?

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

7) Sobre as perguntas anteriores, gostaria de complementar ou esclarecer alguma(s) de suas respostas?

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

46

A. 2 Construes feitas pelos alunos

80

A.3 Cons

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