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Números racionais

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página Números racionais...................................................................................................................... 1

Conjunto dos números racionais (Q)................................................................................... 2

Outros subconjuntos de Q ................................................................................................... 2

Alguns símbolos matemáticos............................................................................................. 3

A reta numérica racional ..................................................................................................... 3

Módulo ou valor absoluto de um número racional .................................................................... 4

Número racional oposto ou simétrico ........................................................................................ 5

Comparação de dois números racionais ..................................................................................... 5

Operações com números racionais............................................................................................. 6

Adição algébrica de números racionais............................................................................... 6

Multiplicação e divisão de números racionais .................................................................... 7

Potenciação de números racionais ...................................................................................... 8

Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos...................... 8

Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos ............................ 9

Raiz quadrada exata de números racionais ....................................................................... 11

Expressões numéricas .............................................................................................................. 12

Estudo das médias .................................................................................................................... 13

Média aritmética e média aritmética ponderada ............................................................... 13

Referências bibliográficas ........................................................................................................ 14

1

NÚMEROS RACIONAIS Números racionais

Já estudamos que os números 40, –10, 1258 e –54 pertencem ao conjunto dos números inteiros (Z).

E os números 101 e 1,15, a que conjunto numérico pertencem?

Você já sabe que 101 é uma fração. As frações representam razões entre números

inteiros. Essas razões chamadas de números racionais, pertencem ao conjunto dos números racionais.

Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma ba ,

sendo a e b números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais.

O número 1,15 também pode ser escrito na forma fracionária. Veja: 10011515,1 = .

Os números 40, –10, 1258 e –54 também podem ser escritos na forma fracionária:

• 14040 =

• 1

1010 −=−

• 1

12581258 =

• 15454 −=−

Dizemos que esses números também são números racionais.

2

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q.

Veja como o conjunto dos números racionais Q se relaciona com o conjunto dos números naturais N e com o conjunto dos números inteiros Z:

• O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. • Os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q. • N está contido em Z e Z está contido em Q. Indicamos: N ⊂ Z e Z ⊂ Q. Outros subconjuntos de Q:

• *Q é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;

• +Q é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;

• −Q é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;

• *Q+ é o conjunto dos números racionais e positivos;

• *Q− é o conjunto dos números racionais negativos.

3

Alguns símbolos matemáticos

= Igual

≠ Diferente

> Maior que < Menor que

∈ Pertence

∉ Não pertence

⊂ Está contido

⊄ Não está contido

⊃ Contém A reta numérica racional Já estudamos que os números inteiros podem ser representados numa reta numérica. O mesmo vai ocorrer com os números racionais. Exemplos:

a) Representar na reta numérica o número racional 31 .

Sabemos que o número 31 está localizado entre os números 0 e +1. Então,

vamos dividir o segmento AB em 3 partes iguais e considera uma dessas partes a partir do ponto A, para a direita.

O ponto C chama-se imagem geométrica do número racional 31 . O número

31 é

chamado abscissa do ponto C.

4

b) Representar na reta numérica o número racional 7,0− .

Vamos considerar que 1077,0 −=− (forma fracionária)

O número 107

− está localizado entre os números 1− e 0. Então, vamos dividir o

segmento AD , que vai de 1− até 0, em 10 partes iguais:

O ponto E é a imagem geométrica do número racional 7,0− . O número 7,0− é a abscissa do ponto E. Módulo ou valor absoluto de um número racional

Conforme vimos no conjunto dos números inteiro, temos:

• O módulo ou valor absoluto do número 35

+ é 35

Indica-se: 35

35=+

• O módulo ou valor absoluto do número 73

− é 73

Indica-se: 73

73=−

• O módulo ou valor absoluto do número 63,2− é 63,2

Indica-se: 63,263,2 =−

5

Número racional oposto ou simétrico

Quando dois números racionais de sinais contrários têm o mesmo módulo são chamados opostos ou simétricos.

Exemplos de números racionais opostos ou simétricos:

a) 32 e

32

−

b) 5,3− e 5,3

c) 15 e 15−

Comparação de dois números racionais

Que número é maior, 4

10 ou 8

12 ? Você tem idéia de como verificar isso?

Veja dois modos de comparar esse números:

1º) Escrevendo-os na forma decimal:

5,24:104

10== 5,18:12

812

==

Como 2,5 > 1,5, temos: 8

124

10>

2º) Escrevendo-os na forma fracionária com um mesmo denominador:

812,

820

812,

410

=

Como 8

12820

> , pois 20 > 12, temos: 8

124

10>

Observação: Outro recurso para comparar dois números racionais é a reta numérica. O maior é sempre o que se encontra à direita do outro na reta numérica.

6

Operações com números racionais

Adição algébrica de números racionais

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

81

243

242017

2454171

65

2417

65

2417

−=−=−

=⋅−⋅

=−=

−+

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 8,121

543,0 −+− :

59

1018

1018583

1018

21

54

103

8,121

543,0

−=−

=−+−

=−+−

=−+−

Observação: As propriedades da adição com números inteiros também são válidas para a adição com números racionais. São elas: Fechamento, Comutativa, Associativa, Elemento neutro e Elemento oposto.

7

Multiplicação e divisão de números racionais

Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador.

Exemplos:

a) 932

3348

34

38

=⋅⋅

=⋅

b) 3

10620

3245

34

25

−=−=⋅⋅−

=⋅−

Observação: As propriedades da multiplicação com números inteiros também são válidas para a multiplicação com números racionais. São elas: Fechamento, Comutativa, Associativa, Distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica e Elemento neutro.

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplos:

a) 212

1112

43

38

34:

38

1

1

1

2

==⋅⋅

=//⋅

//

=

b) 3

10620

3245

34

25

4325

−=−=⋅⋅−

=⋅−=−

8

Potenciação de números racionais

Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.

Exemplos:

a) 9

1634

34

2

22

==

b) 278

32

32

3

33

−=−=

−

Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos

A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros positivos é a mesma das potências com números inteiros.

• Sempre que o expoente de uma potência for par, o resultado será um número positivo.

• Sempre que o expoente de uma potência for ímpar, o resultado terá o mesmo sinal da base.

• Se um número racional a é diferente de zero, 10 =a .

• Para todo número racional a tem-se: aa =1 .

Exemplos:

a) 494

72 2

=

b) 132 0

=

−

c) 458

458 1

=

9

Observação: As propriedades da potenciação com números inteiros também são válidas quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentes são números inteiros. São elas: Produto de potências de mesma base, Quociente de potências de mesma base, Potência de uma potência e Potência de um produto ou de um quociente.

Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos

Qual o valor de 13− ? E de 23− ?

Para saber observe a seqüência em que o expoente diminui de 1 em 1 e as potências são divididas por 3:

10

• 1

11

31

31

313:13

====−

• 2

22

31

31

91

31

313:

313

===⋅==−

Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos: n

nn

aaa

==− 11 , em que n é um número natural e

a1 é o inverso de a.

Observação: n

n

n

n

n

n

nn

n

ab

ab

ab

ba

bab

a

==⋅==

=

−

111

Exemplos:

a) 491

717 2

2 ==− c) 49

23

32 22

=

−=

−

−

b) 5151

511

511

51

1

1

=⋅==

=

−

d) ( )3438

72

275,3

333 −=

−=

−=−

−−

11

Raiz quadrada exata de números racionais Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Exemplos:

a) 85

85

6425

2

2

==

b) 56

1012

1012

10014444,1 2

2

====

c) 32222222222221024 2222210 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==

d) 119

1133

1133

12181

2

22

=⋅

==⋅

=

81 3 27 3 9 3 3 3 1

121 11 11 11 1

Fatoração completa

1024 2 515 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1

Fatoração completa

12

e) 1,21021

1021

)52()73(

5273

10044141,4 2

2

2

2

22

22

===⋅⋅

=⋅⋅

==

ou 1,21021

5273

5273

10044141,4 22

22

==⋅⋅

=⋅⋅

==

Expressões numéricas

Paulo e Beto resolveram a expressão: 25,0451:

51 1

24

⋅−

−

− −

Só que eles percorreram caminhos diferentes. Veja os cálculos que cada um fez:

Paulo preferiu calcular com frações Beto optou pela forma decimal

20017

20017200

258405

251

105

41

251

10025

41

51

25,0451:

51

1

2

124

−

=−

=−

=−

=⋅−

=⋅−

−

=⋅−

−

− −

( ) ( )

( )

085,0125,004,0

5,025,004,0

5,0412,0

5,0412,0:2,0

25,0451:

51

2

124

124

−=−

=⋅−

=⋅−−

=⋅−−−

=⋅−

−

− −

441 3 147 3 49 7 7 7 1

100 2 50 2 25 5 5 5 1

Fatoração completa

13

Estudo das médias

Média aritmética e média aritmética ponderada

As notas de um aluno, em matemática, no 2º Bimestre foram:

1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova

5,0 8,0 5,0

Nessas condições, qual seria a média do aluno no bimestre?

Para responder a esta questão, devemos considerar dois casos:

1º Caso: O professor não atribuiu pesos diferentes para as notas.

Neste caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e dividindo-se o resultado por 3, ou seja:

0,63

0,183

0,50,80,5==

++

A média do aluno é 6,0.

Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0.

A média aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n.

2º Caso: O professor atribuiu pesos diferentes para cada nota.

1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova

5,0 (peso 3) 8,0 (peso 2) 5,0 (peso 5)

14

Neste caso, a média do aluno é calculada assim:

( ) ( ) ( ) 6,510

0,5610

0,250,160,15523

0,550,820,53==

++=

++⋅+⋅+⋅

A média do aluno é 5,6.

Dizemos que o valor 5,6 é a média ponderada dos números 5,0; 8,0 e 5,0, aos quais atribuímos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.

Através dos dois casos dados, observamos que uma média depende das regras estabelecidas para seu cálculo.

Referências bibliográficas [1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora

FTD.

[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.

[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.

[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.