Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II Professores: Rafael Alves de Souza e Antônio Carlos Peralta

Estabilidade Global

Maringá, 31 de Junho de 2003

Estabilidade Global Para a edificação abaixo os pilares P1, P2, P4 e P5 fazem parte da estrutura de contraventamento, enquanto P3 é um pilar contraventado. A planta de formas e a perspectiva são apresentadas nas figuras abaixo. Pede-se calcular: a) Parâmetros de instabilidade α e γz, considerando os pilares de contraventamento

isoladamente; b) Parâmetros de instabilidade α e γz , considerando pórticos formados pelos pilares de

contraventamento e as vigas; c) Verificação da flecha aproximada da estrutura sob cargas de serviço (utilizando

apenas 30% do carregamento do vento).

P1(70/20) (20/70)

P2

(20/20)P3

(20/70)P4

(70/20)P5

h=10 cmL1

h=10 cmL2

h=10 cmL3 L4

h=10 cm

V1(20/50)

V2(20/50)

V3(20/50)

V4

(20/

50)

V5

(20/

50)

V6

(20/

50)

y

x

Planta de formas do pavimento

Perpectiva da estrutura

Dados Gerais:

fck = 20 MPa; número de pavimentos = 6;

piso-a-piso: 3,00 m; γconcreto armado = 25 kN/m³;

carga estimada do piso = 12 kN/m2 pk,vento = 0,8 kN/m²

Parâmetros de Referência para o item c:

Entre pavimentos: li / 1000

No edifício: l / 1700

GABARITO a) Parâmetro de instabilidade α e coeficiente γz , considerando os pilares isolados: De acordo com o Projeto de Revisão da NBR6118(2000), o módulo de elasticidade tangente é dado por:

ckci fE 5600= → MPaEci 000.28255600 == Parâmetro de instabilidade α α ≤ α1 = 0,6 Carga estimada por piso: 12 kN/m2 Nk,edifício = 12,0 kN/m².36 m².6 pisos = 2592,00 kN

Caso de Carregamento

Htotal (m)

Nk,edifício (kN)

Ecs (GPa)

Ieq (m4)

α

Direção x = y 18 2592,00 28,00 0,0124 1,55

eq

k

EINH=α

55,1347200

259218 ==α > 0,6 → Não Ok!

Coeficiente γz

Ações horizontais de cálculo entre pisos: Fh = 1,4.0,8 kN/m².6m.3m. = 20,2 kN Açoes verticais de cálculo por piso: Fv = 1,4.12 kN/m².36 m² = 604,80 kN Ações verticais de cálculo por pilar: Fvp = 604,80/4 = 151,20 kN Com o auxílio do programa FTOOL é construído um pórtico com os pilares isolados unidos por barras rotuladas em suas extremidades, as quais simulam a presença de lajes atuando como diafragma rígido. Essas barras rotuladas são consideradas no modelo com elevada área de seção transversal, para que não ocorra deformação axial nas mesmas. Sem esta consideração ocorreria deslocamentos diferentes ao longo de uma mesma linha horizontal de associação, ou seja, em pontos de um mesmo pavimento, o que pela hipótese do diafragma rígido não aconteceria. O modelo construído é ilustrado na figura abaixo e dele são retirados os resultados de deslocamentos necessários ao cálculo do coeficiente γz.

Andar Cota Piso Wd(kN) M1,d(kN.m) Pd(kN) d(m) ∆M1,d

6° 18 10,10 181,80 604,80 0,257 155,43 5° 15 20,20 303,00 604,80 0,200 120,96 4° 12 20,20 242,40 604,80 0,144 87,09 3° 9 20,20 181,80 604,80 0,091 55,03 2° 6 20,20 121,20 604,80 0,045 27,21 1° 3 20,20 60,60 604,80 0,013 7,86 T 0 20,20 0,00 604,80 0,000 0,00 1090,80 453,60

d

dz

MM

,1

,11

1∆

−=γ

80,109060,4531

1

−=zγ

71,1=zγ > 1,10→ Não Ok! b) Parâmetro de instabilidade α e coeficiente γz , considerando pórticos: Parâmetro de instabilidade α De acordo com o Projeto de Revisão da NBR6118 (2000), para a análise dos esforços globais de segunda ordem, quando a estrutura de contraventamento é composta exclusivamente por vigas e pilares, permite-se considerar a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez das peças o valor de (EI)sec= 0,7. EcIc Desta maneira, o pórtico abaixo foi elaborado considerando que as barras rotuladas e as vigas possuem elevada área de seção transversal e inércia em torno de 0,7 da inércia real. Utilizando o programa FTOOL para o pórtico abaixo, obtém-se um deslocamento no topo de 0,0162 m.

Obs: Para o cálculo de α tomam-se as ações características. De posse do deslocamento no topo da estrutura é possível calcular o EIeq através da fórmula abaixo:

aHqEIeq .8

. 4

=

q = 0,8 kN/m².6m = 4,8 kN/m

0162,0.818.8,4 4

=eqEI

2.000.888.3 mkNEI eq =

Com o valor de EIeq calcula-se parâmetro de instabilidade α:

eq

k

EINH=α

000.888.3259218=α

465,0=α < 0,6 → Ok!

Coeficiente γz

Da mesma maneira, utilizando o programa FTOOL, obtém-se os deslocamentos necessários para o cálculo do coeficiente γz.

Andar Cota Piso Wd(kN) M1,d(kN.m) Pd(kN) d(m) ∆M1,d

6° 18 10,10 181,80 604,80 0,02270 13,72 5° 15 20,20 303,00 604,80 0,02114 12,78 4° 12 20,20 242,40 604,80 0,01843 11,14 3° 9 20,20 181,80 604,80 0,01435 8,67 2° 6 20,20 121,20 604,80 0,00907 5,48 1° 3 20,20 60,60 604,80 0,00336 2,03 T 0 20,20 0,00 604,80 0,00000 0,00 1090,80 53,85

d

dz

MM

,1

,11

1∆

−=γ

80,109085,531

1

−=zγ

< 1,10 → Ok!(Estrutura de nós fixos) 05,1=zγ Verificando os resultados obtidos considerando os pórticos de contraventamento observa-se que não há necessidade de se efetuar uma análise mais rigorosa da estrutura (análise não-linear, Processo P-Delta), pois os efeitos de segunda ordem são pouco significativos para a estrutura. Comparando os resultados obtidos de α e γz para a estrutura calculada com pilares isolados e com pórticos associados observa-se que é fundamental a consideração dos pórticos de contraventamento para a garantia da estabilidade da estrutura.

c) Verificação da flecha aproximada da estrutura sob cargas de serviço (utilizando apenas 30% do carregamento do vento).

Parâmetros de Referência

Entre pavimentos: li /1000

No edifício: l/1700 Para se efetuar a verificação das flechas da estrutura sob cargas de serviço, costuma-se adotar um carregamento igual a 30% da ação do vento. O modelo é construído no programa FTOOL utilizando as inércias brutas dos elemntos estruturais e o módulo de elasticidade secante. De acordo com o Projeto de Revisão da NBR6118(2000), o módulo de elasticidade secante é dado por:

MPaEci 000.28255600 ==

cscs EE .85,0= = 23.000 MPa São utilizadas as seguintes ações: Ações horizontais de cálculo entre pisos: Fh = 0.3.0,8 kN/m².6m.3m. = 4,32 kN Açoes verticais de cálculo por piso: Fv = 1,0.12 kN/m².36 m² = 432,00 kN Ações verticais de cálculo por pilar: Fvp = 432,00 / 4 = 108,00 kN

• Edifício

Andar Cota(m) amáx(cm) aserviço(cm) 6° 18,00 1,05 0,41

• Entre Pavimentos Andar Cota(m) Piso a Piso(m) aserviço(cm) ∆a(cm) ∆aadm(cm) Situação

6° 18,00 3,00 0,41 0,03 0,30 OK! 5° 15,00 3,00 0,38 0,05 0,30 OK! 4° 12,00 3,00 0,33 0,08 0,30 OK! 3° 9,00 3,00 0,25 0,09 0,30 OK! 2° 6,00 3,00 0,16 0,10 0,30 OK! 1° 3,00 3,00 0,06 0,06 0,30 OK! T 0,00 0,00