7CN_Interpolacao_Parte1

1Interpolao PolinomialParte I

Prof. Jorge Cavalcanti [email protected]

MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CLCULO NUMRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

CClculo Numlculo Numricorico

2 A necessidade de obter um valor intermedirio que no consta de uma tabela ocorre comumente.

Dados experimentais, tabelas estatsticas e de funes complexas so exemplos desta situao.

Soluo: uso de mtodos numricos -Interpolao.

Interpolao Polinomial

3 Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo:

Como obter o valor de f(x) para um valor de x que no tenha sido medido, como por exemplo, x=2.0 ?

Quando se deseja saber o valor de f(x) para um xintermedirio entre duas medidas, isto , xi

4 A interpolao consiste em determinar uma funo, que assume valores conhecidos em certos pontos (ns de interpolao).

A classe de funes escolhida para a interpolao , a priori, arbitrria, e deve ser adequada s caractersticas que pretendemos que a funo possua.

Funo a ser considerada: Polinmios Interpolao Polinomial


5 Mtodos de interpolao polinomial so utilizados para aproximar uma funo f(x), principalmente nas seguintes situaes:

conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...

f(x) extremamente complicada e de difcil manejo,

f(x) no conhecida explicitamente.


6 O problema geral da interpolao por meio de polinmios consiste em:

Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analtica de f(x) ou ajustar uma funo analtica aos dados.


7 Interpolao polinomial consiste em se obter um polinmio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto :

p(x0)=f(x0)

p(x1)=f(x1)

p(xn)=f(xn)

Obs: contagem comea em zero, portanto tem-se n+1 pontos na

expresso.


8 Polinmio p(x) - polinmio interpolador. Pode-se demonstrar que existe um nico polinmio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)} .

Portanto, pode-se escrever:

O conjunto de equaes corresponde a um sistema linear de n+1 equaes e n+1 variveis.


( ) ( )p x a a x a x a x f xn n

n

0 0 1 0 2 02

0 0= + + + + =...

( ) ( )p x a a x a x a x f xn n

n

1 0 1 1 2 12

1 1= + + + + =...

( ) ( )p x a a x a x a x f xn n n n n n

n

n= + + + + =

0 1 22 ...

...

9 Interpolao linear

O polinmio que interpola f(x) em x0, x1,..., xn nico.

Existem diversas formas de se obter o polinmio. Uma delas resolvendo o sistema linear obtido anteriormente Pn(xn) = f(xn).

Teoricamente, todas as formas conduzem ao mesmo polinmio. A escolha depende da estabilidade do sistema, do tempo computacional etc.

Obteno do Polinmio Pn(x)

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Interpolao linear

Ex. Encontrar o polinmio que interpola os pontos da tabela abaixo:

1. Grau do polinmio como se conhecem os valores da funo em trs pontos (n+1, n=2), pode-se usar um polinmio de 2Grau.

p(x)=a0+a1x+a2x2

2. Construo do sistema linear:

-114f(x)

20-1x

a0+a1x0+a2x02=f(x0)

a0+a1x1+a2x12=f(x1)

a0+a1x2+a2x22=f(x2)

11


Interpolao linear

3. Substituindo os valores da tabela dada:

-114f(x)

20-1x

a0+a1(-1)+a2(-1)2= 4

a0+a1(0) + a2(0)2 = 1

a0+a1(2)+a2(2)2= - 1

a0+a1x0+a2x02=f(x0)

a0+a1x1+a2x12=f(x1)

a0+a1x2+a2x22=f(x2)

a0 - a1 + a2= 4

a0= 1

a0 +2 a1 + 4a2 = - 1

a0 = 1

a1= -7/3

a2 = 2/3

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Interpolao linear4. Ento:

p(x)=1- 7/3x+2/3x2

o polinmio que interpola f(x) em x0 = -1, x1 = 0 e x2 = 2

A determinao dos coeficientes do polinmio interpolador por meio da resoluo de um sistema de equaes lineares, apesar de ser conceitualmente simples, requer um certo esforo computacional.

No podemos esperar que essa seja a forma para qualquer sistema.

Deve-se procurar metodologia alternativa ao modo da soluo de sistemas de equaes lineares.

Outras formas: a forma de Lagrange a forma de Newton

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Forma de Lagrange Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}. Encontrar um polinmio interpolador p(x), de grau n que passe por todos os pontos distintos {x0, x1, ..., xn}.

A Forma de Lagrange representa o polinmio interpolador diretamente, a partir dos pontos originais.

Seja um polinmio de grau n, dado pela forma genrica:

Onde:


p x L x f x L x f x L x f xn n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + 0 0 1 1 ...====

====

n

0iii xfxLxp )().()(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Li x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

i i+1 n

i i i i k i i n

( ) =

+

0 1 1

0 1 1 1

... ...

... ...

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Forma de Lagrange Para ilustrar e facilitar a compreenso do mtodo, considere a seguinte tabela:

Os polinmios Li so dados por:


y2

x2y3y1y0f(x)

x3x1x0x

))()((

))()(()(

302010

3210

xxxxxx

xxxxxxxL

=

))()((

))()(()(

312101

3201

xxxxxx

xxxxxxxL

====

))()((

))()(()(

321202

3102

xxxxxx

xxxxxxxL

=

))()((

))()(()(

331303

2103

xxxxxx

xxxxxxxL

=

15


Forma de Lagrange Ex. Encontrar o polinmio que interpola os pontos da tabela

abaixo:

P2(x)=L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)+ L2(x)f(x2)

-114f(x)

20-1x

3

2

)21)(01(

)2)(0(

))((

))(()(

2

2010

210

xxxx

xxxx

xxxxxL

=

=

=

2

2

)20))(1(0(

)2)(1(

)1)((

))(()(

2

201

201

=

+=

=

xxxx

xxxx

xxxxxL

6)02)(12(

)0)(1(

))((

))(()(

2

1202

102

xxxx

xxxx

xxxxxL

+=

+

+=

=

16


Forma de Lagrange

Continuao Exemplo.

P2(x)=L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)+ L2(x)f(x2)

-114f(x)

20-1x

22

222

2

3

2

3

71)(

6)1(

2

21

3

24)(

xxxP

xxxxxxxP

+=

++

+

=

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Forma de Newton

A Forma de Newton usa o Operador Diferenas Divididas, na definio do seu polinmio interpolador.

Operador Diferenas Divididas

Seja f(x) uma funo tabelada em n+1 pontos distintos: x0, x1, ..., xn.

O Operador Diferenas Dividas definido por:

3Ordem],,[],,[

],,,[

2Ordem],[],[

],,[

1Ordem)()(][][

],[

ZeroOrdem)(][

03

2103213210

02

1021210

01

01

01

0110

00

=

=

=

=

=

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxf

xx

xfxfxxf

xfxf

18


Forma de Newton


Podemos tabelar de forma conveniente as diferenas divididas, para facilitar seu clculo e recuperao.

nOrdem],...,,[]...,[

],...,,[0

1102110

=

xx

xxxfxxxfxxxf

n

nnn

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3

x0 f[x0]

x1 f[x1]

x2 f[x2]

x3 f[x2]

f[x0, x1]

f[x1, x2]

f[x2, x3]

f[x0, x1, x2]

f[x1, x2, x3]

f[x0, x1, x2 , x3]

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Forma de Newton


Ex. Determine a tabela dos operadores de diferenas para os dados abaixo:

-114f(x)

20-1x

3

2

12

31

xx

xxfxxfxxxf

102

11

xx

xfxfxxf

310

41

xx

xfxfxxf

12fxfxf

10fxfxf

41fxfxf

02

1021210

12

1221

01

0110

22

11

00

====

++++====

====

====

====

====

====

====

====

========

========

========

)(

],[],[],,[

][][],[

)(

][][],[

)()(][

)()(][

)()(][ X Ord 0 Ord 1 Ord 2

x0 4

x1 1

x2 -1

-3

-12/3

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Forma de Newton

A Forma de Newton geral para o polinmio interpolado, considerando os operadores de diferenas divididas dada por:

Para n=2:

Pn(x)=f[x0] + (x - x0) f[x0, x1] + (x - x0) (x x1) f[x0, x1 , x2] +

+ (x - x0) (x x1) (x xn-1) f[x0, x1 ,, xn]

P2(x)=f[x0] + (x - x0) f[x0, x1] + (x - x0) (x x1) f[x0, x1 , x2]

P2(x)= 4 + (x + 1) (-3) + (x + 1) (x 0) (2/3)

P2(x)= 2/3x2 7/3x + 1

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Exerccios Seja a seguinte tabela de valores da funo f(x)=ex, a partir da

qual se deseja obter a aproximao para o ponto x=1,32.

Encontre o polinmio interpolador nas formas linear, Lagrange e Newton e encontre a respectiva aproximao do ponto x dado.

4,4824,0553,669f(x)

1,51,41,3x

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