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8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS

E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZAROTEIRO DA AULA

Valdemar W. SetzerDept. de Ciência da Computação da USP

www.ime.usp.br/~vwsetzer


1. Chamar alguns alunos para desenharem uma espiral no quadro negro.

2. Desenhar a espiral de Fibonacci no quadro negro, e pedir para os alunos desenharem-na na folha de papel almaço quadriculada, tudo a mão livre. Chamar a atenção para o fato de o ser humano ser capaz de verificar se o desenho está razoável, bonito, próximo do correto (arcos perfeitos de circunferências).

3. Colocar o tamanho dos lados dos quadrados4. Colocar os tamanhos numa sequência:

1 1 2 3 5 8 13 ... 610, bem em cima no quadro negro, deixando espaço acima para o seguinte.


Espiral de Fibonacci


5. Numerar os elementos1 2 3 4 5 6 7 ...1 1 2 3 5 8 13 ...

6. Colocar n e fn :n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16...fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987...

Perguntar se todos entendem essa notação. Pedir para indicarem o valor de f7, f13 etc.

7. Mostrar como se expressa a sequência:f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2

Mostrar por exemplo f16 = f15 + f14


Essa é uma fórmula de recorrência e permite calcular subsequentemente todos os elementos da sequência. Essa sequência tem um nome famoso.

8.Essa é a Sequência de Fibonacci. Contar a história do Fibonacci, Leonardo Pisano Bigollo, (1170-?1250), filho de Guglielmo Bonacci, “Filius Bonacci”, daí seu conhecido nome. Outro nome: Leonardo Pisano.


Fibonacci, de autor desconhecido


Guglielmo era um rico mercador italiano; dirigia um posto comercial em Bugia, um porto no Norte da África. Fibonacci viajou muito, encontrando mercadores e aprendendo seus sistemas de fazer contas. Logo percebeu as vantagens do sistema de numeração hindu-arábico. Escreveu então seu livro Liber Abaci (“O Livro dos Cálculos”) de 1202, quando introduziu os números hindo-arábicos na Europa, cuja principal propriedade é ser posicional, isto é,243 = 2x100 + 4x10 + 3x1Nesse livro, mostrou como se poderia usar esse sistema em contabilidade, conversão de pesos e medidas, cálculo de juros, câmbio de moedas e outras aplicações. No livro, introduz sua sequência:

8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espiraisTrecho do original do Liber Abaci


Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233.

No livro (no texto do fac-simile) resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras:1. No início, nasce um casal de coelhos.2. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual.3. Cada casal produz um casal de novos coelhos a cada mês.


Recém nascidos: cinza; férteis: rosa

Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano?f12 !


Fibonacci tornou-se um visitante do imperador Frederico II, que gostava de matemática e ciência. Em 1240 a República de Pisa deu a ele um salário, referindo-se a ele como Leonardo Bigollo. Mostrar a estátua dele no Campo Santo, em Pisa. O asteroide 6.765 recebeu o nome de Fibonacci.


Estátua no Camposanto, em Pisa


9. A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal:

Agora vamos ver a aplicação mais interessante da sequência de Fibonacci.


10. Pedir para os alunos calcularem as razões de cada 2 consecutivos:

2 1,666 1,625 1,619 1,61818 1,618035 1,618025 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1 1,5 1,6 1,615 1,6176 1,61797 1,61805 1,618032

11. Desenhar as duas curvas, a de baixo e a de cima em um gráfico cartesiano, com uma reta no meio, mostrando que elas convergem. Perguntar: (1) Será que as curvas convergem para um só valor, e daí para diante esse valor se repete? Nesse caso, há uma segunda questão: (2) qual é esse valor, que chamaremos de ϕ? Nesse caso, isso se chamaria de “convergência para ϕ”. Escrever no quadro negro Convergência. Já sabemos que ϕ ≈ 1,6180

Marcar ϕ na reta do gráfico para onde as curvas convergem.


12. Pedir 2 números quaisquer, não muito grandes. Podem ser negativos. Colocar os números dados como f1 e f2 . Construir a sequência de Fibonacci. Não é preciso colocar o número de ordem n.

13. Pedir para calcularem as razões de cada dois consecutivos, e ir colocando em cima e abaixo da sequência. Cuidado para a razão de cima decrescer e a de baixo crescer. Trocar os primeiros (acima e abaixo) se necessário.

14. Mostrar que as curvas convergem aparentemente para o mesmo número ϕ.

15. Portanto, essa convergência aparentemente depende

exclusivamente da regra fn = fn-1 + fn-2 e não dos números

iniciais f1 e f2 , desde que um deles seja diferente de 0. O

que acontece se os dois forem 0?


16. Vamos supor que, para n bem grande, haja convergência; para n muito grande: fn fn-1

––– = ––– = ϕ fn-1 fn-2

Isso se escreve, usando a abreviatura de “limite” (escrever no quadro negro):

fn fn-1

lim ––– = lim ––– = ϕ n→∞ fn-1 n→∞ fn-2


17. Exemplo de limite:

1+n 1+∞ ∞ lim –––– = ––––– = ––– = 1 n→∞ n ∞ ∞

Mostrar como gráfico, convergindo para o 1, mas nunca chegando nele, isto é, o limite de uma função pode não ser um dos valores dela.


18. Mas pela regra de Fibonacci,

fn fn-1 + fn-2 fn-2 1 ––– = –––––––––– = 1 + –––– = 1+ –––––– fn-1 fn-1 fn-1 fn-2

–––– fn-1

Então fn 1 1 1

ϕ= lim ––– = lim (1 + –––– ) = 1+ –––––––– = 1 + ––– n→∞ fn-1 n→∞ fn-1 fn-1 ϕ

––– lim –––– fn-2 n→∞ fn-2


19. De 1ϕ = 1 + ––– ϕ

Tem-se

ϕ2 = ϕ + 1 ou ϕ2 – ϕ – 1 = 0 _____ __ 1 ±√ 1 + 4 1 ±√ 5ϕ = –––––––––– = ––––––– 2 2


20. Queremos a raiz positiva, pois se fn-1 e fn forem negativos (para n grande sempre ou ambos são positivos, ou ambos são negativos), a razão também será positiva.

__ 1 +√ 5 ϕ = –––––––

2 __

√ 5 = 2,2360667977896964091736687313... é um número irracional, nunca acaba ou se repete. Portanto

ϕ = 1,618033988948482045868343606...é irracional e jamais será atingido na convergência das duas curvas.


21. Notar que 1 1 1ϕ = 1 + ––– = 1 + –––––––––– = 1 + –––––––––––––– ϕ 1 1 1 + ––––– 1 + –––––––––– ϕ 1 1 + –––––– 1 + ...

Essa fração é chamada de Fração Contínua. Isso prova que ϕ é irracional, pois a segunda parcela vai sempre diminuindo, e nunca converge para um número fixo. Notar que ϕ > 1 portanto 0 < 1/ϕ < 1.


Como fórmula de recorrência: 1

ϕn+1 = 1 + –––– ϕn

Se começarmos com ϕ1 = 1, temos a sequência, calculando com 16 algarismos significativos,

2, 1,5, 1,666..., 1,5999..., 1,625, 1,615, 1,619, 1,6176, 1,61818, 1,61797 ...


22. Outra forma de calcular. De

ϕ2 = ϕ + 1

_____________ tem-se _________ / _________ _____ / _____ / / _____ϕ = √ 1 + ϕ = √ 1+√ 1 + ϕ = √ 1+ √ 1+√ 1+ ...

Usando como fórmula de recorrência ______

ϕn+1 = √1 + ϕn

começando com ϕ1 = 1 tem-se a sequência1, 1,4142, 1,5537, 1,5980, 1,6118, 1,6161,

1,6174, 1,6178, 1,6179, 1,6180, 1,61802, 1,618032, 1,618033, ...


23. Algumas propriedades do ϕ. De 1ϕ = 1 + ––– ϕ Temos 1––– = ϕ – 1 = 0,618034... ϕ

e

ϕ2 = ϕ + 1 = 2,618034...


24. ϕ é chamado de Razão Áurea. Um segmento de reta com tamanho a+b

<–––– a+b–––>|––––|––––––––|––––––––––––|

a P b a+b

é dividido na “razão áurea” pelo ponto P sse b a+b

––– = ––––– a b

o que dá o ϕ (se a = 1, então b = ϕ = 1,618034... ou, se b = 1, a+b = ϕ)

Notar que se a, b, a+b são 3 elementos de uma sequência de Fibonacci, estarão apenas aproximadamente na razão áurea. Fibonacci não introduziu a razão áurea.


25. Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325-265 a.C.), em seu Elementos (ca. 300 a.C.): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor.”

26. Ela é chamada de Razão Áurea pois ocorre aproximadamente no corpo humano em várias proporções de partes deste.Os pintores usaram essas proporções.

27. Um ser humano é considerado proporcional, bonito, se preserva as proporções da razão áurea. Mostrar a foto do rosto da garota com as proporções áureas. Mostrar o filme com as proporções.


Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo


(Acionar vídeo)


28. Aparelhos que geram a proporção áurea. Mostrar a foto de um deles verificando as proporções o rosto de uma mulher, e foto do aparelho de dentista (aplicação prática!).


Aparelho usado por pintores

8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espiraisAparelho de dentista para deduzir o tamanho de coroas na arcada toda


29. Vamos verificar se um dos presentes é bonito. Para isso vamos usar aparelhos que eu construí. Mostrar meus aparelhos (triângulos) de verificar a razão áurea. Explicar por que funcionam. Se os triângulos tiverem lados a, b, c e a', b', c' construí-os de tal modo que a/b = a'/b' = 1,6; como os dois triângulos têm um mesmo ângulo (oposto pelo vértice do parafuso), eles são semelhantes, então c/c' = 1,6

Medir com os aparelhos algumas proporções no corpo, por exemplo base do queixo até o nariz e até o lábio superior; tamanho da perna toda e do pé até o joelho.


30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas?

8

5


Partenon, Atenas, e o retângulo áureo


Se se quiser fazer uma caixa com proporções bonitas, usar as proporções áureas: um lado proporcional a 13, outro a 8 e o terceiro a 5; ou um lado com o retângulo áureo, com lados proporcionais a 13 e 8, e a outra face um quadrado.

31. Algumas figuras geométricas já contêm a razão áurea. A proporção entre uma diagonal de um pentágono regular e um lado é ϕ. No pentagrama, o ϕ também aparece em várias proporções. Isso tudo pode ser provado.


vermelho vermelho verde azul ––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta


32. Como desenhar um segmento dividido na proporção áurea:

____ __a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5


33. Pedir aos alunos para desenharem uma espiral logarítmica (mostrar que deveria ser chamada de espiral exponencial), com passo de razão 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32) de 180º em 180º.

Notar que a espiral de Fibonacci é desenhada colocando-se cada elemento da sequência a cada 90º.

Chamar a atenção para que, quanto mais bonito o desenho, mais próximo se estará da espiral perfeita.

Mostrar que a razão é a mesma para qualquer raio do foco, em qualquer ângulo.


As espirais logarítmicas têm propriedades extraordinárias. Por exemplo, a tangente em qualquer ponto faz sempre o mesmo ângulo com o raio desse ponto até o foco da espiral. Isso também ocorre nas circunferências, mas com o ângulo de 90º; a circunferência é uma espiral particular. Qual é a razão do passo nesse caso? É 1.Se fizermos uma espiral logarítmica mover-se nos pontos correspondentes a uma outra espiral igual (isto é, sem escorregar) o foco traça novamente a mesma espiral.


34. Quem estudou as espirais logarítmicas foi Jakob Bernoulli (1665-1705). Foi um grande matemático, catedrático na universidade de Basel. Com seu irmão Johann introduziu o Cálculo das Variações.

Introduziu a Lei dos Grandes Números, que levou ao cálculo de probabilidades. Brigou com o irmão em uma disputa de quem seria o melhor matemático. Johann ficou muito bravo pelo fato de Jakob ter ganho a cátedra de matemática da Universidade de Basel, e ele teve que ir para a de Groningen, Holanda.


Bernoulli chamou a espiral logarítmica de Spira Mirabilis. Ele escreveu o seguinte:“[A espiral logarítmica] pode ser usada com um símbolo para o corpo humano, na força de espírito e constância na adversidade, o qual depois de todas suas mudanças, mesmo depois da morte, é restaurado para seu ‘si próprio’ (self), exato e perfeito.”Ele quis que se colocasse em seu túmulo uma espiral logarítmica e se escrevesse a frase “Eadem mutata resurgo” (“Apesar de mudada, ressurjo”). Isso foi feito, mas foi em volta de uma espiral de Arquimedes (passo constante).

8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espiraisLápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça


35. Uma espiral logarítmica com passo de razão ϕ é uma Espiral Áurea. As distâncias do foco serão, calculando os resultados com 10 algarismos e arredondando para 2 algarismos:

1, 1,6, 2,6, 4,2, 6,9, 11, 18, 29, 47, 76

Notar que acaba dando a regra de cada um ser a soma dos dois anteriores, como não poderia deixar de ser!

Se for para trás, dá 1, 0,6, 0,4, 0,2


36. Pode-se começar a espiral com um retân-gulo áureo; adicionando-se quadrados sempre se conserva a razão áurea.

Construir a espiral como fizemos com a primeira, de Fibonacci. A diferença para a espiral áurea será o uso de arcos de círculos em lugar de arcos de uma espiral áurea, mas a diferença é pequena nos primeiros quadrados.

8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais35. Verde: espiral de Fibonacci; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes.


37. Um triângulo áureo:

1

ϕ

A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos


Uma sequência de triângulos isóceles áureos:

1ϕ

1+ϕ1+

2ϕ

2+3ϕ

3+5ϕ

5+8ϕ

A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea,ligando-se os vértices de cada triângulo


38. Ocorrência de espirais logarítmicas na na-tureza:Caramujos, Girassol, Margarida, outras plantas, furacão, galáxia.

8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espiraisCaramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França

8/6/15V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espiraisGirassol


39. Exercício. Prestar atenção nas plantas e descobrir as espirais na natureza. Dessa maneira desenvolve-se um respeito, uma veneração pela natureza, a única maneira de preservá-la e cultivá-la.

40. Qual a maior maravilha física na natureza?O corpo humano!


PARA OS PROFESSORESPor que essa aula foi tão interessante, quem sabe entusiasmando os alunos? Ingredientes básicos para uma aula interessante:

1. Ter algo estético (desenhar as espirais), que mexa com os sentimentos. Para isso, na matemática é necessário usar a geometria. A álgebra não tem estética, é morta. Exemplo de como ensinar a equação de 2º grau. 1. começar com os alunos desenhando uma parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto e de uma reta (usar uma régua, um esquadro se movendo sobre a régua e um compasso). 2. Recordar as retas de equações lineares, desenhando algumas. 3. Pedir para desenharem a curva de y=x2. Depois a de y=–x2, y=x2+4, depois de y=x2–4. 5. falar das raízes (y=0), generalizar para y=x2–2x–4 (desenhar). 6. Será que há alguma forma algébrica de se achar as raízes? Deduzir a fórmula de Baskara, falando de completar os quadrados: deve-se procurar uma forma (x + d)2 = e; para isso é preciso chegar a x2+2dx+d2=e


2. A aula deve ter atividade dos alunos (desenhar, calcular as razões). Muito importante: dar uma aula sempre com ritmo de inspiração (alunos absorvem algo) e expiração (alunos fazem algo, põem para fora). Perguntar aos alunos com frequência.

3. A aula deve conter algo da história da matéria, inclusive biografias. Estas últimas contêm sempre algo de realidade, algo que ocorreu. A história da matemática segue o desenvolvimento do pensamento matemático da humanidade.


4. A aula deve relacionar o que é visto com a realidade, eventualmente com a natureza. Exemplo: dar áreas de figuras geométricas calculando quantas telhas é preciso comprar para construir um telhado com aquelas telhas. Contra-exemplos: movimento uniformemente acelerado de uma partícula elementar; dar um salto na Lua, com gravidade menor.

5. Não dar aulas exclusivamente corretas. Avisar que se vai cometer alguns erros e pedir para ver quem os descobre.

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