9. ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM N...

FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 61

9. ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

99. ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM . ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM NN GRAUS GRAUS DE LIBERDADEDE LIBERDADE

Num sistema com N graus de liberdade, a solução depende de N parâmetros.

No caso dos pórticos planos, por exemplo, tem-se

Para um sistema de forças qualquer:

Para um sistema de forças horizontais apenas:

3 G.L. por nó 1 G.L. por andar

A caracterização do comportamento dinâmico da estrutura requer a definição de

Matriz de RIGIDEZ

Matriz de MASSA

Matriz de AMORTECIMENTO

K

M

C

9.1 MATRIZ DE RIGIDEZ

fuK =

Como é bem conhecido

Kij – Força de restituição elástica desenvolvida na direcção i devida a um deslocamento unitário na direcção j


Quando a massa é distribuída, procede-se do seguinte modo

Neste exemplo, “não havendo massa nos pilares”, não há transmissão de forças de inércia entre pisos, i.e. m21 = m31 = m23 = 0, donde

m1

m2

m331m

21m

m11u1

1.0

1u u3

4u

u2

x

u(x) ψ (x)1

9.2 MATRIZ DE MASSA

De modo semelhante para a matriz de massa, designa-se

mij – Força de inércia desenvolvida na direcção i devida a uma aceleração unitária na direcção j

No caso de massas concentradas só nas direcções dos g.l. escolhidos:

=

3

2

1

000000

mm

mM Matriz de Massa Diagonal

Seja uma aceleração na direcção de u1. Por derivação de u(x) em ordem ao tempo, obtém-se

( ) ( ) ( )tuxtxu 11, ψ=

( ) ( ) ( )tuxtxu 11, &&&& ψ=

e as forças de inércia correspondentes vêm

( ) ( ) ( )tuxmtxum 11, &&&& ψ=


Quando a força de inércia que se desenvolve na direcção 2 pode ser obtida por aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais, impondo um deslocamento virtual unitário segundo u2, ao qual corresponde uma deformada dada por

11 =u&&

( )x2ψ

( ) ( )∫ ψψ=l

dxxxmm0 2121

Resulta uma matriz “cheia”, designada matriz de MASSA CONSISTENTE, por ser definida de modo consistente com todos os g.l. envolvidos.

No contexto do Método dos Elementos Finitos, a matriz de massa obtém-se por

dVNNmV jiij ∫ ρ=

em que ρ representa a massa específica.

9.3 MATRIZ DE AMORTECIMENTO

Pode ser definida de modo análogo à matriz de massa. Porém, conforme se verá mais adiante, na maior parte dos casos, não é necessário obter de forma explícita a matriz de amortecimento.

Quando necessário, é muitas vezes definida por proporcionalidade às matrizes de massa e de rigidez através de

em que α e β são parâmetros independentes, convenientemente definidos.

Designa-se por matriz de amortecimento de Rayleigh.

KMC β+α=

9.4 EQUAÇÕES de EQUILÍBRIO DINÂMICO

A sobreposição dos três vectores de forças envolvidas (inércia, amortecimento e restituição elástica) equilibra o vector solicitação exterior, resultando no seguinte SISTEMA de EQUAÇÕES de EQUILÍBRIO DINÂMICO:

{ { { ( )tfuKuCuMeaI

fff

=++ &&&


9.5 MOVIMENTO LIVRE SEM AMORTECIMENTO

Tal como nos sistemas de 1 g.l., a equação de equilíbrio dinâmico reduz-se a

0=+ uKuM &&

Vejamos em que condições pode ocorrer um movimento que satisfaça esta equação.

Seja uma deformada u cuja grandeza varie sinusoidalmente com o tempo:

twu senφ=

φ - caracteriza a forma da deformada, não dependendo do tempo, pelo que

1φ

φ2

φ3

φφφ

=φ

3

2

1

twwu sen2φ−=&&

Substituindo, vem então

0sensen2 =φ+φ− wtKwtwM

Sendo estas equações válidas para qualquer instante, implica que

( ) 02 =φ− MwK

Além da solução trivial (nula), este sistema terá outras soluções não nulas se o respectivo determinante for nulo (sistema indeterminado):

Temos assim um problema de valores e vectores próprios, em que os valores próprios são os w2.

( ) 0det 2 =− MwK


Para uma estrutura com N graus de liberdade, a condição de determinante nulo conduz a uma equação polinomial de grau N nos w2.

Trata-se da Equação Característica do sistema, da qual se pode obter Nsoluções que são as frequências dos N modos de vibração dos sistema.

222

21 ,,, Nwww K

Para cada wn , temos o correspondente φn, modo de vibração que se obtém resolvendo o seguinte sistema de equações:

que tem uma simples infinidade de soluções (ou seja, o vector φn não é determinado em grandeza).

Obtém-se uma solução particular, por exemplo, fazendo unitária uma dascomponentes do vector: φ1n=1 .

O sistema, de N-1 equações em ordem às restantes componentes de φn, permite determinar este vector:

Vector próprio que caracteriza a deformada do n -ésimo modo de vibração.

φ

φφ

=φ

Nn

n

n

nM

2

1

( ) 02 =φ−nn MwK

A determinação de valores e vectores próprios pode ser feita com recurso a diversos métodos numéricos (método de Jacobi, de Stodola, de sequências de Sturm, de iterações por sub-espaços)


9.5.1 Condições de Ortogonalidade

Sejam dois modos de vibração φm e φn.

Para o modo φn tem-se

43421

nf

MwKnn n φ=φ 2

Forças de inércia

De igual forma para o modo φm

i j

f jninf

nφ

φimf

jmf

m

Aplicando o teorema de Betti, pode escrever-se

( ) ( )

nT

mmmTnn

n

T

mmm

T

nn

n

T

m

T

MwMw

MwMw

ffmn

φφ=φφ

φφ=φφ

φ=φ

22

22

donde

( ) 022 =φφ−m

T

nmn Mww

Assim, se resulta22mn ww ≠

n m se ≠=φφ 0m

Tn

M

Do mesmo modo se pode proceder em relação à matriz de rigidez:

n m se ≠=φφ 0m

T

nK

43421

mf

MwKmm m φ=φ 2

Estas expressões são as designadas CONDIÇÕES de ORTOGONALIDADEdos modos de vibração em relação à matriz de MASSA e à matriz de RIGIDEZ.


1P

5.03.

03.

0

=160 kN

=160 kN2P

0.3x

0.3

0.3x

0.3

I=∞

I=∞

Exemplo: Considere-se o pórtico de 2 andares abaixo representado, com vigas supostas de rigidez infinita.

27 /102 mkNE ×=

a) Matriz de RIGIDEZ

1.0

21K

K11

1.0

K12

K22

kN/mK

kN/mK

kN/mK

kN/mlEIK

24000

12000

12000

12000212

22

12

21

311

=

−=

−=

=×=

−

−=

24000120001200012000

K

b) Matriz de MASSA

tonmi 33.168.9

160 ==

=

33.160033.16

M


c) Determinação das FREQUÊNCIAS de VIBRAÇÃO

−−−−

=− 2

22

33.1624000120001200033.1612000

ww

MwK

( ) ( )( ) 01200033.162400033.16120000det 2222 =−−−⇒=− wwMwK

Hzfsradw

Hzfsradw

0.7;/86.43

7.2;/76.16

22

11

==

==

d) Determinação dos MODOS de VIBRAÇÃO

1º MODO ( )( )

076.1633.162400012000

1200076.1633.161200021

112

2

=

φφ

×−−−×−

0.618

1.0Fazendo 618.00.1 2111 =φ→=φ

=φ618.00.1

1

2º MODO ( )( )

086.4333.162400012000

1200086.4333.1612000

22

122

2

=

×−−−×−

φφ

Fazendo 618.00.1 1222 −=φ→=φ

1.0

0.618

−

=φ0.1618.0

2


11φ

21φ x Y

12φ

φ221 u2

1u

+ =x Y2

9.6 ANÁLISE DA RESPOSTA DINÂMICA

A deformada duma estrutura tem sido caracterizada até agora pelas Ncomponentes do vector deslocamento u no espaço geométrico.

No entanto, a mesma deformada pode também ser caracterizada em termos dos N modos de vibração, atendendo a que estes podem constituir a base dum outro espaço vectorial: o espaço modal.

Assim, a amplitude de cada um dos modos será a coordenada generalizadaque permitirá caracterizar qualquer deformada no espaço modal.

Esquematicamente, esta estratégia assume o aspecto seguinte:

2211yyu φ+φ=

φ1 – 1º MODO φ2 – 2º MODO u – DEFORMADA FINAL

Genericamente

∑=

φ=N

iii

yu1

yi – COORDENADAS NORMAIS ou MODAIS


9.6.1 Equações de Equilíbrio Desligadas Sem Amortecimento

Retomando a equação

( )tfuKuM =+&&

e substituindo u e ∑=

φ=N

iii

yu1

&&&&

( )tfyKyMN

iii

N

iii

=

φ+

φ ∑∑== 11

&&

Pré-multiplicando por T

nφ

( )tfyKyM Tn

N

iii

Tn

N

iii

Tn

φ=

φφ+

φφ ∑∑== 11

&&

e atendendo a que, devido às condições de ortogonalidade, se tem

nn

T

nNN

T

nnn

T

n

T

n

T

n

N

iii

T

nyMyMyMyMyMyM &&&&

43421K&&K&&

43421&&

43421&& φφ=φφ++φφ+φφ+φφ=

φφ ∑=

0

2

0

21

0

11

nn

T

nNN

T

nnn

T

n

T

n

T

n

N

iii

T

nyKyKyKyKyKyK φφ=φφ++φφ+φφ+φφ=

φφ ∑= 43421

KK43421321

0

2

0

21

0

11

resulta

( )tfyKyM T

nnn

T

nnn

T

nφ=φφ+φφ &&

Definindo

( ) ( )tFtF

KK

MM

T

nn

n

T

nn

n

T

nn

φ=

φφ=

φφ= massa generalizada para o modo n

rigidez generalizada para o modo n

força generalizada para o modo n


Obtém-se a seguinte equação de equilíbrio dinâmico no modo n

( )tFyKyM nnnnn =+&&

que é uma equação com apenas uma variável incógnita.

Portanto, em vez de um sistema com N equações diferenciais a Nincógnitas, fica-se reduzido a N equações com apenas uma incógnita cada – são as N equações de equilíbrio desligadas.

Pode ainda verificar-se que nnn MKw /2 =

De facto, pré-multiplicando a equação Tnnn

MwK n φφ=φ por2

n

n

nn

M

nTn

K

nTn

MKw

MwK

MwK

n

n

n

n

n

=

=

φφ=φφ

2

2

2

43421321

A resolução das N equações desligadas permite determinar as coordenadas modais Y1 , Y2 , ... , Yn , ... , YN , e a deformada final obtém-se, tal como já apresentado, somando as contribuições dos vários modos de vibração:

∑=

φ=N

iii

yu1

Esta é a base do designado MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO MODAL !!!

Verifica-se ainda que, sobrepondo apenas as contribuições dos primeiros mmodos de vibração ( com m << N ) se obtêm excelentes resultados

∑=

φ≅m

iii

yu1

poupando-se um significativo esforço de cálculo em relação à solução exacta.


9.6.2 Equações de Equilíbrio Desligadas Com Amortecimento

Admitindo a ortogonalidade dos modos de vibração, também em relação à matriz de massa, i.e.

n m se ≠=φφ 0m

Tn

C

e definindo o amortecimento generalizado para o modo n, resulta

n

T

nn CC φφ=

( )tFyKyCyM nnnnnnn =++ &&&

ou ( )n

nn

n

nn

n

nn M

tFyMKy

MCy =++ &&&

Tal como para um simples oscilador de 1 g.l., pode definir-se o amortecimento crítico para o modo n que virá dado por

nncritn wMC 2=

e o correspondente coeficiente de amortecimento do modo n será

nnnncritn

nn wMC

CC 2ξ=⇒=ξ

obtendo-se finalmente

( )n

nnnnnnn M

tFywywy =+ξ+ 22 &&&

uma expressão formalmente idêntica à obtida para um oscilador de 1 g.l.

Portanto, todas as metodologias abordadas para obtenção da resposta forçada de osciladores de 1 g.l. são directamente aplicáveis ao cálculo da resposta modal, em particular o integral de Duhamel e as expressões da resposta à acção sísmica.

Fica assim bem patente a vantagem do método de sobreposição modal.


9.6.3 Resumo do Método de Sobreposição Modal

1º EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

2º FREQUÊNCIAS e MODOS de VIBRAÇÃO

3º MASSA e FORÇA GENERALIZADAS

A partir do cálculo de K e M determinam-se os ww e φφ.

4º EQUAÇÕES de MOVIMENTO DESLIGADAS

( )tfuKuCuM =++ &&&

( )n

nnnnnnn M

tFywywy =+ξ+ 22 &&&

5º RESPOSTA MODAL À SOLICITAÇÃO

Cada equação pode ser resolvida pelo método mais adequado, por exemplo usando o integral de Duhamel

( ) ( ) ( ) ( )∫ ττ−τ= τ−ξ−t

atw

nan

n dtweFwM

tyn

nn

n0

sen1

( ) NNwwwMwK φφφ→→=φ− ,,,,,,0 21212 KK

( ) ( )tFtFMM T

nnn

T

nn φ=φφ=

No caso de existirem deslocamentos ou velocidades iniciais, é necessário adicionar uma parcela correspondente à vibração livre:

( ) ( ) ( ) ( )

+ξ+= ξ− twytw

wwyyety

nn

n

nnana

a

nnnntwn cos0sen00&


As condições iniciais em termos de coordenadas modais podem ser relacionadas com as correspondentes condições iniciais no espaço geométrico

( ) ( )00 yy & e

( ) ( )00 uu & e

De facto, tendo ∑=

φ=N

iii

yu1

e pré-multiplicando por vemMT

nφ

nnnn

T

n

N

iii

T

n

T

nyMyMyMuM =φφ=

φφ=φ ∑=1

ou seja

n

Tn

nn

Tn

n MuM

yM

uMy

&&

φ=

φ= ;

pelo que

( ) ( ) ( ) ( )n

Tn

nn

Tn

n MuM

yM

uMy

00;

00

&&

φ=

φ=

6º DESLOCAMENTOS EM TERMOS DE COORDENADAS GERAIS

7º FORÇAS ELÁSTICAS

( ) ∑=

φ==N

iiie

yKuKtf1

ou, atendendo a que iiMwK i φ=φ 2

∑=

φ=N

iii

yu1

( )

φ= ∑=

N

iiiie

ywMtf1

2

Estas forças são depois aplicadas à estrutura como quaisquer outras forças, a fim de conhecer os esforços por elas induzidos.


10.1 ANÁLISE MODAL

A generalização da equação de equilíbrio dinâmico de sistemas de 1 g.l. sob solicitação sísmica, agora para sistemas de N g.l. conduz a

0=++ uKuCuM t &&&

e atendendo a que

{ } { } gt

gt uuuuuu &&&&&& 11 +=+= e

{ } guMuKuCuM &&&&& 1−=++

Em que

resulta

Em que {1} representa uma matriz coluna de valores unitários.

efnnnnnnn FyKyCyM =++ &&&

De acordo com o que foi visto no método de sobreposição modal, aequação de equilíbrio dinâmico associada ao modo de vibração n é

{ } gT

nef

n u

nL

MF &&43421

1φ=

sendo Ln o Factor Modal de Excitação Sísmica

gn

nnnnnn u

MLywywy

n&&&&& =+ξ+ 22

10. RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

1010. RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE . RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE SISTEMAS COM SISTEMAS COM NN GRAUS DE LIBERDADEGRAUS DE LIBERDADE


A resolução do sistema de um grau de liberdade

guuwuwu &&&&& =+ξ+ 22

conduziu a Sd(w,ξ), o deslocamento que pode ser obtido no espectro de resposta.

Assim, a equação para o modo de vibração n conduzirá a

Porém, o valor máximo da resposta total não pode ser obtido, em geral, adicionando as máximas respostas modais, porque estes máximos não ocorrem todos ao mesmo tempo.

( ) ( )nnan

nnnd

n

nn wS

MwLwS

MLy

n

ξ=ξ= ,, 2

Alternativamente pode ser usado o Método da Combinação Quadrática Completa, válido para qualquer relação de frequências:

O processo mais corrente para obter a máxima resposta total a partir dos valores espectrais é calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados das respostas modais:

...22

21max maxmax

++= uuu

Este método é aplicável sempre que as frequências próprias dos modos de vibração que contribuem de forma significativa para a resposta estiverem bem separadas (i.e., se a relação entre duas quaisquer frequências estiver fora do intervalo 0.67 a 1.5).

Caso não seja aplicável aquele método, deve-se adicionar as respostas modais correspondentes às frequências que não estão bem separadas.

Se, por exemplo f2 e f3 não estão bem separadas:

( ) ...24

232

21max maxmaxmaxmax

++++= uuuuu

∑∑= =

=n

i

n

jjiji uquu

1 1max maxmax

em que o coeficiente de correlação qij é dado por

( )( ) ( ) j

iij w

wrrrr

rrq =+ξ+−

+ξ= ;141

182222

232


EXEMPLO: Continuação do problema do capítulo anterior

e) Determinação das massas generalizadas

f) Determinação dos factores modais de excitação sísmica

g) Valores do espectro de resposta

Seja ξ = 5% ; Terreno tipo 2 ; Acção Sísmica tipo I

{ } 57.22618.01

33.160033.16

618.01111 =

=φφ= MM T

{ } 57.221618.0

33.160033.16

1618.0222 =

−

−=φφ= MM T

{ } { } 42.2611

33.160033.16

618.01111 =

=φ= ML T

{ } { } 24.611

33.160033.16

1618.0122 =

−=φ= ML T

22

21

/4000.7

/3107.2

2

1

scmSHzf

scmSHzf

a

a

=→=

=→=

h) Coordenadas modais

my 00388.03.0757.16

1.357.2242.26

21 =××=

my 00017.03.086.430.4

57.2224.6

22 =××=

coef. de sismicidade da zona


i) Deslocamentos modais

=φ=00240.000388.0

111 yu

1º Modo 2º Modo

−

=φ=00017.0000106.0

222 yu

i) Deslocamentos modais

j) Deslocamentos máximos

mu 00388.0000106.000388.0 22max1 =+=

mu 00241.000017.00024.0 22max2 =+=

l) Forças modais por andar

kNuKfs

=

−

−==

04.1176.17

00240.000388.0

24000120001200012000

11

kN

SMLM

wS

MLwMywMf

aS

aa

s

=×××

=

φ=φ=φ=

99.1078.17

3.01.357.2242.26

618.01

33.160033.16

1

111

112

11

11

2111

21

43421

ou, recorrendo às forças de inércia

Operando de forma análoga para o 2º modo, vem kNfs

−

=4.5336.3

2

kNR 89.28064.282.28 22max =+=Corte Basal Máximo:


10.2 MÉTODO DE RAYLEIGH

Considere-se na análise apenas o 1º modo e admita-se que pode ser obtido pelo seguinte processo:

gmF ii =

Solicitação gravítica na horizontal

=→=

Nd

dd

dFdK...

2

1

Resulta então em que1

121 M

Kw = dMdMdKdK TT == 11 e

Mas ∑==i

iiT dFFdK1 { }

=

N

NT

F

FF

dddFd...

... 2

1

21

→=

NN

T

d

dd

m

mm

gdgMdMgMO2

1

2

1

1

∑= 2ii dF

{ } { } ∑= 2221121 ...,,,...,,, iiNNN dFFdFdFdddd

∑∑= 2

ii

ii

dFdFg

w∑∑= 22

1

ii

ii

dFdFg

fπ

↓aS

A aceleração modal máxima vem então

aSMLy

1

11 =&&

{ } aii

iiiiT SdFdF

yg

dFMdL

∑∑∑ === 211 ;1 &&

F1

F2

F3

F4

d

4d

d3

2

d1

Donde:


Donde a componente j do vector aceleração devida ao 1º modo vem

ja

jaii

iij d

gSwdS

dFdF

u2

21 ==∑∑&&

E as forças de inércia serão dadas por jja

jjj dmwgSumF 2

11 == &&

Estas forças aplicadas na estrutura permitem obter a sua resposta à acção sísmica.

Este método conduz a resultados que comparam bem com os obtidos pela análise modal.

Resolução do problema em estudo pelo método de Rayleigh

=0266.00399.0

d

160 kNd1

160 kN

= 0.0399

= 0.02662d

918.2822 ==∑∑

∑∑

i

i

ii

ii

dd

dFdF 2scm/310Hz7.2918.288.9

21 =→=×= aSfπ

rad/s83.16=w kN68.1152.17

0266.00399.0

8.916083.16

8.93.01.3 2

=

×××=F

A resposta da estrutura à acção sísmica obtém-se determinando os deslocamentos e esforços devidos a esta acção.

11.68 kN

17.52 kN


Através de:

Espectros de RESPOSTA Análise DINÂMICA

Espectros de POTÊNCIA Análise DINÂMICA

10.3.1 Caracterização da Acção dos Sismos

10.3 ASPECTOS REGULAMENTARES (R.S.A.)

Coeficiente Sísmico de Referência Método Simplificado de Análise Estática

Dependem do Terreno: Tipo I , II ou III

Dependem da Zona Sísmica: A , B , C ou D

Coeficiente de Sismicidade α

Há que considerar Duas Acções Sísmicas:

Acção Sísmica Tipo 1 – corresponde a sismos de magnitude moderada a pequena distância focal

Acção Sísmica Tipo 2 – corresponde a sismos de maior magnitude a maior distância focal

10.3.2 Determinação dos Efeitos da Acção dos Sismos

Há diversos métodos com diferentes graus de rigor, generalidade e de complexidade.

Método Simplificado de Análise Estática

Métodos Gerais e “Exactos”

COMPLEXIDADE


i) MÉTODO PADRÃO

Estrutura Tridimensional, Análise Dinâmica e Não-Linear

gu&&

uF

u

40%

60%

Redução para 60%Redução para 40%

Elástico

Fe,máx.

Desde que a estrutura tenha DUCTILIDADE adequada, podem obter-se menores esforços, ou melhor: podem ser adoptadas menores forças sísmicasde dimensionamento.

ii) Estrutura Tridimensional, Análise Dinâmica, Comportamento Linear e Coeficientes de Comportamento

iii) Estruturas Planas, Análise Dinâmica, Comportamento Linear, Coeficientes de Comportamento e Correcção de Efeitos de Torção

iv) Método Simplificado de Análise Estática

v) Método de Recurso 0.22 α Fi


Em qualquer dos métodos existe um limite inferior para o efeito da acção dos sismos, de modo a garantir uma resistência mínima a forças horizontais.

R (θ) – máxima força de reacção horizontal na direcção θ (ex: X ou Y)

P – peso da estrutura

R – mínimo de R (θ)

α≥=δ 04.0PR

δαα<δ 04.004.0 por resultados rmultiplicaSe

Limite Inferior

Existe também um limite superior: α<δ 16.0

αδα>δ 16.016.0 por resultados os se-dividir podeSe

As massas a considerar na análise correspondem ao valor médio das cargas permanentes + valor quase-permanente das cargas variáveis.

As características de rigidez e amortecimento devem corresponder a valores médios das propriedades dos materiais.

10.3.3 Método Simplificado de Análise Estática

i) A distribuição de massa e de rigidez em planta deve ser proporcionada

Condições de Aplicação

C g

RC

< 0,15a

a

< 0,15b b


ii) Distribuição vertical de massa e de rigidez sem grandes variações

Centro de Rigidez de um piso (Cr) - Ponto no qual a aplicação de uma força horizontal, origina apenas deslocamento de translação na direcção da força (não provoca rotação).

iii) Malha ortogonal e pouco deformável

pisos de nº ou )(85.0 =>> nHzn

fHzf

%5.1,1

1 <−

+

+

ii

ii

hdd

iv) Pisos indeformáveis no seu plano

A acção do sismo é quantificada através de:

ηβα=β 0

Coeficiente Sísmico Coeficiente Sísmico

de Referência

Coeficiente de Comportamento

F xI~yR

~ I yF

xR

RC

1 2 3 4 5 6 7 f(Hz)

0.04 α < β < 0.16 α

A S1

S2A

β0

200

400

β0a

S ,ξ = 5 %


Valores e Distribuição das Forças Estáticas

Estimativa da Frequência:

Hzhbf

Hzn

f

nHzn

f

6

16

)(12

=

=

==

Parede Tipo Estrutura

Parede-Pórtico Tipo Estrutura

pisos de nº Pórtico Tipo Estrutura

∑

∑

=

=β= n

jjj

n

jj

iik

Gh

GGhF

i

1

1

aplicadas, em cada piso i, com as seguinte excentricidades relativas ao centro de massa

Quando há simetria e distribuição uniforme de rigidez em planta pode afectar-se os resultados do seguinte factor de correcção dos efeitos de torção

ax6.01+=ξ

ae

abe

i

ii

05.0

05.05.0

2

1

=

+=

a

b i

CRie2i 1ie

Cgi

iF

onde x é a distância do elemento em estudo ao centro de massa (ou de rigidez, uma vez que ambos coincidem)

As forças Fki nos pisos devem ser consideradas todas com as excentricidades e1i

ou todas com e2i, conforme o que for mais gravoso para o elemento em estudo.


Justificação dos Valores e Distribuição das Forças Estáticas

Quantificação da força de corte basal

Distribuição de Rb em altura de acordo com a forma triangular invertida que tem por base a contribuição do 1º modo apenas e com uma configuração linear (aproximação aceitável apenas para estruturas regulares em altura).

h1

ih

h n

mi

mnnu

n-1u

ui

u

F1

Fi

2F

Fn-1

nF

Rb

nn

ii u

hhu &&&& =

==

n

niiiii h

uhmumF&&

&&

∑∑∑===

=

==

n

iii

n

nn

i n

nii

n

iib hm

hu

huhmFR

111

&&&&⇒

∑∑==

=n

ii

n

iii

n

n mghmhu

11β&&⇒

( )∑

∑

=

==

∴ n

iii

n

ii

n

n

hm

mg

hu

1

1β&&

∑⋅==

n

iib mgR

1βComo:

declive da deformada

==∑

∑

∑

∑

=

=

=

=n

iii

n

ii

iin

iii

n

ii

iii

hG

GhG

hm

mghmF

1

1

1

1 ββEntão:


Excentricidade das forças sísmicas (RSA) (justificação)

0.05 a – Parcela que se destina a atender à componente da rotação do sismo(ou melhor à diferente intensidade com que actua nos diversos elementos verticais da base do edifício ao longo da direcção normal à da acção sísmica), e ainda ao facto de, havendo comportamento não linear, se gerarem assimetrias de rigidez porque um dos lados pode entrar primeiro em regime não-linear do que o seu simétrico, ficando portanto com menor rigidez.

No caso de haver simetria estrutural e de massa, Cr = Cg , as excentricidades coincidem em valor (mas não em sentido, pelo quehá que considerar ambos)

0.5 bi – Parcela para atender ao facto de a resultante das forças de inércia reais não passarem exactamente pelo centro de massa, devido à natureza dinâmica do problema, i.e., por existirem massas a vibrar que se podem deslocar, alterando portanto a posição da resultante das respectivas forças de inércia.

aeabe iii 05.0//05.05.0 21 =+=

2ie 1iegicric

ib

O factor de correcção para efeitos de torção em estruturas simétricas com rigidez uniformemente distribuída (ξ = 1+0.6 x/a) pode ser deduzido a partir da condição de que |e1i| = |e2i| = 0.05a e da distribuição uniforme de rigidez (ou seja, da distribuição uniforme de forças resistentes ao nível do piso).


10.4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Dimensões:

Coeficientes de comportamento:

Terreno tipo I

Local: Porto ( α = 0.3)

Vigas: b = 0,2m; h = 0,5m

Pilares: b = 0,35m; h = 0,35m

(até ao 3º piso)

b = 0,25m; h = 0,25m

(restantes pisos)

E = 21.0 GPa

Cargas

G = 5,5 kN/m2 ; Q = 2,0 kN/m2

Peso próprio de vigas e pilares:

1.0 kN/m2

Cargas permanentes por piso:

(8x15,0)x(5,5+1,0) = 780 kN

Sobrecargas por piso:

8,0 x 15,0 x 2,0 = 240 kN

Gi = 780 + ψ2 x 240 =

= 780 + 0,2 x 240 = 828 kN

5.0m5.0m5.0m

4.0m

4.0m

3.0m

3.0m

3.0m

3.0m

4.0m

Esforços: η = 2,5

Deslocamentos: η = 1,0

Estrutura Porticada Simples – Análise Sísmica na maior direcção


Na zona D, em geral, a maior força sísmica não ultrapassa 10% das cargas gravíticas.

7.92

24.24

12.74

16.34

21.56

Máximo deslocamento horizontal = 0.71 x 2.5 = 1.775 cm

Momento nos pilares extremos = 44.46 kN.m

Momento nos pilares interiores = 49.77 kN.m

Soma das reacções horizontais = 82.8 kN

24.24 / 828 = 0.03 ; 21.56 / 828 = 0.026 ; 16.34 / 828 = 0.020

12.74 / 828 = 0.015 ; 7.92 / 828 = 0.010

RAZÃO ENTRE AS CARGAS GRAVÍTICAS E ACÇÕES HORIZONTAIS

Hz04.164.4221

21

2 ===∑∑

ππ ii

ii

dFdF

gf

10.4.1 Análise Dinâmica (Método de Rayleigh)

2m/s48.1=ISa 2m/s84.1=IISa

098.02

2

=ηgwSa

828

828

828

828

828 828

828

828

828

828

.0975

.1569

.2013

.2987

.2656

80.74

129.92

166.7

219.9

243.3

844.6 194.1

7.88

20.38

33.56

58.4

73.88

7.92

12.74

16.34

21.56

24.24

iia dFg

wSη2

2

iidF 2iidFiF id

22 m/s55.03.0m/s84.1 =×=α×= IIa SaS

0.71 cm

49.7744.46

αα 16.0)5*828/(8.8204.0 <<Verificação de corte basal mínimo e máximo:


Hz4.25

1212 ===η

f

10.4.2 Análise Estática (método simplificado)

10.4.2.1 Usando a estimativa do R.S.A. para a frequência

26.017.00 == fβ 031.05.23.026.00 =×==

ηαββ

048.016.0031.0012.004.0 =<<= αα

( )( ) ii

ii

iiiki hh

GhG

GhF 567.216131074

11111828031.0 =++++

++++==∑∑β

Máximo deslocamento horizontal = 1.14 x 2.5 = 2.85 cm (+ 61%)

Momento nos pilares extremos = 68.96 kN.m (+ 55%)

Momento nos pilares interiores = 77.27 kN.m (+ 55%)

Soma das reacções horizontais = 128.35 kN (+55%)

COMPARAÇÃO COM A ANÁLISE DINÂMICA (método de Rayleigh)

10.4.2.2 Usando a frequência calculada pelo método de Rayleigh

Máximo deslocamento horizontal: 2.85 x (.173/.26) = 285 x .67 = 1.9cm (+ 7.0%)

Momento nos pilares extremos = 68.96 x .67 = 45.88 kN.m (+ 3.0%)

Momento nos pilares interiores = 77.27 x .67 = 51.4 kN.m (+ 3.3%)

Soma das reacções horizontais = 128.35 x .67 = 85.4 kN (+3.1%)

10.268

17.969

25.67

33.371

41.072

1.14 cm

77.2768.96

173.004.117.00 ==β

9. ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM N...

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