Seminário de Estruturas – 2006/2007

Licenciatura em Engenharia Civil – Opção de Estrutur as

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA EM SECÇÕES GENÉRICAS DE BE TÃO ARMADO

SEGUNDO O EC2. DESENVOLVIMENTO DE UMA APLICAÇÃO DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Orientador: Prof. Álvaro F. M. Azevedo

Bruno Trindade dos Santos

Hélder David Miranda

Hélder Sepúlveda da Costa

ORGANIZAÇÃO DA APRESENTAÇÃO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

• Introdução

• Descrição do modelo

• Programa desenvolvido

• Interface gráfica

• Considerações finais

INTRODUÇÃO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA (segundo o EC2)

Desenvolvimento de ferramentas de cálculo

Aplicação de cálculo automático

Tabelas e ábacos

Problema de resolução complexa

•Condições de equilíbrio

•Condições de compatibilidade

•Secções genéricas

•Sistema de equações não lineares

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

MATERIAIS

Diagramas tensão-extensão segundo o EC2

Aço Betão

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

++=++=

++=

∑ ∑∑∑ ∑∑

∑∑∑

pykpksyjsjcyiciy

pxkpksxjsjcxicix

psc

zFzFzFM

zFzFzFM

FFFN

Área de aço a dimensionar ( As )

ou

Um dos esforços resistentes ( N, Mx, My)

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO

Incógnitas

β – Inclinação do eixo neutro

D – Domínio de deformação

Incógnita do problema

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

DEFINIÇÃO DAS INCÓGNITAS

Inclinação do eixo neutro Domínio de deformação

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

FORÇAS INTERNAS DA SECÇÃO

Forças e momentos do betão Forças e momentos do aço

� Decomposição da parte não fendilhada em triângulos

� Cálculo das resultantes em cada triângulo com base em expressões analíticas exactas

� Soma dos resultados obtidos em cada triângulo

� Cálculo da tensão e respectiva força em cada ponto de colocação de armaduras

� Somatório das contribuições de cada armadura para os esforços resistentes

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS

DESCRIÇÃO DO MODELO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

Resolução numérica com um algoritmo iterativo

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

++=++=

++=

∑ ∑∑∑ ∑∑

∑∑∑

pykpksyjsjcyiciy

pxkpksxjsjcxicix

psc

zFzFzFM

zFzFzFM

FFFN

SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

PROGRAMA DESENVOLVIDO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONCLUSÕES

PROGRAMADESENVOLVIDO

─ INTRODUÇÃO DOS DADOS

Corrente

Rectangular

Em “T”

Circular

Genérica

Tipo de secção

Interface gráfica

Ficheiro de dados

─ DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÕES APROXIMADAS RECORRENDO AO MÉTODO DAS TENTATIVAS

─ USO DA LINGUAGEM C com recurso à biblioteca WIN32 AP I

PROGRAMA DESENVOLVIDO

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONCLUSÕES

PROGRAMADESENVOLVIDO

─ RESOLUÇÃO ITERATIVA DO SISTEMA PELO MÉTODO DE NEWTO N-RAPHSON

Corrigir solução

(recurso a line search)

Cálculo das forças e momentos do aço

Cálculo das forças e momentos do betão

Verificação das condições de

equilíbrio

Aproximação da solução

suficiente ?

TerminarCálculo da matriz

Jacobiana

Cálculo das correcções a fazer à solução corrente

Sim Não

APRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO

INTERFACE GRÁFICA

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

Exemplificação da Aplicação

CONSIDERAÇÕES FINAIS

FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

INTRODUÇÃO

INTERFACEGRÁFICA

DESCRIÇÃODO MODELO

CONSIDERAÇÕESFINAIS

PROGRAMADESENVOLVIDO

�Para os betões até à classe C50/60 as curvas tensão-e xtensão de cálculo definidas pelo EC2 e pelo REBAP coincidem

�Os ábacos e tabelas existentes (REBAP) podem ser re aproveitados considerando f cd = fck αcc/(0.85 γc)

�Aplicação de cálculo apresenta tempos de processame nto extremamente baixos

�A linguagem utilizada (ANSI-C) é portátil e bastante divulgada possibilitando o reaproveitamento do código