DISTRIBUIÇÕES

◙ Distribuição Binomial (ou de Bernoulli):

Sejam P(A) = p e A e eventos complementares, temos:

P(A) + P( ) = 1 P( ) = 1 – P(A) P( ) = 1 – p

Como P(A) = p, então a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k vezes em n tentativas independentes e com as mesmas condições, aonde só ocorram A e é:

Pk (A) =

Exemplo / Exercícios:

1) Jogando um dado 4 vezes, qual a probabilidade de sair o número 4 exatamente 3 vezes ?Resolução:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; n(U) = 6 A = { 5 } ; n(U) = 1

p = P(A) = p =

1 – p = 1 - 1 – p =

n = 4k = 3

Daí:

Pk(A) = =

P3(A) =

2) Jogando uma moeda 5 vezes, qual a probabilidade de obter cara 3 vezes ?

3) Jogando uma moeda 3 vezes, determine a probabilidade de obter :a) Coroa nas 3 vezes.b) Coroa 2 vezes.

4) Sabendo que uma família tem 6 crianças, encontre a probabilidade de que elas sejam :a) 3 meninos e 3 meninas.b) mais meninas que meninos.

◙ Distribuição de Poisson

É utilizada para determinar a probabilidade de um número de sucessos quando os eventos ocorrem de uma forma contínua de tempos ou espaços.

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Exemplos: Defeitos por m2 ; Acidentes por dia; Clientes por hora; Gado por hectare.

A fórmula é dada por: P(X) = , onde

P(X) é a probabilidade de ocorrência do evento. X é o número de sucessos. e é a base do logaritmo natural. é o número médio de sucessos.

Exemplos:

1) Em uma determinada hora do dia o número médio de chamadas recebidas na central telefônica, no intervalo de um minuto é = 2. Determine a probabilidade de, entre dez horas e dez horas e um minuto, ocorrer 4 chamadas.Resolução:

= 2X = 4

P(4) = 0,0902 9,02%

2) O departamento de assistência técnica de um revendedor autorizado de veículos importados recebe, em média, 5 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que em uma hora qualquer selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 3 chamadas ?Resolução:

= 5X = 3

P(3) = 0,1404 14,04%

Exercícios:

1) Dez defeitos são produzidos por metro quadrado em certo processo de fabricação de tecidos. Dê a probabilidade de numa amostra, escolhidas ao acaso, serem encontrados exatamente 2 defeitos por m2.

2) Supondo que cheguem a uma loja de departamentos 10 clientes por hora. Determine a probabilidade de que em uma hora qualquer, ocorra:a) Não chegar ninguém.b) Chegarem 10 clientes.c) Chegarem 5 clientes.d) Chegarem, no máximo, 5 clientes.

3) Supondo que na via Dutra ocorrem, em média, 3 acidentes por km. Qual a probabilidade de ocorrer:a) 2 acidentes .

b) 1 acidente.c) Nenhum acidente.

1- Uma mesa telefônica recebe chamadas à razão de 4,6 chamadas por minuto. Determine a probabilidade de cada uma das ocorrências abaixo, num intervalo de 1 minuto:

a) exatamente 2 chamadasb) ao menos 2 chamadasc) 0 chamadasd) 2 a 6 chamadas

1)a .0,1063 b. 0,9437 c. 0,0101d. 0,7617

2.- Os clientes chegam a uma loja à razão de 6,5/hora (Poisson). Determine a probabilidade de que, durante qualquer hora:

a) Não chegue nenhum cliente.b) Chegue ao 1 um cliente.c) Mais de 1 cliente.d) Exatamente 6,5 clientes.

2) a. 0,0015 b. 0,776 c. 0,989 d. impossível

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3) Os defeitos em rolos de filme colorido ocorrem à razão de 0,1 defeito/rolo, e a distribuição dos defeitos é a de Poisson. Determine a probabilidade de um rolo em particular conter um ou mais defeitos. 3) 0,0952

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