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EnquadramentoObjectivos

Estado da arteModelo proposto

Os dadosResultados preliminares

Proximos passos

A aplicacao de Modelos de cadeias de Markov

Nao-Homogeneas escondidas a vigilancia

epidemiologica da sındroma gripal

Baltazar Nunes1 Isabel Natario2 M. Lucılia Carvalho 3

1Departamento de Epidemiologia, Instituto Nacional de Saude Dr. Ricardo Jorge

2Departamento de Matematica, Faculdade de Ciencias e Tecnologia (UNL);CEAUL 3Departamento de Estatıstica e Investigacao Operacional, Faculdade de

Ciencias (UL); CEAUL

February 19, 2010

Baltazar Nunes, Isabel Natario, M. Lucılia Carvalho A aplicacao de Modelos de cadeias de Markov Nao-Homogeneas escondidas




Proximos passos

A gripe e o seu impacto

1 As epidemias de gripe encontram-se associadas a excessos de consultasmedicas, urgencias, hospitalizacoes e obitos, que em algumas situacoeslevam a disrupcoes do funcionamento dos servicos de saude;

2 Para uma resposta mais adequada dos servicos de saude publica eorganizacao dos servicos de saude seria importante identificar:

o inıcio da epidemia (do perıodo epidemico);

a semana em que o pico de incidencia e atingido (assim comodas consultas/urgencias, hospitalizacoes e obitos);

a magnitude esperada do impacto da epidemia.





Proximos passos

Vigilancia epidemiologica da gripe

Actualmente o Sistema de Vigilancia Integrada Clınica e Laboratorial da Gripe(INSA) publica semanalmente a 4a feira a nıvel europeu (European InfluenzaSurveillance Network) e a 5a feira a nıvel nacional, relativamente a semanaanterior:

1 A taxa de consultas por sındroma gripal por 100.000 utentes - RedeMedicos Sentinela;

2 O numero de casos de sındroma gripal positivos para o vırus influenza esua tipificacao (B,A(H3N2),A(H1N1) e A(H1N1)v) - Rede MedicosSentinela e Urgencias Sentinela;

3 E classifica a actividade gripal de acordo com a intensidade, em baixa,moderada e alta; a tendencia crescente, decrescente ou estavel edistribuicao geografica em casos esporadicos, surtos locais, regional oudisseminada.





Proximos passos

Objectivos

Construir um modelo estatıstico que com base nas varias fontes deinformacao existentes em Portugal consiga:

1 Prever e identificar o inıcio do perıodo epidemico;

2 Prever a trajectoria da curva epidemica nas semanas seguintes(1 ou 2 semanas):

intensidade (ou magnitude) da epidemia;

a duracao do perıodo epidemico;

semana de incidencia maxima (pico da epidemia);





Proximos passos

Estado da arte

Metodo Objectivo Referencia

Regressao 1 Serfling 1963; Nunes et al 2002;Cowling 2006

ARIMA 1 Choi and Thacker 1981; Cowling2006

CUSUM 1 Cowling 2006Hidden Markov Models 1 Strat e Carat 1999; Rath et al

2003; Martinez-Beneito et al 2008

State Space Models 1 Zhou, T et al 2008Nao parametricos 1,2 Viboud C et al 2003; Andersson 2008Bayesian Networks 2 Sebastiani et al 2006





Proximos passos

Estado da arte - Cadeias de Markov escondidas

Yt representa a taxa de incidencia de sındroma gripal nasemana t;

A cada Yt esta associado uma variavel St nao observada quedetermina a distribuicao de Yt ;

St e uma cadeia de Markov homogenea com 2 estados(0=nao epidemico e 1=epidemico) com as probabilidades detransicao estacionarias:

γi ,j = P [St = j |St−1 = i ]

com i , j = 0, 1





Proximos passos


Strat e Carrat 1999

Yt |St = i ∼ N(µi,t , σi)

µi,t = αi + δi t + β1,i sin(2π

52) + β2,i cos(

2π

52), i = 0, 1

Rath et al.2003

Yt |St = 0 ∼ Exp(α)i .i .d .

Yt |St = 1 ∼ N(µ, σ)i .i .d .

Martınez-Beneito et al.2008

Zt,a = Yt,a − Yt−1,a,

onde a representa a epoca de gripe

Zt,a|St,a = 0 ∼ N(0, σ0,a)

Zt,a|St,a = 1 ∼ N(ρzt−1,a, σ1,a) − AR(1)





Proximos passos


Modelo Estimacao Comentarios

Strat e Carat 1999 SAEM (aproxi-macao estocasticado algoritmo EM)

Assume a independencia de Yt tantono estado epidemico como no naoepidemico; Considera que Yt temuma distribuicao Normal que podeassumir valores inferiores a zero.

Rath et al. algoritmo EM(Baum-Welch)

Assume a independencia de Yt tantono estado epidemico como no naoepidemico; Considera que Yt temuma distribuicao Exponencial no es-tado nao epidemico para que a in-cidencia nao assuma valores nega-tivos.

Martınez-Beneito et al. Gibbs samplingMCMC (WinBUGS)

Modela as diferencas de ordem 1pois Yt nao e estacionario; Mode-la a nao independencia no estadoepidemico com um AR(1).





Proximos passos

Caracterısticas do novo modelo

Equacoes diferentes para perıodo epidemico e nao epidemico,com inclusao de diferentes auto-correlacoes, periodicidade eseries temporais exogenas;

Permitir que a matriz de probabilidades de transicao entre osestados seja dependente do tempo atraves de variaveisexogenas;

Definir estrategias para a previsao a curto prazo (1 a 2semanas) de Yt (prevendo a trajectoria da incidencia) e de St

(prevendo as probabilidades de transicao).





Proximos passos

Modelo proposto

A taxa de incidencia na semana t e definida por:

yt =

{

µ0 + ϕ0yt−1 + β1 cos(2πt52 ) + β2 sin(2πt

52 ) + et,0 St = 0µ1 + ϕ1yt−1 + θxt + et,1 St = 1

onde et,i ∼ N(0, τi ) e t = 1, ...,T com a restricao deidentificabilidade τ0 > τ1

o estado nao epidemico e descrito por uma componenteAR(1) e uma funcao cıclica de perıodo 52 semanas;

o estado epidemico e descrito por uma combinacao linear deuma componente AR(1) e da taxa de incidencia de SG nogrupo etario 0-4 anos - xt .





Proximos passos

Modelo proposto

Os estados de actividade gripal nao observados St sao modeladospor uma cadeia de Markov Nao-homogenea com dois estados,cujas probabilidades de transicao sao dependentes do tempo:

γti ,j = P(St = i/St−1 = j) i , j ∈ {0, 1}

com a matriz de probabilidades de transicao:

Γt =

∣

∣

∣

∣

γt0,0 γt

0,1

γt1,0 γt

1,1

∣

∣

∣

∣

onde γt0,0 = 1 − γt

0,1 e γt1,1 = 1 − γt

1,0.





Proximos passos

Modelo proposto

No modelo proposto por Paroli e Spezia 2008 as probabilidades detransicao sao modeladas por intermedio de uma funcao logit deuma variavel exogena zt :

logit(γt0,1) = ln

(

γt0,1/γ

t0,0

)

= α0,1,0 + α0,1,1zt

logit(γt1,0) = ln

(

γt1,0/γ

t1,1

)

= α1,0,0 + α1,0,1zt

γt0,1 = exp(α0,1,0 + α0,1,1zt)/(1 + exp(α0,1,0 + α0,1,1zt))


Na proposta actual zt e o numero de casos de sındroma gripalconfirmados para o vırus influenza na semana t.





Proximos passos

Estimacao dos parametros do modelo

A inferencia sobre os parametros do modeloΨ = (µ, τ,R , θ, β, α, sT )′ sera obtida por metodologias deestatıstica Bayesiana, com aplicacao do algoritmo MCMC. Onde:

µµµ = (µ0, µ1);

τττ = (τ0, τ1) sobre a restricao τ0 > τ1;

RRR = (R0, R1) onde Ri = ln(

1+ϕi

1−ϕi

)

;

θ parametro de regressao associado a variavel exogena xt ;

βββ = (β1, β2)′ parametros da regressao cıclica;

ααα = (α0,1α0,1α0,1,α1,0α1,0α1,0)′ onde α0,1α0,1α0,1 = (α0,1,0, α0,1,1)

′ e α1,0α1,0α1,0 = (α1,0,0, α1,0,1)′

sTsTsT = (s1, ..., st , ..., sT )′ e a sequencia de estados da actividade gripalescondidos.

a distribuicao inicial e fixa em δ = (1/2, 1/2)





Proximos passos


As distribuicoes a priori escolhidas para os parametros:

µi ∼ N(µM ;σ2M) for i ∈ {0, 1};

τi ∼ Gamma(αΣ;βΣ), sobre a restricao τ0 > τ1;

Ri ∼ N(µR ;σ2R) for i ∈ {0, 1};

θ ∼ N(µθ;σ2θ);

(β1, β2) ∼ N(µB ; ΣB);

(α0,1,0, α0,1,1) ∼ N(µA; ΣA);

(α1,0,0, α1,0,1) ∼ N(µA; ΣA).





Proximos passos


Distribuicao a posteriori Ψ:

Π(

ΨΨΨ|yTyT

yT , y0,XXX ,VVV ,ZZZ , δ

)

= f(

µµµ,τττ,RRR, θ,βββ,ααα,sTsT

sT |yTy

Ty

T , y0,XXX ,VVV ,ZZZ , δ)

∝ f(

yTyT

yT |µµµ,τττ ,RRR, θ,βββ,ααα,sTs

TsT ,XXX ,VVV , y0

)

f(

sTsT

sT |ααα,ZZZ , δ

)

p(µµµ)p(τττ)p(RRR)p(δ)p(βββ)p(ααα)

onde,

yTyTyT = (y1, ..., yt , ..., yT )′ e o vector das taxas de incidencia e y0 as taxasiniciais para o AR(1);

XXX = (x1, ..., xt , ..., xT )′ e o vector da variavel exogena taxa de incidenciano grupo etario 0-4 anos;

VVV = (v1, v2) onde v1 = (cos(2π/52), ..., cos(2πt/52), ..., cos(2πT/52))′ ev2 = (sin(2π/52), ..., sin(2πt/52), ..., sin(2πT/52))′ periodicidades;

ZZZ = (z1, ..., zt , ..., zT )′ e o vector da variavel exogena numero de casos deSG positivos para influenza.





Proximos passos


A verosimilhanca de yT factorizada e dada por :

f(

yTyT

yT |µµµ,τττ ,RRR, θ,βββ,ααα,sTs

TsT ,XXX ,VVV , y0

)

=T

∏

t=1

f(yt |yt−1,µµµ,τττ ,RRR, θ,βββ, st ,XXX ,VVV , y0)

Onde,f(yt |yt−1,µµµ,τττ,RRR, θ,βββ, st ,XXX ,VVV , y0) =

=

√

τ0

2πexp

{

−τ0

2

(

yt − µ0 − ϕ0yt−1 − β1 cos(2πt

52) − β2 sin(

2πt

52)

)2}

se st = 0;

=

√

τ1

2πexp

{

−τ1

2(yt − µ1 − ϕ1yt−1 − θxt)

2}

se st = 1.





Proximos passos


Finalmente a distribuicao conjunta da sequencia de estados de actividade gripale dada por:

f(sT|α, Z, δ) = δs1

T∏

t=2

γtst−1,st

Onde,

δ = (1/2, 1/2)

γt0,0 = 1/(1 + exp(α0,1,0 + α0,1,1zt))


γt1,1 = 1/(1 + exp(α1,0,0 + α1,0,1zt))






Proximos passos

Algoritmo MCMC

Tomemos Ψk−1 =(

µk−1, τ (k−1),Rk−1, θk−1, βk−1, αk−1, sT (k−1))′

obtido na iteracao k − 1

a sequencia dos estados sT (k) e gerada pelo algoritmo forwardfiltering - backward sampling (ff-bs) Chib 1996;

os parametros τk0 e τk

1 sao gerados de forma independente de umadistribuicao Gama condicional completa, sujeita a restricao τk

0 > τk1

que e conseguida pela aplicacao da constrained permutationsampling Fruhwirth-Schnatter, 2001;

os parametros µk0 e µk

1 sao gerados de forma independente de umadistribuicao Normal condicional completa;

os parametros Rk0 e Rk

1 sao gerados de forma independente de umpasseio e aleatorio e aceites com base numa probabilidade deaceitacao;





Proximos passos

Algoritmo MCMC

o parametro θk e gerado de forma independente de uma distribuicaoNormal condicional completa;

os parametros (βk1 , βk

2 ) sao gerados de forma independente de umadistribuicao Normal Multivariada condicional completa;

os parametros (αk0,1,0, α

k0,1,1) (αk

1,0,0, αk1,0,1) sao gerados de forma

independente de passeio aleatorio multivariado que sao aceites combase numa probabilidade de aceitacao.





Proximos passos

0 100 200 300 400 500

050

150

250

semanas

Taxa

de

inci

dênc

ia

0 100 200 300 400 500

010

020

030

0

semanas

Taxa

de

inci

dênc

ia 0

−4

anos

0 100 200 300 400 500

020

6010

0

semanas

Nº

caso

s po

sitiv

os in

fluen

za





Proximos passos

azul nao-epidemica (P < 0.5) vermelho epidemica (P > 0.5)

0 100 200 300 400 500

050

150

250

semanas

Taxa

de

inci

dênc

ia

0 100 200 300 400 500

0.0

0.4

0.8

semanas

Pro

b. e

stad

o ep

idém

ico





Proximos passos

Proximos passos

Procurar metodologias alternativas a apresentada no artigoParoli e Spezia 2008 para a estimacao dos parametros;

Explorar a estrutura do modelo: usar a serie Zt = Yt − Yt−1,necessidade de periodicidades, outras variaveis exogenas(temperatura, humidade absoluta, etc) a diferentes lags;

Desenvolver metodologia para a predicao da taxa deincidencia Yt e dos estados futuros de actividade gripal St.





Proximos passos

References

Serfling RE.Methods for Current Statistical Analysis of Excess MortalityPneumonia-Influenza Deaths. Public Heath Reports 1963; 78 6: 494-506.

Cowling BJ, Wong IL, Ho LI, Riley S and Leung GM. Methods for monitoringinfluenza surveillance data. International Journal of Epidemiology 2006.

Choi K and Thacker SB.An evaluation of influenza mortality surveillance1962-1979. American Journal of Epidemiology 1981; 113 3: 215-216.

Strat L, Carrat F. Monitoring epidemiologic surveillance data using HiddenMarkov Chains models. Statistics in Medicine 1999; 18 3463-3478.

Rath TM, Carreras M, Sebastiani P. Automated Detection of InfluenzaEpidemics. University of Massachusetts 2003.





Proximos passos

References

Martınez-Beneito MA, Conesa D, Lopez-Quilez A, Lopez-Maside A. BayesianMarkov switching models for the early detection of influenza epidemics.Statistics in Medicine 2008; 27 4455-4468.

Zhou T, Shumway R. One-step approximations for detecting regime changes inthe state space model with application to the influenza data. Computational

Statistics and Data Analysis 2008; 52 2277-2291.

Viboud C, Boelle PY, Carrat F, Valleron AJ, Flahault A. OPrediction of theSpread of Influenza Epidemics by the Method of Analogues. American Journal

of Epidemiology 2003; 158 996-1006.

Anderson E, Bock D, Frisen M. Modelling influenza incidence for the propose ofon-line monitoring. Statistical Methods in Medical Research 2008; 17 421.

Sebastiani P, Mandl KD, Szolovits P, Kohane IS, Ramoni F. A Bayesiandynamic model for influenza. Statistics in Medicine 2006; 25 1803-1816.


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