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A COMPREENSÃO DOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS E SUAS
OPERAÇÕES BÁSICAS UTILIZANDO MATERIAIS CONCRETOS
Autor: Indalecio dos Santos Pacheco1
Orientador: Prof. Ms. Reinaldo Francisco2
RESUMO
Este artigo trata do ensino e aprendizagem com frações em classes do 6°
ano do ensino fundamental, tendo em vista as dificuldades encontradas pelos alunos
nos trabalhos com frações na escola e na vida. As frações na maioria das escolas
são trabalhadas de forma superficial e fragmentadas apenas como revisão, pois se
considera que esse conteúdo já foi trabalhado em séries anteriores. O primeiro
momento deste trabalho foi à aplicação de um pré-teste para detectar as
dificuldades do ensino e da aprendizagem das frações. Por meio das situações
próximas a vivência do aluno e a utilização de materiais concretos manipuláveis
foram possíveis perceber os diferentes significados de uma fração em seus
diferentes contextos. Com a utilização desses recursos propõem-se desenvolver
atividades com frações menores que um inteiro, iguais que um inteiro e maiores que
um inteiro, comparação de frações, equivalência de frações, adição e subtração,
multiplicação e divisão. Esse tipo de metodologia facilita a compreensão pelos
educandos, pois ele estabelece um diálogo consigo mesmo e aperfeiçoa esse
diálogo com os colegas nas diferentes atividades desenvolvidas em grupo. Após
análise dos resultados obtidos no pós-teste, verificou-se que da maneira como foi
elaborado o conteúdo, houve compreensão do tema abordado e de suas técnicas
operatórios pela maioria dos alunos e mostrou-se que é possível ensinar frações de
forma mais significativa e eficiente.
Palavras-chave: compreensão; números fracionários; Materiais Concretos.
1-Pós graduação em ensino de matemática, graduação em matemática, Col.Est.João F. Neves
2-Mestre em métodos numéricos, Unicentro- matemática
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1. Introdução
Por muitas décadas o aluno foi considerado como um recipiente vazio, e que
os professores detentores do saber, recipientes cheio, aos poucos repassavam os
conteúdos para esses recipientes vazios. Os alunos passivamente recebiam esses
conteúdos, muitos deles sem uma compreensão devida e sem mesmo entender seu
significado (ALVÁRO ANDRINI, 2006). Essa metodologia de ensino não considerava
que o aluno já traz conhecimentos adquiridos do cotidiano, e que quando o professor
estimula o aprendizado por meio de situações próximas da vivência do aluno permite
a ele ser o protagonista na construção do conhecimento.
Em sua maioria, não há dúvida de que os educadores visam proporcionar o
ensino da matemática de forma adequada, porém a metodologia usada não auxilia
em nada na assimilação por parte dos alunos. O grande desafio da maioria desses
professores é demonstrar o verdadeiro sentido da matemática, despertar a
curiosidade e os interesses desses alunos por ela, conscientes que a metodologia
utilizada interfere diretamente na motivação ou desmotivação do aluno para a
aprendizagem.
As diversas dificuldades que são encontradas na aprendizagem de
matemática são estudos de vários educadores, uma dessas dificuldades é o numero
racional na sua forma fracionária em que se observa facilmente o baixo índice de
assimilação comprovado pelas avaliações oficiais: Prova Brasil, SAEB (Sistema de
Avaliação do Ensino Básico), SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento
Escolar do Estado de São Paulo), o que tem causado desânimo entre os
educadores a ponto de uma parte deles ser favorável a extinção das frações nos
currículos escolares. (ALCIR ROJAS VALERA, 2003)
Desta forma, este trabalho visa organizar uma proposta didática pedagógica
que utilize materiais concretos manipuláveis, porém não basta apenas a presença
dos objetos manipulativos para que o aluno crie o raciocínio lógico, o educador deve
também criar situações que sejam parecidas com o cotidiano do aluno e que facilite
o trabalho dos educadores e a aprendizagem dos educandos, principalmente no 6º
ano em que é grande a diferença de metodologias entre as séries anteriores e essa
série.
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Esse trabalho foi realizado a partir de uma proposta de intervenção, como
parte do Programa de Desenvolvimento Educacional-PDE, da Secretária de Estado
da Educação do Paraná, durante o ano letivo de 2010 através de dinâmicas contidas
no material didático (proposta pedagógica), confeccionado em 2010 que subsidiou
esse trabalho.
2. Fundamentação teórica
A Matemática é uma importante ferramenta de conhecimentos, que usada
corretamente pode transpor barreiras e obstáculos, pois utiliza de meios lógicos e
racionais para explorar áreas de fascínio do homem.
A matemática sempre esteve presente em toda a história da humanidade,
suprindo as necessidades do homem e facilitando suas vidas.
A Matemática está presente em todos os níveis da educação escolar, tem grande importância em várias outras áreas de conhecimento, como instrumento, e faz parte de nosso cotidiano na forma de noções como porcentagens, estatísticas, juros etc. (D‟Ambrósio, 2009)
A maioria das crianças não tem compreensão de uma situação, não
conseguem resolver um cálculo com números fracionários e não entendem as
relações parte-todo durante uma atividade mesmo sendo ela de caráter
experimental; não têm qualquer idéia de qual quantidade equivalem os algarismos,
por exemplo,
Resolver essa operação só sabendo os nomes, sem ter a idéia
de quantificação, não cria no aluno a formação de uma estrutura lógica racional.
Os alunos não estabelecem uma relação operatória parte/todo. Sabemos
que o que torna acessível à percepção é a própria parte, a qual o aluno atribui uma
totalidade, procurando frações nas sub-partes daquele elemento.
Aprender apenas o algoritmo ensinado pela maioria dos professores não
leva o educando a compreensão do que se está trabalhando. Deve-se trabalhar de
forma que o educando construa relação operatória entre partes e um todo e
desenvolva pensamento lógico-matemático organizado, para compreensão de
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frações e possibilidades de solução aos problemas experimentais, muitos deles do
próprio cotidiano do aluno.
Quando há um distanciamento entre os conteúdos ensinados na escola e as experiências trazidas pelos alunos fora dela, o que se observa é o desinteresse e a desmotivação na aprendizagem desses conteúdos. Para que ocorra aprendizagem significativa é necessário que haja uma predisposição do aluno (um interesse, motivação) e uma identificação do mesmo com o tema a ser abordado. Esses elementos são essenciais, porque a aprendizagem significativa implica uma relação sujeito-objeto, sendo o professor responsável por oferecer essas condições, a fim de que essa aprendizagem se concretize. Dessa forma, o tratamento das frações na escola, requer o uso de metodologias apropriadas que tenha uma preocupação com o aspecto conceitual dos conteúdos. Assim as reformas curriculares podem contribuir para o trabalho com frações em sala de aula por estarem baseadas em tal concepção. (Revista de iniciação cientificada FFC, v.9 ed. 02, p. 158-170)
A Matemática em si, por se tratar de uma ciência exata, necessita que seus
ensinamentos sejam aplicados de forma gradativa, inicialmente explorando e
evidenciado os conhecimentos de mundo trazido pelos alunos, e passo a passo
sendo trabalho até chegar a uma correta aplicação dos seus conceitos, pois a
matemática está em nossas vidas para facilitá-la, portanto deve ser trabalhada de
forma clara e objetiva.
A função do professor é a de um associado aos alunos na consecução da tarefa, e conseqüentemente na busca de novos conhecimentos. Alunos e professores devem crescer, social e intelectualmente, no processo. (D‟ Ambrósio,2009)
Quando trabalhamos com Matemática, um dos objetivos é repassar os
conhecimentos dessa área de forma simples. Ao contrário do tradicionalismo,
devemos ter em mente que a postura do professor em sala de aula é de orientador,
ou seja, ensinando e demonstrando passo a passo como fazer, encorajando os
alunos a usar suas mentes dando ênfase a dedução e raciocínio lógicos.
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Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa que ensinar algoritmos e equações. A postura do professor ao ensinar um algoritmo é, em geral, a de um orientador dando instruções, passo a passo, de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o professor deve funcionar como incentivador e moderador das idéias geradas pelos próprios alunos. Nesse caso, as crianças participam ativamente „‟fazendo Matemática‟‟, e não ficam passivamente „‟observando‟‟, ser feita pelo professor. É uma radical e importante mudança do método tradicional que consiste em mostrar e repetir, com base na expressão é assim que se faz. NO chamado método heurístico, o professor encoraja o aluno a pensar por si mesmo, a levantar suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutir com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer funciona. Enfim, aqui o papel do professor é manter os alunos pensando e gerando idéias produtivas. (Didática da resolução de problemas de Matemática, Luiz Roberto Dante, 2005)
A teoria divorciada da prática, não leva o indivíduo à construção do seu
pensamento matemático organizado, levando apenas a decorações de regras
repetitivas e algoritmos, que não proporcionam ao mesmo, um entendimento claro e
preciso do que está trabalhando. Todos nós professores, como já foi dito, devemos
trabalhar com novos métodos de ensino, que proporcionem a melhor absorção de
conteúdos, ajudando cada indivíduo no desenvolvimento como pessoa pensante e
como pessoa social, ou seja, formando pessoas críticas e pensadoras, que façam a
diferença.
Tem se conhecimento dos números fracionários desde a antiguidade, e
parece sua introdução ser devida a necessidade de se exprimir a medida de
algumas grandezas. Os egípcios tinham o conhecimento das frações como atesta o
famoso papiro de Rhind, datando entre 1500 e 2000 a.C.
O papiro de Ahmés, e outras documentações egípcias, indicam o uso das
frações de numerador unitário e raramente outro denominador, tais como:
. Outra causa para a busca de novos números e análoga era a
operação de dividir, que só era possível quando o primeiro número era múltiplo do
segundo.
No entanto, a representação de frações por meio de uma barra, separando o
numerador do denominador, data entre 1500 e 1600 d.C, enquanto na Roma antiga
se trabalhavam com Frações de numeradores 12.
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Pode-se ver que os números fracionários estão ligados a necessidade de o
homem operar com quantias menores que um inteiro, e que fazem parte do nosso
dia a dia.
O estudo das frações é uma ótima oportunidade para rever, ampliar, e
consolidar a divisão de números inteiros.
São muitas as discussões realizadas pela comunidade escolar no que diz
respeito ao ensino e aprendizagem da Matemática no ensino fundamental.
Um dos conteúdos da Matemática que muitos alunos têm dificuldade para
aprender e muitos professores a ensinar são as frações, além das preocupações
das operações básicas e da interpretação e resolução de problemas.
É fundamental que, ao completar o 6° ano, o aluno tenha domínio dos
significados de frações, e saiba trabalhar corretamente com as operações básicas e
que por consequência saiba resolver problemas envolvendo tal conteúdo.
Observa-se que pouco tempo é dedicado ao estudo das frações nas
escolas, e no campo das pesquisas há pouco interesse por parte de estudantes,
concluintes de curso e pesquisadores.
Na maioria das escolas, as aulas sobre números racionais em sua
representação fracionária, se reduzem a aulas expositivas, livros didáticos e quadro
de giz como únicos materiais de apoio, e ainda livros que apresentam exercícios
repetitivos e não levam o aluno a construir e organizar o seu pensamento
matemático.
Em todos os níveis de ensino são comum os professores e textos resolvam algum “Exercício modelo” mostrando como se faz, pedindo em seguida que o estudante resolva dezenas de exercícios semelhantes. “Por “falta de tempo”, preferem “o:” é assim que se faz”, ao invés de deixar que os estudantes pensem por si próprios, experimentem as suas idéias, dêem ouvido à sua intuição. Melhor seria se o professor fosse mais um orientador, um incentivador, um burlador das idéias e iniciativas dos estudantes. (DANTE, 1987, p.32-33)
O caminho mais interessante e significativo para ensinar e aprender
matemática é explorar as curiosidades dos alunos a qual levará a redescobertas de
conceitos e motivação para novas pesquisas.
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O número racional na sua forma fracionária tem gerado debates entre
educadores, debates esses relacionados com a extinção ou não dos números
racionais do currículo escolar. Há uma polêmica e falta de consenso entre as idéias
em torno desse tema. Os que defendem a extinção desses conteúdos não vêem
utilização dos mesmos no dia a dia. Os que são contrários a essa decisão,
reconhecem que os números racionais constituem um acervo cultural, e são
necessários para representar quantidades que não podem ser expressas por
números inteiros.
Reconhece-se a importância e a necessidade do aprendizado dos números racionais, quando se olha para a história e para o processo de desenvolvimento de diferentes povos, atentando-se ao uso e o processo de formalização. Esse pode ser o caminho vago, porque para facilitar a aprendizagem desse tema, apresenta-se a experiência compartilhada de outras culturas. (VALERA, 2003 p. 58)
Métodos ultrapassados e o uso de recursos metodológicos inapropriados à
aprendizagem dos alunos acabam tornando o ensino mecânico, inacessível e
desinteressante para o aluno, a preocupação com o aspecto conceitual deve ser
constante no trabalho com os números racionais em sua representação fracionária
Segundo David Fonseca, 1997, eles destacam quatro metas que
fundamentam o trabalho com números racionais, tais como:
Os números racionais estão relacionados em suas diferentes
representações à expressão de medidas e índices comparativos.
O trabalho com os números racionais possibilita a expansão de
estruturas mentais que são necessárias ao desenvolvimento intelectual.
O estudo dos números racionais, principalmente na sua forma
fracionária, nos primeiros anos do ensino fundamental, facilitará o trabalho
com as operações algébricas que se dará posteriormente ao longo do ensino
fundamental.
O trabalho com os números racionais tem grande significação,
pois proporciona a produção do conhecimento matemático, superando conflito
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e dificuldades que surgem no campo dos números naturais, e que se amplia
na criação de um campo numérico novo, (o campo racional).
No ensino e aprendizagem dos números a variedade de conceitos
envolvidos, deve ser levada em conta, pois ela facilita a compreensão e na
assimilação dos conteúdos.
Uma abordagem dos números racionais que contemple o processo de Gênese dos conceitos, em vez de ver o conteúdo matemático apenas como um produto, não só proverá o educador de elementos para compreender melhor o processo pelo qual o aluno assimila esse conteúdo, como também permitirá ao aluno uma percepção de intencionalidade e da dinâmica da produção do conhecimento matemático. (DAVID, de Fonseca, 1997 p. 56)
Para uma boa compreensão para o que é fração, devemos entender os seus
diferentes significados, não bastando apenas, como definem a maioria dos livros
didáticos “uma ou mais partes de um todo”.
Usar apenas um livro didático como material de apoio e não complementar
suas aulas em outras fontes de pesquisa, tais como: revistas científicas, internet,
artigos e entre outros, serão criados problemas para o ensino a aprendizagem, pois
os professores não terão subsídios suficientes para compreender uma fração e seus
alunos também não terão um conhecimento integral sobre o assunto.
Esses vários significados dos números racionais e o contesto que eles manifestam constituem informação essencial ao professor sobre determinado conceito matemático que o instruí para pensar e realizar um diversificado processo pedagógico em sala de aula relativamente a esse conteúdo. (VALERA, p.147)
Percebe-se que ensinar os números racionais apenas através de algoritmos
e regras que são decoradas,não leva o aluno a compreender o que está fazendo,
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sendo assim, o aluno faz tudo mecanicamente, e conseqüentemente não
proporciona a construção constante e progressiva do saber matemático.
Enfatizar os diferentes significados de frações e ressaltar a idéia de
proporções é conteúdo que deve ser trabalhado desde as séries iniciais do ensino
fundamental, para que o aluno possa continuamente ir assimilando, instruindo e
organizando seu pensamento matemático.
Quando propomos problemas e exercícios com frações, verificamos que
nossos alunos pouco ou quase nada aprenderam. De que adiantou então: aulas
expositivas, algoritmos, decoração de regras e tudo mais? O importante de um
trabalho para um resultado satisfatório é ter um planejamento eficaz, começando
sempre com materiais concretos que facilitarão a percepção dos alunos, a
compreensão da quantidade e a observação das hipóteses e os registros de
relações comuns. A partir desses registros, o aluno avançará para o imaginário e
para a reinvenção da fração ao significado para o método operatório.
O uso do material concreto com respeito ao conteúdo das frações é alvo de
críticas, porém, as críticas não são para o material concreto em si, mas sim como
eles são utilizados, pois quem o usa sente-se na obrigação de justificar a sua real
função. Deve-se ter em mente que o aluno não retira o fato Matemático do material
concreto, sendo assim, a aprendizagem não decorre exclusivamente do material
concreto e de suas atividades, mas sim da capacidade do aluno em estabelecer
relações entre significados e conceitos.
Assim, a utilização do material concreto é nada mais que uma estratégia
para promover uma reflexão do conteúdo abordado, que por consequência irá
proporcionar aos educandos um senso crítico e investigativo por se tratar do
aprender fazendo.
Com o material concreto a disposição do professor poderá ser feitas
experiências que serão de suma importância para a construção dos conceitos
referentes às frações. À proporção que os conceitos se tornem mais complexos,
mais difícil será apresentá-los por meio de materiais concretos, porém, durante o
ensino fundamental encontra-se o aluno mais bem capacitado para compreender e
explorar o conhecimento com o auxílio de recursos- material dourado barra de
frações, tangram, ábacos, calculadoras, blocos lógicos, etc.
Com todo esse material concreto disponível, e o auxílio do professor,
pretende-se que o aluno seja o protagonista na construção do seu conhecimento,
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tendo senso crítico e avaliativo, com a mente voltada para o conhecimento e
tornando-os por fim, cidadãos melhores.
O professor e o seu papel na sala de aula ganham novas dimensões, porque
o professor será a ligação entre o saber e o ensinar, entre o conhecimento e o aluno,
pois ele será o organizador no processo da aprendizagem, escolhendo estratégias,
propondo situações problemas, avaliando o aluno com melhores condições que
terão sentidos positivos e incentivadores.
Muitos desses materiais podem ser confeccionados pelos próprios
professores, utilizando cartolina, papel quadriculado, palitos de sorvete, material de
sucata, tampinhas, etc.
Ao se tratar dos materiais concretos os professores não têm com o que se
preocupar, pois em 1996 provavelmente tenha sido o ano em que a secretaria de
Educação Estadual mais investiu para suprir as unidades escolares de materiais
pedagógicos. Foram enviadas verbas para comprar materiais que deveriam ser
escolhidos através de documentos elaborados com instruções. Havia entre eles um
documento chamado documento I, que tratava da aquisição dos especificando os
itens que compunham cada kit pedagógico. O documento II estabelecia critérios e
orientações para o uso dos materiais pedagógicos, além de outros.
A aprendizagem em Matemática está ligada a compreensão, isto é, a apreensão do significado, aprender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques, e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. (BRASIL. 2001. P.20-21)
O professor deve aproveitar o que os educandos já possuem de
conhecimentos, porque mesmo antes de entrarem na escola eles já vivenciaram
situações que envolvem noções de frações, como por exemplo: metade de uma
laranja, meio litro de refrigerante e entre outros. Este deve ser o real papel de um
educador, repassar seus conhecimentos, levando em consideração toda e qualquer
bagagem de mundo trazida pelo seu educando.
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3-METODOLOGIA
A complexidade atribuída ao conceito de número racional exige que o
educador adote uma atitude positiva em relação a esse conteúdo, com o objetivo de
ampliar a capacidade dos alunos de “fazer Matemática”, redescobrindo conceitos e
procedimentos que facilitem a formulação e a resolução de problemas, devolvendo a
sua auto-estima.
O educador deve introduzir o conteúdo de forma simples, como se os alunos
estivessem vendo esse assunto pela primeira vez, porque, por mais competentes
que tenham sido seu professores nas séries anteriores, tais professores não são
especialistas em Matemática.
Esse trabalho foi iniciado com um teste diagnóstico para averiguar as
principais deficiências das metodologias empregadas no ensino das frações e
também comparar os resultados obtidos do pré-teste com o resultado obtido com o
pós-teste, a fim de avaliar a eficácia da proposta a ser trabalhada. Com respeito aos
materiais utilizados na proposta destacam-se: bloco de frações, quadrado de frações
em papel vegetal, disco de frações, réguas de frações, entre outros.
Essa proposta também foi direcionada para que o aluno possa aprender por
compreensão, ou seja, ele deve atribuir significados ao que aprendem, e devem
saber o porquê e o que está fazendo, e não apenas mecanizar soluções.
Sendo assim, o educando torna-se o protagonista da sua aprendizagem, não
se deixando influenciar por métodos e conceitos pré-elaborados e que não
contribuem em nada para o desenvolvimento do saber matemático.
Outro direcionamento dessa proposta é possibilitar aos educandos um
melhor aproveitamento com respeito ao entendimento da matéria por meio de
situações problemas em que os fatores e o contexto do exercício voltem ao aluno
para a sua realidade, para o seu próprio dia a dia, ou seja, exercícios baseados em
aplicações reais.
As atividades aqui propostas foram realizadas com uma turma do sexto ano
de ensino fundamental. Ao dar início a tais atividades cada estudante recebeu um
caderno para anotações, sempre privilegiando atividades em grupo, proporcionando
assim aos estudantes uma correlação entre aluno-aluno e aluno-professor, em que
no primeiro caso, aluno-aluno, visar enfatizar a formulação de ideias e conceitos
sobre o conteúdo abordado, por meio de processos colaborativos e anti-
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competitivos, e as possíveis dúvidas são sanadas com a segunda relação, aluno-
professor.
Podem ser descritas as seguintes etapas do presente trabalho:
3.1) Os números racionais, História e contexto.
3.2) As frações menores que um inteiro
3.3) As frações que representam números naturais iguais ou maiores que
um.
3.4) As frações maiores que um inteiro (número misto ou inteiro)
3.5) Os diferentes significados relacionados a uma fração
3.6) Frações equivalentes
3.7) Comparação de frações
3.8) Adição e subtração de frações
3.9) Multiplicação e divisão de frações
3.9.1) Resultados obtidos
3.1) Os números racionais, História e contexto.
Ao longo de várias civilizações, de forma lenta, mas progressiva, a
humanidade desenvolveu um modelo extraordinário de fazer contagem que são os
números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,..., com exceção do número natural 0 (zero)
que surgiu muito tempo depois, usado inicialmente pelos maias e depois pelos
hindus, só então difundido pelos árabes, e adotado no ocidente, não como um
número, mas como objeto para preencher casas decimais vazias. Esse sistema de
contagem foi uma das grandes contribuições para o desenvolvimento social da
humanidade, pois esses números estão nas placas dos carros, documentos
pessoais, números de telefones, contas bancária, resumindo, em toda parte.
À medida que as civilizações tornaram-se mais desenvolvidas surgia à
necessidade de novos números, e as frações surgiram da necessidade de registrar
medidas menores do que um inteiro. A história conta que os povos viviam as
margens do rio Nilo constantemente precisavam demarcar suas terras devido às
cheias do rio Nilo. Tais demarcações eram feitas a partir de nós em cordas, sendo
assim, muitas vezes uma medida não poderia ser expressa por número natural, pois
a unidade usada não cabia um número inteiro de vezes no comprimento que estava
sendo medido.
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Os egípcios usavam frações unitárias, ou seja, com o numerador de valor 1.
Veja abaixo alguns exemplos:
O mais antigo e extenso papiro é chamado de papiro de Rhind. Tal papiro
data-se de XVII A.C. e foi encontrado em uma velha construção junto ao
Ramasseum. Nele estão registrados os conteúdos: Frações equivalentes, operações
com números fracionários, regra de três, proporções, a regra de falsa posição, a
decomposição em partes proporcionais aritméticas ou problemas geométricos.
Também existe o pairo de Kalum, em que aparecem as frações e conteúdo
abordando:
a) Transformações:
numa soma de unidade fracionária frações
(unitárias).
b) Produto de soma:
por 9 entre outros.
Os avanços construídos ao longo da história permitiram a criação do
conjunto dos números racionais, que é uma ampliação Matemática do conjunto dos
números naturais. Outro avanço considerável foi quando o homem conseguiu
demarcar os números naturais representados por pontos em uma reta, a chamada
reta numérica.
|_________________|_________________|___________________|
0 1 2 3
Da ampliação do conjunto IN, temos a reta dos números racionais Q:
|________|________|_________|_________|_________|________|
0
1
2
3
|_____|______|______|_____|______|_____|_____|______|______|
0
1
2
3
14
|____|____|____|____|____|____|____|____|____|____|____|_____|
0
1
2
Verificando as retas acima se observa que se pode dar continuidade às
divisões dentro da reta numérica, pois entre dois números racionais sempre haverá
outro número racional e mesmo assim não poderíamos dizer que a reta estaria
completa, pois ainda têm-se os números irracionais completando assim a reta
numérica.
3.2) Frações menores que um inteiro
Cada grupo recebeu um jogo de bloco de frações contendo: Um bloco de
madeira inteiro; um bloco dividido em duas partes iguais; um bloco dividido em
quatro partes iguais e um bloco dividido em oito partes iguais, todos os blocos
apresentavam medidas semelhantes.
Cada grupo fez a composição das seguintes frações:
,
···, depois reproduziram em seus cadernos por meio de
desenhos.
Com base nas frações acima se define: frações menores que um inteiro são
frações que têm o numerador menor que o denominador.
3.3) As frações que representam números naturais iguais ou maiores que
um
Com o jogo de blocos de frações cada grupo montou as seguintes frações e
depois desenhou em seus cadernos:
, e observaram que todas essas frações
representam o número um.
Define-se como fações que representam o número um, as frações cujo
numerador é igual o denominador.
Cada grupo fez a composição das seguintes frações:
analisando as composições das figuras dos blocos verificou-se que,
é igual a 2,
é
igual a 3,
igual a 4,
é igual a 2,
é igual a 3 e
é igual a 6 e definiu-se que: toda
fração onde numerador é múltiplo do denominador representa um número natural
maior ou igual a um.
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3.4) As frações maiores que um inteiro e que pode ser transformados em
números mistos
Utilizando os blocos de frações os grupos construíram as seguintes frações:
Observaram que
é igual a
,
é igual a
,
é igual a
·,
é igual
a
. Observaram também que:
é igual a
lembrando que
é igual a um
inteiro tem-se que
é igual a
, e a mesma ideia foi repetida nas demais frações.
3.5) Os diferentes significados relacionados a uma fração
Relação parte – todo, em que o inteiro, ou a unidade é repartido em partes
iguais, por exemplo: uma folha dividida em quatro partes iguais e tomadas três
delas. (grandezas contínuas)
A parte colorida representa
da folha
Partes iguais de um grupo de elementos (grandezas discretas). Por
exemplo: Uma sala de aula tem 20 alunos, calcule
desses alunos.
Quociente: Resultado da divisão de dois números. Por exemplo, dividir em
partes iguais 3 laranjas para 4 crianças. 1º divide-se a laranja em 4 partes iguais e
distribui 1 pedaço para cada criança.
Ou seja, cada criança receberá
da laranja.
Razão: O número racional é usado como índice comparativo entre as duas
unidades. Ex.: Em um concurso existem 12 vagas para 16 candidatos. Qual é a
razão entre o número de vagas e o número de candidatos?
Ou seja, existem 3 vagas para cada candidato.
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Operador: Quando o número racional tem o papel de transformação, algo
que atua sobre uma situação e a modifica.
Ex.: Qual é o número que multiplicado por 2 é
R:
Qual é
de 15 maças?
.
Medida: Subunidades dos inteiros. É utilizada quando precisamos expressar
a medida de algo menor que uma unidade previamente estabelecida. Medir é
comparar uma unidade padrão para verificar quantas vezes essa unidade cabe em
uma grandeza considerada que pode ser um número inteiro de vezes ou um número
fracionário. Quando for um número fracionário a solução esta em dividir a unidade
padrão em partes iguais para expressar o tamanho numericamente
Ex: 1 - Uma dona de casa fez um suco em que usou um copo de suco de
hortelã e quatro copos de sucos de laranjas, que fração da mistura foi feita com suco
de laranja? R.
da mistura.
2 – Considerando uma régua branca como unidade, pergunta-se: Quanto
mede a régua amarela?
Observa-se a proporcionalidade da régua amarela em relação à régua
branca, portanto observa-se que:
Cada parte da régua branca é
da régua amarela.
3.6) Frações equivalentes
Ao trabalhar com equivalência de frações o professor deve certificar-se que
os alunos construíram e tem compreensão clara do conceito de equivalência.
Enfatize a propriedade fundamental, pois ela é o fundamento do trabalho com:
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comparação e simplificação de frações e suas operações, a resolução de
problemas, e na sequência os números racionais.
Cada grupo recebeu 10 tiras de papel retangular medindo 30 cm por 2 cm e
fez a seguinte atividade.
A) Deixar uma tira em branco, a tira é um inteiro.
B) Dividir uma tira em duas partes iguais
e pintar uma parte.
C) Dividir uma tira em quatro partes iguais e pintar duas partes,
da tira.
D) Dividir uma tira em oito partes iguais e pintar quatro partes,
da tira.
E) Dividir uma tira em 16 partes iguais e pintar oito dessas partes,
da
tira.
A parte colorida representa que fração da tira?
R. Reproduziram as tiras em seus cadernos e verificara que:
=
=
.
Os passos do exercício acima foram repetidos com as frações:
A) Tudo em branco (1 inteiro) e destacado.
B)
Da tira
C)
Da tira
D)
Da tira
E)
Da tira
Verificou-se que:
, pois representam a mesma parte do inteiro. Orientados pelo
professor verificou-se também que: por exemplo, a fração
pode ser multiplicada por
2, 3, 4, 5, 6 e infinitamente que todas essas frações continuam representando a
mesma parte do todo, isto é, são frações equivalentes.
E assim indefinidamente.
E assim indefinidamente.
Duas ou mais frações que representam a mesma parte do inteiro são
chamadas de frações equivalentes.
Propriedade fundamental das frações
Dos exemplos acima se define que:
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“Multiplicando ou dividindo-se uma fração por um número natural diferente
de zero, obtém-se uma fração equivalente a fração inicial”. x
Fração irredutível
È a fração cujo numerador e o denominador não têm divisores comuns
diferentes de 1, ou seja, são números primos entre si.
Ex:
etc.
Define-se também que:
Uma fração ou um número inteiro podem ser representados por infinitas
frações equivalentes.
Ex.1:
. Ex.2:
3.7) Comparação de frações
Em uma festa de aniversário, sobrou um bolo inteiro que foi dividido
entre as crianças; João ganhou
do bolo, Joana
, Flávio
do bolo e Maria
do
bolo.
Utilizando o bloco de frações, os grupos reproduziram as situações do
problema em seus cadernos e compararam as frações:
e registraram em
seus cadernos:
Observaram que João ganhou o maior pedaço do bolo e que Flávio e Maria
receberam pedaços do mesmo tamanho, porém menores que o pedaço recebido por
Joana; então:
=
, com as orientações corretas do professor, definiu-se
que: cada criança recebeu um pedaço do bolo, alguns pedaços eram maiores do
que outros e que na comparação de frações que têm o mesmo numerador a maior é
aquela que tem o menor denominador.
Um bolo foi repartido em 32 pedaços, todos do mesmo tamanho, João
ganhou 1 pedaço, Maria 2 pedaços, Pedro 3 pedaços, Paulo 4 pedaços, Ivo 5
pedaços, Raul 6 pedaços, Tim 7 pedaços e Tom 8 pedaços.
Comparando os pedaços de bolos com os blocos de frações, anotaram em
seus cadernos que:
. Organizaram as frações em ordem
crescente e definiu-se que: todos os pedaços são do mesmo tamanho e que na
19
comparação de frações com denominadores iguais, a maior fração é aquela que têm
o maior numerador.
Em nossa sala de aula, hoje temos 32 alunos, responda quantos
alunos são:
A)
Do total de alunos da sala.
B)
Do total de alunos da sala.
C)
Do total de alunos da sala.
D)
Do total de alunos da sala.
E)
Do total de alunos da sala.
Cada grupo recebeu um jogo de peças de xadrez, cada peça representando
um aluno.
De 32 alunos = 32:2 = 16x1 = 16 alunos
De 32 alunos = 32:4 = 8x3 = 24 alunos
De 32 alunos = 32:8 = 4x3 = 12 alunos
De 32 alunos = 32:16 = 2x7 = 14 alunos
De 32 alunos = 32:8 = 4x5 = 20 alunos
Pelo tamanho do grupo verificou-se que:
É maior que
É maior que
É maior que
É maior que
É maior que
É maior que
>
Analisando a fração , observa-se que: 3 é maior que a metade de 4
e na fração , 1 é a metade de 2; então se verifica que mais que a metade é maior
que a metade do total.
-
>
. É a metade e . É menos da metade do total.
-
>
. . 5 é mais da metade de 8 e 1 é a metade de 2.
20
-
falta uma unidade para a metade e também falta uma unidade
para completar a metade o inteiro, porém essa unidade que falta a
é maior que a
unidade que falta para a
.
3.8) Adição e subtração de frações
a) Os denominadores são iguais:
Num dia de chuva com as crianças em casa mamãe fez um bolo e cortou em
10 pedaços iguais, João comeu
do bolo, Maria
do bolo e o restante a mamãe
guardou na geladeira.
1) Que fração do bolo comeram João e Maria?
2) Que fração João ganhou a mais que Maria?
3) Que fração do bolo ficou na geladeira?
Cada grupo recebeu um jogo de disco de frações. Separaram o disco
dividido em 10 partes iguais para representar o bolo e perceberam que
do bolo
correspondem a 3 pedaços comidos por João e que
do bolo correspondem a 2
pedaços comidos por Maria.
R.1 – Observaram que a fração do bolo comida pelos dois filhos é a soma
, somaram 3+2 = 5 pedaços, e que
do bolo
R.2 – Que fração do bolo João ganhou a mais que Maria é o mesmo que
perguntar qual a diferença entre
–
, então João comeu
da
torta a mais que Maria.
R.3 – A fração da torta guardada na geladeira é –
, um bolo inteiro
corresponde a
é a fração do bolo comida pelos filhos, então:
–
do
bolo, simplificando
, temos
do bolo.
Define-se: A soma de frações com denominadores iguais é uma fração em
que:
21
- o numerador é a soma dos numeradores,
- o denominador é o mesmo das frações.
Ex:
A diferença entre duas frações com denominadores iguais é um número
cujo:
- o numerador é a diferença entre os numeradores
- o denominador é o mesmo das frações.
Exemplos:
–
–
b) Os denominadores são diferentes:
Seu João tem um sítio pequeno. Ele reservou
do sítio para horticultura que
foi distribuído da seguinte forma:
Para plantar alface,
para plantar cenoura,
para plantar repolho e o
restante dessa área reservada à horticultura João deixou para plantar tomate.
1) Que fração do sítio foi reservada para o plantio de alface, cenoura e
repolho?
2) Dos
reservados a horticultura quanto restou para o plantio de tomate?
R.1 - A soma
representa a fração reservada para plantar alface e
cenoura e repolho.
Cada grupo recebeu um jogo de quadrados de frações de papel vegetal.
Escolheram os quadrados que representam as frações
sobrepondo um
quadrado sobre o outro se obteve:
Que simplificando é igual a
então
=
do sítio
reservado para horticultura.
– Podem-se adicionar duas ou mais frações com denominadores diferentes,
utilizando a equivalência de frações para transformar e frações de mesmo
22
denominador, não necessariamente o mínimo múltiplo comum, depois se calcula a
soma:
Observou-se também que:
R.2 – A diferença
–
é a fração destinada ao plantio de tomate.
Os alunos separaram os quadrados correspondentes às frações
.
Sobrepondo um quadrado sobre o outro se obtém:
Logo,
-
=
do sítio para o plantio do tomate.
–
Do sítio para plantar tomate.
Observou-se que
Generalizando-se tem:
Como na adição de frações, a subtração pode ser feita usando a
equivalência de frações para transformá-las em frações com denominadores iguais,
depois se calcula a diferença.
Ex: a)
b)
3.9) Multiplicação e divisão de frações
a) MULTIPLICAÇÃO
A bandeira de um time de futebol tem 3 cores, preto, branco e vermelho,
nessa bandeira as cores formam 3 faixas, uma de cada cor, todas do mesmo
tamanho,
da faixa preta foi reservada para desenhar o emblema do time. Que
fração representa a parte onde está o emblema?
Preto
Branco
Vermelho
ab
−cd
=ad − bc
bd
23
Dividindo-se
em 4 partes iguais tem-se:
O inteiro divide-se em 12 partes iguais
da bandeira
De
é igual a
da bandeira.
Igual
Ou seja,
Cada grupo recebeu um jogo de quadrados de frações em papel vegetal
separando os quadrados que representam as frações
e sobrepondo uma figura
sobre a outra se verificou que
de
é igual a
ou seja:
Da bandeira
A situação acima foi reproduzida em seus cadernos.
O produto de duas ou mais frações é uma fração no qual:
- O numerador é o produto dos numeradores.
- O denominador é o produto dos denominadores.
B) DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de frações os grupos trabalharam situações que envolvem as
diferentes ideias relacionadas à divisão:
1ª Situação – Repartir em partes iguais
João e Maria compraram em uma lanchonete
de um bolo e querem dividir em dois
pedaços iguais. Determine a fração que caberá a cada um.
Para resolver essa situação, cada grupo recebeu um jogo de material
concreto, disco de frações. Separaram o disco dividindo em 4 partes iguais e
marcaram cada peça do disco
com lápis, depois observando as outras peças d
jogo de disco de frações, perceberam que
ficou do mesmo tamanho de cada peça
24
que formava o disco dividido em 8 partes iguais. Então
= 2
do bolo. Assim,
tem-se que cada um recebeu
do bolo.
2ª Situação – Quantas vezes o divisor cabe no dividendo.
A) Um agricultor que tem
de “saco” de feijão quer saber quantas embalagens
serão necessárias para embalar esse feijão em pacotes com
de “saco”?!
Com o bloco de frações os alunos fizeram a composição da figura
do bloco
inteiro e depois separaram a peça correspondente a
do bloco. Observaram
que são necessárias 6 peças de
do bloco para fazer à mesma composição
da figura correspondente a ·3 do bloco.
Então
= 6, ou seja,
do bloco cabe 6 vezes na fração
do bloco.
B) Hoje estamos em 30 alunos na sala de aula, calcule
de 30 alunos e, depois
divide esse
e verifique que fração da sala ficará em cada grupo?
Os alunos foram divididos em grupos iguais alunos em cada
grupo. Cada grupo representa
dos alunos da sala. Após essa separação
efetuada fizeram a divisão
por , assim cada grupo foi dividido ao meio,
formando no total 6 grupos com 5 alunos cada um. Verificou-se que
2 é
igual a
dos alunos da sala.
Assim,
÷ =
dos alunos da sala.
Também foi utilizada a ideia que já foi estudada para os números naturais e
que vale também para os números racionais.
Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente
de zero, o quociente permanece o mesmo.
Observe:
= Lembrando que o produto de dois números inversos é igual a 1, tem-
se:
÷
= multiplicando o dividendo e o divisor por
(inverso do divisor) tem-
se:
=
= 6.
25
Obs.: è importante multiplicar o dividendo e o divisor pelo inverso do divisor,
pois nesse casso obtém-se o divisor igual a 1 e, qualquer número dividido por
1 é igual a ele mesmo.
Analisando o as resoluções dos exemplos citados foi possível compreender a
técnica operatória para divisão de frações. Generalizando tem-se:
Ou seja: é igual a “a” x d: b x c ou
.
“Para dividir duas frações multiplica-se a primeira fração pelo inverso da
segunda fração”.
Ex:
=
multiplica-se: o numerador da primeira pelo denominador da
segunda sobre o denominador da primeira pelo numerador da segunda. Assim:
Para a introdução das frações o marco inicial foi contar uma pequena história
sobre o surgimento das frações e seu contexto histórico. Os alunos ficaram
entusiasmados ao verem no projetor holográfico como os povos antigos trabalhavam
com as frações. Não tiveram dificuldades em reconhecer as frações, fazer leitura e
comparação de frações utilizando os materiais concretos: bloco de frações, disco de
frações entre outros. As frações equivalentes foram cuidadosamente trabalhadas,
para que cada grupo e cada aluno dos grupos tivessem a ideia clara do conceito de
frações equivalentes e sua propriedade fundamental. Com a utilização dos
quadrados de frações em papel vegetal, a adição e a subtração e a multiplicação de
frações tornou-se compreensiva e os alunos conseguiram entender suas técnicas
operatórias e foram eles mesmos protagonistas da redescoberta dos algoritmos e
suas regras.
Nas divisões de frações trabalharam-se várias ideias utilizando os materiais
concretos, bloco de frações, disco de frações e outros:
- Quantas vezes o divisor cabe no dividendo
Ex: Quantas vezes
cabe em
·? R. 2
ab
:cd
=ab
xdc
:cd
xdc
=adbc
:dcdc
=adbc
:1=adbc
a
b:
c
d
ad
bc
26
Porém, nem sempre esse tipo de representação permitiu a visualização do
resultado, necessitando buscar outras estratégias.
- Invariância do quociente. Num quociente não se altera quando o dividendo e o
divisor são multiplicados por um mesmo número (diferente de zero) permite obter
uma divisão de frações, uma fração com denominador 1. Os alunos verificaram
através dos materiais concretos e das ideias aplicadas chegaram à interpretação da
divisão, quando lançaram mão da ideia do inverso multiplicativo de um número
racional diferente de zero, dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso.
3.9.1. Resultados obtidos
Para a introdução de frações o marco inicial foi contar uma pequena história
sobre o surgimento das frações em seu contexto histórico. Os alunos ficaram
entusiasmados ao ver data show como os povos antigos trabalhavam com frações.
Não tiveram dificuldades em reconhecer as frações, fazer leitura e
comparação de frações utilizando os materiais concretos: bloco de frações, disco de
frações, quadrado de frações e papel vegetal, entre outros. As frações equivalentes
foram cuidadosamente trabalhadas, para que cada grupo e cada aluno tivessem a
idéia clara do conceito de frações equivalentes e sua propriedade fundamental. Com
utilização dos quadros e frações em papel vegetal, a adição, a subtração e a
multiplicação de frações se tornaram compreensiva e os alunos conseguiram
compreender suas técnicas operatórias e suas regras, tendo o prazer da
redescoberta.
Na divisão de frações utilizou-se o bloco de frações e o disco de frações que
se mostraram mais eficientes e mais compreensíveis para os alunos, em que foram
trabalhadas as diferentes idéias relacionadas à divisão: quantas vezes o divisor cabe
no dividendo; um quociente não se altera quando o dividendo e o divisor são
multiplicados pelo mesmo número diferente de zero (invariância do quociente) em
que se verificou maior aproveitamento e assimilação por parte da maioria dos
alunos. Na comparação dos resultados obtidos no pré-teste com os resultados
obtidos no pós-teste verifica-se que a aprendizagem com essa metodologia se
tornou mais eficiente segundo a tabela em anexo.
27
No grupo de trabalho em redes (GTR) foram realizadas várias discussões
com os participantes de diferentes regiões do Paraná, os quais contribuíram com
ideias que enriqueceram este trabalho.
4- Anexos
4.1 tabela
Questão Núm.alunos Pré –teste
% acertos
Pós-teste
% acertos
1 30 30 67
2 35 70
3 60 65
4 25 80
5 19 58
6 27 55
7 15 70
8 30 65
9 40 65
10 18 73
Questões – Objetivos
1-Reconhecer partes da fração, composição de frações e leitura
2-Identificar a fração e relacionar parte com a unidade
28
3- Identificar em quantas partes foi dividido o inteiro e representá-lo na parte
fracionária
4- Reconhecer equivalência de frações
5- Comparar frações
6,7,8,9,10- Efetuar corretamente as operações básicas de frações
4.2 quadrado de frações
1 meio, 1 quarto 1 oitavo
1 inteiro Meio bloco quarto de bloco oitavo de bloco
4.3-Quadrados de frações em papel vegetal
29
Sobrepondo
4.4 Disco de frações
4.5 Régua de frações
Temos que:
30
5- Considerações finais
A solução para sanar as dificuldades do ensino e da aprendizagem requer
cursos de capacitações específicas em cada conteúdo para os professores, pois só
alimentando o conhecimento é que surgem as novas ideias. A baixa qualidade do
ensino de matemática nas escolas públicas gera uma deficiência na aprendizagem
que sugere repensar urgentemente na qualificação do professor e na importância
que tem a matemática na vida do aluno. Quando as atividades propostas aos alunos
são significativas para o professor, ocorre aprendizagem significativa, em que o
aluno se apropria do conhecimento que se transforma em habilidades adquiridas,
que abre portas para a busca de novos conhecimentos. No ensino das frações
acredita-se que os alunos vão compreender melhor os conceitos se o professor
enfatizar e mantiver o referencial associado à fração de forma mais efetiva, pois no
conceito de fração se fundamenta a idéia de unidade.
Pode-se afirmar que uma aprendizagem matemática nada tem haver com a
memorização de técnicas e regras, e sim capacitá-lo para atribuir significados,
interpretar, equacionar e resolver problemas. Enfim promover o desenvolvimento do
raciocínio lógico.
Conclui-se que a proposta apresentada foi eficiente, pois demonstrou que os
alunos compreenderam os diferentes significados de uma fração em seus diferentes
contextos e desenvolveram autonomia de pensamento que facilitou a definição de
frações equivalentes e sua propriedade fundamental e foram capazes de efetuar as
operações básicas com frações de forma correta e comprrensiva.
31
Espera-se que esse trabalho possa dar subsídios a outros pesquisadores, os
quais possam acrescentar em suas pesquisas novas ideias que facilitem o ensino e
aprendizagem dos números racionais na forma fracionária.
6-REFERENCIAS
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Faculdade de Filosofia e Ciências, Marília.
