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caderno doPROFESSOR
m
a t E m á t
i c a
ensino médio
volume 1 - 20091a
- SÉRiE
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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.Caderno do proessor: matemática, ensino médio - 1a série, volume 1 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, RobertoPerides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-186-4
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II.Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César.VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
CDU: 373.5:51
S239c
GovernadorJos Serra
Vice-GovernadorAlberto Goldman
Secretária da EducaçãoMaria Helena Guimarães de Castro
Secretária-AdjuntaIara Gloria Areias Prado
Chee de GabineteFernando Padula
Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValria de Souza
Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJos Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do InteriorAparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Proessores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofa: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografa: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purifcação Siqueira
e Yassuko HosoumeQuímica: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins eSayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz SanchesNeto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzirada Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora MalletPezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,José Luís Marques López Landeira e João HenriqueNogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, CarlosEduardo de Souza Campos Granja, José LuizPastore Mello, Roberto Perides Moisés, RogérioFerreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo eWalter Spinelli
Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika deFelice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio CarlosCarvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, ElianeYambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, JoséCarlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa PiresTavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto daCunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, SolangeWagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza DesignGráfco e Occy Design (projeto gráfco)
APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento daEducação
CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Ofcial do Estado de São Paulo
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:Antonio Raael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologiasaplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e NormasPedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Reerência em Educação Mario Covas
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Preado(a) proessor(a),
Dando coninidade ao rabalho iniciado em 2008 para aender a ma das
prioridades da área de Edcao nese governo – o ensino de qualidade–, enca-
minhamos a você o maerial preparado para o ano leivo de 2009.
As orienaões aqi conidas incorporaram as sgesões e ases sgeridos
pelos proessores, advindos da experiência e da implemenao da nova pro-
posa em sala de ala no ano passado.
Rearmamos a imporância de se rabalho. O alcance desa mea é concre-iado essencialmene na sala de ala, pelo proessor e pelos alnos.
O Caderno do Proessor oi elaborado por compeenes especialisas na área
de Edcao. Com o coneúdo organiado por disciplina, oerece orienao
para o desenvolvimeno das Siaões de Aprendiagem proposas.
Esperamos qe você aproveie e implemene as orienaões didáico-peda-
gógicas aqi conidas. Esaremos aenos e pronos para esclarecer dúvidas o
dicldades, assim como para promover ases o adapaões qe amenem
a ecácia dese rabalho.
Aqi esá nosso novo desao. Com deerminao e compeência, ceramen-
e iremos vencê-lo!
Conamos com você.
Maa Heea Gmaes e CasSecreária da Edcao do Esado de So Palo
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SuMário
S Pa a esca – uma Ppsa Cca paa Esa 5
Fcha Cae 7
oea gea sbe s Caes 8
Saes e Apeagem 11
Siao de Aprendiagem 1 – Connos nméricos – Reglaridades nméricas e/o geoméricas 11
Siao de Aprendiagem 2 – Progressões ariméicas o progressões geoméricas 22
Siao de Aprendiagem 3 – Soma dos ermos de ma PA o de ma PG nia – aplicaões à Maemáica Financeira 36
Siao de Aprendiagem 4 – Limie da soma dos innios ermos de ma
PG innia 51
Orienaões para Recperao 58
Recrsos para ampliar a perspeciva do proessor e do alnopara a compreenso do ema 59
Cseaes fas 60
Ceús e Maemca p sée/bmese Es Mé 61
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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Preado(a) proessor(a),
É com mia saisao qe apreseno a odos a verso revisa dos Cadernos do
Proessor, pare inegrane da Proposa Crriclar de 5a a 8a séries do Ensino Fn-
damenal – Ciclo II e do Ensino Médio do Esado de So Palo. Esa nova verso
ambém em a sa aoria, ma ve qe incli sas sgesões e críicas, apresenadas
drane a primeira ase de implanao da proposa.Os Cadernos oram lidos, analisados e aplicados, e a nova verso em agora a medida
das práicas de nossas salas de ala. Sabemos qe o maerial caso excelene impaco
na Rede Esadal de Ensino como m odo. No hove discriminao. Críicas e sges-
ões srgiram, mas em nenhm momeno se considero qe os Cadernos no deveriam
ser prodidos. Ao conrário, as indicaões vieram no senido de apereioá-los.
A Proposa Crriclar no oi comnicada como dogma o aceie sem resrio.
Foi vivida nos Cadernos do Proessor e compreendida como m exo repleo de sig-
nicados, mas em consro. Isso provoco ases qe incorporaram as práicas econsideraram os problemas da implanao, por meio de m inenso diálogo sobre o
qe esava sendo proposo.
Os Cadernos dialogaram com se público-alvo e geraram indicaões preciosas
para o processo de ensino-aprendiagem nas escolas e para a Secrearia, qe geren-
cia esse processo.
Esa nova verso considera o “empo de discsso”, ndamenal à implanao
da Proposa Crriclar. Esse “empo” oi compreendido como m momeno único,
gerador de novos signicados e de mdanas de ideias e aides.
Os ases nos Cadernos levaram em cona o apoio a movimenos inovadores, no
conexo das escolas, aposando na possibilidade de desenvolvimeno da aonomia
escolar, com indicaões permanenes sobre a avaliao dos criérios de qalidade da
aprendiagem e de ses reslados.
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Sempre é oporno relembrar qe os Cadernos espelharam-se, de orma obeiva,
na Proposa Crriclar, reerência comm a odas as escolas da Rede Esadal, reve-
lando ma maneira inédia de relacionar eoria e práica e inegrando as disciplinas
e as séries em m proeo inerdisciplinar por meio de m enoqe losóco de Ed-
cao qe deni coneúdos, compeências e habilidades, meodologias, avaliao e
recrsos didáicos.
Esa nova verso dá coninidade ao proeo políico-edcacional do Governo de
So Palo, para cmprir as 10 meas do Plano Esadal de Edcao, e a pare das
aões proposas para a consro de ma escola melhor.
O so dos Cadernos em sala de ala oi m scesso! Eso de parabéns odos os qe
acrediaram na possibilidade de mdar os rmos da escola pública, ransormando-a
em m espao, por excelência, de aprendiagem. O obeivo dos Cadernos sempre será
apoiar os proessores em sas práicas de sala de ala. Posso dier qe esse obeivo oi
alcanado, porqe os docenes da Rede Pública do Esado de So Palo eram dos
Cadernos m insrmeno pedagógico com vida e reslados.
Cono mais ma ve com o ensiasmo e a dedicao de odos os proessores, para
qe possamos marcar a Hisória da Edcao do Esado de So Palo como sendo
ese m período em qe bscamos e consegimos, com scesso, reverer o esigma qe
peso sobre a escola pública nos úlimos anos e oerecer edcao básica de qalidade
a odas as crianas e ovens de nossa Rede. Para nós, da Secrearia, á é possível aneveresse scesso, qe ambém é de vocês.
Bom ano leivo de rabalho a odos!
Maa iês FCoordenadora Geral
Proeo So Palo Fa Escola
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Ficha do caderno
Seqêcas mécas
nm sp: Matemática
Á: Matemática
etp u ás: Ensino Médio
Sé: 1a
Pí tv: 1o bimestre de 2009
Tms tús: Conjuntos numéricos: regularidades numéricas
e/ou geométricas
Progressões aritméticas e progressões geométricas
Soma dos termos de uma PA ou de uma
PG fnita: aplicações à Matemática Financeira
Limitedasomados termosdeumaPGinfnita
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oras. Insisimos, no enano, no ao deqe somene o proessor, em sa circns-
ância pariclar, e levando em considera-
o se ineresse e o dos alnos pelos emas
apresenados, pode deerminar adeqada-
mene qano empo dedicar a cada ma
das nidades.
Ao longo dos Cadernos so apresenadas,
além de ma viso panorâmica do coneúdo
do bimesre, qaro Siaões de Aprendia-gem (1, 2, 3 e 4) qe preendem ilsrar a or-
ma de abordagem sgerida, insrmenando
o proessor para sa ao na sala de ala. As
aividades so independenes e podem ser ex-
ploradas pelos proessores com mais o me-
nos inensidade, segndo se ineresse e de
sa classe. Naralmene, em rao das limi-
aões no espao dos Cadernos, nem odas as
nidades oram conempladas com Siaõesde Aprendiagem, mas a expecaiva é de qe
a orma de abordagem dos emas sea explici-
ada nas aividades oerecidas.
So apresenados, ambém, em cada Ca-
derno, sempre qe possível, maeriais disponí-
veis (exos, sotwares, sites e vídeos, enre o-
ros) em sinonia com a orma de abordagem
proposa, qe podem ser iliados pelo pro-
essor para o enriqecimeno de sas alas.
Compõem o Caderno, ainda, algmas con-
sideraões sobre a avaliao a ser realiada,
bem como o coneúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimeno das compeências
esperadas no presene bimesre.
Os emas escolhidos para compor o coneú-do disciplinar de cada bimesre no se aas-
am, de maneira geral, do qe é salmene
ensinado nas escolas o do qe é apresenado
pelos livros didáicos. As inovaões preen-
didas reerem-se à orma de abordagem dos
mesmos, sgerida ao longo dos Cadernos de
cada m dos bimesres. Em al abordagem,
bsca-se evidenciar os princípios noreadores
do presene crríclo, desacando-se a conex-
aliao dos coneúdos e as compeências
pessoais envolvidas, especialmene as relacio-
nadas com a leira e a escria maemáica,
bem como os elemenos clrais inernos e
exernos à Maemáica.
Em odos os Cadernos, os coneúdos eso
organiados em oio nidades de exensões
aproximadamene igais, qe podem cor-
responder a oio semanas de rabalho leivo.
De acordo com o número de alas disponíveis
por semana, o proessor explorará cada as-
sno com mais o menos aprondameno,
o sea, escolherá ma escala adeqada para
o raameno de cada m deles. A criério do
proessor, em cada siao especíca, o ema
correspondene a ma das nidades pode ser
esendido para mais de ma semana, enqan-
o o de ora nidade pode ser raado de
modo mais simplicado.
É deseável qe o proessor ene conem-
plar odas as oio nidades, ma ve qe,
nas, compõem m panorama do coneúdo
do bimesre, e, mias vees, ma das ni-
dades conribi para a compreenso das
orienTação geral Sobre oS cadernoS
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Ceús bscs bmese
A abordagem dos conceios dese 1o bimes-
re da 1a série, relaivos ao bloco Númerose Seqências, prioriará aspecos conside-
rados ndamenais para a compreenso de
algns dos dierenes signicados dos con-
ceios envolvidos.
O primeiro aspeco do qal preendemos
ressalar a imporância para ese esdo re-
ere-se ao reconhecimeno da reglaridade
envolvida na consro de seqências n-
méricas o de seqências geoméricas. Paraano, propomos qe o início do rabalho se
dê com a reomada das caracerísicas dos
connos nméricos, a m de qe os al-
nos percebam, por m lado, a reglaridade
do conno dos números narais e dos
números ineiros e, por oro, a qeso da
densidade dos números reais. Parindo do
conhecimeno desses connos, esperamos
qe os alnos possam relacionar a regla-
ridade dos números narais à de oras se-
qências nméricas e ambém geoméricas,
idenicando essa reglaridade, sempre qe
possível, por inermédio de ma eqao
maemáica. Para ano, apresenamos, na
Sa e Apeagem 1 – Cjs
mécs; egaaes mécas e/ ge
mécas, ma série de siaões-problema
exemplares, para qe o proessor possa op-
ar pela iliao oal o parcial no iníciode se rabalho.
Parindo do princípio de qe os alnos
devem reconhecer a reglaridade de seqên-
cias nméricas de qalqer narea e es-
crever eqaões maemáicas qe reliam
a reglaridade observada, lgamos impor-
ane qe no seam raadas de maneiras
compleamene disinas as seqências ari-
méicas e as seqências geoméricas, como
se cosma observar nos livros didáicos.
Essa proposa de abordagem simlânea
dos dois ipos mais comns de seqências,
as PAs e as PGs esá conemplada na Sa
e Apeagem 2 – Pgesses amé
cas pgesses gemécas e permie,
ao nosso ver, qe o oco do raameno
conceial se desloqe do ormalismo algé-
brico para a consro do signiicado reale imporane das caracerísicas da regla-
ridade de cada seqência.
Progressões ariméicas o geoméricas
eso presenes em várias siaões conex-
aliadas, conorme algns modelos apre-
senados na Siao de Aprendiagem 2, e
no cosmam raer diicldades adicio-
nais de compreenso para os alnos. Den-
re as inúmeras aplicaões desse coneúdo,desacamos especialmene ma, na Sa
e Apeagem 3 – Sma s ems
e ma PA e ma PG a; apcaes
à Maemca Facea, qando propo-
mos qe problemas clássicos de cálclos
de ros e de monanes envolvidos em
processos de capialiao o amoria-
o componham o conexo possível para
o raameno da soma de m número ini-
o de ermos de ma PA o de ma PG.Para o desenvolvimeno das aividades qe
compõem essa Siao de Aprendiagem,
conorme siicaremos adiane, lgamos
ndamenal qe os alnos possam dispor
de calcladoras.
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10
O conceio de innio, de sma impor-
ância em Maemáica, cosma ser basane
moivador para o esdo de algns concei-
os, desde as séries iniciais, qando os alnosomam conao com a ideia do “mais 1”, qe
cond à consro do campo nmérico
dos narais. A ideia da qanidade inni-
a de números exisene enre dois números
reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo qe
parece inicialmene esranho para nossos
alnos, mas pode, poco a poco, rmar-se
como m conceio ndamenal da Maemáica,
dependendo das dierenes abordagens qedesinamos ao conceio drane oda a es-
colaridade. Nessa perspeciva, iso é, com
o obeivo de qe os esdanes consram,
gradal e lenamene, o conceio de limie
de ma no, no devemos perder opor-
nidades qe sram drane nossas alas
para, de maneira apropriada ao momeno,
abordar a ideia de limie. É nesse conexo
qe propomos a realiao da seqência
de aividades qe compõem a Sa e
Apeagem 4 – lme a sma s f
s ems e ma PG fa, drane a
qal o oco esará sempre colocado sobre o
conceio de limie, em derimeno de dicl-
dades de narea algébrica.
A organiao do rabalho do bimesre,
com base nas consideraões aneriores, pode
ser eia nas oio nidades segines, reeren-
es, aproximadamene, a oio semanas.
Qa gea e ceús 1 bmese a 1a sée Es Mé
uae 1 – Seqências nméricas e/ogeoméricas; idenicao e regisro dareglaridade.
uae 2 – Progressões ariméicas eprogressões geoméricas – ermo geral e
aplicaões.uae 3 – Progressões ariméicas eprogressões geoméricas – ermo geral eaplicaões.
uae 4 – Soma dos ermos de ma PAo de ma PG nia.
uae 5 – Soma dos ermos de ma PA ode ma PG nia – aplicaões à MaemáicaFinanceira.
uae 6 – Soma dos ermos de ma PA o
de ma PG nia – aplicaões à MaemáicaFinanceira.
uae 7 – Limie da soma dos ermos dema PG innia.
uae 8 – Limie da soma dos ermos dema PG innia.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICASE/Ou GEOMÉtRICAS
re paa apca a Sae Apeagem 1
Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro-
vável qe os alnos conheam os connos
nméricos, Narais, Ineiros, Racionaise Reais, e é provável, ambém, qe ragam
consrída a ideia preliminar da relao en-
re dois sbconnos desses connos, co-
nhecimeno ese qe é a base do conceio de
no. Se a premissa é verdadeira, cabe ao
proessor relembrar aos alnos algmas ca-
racerísicas desses connos, com o obeivo
de consrir a base para a apresenao, pos-
erior, das leis de ormao das seqências
nméricas. Caso a premissa no sea verda-
deira, iso é, se os alnos no conhecem com
qalidade os connos nméricos, convém
qe o proessor apresene a eles, ormalmen-
e, cada conno (N, z, Q e R), anes de ini-ciar a aplicao da Eapa 1.
Conhecidos os connos nméricos, os al-
nos podero reconhecer qe, na maioria das
vees, ma seqência ordenada de números
pode ser idenicada por inermédio de ma
senena maemáica qe relaciona m nú-
mero naral a m número real. Essa ideia é
ndamenal para o esdo das relaões de
dependência enre m par de grandeas, o,
em oros ermos, para o esdo das nões.
Nesa Siao de Aprendiagem, explora-
remos, inicialmene, na Etapa 1, a consrção
dos conjnos nméricos e algmas de sas
propriedades. Em segida, apresenaremos
algmas seqências, em qe será possível a
idenifcação de deerminados padrões de re-
glaridades, e pediremos qe os alnos descre-
vam, em línga maerna, a reglaridade qe
idenicam. Isso eio, o próximo passo será pe-
dir qe os alnos enconrem ermos scessivos
dessas seqências, caso elas manenham a reg-
laridade observada. Completando a primeira
temp pevs: 1 semana.
Ceús e emas: connos nméricos; seqências nméricas e/o geoméricas; ermo geral de seqên-cias nméricas.
Cmpeêcas e habaes: ober seqências nméricas a parir do conhecimeno de se ermo geral;ober o ermo geral de ma seqência nmérica a parir da idenicao da reglaridade exisene;reconhecer a exisência o no de padrões de reglaridades em seqências nméricas o geoméricas;
iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrões de seqências nméricaso geoméricas.
Esaégas: resolo de exercícios exemplares.
SituAçõES dE APrEndizAGEM
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12
etapa, os alunos serão convidados a exprimir
a reglaridade observada, por inermédio de
uma sentença matemática.
Realiada a eapa inicial, proporemos, na
Eapa 2, qe os alnos obenham seqências
nméricas a parir de condiões dadas em lín-
ga maerna o em lingagem maemáica e,
ainda, qe obenham ermos deerminados de
algmas dessas seqências.
Eapa 1 – obseva paese egaaes
Inicialmene, recomendamos qe o pro-
essor lise o conno dos números narais
e dos números ineiros para, em segida, pedir
qe ideniqem algns sbconnos descri-
os por inormaões comnicadas em línga
maerna, como, por exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Qais so os elemenos do conno nmé-
rico assim ormado:
a) números narais menores do qe 7.
b) números narais maiores o igais a 8.
c) números ineiros menores do qe 7 e
maiores do qe –2.
) números ineiros co valor absolo émenor do qe 4.
Em segida, após a exposio desses e
de oros exemplos qe o proessor lgar
apropriados, poderá ser pedido qe os alnos
ranscrevam as inormaões comnicadas em
línga maerna para a lingagem maemáica.
No caso dos exemplos aneriores, eríamos:
a) {x ∈ N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
b) {x ∈ N / x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.
c) {x ∈ z / – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4,5, 6}.
) {x ∈ z / |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
Discidos algns casos, como exemplica-
do, recomendamos qe os alnos se envolvam
na resolo dos segines problemas:
Pbema 1
Dados os connos segines, descrios em
lingagem coidiana, enconre, em cada caso,
ses elemenos e rada a descrio dada
para a lingagem maemáica.
a) O conno A é ormado por númerosnarais maiores do qe 4 e menores oigais a 11.
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
b) O conno B é ormado por númerosnarais menores o igais a 6.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
c) O conno C é ormado por númerosineiros maiores o igais a –3 e menoresdo qe 5.
{–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
d) O conjunto D é ormado por números
inteiros maiores ou iguais a –2.
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Problema 2
Quais são os cinco menores números que
pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?
a) E é o conjunto dos números naturais
que são divisíveis por 4.
E = {0, 4, 8, 12, 16}.
b) F é o conjunto dos números naturais
ímpares maiores do que 7.
F = {9, 11, 13, 15, 17}.
c) G é o conjunto dos números inteiros
que, elevados ao quadrado, resultam em
um número menor do que 10.
G = { –3, –2, –1, 0, 1}.
d) H é o conjunto dos números naturais que,
quando dobrados e somados a 1, resul-
tam em um número maior do que 7.
H = {4, 5, 6, 7, 8}.
Após a resolução desses e de outros proble-
mas de mesma natureza, convém questionar
os alunos sobre como descrever, em linguagem
matemática, os conjuntos E, F, G e H do Pro-
blema 2. O desafo pode ser lançado aos alu-
nos a fm de que seja verifcada a compreensão
que podem ou não ter conseguido da atividade.
Embora possam ser aceitas dierentes respostas,
caberá ao proessor avaliar aquelas que apre-
sentam maior grau de correção, valorizando-
as. De qualquer maneira, apresentamos, a
seguir, possíveis respostas corretas.
E = {4n, sendo n ∈N, e n < 5}.
F = {2n + 1, sendo n ∈N, e 4 ≤ n ≤ 8}.
G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}.
H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈N, e n < 9}.
A resolução e a discussão desses problemas
iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir
a notação apropriada para a designação de
termos de uma sequência numérica. Todavia,
antes que isso seja implementado (o que será
eito na Etapa 2), consideramos importante
que os alunos se detenham um pouco mais
na identifcação das regularidades de algu-
mas sequências.
A sequência dos números naturais é
construída, como sabemos, pelo acréscimode uma unidade a um termo já conhecido.
A fm de proporcionar aos alunos a oportu-
nidade de observar regularidades e perceber
que, muitas vezes, é possível construir uma
“receita” ou uma sentença que indique como
a sequência deve continuar, o proessor pode
apresentar tipos dierentes de sequências
para que os alunos observem as proprieda-
des de seus elementos e descubram a lei de
ormação, ou seja, o padrão utilizado para a
construção da sequência. Oriente-os a cons-
truir uma sentença algébrica que permita
calcular um termo qualquer, em unção de
sua posição na sequência (sequências, sob o
ponto de vista uncional).
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14
Assim, ma possível abordagem desse ema
pode iniciar-se com a proposio de qesões
qe envolvam seqências repeiivas o no,
soliciando do esdane qe observe o padrode cada ma, escreva os próximos ermos e
deermine, por exemplo, o cenésimo ermo
da seqência.
1, 1, 1, 1, 1, ..., ..., ...f
1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...f
5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ...f
É imporane qe o proessor axilie os al-
nos na observao de qe, nessas seqências,
os moivos (períodos) so repeidos igalmen-
e – m elemeno o m grpo de elemenos
se repee periodicamene –, levando-os a per-
ceber qe essa caracerísica deve ser levada
em cona, na organiao dos dados, para a
idenicao do ermo soliciado.
As seqências grais ambém podem en-
riqecer o rabalho com a observao de re-
glaridades e generaliao de padrões. No
caso da seqência abaixo, o proessor pode,
por exemplo, soliciar qe o alno indiqe a
gra qe deve ocpar a 152a posio.
1 2 3 4
5 6 7 8
Para ano, o alno deverá perceber qe a
séima gra é igal à primeira, a oiava gra
é igal à segnda e assim por diane. O sea,
cada período é ormado por seis gras; por-ano, a 152a gra será igal à segnda, pois
ano o número 2 (qe indica a posio da se-
gnda gra) qano o número 152 (qe indica
a posio da 152a gra), qando divididos por
6, deixam reso 2.
Assim, o proessor poderá axiliar os al-
nos na conclso de qe as Figras 1, 7, 13,
19, ec. so odas igais à primeira gra, pois
os números 1, 7, 13, 19, ec., qando dividi-dos por 6, deixam reso 1. Do mesmo modo,
as Figras 3, 9, 15, 21, ec. so odas igais
à Figra 3, pois os números 3, 9, 15, 21, ec.,
qando divididos por 6, deixam reso 3 e as-
sim scessivamene.
A explorao de seqências repeiivas, n-
méricas o no, avorece a discsso sobre al-
gmas noões rabalhadas nas séries aneriores,
como múliplos, divisores e regras de divisibili-dade, e permie ma aproximao da noo de
congrência, ma ve qe rabalha com núme-
ros qe, divididos por m deerminado número
ineiro, apresenam o mesmo reso.
Realiada a discsso do exemplo propos-
o e de oros qe o proessor lgar apro-
priados, propomos qe os alnos resolvam os
segines problemas:
Pbema 3
Observe a seqência de gras:
1 2 3 4 5 6 7
...
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Supondo que a lei de ormação continue a
mesma, desenhe as guras que deverão ocu-
par as posições 38a e 149a, nessa sequência.
Justique sua resposta.
A fgura que ocupa a posição 38 será a
mesma fgura da posição 2, pois a divisão
de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a
posição 149 será a mesma da posição 1, visto
que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.
Problema 4
Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça
a lei de ormação dessa sequência, determine
o 38o e o 149o termos dessa sequência.
O período é de cinco números. Assim, o
38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa
resto 3, e o terceiro termo da sequência é o
número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a
divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto
termo da sequência é o número 3.
Problema 5
Hoje é quarta-eira. Devo pagar uma dívi-
da exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da
semana cairá o 90o dia?
O período é de sete dias. A divisão de 90
por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será
o sexto elemento da sequência dos dias da
semana iniciada na quinta-eira. Logo, o
90o dia será terça-eira.
Problema 6
Um processo de reforestamento previa
a plantação de um número x de mudas de
árvores. No primeiro dia, oram plantadas
120 árvores, e planejou-se que, nos próximos
dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores
a mais do que teria sido plantado no dia ante-
rior. Isso sendo eito,
a) quantas árvores serão plantadas no séti-
mo dia?
6 . 10 + 120 = 180 árvores.
b) qual é o número x, se, no nal do déci-
mo dia, havia-se plantado a metade do
total previsto inicialmente?
No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210⇒S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210
S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)
Total de árvores = 1 650 . 2
x = 3300
Problema 7
Observe os seis primeiros termos de
uma sequência.
1 2 3 4
A
B
C
D
(I)
1 2 3 4
A
B
C
D
(II)
1 2 3 4
A
B
C
D
(III)
1 2 3 4
A
B
C
D
(IV)
1 2 3 4
A
B
C
D
(VI)
1 2 3 4
A
B
C
D
(V)
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16
Spondo qe a reglaridade observada na
ormao desses ermos sea manida para a
ormao dos demais, iso é, qe o ermo (I)
sea igal ao ermo (VII), qe o ermo (II) seaigal ao ermo (VIII) e assim por diane,
a) qais qadríclas esaro pinadas noermo (XXX)?
O período da sequência é de seis termos. A
divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim,
o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e
nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3,
D3 e D4.
b) qanas vees a qadrícla B2 erá sidopinada, desde o ermo (I) aé o ermo(XIX)?
A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada
período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o
termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos
e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2
será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.
Proessor, ma práica qe cosma mo-ivar os alnos e aproveiar, de orma maisinensa, ses conhecimenos aneriores ésoliciar-lhes qe, com base nas condiõesdesse problema, criem diversas qesões,para qe seam rocadas e resolvidas poreles mesmos, sob sa sperviso. Além dis-
so, esse ipo de aividade é m consiseneinsrmeno no esímlo à meacognio,iso é, esimla cada alno a refeir sobrecomo elabora e mobilia sas esraégias deraciocínio drane ma eapa de resolode problemas.
Eapa 2 – Seqêcas efas pseeas maemcas
Nesa eapa, os alnos sero convidados aober seqências nméricas a parir de condi-
ões denidas, inicialmene, na línga maerna
e, poseriormene, na lingagem maemáica.
Além disso, desenhando m percrso inverso
ao anerior, ma série de problemas será pro-
posa para qe os alnos obenham a expres-
so do ermo geral de deerminada seqência
nmérica. Propomos qe o exemplo segine
sea apresenado e discido com os alnos
anes qe eles se envolvam com a resolo
dos problemas propriamene dia.
Em ma seqência nmérica, o primeiro
ermo é ma rao de nmerador 1 e deno-
minador 4. Os ermos segines ao primeiro
podem ser obidos adicionando sempre ma
nidade ao nmerador e ao denominador da
rao do ermo imediaamene anerior.
a) Qais so os cinco primeiros ermosdessa seqência?
1
4 ,2
5 ,3
6 ,4
7 ,5
8.
b) Chamando o primeiro ermo de a1, o
segndo ermo de a2, o erceiro de a
3e
assim por diane, qano é a9?
9
12 .
c) Qano é a54
?
54
57 .
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
) Como se pode deerminar m ermo an
qalqer?
Um termo qualquer an
é uma ração em que
o numerador é igual a n e o denominador é 3
unidades a mais do que n, isto é, é igual a
n + 3. Assim, an
= n
n + 3.
Chamamos a aeno do proessor para
o ao de qe o conno de problemas desa
eapa envolve seqências nméricas de várias
nareas, e no apenas as ariméicas e as geo-
méricas, e ambém para a necessidade de os
alnos escreverem em línga maerna a reg-laridade expressa na lingagem maemáica.
Pbema 1
Em ma seqência nmérica, o primeiro
ermo é igal a 2, e os segines so obidos
a parir do acréscimo de 3 nidades ao ermo
imediaamene anerior. Nessa seqência:
a) qais so os cinco primeiros ermos?
(2, 5, 8, 11, 14).
b) qal é o a10
?
(29).
c) qal é o a20
?
(59).
) como se pode deerminar m ermo an
qalqer?
Somando o termo inicial, 2, a um certo
número de termos sempre iguais a 3. Para
obter um termo n qualquer, devemos somar o
primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a
3. Assim, an
= 2 + 3 . (n – 1) = 3 . n – 1.
Outro raciocínio possível é o seguinte: como
o salto de um termo a outro é constante e
igual a 3, podemos supor que uma expressão
geral deva conter o termo 3 . n. Para que
a1
= 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3 . n.
Assim, an
= 3 . n – 1.
Pbema 2
Para ober os ermos de ma seqência n-
mérica, é necessário aer o segine:
1. Elevar a posio do ermo ao qadrado,
iso é, calclar 12 para o primeiro ermo,22 para o segndo ermo, 32 para o erceiro
ermo e assim por diane.
2. Adicionar das nidades ao reslado ob-
ido após elevar ao qadrado a posio
do ermo.
Para essa seqência nmérica:
a) qais so os cinco primeiros ermos?
(3, 6, 11, 18, 27).
b) qal é o oiavo ermo?
a8
= 8 2 + 2 = 66.
c) qal é o a20
?
a 20
= 20 2 + 2 = 402.
) como se pode deerminar m ermo an
qalqer?
an
= n 2 + 2.
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18
Pbema 3
Observe os cinco primeiros ermos da se-
gine seqência nmérica:3, 2,
5
3,
3
2,
7
5.
Veriqe qe é possível deerminar os er-
mos dessa seqência a parir da expresso
an
=n 2
n,
+aribindo a valores narais
maiores do qe ero.
Para n = 1 ⇒ a1
=1 + 2
1
= 3;
Para n = 2 ⇒ a 2
= 2 + 2
2= 2;
Para n = 3 ⇒ a3
=3 + 2
3=
5
3.
Pbema 4
A expresso an
=n 1
n 1
–
+é a expresso do
em gea de ma seqência nmérica, iso é,os ermos da seqência podem ser obidos, se
orem aribídos a valores narais maiores
do qe ero. Para essa seqência, enconre:
a) a1
a1
=1 – 1
1 + 1= 0.
b) a5
a5
=5 – 1
5 + 1=
4
6=
2
3.
c) o oiavo ermo
a8
=8 – 1
8 + 1=
7
9.
) a posio do ermo qe é igal a9
11.
O termo 911
pode ser escrito como 1 0 – 11 0 + 1
.
Portanto, ele é o décimo termo.
Pbema 5
uma deerminada seqência nmérica em
a1
= 9, a2
= 3, a3
= 1 e a4
=1
3. Nessa seqência,
qal é:
a) o qino ermo?
Cada termo da sequência, a partir do
segundo, é obtido pela divisão do anterior
por 3. Assim, o quinto termo será igual a
1
3÷ 3 =
1
9.
b) o a6?
a6
= a5
÷ 3 =1
9÷ 3 =
1
27 .
c) a posio do ermo qe é igal a1
81?
Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e1
27 é o sexto
termo,1
81é o sétimo termo.
Pbema 6
Qal das das expressões lisadas a segir
é a expresso do ermo geral da seqência do
exercício anerior? (Lembre-se qe é o nú-
mero qe dá a posio do ermo na seqência,
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5,
emos o qino ermo e assim por diane.)
an =9
3n an = 33 – n
O termo geral da sequência é an
= 33 – n, que
poderá ser verifcado a partir da substituição
de n por números naturais maiores do
que zero.
Pbema 7
A seqência dos números pares posiivos é
esa: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...Nessa seqência:
a) qal é o décimo ermo?
O décimo termo é 18.
b) qal é o 15o ermo?
O 15o termo é 28.
c) qal é o a35?
a35
= 68.
) qal é o a101
?
a101
= 200.
e) qal é a posio do ermo qe é igal a420?
420 é o 211o termo.
) como se pode deerminar m ermo an
qalqer?
Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número
natural maior do que zero.
Pbema 8
Escreva os cinco primeiros ermos da seqên-
cia dos números ímpares posiivos.
1, 3, 5, 7, 9...
Nessa seqência:
a) qal é o décimo ermo?
a10
= 19.
b) qal é o a13
?
a13
= 25.
c) qal é o a25
?
a 25
= 49.
) como se pode deerminar m ermo an
qalqer?
Fazendo 2 . n – 1, em que n é um número
natural maior do que zero.
Pbema 9
Observe a seqência nmérica 1, 4, 9, 16,
25, ... Nessa seqência, qal é:
a) o sexo ermo?
O sexto termo é 6 2 = 36.
b) o a7?
a7
= 7 2 = 49.
c) a expresso de se ermo geral?
an
= n 2.
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20
Pbema 10
uma seqência nmérica é dada pelo se-
gine ermo geral:
an
= n + 1
Para essa seqência, deermine:
a) os cinco primeiros ermos.
2 3 2 5 6, , , , .
b) os cinco primeiros ermos qe seam nú-meros ineiros.
Os cinco primeiros termos representados
por números inteiros serão aqueles em que o
radicando é um quadrado pereito.
a3
= 2 a8
= 3 a15
= 4 a 24
= 5 a35
= 6
Pbema 11
Observe a seqência de gras.
Responda:
a) Qanos qadrinhos brancos deverá era sexa gra dessa seqência?
30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.
b) Escreva ma órmla qe permia cal-clar a qanidade de qadrinhos bran-cos, em no da posio n da gra
na seqência. (Sgeso: você pode or-ganiar os dados em ma abela como aqe sege.)
c) Qanos qadrinhos brancos deverá era 39a gra dessa seqência?
39² – 39 = 1 482 = 39 . 38.
Pbema 12
A segir, eso os primeiros elemenos de
ma seqência de gras qe represenam os
chamados números qadranglares. Analise-os e responda às qesões proposas.
1 2 3 4 5
a) Qanos qadrinhos deverá er o sexoelemeno dessa seqência? E o décimo
ermo?
36; 100.
b) Escreva a expresso do ermo geral des-sa seqência.
n².
Ps afga aseqêca
núme eqahs
pes
núme e qa hs bacs
1 1 0
2 2 2² – 2
3 3 3² – 3
4 4 4² – 4
n n n² – n = n . (n – 1)
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Pbema 13
Observe a gra:
1 3 5 7 9
Nessa represenao, os números escrios
logo abaixo da gra indicam a qanidade
de qadrinhos de cada m desses connos.
Sendo assim, responda:
a) qal é a soma dos números escriosabaixo da qina gra?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
b) qe relao pode ser esabelecida enreesse reslado e a gra analisada?
A soma dos números escritos abaixo da fgura
é igual ao total de quadrinhos que ormam a
fgura. Os números escritos abaixo da fgura
são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua
soma é 25. O total de quadrinhos da fgura
é 5² = 25.
c) ilie os reslados de sas observaõespara deerminar, sem eear a adio,o reslado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 + 15.
8² = 64.
Pbema 14
Observe as linhas compleas da abela e
complee as qe esiverem em branco.
A desc
1 + 3 = 4 = 2²
A soma dos doisprimeiros númerosímpares é igal aoqadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
A soma dos rêsprimeiros númerosímpares é igal ao
qadrado de 3.
1 + 3 + 5 + 7 =16 = 4²
A soma dos quatro
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =25 = 5²
A soma dos cinco
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ 2 . n – 1 +...= n²
A soma dos n
primeiros númerosímpares é igual a n 2.
Cseaes sbe a avaa
A Siao de Aprendiagem 1 abordo a
reglaridade nmérica, e ambém geomérica,
observada em algmas seqências. Além dis-
so, inrodi a ideia de qe é possível ober
ma seqência nmérica a parir de ma re-
lao maemáica esabelecida enre m con-
no discreo (narais) e m conno de
qalqer narea. So esses, pois, os elemen-
os imporanes a serem avaliados. Para ano,
sgerimos qe o proessor elabore momenos
de avaliao qe conemplem:
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22
a obeno de ermos de maiores ordens def
ma seqência, a parir do conhecimeno
dos primeiros ermos;
a deerminao do ermo geral de seqên-f
cias nméricas, desde qe esses ermos ge-
rais se baseiem em expressões conhecidas
pelos alnos, como, por exemplo, expres-
sões do ipo a . x + b o a . x2 + b.
Salienamos, ambém, a imporância de
qe as avaliaões no se resrinam a siaões
individais. Em algns momenos, pode-se
conemplar a possibilidade de qe os alnos
conslem se maerial de ala e, em oros,
ses colegas de grpo. Desacamos, por m,o ao de qe m rabalho com caracerís-
icas essencialmene indivas, como é o
caso dos emas desenvolvidos nese Cader-
no, esimla sobremaneira a discsso e a
omada de decisões, sicando, dessa or-
ma, a inclso de insrmenos de avaliao
no individais.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2PROGRESSÕES ARItMÉtICAS Ou PROGRESSÕES
GEOMÉtRICAS
temp pevs: 2 semanas.
Ceús e emas: progressões ariméicas e progressões geoméricas; expresso do ermo geral da PA
e da PG.
Cmpeêcas e habaes: reconhecer o padro de reglaridade de ma seqência ariméica o dema seqência geomérica; iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrõesde seqências nméricas.
Esaégas: resolo de exercícios exemplares.
re paa apca a Sae Apeagem 2
As sequências aritméticas ou geométricas
so basane esdadas, no Ensino Médio,
por vários moivos, sendo m deles a poca
exigência algébrica, e oro moivo a acili-
dade de padroniar os conceios por iner-
médio de órmlas maemáicas.
A baixa exigência algébrica envolvida, es-
pecialmene no esdo das PAs, deve ser, de
ao, valoriada, em derimeno de exercícios
sem qalqer conexo, qe exiam a escria
de eqaões complexas. Enaiamos, poran-
o, qe se prioriem o desenvolvimeno dos
coneúdos e a apresenao de siaões-pro-
blema, sob o prisma do reconhecimeno da
reglaridade da seqência e da generaliao
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
iniiva do ermo geral, colocando em se-
gndo plano, porano, a simples sbsii-
o de valores em órmlas decoradas.
Oro aspeco qe merece comenário é o
ao de qe, em geral, as PAs e as PGs so
raadas de modo independene, ma a cada
empo, e, em primeiro lgar, sempre vêm as
PAs e, depois, as PGs.
No enano, vale desacar o ao de qe
o raciocínio principal envolvido em m
o em oro ipo de seqência é o mesmo,
o sea, m valor consane é o passo qepermie ober m ermo a parir do ane-
rior. O ao de qe, em m caso, esse passo
é adicionado, enqano, no oro, é ml-
iplicado é algo qe compõe o raciocínio
secndário do esdo, co reconhecimen-
o no cosma raer qalqer diicldade
adicional aos alnos.
Dessa orma, apresenaremos, a segir,
ma série de problemas exemplares, com-posos, em algns casos, por PA, em o-
ros, por PG e, em oras siaões, pelos
dois ipos de seqências. Sgerimos qe
seam proposos aos alnos na ordem em
qe aparecem.
O Problema 1 pode er a resolo solicia-
da sem nenhm comenário prévio. Drane
os comenários da correo, o proessor pode-
rá valoriar as diversas maneiras de resoloqe evenalmene srgirem. um ipo de re-
solo imporane, qe poderá ser levanado
pelo proessor, caso no sra dos alnos, é
aqele qe considera o passo de cada seqência
como parcela o aor consane no momeno
da escria da expresso do ermo geral da
seqência. Por exemplo, no caso da seqên-
cia (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo consane
é 4, qe, adicionado a cada ermo, permie qese obenha o segine. Nesse caso, a expresso
do ermo geral deverá coner, necessariamen-
e, m ermo do ipo 4 . . Compreendido isso,
pode-se pensar da segine maneira:
Esse mesmo ipo de raciocínio pode ser
aplicado na deerminao do ermo geral dema PG. Na seqência (2, 6, 18, 54, ...), por
exemplo, o passo consane é 3, qe, qando
mliplicado a algm ermo, resla no ermo
imediaamene segine. Assim, se sempre se
mliplica por 3, o ermo geral da seqência
Para n = 1, o reslado deve ser igal
a 5, qe é o primeiro ermo da seqên-cia. No enano, ao aer 4 . n o 4 . 1, o
reslado obido é 4. Sendo assim, ainda
ala ma nidade para ser obido o pri-
meiro ermo. Logo, o ermo geral pode
ser ese:
an
= 4 . n + 1
tesando essa expresso para oros
termos, verifcamos que ela é válida, pois:
a2= 4 . 2 + 1 = 9
a3
= 4 . 3 + 1 = 13
Logo, o ermo geral da seqência é
mesmo an
= 4 . n + 1.
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24
deve coner 3. A parir do enendimeno des-
sa reglaridade, pode-se pensar qe:
Para n = 1, o reslado deve ser igal
a 2, qe é o primeiro ermo da seqência.
No enano, ao aer 3n o 31, obemos 3,
e no 2. Logo, deve haver mais m aor
na expresso, a m de qe o reslado
esperado sea obido. Esse aor é2
3,
pois 3 .2
3= 2. Eno, o ermo geral da
seqência deve ser ese:
an
= 23
. 3n
tesando essa expresso para oros
ermos, vericamos qe ela é válida, pois:
a2
=2
3. 32 =
18
3= 6
a3
=2
3. 33 =
54
3= 18
Logo, o ermo geral da seqência
é mesmo an
2
3. 3n, qe, simplicando,
pode ser escrio an
= 2 . 3n – 1.
oro ipo de raciocínio, nem mesmo esse qe
descrevemos há poco. Caberá a cada alno
escolher o raciocínio qe considera mais ade-
qado, e caberá ao proessor discir odos osraciocínios qe srgirem, apresenando prós
e conras de cada m, no senido de ornecer
elemenos para qe os alnos possam renar
sas esraégias iniciais.
Pbema 1
Considere as seqências de (I) a (VI) para
responder às qesões proposas.(i) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
(ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)
(iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)
(iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)
(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)
(Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...)
a) Escreva os rês ermos segines de cadama dessas seqências.
(I) 15, 18, 21.
(II) 16, 19, 22.
(III) 17, 20, 23.
(IV) 64, –128, 256.
(V) 1,0; 1,2; 1,4.
(VI) 1 024, 4 096, 16 384.
b) É verdade qe o algarismo 8 no apa-rece em nenhm número da seqência(II)? jsiqe.
Não, pois o algarismo 8 aparece no termo
28, que é o décimo termo da sequência.
É esperado, nessa Siao, qe algns
alnos adoem procedimeno semelhane ao
adoado para a PA, iso é, aer 3n e, em segi-
da, sbrair ma nidade, a m de qe 31 – 1
coincida com o primeiro ermo da seqência.
Nesse caso, caberá ao proessor pedir qe osalnos apliqem a “órmla” obida para os
demais ermos da seqência, qando, eno,
percebero o eqívoco do raciocínio adoado.
Salienamos, novamene, qe no é con-
veniene ormalizar a adoção de m o
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
c) É possível que um mesmo número natu-ral apareça em duas das três primeirassequências? Justifque.
Não, pois a sequência (I) é formada
apenas por números que, divididos por
3, deixam resto zero; a sequência (II) é
formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é
formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 2. Como a divisão
por um número natural diferente de zero
(divisão euclidiana) não pode apresentardois restos distintos, não é possível que
um mesmo número apareça em duas
dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo de qual(is)sequência(s)?
O número 1 087 é um termo da sequência
(II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa
resto 1, e é também elemento da sequência
(V), uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) Mostre que o número 137 não pertenceà sequência (II).
A sequência (II) é formada apenas por
números que, divididos por 3, deixam resto
1. Logo, o 137 não é termo da sequência
(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa
resto 2.
f) Escreva o termo geral da sequência (I).
an
= 3 .(n – 1), n ∈N*.
g) Escreva o termo geral da sequência
(II).
an
= 3 . n – 2, n ∈N*.
h) Escreva o termo geral da sequência
(III).
an
= 3 . n – 1, n ∈N*.
i) Escreva o termo geral da sequência
(IV).
an
= (– 2)n, n ∈N*.
j) Escreva o termo geral da sequência
(V).
an
= 0,2 . n, n ∈N*.
k) Escreva o termo geral da sequência
(VI).
an
= 4n ÷ 4, n ∈N*.
l) Escolha um critério, justifcando-o, e se-pare as seis sequências em dois grupos.
Espera-se, neste item, que os alunos percebam
que há, entre as sequências apresentadas,
algumas em que o passo constante é somado
a cada termo e outras em que o passo
constante é multiplicado a cada termo.
Todavia, poderão aparecer outros critérios, e
o professor deverá estar atento para valorizar
os critérios surgidos, mas, também, enfatizar
a importância do reconhecimento do passo
constante das sequências, seja ele somado ou
multiplicado.
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26
Pbema 2
Sabe-se qe as Olimpíadas, a Copa do
Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem deqaro em qaro anos. Se essas compeiões
ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, res-
pecivamene, e considerando qe coninem
a aconecer, segndo essa regra, por mio
empo, responda:
a) Qal compeio ocorrerá em 2118? Eem 2079 e 2017?
As Olimpíadas acontecem em anos emque sua divisão por 4 deixa resto zero, a
Copa acontece em anos em que sua
divisão por 4 deixa resto 2, e os Jogos
Pan-americanos acontecem em anos em
que sua divisão por 4 deixa resto 3.
Assim, em 2118 aconteceria a Copa do
Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam
os Jogos Pan-americanos (resto 3), e em
2017 não aconteceria nenhuma dessas três
competições (resto 1).
b) Haverá algm ano em qe ocorrerámais de ma dessas rês compeiões?Expliqe.
Não é possível, pois qualquer número dividido
por 4 deixa um, e apenas um, desses restos:
zero, 1, 2 ou 3.
Pbema 3uma deerminada seqência nmérica
respeia a segine condio: a dierena en-
re dois ermos consecivos é sempre a mes-
ma e igal a 6. Se o primeiro ermo dessa
seqência é –8,
a) qais so os cinco primeiros ermos?
(–8, –2, 4, 10, 16...).
b) qal é o a9?
40.
c) qal é o 15o ermo?
76.
) qal é o 20o ermo?
106.
e) qano é a dierena enre a12
e a5?
42.
) qal é a expresso de se ermo geral,
iso é, qal é a ormla maemáica qerelaciona m ermo qalqer (an) à po-
sio do ermo (n)?
an
= 6 . n – 14.
Pbema 4
O primeiro ermo de ma seqência nmé-
rica é 0,02, e, para ober os ermos segines,
basa mliplicar o ermo imediaamene an-erior por 5. Dessa orma, qal é:
a) o segndo ermo?
0,1.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
b) o a3?
0,5.
c) o a4?
2,5.
) o reslado da diviso enre a6
e a4?
25.
e) o ermo geral da seqência, iso é, qalé a ormla maemáica qe relacionam ermo qalqer (a
n) à posio do
ermo (n)?
an
= 0,02 . 5n – 1.
A resolo dos exercícios aneriores oi,
de cera orma, preparaória para a carace-
riao das PAs e das PGs. Finaliada essa
eapa, o proessor poderá denir progresso
ariméica e progresso geomérica a parir dema discsso com ses alnos, idenicando,
denre as seqências á esdadas, aqelas qe
aendem a cada denio dada.
Compreendido o signicado de ma pro-
gresso ariméica, o alno será capa de
conclir qe, parindo do primeiro ermo,
para avanar m ermo na seqência, deverá
adicionar o “passo”, o rao “r”, ma ve,
iso é, a2
= a1
+ r; da mesma orma, para
avanar dois ermos, deverá adicionar 2 . r ao
primeiro ermo, obendo a3
= a1
+ 2 . r. Por
esse processo, espera-se qe o alno reco-
nhea qe, para ober o 20o elemeno, deverá
adicionar 19 . r ao primeiro ermo e escreverá:
a20
= a1
+ 19 . r, e assim scessivamene. Esse
raciocínio avorecerá a consro, por pare
do alno, da órmla do ermo geral da PA,
qe é dada por an = a1 + (n – 1) . r.
Além disso, essa compreenso permii-
rá qe o alno noe qe, para “passar” de a4
para a11
, deverá avanar see ermos, o sea,
para ober o ermo a11
a parir do ermo a4,
deverá adicionar 7 . r ao ermo a4
e escreverá:
a11
= a4
+ 7 . r. Da mesma orma, poderá es-
crever a4
= a11
– 7 . r, pois, para “passar” de a11
para a4, deve “reroceder” see ermos.
De orma análoga, as progressões geoméri-
cas êm a si associado o signicado de qe, co-
nhecidos o primeiro ermo e o passo, o rao
“q”, é possível deerminar qalqer ermo da
seqência a parir da mliplicao do primei-
ro ermo pela rao m deerminado número
de vees. Assim, se o alno compreender qe
a2
= a1. q, qe a
3= a
1. q2, e assim por dian-
e, compreenderá, ambém, qe an
= a1. qn – 1
e, generaliando, qe an
= ak. qn – k.
Desacamos, novamene, a imporância
de valoriar o raciocínio dos alnos na ob-
tenção do termo geral de uma PA ou de uma
PG, em derimeno de amarrar a resolo
dos problemas à utilização das órmulas ob-
idas. O proessor deverá esar aeno para
a observao das esraégias de resolões
dos alnos, a im de disingir aqeles qe
ilizam órmlas pronas como m mero
aalho para a aplicação do conceio qe
já dominam, e, porano,podem ser esi-
mlados nessa posra, ainda dos alnos
qe, sem erem aingido a compreenso de-
sejada, bscam adapar as condições dos
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28
problemas às fórmulas, como se pergun-
tassem a si próprios, todo o tempo: “Qual
órmula eu uso agora?”. Casos dessa natu-
reza certamente merecerão maior atenção
do proessor.
É importante que o proessor também ex-plore o seguinte ato: cada termo de uma PG,a partir do segundo, é a média geométrica en-tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo aseguir serve como ilustração:
Após a discussão dos problemas ante-riores e das expressões do termo geral dasPAs e das PGs, o proessor poderá pedirque os alunos resolvam alguns problemasexemplares.
Problema 5
Considere que uma progressão aritméticaé uma sequência (a
1, a
2, a
3, ... a
n, ...) de números
an, em que a dierença entre cada termo a
n + 1
e seu antecedente an
é uma constante. Essadierença constante é chamada razão da pro-gressão aritmética e é representada por r.Assim, em uma progressão aritmética de ra-zão r, temos: a
n + 1– a
n= r, para todo n na-
tural, n ≥ 1. De acordo com essa defnição,indique quais das sequências que se seguemsão progressões aritméticas. Em caso afrma-tivo, determine a razão.
a) (2, 5, 8, 11, ...).
b) (2, 3, 5, 8, ...).
Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média
geométrica de 8 e 32, pois 16 8 32= . .
c) (7, 3, –1, –5, ...).
d)
1
4 3
1
4 32
3 ,
2
3 ,
2
3 ,
2
3 , ... .
e) – 3
2, –1, –
1
2, 0, ...
1 4 3
1 4 3.
f) 6, 2, 2
3,
2
9, ...
1 4 3
1 4 3.
São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);
c) (razão –4); d) (razão: 0); e) (razão:1
2).
Problema 6
Considere as sequências dadas por seus
termos gerais:
I) an
= 4 . n + 1, com n ∈N, n ≥ 1;
II) an
= 4 . n2 + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
III) a1
= 2 e an
= an – 1
. 3, com n ∈N, n ≥ 2;
IV) a1
= 2 e an
= an – 1
+ 3, com n∈N, n≥ 2.
Obtenha os cinco primeiros termos de cada
uma dessas sequências e destaque a razão da-
quelas que orem progressões aritméticas.
I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.
III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.
São PAs as seguintes sequências: (I), com
razão = 4, e (IV), com razão = 3.
Problema 7
Considere que uma progressão geométrica
é uma sequência (a1, a
2, a
3,... a
n, ...), em que
cada termo an, a partir do segundo, é obtido
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
pela multiplicação de seu antecedente an – 1
por
uma constante dierente de zero.
De acordo com essa defnição, quais dassequências abaixo são progressões geométri-
cas? Justifque sua resposta.
I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);
III)
1 4 3
1 4 336, 12, 4,
4
3, ... ; IV) (1, –2, 4, –8 ...);
V)
1 4 3
1 4 33,
8
3,
7
3, 2, ... ; IV) ( , , , , ...)2 2 2 2 4
São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão
1
3 ;
(IV), de razão –2; (VI), de razão 2 .
Problema 8
Considere as sequências:
I) an
= 3 . n + 1, com n ∈N, n ≥ 1;
II) an
= 3 . n2 – 1, com n ∈N, n ≥ 1;
III) an
= 3 . n, com n ∈N, n ≥ 1;
IV) a1
= 3 e an
= an – 1
. 2, com n ∈N, n ≥ 2;
V) a1
= 3 e an
= an – 1
+ 2, com n ∈N, n ≥ 2;
Determine os cinco primeiros termos de
cada sequência e destaque a razão daquelas
que orem progressões geométricas ou pro-
gressões aritméticas.
I) 4, 7, 10, 13, 16.
II) 2, 11, 26, 47, 74.
III) 3, 6, 9, 12, 15.
IV) 3, 6, 12, 24, 48.
V) 3, 5, 7, 9, 11.
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão
3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2.
Problema 9
Observe a sequência de fguras e responda
às questões propostas.
a) Quantos quadradinhos comporão a
quinta fgura dessa sequência? E a sex-
ta fgura?
Quinta fgura: 48 quadradinhos e sexta
fgura: 96 quadradinhos.
b) Associe a essa sequência outra que in-
dique o número de quadradinhos de
cada fgura. Essa sequência é uma PG?
Justifque.
(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an
é obtido a partir da multiplicação do termo
anterior an – 1
por 2.
c) Construa uma órmula que possa ser
utilizada para determinar um termo
qualquer dessa sequência.
Podemos escrever a órmula desta maneira:
an
= 3 . 2n – 1.
Este problema poderá avorecer uma dis-
cussão sobre a obtenção da órmula do termo
geral de uma PG.
1 32 4
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30
Pse m
em aseqêca
CcQaae eqaahs
1 3 3
2 3 . 2 = 3 . 21 6
36 . 2 = 3 . 2 . 2 =
3 . 22 12
412 . 2 = 3 . 2 .2 . 2 = 3 . 23 24
... ... an-1
n(a
n-1) . 2 =
3 . 2n n-1
an
= (an-1
) . 2 =
3 . 2n-1
Para o desenvolvimeno desa aividade, a
abela a segir organia os dados, a m de qe
as reglaridades seam mais acilmene obser-
vadas. uma possível solo é a segine:
Nese caso, o alno pode ober ma ór-
mla de recorrência: an
= (an – 1
) . 2 e a órmla
do ermo geral: an
= 3 . 2n – 1.
Pbema 10Na gra, cada qadradinho é ormado
por qaro palios de comprimenos igais.
1 2 3 4 5
...
a) A seqência ormada pelas qanidadesde palios necessários para a consro
das gras orma ma PA? jsiqesa resposa.
A sequência ormada pelas quantidades de
palitos é, sim, uma PA, pois cada fgura tem
seis palitos a mais que a precedente: 4, 10,
16, 22, 28, ...
b) Qanos palios sero necessários para aconsro da sexa gra? E da séima?
28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40.
c) Qanos palios sero necessários paraconsrir a 78a gra?
4 + 77 . 6 = 466.
) Escreva ma órmla qe expresse aqanidade de palios da igra qeocpa a posio nessa seqência.
an
= 4 + (n – 1) . 6 = 6 . n – 2.
Pbema 11
Sabe-se qe o nono ermo de ma PA de
rao 4 é 29. Qal é o 20o ermo dessa PA?
a 20
= 73. Para determinar o 20o termo de
uma PA é sufciente adicionar ao 9o termo
uma parcela que é igual ao produto 11 . 4,
pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário
“avançar” 11 termos, ou seja, a 20
= a9+ 11 . r.
Não é necessário, portanto, encontrar antes
o primeiro termo para se obter o vigésimo.
Pbema 12
Sabe-se qe a seqência (8, x, –4, y) é ma
progresso ariméica. Deermine os valores
de x e y.
Em toda PA, temos a3
– a 2
= a 2
– a1 ⇒
–4 – x = x – 8 ⇒ x = 2. Com o mesmo
raciocínio, escrevemos y – (–4) = –4 – x ⇒
y + 4 = –4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso, temos:
(8, 2, –4, –10).
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 13
Invente uma progressão aritmética. Separe
apenas os termos cuja posição (n) é indicadapor um número múltiplo de 6 e orme outra
sequência de números. Essa nova sequência
também é uma progressão aritmética? Em
caso de resposta afrmativa, determine a razão
da PA. Justifque sua resposta.
A nova sequência será uma PA, cuja razão é
igual ao produto do número 6 pela razão da
PA inventada.
Problema 14
Determine o oitavo termo de cada uma das
progressões geométricas:
I) (1, 3, 9, 27, ...) II)
1 4 3
1 4 38, 4, 2, 1,
1
2, …
a8
= 2 187 a8
=1
16
Problema 15
Determinar o 12o termo de uma PG de ra-
zão 2, sabendo-se que o quinto termo dessa
sequência é 4.
a12
= 512.
Problema 16
Uma bola é lançada de uma altura de 18
metros, e seu impacto no solo provoca saltos
sucessivos, de tal orma que, em cada salto, a
altura que ela atinge é igual a 80% da altura
alcançada no salto anterior. Que altura será al-
cançada pela bola quando ocorrer o quinto sal-
to? E o décimo salto? (Use uma calculadora.)
A altura atingida no quinto salto corresponde
ao sexto termo de uma PG em que o primeiro
termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8.
Assim, a6
= 18 . 0,85 ≅ 5,898 m. A altura do
décimo salto, obedecendo a essa lógica, será:
a11
= 18 . 0,810 ≅ 1,933 m.
Problema 17
Dada a PG
1 4 3
1 4 3
1
2, x, 32, y determine os va-
lores de x e y.
Em toda PG, cada termo, a partir do segundo,
é a média geométrica do antecessor e do
sucessor. Neste caso, x = =
1
232 4 . Por ou-
tro lado, pela defnição de PG, y
32=
32
x ⇒
y
32
=32
4
⇒ y = 256. Nesse caso, temos:
1 4 3
1 4 3
1
2, 4, 32, 256
Problema 18
Suponha que a população de uma cidade
tenha uma taxa de crescimento constante e
igual a 20% ao ano. No fm do ano de 2007, apopulação era de 50 000 habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fm
de cada um dos próximos quatro anos e
escreva os resultados obtidos em orma
de sequência.
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32
Sugere-se que o proessor estabeleça com
seus alunos uma linguagem como:
P0 : a população inicial; P1 : a população umano depois; P
2: a população dois anos depois
e assim por diante.
P1= 50 000 + 20% de 50 000 =
50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.
P 2
= 60 000 + 20% de 60 000 =
60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.
Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-seas populações P
3e P
4: 86 400 e 103 680,
respectivamente.
b) A seqência obida é ma PG? Em casoarmaivo, qal é a rao?
A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400,
103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois :
60 00050 000
= 72 00060 000
= 86 40072 000
= 103 68086 400
= 1,2.
Assim, para se obter o termo sucessor de
um termo conhecido, basta multiplicar este
último por 1,2, ou seja, Pn + 1
= 1,2 . Pn.
c) Enconre ma órmla qe permia cal-clar a poplao dessa cidade daqi an anos, conados a parir de 2007.
P1 = 50 000 . 1,21
P 2
= 50 000 . 1,21 . 1,2 = 50 000 . 1,2 2
P3=
50 000 . 1,2 2 .
1,2 = 50 000 . 1,23
Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.
Essa órmula pode ser generalizada para
Pn =
P0. (1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.
Pbema 19
Sponha qe o valor de m aomóvel di-
mina a ma axa consane de 10% ao ano.
Hoe, o valor desse aomóvel é R$ 20 mil.
a) Calcle o valor desse aomóvel daqi aqaro anos.
R$ 13 122,00.
b) Enconre ma órmla qe permia cal-clar o preo desse aomóvel daqi a n anos.
Pn
= 20 000 . 0,9n.
Convém ressalar com a classe qe a axa,
nesse problema, é negaiva. Se há ma depre-ciao de 10% ao ano, o valor do carro passa
a ser de 90% sobre o valor anerior. uilian-
do os reslados da aividade anerior, discacom os alnos qe, para calclar o preo do
carro daqi a m ano, é sciene mliplicaro valor inicial do carro por 0,9, pois
P1= P
0.(1 – 0,1) = P
0. 0,9.
taame as pgesses sb p evsa ca
Ao ober os ermos de ma progresso ari-
méica por meio da lei de ormao, iliando
a órmla do ermo geral o de recorrência, o
alno rabalha, iniivamene, com a noo
de no, pois associa cada índice ao ermo
correspondene. O sea, odo número naral
(n) qe é índice na seqência esá associado a
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
m único número real. A órmla relaiva à
lei de ormao da PA é a expresso algébri-
ca qe represena a no. Nesse caso, emos
ma no : S → IR, sendo S ⊂ N*.
Assim, o mí dessa no é orma-
do pelos índices dos ermos da PA, iso é,
D() = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O camí
dessa no é IR, e o cj magem
é ormado pelos ermos da PA, o sea,
Im() = {a1, a
2, a
3, ..., a
n...}.
A represenao gráca da no qe cor-
responde a ma PA é m conno de ponosqe perencem a ma rea. todavia, o gráco
no é a rea qe coném esses ponos. toman-
do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),
na qal a1
= 1, a2
= 4, a3
= 7, a4
= 10, e assim
scessivamene, sa represenao gráca é a
gra a segir.
Nesse caso, emos: D() = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Im() = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an
= 3 . n – 2
Essa erminologia somene deverá ser des-
acada para o alno qando esse assno or
reomado, poseriormene, nesa série, no
momeno do esdo da no polinomial do
1o gra.
Ao aplicar a órmla do ermo geral o de
recorrência para a deerminao dos elemen-
os de ma PG, de modo análogo ao qe se
a para ma PA, os esdanes ambém i-
liam, iniivamene, a ideia de no, pois
associam cada índice ao ermo corresponden-
e. O sea, odo número naral (n) qe é ín-
dice na seqência esá associado a m único
número real.
A órmla qe indica a lei de ormao da
PG corresponde à expresso algébrica qe
represena a no. Nesse caso, emos ma
no : t → IR, sendo t ⊂ N*.
A expresso do ermo geral de ma PG,
an
= a1
. qn – 1, refee o crescimeno exponen-
cial de an
em no de q. Se o raameno
ncional das PAs esará associado ao es-
do das nões am, esse ipo de raameno
para as PGs será eio qando do esdo das
nões exponenciais. Porano, no se ra-
a de, nese momeno, apresenar aos alnos
oda a erminologia adoada no esdo dasnões, mas apenas aponar relaões qe
sero exploradas mais adiane, no 2o e no 3o
bimesres. Os problemas segines so exem-
plos de como a apresenao inicial desse
raameno pode ser realiada.
a4
= 10
a3
= 7
a2
= 4
a1
= 1
1 2 3 4
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34
Pbema 20
um conno A é ormado apenas pelos
segines elemenos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim,podemos escrever:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
um conno B é ormado por elemenos
nméricos obidos a parir dos elemenos do
conjno A, da segine orma: cada ele-
meno de B é 4 nidades a mais do qe o
riplo de m elemeno de A. Dio de o-
ra orma, se chamarmos cada elemeno doconunto A de n e cada elemento do conun-
o B de p, emos:
p = 4 + 3 . n
a) Qais so os elemenos do conno B?
B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.
b) Qal é o ipo de seqência nmérica or-mada pelos elemenos do conno A?
Uma PA de razão 1.
c) Qal é o ipo de seqência nmérica or-mada pelos elemenos do conno B?
Uma PA de razão 3.
Pbema 21
Cada elemeno de m conno D será ob-
ido a parir de m elemeno correspondene
do conno C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da segine
orma: d = –5 . c + 15, onde c represena m
elemeno do conno C e represena m ele-
meno do conno D.
a) Qais so os elemenos do conno D?
D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}.
b) Qal é o ipo de seqência nmérica or-mada pelos elemenos do conno D?
Uma PA de razão –5.
Pbema 22
uma deerminada regra maemáica
“ransorma” cada elemeno do conjno
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em oro número, con-
orme mosra a segine represenao:
a) Qal é o reslado associado ao núme-ro 6?
(37).
b) Qal é o reslado associado ao núme-ro 10?
(61).
71 R
132E
193 G
254R
315 A
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
c) Se cada elemeno do conno E or iden-icado pela lera , e cada reslado oridenicado pela lera p, qal é a eqa-
o maemáica qe relaciona p e ?
6 . n + 1 = p
d) Ordenando os reslados obidos, qalocpará a nona posio?
(55).
e) Qal é o ipo de seqência nmérica
ormada pelos elemenos do connodos reslados?
Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
Cseaes sbe a avaa
O desenvolvimeno apresenado nesa
Siao de Aprendiagem para o raameno
das progressões priorio dois aspecos:
a abordagem comm das progressões ari-f
méicas e das progressões geoméricas;
a deerminao dos ermos gerais das PAsf
o das PGs a parir da reglaridade obser-
vada nas seqências, em derimeno do so
das conhecidas órmlas qe, em geral, os
alnos decoram e sam mecanicamene.
Em relao ao primeiro aspeco, relaivo aoraameno comm dos dois ipos de seqên-
cias, lgamos imporane qe o proessor
leve-o, de ao, em considerao, no momeno
da elaborao de avaliaões, propondo, por
exemplo, qesões semelhanes aos problemas
9 e 10.
É comm os alnos iliarem as órmlas
dos ermos gerais da PA e da PG na resolo
de problemas. No há porqe eviar al con-da, mas sim propor siaões em qe o sim-
ples so da órmla no cond direamene
ao reslado procrado. Nesse senido, apre-
senamos, nesa Siao de Aprendiagem,
algns modelos, como é o caso, por exemplo,
do Problema 3.
Por m, salienamos, novamene, a neces-
sidade da exisência de momenos de avalia-
o em qe os alnos possam rocar ideiascom oros colegas de grpo e mesmo con-
slar sas anoaões. Além disso, o proessor
poderá pedir qe os alnos demonsrem se
conhecimeno sobre o assno criando pro-
blemas e/o conexos em qe os conceios
possam, claramene, serem aplicados.
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36
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3SOMA DOS tERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINItA;
APLICAçÕES À MAtEMÁtICA FINANCEIRA
temp pevs: 3 semanas.
Ceús e emas: progressões ariméicas e progressões geoméricas: ermos gerais e soma dos ermos; ros composos, processos simples de capialiao e de amoriao.
Cmpeêcas e habaes: iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrõesde seqências nméricas o geoméricas; aplicar conhecimenos maemáicos em siaões do coidianonanceiro; generaliar procedimenos de cálclo com base em expressões maemáicas associadas aoesdo das progressões nméricas.
Esaégas: resolo de exercícios exemplares.
re paa apca a Sae Apeagem 3
Esa Siao de Aprendiagem é dividida
em das eapas. A primeira eapa é composa
por problemas exemplares para a consro
de signicados da soma dos elemenos de ma
seqência, e a segnda eapa é oda dirigidapara a aplicao da soma de elemenos de
ma PA o de ma PG, em algns casos ípi-
cos da Maemáica Financeira.
O cálclo da soma dos ermos de ma
PA o de ma PG é m bom momeno para
reomar e aprondar com os alnos a no-
o de algorimo em Maemáica. Isso por-
qe podemos enender o cálclo da soma de
qalqer desses dois ipos de seqência comorealiado a parir de cera ordenao de pro-
cedimenos qe condem, com eciência,
ao reslado procrado.
No caso de uma PA do tipo (a1, a
2, a
3, ...,a
n – 3,
an – 2
, an – 1
, an), o proessor pode explorar a
propriedade da eqidisância dos exremos,
iso é, a1
+ an
= a2
+ an – 1
= a3
+ an – 2
= ..., a
m de desenvolver esraégias para o cálclo
da soma de ses ermos, em m rabalho qe
anecede à consro e iliao da órmla
da soma dos ermos de ma PA.
Por exemplo, para o cálclo da soma dos200 primeiros números narais, indicada por:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 +198 +
199 + 200,
o alno pode ser axiliado no senido de ob-
servar qe
1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =
... = 201.
Nesse caso, oberá cem somas igais a 201
e, nalmene, conclirá qe S200
= 100 . 201 =
20 100. Podemos, ambém, dier qe a soma
dos 200 números narais é igal ao prodo
de 200 por201
2, o sea, o prodo de 200
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
pela média ariméica dos ermos eqidisan-
es dos exremos.
No caso de seqências qe apresenam nú-mero ímpar de ermos, como (1, 4, 7, 10, 13,
16, 19), de see ermos, o alno poderá iliar
a segine esraégia:
1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.
Assim, so obidas rês somas igais a 20.
Como o número 10, qe é o ermo cenral (me-
diana), no oi adicionado, a soma dos ermos
dessa PA será represenada da segine orma:
S7
= 3 . 20 + 10 = 60 + 10 = 70.
Nesse exemplo, é imporane desacar qe
a soma dos see ermos dessa progresso ari-
méica 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 é igal a
7 . 10, sendo 10 a média ariméica dos ermos
eqidisanes dos exremos.
Essa seqência de passos para se ob-
er a soma dos ermos de ma PA pode ser
visa como m algorimo qe permie rapi-de e preciso no cálclo e, por isso mesmo,
pode e deve ser bem compreendida e iliada
sempre qe possível. No momeno qe lgar
oporno, o proessor poderá pedir qe os
próprios alnos generaliem a esraégia qe
adoam pariclarmene, em ma o ora se-
qência, para ma seqência ariméica qal-
qer, obendo-se, eno, a expresso
Sn =+
( ) .a a nn12 .
No caso de ser necessário ober a soma dos
ermos de ma PG, o proessor poderá lanar
mo, novamene, da ideia de m algorimo
qe permia agiliar o cálclo, mosrando aos
alnos como aê-lo em algns casos especí-
cos, como nese exemplo:
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.
Os ermos dessa série ormam ma PG de
rao 3. A primeira providência para se ober
o reslado sem eear a adio ermo a er-
mo é mliplicar oda a expresso pelo valor
da rao.
3 . (S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162) ⇒
3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.
Isso eio, eremos das expressões e sb-rairemos ma da ora, de orma qe os vá-
rios pares de ermos igais seam cancelados.
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
–2 . S = 2 – 486
–2 . S = – 484 ⇒ S = 242
Essa seqência de passos, o esse algori-
mo, permie a obeno da soma dos ermos
de ma PG de modo mais rápido e eca do
qe o cálclo da soma ermo a ermo. Co-
menando o ao com ses alnos, o proessor
poderá pedir qe algmas somas seam obi-
das dessa maneira e, analogamene ao qe oi
realiado para a PA, pedir qe generaliem o
algorimo em ma órmla qe possa ser apli-
cada a qalqer ipo de PG. Nessa area, osalnos percorrero as segines eapas:
PG: (a1, a
2, a
3,...., a
n–3, a
n–2, a
n–1, a
n)
Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an–1
+ an
(I)
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38
Mliplica-se oda a soma pela rao q:
q . Sn= a
1. q + a
2. q + a
3. q + ... + a
n–1. q + a
n. q (II)
Sbrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-res de ermos igais:
Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an–1
+ an
(I)
q . Sn= a
1. q + a
2. q + a
3. q + ... + a
n–1. q + a
n. q (II)
Sn
– q . Sn
= a1
– an
. q
Isso eio, “sobram” apenas o úlimo ermo
de (II) e o primeiro ermo de (I).
Isola-se Sn:
Sn
– q . Sn
= a1
– an
. q
Sn
. (1 – q) = a1
– an
. q ⇒ Sn
=a
1– a
n. q
1 – qo
Sn
=a
n. q – a
1
q – 1.
A expresso da soma dos ermos de ma
PG, escria da orma apresenada acima, em
no da rao (q) e do úlimo ermo (an),
em mais signicado para os alnos do qe
escria em no apenas da rao (q) e do
número de ermos (n). Por isso, convém o
proessor rabalhar algns problemas, anes
de mosrar aos alnos a segnda maneira de
escrever a mesma expresso.
Sn
– q . Sn
= a1
– an
. q
Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn–1 . q
⇒ Sn
– q . Sn
= a1
– a1
. qn ⇒ Sn . (1 – q) =
a1
– a1
. qn . Sn
. (1 – q) = a1
. (1 – q) ⇒
S aqqn
n
= 1
11
.( – )
– ⇒ S a
qqn
n
= 1
11
.( – )
–
Eapa 1 – Sma s ems e maPA e ma PG fa
Pbema 1
Calcle a soma dos ermos da progresso
(10, 16, 22, ..., 70).
440.
Pbema 2
Calcle a soma dos ermos da progresso
(13, 20, 27, ...), desde o 21o ermo aé o 51o,inclsive.
7 998.
Pbema 3
Calcle a soma dos números ineiros, divi-
síveis por 23, exisenes enre 103 e 850.
Os números inteiros, divisíveis por 23, entre103 e 850, ormam a PA de razão 23: (115,
138,..., 828). Utilizando a órmula do
termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a
órmula da soma dos termos da PA, obtemos
o resultado 15 088.
Pbema 4
A gra abaixo apresena os primeiros
elemenos de ma seqência de números cha-mados números rianglares.
5/8/2018 a Cp 1s Vol1reduzido - slidepdf.com
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
a) Escreva a seqência nmérica corres-pondene a essa gra, considerando onúmero de bolinhas qe ormam cada
riânglo:
1, 3,........,.........,.........,.........,........,.......
b) Qe reglaridade você observo na cons-ro desses números rianglares?
c) Escreva ma órmla qe permia calc-lar m ermo qalqer dessa seqência,iliando a recorrência, o sea, denin-
do m ermo a parir de se precedene.
) Consra ma órmla qe calcle mermo qalqer dessa seqência, sem ne-cessariamene recorrer ao ermo anerior.
Drane a resolo desse problema, os
alnos podem perceber qe m ermo qal-
qer da seqência de números rianglares
pode ser expresso por ma órmla de recor-rência, inclindo das inormaões:
a1
= 1 e an
= an–1
+ n.
Podem, ambém, organizar os dados em
ma abela como a qe sege. Essa esraé-
gia os levará à órmla t do ermo geral, qe
pode ser obida pela aplicao da órmla da
soma dos termos da PA den
termos, com a1 = 1e rao 1:
t =(1 + n) . n
2=
n2 + n
2.
Posição do termo
na sequênciaProcesso de contagem das bolinhas
Quantidade de bolinhas
em cada termo
1 1 1
2 1 + 2 3
3 1 + 2 + 3 6
4 1 + 2 + 3 + 4 10
... ... ...
n1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n −1) + n a
n=
n . (n + 1)
2
Após a discsso sobre as qesões dessa aivi-
dade, o proessor pode, ainda, explorar os números
rianglares, incenivando ses alnos a descobrir
oras propriedades ineressanes. Por exemplo,
propondo qesões como as qe segem:
Observe qe 61 = 55 + 6 (61 é m nú-
mero naral qalqer; 55 e 6 so números
rianglares). Experimene, agora, represenar
5/8/2018 a Cp 1s Vol1reduzido - slidepdf.com
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40
o número 84 em orma de adio de, no máxi-
mo, rês números rianglares.
Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.
Adicione dois números rianglares con-
secivos. Qe caracerísica você percebe
nessa soma?
A soma de dois números triangulares consecuti-
vos é igual a um número quadrado pereito:
1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;
6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.
Pbema 5
A segir, eso os primeiros elemenos de
ma seqência de gras qe represenam os
chamados números penagonais.
Caso o alno enconre dicldades, d-
rane a resolo dese problema, o proessor
pode propor qesões qe o adem a perceber
qe, a parir da segnda gra, cada ermo an
da seqência pode ser obido pelo acréscimo
de rês leiras de n bolinhas à gra anerior
(an – 1), devendo ser sbraídas 2 nidades, qecorrespondem às das bolinhas qe se sobre-
põem em dois vérices do penágono. No en-
ano, a órmla obida é por recorrência, e a
obeno da órmla geral é m poco mais
diícil, pois cada ermo é obido por meio de
1 2 3 4 5
a) Qanas bolinhas deve er a sexa gradessa seqência? E a séima?
51 e 70.
b) Observe as reglaridades qe exisemno processo de consro da Figra 2 aparir da Figra 1; no processo de cons-ro da Figra 3 a parir da Figra 2;e assim por diane. Organie os dadosna abela abaixo e, em segida, proc-re consrir ma órmla qe permia
Ps afga aseqêca
Ccnúme e b
has
1 1 1
21 + 4a
1 + 4 5
35 + 3 . 3 – 2a
2+3 . 3 – 2
12
412 + 3 . 4 – 2a
3+ 3 . 4 – 2
22
522 + 3 . 5 – 2a
4+ 3 . 5 – 2
35
... ... ...
n – 1n a
n – 1+ 3 . n – 2 a
n = a
n – 1+3 . n – 2
deerminar a qanidade de bolinhas dagra nessa seqência.
Em relao aos números penagonais, rei-eramos qe a consro de ma abela como
a qe sege avorece a obeno de ma ór-
mla de generaliao:
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
A expresso do ermo geral dessa soma
pode ser obida aendo a1
= 1 e an
= 3 . n + 2
na expresso geral da soma da PA, da segine
orma:
t = 1 + 4 + 7 + 10 + 13+...+ 3 . n – 2 =
(a1
+ an) . n
2=
(1 + 3n – 2) . n
2=
(3n – 1) . n
2=
3 . n2 – n
2.
Assim, o polinômio3 . n2
2–
n
2, sendo m
número naral dierene de ero, permie adeerminao de m número penagonal qe
ocpa a posio na seqência. Por exemplo,
o séimo número penagonal da seqência é:
t7
=3 . 72
2–
7
2=
3 . 49
2–
7
2=
140
2= 70
Ps afga aseqêca
Cc
1 1
2 1 + 4
3 1 + 4 +7
4 1 + 4 + 7 + 10
5 1 + 4 + 7 + 10 + 13
... ...
n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 3 . n – 2
se anecessor, adicionando a ese 3n – 2 bo-
linhas. Os números qe so adicionados eso
na seqência 4, 7, 10, 13, 16, ...
Pbema 6
Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcle a
soma dos 20 primeiros ermos dessa PG, dei-xando indicada a poência.
S 20
= 1 .(2 20 – 1)
2 – 1 ⇒ S
20= 2 20 – 1
Pbema 7
Resolva a eqao 2 + 4 + 8 + ... + x = 510,
sabendo qe as parcelas do primeiro membro
da eqao eso em PG.
A razão da PG é 2.
Portanto, 2 .( 2n – 1)
2 – 1= 510 ⇒
2n – 1 = 510 ÷ 2 ⇒ 2n = 256 ⇒ 2n = 28 ⇒
n = 8.
Logo, x = a8
= 2 . 28–1 ⇒ x = 256.
Pbema 8
(Vnesp) Várias ábas igais eso em ma
madeireira. A espessra de cada ába é 0,5 cm.
Forma-se ma pilha de ábas colocando-se
ma ába na primeira ve e, em cada ma das
vees segines, anas ábas qanas iverem
sido colocadas aneriormene.
Pilha na1a ve
Pilha na2a ve
Pilha na3a ve
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42
Deermine, ao nal de nove operaões:
a) Qanas ábas erá a pilha.
A sequência da quantidade de tábuas
colocadas é:
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...
Para obter o total de tábuas, ao fnal de nove
operações, será necessário calcular a soma
dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4,
8, 16, 32, 64, 128 e, em seguida, acrescentar
uma unidade.
S =a
n. q – a
1
q – 1=
128 . 2 – 1
2 – 1= 255.
Portanto, a pilha terá 256 tábuas.
b) A alra, em meros, da pilha.
A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 =
128 cm = 1,28 m.
Pbema 9
uma pessoa compra ma eleviso para
ser paga em 12 presaões mensais. A primeira
presao é de R$ 50,00 e, a cada mês, o valor
da presao é acrescido em 5% da primeirapresao. Qando acabar de pagar, qano a
pessoa erá pago pela eleviso?
Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50
+ 55,00 + 57,50 +...... + 77,50, que resulta
R$ 765,00.
Pbema 10
A primeira parcela de m nanciameno
de seis meses é de R$ 200,00, e as demais so de-crescenes em 5%. Assim, a segnda parcela é 5%
menor do qe a primeira, a erceira parcela é
5% menor do qe a segnda e assim por diane.
Adoando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcle:
a) Qal é o valor da úlima parcela?
Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95 e
queremos determinar o sexto termo.
a6 = 200 . 0,955 = 154,00.
b) Qano erá sido pago, qando a dívidaor oalmene qiada?
Devemos calcular a soma dos termos da PG.
S =a
n. q – a
1
q – 1=
200 . 0,955 – 200
0,95 – 1=
200 . (0,956 – 1)
–0,05= –4 000 . (0,956 – 1) =
R$ 1 080,00.
Pbema 11
Dada a progresso ariméica (–4, 1, 6,
11, ...), obenha:
a) o ermo geral da seqência.
an
= 5 . n – 9.
b) a soma dos 12 primeiros ermos.
282.
c) ma expresso para o cálclo da somados primeiros ermos.
S =(a
1+ a
n) . n
2=
(–4 + 5 . n – 9) . n
2=
1
2. (5 . n 2 –13 . n).
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Pbema 12
A soma de ermos de ma progresso
ariméica pode ser calclada pela expres-so S
n= 3 . n2 – 5 . n. Para essa seqência,
deermine:
a) a soma dos seis primeiros ermos.
S 6
= 3 . 6 2 – 5 . 6 = 78.
b) a soma dos see primeiros ermos.
S 7
= 3 . 7 2 – 5 . 7 = 112.
c) o séimo ermo.
O sétimo termo é a dierença entre S 7
e S 6.
Portanto, a7
= 112 – 78 = 34.
) os cinco primeiros ermos.
a1 = S 1 = –2
a 2
= S 2
– a1
= 2 – (–2) = 4
A PA tem razão 6, e os primeiros termos são
–2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.
Pbema 13
um alea ora de orma, deseando rec-
perar o empo perdido, planea correr, dia-riamene, ma deerminada disância, de
maneira qe, a cada dia, a disância corrida
amena 20% em relao ao qe oi corrido
no dia anerior. Comeando a correr 10 km,
no primeiro dia,
a) qano esará correndo, no qaro dia?
a4
= 10 . 1,23 = 17,28 km.
b) qanos qilômeros erá corrido, em10 dias? (Dado: 1,210 ≈ 6,2.)
Trata-se de calcular a soma dos dez termos
de uma PG em que a1
= 10 e a10
= 10 . 1,29.
S =a
n. q – a
1
q – 1=
10 . 1,29 . 1,2 – 10
1,2 – 1=
10 . (1,210 – 1)
0,2=
50 . (1,210 – 1) = 50 . (6,2 – 1) = 260 km.
Eapa 2 – Apcaes a MaemcaFacea
O crescimeno de m capial, a ma axa
consane de ros simples, caraceria-se por
envolver ma série de ermos qe ormam
ma progresso ariméica. Por oro lado,
no cálclo do crescimeno de m capial a
ma axa consane de ros composos, apa-
rece ma progresso geomérica. No exem-
plo abaixo, podemos comparar a evolo dem capial inicial, qando sbmeido a ros
simples e a ros composos:
Capa = C taxa e js = 5% a mês
Ev capa a js
smpes
Ev capa a js
cmpssInicial C C
Depois de
m mês
1,05 . C 1,05 . C
Depois dedois meses
1,10 . C 1,052 . C
Depois derês meses
1,15 . C 1,053 . C
Depois deqaro meses
1,20 . C 1,054 . C
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44
adicionando-se 0,05 . C, no caso de ros sim-
ples, e mliplicando-se por 1,05 . C, no caso
de ros composos.
jros simples, como sabemos, no so
praicados no mercado nanceiro, mas po-
dem servir de conexo inicial para a deermi-
nao de valores oais capialiados em cer-
o período. Vamos spor, por exemplo, qe
m cidado apliqe, mensalmene, e drane
oio meses, ma qania xa de R$ 200,00, a
ros simples de 5%. Ao nal, depois dos oio
meses de aplicao, qano erá acmlado
essa pessoa?
Propondo m problema dessa narea aos
ses alnos, o proessor poderá comenar qe
ele é de ácil resolo por envolver ros sim-
ples, mas qe, no caso real, de m capial apli-
cado a ros composos, será necessário m
méodo organiado de resolo. jsica-se,
dessa maneira, o processo represenado na a-
bela segine:
tabea e capaa
Os valores dessa abela oram obidos le-
vando-se em cona qe m capial inicial (C),
acrescido de 5%, resla no capial inicial ml-
iplicado por 1,05, iso é, resla em 1,05 . C.Caso incidam 5%, novamene, sobre o capial
á acrescido de 5%, o reslado será igal a
1,10 . C, se os ros orem simples, e 1,05 2 . C,
se os ros orem composos, conorme repre-
senado nas operaões segines:
Capial Inicial: C.
Acréscimo de 5% sobre C:
C + 5100
. C = C + 0,05 . C = 1,05 . C.
Acréscimo de 5% de ros simples: 1,05 . C
+ 0,05 . C = 1,10 . C.
Acréscimo de 5% de ros composos:
1,05 . C + 5% . 1,05 . C = 1,05 . C . (1 + 5%) =
1,05 . C . 1,05 = 1,052 . C.
O valor do capial, nos próximos meses
de aplicao, sege a mesma lógica, iso é,
Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 Fa
C a p i t a
l
200 210 220 230 240 250 260 270 280
200 210 220 230 240 250 260 270
200 210 220 230 240 250 260
200 210 220 230 240 250200 210 220 230 240
200 210 220 230
200 210 220
200 210
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Os R$ 200,00 deposiados no primei-
ro mês ornam-se R$ 210,00, no segndo
mês, R$ 220,00, no erceiro mês, e assim por
diane, ornando-se, ao nal, R$ 280,00.Os R$ 200,00 deposiados no segndo mês, de
modo análogo, converem-se em R$ 270,00,
ao nal de see meses de aplicao. Segindo
o raciocínio, o saldo nal da aplicao será
o reslado da adio dos valores da úlima
colna da abela, qe so os ermos de ma
progresso ariméica:
Saldo nal = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +
260 + 270 + 280Saldo nal =
(210 + 280) . 8
2= 1 960
Porano, o saldo nal da aplicao será
igal a R$ 1 960,00.
No caso real, de ma capialiao a ros
composos, o esqema de resolo será simi-
lar ao apresenado, variando apenas a orma de
crescimeno das parcelas aplicadas. Em relao
ao problema anerior, alerando apenas a orma
de incidência da axa de ros, de simples paracomposos, pode ser escria a segine abela:
Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 Fa
C a p i t a
l
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053
200 200 . 1,05 200 . 1,052
200 200 . 1,05
A soma dos valores da úlima colna da
abela ornece o oal capialiado. traa-se
da soma dos ermos de ma progresso geo-
mérica de rao 1,05.
S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 +
1,056 + 1,057 + 1,058)
S = 200 . an
. q – a1
q – 1=
200 . 1,058 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1
O cálclo dessa soma é rabalhoso, se reali-ado manalmene. Por isso, propomos qe os
alnos possam iliar calcladoras para agi-
liar a obeno do reslado, sem qalqer
perda de signicado para o conceio. O impor-
ane, aqi, no é saber calclar ma poência,
coisa qe os alnos á devem saber, mas sim a
ober da expresso nmérica qe cond ao
reslado deseado. todavia, mesmo sando
calcladoras, será ineressane simplicar ini-cialmene a expresso, como nesse caso:
tabea e capaa
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46
S = 200 .1,058 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1(Colocando
1,05 em evidência.)
S = 200 .1,05 . (1,058 – 1)
0,05(Dividindo
1,05 por 0,05.)
S = 200 . 21 . (1,058 – 1)
Caso o proessor ope por no permiir o
so de calcladoras, o qe no aconselhamos,
poderá ornecer aos alnos, previamene, o va-lor da poência. No caso, 1,058 ≈ 1,48. De m
eio o de oro, o reslado da soma será:
S = 200 . 21 . (1,48 – 1) = 2 016.
Comparando os dois reslados do proces-
so de capialiao, ca claro qe o processo
a ros composos cond a m maior valor
nal (R$ 1 960,00, em m caso, e R$ 2 016,00,
no oro).Ora aplicao imporane das somas das
progressões di respeio ao cálclo da parce-
la xa de m nanciameno a axa consan-e de ros. De ao, raa-se de m problema
inverso ao qe oi analisado há poco, iso é,
conhece-se o monane nal e desea-se calc-
lar a parcela mensal do invesimeno. Vamos
analisar, como exemplo, o caso do nancia-meno da compra de m aomóvel, qe csa
R$ 10 000,00 e será pago em 24 parcelas xas
e mensais, com ros de 5% ao mês. Em pri-
meiro lgar, vamos represenar o cálclo da
parcela de nanciameno, no caso de os rosserem simples, iso é, incidirem sempre sobre
o valor inicial.
1) Cm axa e js smpes
Os R$ 10 000,00 nanciados devero ser
corrigidos e devolvidos pelo comprador dobem, ao nal dos 24 meses. Assim, o primeiro
passo é calclar o ro oal da aplicao em
ros simples, o sea, 24 . 5% = 120%. O va-
lor de R$ 10 000,00 deverá ser devolvido cor-
rigido em 120%, iso é, devero ser devolvidos
R$ 22 000,00. Ocorre qe o comprador no
devolve esse valor de ma única ve, mas sim
em parcelas mensais. Assim, o próximo passo
é calclar o valor da parcela, e aí é necessário
se lembrar do exemplo anerior, da capialia-
o a ros simples.
Spomos, enão, qe cera parcela P é
capializada mensalmene, drane 24 me-
ses, a jros simples de 5%. Nessa condição,
ao inal dos 24 meses, erá sido capiali-
zado m valor oal igal ao reslado da
segine soma:
S = P . (1,05 + 1,10 + 1,15 + .... + 2,15 + 2,20).
Os porcenais, nesse caso, ormam ma
progresso ariméica. Calclemos a soma
desses porcenais.
S = P .(a
1+ a
n) . n
2= P .
(1,05 + 2,20) . 24
2
= P . 39
Como a soma S deve coincidir com o va-
lor corrigido do nal do nanciameno, iso é,
S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim
obida:
22 000 = P . 39 ⇒ P = 564,10
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Porano, a ros simples, o valor da parce-
la mensal é igal a R$ 564,10.
Perceba qe, apesar de as presaões seremodas igais a R$ 564,10, a simples mlipli-
cao desse valor pelo número de presaões,
qe, nese caso, é 24, no em como reslado o
valor corrigido da dívida (R$ 22 000,00). Essa
dierena aconece porqe a primeira parcela
de R$ 564,10 em, hoe, m valor qe no será
o mesmo daqi a 24 meses. Essa considerao
vale para odas as parcelas.
2) Cm axa e js cmpssDa mesma orma qe no caso dos ros
simples, discido aneriormene, o valor -
nanciado deve ser corrigido para compor o pa-
gameno nal. Nesse caso, raa-se de corrigir
R$ 10 000,00, em 24 meses, a ros composos
de 5%, o qe implica mliplicarmos 10 000
por 1,0524. Isso eio, eremos R$ 32 251,00.
Mas esse valor no é devolvido de ma única
ve, ao nal do nanciameno, e sim em par-celas mensais. Para o cálclo do valor dessa
parcela, devemos imaginar algém qe depo-
sie, mensalmene, m valor P, a ros com-
posos de 5%, drane 24 meses. Nesse caso, o
valor oal deposiado será igal ao reslado
da segine adio:
S = P(1,05+ 1,052 + 1,053 + ..... + 1,0524).
O valor de S, como vimos há poco, é
R$ 32 251,00. Para o cálclo da parcela P, será
preciso calclar a soma da progresso geoméri-
ca ormada pelos ermos denro dos parêneses.
32 251 = P .a
n. q – a
1
q – 1= P .
1,0524 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1
32 251 = P .1,05 . (1,05 24 – 1)
1,05 – 1=
P . 21 . (1,0524 – 1)
Dado qe 1,0524 ≈ 3,225, aemos:
32 251 = P . 21 . (3,225 – 1)
32 251 = P . 46,725 ⇒ P = 690,23
Porano, a ros composos, a parcela de
nanciameno deverá ser igal a R$ 690,23.
Os cálclos envolvendo processos de ca-
pialiao e de amoriao so commene
visos em siaões do coidiano, mio em-
bora nem sempre de orma ransparene. Por
isso, é comm qe sram dúvidas por pare
dos alnos, as qais caberá ao proessor es-
clarecer. No caso qe analisamos há poco,
do nanciameno de R$ 10 000,00, é preciso
desacar com mia ênase dois aspecos ge-
radores de dúvidas. O primeiro deles reere-se
à necessidade de corrigir o valor nanciado,
iso é, mliplicar 10 000 por 1,0524. Os al-nos precisam enender qe o bem nanciado
será considerado qiado apenas qando a
úlima parcela or paga, e qe, por isso mes-
mo, é preciso considerar a correo do valor
nanciado. A segnda dúvida qe cosma
ocorrer nesse caso reere-se à necessidade de
calclar o valor ro de cada parcela qe vai
sendo paga, o qe cond ao cálclo da soma
da PG. É comm os alnos aerem, eqivo-
cadamene, a simples diviso do reslado do
prodo 10 000 . 1,0524 por 24 para deerminar
o valor de cada parcela. O proessor deve cha-
mar a aeno dos alnos para o ao de qe
as parcelas no so odas pagas ao nal do
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48
nanciameno, mas sim em empos dierenes,
e qe, por isso mesmo, o valor ro de ma
parcela no é igal ao da ora.
jlgamos imporane qe o proessor disc-
a algns exemplos de cálclos de monanes
e de parcelas de amoriao, mas no deixe
de reomar o assno no 3o bimesre, qando
abordar o crescimeno exponencial.
Após discir algns exemplos com ses al-
nos, o proessor poderá propor a resolo da
segine seqência de problemas exemplares.
Pbema 1
uma nanceira remnera os valores in-
vesidos à base de 4% de ros simples. Qan-
o consegirá resgaar, nesse invesimeno,
ma pessoa qe deposiar, mensalmene,
R$ 500,00, drane 10 meses?
Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 +
560 + 580 + .... + 700.
S =(520 + 700) . 10
2= 1 220 . 5 = 6 100
O resgate será de R$ 6 100,00.
Pbema 2
Lara aderi a m plano de capialia-
o de m banco, deposiando, mensalmene,R$ 1 000,00, drane 12 meses. Se o banco
promee remnerar o dinheiro aplicado à axa
de 2% de ros composos ao mês, calcle
qano Lara resgaará ao nal do período.
(Dado: 1,0212 = 1,27.)
Trata-se de calcular a soma de termos em PG:
S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,02 2 + 1 000 .
10,23 + ..... + 1 000 . 1,0212
S = 1 000 (1,02 + 1,02 2 + 1,023 + ... +
1,0212)
S = 1 000 .a
n. q – a
1
q – 1=
1 000 .1,0212 . 1,02 – 1,02
1,02 – 1=
1000 .1,02 . (1,0212 – 1)
0,02
S = 1 000 . 51 . (1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27
= 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
Pbema 3
Carlos desea comprar m aomóvel qe
csará, daqi a de meses, R$ 15 500,00. Para
consegir se obeivo, Carlos resolve depo-siar ma qania x em m invesimeno qepromee remnerar o dinheiro aplicado à rao
de 10% de ros simples ao mês. Qal deve ser
o valor mínimo de x para qe Carlos consiga
comprar o aomóvel, ao nal dos de meses?
Sendo o cálculo do montante à base de juros
simples, temos a soma de termos em PA, da
seguinte maneira:
S = 1,1 . x + 1,2 . x + 1,3 . x + ...... + 2,0 . x
15 500 = x . (1,1 + 1,2 + 1,3 + ..... + 2,0)
15 500 = x .(a
1+ a
n) . n
2 ⇒
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
15 500 =x . (1,1 + 2,0) . 10
2 ⇒
15 500 = x . 15,5 ⇒ x = 1 000
Portanto, a parcela mínima a ser depositada
é igual a R$ 1 000,00.
Pbema 4
uma geladeira co preo à visa é de
R$ 1 500,00 será nanciada em seis parcelas
mensais xas. Se os ros composos cobra-
dos no nanciameno dessa geladeira so de
3% ao mês, qal é o valor da parcela mensal?
(Dado: 1,036 = 1,19.)
O valor uturo da geladeira, em seis meses,
será igual 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 =
1 785.
A soma das parcelas fxas, a 3% de juros
compostos ao mês, recai em: S = P . (1,03
+ 1,03 2 + .... + 1,036),onde P é o valor da
parcela fxa mensal. Como S = 1 785, tem-
se: 1 785 =
P .1,036 . 1,03 – 1,03
1,03 – 1= P .
1,03(1,036 – 1)
0,03
P . 34,33 . (1,036 – 1) =
P . 34,33 . 0,19 =
1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual
a R$ 273,65.
Pbema 5
jlia gardo, mensalmene, R$ 200,00 em
m banco qe remnero se dinheiro à base
de 4% ao mês de ros composos. Ao nal de
oio meses de aplicao, jlia so o dinheiro
qe havia gardado para dar de enrada em
m pacoe de viagem, qe csava, à visa,
R$ 5 000,00. O saldo devedor jlia preende
nanciar em cinco vees, em parcelas igaise xas, à axa de 2% ao mês. (Dados 1,048 ≈
1,37; 1,025 ≈ 1,10.)
a) Qano jlia de de enrada no pacoede viagem?
O valor total capitalizado exige o cálculo de
uma soma de termos em PG.
S = 200(1,04 + 1,04 2 + 1,043 + ....... +
1,048)
S = 200 .1,048 . 1,04 – 1,04
1,04 – 1=
200 .1,04(1,048 – 1)
0,04= 200 . 26 . (1,37 – 1)
= 1 924
Portanto, oram dados de entrada R$ 1 924,00.
b) Qal o valor da parcela mensal xa do nan-
ciameno do saldo do pacoe de viagem?
O valor fnanciado oi igual à dierença
entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja,
R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2%
ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.
Uma parcela fxa P, paga todo mês e corrigida
à base de 2% ao mês, deve, ao fnal, gerar
montante equivalente a R$ 3 383,60.
3 383,60 = P(1,02 + 1,02 2 + 1,023 + 1,024
+ 1,025)
3 383,60 = P .1,025 . 1,02 – 1,02
1,02 – 1=
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50
P .1,02(1,025 – 1)
0,02= P . 51 . 0,10 = P . 5,1
3 383,60 = P . 5,1 ⇒ P = 663,45
Portanto, a parcela fxa será igual a R$ 663,45.
Cseaes sbe a avaa
Nesa Siao de Aprendiagem, de or-
ma semelhane ao realiado na anerior, oi
proposo qe as somas das progressões arimé-
icas e progressões geoméricas ossem esda-
das paralelamene. Insisimos nessa práica,
pois enendemos qe ela valoria a exisência
de reglaridades nméricas possíveis de serem
radidas por eqaões maemáicas, em de-
rimeno da aplicao imediaa de órmlas na
resolo de exercícios desconexaliados.
A apresenao das expressões de cálclo
para as somas das seqências oi eia a parir
da ideia de qe cálclos qe se repeem devi-
do a algm ipo de reglaridade podem ser
radidos por inermédio de m algorimo,
iso é, por ma seqência ordenada de passos
qe, qando realiada correamene, cond
ao reslado deseado de orma mais rápida.
Consideramos imporane qe os alnos com-
preendam essa ideia e qe, após a exerciarem
drane a resolo de algns problemas,
possam, aonomamene, generaliar em ma
expresso o raciocínio envolvido no algorimo.
Os insrmenos preparados para a avalia-
o dos conceios aqi raados devero levarem cona, de acordo com as consideraões an-
eriores, a possibilidade de qe seam propos-
os problemas qe envolvam ano progressões
ariméicas, como progressões geoméricas,desenvolvidos sobre conexos dierenes dos
problemas apresenados e discidos drane
as alas, com base no conexo da Maemáica
Financeira e nos cálclos de monanes e de
parcelas em processos de capialiao.Gosaríamos, ainda, de ressalar o ao de
qe a obeno de soma de ermos de ma
PG exige, via de regra, o cálclo de ma po-
ência na qal, mias vees, a base no é m
número ineiro. As aplicaões das progressões
à Maemáica Financeira so exemplos clássi-
cos dessas siaões. Nesses casos, visando a
qe o aspeco da compreenso conceial no
sea sobrepado pela dicldade ariméica,
sgerimos ao proessor qe permia o so de
calcladoras, inclsive cienícas, aé mesmo
nas avaliaões individais. uma segnda s-
geso sege o qe oi eio na apresenao
no Problema 5 da Eapa 2, o sea, pode-se
ornecer ao alno o reslado aproximado da
poência necessária para a resolo do pro-
blema proposo.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4LIMItE DA SOMA DOS INFINItOS tERMOS DE uMA PG INFINItA
temp pevs: 2 semanas.
Ceús e emas: soma dos ermos de ma PG; limie da soma dos ermos de ma PG innia.
Cmpeêcas e habaes: iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrõesde seqências nméricas o geoméricas; compreender a noo iniiva de limie de ma no; con-siderar a perinência da noo de innio no cálclo de qanidades deerminadas.
Esaégas: resolo de exercícios exemplares.
re paa apca a Sae Apeagem 4
Nesa Siao de Aprendiagem, so pro-
postos problemas algébricos e geométricos, com
o obetivo de se investigar a soma dos termos de
ma progresso geomérica innia, com rao
real enre –1 e 1. Nesse percrso, são aborda-
das, iniivamene, das noões exremamen-
e imporanes na Maemáica. traa-se das
noções de continuidade e de infnito. Embora
cosmem casar nos alnos cera esranheza
e algma dicldade de compreenso, so con-
ceitos que estimulam sobremaneira a curiosida-
de e a inio e, por conseqência, ambém o
ineresse dos alnos pela Maemáica.
Qando ma progresso geomérica em
por rao m número real enre –1 e 1, die-
rene de ero, a seqência “ende” para ero.
Com isso, qeremos dier qe, à medida qe
amenamos a qanidade de ermos da se-
qência, mais o úlimo ermo se aproxima de
ero, mio embora nnca sea igal a ero.
A progresso geomérica 4, 2, 1,1
2,
1
4, ...,
por exemplo, ende a ero, assim como a
progresso –3, 1, –
1
3 ,
1
9 , –
1
27 , ... Nesses dois
casos, em qe a rao é m número real en-
re –1 e 1, é possível deerminar o ermo qe
desearmos, mas ele poderá ser o peqeno
qe, dependendo das exigências, poderá ser
considerado nlo. O cenésimo ermo da pri-
meira seqência, por exemplo, é igal a m
número qe em 30 eros após a vírgla, anes
de aparecer o primeiro algarismo no nlo.
É m número peqeno, se or comparado àespessra de m o de cabelo, mas no é pe-
qeno, se comparado às dimensões aômicas.
Amenando ainda mais o número de ermos,
além dos cem, chegará m momeno em qe o
reslado será peqeno mesmo qando com-
parado com a medida de raios aômicos. Mas
o ermo ainda no será nlo e ainda poderá
ser diminído. Nesse raciocínio eso conidas
as ideias da coninidade e do limie.
Connos nméricos innios e discreos,
como os Narais e os Ineiros, á oram es-
dados, em séries aneriores, e reomados
agora, no Ensino Médio. O ao de esses
connos possírem qanidade inmerável
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52
de elemenos esá, normalmene, bem as-
similada pelos alnos, nesa eapa de ensino,
ma ve qe a ideia do “mais 1”, no caso dos
Narais, o do “menos 1”, no caso dos In-eiros, caracerísicas dos connos discre-
os, vem sendo apresenada a eles desde qe
comearam sa escolaridade. A dicldade
srge na passagem do discreo para o coní-
no, qando a noo de innio ganha ma
nova dimenso. Como explicar, por exemplo,
qe m segmeno AB, de deerminado com-
primeno, pode ser dividido em anas pares
qanas se desear, no havendo medida li-mie para o comprimeno de cada ma das
pares qe srgem?
Na Grécia aniga, a conraposio enre
discreo e coníno raia, á, algns proble-
mas de inerpreao. Para os piagóricos,o número era a reerência de oda dúvida e
oda dicldade. Segndo eles, se no osse
pelo número e por sa narea, nada do qe
exise poderia ser compreendido por algém,nem em si mesmo, nem com relao a oras
coisas. Os números consiíam o verdadeiro
elemeno de qe era eio o mndo. Chama-
vam m ao pono, s à linha, ês à sperí-
cie e qa ao sólido. A parir de m, s, ês
e qa, podiam consrir m mndo.
A concepo geomérica dos gregos do
séclo V a.C., infenciada pela viso dos pi-
agóricos, enendia qe o número de ponosde ma linha deerminada seria nio, mio
embora no osse possível qanicá-lo. Em
oras palavras, a noo do coníno no a-
ia pare das ideias geoméricas de eno. Essa
concepo de ma série de ponos saposos,
como ma grande la, de maneira qe qal-
qer segmeno poderia ser qanicado como
ma deerminada qanidade de ponos, o,
em oras palavras, qe odo segmeno po-deria ser mensrável, cai por erra a parir
da descobera da incomensrabilidade siml-
ânea da diagonal e do lado do qadrado: se
m é pereiamene mensrável, o oro no
poderá ser.
O proessor poderá comenar com ses
alnos algns dos aspecos hisóricos qe
localiam a crise da escola piagórica em re-
lao à incomensrabilidade de 2 e à des-
cobera dos irracionais. uma boa “enrada”
para a qeso é a apresenao dos para-
doxos de zeno, especialmene o paradoxo
da corrida enre Aqiles e a ararga, qe
disciremos mais adiane. Parece-nos, por-
ano, qe o conexo das progressões geo-
méricas endendo a ero pode ser ma boa
pora de enrada para a inrodo da noo
de innio associada à de coninidade dosnúmeros reais.
Para inrodir o limie da soma dos in-
nios ermos de ma PG, sgerimos qe
o proessor recorra, prioriariamene, à
inio dos alnos, posergando a neces-
sária ormaliao para mais arde, qando
o conceio esiver raoavelmene consrído.
Nesse senido, o proessor pode parir do
cálclo da soma de ermos de ma PG comas caracerísicas deseadas, amenando,
poco a poco, o número de ermos, a m
de inir a ideia de qe haverá m limie para
a soma, como no problema segine, qe co-
menamos em dealhes.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Anecedendo a resolo, o proessor podepropor aos alnos as segines qesões:
a) Quanto mede o lado PQ do triângulo
PQR? E os lados PR e RQ?
b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC,
PQR e STU?
c) Escreva uma sequência numérica cujos
termos são os perímetros dos triângulosABC, PQR, STU e mais outros dois triân-
gulos construídos segundo o critério.
Para essas qesões, é imporane qe o
proessor disca, inicialmene, qe, dado m
riânglo ABC, se P e Q so ponos médios
A
PB
C
Q
R U
TS
O triângulo ABC da fgura é equilátero
de lado 1. Unindo os pontos médios dos lados
desse triângulo, obtemos o segundo triânguloPQR. Unindo os pontos médios dos lados do
triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo
STU, e assim sucessivamente. Determine a
soma dos perímetros dos infnitos triângulos
construídos por esse processo.
dos lados AB e BC, respecivamene, eno
PQ é paralelo a AC, e sa medida é igal à
meade de AC. O mesmo vale para os demais
lados do riânglo PQR, viso qe o riângloABC é eqiláero.
Dessa orma, os perímeros dos riânglos
da gra so 3,3
2e
3
4.
A seqência de riânglos assim consrí-
dos erá perímeros respecivamene igais a:
3,3
2,
3
4,
3
8,
3
16, ....
Após esse rabalho inicial, sgere-se qe osalnos calclem as somas dos perímeros: dos
dois primeiros, dos rês primeiros e assim por
diane.
Assim, os alnos oberiam as somas:
S1
= 3
S2
= 3 +3
2=
9
2= 4,5
S3 = 3 + 32
+ 34
= 214
= 5,25
S4
= 3 +3
2+
3
4+
3
8=
45
8= 5,625
S5
= 3 +3
2+
3
4+
3
8+
3
16=
93
16= 5,8125
S6= 3 +
3
2+
3
4+
3
8+
3
16+
3
32=
18916 = 5,90625
S7= 3 +
3
2+
3
4+
3
8+
3
16+
3
32+
3
64=
381
64= 5,953125
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54
Após esses cálculos, o proessor poderia
solicitar que os alunos fzessem suas conjec-
turas a respeito deles, procurando responder à
questão: O que acontece à soma, se as parcelas
orem aumentando com os perímetros de outros
triângulos da sequência?
É importante discutir com a classe que as
somas aumentariam, com o acréscimo de novas
parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.
O uso da órmula da soma dos termos de
uma PG pode ampliar essa discussão:
S =a
n. q – a
1
q – 1=
an
.
1 4 3
1 4 3
1
2–3
1
2–1
=
an
2– 3
– 1
2
A soma assim obtida está em unção de an,
aqui considerado o último termo. O questiona-
mento seguinte aos alunos é sobre o que ocorre
com an, à medida que n cresce muito. As respos-
tas dos alunos tendem a caminhar no sentidoda intuição de que o último termo da sequên-
cia, supondo grande número de termos, será
praticamente zero ou, como o proessor pode-
rá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio
da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos
como fca a expressão da soma, uma vez que an
é praticamente nulo. O correto será, nesse mo-
mento, trocar “S” por “lim Sn
”
lim Sn
=
an
2 – 3
– 1
2
= 0 – 3
– 1
2
= 6
Esse resultado nos diz que, quanto mais
acrescentarmos termos à soma em questão,
∞
∞
mais nos aproximaremos do valor limite, 6,
sem jamais alcançá-lo.
Assim, podemos escrever que a série infni-ta 3 +
3
2+
3
4+
3
8+
3
16+ ... = 6, ou seja, o
limite da soma quando n tende ao infnito é 6.
Reproduzindo esse raciocínio na expressão
do cálculo da soma da PG, obtém-se a expres-
são do limite da soma dos infnitos termos de
uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,
que é esta:
lim Sn
= a1
1 – q
A partir dessa discussão, será possível pro-
por aos alunos a resolução das seguintes situa-
ções-problema exemplares.
Problema 1
Por mais que aumentemos o número de
termos na adição
S = 2 +1
2 +1
8 +1
32 + ...,
existirá um valor limite, isto é, um valor do
qual a soma se aproxima cada vez mais, po-
rém nunca o atingindo? Qual é esse valor?
O valor procurado corresponde ao limite da
soma de uma PG de razão1
4para o número
de termos tendendo a infnito. Podemos azer:
lim S n =
a1
1 – q = 1 – 1
4
2
=
8
3
Portanto, por mais que aumentemos a
quantidade de parcelas da soma, nunca
ultrapassaremos o valor8
3, embora cada
vez mais nos aproximemos dele.
∞
∞
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Pbema 2
Calcule o resultado limite das seguintes somas:
a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 +0,0001 – ....
–100
11
b) S =2
5+
1
5+
1
10+
1
20+
1
40+ ....
4
5
Pbema 3
uma bola de borracha cai da alra de 6 m,
bae no solo e sobe aé a era pare da al-
ra inicial. Em segida, a bola cai novamene,
bae no solo, invere o senido de movimeno
e sobe aé aingir a era pare da alra an-
erior. Coninando se movimeno segndo
essas condiões, iso é, aingindo, após cada
baida, a era pare da alra qe aingi
após a baida imediaamene anerior, qal
será a disância verical oal percorrida pela
bola aé parar?
6 m
Temos a seguinte soma para as distâncias
percorridas pela bola, durante as descidas:
S descida = 6 + 2 +
2
3 +
2
9 + ....
Temos a seguinte soma para as distâncias
percorridas pela bola, durante as subidas:
S subida
= 2 + 2
3+
2
9+ ....
S descida
= m S n ∞
=a
1
1 – q=
1 –1
3
2= 3
S subida
= 6 + 3 = 9
Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a S
descida+ S
subida= 12 m.
Pbema 4
Resolva a eqao em qe o primeiro ermo
da igaldade é o limie da soma dos ermos
de ma PG innia:x
2+
x
8+
x
32+ ... = 18
1 –1
4
x
2
= 18 ⇒ x = 27
Pbema 5
(Adapado do Paradoxo de zeno) uma
corrida será dispada enre Aqiles, grande
alea grego, e ma ararga. Como Aqiles é
10 vees mais rápido do qe a ararga, esa
parirá 10 meros à rene de Aqiles, conor-
me represenado no esqema abaixo.
10 m
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56
c) Calcle a soma das innias disânciaspercorridas por Aqiles aé chegar aopono em qe se enconrava a ararga
a cada ve.
m S n
=a
1
1 – q=
10
1 – 0,1=
10
0,9=
100
9m.
) Qanos meros percorrerá Aqiles aéalcanar a ararga? O você acrediaqe ele no a alcana?
Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer
100
9
m.
Pbema 6
Qal é o reslado da rai
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...... ?
A expressão pode ser re-escrita da seguinte
orma:
2 . 2 . 2 . 2 . ... = 2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
2
+1
4
+1
88
+1
16
+ ...
Trata-se de calcular o limite da soma da PG
de primeiro termo igual a1
2e razão igual a
1
2, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da
raiz é igual a 21 = 2.
Pbema 7
uma dívida oi paga, mensalmene, da se-gine maneira:
1o mês: meade do valor inicial da dívida;
2o mês: meade do valor resane após o pa-
gameno da parcela anerior;
Qando Aqiles chego ao pono em qe
a ararga esava inicialmene, depois de per-
correr 10 m, a ararga, 10 vees mais lena,
esava 1 m à rene.
Aqiles, eno, corre 1 m, aé o pono em
qe a ararga esava, mas ela á no esava
mais lá: esava 10 cm à rene, pois corre, no
mesmo inervalo de empo, 10 vees menosqe Aqiles, e a décima pare de 1 mero é
10 cm.
Repeindo esse raciocínio para os iner-
valos de empo segines, parece qe Aqilesnnca alcanará a ararga, pois ela sempre
erá percorrido 1
10do qe Aqiles percorrer.
Será mesmo verdade qe ele nnca alcanará
a ararga?
a) Escreva a seqência das disâncias qeAqiles percorre aé chegar ao ponoem qe a ararga esava a cada ve.
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ....
b) A seqência das disâncias é ma PG.Qal é a rao dessa PG?
0,1.
∞
1 m
10 cm
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
3o mês: meade do valor resane após o
pagameno da parcela anerior;
4o
mês: meade do valor resane após opagameno da parcela anerior;
e assim scessivamene, aé a qiao
oal da dívida.
Veriqe qe a soma das parcelas pagas
corresponde ao valor oal da dívida.
Levando-se ao pé da letra a descrição
ornecida no enunciado, a dívida jamais
seria paga, pois sempre restaria um resíduo, por menor que osse. Podemos, no entanto,
calcular o limite da soma da PG ormada
pelas parcelas, pois esse será o valor limite
da dívida. Chamando de x o valor total
da dívida,
S =x
2+
x
4+
x
8+
x
16+ ... =
a1
1 – q=
1 –1
2
x
2 =1
2
x
2 = x
Pbema 8
Deermine a gerari da díima 1,777...
O aluno deve ser convidado a decompor a
dízima em uma soma:
1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + .....
Depois, sugira que escreva essa soma utili-
zando rações para representar os números
envolvidos. Assim,
1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + .....= 1 +7
10+
7
100+
7
1000+ ....
Desse modo, os alunos concluirão que as
parcelas 7 10
, 7 100
, 7 1000
, .... ormam uma
PG infnita de razão q =1
10e primeiro termo
a1
= 7
10.
Assim, aplicando a órmula do limite da
soma lim Sn =a
1
1 – q, obtém-se:
lim Sn =a
1
1 – q=
1 –1
10
7
10=
9
10
7
10=
7
9 .
Desse modo, a geratriz de 1,777... será
1 + 7
9= 16
9.
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Cseaes sbe a avaa
Nesa Siao de Aprendiagem, aborda-
mos dois conceios maemáicos bem abran-
genes, qe oram os conceios de coninidade
e de innio. Isso se de a parir do rabalho
com siaões-problema, cas resolões im-
plicavam a soma dos ermos de ma PG in-
nia, com rao real enre –1 e 1. No exise,
de orma algma, a preenso de qe esses
conceios seam pereiamene compreendi-
dos nesa eapa de escolariao, na 1a série
Na 1a série do Ensino Médio, os alnos,iniciando se úlimo ciclo de escolaridade bá-sica, comeam a omar conao com aspecosda Maemáica qe exigem maior elaboraoalgébrica e ambém a mobiliao de esra-égias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo
qe os coneúdos maemáicos apresenados aeles nese momeno seam ainda de poca di-cldade conceial, o proessor deverá esaraeno para a presena de alnos qe, evenal-mene, no enham consegido complear aconsro conceial da maneira proeada.Se processos de recperao so imporanesem qalqer eapa de escolaridade, o so ain-
da mais agora, ao iniciar-se o Ensino Médio.
Para os alnos qe necessiarem de recpe-rao, sgerimos, em primeiro lgar, qe o ipo
de consro dos conceios proposo nese
Caderno no sea alerado, sobredo no qe
di respeio à idenicao da reglaridade da
seqência e à possibilidade de radi-la por
inermédio de ma eqao maemáica. Se no
se alera a concepo, alera-se, por oro lado,
a orma com qe devem ser abordados os con-
ceios. Assim, sgerimos qe o proessor:
prepare e apliqe lisas de problemas com ca-f
racerísicas mais ponais, qe explorem de
orma mais lena e gradal cada conceio;
recorra ao livro didáico adoado e am-f
bém a oros, selecionando problemas e
agrpando-os de modo a ormar lisas de
aividades em concordância com a propos-
a de consro conceial desenvolvida
nese Caderno;
orme grpos de alnos para a realiaof
conna das seqências didáicas qe ela-
boro e, se possível, convoqe alnos com
maior desenvolra nos conceios esdados
para axiliarem os grpos em recperao.
ORIENtAçÕES PARA RECuPERAçãO
do Ensino Médio. Exise, sim, a ineno de
qe possam er sido aponadas relaões qe
sero exploradas na 3a série, qando os alnos
esiverem esdando o conno de odas as
nões e as axas de variao.
Com relao aos insrmenos pensados
para a avaliao dos conceios rabalhados no
período, valem, aqi, as consideraões eias
na Siao de Aprendiagem anerior, a res-
peio da permisso ao so de calcladoras o
à inormao sobre o reslado das poências
de expoenes elevados.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DOPROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA
Caso o proessor lge necessário apro-ndar o esdo de algns dos emas apre-
senados nese Caderno, sgerimos a leira,
denre oros, dos segines arigos da Revista
do Proessor de Matemática (RPM), da Socie-
dade Brasileira de Maemáica:
ÁVILA, G. “As séries innias”. Revisa do
Proessor de Maemáica, n. 30.
CARVALHO, P. C. P. “um problema domés-ico”. Revisa do Proessor de Maemáica, n. 32.
LIMA, E. L. “uma consro geomérica
e a progresso geomérica”. Revisa do Pro-
essor de Maemáica, n. 14.
VALADARES, E. e WAGNER, E.“usando
geomeria para somar”. Revisa do Proessor
de Maemáica, n. 39.
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conSideraçÕeS FinaiS
Nese Caderno, oram apresenadas diver-sas siaões-problema envolvendo as princi-
pais noões de seqências e de progressões
ariméicas e geoméricas. Foram sgeridas
aividades qe propiciam experiências edca-
ivas diversicadas e qe enendemos como
essenciais para o desenvolvimeno de compe-
ências relaivas a esse ema.
Convém ressalar qe as expecaivas de
aprendiagem para o 1o bimesre da 1a série do
Ensino Médio no expressam odos os coneú-
dos reerenes ao ema do bimesre, mas apenas
os aspecos considerados ndamenais, iso é,
aqeles qe possibiliam ao alno coninar
aprendendo, nos bimesres segines, sem qe
se aproveiameno sea compromeido.
Assim, espera-se qe o alno, ao nal do
bimesre, obenha os ermos de ma seqência
a parir da expresso de se ermo geral e de-
ermine essa expresso a parir de ses ermos.
Além disso, o alno deverá classicar ma
progresso (ariméica o geomérica), ober
a expresso do ermo geral e calclar a soma
dos ermos de ma progresso em siaões
diversas. Em relao às progressões geoméri-
cas, espera-se, ambém, qe o alno calcle o
limie da soma de ma PG innia.
Ressale-se qe a avaliao deve ornecer
inormaões ao esdane sobre se desen-
volvimeno, a respeio de sas capacidades
em iliar as noões aprendidas em sia-
ões-problema. Por oro lado, a avaliao
deve ornecer ao proessor dados sobre a
aprendiagem de ses alnos, para a ade-
qao das siaões apresenadas e a pro-
posio de novas.
O proessor deve er clareza sobre os
criérios da avaliao e as limiaões e pos-
sibilidades dos insrmenos qe serão i-
lizados. Os insrmenos de avaliação de-
vem, ambém, conemplar as explicações,
jsifcaivas e argmenações orais, ma
ve qe esas revelam aspecos do raciocínio
qe, mias vezes, não fcam explícios nas
avaliaões escrias.
Para qe se enha ma ideia mais níida
das múliplas iner-relaões enre os diver-
sos coneúdos aqi raados, apresenamos,
a segir, a grade crriclar com os coneúdos
de Maemáica de odas as séries do Ensino
Médio, desacando-se com m sombreado os
coneúdos de oras séries e de oros bimes-
res direamene relacionados com os coneú-
dos apresenados nese Caderno.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
conTeÚdoS de MaTeMÁTica Por SÉrie/biMeSTre
do enSino MÉdio1a sée 2a sée 3a sée
1 o B
i m e s t r e
NÚMEROS E SEQuÊNCIAS- Connos nméricos.- Reglaridades nméricas:seqências.- Progressões ariméicas, pro-gressões geoméricas; ocorrênciasem dierenes conexos; noõesde Maemáica Financeira.
tRIGONOMEtRIA- Arcos e ânglos; gras e radia-nos.- Circnerência rigonomérica:seno, cosseno, angene.- Fnões rigonoméricas eenômenos periódicos.- Eqaões e ineqaões rigono-méricas.- Adio de arcos.
GEOMEtRIA ANALÍtICA- Ponos: disância, pono médioe alinhameno de rês ponos.- Rea: eqao e esdo doscoecienes, reas paralelas e per-pendiclares, disância de ponoa rea; problemas lineares.- Circnerências e cônicas: pro-priedades, eqaões, aplicaõesem dierenes conexos.
2 o B
i m e s t r e
FuNçÕES- Relao enre das grandeas.- Proporcionalidades: direa,inversa, direa com o qadrado.- Fno do 1o gra, no do2o gra; signicado e ocorrênciaem dierenes conexos.
MAtRIzES, DEtERMINAN-tES E SIStEMAS LINEARES- Maries: signicado como a-belas, caracerísicas e operaões.- A noo de deerminane dema mari qadrada.- Resolo e discsso de sise-mas lineares: escalonameno.
EQuAçÕES ALGÉBRICAS,POLINÔMIOS, COMPLEXOS- Eqaões polinomiais: hisória,das órmlas à análise qaliaiva.- Relaões enre coecienes e ra-íes de ma eqao polinomial.- Polinômios: idenidade, divisopor x - k e redo no gra dema eqao.- Números complexos: signica-do geomérico das operaões.
3 o B
i m e s t r e
FuNçÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍtMICA- Crescimeno exponencial.- Fno exponencial: eqaõese ineqaões.- Logarimos: denio, proprie-dades, signicado em dierenesconexos.- Fno logarímica: eqaõese ineqaões simples.
ANÁLISE COMBINAtÓRIA
E PROBABILIDADE- Raciocínio combinaório: prin-cípios mliplicaivo e adiivo.- Probabilidade simples.- Arranos, combinaões e per-maões.- Probabilidades; probabilidadecondicional.- triânglo de Pascal e Binômiode Newon.
EStuDO DAS FuNçÕES
- Panorama das nões á es-dadas: principais propriedades.- Grácos: nões rigonoméri-cas, exponenciais, logarímicas epolinomiais.- Grácos: análise de sinal, cres-cimeno, decrescimeno, axas devariao.- Composio: ranslaões, refe-xões, inversões.
4 o B
i m e s t r e
GEOMEtRIA-tRIGONOME-tRIA- Raões rigonoméricas nos
riânglos reânglos.- Polígonos reglares: inscrio,circnscrio; pavimenaosperícies.- Resolo de riânglos noreânglos: lei dos senos e lei dosco-senos.
GEOMEtRIA MÉtRICAESPACIAL- Organiao do conhecimeno
geomérico: conceios primiivos,deniões, poslados, eoremas.- Prismas e cilindros: proprieda-des, relaões méricas.- Pirâmides e cones: proprieda-des, relaões méricas.- A esera e sas pares; relaõesméricas; a esera erresre.
EStAtÍStICA- Cálclo e inerpreao deíndices esaísicos.
- Medidas de endência cenral:média, mediana e moda.- Medidas de disperso: desviomédio e desvio padro.- Elemenos de amosragem.
O sombreado assinala os coneúdos relacionados aos rabalhados nese bimesre.
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