A FÓRMULA DE CARDANO PARA A EQUAÇÃO CÚBICA

Faz parte do curso História da Matemática Através de

Problemas

curso: NTEM - UFF

O método de Cardano para resolver equações cúbicas, adaptado às nossas notações modernas, é essencialmente o

seguinte:Consideremos a equação cúbica completa.

z3 + az2 + bz + c = 0Se a ≠ 0, a substituição z = x −a/3 transforma a cúbica completa em uma equação cúbica na forma reduzida, isto é, uma equação cúbica sem o termo de

2º grau: x3 + Px + Q = 0

Assim, cada solução x0 da cúbica reduzida nos da uma solução z0 = x0 − a/3 da cúbica completa.

Para resolver o problema da cúbica reduzida, Cardano “tenta” obter uma solução na forma

x = u + v

Ele nota que

(u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3

ou seja,

(u + v)3 − 3uv(u + v) − (u3 + v3) = 0

Tendo em conta esta última identidade,

Cardano observa que para que x = u+v seja solução da cúbica x3 + Px + Q = 0, é

suficiente encontrar u e v satisfazendo

3uv = −P e u3 + v3 = −Q

ou seja,

QvueP

vu −+−= 333

33

27

Ao estilo de Diofanto (veja a equação do 2º grau), fazendo então

u3 = −Q/2 + a e v3 = −Q/2 − ateremos

2742742

322

32

22

233 PQpQQvu +=⇒−=−=−

= ααα

Se 0274

32

≥+ PQDeduzimos então

DPQ ±=+±=274

32

α

Onde É chamado de discriminante da cúbica reduzida x³ + Px +Q=0274

32 PQD +=

Finalmente, assumindo que , teremos, para ,D=α0≥D

DQ

veDQ

u −−=+−=22

33

33

22D

QD

Qvux −−++−=+=

3

32

3

32

27422742

PQQPQQvux +−−+++−=+=

E então

Ou seja

O mesmo resultado é obtido quando consideramos (verifique), assumindo que a raízes cúbicas calculadas são

as raízes cúbicas reais de números reais.

D−=α