I

FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE PRESIDENTE VENCESLAU – SP. (FAFIPREVE)

DEJANIR DE OLIVEIRA

A GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO.

PRESIDENTE VENCESLAU

2008

II

DEJANIR DE OLIVEIRA

A GEOMETRIA FRACTAIS NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Monografia apresentada à Banca examinadora para a obtenção do titulo de Licenciatura Plena em Matemática, da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Presidente Venceslau – FAFIPREVE.

ORIENTADOR Prof. Ms. Roberto Cavali

CO-ORIENTADORA

Profª. Ms. Sara Coelho da Silva

PRESIDENTE VENCESLAU - SP

2008

III

Dedico este trabalho primeiramente a Deus; a

minha esposa Marlene Silva de Oliveira, pelo

incentivo e apoio; ao meu pai Cícero de Oliveira

(in memoriam) e minha mãe Terezinha Maria de

Oliveira, meus filhos: Thiago, Willian, Jonathan,

Amanda, Junior e Luana, por compreenderem a

minha ausência, durante a realização deste

trabalho.

IV

AGRADECIMENTOS

Aos professores, especialmente à Professora Sara Coelho da Silva e ao Professor

Roberto Cavali, pela contribuição na orientação, e dentro de suas áreas, para o

desenvolvimento dessa monografia, e, principalmente pela dedicação e

empenho que demonstraram no decorrer de suas atividades durante o curso.

As amigas e estudantes do curso de matemática, da FAFIPREV, Sandra Ap.

Costa, Gisela e Graziela Carrinho Garcia, pelo empenho e auxílio, em

momentos difíceis e decisivos, já que sem a valorosa ajuda seria difícil até

mesmo terminar o curso.

A todos aqueles que, direta ou indiretamente, colaboraram para que este

trabalho consiga atingir aos objetivos propostos.

V

"Os analfabetos do próximo século não são aqueles que não sabem ler ou escrever, mas aqueles que se recusam a aprender, reaprender e voltar a aprender"

(Alvin Toffler)

VI

RESUMO

Até a década de setenta a geometria Euclidiana era vista de uma maneira única e

absoluta, era tida como a melhor maneira de se descrever o mundo, até que surgiram os

primeiros estudos sobre a geometria Fractal, quando estes estudos passaram a ser

reconhecidos cientificamente a humanidade passou a ver o mundo com outros olhos. Assim

sendo, o presente trabalho teve como objetivo principal fazer um levantamento sobre esta

nova Geometria procurando destacar: o ambiente dos fractais (onde podem ser encontrados);

a sua ligação com a teoria do Caos; as possíveis aplicações dos fractais nas várias áreas do

conhecimento e da ciência e; a importância de trabalhar com os fractais nas salas de aula de

ensino fundamental e médio.

Palavras - chave: Fractal, Teoria do Caos, Sala de Aula

VII

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO......................................................................................................................... 1

CAPÍTULO 1............................................................................................................................. 4

1.1. DEFINIÇÃO DE FRACTAL.................................................................................... 4

1.2. BENOIT MANDELBROT........................................................................................ 7

1.3 A GEOMETRIA FRACTAL...................................................................................... 8

CAPÍTULO 2........................................................................................................................... 10

2.1. TEORIA DO CAOS................................................................................................ 10

2.2. EXEMPLOS DE CAOS.......................................................................................... 12

2.3. JOGO DO CAOS..................................................................................................... 14

CAPÍTULO 3........................................................................................................................... 17

3.1. FRACTAIS NA NATUREZA................................................................................. 17

3.2. FRACTAIS NA MEDICINA.................................................................................. 24

3.3. FRACTAIS NA ARTE............................................................................................ 27

CAPÍTULO 4........................................................................................................................... 29

4.1. FRACTAIS GEOMÉTRICOS................................................................................ 29

4.2. FRACTAIS ALEATÓRIOS.................................................................................... 30

4.3. CONJUNTO DE MANDELBROT......................................................................... 31

4.4. CONJUNTO DE CANTOR.................................................................................... 32

4.5. CURVA DE KOCH................................................................................................. 33

4.6. FLOCO DE NEVE DE KOCH............................................................................... 34

4.7. TRIANGULO DE SIERPINSKI............................................................................. 35

4.8. CURVA DE PEANO............................................................................................... 36

CAPÍTULO 5........................................................................................................................... 38

5.1. ATIVIDADES PRÁTICAS..................................................................................... 38

5.1.1. CARTÃO FRACTAL........................................................................................... 39

5.2. SOFTWARE PARA A CONSTRUÇÃO DE FRACTAL...................................... 44

5.2.1. SOFTWARE FRACTAL FORGE....................................................................... 44

5.2.2. SOFTWARE SUPER LOGO............................................................................... 45

VIII

5.3. ENSINANDO A TARTARUGA............................................................................ 50

CAPÍTULO 6........................................................................................................................... 51

6.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................. 51

6. 2. CONCLUSÕES...................................................................................................... 53

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................... 54

IX

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

EQUAÇÕES

Equação 1 Equação geral da Dimensão Fractal de uma linha litorânea qualquer................... 22

Equação 2. Equação hipotética da Dimensão Fractal de uma linha litorânea qualquer........... 23

FIGURAS

Figura 1 Semente Inicial.......................................................................................................... 15

Figura 2 Jogo do Caos após 1.000 jogadas.............................................................................. 15

Figura 3 Jogo do Caos após 5.000 jogadas.............................................................................. 15

Figura 4 Jogo do Caos após 10.000 jogadas............................................................................ 15

Figura 5 Início da construção do triangulo de Sierpinski........................................................ 16

Figura 6 Metade da construção do triangulo de Sierpinski...................................................... 16

Figura 7 Triangula de Sierpinski pronto.................................................................................. 16

Figura 8 Linha Costeira Ampliada........................................................................................... 21

Figura 9 Representação de uma linha Costeira qualquer......................................................... 23

Figura 10 Seqüência de DNA.................................................................................................. 24

Figura 11 Vasos Sangüíneos do Coração................................................................................. 25

Figura 12 Ramificações Pulmonares........................................................................................ 25

Figura 13 Triângulo de Sierpinski........................................................................................... 29

Figura 14 Esponja de Menger.................................................................................................. 29

Figura 15 Conjunto de Cantor.................................................................................................. 32

Figura 16 Curva de Koch......................................................................................................... 33

Figura 17 Floco de Neve de Koch........................................................................................... 34

Figura 18 Construção do triângulo de Sierpinski..................................................................... 35

Figura 19 Construção do triângulo de Sierpinski a partir do Triangulo de Pascal.................. 35

Figura 20 Inicia da Construção Curva de Peano...................................................................... 36

X

Figura 21 Segundo passo da Construção Curva de Peano....................................................... 36

Figura 22 Terceiro passo da Construção Curva de Peano....................................................... 36

Figura 23 Quarto passo da Construção Curva de Peano.......................................................... 37

Figura 24 Segundo passo da construção do cartão Fractal...................................................... 39

Figura 25 Terceiro passo da construção do cartão Fractal....................................................... 40

Figura 26 Quarto passo da construção do cartão Fractal......................................................... 40

Figura 27 Quinto passo da construção do cartão Fractal......................................................... 40

Figura 28 Sexto passo da construção do cartão Fractal........................................................... 41

Figura 29 Sétimo passo da construção do cartão Fractal......................................................... 41

Figura 30 Oitavo passo da construção do cartão Fractal......................................................... 42

Figura 31 Nono passo da construção do cartão Fractal........................................................... 42

Figura 32 Árvore Fractal no logo tamanho 100....................................................................... 45

Figura 33 Triângulo de Sierpinski construído no Logo........................................................... 46

Figura 34 Samambaia construída no logo................................................................................ 47

Figura 35 Floco de Neve de Koch construído no Logo........................................................... 48

IMAGENS

Imagem 1 Benoit Mandelbrot.................................................................................................... 7

Imagem 2 Comparação dos brócolis e o feto........................................................................... 18

Imagem 3 As Samambaias e os fetos....................................................................................... 19

Imagem 3 Ciclone.................................................................................................................... 20

Imagem 4 Relâmpagos............................................................................................................. 20

Imagem 5 Quadro Fractal Artístico Inspiration de Nicholas Rougeux.................................... 27

Imagem 7 Quadro Fractal Artístico Thrive de Nicholas Rougeux.......................................... 28

Imagem 7 Fractal Gerado por Computador............................................................................. 30

Imagem 8 Ampliações do conjunto de Mandelbrot................................................................. 31

Imagem 9 Ampliações de outras áreas do Conjunto de Mandelbrot....................................... 31

Imagem 10 seqüências de aproximações no Fractal Forge...................................................... 44

XI

TABELAS

Tabela 1 Mostra o numero de iterações realizadas e os paralelepípedos que se formaram..... 43

1

INTRODUÇÃO

O interesse em realizar este trabalho de conclusão de curso surgiu um dia enquanto

fazia uma pesquisa na internet sobre a geometria Euclidiana para um trabalho da faculdade

quando deparei- me com uma imagem que chamou- me a atenção, era uma figura diferente de

tudo o que eu já tinha visto muito bela e intrigante era à imagem de um fractal aleatório. Após

terminar meu trabalho e movido pela curiosidade a pesquisa sobre a geometria Fractal

continuou, procurando descobrir quem,quando, e por que esta nova geometria surgiu, e quem

foi seu inventor, e os matemáticos que o precederam nesse trabalho, eu ainda não sabia, mas o

tema da minha monografia acabava de ser escolhida e era apenas uma questão de tempo.

Durante conversas com meus colegas de sala e com outros amigos da faculdade descobri que

muitos deles se quer tinham ouvido falar da geometria fractal e não tinha a menor idéia do que

se tratava de volta á pesquisa descobri varias aplicações da geometria fractal e foi só então

que decidi fazer minha monografia em cima desse tema.

A partir do surgimento da “Teoria do Caos” como uma nova ciência tornou possível

aos estudiosos das ciências, atingirem novos horizontes nas diversas áreas do conhecimento,

novas abordagens, a realidade e sua evolução se apresentam em uma nova perspectiva e agora

podemos ver o mundo com outros olhos. Esta nova postura na pesquisa cientifica, tenta

explicar acontecimentos que fogem aos padrões estabelecidos e que já estávamos

acostumados na Geometria Euclidiana, e que até hoje são desconhecidos. Poderíamos

considerar que a noção de caos nos leva a pensar que os acontecimentos não têm uma lógica,

ou seja, as coisas não teriam uma ordem definida, o que não é verdade.

Conforme GLEICK, (s/d, p. 23) apud SILVA (2007) dentre as expressões

matemáticas que constituem a Teoria do Caos, é preciso que se conheça pelo menos três

conceitos básicos. Que são eles:

O primeiro foi apresentado no final do século passado pelo precursor da Teoria do Caos, o matemático francês Jules Henri Poincaré (1845-1912), [...] veio dele a noção de que uma pequena causa pode levar a grandes efeitos. Com o tempo, o enunciado ficou conhecido [...], como O Efeito, Borboleta. [...] Outro princípio geral, o da sensibilidade às condições iniciais, foi formulada pelo meteorologista americano Edward Lorenz, nos anos 60. Ao fazer simulações em computador sobre o deslocamento das nuvens, ele descobriu que o resultado final variava sutilmente, de acordo com a quantidade de números colocados depois da vírgula. [...] Outro suporte da Teoria do Caos são as repetições de um mesmo tipo de estrutura, as bifurcações ou ramificações [...]. (p.3)

2

O princípio da Teoria do Caos nos dá em um primeiro momento a idéia que a solução

para alguns sistemas não existe, e que tudo não passa de uma enorme bagunça. A Teoria do

Caos, ao contrário do que o nome possa sugerir, vem no seguimento da busca de um padrão

em todos os comportamentos irregulares. Um dos estudiosos que muito fez uso da Teoria do

Caos para criar uma nova Geometria foi Benoit Mandelbrot que definiu novos conceitos na

sua busca por definir as variações de certas formas e fenômenos matemáticos, e naturais

chegando às conclusões, que mais tarde o levou a desenvolver a Geometria fractal baseada

nas frações, criando o termo fractal.

Dentre os diversos campos do conhecimento cientifico escolhemos nos concentrar na

pesquisa na área da educação mais precisamente no Ensino Fundamental e Médio com o foco

voltado para a sala de aula por sua grande importância na construção do conhecimento dos

jovens.

Nos tempos modernos onde a velocidade da informação esta a cada dia mais rápido, e

com computadores mais e mais velozes e capacidade de calculo esta aumentando dia a dia e

se multiplicando sendo que as futuras tecnologias podem ainda nos revelar muito do mundo

em que vivemos e acreditamos que a Geometria Fractal tem muito á contribuir com estas

novas descobertas é que nos propomos a desenvolver desta pesquisa.

A pesquisa baseia-se numa visão geral do universo da Teoria do Caos e

especificamente dos Fractais, sendo orientada na busca de uma nova abordagem dentro da

concepção do estudo da Geometria e do mundo em que vivemos, a partir destas concepções

teóricas, buscamos definir o que é um Fractal, onde podem ser encontrados, quais os tipos,

como podemos construí-los usando materiais simples e de fácil acesso ou fazendo uso das

salas de informáticas das escolas que muitas vezes existem, mas não são usadas buscando

despertar nos alunos o fascínio por este admirável mundo novo.

Para esta tarefa procuramos demonstrar ao longo do trabalho as mais variadas

aplicações da Geometria Fractal: No Capitulo 1 Apresentamos vários conceitos tais como a

definição de fractal que nos trás o Dicionário Aurélio e as mais aceitas pelos autores

consultados, trazemos ainda um breve histórico de quem foi Benoit Mandelbrot “Pai da

Geometria Fractal”, sua carreira, onde nasceu, mostramos aos leitores o que vem a ser a

Geometria Fractal algumas de suas características e a dimensão Fractal. No Capitulo 2

falamos sobre o Caos e ciência da Teoria do Caos e os fenômenos caóticos ligados a esta

ciência que busca dar um padrão a sistemas aparentemente caótico buscando demonstrá-los

3

através de exemplos dentre eles podemos citar o chamado "Efeito Borboleta", que diz se "uma

borboleta bate asas na China pode causa um furacão na América". Continuamos nossa

exploração a respeito da matéria falamos a respeito do jogo do caos fazendo uma ligação entre

a Teoria do Caos e os Fractais. No Capitulo 3 exploramos onde encontrar os fractais buscando

dar exemplos para facilitar a compreensão para o leitor; iniciamos falando a respeito dos

fractais na natureza passando pelos fractais na Medicina chegando até os Fractais na arte. No

Capitulo 4 falamos a respeito dos tipos de fractais, entre a enorme variedade de fractais

citamos os geométricos e os aleatórios, apresentamos alguns fractais como o conjunto de

Mandelbrot que foi o “pai” da geometria Fractal explorando a sua auto similaridade e outras

formas que pode ser encontradas dentro deste mesmo conjunto, na seqüência apresentamos os

fractais precursores que antecederam os fractais atuais e foi onde todo começou, continuamos

apresentando o Conjunto de Cantor, a Curva e o Floco de Neve de Koch, o triangulo de

Sierpinski, a Curva de Peano e as suas respectivas construções. No Capitulo 5 Trabalho

Fractais procuramos demonstrar a construção de fractais de uma maneira didática que pode

ser facilmente trabalhado em sala de aula como os Cartões Fractais e softwares

computacionais como o super logo e o Fractal Forge, e no Capitulo 6 fizemos as

considerações finais e a conclusão do trabalho.

4

CAPÍTULO 1: Apresentado conceitos

1.1. DEFINIÇÃO DE FRACTAL

No Dicionário Aurélio, temos a definição de fractal, que é uma Forma Geométrica, de

aspecto irregular ou fragmentado, que pode ser subdividida indefinidamente em partes, as

quais, de certo modo, são cópias reduzidas do todo.

Os fractais surgiram de uma idéia de revolucionar a tradicional geometria euclidiana.

Através dos conceitos da geometria euclidiana podemos modelar objetos artificiais e

elementos do mundo real com características macroscópicas. Nesta geometria os objetos são

definidos como possuindo uma, duas ou três dimensões, como os pontos, as retas, os planos

ou os sólidos.

Objetos naturais tais como nuvens, montanhas, arbustos e plantas possuem uma

característica de irregularidade que dificilmente é descrita pela geometria euclidiana; além

disso, no mundo real, um mesmo objeto pode ser visto de duas formas diferentes: visão

macroscópica ou microscópica (diferentes pontos de vista conforme a proximidade).

O matemático Benoit Mandelbrot foi quem criou a chamada geometria fractal. Esta

geometria permite a representação de certos elementos naturais que possuem características

irregulares. Com a geometria fractal torna-se possível a criação de modelos mais próximos da

realidade.

Segundo Barbosa (2005, p. 09) a palavra “fractais, baseia-se no latim, do adjetivo

fractus, do verbo frangere, correspondente significa quebrar: criar fragmentos irregulares,

fragmentar”

Siqueira (2005) nos traz a idéia de fractal estruturada com parte das ciências, e

apresenta estruturas geométricas complexas e grande beleza, vinculadas às formas da

natureza, e ao desenvolvimento da vida como a conhecemos e mesmo a compreensão do

universo. Os objetos abstratos possuem características infinitamente multiplicadas dentro de

cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

Essa geometria, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento

da tecnologia computacional e com auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia,

astronomia e matemática. O termo "fractal" foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoit

Mandelbrot, que ficou conhecido como o "pai dos fractais".

5

A definição mais simples é que Fractais são objetos gerados pela repetição de um

mesmo processo periódico, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita.

Os fractais apresentam uma infinidade de formas diferentes, aparentemente não

existindo uma igual à outra.

Existem duas características freqüentes na Geometria Fractal que segundo Siqueira

(2005) são: “Complexidade Infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. “Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar”.

Por ser uma dimensão fracionária (uma dimensão não inteira), que permite dar um

maior grau de detalhes, é a que mais se aproxima das formas da natureza, de outro modo,

permaneceriam sem dimensão precisa. O grau de irregularidade ou tortuosidade de um objeto,

ou uma linha costeira sinuosa, por exemplo, impossibilita a sua medição em termos de

comprimento, por que possui um grau determinado de irregularidade e quanto menor a

medida a ser usada maior será o grau de precisão.

Para ampliar o sentido de sua definição, Batanete et all (2005) assim determinam:

Fractal acima de tudo significa auto-semelhante. Mandelbrot classificou desta forma os seus objectos de estudo, pois estes possuíam dimensão friccionaria. As dimensões não inteiras tornaram-se, então, uma forma de quantificar qualidades que, de outro modo, permaneceriam inquantificaveis: o grau de irregularidade ou tortuosidade de um objecto. Se repararmos, todas as formas geométricas ortodoxas degeneram quando são ampliadas ou diminuídas. Um círculo numa escala muito maior não é nada mais do que uma recta. Basta ter em mente que há apenas 500 anos pensava-se que a Terra era plana. Isto, porque a escala humana não vemos mais do que uma linha recta no horizonte. No entanto, a maior parte dos objectos com que lidamos no nosso dia-a-dia não são rectas, nem esferas, nem cones. Olhando, por exemplo, para um tronco de uma árvore, verificamos que e extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno pedaço desse tronco ao microscópio observamos novas rugosidades e irregularidades que antes não tínhamos observado. No entanto esta imagem assemelha-se bastante a anterior. E esta irregularidade regular que caracteriza um fractal. (p.14)

Neste sentido, é possível afirmar que fractais são formas geométricas que se

caracterizam por repetir um determinado padrão, com constantes variações. Os fractais podem

ser identificados na natureza: na forma dos brócolis, em árvores, raios, a forma de algumas

raízes, a linha da costa marítima, as nuvens, ou gerados por computador com belas imagens

de alta complexidade matemática. Os fractais são imagens abstratas que possuem o caráter de

onipresença, por terem as características de infinita multiplicação dentro de cada partícula, e

6

em qualquer estrutura cujas ramificações sejam variações de uma mesma forma básica um

fractal se mostra similar como um todo, pois apresentam estruturas geométricas de muito

complexas e de beleza infinita, ligadas às formas da natureza.

A ciência nos revela novos mistérios a cada dia, e a cada descoberta novos e

inesperados horizontes se abrem diante dos nossos olhos, gerando mais e mais interrogações.

Os fractais deram origem a um novo ramo da matemática, muitas vezes designado como a

geometria da natureza.

Para Mandelbrot apud Lopes; Pantaleão (2000) “Nuvens não são esferas, montanhas

não são cones, o litoral não é um círculo e tampouco um relâmpago viaja em linha reta pelo

ar”.

Visando compreender a geometria fractal, a seguir, serão apresentados aspectos da

vida e obra de Mandelbrot que é tido como “O pai da geometria Fractal”.

7

1.2. BENOIT MANDELBROT: o criador da geometria fractal

Segundo Barbosa (2005, p.10) “Benoit Mandelbrot nasceu na Polônia em 1924, de

família judia, da Lituânia. Em 1936 sua família mudou-se para Paris”, onde iniciou sua

carreira acadêmica, sua carreira como matemática dividiu-se principalmente entre a França e

os EUA. Trabalhou na IBM em Nova Iorque. Com a ajuda dos potentes computadores da

IBM ele criou e desenvolveu a geometria fractal.

Imagem 1 Benoit Mandelbrot

Mandelbrot, este prodigioso e ilustre matemático contemporâneo é conhecido

mundialmente como sendo o único responsável pelo enorme interesse nos chamados objetos

fractais. Hoje em dia a sua geometria é conhecida através de bonitas gravuras coloridas que,

enriqueceram tanto a matemática moderna como a arte.

Com a introdução da coleção de figuras de Mandelbrot, em 1980, ele mostrou que

tão complexos fenômenos podiam ser criados e descritos por simples regras repetidas.

A Geometria Fractal elaborada a partir de seus estudos será apresentada a seguir.

8

1.3 A GEOMETRIA FRACTAL

Somente fractais gerados por processos através de programas de computador são

verdadeiros objetos fractais. Por outro lado, aqueles gerados por processos finitos podem não

apresentar mudanças após algum estágio, então estes são aproximações do que seria o ideal.

Os fractais são utilizados para representar terrenos, plantas, nuvens, montanhas, raios e

arbustos.

Batanete et all (2005) nos remete a fazer uma reflexão a Matemática e a geometria

fractal, consignando a definição intuitiva de um fractal como sendo um objeto gerado através

de uma formula matemática a partir de funções reais ou complexas, muitas vezes simples,

mas quando aplicadas de forma iterativa, produzem formas geométricas abstratas, com

padrões complexos que se repetem infinitamente.

Os fractais constituíram certamente uma surpresa e até mesmo um abalo para muitos

matemáticos, que de repente, viram-se confrontados com técnicas e imagens que, se por um

lado eram altamente sugestivas, por outro, não conseguiam ser justificadas nem englobadas

em situações anteriormente conhecidas.

Na revista Super Interessante (1994), encontra-se a seguinte citação:

Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras. No caso, um único fractal pode ocupar o espaço de 100 000 palavras na memória do computador. E o objetivo dos pesquisadores é de que ele sirva por outras 100 000 palavras para mostrar ao público leigo aquilo que passa na cabeça de um matemático. Muitas vezes, os matemáticos perdem anos tentando encontrar ou decifrar uma fórmula sem finalidade prática alguma ao menos imediata diz Rossetti Baptista. Fazem isso porque a matemática é lúdica, “com suas idéias abstratas. E é um pouco desse lado lúdico que as pessoas podem experimentar ao ver uma obra cuja base é uma equação. Na opinião do professor José Teixeira Coelho Neto, da Escola de Comunicação da USP, a linguagem dos fractais tem tudo a ver com o presente. Há muito tempo existe uma discussão na Arquitetura entre modernos e pós-modernos, exemplifica. Segundo ele, os modernos encaram os ângulos retos, a geometria clean1 como algo mais evoluído, enquanto os pós-modernos brigam contra esse conceito. “Assim, a geometria dos fractais vem como um reforço para o pós-modernismo” (Edição 85 Pg.22-27).

Algumas características dos fractais são muito particulares: a sua auto-semelhança, a

dimensão e a sua complexidade infinita. A auto-semelhança de um fractal baseia-se no fato de

o conjunto ser constituído por pequenas cópias de si mesmo. Assim, pode dizer-se que se

1 Geometria limpa (tradução nossa).

9

distinguem dois tipos de auto-semelhança: a exata e a aproximada, a auto-semelhança exata é

uma abstração, já a aproximada aproxima-se de objetos naturais não possuem auto-

similaridade perfeita.

A dimensão fractal relaciona-se com o grau de irregularidade ou tortuosidade de um

fractal e representa o seu grau de ocupação no espaço e a Complexidade Infinita: é uma

propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los

completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e

saliências cada vez menores a serem exploradas.

De acordo com Santos & Oliveira (2004) “A geometria fractal está intimamente ligada

à Teoria do Caos. São as estruturas quebradas, complexas, estranhas e belas desta geometria,

que conferem certa ordem ao caos”. Já para Fernandes (2007), a Teoria do Caos pode ser

considerada como a teoria que deu origem ao estudo de objetos e formas complexas, até então

não estudadas e que eram consideradas desorganizadas, mas que na verdade possuíam

seqüências de detalhes em comum. Estas formas e objetos são atualmente chamados de

fractais.

Neste sentido, Secco & Rocha (2004) definem que a Teoria do Caos pode ser vista

como um universo com sistemas, ou um conjunto de objetos que se inter-relacionam,

extremamente sensíveis às condições iniciais, uma simples alteração poderá levar a uma

mudança no resultado, gerando sistemas caóticos e indeterminados, ou seja, seus resultados

não são possíveis de serem previstos e seu comportamento não é periódico, caracterizada

como sendo a linguagem do caos.

Após a apresentação do conceito de fractal e da geometria fractal, e pelos fractais

estarem intimamente ligados à teoria do caos, iremos agora explorar um pouco dessa ciência

que tem ligação com o tema abordado neste trabalho de conclusão de curso.

10

CAPÍTULO 2: Caos

2.1. A TEORIA DO CAOS

Segundo o Dicionário Aurélio Caos, vem do latim [chaos < gr. cháos.] 2 e é um

substantivo masculino que significa grande confusão ou desordem, e na Física é um

comportamento praticamente imprevisível exibido em sistemas regidos por leis deterministas,

e que se deve ao fato de as equações não-lineares que regem a evolução desses sistemas serem

extremamente sensíveis a variações, em suas condições iniciais. Assim, uma pequena

alteração no valor de um parâmetro pode gerar grandes mudanças no estado do sistema, à

medida que este tem uma evolução temporal.

Antes do surgimento da teoria do caos muitos fenômenos não podiam ser previstos por

leis matemáticas. Os fenômenos ditos "caóticos" são aqueles onde não há previsibilidade.

Para Secco & Rocha apud Fernandes (2007), a Teoria do Caos pode ser vista como um

universo com sistemas, ou um conjunto de objetos que se inter-relacionam, extremamente

sensíveis às condições iniciais, e uma simples alteração poderá levar a uma mudança no

resultado. Sistemas caóticos são indeterminísticos, ou seja, seus resultados não são possíveis

de serem previstos e seu comportamento não é periódico.

Atualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras ciências, a Teoria do

Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar resposta às flutuações irregulares que se

encontram na Natureza.

Em uma análise sobre a teoria do caos, Almeida (2006) afirma:

A Teoria do Caos vem no seguimento da busca de um padrão em todo o comportamento irregular. A palavra caos é formada a partir de um grafo, de origem indo- européia, cujo sentido poderia ser o abismo, de princípio e falta de organização. O Caos é um estado muito complexo, caracterizado pela aparente imprevisibilidade de comportamento e por grande sensibilidade a pequenas mudanças na variação do sistema ou nas condições iniciais. O mundo segue a tendência de se tornar mais e mais caótico. A teoria do caos abriu caminho para que se percebessem padrões em eventos desprovidos de padrões, tais como o trânsito de uma grande cidade, as variações da bolsa de valores, ou fenômenos meteorológicos, pois são excessivamente dependentes das condições iniciais, gerando o chamado efeito borboleta. (pg. 121 e 122)

2 Versão eletrônica do Novo Dicionário Aurélio (2005) Versão 5.0.40 Br. Disponível em: CD ROM

11

Para Batanete et al. (2005) A Teoria do Caos baseia-se em demonstrações matemáticas

e teorias que tentam descrever processos em movimento, ou seja, sistemas matemáticos que se

modificam com o tempo. A palavra também alude ao estado de matéria sem forma e espaço

infinito, que existia antes do Universo ordenado, suposto por visões cosmológicas e

religiosas. O sentido mais comum para caos é desordem e confusão; o desenvolvimento do

estudo do Caos cresceu explosivamente, nos últimos anos, devido o uso dos computadores

que permitiram representar graficamente os padrões como é o caso dos fractais.

A teoria do caos não é uma teoria de desordem, mas busca no aparente acaso uma

ordem intrínseca determinada por leis precisas.

A geometria fractal constitui, portanto, em uma parte da teoria do caos e, ao

estudarmos os fractais, estamos buscando dar uma ordem ao caos.

12

2.2. EXEMPLOS DE CAOS

Podemos citar vários exemplos de situações que aparentemente são apenas fenômenos

aleatórios sem qualquer relação com a geometria fractal e o caos, como quando colocamos

fogo em um pedaço de madeira: o fogo por si só já é um exemplo de caos, pois ali está

envolvida uma série de fatores que à menor alteração, produz uma enorme diferença como a

direção ou a intensidade do vento, nesse mesmo ato observa se a fumaça que até mesmo a

menor das brisas altera consideravelmente seu formato nos dois exemplos está presente um

sistema caótico e são estes sistemas que a Teoria do Caos e a Geometria Fractal procuram dar

um padrão.

Outro exemplo bem simples pode ser visto em Teoria do Caos, conforme encontrado

na (Wikipédia3):

Um exemplo claro seria uma pedra atirada numa piscina, às ondas geradas na queda da pedra se propagam até as margens, refletem e retornam, cruzando-se entre si e, portanto, interagindo. Continuando novamente as ondas vão às margens, porém, já distorcidas devido às reflexões anteriores e às iterações4 ocasionadas pelos cruzamentos entre si. Neste momento começam já a ocorrer alguns movimentos aparentemente caóticos, porém ainda previsíveis, pois são padrões cíclicos das ondas. Mas se começarmos a jogar pedras aleatoriamente na mesma piscina, quanto mais jogarmos, mais caótico será o padrão das ondas na superfície. Imaginemos agora, porém, que no fundo desta piscina exista areia finíssima, apesar dos movimentos aleatórios na superfície, no fundo haverá determinados padrões na areia, caóticos sim, mas seguirão a um padrão de ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, estas mudarão à medida que o enrugamento da superfície muda, porém apesar de todo o caos dos movimentos, é reconhecido um padrão cíclico.

Da mesma maneira vamos supor que tenhamos algumas bolinhas de gude e

resolvamos atirá-las no chão. Ao fazer isso, observamos que depois de algum tempo as

bolinhas param nas suas posições. Agora juntemos as bolinhas e repitamos a experiência.

Será que as bolinhas irão posicionar se exatamente como na vez anterior? Acreditamos que

não. Mesmo que tentemos atirá-las da mesma posição não conseguiremos ter precisão

suficiente para posicioná-las corretamente.

Ainda segundo Teoria do Caos (Wikipédia) O trânsito é outro exemplo. Já observou

que há dias em que o congestionamento é maior. É bem provável que o transtorno tenha sido 3 Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_caos 4 Vem de Iteração [Do lat. iteratione.] Substantivo feminino. 1.Ato de iterar; repetição.2.Álg. Inform. Processo de resolução (de uma equação, de um problema) mediante uma seqüência finita de operações em que o objeto de cada uma é o resultado da que a precede. Disponível em: Novo Dicionário Aurélio eletrônico 2005 V 5.0.40 Br em CD ROM

13

causado por um carro acidentado, ou uma empresa dispensou os seus funcionários mais cedo

e houve um fluxo maior num cruzamento e outros azares semelhantes. Mesmo assim, o

número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições

iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.

Um exemplo tradicional é o "Efeito Borboleta", que diz essencialmente: "uma

borboleta bate asas na China e causa um furacão na América" , por mais absurdo que pareça,

é a realidade, os fenômenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil

previsibilidade por estarem presentes, fenômenos que dependem sensivelmente um do outro.

Como se vê nas experiências formuladas por Lorenz apud Batanete et al. (2005):

Num trabalho de previsão do futuro, precisamente o clima, o matemático norte-americano Edward Lorenz percebeu a ordem na aparente desordem dando o pontapé inicial na Teoria do Caos. Lorenz descobriu que um pequeno acontecimento agora pode significar uma imensa catástrofe mais tarde. Ocorre um fenômeno denominado tecnicamente de "dependência sensível das condições iniciais", mais conhecido como "Efeito Borboleta" e sugere que o vôo de uma borboleta deste lado do mundo pode causar uma grande tempestade daqui a um mês do outro lado do planeta. A descoberta foi possível porque, numa simulação, Lorenz digitou números com seis casas decimais, por exemplo: 0, 506127, noutra com três: 0, 506, isto e, uma ínfima diferença. Mas comparando os dois gráficos resultantes, depois de processados os dados as diferenças eram enormes nos gráficos de um e de outro. Uma ínfima mudança agora pode resultar numa grande diferença depois. (pg. 58)

Como se pode ver até mesmo uma ínfima variação em uma fórmula pode causar uma

enorme diferença no gráfico obtido assim também as variações da natureza podem causar

estragos de proporções gigantescas bastando para isso uma variação mínima na intensidade e

direção dos ventos ou um terremoto no fundo mar a milhares de quilômetros da costa podem

causam muitas tragédias na costa como a tsunami ocorrida na Indonésia.

14

2.3. JOGO DO CAOS

Neste tópico iremos demonstrar que do caos surge a ordem e para isso faremos uso do jogo do

caos, o que na verdade não é o que entendemos usualmente por jogo, ou seja, é empregado

simplesmente como procedimento para a construção de fractais que teêm características de auto-

similaridade, gerando Ordem na aparente Desordem, Regularidade na Irregularidade, já que os

sorteios dos pontos são aleatórios o que num primeiro momento poderiamos imaginar que o resultado

seria algo sem uma forma definida.

Buscamos, em nossa pesquisa, o estabelecimento do jogo, no sentido lúdico usual, e

principalmente como recurso pedagógico para o ensino fundamental ou médio, capaz de desenvolver

ou fixar conceitos de Fractal e Caos. Para tanto, buscamos em Barbosa (2005) e Bublitz & Nunes

(2007), os conceitos teóricos para esse desenvolvimento.

Para iniciarmos o Jogo do Caos devemos marcar três pontos nos vértices de um

triângulo eqüilátero, e atribuindo a um vértice a cor vermelha, ao outro o azul, e ao terceiro

verde. É necessário também um dado com duas faces na cor vermelha, correspondentes aos

lados 1 e 4, duas faces na cor azul correspondentes aos lados 2 e 5, e duas faces na cor verde

correspondentes aos lados 3 e 6 do dado, para que fiquem em lados opostos do dado. Em

seguida, marcamos um ponto em qualquer lugar no triângulo, mas que esteja fora do

baricentro. Esse ponto será a Semente inicial do jogo.

Joga-se então o dado, e dependendo da cor que cair, move-se a semente exatamente

para a metade da distância do ponto inicial em direção ao vértice com a cor correspondente;

isto é, se cair o lado vermelho do dado, move-se a semente para a metade da distância entre o

ponto inicial e o vértice vermelho. Por exemplo, se a distancia entre o ponto inicial e o vértice

vermelho for de 5 cm, move-se a semente 2,5 cm na direção desse vértice.

Jogamos novamente o dado e agora, move-se a semente a partir do ponto onde parou

na jogada anterior até a metade da distância entre ponto e o vértice cuja cor apareceu no dado.

E assim por diante, conforme indica a figura abaixo:

15

Figura 1 Semente Inicial

As figuras seguintes mostram, progressivamente os resultados da evolução do Jogo do

Caos, e após 1.000, 5.000 e 10.000 jogadas.

Os pontos estão dispostos em tres regiões triangulares independente da posição da

semente inicial, e não existem pontos no triangulo central, só nos tres dos cantos.

Figura 2 Jogo do Caos após 1.000 jogadas

Figura 3 Jogo do Caos após 5.000 jogadas

Figura 4 Jogo do Caos após 10.000 jogadas

Se aplicarmos o mesmo processo nos triângulos dos cantos, e repetirmos novamente

nos triângulos que obtivermos e assim sucessivamente nos triângulos eqüiláteros dos cantos,

por mais pontos que marcarmos e repetirmos o processo não terá pontos nos triângulos

centrais.

As imagens formadas a partir das repetições infinitas vezes, será o que se chama de

triângulo de Sierpinski.

Semente

16

Figura 5 Início da construção do triangulo de Sierpinski.

Figura 6 Metade da construção do triangulo de Sierpinski.

Figura 7 Triangula de Sierpinski pronto.

Acreditamos que esta construção ilustra muito bem a relação íntima que a Teoria do

Caos mantém com a Teoria dos Fractais, pois apesar da aparente desordem do inicio do jogo,

o final nos revela uma imagem fractal perfeitamente simétrica e mesmo com as repetições

tendendo ao infinito as imagens permaneceram inalteradas, sem nenhum ponto nos triângulos

internos. Esta construção poderá ainda ser empregada em aulas práticas em sala de aula para

despertar o interesse dos alunos pela matéria.

Agora que já vimos o que é Fractal e qual a sua ligação com a Teoria do Caos, e como

os fractais podem levar a Ordem ao Caos, no próximo capítulo passaremos a ver alguns

fractais na natureza, e nas mais diferentes áreas do conhecimento humano.

17

CAPÍTULO 3: Onde Encontrar Fractais

3.1. FRACTAIS NA NATUREZA

Verificaremos nesse tópico que a geometria fractal reflete a nossa percepção da

natureza, preocupando-se em tornar objetivas as nossas intuições espaciais. A geometria

clássica, ou euclidiana, fornece uma primeira aproximação para a estrutura dos objetos físicos.

Nesse sentido, os objetos são descritos através dos elementos básicos: o ponto, a reta, o plano,

ou uma combinação destes.

Conforme Lopes & Pantaleão (2000), muitos padrões naturais exibem irregularidades

e complexidades tão grandes que não podem ser adequadamente descritos com a geometria

euclidiana “clássica”. Para objetos destas classes foram criadas “geometrias alternativas”, que

utilizam outras estruturas descritivas como a Geometria Fractal que é uma extensão da

geometria clássica, fornecendo métodos para avaliar e modelar objetos de extrema

complexidade. Na verdade, a geometria fractal coloca em xeque a noção de complexidade, é

um convite a olhar a natureza sob outra ótica.

Para Stewart apud Fernandes (2007), formas encontradas nos animais e plantas

chamam a atenção dos matemáticos, por exemplo, muitas conchas formam espirais, as estrelas

do mar possuem um conjunto simétrico de braços, alguns vírus adotam formas geométricas

regulares. Mas além dos padrões de forma, existem os padrões de movimento, como o andar

humano, onde os pés tocam o solo num ritmo regular, esquerdo-direito, ou a SideWinder, uma

cobra do deserto que se move como a espiral de uma mola helicoidal, jogando seu corpo para

frente em forma de curvas tentando minimizar seu contato com a areia quente. Mas a simetria

da natureza é também muitas vezes imperfeita, existindo outra categoria de padrões naturais,

padrões que existem onde pensávamos que tudo era aleatório e sem forma, estes padrões são

chamados de fractais.

De acordo com Santos & Oliveira (2004) “Os fractais podem ser encontrados em todo

o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e

relâmpagos, até a distribuição das galáxias, assim como na arte e na matemática”. Os fractais

naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus

afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, etc. Estes objetos foram realmente estudados a

18

fundo no século XX. Segundo a Universidade de Lisboa (2006a), considera-se que alguns

objetos da natureza, como montanhas, árvores e plantas, têm propriedades fractais. Na figura

a seguir podemos observar em diferentes ampliações, a complexidade desta planta, que

apresenta a propriedade de auto-semelhança, característica dos fractais. Estas propriedades

sugerem uma ligação entre os fractais e a natureza.

Batanete et all (2005) nos traz alguns exemplos de fractais na natureza como segue:

dois dos exemplos mais comuns, os brócolis e seu feto5.

Se cortarmos uma parte da flor dos brócolis (como mostra a figura) verificamos a sua

semelhança com o restante da flor. Este possui um número infinito de pequenas cópias

(aproximada) de si próprio.

Imagem 2 Comparação dos brócolis e o feto.

5 Feto é uma pequena parte de algo maior que conserva as mesmas semelhanças do todo (auto semelhança).

19

Outro exemplo é o feto que exibe, melhor ainda, a auto-semelhança, característica dos

fractais.

Imagem 3 As Samambaias e os fetos.

Isto é, o ramo e o feto têm propriedades fractais. Contudo, os objectos da Natureza não

são verdadeiramente fractais, pois eles não são infinitamente complexos, ou seja, não

possuem auto-semelhança exata.

Já o ciclone é um exemplo de fractal que está mais ligado à teoria do caos e sua forma,

sentido, intensidade e direção dependem das variações da temperatura, intensidade e direção

dos ventos, área de pressão de circulação, com ventos convergentes e circulares, no centro da

qual há um mínimo de pressão relativa. Por este motivo um ciclone jamais será igual ao outro,

assim como também se fizermos qualquer alteração na equação inicial que gera um fractal,

por menores que sejam estas alterações o gráfico do fractal gerado ira se alterando até não ter

a menor semelhança com o gráfico da fração inicial.

20

Os relâmpagos são exemplos de fractais na natureza que são conhecidos como fractais

aleatórios, pois sua forma é indeterminada e devemos ainda lembrar que estes tipos

específicos de fractais não são verdadeiros por seu tamanho limitado.

Imagem 5 Relâmpagos

Imagem 4 Ciclone

21

A linha costeira de um país é um exemplo de um fractal que ocorre na Natureza, os

mapas de linhas costeiras, desenhados em escalas diferentes, resultam em tamanhos diferentes

quanto menor for à dimensão, mais exata será a medição dessa linha costeira.

Um exemplo dessa teoria encontra- se em Batanete et all (2005), que considera um

pedaço de linha costeira em uma região acidentada, e tenta determinar qual é o seu

comprimento efetivo, é evidente que essa linha é no mínimo, igual à distância em linha reta

entre as duas extremidades da linha costeira que consideramos. Assim, se a costa fosse direta,

não teria problema e estaria resolvido neste primeiro passo. Mas uma verdadeira costa natural

é extremamente sinuosa e, conseqüentemente, muito mais longa que a distância em linha reta.

Uma frase que ficou famosa é a indagação que Mandelbrot costuma usar em suas

palestras e que Barbosa (2005) nos trás para uma reflexão mais profunda:

“Que extensão tem o litoral da Grã-Bretanha?”. A resposta possível variará conforme a escala de medição. Baias e penínsulas aparecerão ou não, dependendo da escala adotada. Sabe-se, por exemplo, que em documentos dos dois países vizinhos, a fronteira da Espanha com Portugal difere em cerca de 20%, o mesmo acontecendo, por exemplo, com a fronteira da Holanda e da Bélgica. Claro é que ao efetuar as medidas cada país empregou instrumentos com unidades de escala diferentes (p.12)

A linha costeira em geral é calculada a partir de fotografias de satélite, mas se as

fotografias fossem tiradas de um avião, as irregularidades seriam mais visíveis e seria obtido

outro valor e se em vez de fotografia fossem medidas diretamente todas as saliências e

reentrâncias, seria obtido um valor muito maior. Se, fosse usada uma régua de um decímetro e

repetindo a tarefa, seria obtida uma maior precisão nas medidas dos contornos rochosos,

começando a ter em conta a irregularidade das pedras, e o comprimento final obtido seria

ainda maior.

Figura 8 Linha Costeira Ampliada.

22

Na figura ampliada 80 vezes visualizamos uma parte de uma linha costeira, que se

repetisse esta tarefa indefinidamente, mas sempre reduzindo a escala de medição da costa, o

seu comprimento iria aumentar e tenderia ao infinito, já quanto menor a unidade medida

maior o comprimento da costa, isso em escala microscópica.

Conclui-se que o comprimento da costa de um país tende para o infinito, embora a

área que a limita seja finita.

Qual é o comprimento de uma determinada linha costeira?

A dimensão de uma curva fractal é o número que caracteriza a maneira na qual a

medida do comprimento está entre dois pontos e ela aumenta à medida que a escala diminui.

Podemos defini-la de um modo um pouco diferente, mas conveniente para estudar uma linha

costeira, e assim verificamos que quanto menor for à unidade de medida maior será a medida

da linha costeira.

E assim segundo Batanete et all (2005) temos:

Equação 1 Equação geral da Dimensão Fractal de uma linha litorânea qualquer.

Onde L1 e L2 são as quantidades de unidades de medida das curvas (em unidades) e

S1 e S2 são os tamanhos das unidades (ou seja, as escalas) usadas na medição.

A figura seguinte representa a linha costeira de uma região, onde foram utilizadas

unidades de medida de tamanhos diferentes (S) para estimar o comprimento (L) do litoral.

23

Figura 9 Representação de uma linha Costeira qualquer.

Neste litoral, as medidas de S=1 e S=0.5 resultam nos comprimentos L=7 e, L=20

respectivamente. Então:

Equação 2. Equação hipotética da Dimensão Fractal de uma linha litorânea qualquer.

De modo análogo, a transição de S=1 para S=2 leva-nos à menor

estimativa aproximada de d≈1,22 e de S=2 para S=3, d≈1,13.

Em vez de ter somente uma dimensão (como uma linha num mapa) tem uma dimensão

fractal que varia entre 1 e 2, com as unidades de medida escolhidas (uma aproximação que

fizemos).

24

3.2. FRACTAIS NA MEDICINA

Na medicina um dos exemplos mais clássico é a seqüência do DNA que apresenta uma

auto-similaridade que se repete infimamente demonstrando a sua estrutura fractal.

Figura 10 Seqüência de DNA

O sistema arterial do coração, e os pulmões fazem parte do sistema respiratório e são

outros exemplos da área de estudo dos fractais e como estas ramificações se comportam.

É nesse sentido que Batanete et all (2005) nos traz a luz que no final da década de

oitenta, estudos revelaram que um coração saudável bate a um ritmo fractal e que um

batimento cardíaco quase periódico, é um sintoma de insuficiência cardíaca, ou seja, se um

coração deixa de ter um ritmo fractal a pessoa passa a ter arritmia cardíaca.

Os vasos sangüíneos, da aorta aos capilares, têm também propriedades fractais.

Ramificam-se, dividem-se e voltam a ramificar-se ate se tornarem tão finos que as células

sanguíneas são forcadas a passar em fila indiana. A natureza dessa ramificação é fractal. A

natureza da estrutura fractal operou com tal eficiência que, em muito tecidos, nenhuma célula

se encontra a mais de três ou quatro células de distância de um vaso sanguíneo.

25

Figura 11 Vasos Sangüíneos do Coração.

De acordo com Ferrara e Prado, apud Silva (2007):

O corpo humano é um dos exemplos mais surpreendentes da realidade fractal. Na maioria dos tecidos, nenhuma célula está a uma distância de mais de três ou quatro células de um vaso sangüíneo. Mesmo assim, vasos e sangue ocupam pouco espaço, não indo além de 5% do corpo. O aparelho digestivo revela ondulações de tecidos. Os alvéolos do pulmão são admiravelmente fractais: concentram uma superfície maior do que uma quadra de tênis. (p.6)

. Figura 12 Ramificações Pulmonares.

26

Ainda no corpo humano encontramos estruturas fractais complexas como o cérebro

que é formado por trilhões de ligações entre os neurônios que se ramificam aparentando uma

estrutura caótica, mas que se ramificam de maneira fractal.

Na Revista Veja on-line de 20 de março de 1996 encontramos a seguinte reportagem:

Em 1 quilo e 500 gramas de cérebro, a massa encefálica de um adulto, 100 bilhões de células nervosas estão em atividade. Cada uma liga-se a milhares de outras em mais de 100 trilhões de conexões. A trama é precisa e delicada. Graças a ela, o homem pensa, raciocina, lembra. Enxerga, ouve, aprende. Emociona-se6.

Podemos notar que o corpo humano está repleto de estruturas fractais e seu estudo

pode ainda nos revelar muitos mistérios.

6Disponívelem:<http://vejaonline.abril.com.br/notitia/servlet/newstorm.ns.presentation.NavigationServlet?publicationCode=1&pageCode=1269&textCode=115247 >. Acesso em 25 jul. 08

27

3.3. FRACTAIS NA ARTE

O artista americano Nicholas Rougeux tem apenas 26 anos, e cresceu à frente de

computadores. É web designer e membro do deviant Art7 onde tem merecido diversos

destaques. Apesar da sua juventude, já realizou algumas exposições e tem trabalhos

publicados. Fractais é a sua especialidade, e ele é exímio conhecedor da arte digital, que

transforma em pôsteres e calendários originais.

As obras Inspiration e Thrive8 do artista Nicholas Rougeux são alguns dos exemplos

dos fractais na arte

Imagem 6 Quadro Fractal Artístico Inspiration de Nicholas Rougeux.

7 Galeria de Arte virtual disponível em: http://translate.google.com/translate?hl=pt- R&sl=en&u=http://www.deviantart.com/&sa=X&oi=translate&resnum=1&ct=result&prev=/search%3Fq%3Ddeviant%2BArt%26hl%3Dpt-BR%26rls%3Dcom.microsoft:pt-br:IE-SearchBox%26rlz%3D1I7ADBF%26pwst%3D1 8 Disponível em:< http://blog.uncovering.org/archives/2008/04/fractais_de_nic.html>. Acesso em: 25 jul. 08.

28

Imagem 7 Quadro Fractal Artístico Thrive de Nicholas Rougeux.

Existem ainda diversas outras aplicações dos fractais, e como exemplo, podemos citar

os existentes na: Biologia, Física, Química, Geografia, sendo que alguns deles já foram vistos.

Neste Capítulo observamos onde podemos encontrar os fractais e verificamos que eles

têm as mais variadas formas, e podem ser encontrados nos lugares onde jamais poderíamos

imaginar.

No capítulo seguinte iremos ver quais são os tipos de fractais, sendo que entre os

vários que podem ser encontrados vamos nos ater a apenas dois.

29

CAPÍTULO 4: Apresentando Fractais

4.1. FRACTAIS GEOMÉTRICOS

Existe uma enorme variedade de Fractais divididos em vários grupos com as mais

diferentes formas sendo que um é totalmente diferente do outro sem qualquer semelhança

entre eles e aparentam ser de tipos diferentes, mas na verdade se subdividem em dois tipos

bem distintos: um obtido da geometria tradicional mais precisamente a euclidiana com

princípios Fractais, e o outro que são os gerados por computador que são os que apresentam

os chamados Fractais aleatórios ou abstratos.

Segundo Batanete et all (2005) As imagens fractais podem subdividir-se em diversos

de tipos. Mas, no entanto, destacam-se duas categorias: - Fractal geométrico que tem suas

origens na geometria tradicional através de funções iterativas a partir de uma figura inicial

como, por exemplo, o triângulo de Sierpinski, ou a esponja de Menger.

Figura 13 Triângulo de Sierpinski.

Figura 14 Esponja de Menger.

30

4.2. FRACTAIS ALEATÓRIOS

O outro tipo que tem suas características bem peculiares são os aleatórios gerados por

computadores, que são o resultado de iterações, operadas num sistema não linear, de forma

recursiva.

Imagem 8 Fractal Gerado por Computador.

Os Fractais gerados por computador permitem aos seus observadores visualizar

imagens belíssimas e impressionantes, como um vasto leque de aplicações artísticas que vai

desde a indústria cinematográfica a música.

Neste capítulo vimos os tipos de Fractais sem, no entanto não falamos dos fractais na

natureza os quais já tratamos anteriormente.

Veremos a seguir a construção de alguns fractais que também podem ser facilmente

aplicados em sala de aula que também são conhecidos como Fractais precursores.

31

4.3. CONJUNTO DE MANDELBROT

O famoso conjunto de Mandelbrot que segundo Batanete et all (2005), também é

conhecido como “o homem do gengibre” por se assemelhar com um corpo gordo e uma

cabeça redonda

O conjunto de Mandelbrot tem uma forma muito particular de auto-semelhança aproximada existe uma repetição infinita do conjunto, mas também uma infinita variedade de formas rodeando esse conjunto, se o ampliarmos suficientemente. Excetuando diversas ampliações podemos encontrar formas fascinantes que nos fazem lembrar botões de flor, cavalos-marinhos, arabescos9, vórtices, torrões, cactos a deitar rebentos, espirais, cobras finas, ondas ou plantas exóticas encontramos um numero infinito de copias do próprio conjunto numa diversidade impressionante de escalas. E a auto-semelhanca levada ao seu extremo mais belo, como se pode observar pelas sucessivas ampliações do conjunto de Mandelbrot. (p. 50 e 51)

Imagem 9 Ampliações do conjunto de Mandelbrot.

Imagem 10 Ampliações de outras áreas do Conjunto de Mandelbrot.

9 Ornato de origem árabe, no qual se entrelaçam linhas, ramagens, grinaldas, flores, frutos, etc. 2.Rabisco, garatuja. Disponível em: Versão eletrônica do Novo Dicionário Aurélio (2005) Versão 5.0.40 Br. Em CD ROM

32

4.4. CONJUNTO DE CANTOR

No final do século XIX e início do século XX, os processos recursivos e iterativos

para obtenção de conjuntos chamaram a atenção de matemáticos como George Cantor, Helge

Von Koch, Waclav Sierpinski, Giusepe Peano. Barbosa (2005) afirma que o estudo desses

matemáticos foi fundamental para o desenvolvimento dessa nova geometria e seus conjuntos

são conhecidos como fractais clássicos ou precursores.

O conjunto de Cantor, criado pelo matemático alemão George Cantor em 1883, é

construído da seguinte maneira: tomamos um segmento de reta (primeiro seguimento inteiro

que vai se 0 a 1) e o partimos em três segmentos iguais (que vai de 1 a 1/3, de 1/3 a 2/3 e de

2/3 a 1). Em seguida, o pedaço intermediário é retirado (retire o pedaço que vai de 1/3 a 2/3).

Os dois segmentos restantes são de novo repartidos em três segmentos iguais e os segmentos

intermediários são retirados (o seguimento que vai de 0 a 1/3 é dividido e fica de 0 a 1/9 de

1/9 a 2/9 e de 2/9 a 1/3, e o seguimento que vai de 2/3 a 1 é dividido e fica de 2/3 a 7/9, de 7/9

a 8/9 e de 8/9 a 1, os seguimentos que vão respectivamente de 1/9 a 2/9 e de 7/9 a 8/9 são

retirados).

O processo de repartir os segmentos e de retirar o pedaço intermediário prossegue

sucessivamente e indefinidamente.

Figura 15 Conjunto de Cantor.

33

4.5. CURVA DE KOCH

O conjunto conhecido como Curva de Koch e o Floco de Neve de Koch foram criados

pelo matemático sueco Helge Von Koch em 1904. A construção da curva de Koch começa

com um simples seguimento de reta que é chamada de iniciador, e este seguimento é dividido

em três partes iguais onde a parte do meio é trocada por um triângulo eqüilátero sem o

segmento da base.

A construção obtida será chamada de conjunto gerador. O processo é repetido várias

vezes, ou seja, pegamos cada um dos quatro novos seguimentos obtidos dividimos cada um

em três novas partes e retiramos o seguimento central e trocamos por um triângulo eqüilátero

sem a base, esta construção se repete infinitamente. Na figura abaixo podemos ver passo a

passo esta construção.

Figura 16 Curva de Koch.

34

4.6. FLOCO DE NEVE DE KOCH

A construção do Floco de Neve de Koch é obtida a partir da mesma construção básica

da curva de Koch só que não iniciarmos a construção a partir de um seguimento de reta, mas

por um triângulo eqüilátero, e seguiremos os mesmos passos da construção da curva de Koch,

isso é devera ser feito para cada lado do triângulo os mesmos passos que foram feitos na

construção anterior, dividimos cada aresta do triangulo em três seguimentos de retas todos

como o mesmo tamanho, retiramos o seguimento central e trocamos por um triangulo

eqüilátero sem a parte de baixo; e assim sucessivamente. Nesse tipo de construção quanto

mais nós dividir - mos a figura e efetuar as alterações necessárias maior será o seu perímetro e

menor é o seguimento de reta que iremos utilizar.

Figura 17 Floco de Neve de Koch.

35

4.7. TRIANGULO DE SIERPINSKI

O conjunto conhecido como Triângulo de Sierpinski foi criado pelo matemático

polonês Waclav Sierpinski em 1916 e possui, além de características e propriedades fractais,

que se relacionam com o Jogo do Caos como já vimos. No momento vamos nos ater na

construção básica.

A construção do triângulo de Sierpinski começa com o desenho de um triângulo

eqüilátero. Depois marcamos os pontos médios dos três lados do triangulo e será

formado um quarto triangulo que tem os vértices nesses pontos, este quatro triângulos

com lados iguais a metade do triângulo anterior e, o triângulo central deve ser

eliminado, removido ou pintado com uma cor diferente. Repetir em cada um dos

triângulos não eliminados as mesmas construções anteriores sucessivamente.

Figura 18 Construção do triângulo de Sierpinski.

Outra maneira de se obter o triangula Sierpinski é através to Triangulo de Pascal, pois

se retirarmos os números pares e colorirmos de preto os números impares obtemos a seguinte

imagem, ou seja, o triângulo de Pascal "transforma-se" assim no triângulo de Sierpinski10.

Figura 19 Construção do triângulo de Sierpinski a partir do Triangulo de Pascal.

10 Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm48/sierpinski.htm > acessado em 17 Nov. 2008

36

4.7. CURVA DE PEANO

Giusepe Peano, italiano nasceu em Cuneo (1858) e faleceu em Turim (1932) em 1890

publicou a sua famosa curva, proposta como cobrindo totalmente uma superficie plana

quadrada.

A construção é bastante simples e iniciamos com um segmento de reta .

______________________Figura 20 Inicia da Construção Curva de Peano.

Substituímos este segmento por uma curva de nove segmentos em uma escala de 1/3.

Figura 21 Segundo passo da Construção Curva de Peano.

Substituímos cada segmento anterios pela curva de nove segmentos, e assim

sucessivamente.

Figura 22 Terceiro passo da Construção Curva de Peano.

37

Nesta iteração procedemos da mesma maneira que as anteriores e assim infinitamente,

em qualquer parte da curva que olharmos iremos observar o mesmo padrão, ou seja, a curva

de nove seguimentos e escala de redução será sempre de 1/3.

Figura 23 Quarto passo da Construção Curva de Peano.

Neste capítulos apresentamos algumas das curvas mais famosas que influenciaram

Benoit Mandelbrot em suas pesquisas e devem ter contribuído para a criação dos Fractais por

apresentarem estas caracteristicas, mas ainda tinham sido estudados com esta nova visão

geométrica.

No capítulo seguinte iremos apresentar como alguns fractais podem ser facilmente

trabalhados em sala de aula por alunos do Ensino Fundamental com materiais pedagógicos.

38

CAPÍTULO 5: Trabalhando Fractais.

5.1. ATIVIDADES PRÁTICAS

Iremos apresentar agora algumas maneiras de tornar o ensino e a aprendizagem da

geometria fractal um prazer e dispertar nos alunos o interesse por esta geometria artística de

uma beleza incomparável.

Isto posto, nos traz a lembrança uma frase dita por Barbosa (2005):

O despertar e desenvolver do senso estético pode muito bem ser cuidado e aproveitado com o tema fractais,quer apreciando o belo irradiante, quer observando a regularidade harmoniosa nas suas próprias irregularidades. Cremos, no entanto, que os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessário ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração e talvez evidenciando o êxtase na contemplação da beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais. (p.12)

Os Fractais como vimos no texto de Barbosa tem muito a oferecer aos alunos e cabe

aos professores dispertar este interce em seus educandos, o que se torna uma tarefa mais facil

para o educador se contar com uma ferramenta de trabalho que possa prender a atenção do

aluno e nada mais chamativo do que imagens de uma beleza e complexidade rara, e que os

estudantes possam construir.

39

5.1.1. CARTÃO FRACTAL

Iremos trabalhar basicamente com dois tipos de construções uma utilizando

tesoura, e cartolina e a outra será utilizando softwares matemáticos para efetuar estas

construções.

Uma atividade prática que pode ser bastante prazerosa em sala de aula, e ao

mesmo tempo em que instrui desperta o lado lúdico no aluno é a construção de um cartão

fractal que é bem simples, segundo Batanete et al. (2005 p. 67-68): “A partir desta atividade

os alunos chegarão a conclusões mais simples, mas que, para efeito de pesquisa, são válidos

para análise do nível de abstração conseguido e da capacidade de adequação dos

conhecimentos adquiridos a novas situações.”

Os materiais a serem utilizados são tesoura e cartolina cortada do tamanho da uma

folha de papel A4.

Construção:

1. Primeiro passo para a primeira geração pegue uma folha de cartolina já

cortada.

2. Passo 2 dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura, como mostra a figura.

Figura 24 Segundo passo da construção do cartão Fractal.

3. Passo 3 com a folha dobrada ao meio faça dois cortes verticais simétricos a

uma distância 4x das extremidades da folha, de altura

2a , como mostra a

figura 25. Note que 24

2 xxa =×= .

x

40

Figura 25 Terceiro passo da construção do cartão Fractal.

4. Passo 4 dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 26 Quarto passo da construção do cartão Fractal.

5. Passo 5 volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da

figura em relevo. Podemos dizer que esta é a primeira geração do cartão

fractal.

Figura 27 Quinto passo da construção do cartão Fractal.

a

a/2

x/4

41

6. Passo 6 dobre a folha novamente, conforme passo 3, pois as gerações seguintes

serão obtidas seguindo os mesmos passos de 3 a 5, porém em uma escala

menor, apenas na região dobrada. A segunda geração do cartão fractal é obtida

com o corte mostrado na figura seguinte.

Figura 28 Sexto passo da construção do cartão Fractal.

7. Passo 7 dobre o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 29 Sétimo passo da construção do cartão Fractal.

8. Passo 8 volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em

relevo. Neste momento, temos a primeira e a segunda geração do cartão

fractal.

a

a/4

a/2

42

Figura 30 Oitavo passo da construção do cartão Fractal.

9. Para obter mais gerações, repita esse processo enquanto for possível realizar os

cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida

no passo 3. Por fim, desdobre todos os recortes e puxe as figuras em relevo. A

figura a baixa mostra um cartão de quatro gerações obtido pelo processo

descrito.

Figura 31 Nono passo da construção do cartão Fractal.

Podemos observar que este último cartão possui estruturas auto-similares. Com o

cartão pronto, observamos que as formas geométricas resultantes dos cortes e dobraduras são

paralelepípedos.

A partir desta construção que nos traz o autor supracitado podemos chegar a

algumas conclusões ao analisarmos as figuras geradas, percebemos durante a construção que,

a cada novo corte e dobradura vai obtendo novos paralelepípedos.

Se chamarmos de iteração zero, a primeira geração do cartão, quantos

paralelepípedos novos surgirão a cada iteração?

43

Podemos explorar a construção do cartão construindo a tabela 1, que nos mostra o

numero de novos paralelepípedos a cada nova iteração, o que nos leva à conclusão que para as

n iterações teremos e se continuássemos as iterações a construção tenderia para o infinito,

mantendo a sua auto-similaridade.

Iteração Número de paralelepípedos novos 0 = 1 1 = 2 2 = 4 3 = 8 4 = 16 ... ... n

Tabela 1 Mostra o numero de iterações realizadas e os paralelepípedos que se formaram.

Obsevamos um exemplo de como tralhar a geometria fractal utilizando os mais

simples possíveis e que podem muito bem ser desenvolvidos com os alunos do ensino

fundamental, mesmo aqueles das séries iniciais de qualquer escola já que não requer qualquer

tipo de tecnologia que possa vir a tornar impossível a realização dessa atividade, mas como

muitas das escolas públicas já contam com computadores e queremos crer que em um futuro

próximo todas as escolas vão ter uma sala de informática, o que irá facilitar e incentivar

alunos e professores a descobrir a magia dos fractais.

E é por este motivo que passamos agora a apresentar alguns dos softwares para se

trabalhar com a geometria fractal.

44

5.2 SOFTWARE PARA A CONSTRUÇÃO DE FRACTAL

5.2.1. SOFTWARE FRACTAL FORGE11

Neste topico iremos apresentar dois dos varios softwares para a construção e a

esploração de Fractas que são eles: o Fractal Forge e o superlogo.

Iremos inicir apresentando o Fractal Forge que é um software que tras vários

imagens de fractais já prontas para serem exploradas, podemos escolher uma imagem

qualquer entre as varias disponiveis e efetuar varias ampliações onde os alunos podem

verificar que quando aproximamos a imagem de um determinado ponto que seja uma

semelhante da imagem inicial ele mantem a semelhante com esta imagem, este é um

programa muito interativo sendo que o aluno poserá ir alterando as formulas e perceber o que

ocorre com a figura, ele também poderá alterar a cor e potencia e ir descobrindo toda a

potencialidade do software como por exemplo: esta seção com trés imagens apliadas de uma

mesma figura. A segunda imagem é uma aproximação da primeira e a terceira é uma

aproximação da segunda e assim sucessivamente.

Este programa podera ser usado em sala de aula para que o aluno perceba o carater

de auto-similaridade dos Frctais.

Imagem 11 seqüências de aproximações no Fractal Forge.

11 Disponível para Download em: http://www.fractovia.org/uberto/download.html

45

5.2.2. SOFTWARE SUPER LOGO12

O super logo é um software gratuito distribuído pela NIED da UNICAMP de

Campinas, com ele podemos desenhar varia estruturas Fractais, entre elas estão os fractais

conhecido como Árvore e o Triângulo de Sierpinski, como o descrito por SALVADOR

(2001) aprenda arvore :x se :x<1 [pare] pf :x pe 20 arvore :x/1.5 pd 40 arvore :x/1.5 pe 20 pt :x fim

Construímos este Fractal arvore no Super logo para demonstrar a beleza e a

aproximação que a Geometria Fractal tem com a natureza e é justamente daí o nome

“Geometria da Natureza” o tamanho é cem por que é o tamanho que demos a variável X

substituindo na hora de digitar o comando do Logo arvore: x (que indica o tamanho que

queremos que fique a árvore) por árvore 100, quanto maior for o valor atribuído a X maior

será a árvore e levará muito mais tempo para ser construída pelo logo

Figura 32 Árvore Fractal no logo tamanho 100.

12 Disponível para Download em: http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/pub.php?classe=software&cod_publicacao=70

46

Passamos agora a construção do Triangulo de Sierpinski seguindo os passos

abaixo, como podemos ver trata-se de uma construção muito simples, mas de grande

complexidade pelo numero reduzido de passos para se chegar ao resultado obtido. aprenda tri :x se :x<3 [pare] repita 3 [tri :x/2 pf :x pd 120] fim

Figura 33 Triangulo de Sierpinski construído no Logo.

Outro Fractal que pode ser construído no logo e pode facilmente ser desenvolvido

em sala de aula é o conhecido como samambaia e também é um Fractal ligado as formas

encontradas na natureza e sua construção é dada por:

aprenda samb3 :tam13 se :tam < 5 [pare] pf :tam / 20 pe 80 samb3 :tam * 0.3 pd 82 pf :tam / 20 pd 80 samb3 :tam * 0.3 pe 78 samb3 :tam * 0.9 pe 2 pt :tam / 20 pe 2 pt :tam / 20 fim

Para a construção da “samambaia” ao invés de usarmos a variável X para indicar

os tamanhos a serem substituídos quando substituímos a variável utilizada quando estamos

inserindo os dados no software pelos números que indicam o tamanho a ser usado para

construir a figura este mesmo numero substituirá a variável sempre que ela se repita, mas a

13 Disponível em:< http://br.geocities.com/projetologo/dsf/index.html .> Acessado em 29 out. 2008.

47

fim de respeitar e preservar a construção original do autor optamos por não fazer qualquer

tipo de alteração na formula, mas esclarecemos que foi usado como variável a palavra “tam”,

mas poderia ser X, Y ou Z que não faria a menor diferença no resultado final.

Figura 34 Samambaia construída no logo.

Já o Fractal que iremos demostrar a seguir é trabalhado no superlogo e tem uma

construção um pouco mais complicada, mas ainda assim pode ser trabalhado em sala de aula,

sem maiores transtornos já que segundo FREITAS & SANTOS (2005) este Floco de Neve

Koch foi resultado de um Trabalhado experimental realizado por alunos da 7ª série do Ensino

Fundamental e apresenta a seguinte construção:

aprenda figura :x ul pf :x pe 60 pf :x pd 120 pf :x pe 60 pf :x fim aprenda triangulo :x ul figura :x pe 60 figura :x pd 120 figura :x pe 60 figura :x fim aprenda triangulo2 :x ul triangulo :x pe 60 triangulo :x pd 120 triangulo :x pe 60 triangulo :x fim aprenda triangulo3 :x ul triangulo2 :x pe 60 espere 3 triangulo2 :x pd 120 espere 3 triangulo2 :x pe 60 espere 3 triangulo2 :x espere 3

48

fim aprenda triangulo4 :x ul triangulo3 :x pd 120 triangulo3 :x pd 120 triangulo3 :x pd 120 fim

Figura 35 Floco de Neve de Koch construído no Logo.

Costruimos este Fractal no Logo assim como construimos os demias, mas um fato

bem intersante nos chamou a atenção já que seguimos todos os passos descritos pelo autor

sem fazer qualquer alteração e depois de todos os comandos inceridos no software tentamos

por varias vezes dar o comando para a construção do Floco de Neve e nada acontecia; assim

fizemos nos demais, digitando a palavra cheve que é a que vem logo apos a palavra “aprenda”

da primeira linha de cada construção alterando apenas a variavel pelo tamanho desejado e

dando o comando de executar no logo, mas no entanto era apenas construida o chamado

“cojunto gerador da Curva de Koch” como vimos no Capitulo anterior, por este motivos e já

que o autor coloca no texto apenas os passos para a construção mas não diz qual o comando

digitar para que o Logo construa o Floco de Neve, passamos varis dias tentando fazer

modificaçõe na formula para tentar “corrigir o erro” e depois de muitas tentativas

descobrimos que o comando a ser digitado para construção era o da ultima figura que era dada

para o Logo “aprender” ou seja triangulo4 :x e desta forma finalmente tivemos êxito em

construir este Floco de Neve que é uma estrutura considerada muito complexa e é construída

49

por um software que é considerado por muitos como uma “tartaruguinha para criança brincar

de construir quadrados”.

Os autores FREITAS & SANTOS (2005) nos traz varias razoes para o

desenvolvimento desta experiência em sala de aula alem de explanar de onde surgiu esta

idéia: A idéia de utilizar a Geometria Fractal partiu da necessidade de se explorar uma geometria que se aproxima das formas expostas na natureza e a partir daí conseguir subsídios para motivar e embasar vários estudos importantes dentro da Matemática. Oferecer recursos para que os estudantes possam explorar e descobrir novas estratégias para o estudo faz parte das necessidades exigidas para o professor atual. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para a área de Matemática, no Ensino Fundamental, que estão pautados por princípios decorrentes de estudos, pesquisas, práticas e debates desenvolvidos nos últimos anos, enfocam a abordagem de novas metodologias e práticas visando uma aprendizagem significativa buscando as competências mínimas necessárias para a formação básica. Entre eles destacam-se:

• a Matemática é componente importante na construção da cidadania; • a Matemática precisa estar ao alcance de todos; • a atividade matemática escolar não é “olhar para coisas prontas e

definitivas”; • a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à

apreensão do significado; • recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras,

computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem.

A busca desta abordagem diferenciada a partir da percepção das formas irregulares da natureza e a possibilidade de utilizar um recurso informatizado para a melhoria da aprendizagem nos levaram a estudar as formas fractais fugindo um pouco do estudo tradicional de geometria encontrada nos livros didáticos e praticada nas escolas. Este desafio de fugir do tradicional foi o mesmo aceito pelos primeiros estudiosos deste tipo de geometria. (p.2)

No texto encontramos varias justificativas para a realização este trabalho com os

alunos destacando o empenhou dos alunos para construir os Fractais, e que é resultados

diversos fontes de pesquisa como livros, Internet, revistas, entre outros, e que mais importante

do que o produto que poderiam chegar, era a criação, o processo da construção não só dos

Fractais mas do próprio conhecimento e eles se surpreenderam com os resultados obtidos

superando as suas expectativas, e o material produzido pelos alunos foi utilizado para que

pudessem entender os conceitos matemáticos e trabalhar a simetria, a semelhança, a

proporcionalidade, alem do trabalho com a álgebra, seqüências e funções.

50

5.3 ENSINANDO A TARTARUGA.

Estes procedimentos fazem parte do Tutorial14 do super logo que ensina como

trabalhar com o Logo, iremos descrever a seguir os passos para gerar as Figuras Fractais,

vamos iniciar com o comando APRENDA!

O comando APRENDA vai ensinar a tartaruga uma função qualquer. Ao ser

digitado APRENDA, abre-se uma caixa de texto onde você deve escrever as instruções das

tarefas que você esta ensinando para a tartaruga é através destes comandos que a tartaruga

sabe se é para ir para a direita ou para esquerda e quanto de vê ir é 1, 5, 10 ou quantos

centímetros ou se é para frente ou para traz, quando terminamos inserir todos os dados digite

FIM para saber que inseriu todos os comandos que quer que ele desempenhe.

A alternativa que acreditamos ser a mais rápida e simples é ir direto ao menu

Procedimento e escolher a opção NOVO, ira abrir uma planilha para editar textos, onde

podemos copiar os procedimentos para criar os Fractais descritos acima e colar direto na nova

planilha, após, os dados serem inseridos vá ao menu Área de Trabalho e escolha a opção

atualizar área de trabalho, para ver o resultado do programa, na janela de comando digite o

nome da figura que acabou de configurar seguido pelo numero que deseja substituir na

variável e ver o resultado note que para inserir um parâmetro no seu programa e necessário

usar (:) e também sempre que você use este parâmetro dentro do programa já que a variável

que tiver diante dos dois pontos é que será substituída pelo novo valor.

14 Disponível em:< http://www.inf.ufsc.br/~rfag/Materias/ProgFuncional/PFTutorialSLogo.pdf> acessado em 31 out. 2008.

51

CAPÍTULO 6: Considerações Finais e Conclusões

6.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS.

Várias lembranças me vêm à cabeça quando recordo o caminho percorrido para

realizar este trabalho bem como o que li e o que aprendi o que experimentei e o que descobri.

Quando tento organizar toda a informação que adquiri até agora sobre os fractais, algumas

idéias ainda não fazem sentido para mim, mas não deixam de ter a sua devida importância e

mesmo após a conclusão deste trabalho pretendo continuar tentando entender a “Natureza” da

Geometria Fractal, não por uma necessidade de apresentar um trabalho, mas sim por uma

necessidade pessoal que a de entender melhor a natureza dos Fractais.

O trabalho foi antes de tudo muito gratificante para mim, porque me levou a

descobrir um tema do qual eu não tinha conhecimento, e mesmo depois do trabalho terminado

tenho apenas uma vaga noção da Geometria Fractal (vaga porque tenho ainda que aprender

muito). Este tema despertado em mim muito interesse, e à medida que fui compreendendo os

conceitos nele envolvidos fui tentando ao máximo apresentá-los, a minha curiosidade sobre os

Fractais cresceu amplamente. Para isso também muito contribuiu a constatação que a

geometria fractal está presente em tantos lugares (sobretudo em objetos e na natureza) e que

formas tão complexas, e por vezes tão bonitas podem ser criadas, ou simuladas, por processos

matemáticos muito simples.

Á meu ver o estudo dos Fractais, e o campo onde eles podem ser aplicados é muito

vasto e em áreas diversas, desde as ciências naturais passando pela medicina, artes e

principalmente na área de tecnologia.

A sensação que tenho é que estou vendo apenas a ponta de um enorme iceberg e

que a maior parte dele ainda está escondido. Creio que a Geometria Fractal tem ainda muito

para ser descoberto, e apesar de ter dado muito de mim para este trabalho ser uma realidade é

ainda muito pouco diante de toda a potencialidade da Geometria Fractal.

Para cada porta que se abre leva a outra que se abre para outra, e ainda mais outras,

e assim sucessivamente de tal maneira que nunca acaba tornando o todo cada vez mais

complexo e mais bonito.

52

Vale à pena continuar a estudar o conceito de Fractal, as suas aplicabilidades e a

formalizar meios de apresentar esta idéia matemática aos alunos e ajudá-los a descobrir este

admirável mundo novo levando a Geometria Fractal para o Ensino Fundamental e Médio.

.

53

6. 2. CONCLUSÕES.

Com este estudo concluiu-se que os fractais e sua geometria são um ramo da

Matemática ainda pouco estudado, mas que embora tenha grande importância voltada

principalmente para a Biologia e Medicina tem muito ainda a ser estudado e descoberto, além

disso, os fractais têm uma vasta aplicação artística e topográfica o que pode incentivar e

despertar o interesse e a curiosidade dos alunos em sala de aula de uma maneira lúdica ou

através do uso de softwares específicos que demonstram toda esta beleza.

Conclui-se ainda que a Geometria Fractal possa ser perfeitamente trabalhada em

sala de aula, ou em sala de informática sem o emprego de grandes recursos e com softwares

de domínio publicou ou mesmo com régua, papel e tesoura, cabe a nos como professores de

matemática que estamos saindo da Faculdade para ingressar no mercado de trabalho levar até

nossos alunos conceito da Geometria Fractal se não como uma matéria, mas como outra

maneira de ensinar matemática, ou até mesmo apresentar aos alunos os Fractais para não

cheguem ao ensino superior sem ter noção do que isso vem a ser.

54

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA, Arlete Aparecida Oliveira. Os fractais na Formação Docente e sua Prática em Sala de Aula. Dissertação apresentada á Banca Examinadora da PUC de São Paulo Para obtenção do título de MESTRE EM ENSINO DE MATEMÁTICA ano 2006. BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. ed. Autentica: Tendências em Educação Matemática, 2005, 156 p. BARROS, Kleber Napoleão Nunes de O; SILVA, Cleibson José; GOMES, Jacqueline Oliveira de Melo. ABORDAGEM ALGÉBRICA, GEOMÉTRICA E COMPUTACIONAL DA CONSTRUÇÃO DOS FRACTAIS. BATANETE, Ana et al. Natureza-Caos ou Ordem? UNIVERSIDADE DE COIMBRA Faculdade de Ciências e Tecnologia, Departamento de Matemática Fundamentos e Ensino da Álgebra, 2005, 80 p. BUBLITZ, Aline Natana; NUNES, Jéssica Reis. A Magia Dos Fractais. XXIII – FEIRA REGIONAL DE MATEMÁTICA Pomerode Sc. 2007. FERNANDES, Jaqueline Aparecida. FRACTAIS: UMA NOVA VISÃO DA MATEMÁTICA Monografia apresentada ao Centro Universitário de Lavras UNILAVRAS LAVRAS – MG 2007, disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/mydownloa. php?cid=80>. Acesso em 20 abr. 2008. FREITAS, Rony Cláudio de Oliveira; SANTOS, Carmen Faria. Trabalhando Fractais no Logo: uma experiência no ensino Fundamental Centro de Ensino Superior Anísio Teixeira (CESAT). XXV Congresso da sociedade Brasileira de Computação, ano 2005. IBARRA. Gustavo Bestetti; CASTRO. Leticia; FAGUNDES. Rodrigues. Tutorial do SuperLogo. Disponivel em: <http://www.inf.ufsc.br/~rfag/Materias/ProgFuncional/PFTutorialSLogo.pdf> acessado em 31 out. 2008 LOPES, Cássio; PANTALEÃO, Carlos Henrique Z. Análise de Imagens utilizando Fractais- Visão Computacional (2000). Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/index.html>. Acesso em 21 jun. 2008. MANDELBROT, Benoit. Biografia de Matemáticos. Disponível em: <http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm3/benoit_mandelbrot.htm>. Acesso em 23 abr. 2008. REVISTA Superinteressante, Lúcia Helena de Oliveira Outubro 1994 - Edição 85 - Pg.22-27, disponível em: <http://super.abril.com.br/superarquivo/1994/conteudo_114341.shtml>. Acesso em 15 mar. 2008.

55

SALVADOR. Manuel B. Lino. Introdução ao SuperLogo, II Encontro Sergipano de Matemática Julho de 2001. SECCO, Fernando R; ROCHA, Tatiane T. Trabalho apresentado ao curso de Ciência da Computação da Universidade Federal de Santa Catarina. Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/~l3c/artigos/fractais.pdf>. Acesso em 9 jul. 2008. SILVA, Lídia Basso. Teoria do Caos publicado na Revista Espaço da Sophia nº8 de novembro de 2007 Disponível em: <http://www.espacodasophia.com.br/edicoes_anteriores/11-07/colaboradores/lidia.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2008. SIQUEIRA, Rodrigo. Grupo Fractarte Janelas para o infinito. Exposição de Fractais Disponível em: < http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php > Acesso em: 25 jul. 2008. TEORIA DO CAOS - Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_caos>. Acesso em 8 jul. 2008.