UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIS

UNIDADE UNIVERSITRIA DE JUSSARA

LICENCIATURA EM MATEMTICA

CRISTIANE DE OLIVEIRA SANTOS

A IMPORTNCIA DA VISUALIZAO NO ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E

ESPACIAL

JUSSARA-GO

2009

2

Cristiane de Oliveira Santos

A IMPORTNCIA DA VISUALIZAO NO ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E

ESPACIAL

Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em

Matemtica, da Universidade Estadual de Gois,

Unidade Universitria de Jussara, como requisito parcial

para a obteno do ttulo de Licenciado em Matemtica,

sob orientao da professora Ms. Stela Mares Corra.

JUSSARA-GO

2009

3

4

AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a Deus, por ter dado fora e coragem para superar as

dificuldades encontradas no caminho.

A minha famlia, pelo apoio incondicional em todos os momentos de realizao deste

trabalho.

A todos que me acolheram em suas casas e se esforaram comigo para conquistar mais

uma vitria.

5

A Geometria faz com que possamos adquirir o hbito de raciocinar, e

esse hbito pode ser empregado, ento, na pesquisa da verdade e

ajudar-nos na vida.

Jacques Bernoulli

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RESUMO

O referido trabalho constitui uma breve investigao destinada a mostrar a importncia da

visualizao no processo de ensino-aprendizagem da Geometria Plana e Espacial,

compreendendo sua importncia como contedos essenciais da Matemtica por suas inmeras

possibilidades de aplicao nas diversas reas do conhecimento e no cotidiano. Busca-se por

meio deste refletir o papel da visualizao no desenvolvimento do pensamento geomtrico.

Embasado nas pesquisas, prope-se demonstrar que a visualizao torna-se uma ferramenta

importantssima para ampliar as capacidades intuitivas de percepo e representao, e

contribui para a soluo de problemas matemticos e de outras naturezas. Relata-se no

presente trabalho como se d o desenvolvimento da geometria como cincia do espao e

estrutura lgica. Para discutir seu ensino, necessita-se conhecer como se estrutura no currculo

escolar e quais seus objetivos quanto formao dos alunos. Enfatiza-se as etapas de

construo do conhecimento matemtico e os processos de formao das capacidades

espaciais com enfoques tericos de Gardner e Piaget, alm de retratar a visualizao como

habilidade a ser desenvolvida e como recurso a ser utilizado. Finalmente, a pesquisa permite

conceber a Geometria Plana e Espacial como instrumento de leitura do mundo e a

visualizao como meio fundamental para a construo do saber geomtrico, visando produzir

conhecimento real e significativo que colabore para o avano cientfico, tecnolgico e social

da Matemtica.

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SUMRIO

INTRODUO 8

CAPTULO 1 A GEOMETRIA COMO CINCIA DAS FORMAS E DO ESPAO E

COMO ESTRUTURA LGICA 10

1.1 Um pouco de Histria 10

1.2 Consideraes sobre o ensino da Geometria Plana e Espacial 13

1.3 A construo do espao e das relaes espaciais segundo Piaget 15

1.4 Do concreto ao abstrato 16

CAPTULO 2 A VISUALIZAO COMO FERRAMENTA PARA O

DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMTRICO 19

2.1 A construo do pensamento geomtrico 19

2.2 Da visualizao representao 21

2.3 O desenvolvimento da inteligncia espacial 27

2.4 Educao visual 31

CAPTULO 3 O ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL PELA

VISUALIZAO, ATRAVS DA EXPLORAO DO ESPAO FSICO E

RESOLUO DE PROBLEMAS 33

3.1 Visualizando a Geometria Plana e Espacial nas Criaes Humanas e da Natureza 33

3.2 Os recursos visuais no ensino da Geometria Plana e Espacial 35

3.3 A importncia da visualizao na resoluo de problemas 39

CONSIDERAES FINAIS 42

BIBLIOGRAFIAS 43

ANEXO 45

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INTRODUO

O presente trabalho se origina da preocupao com o ensino da Geometria Plana e

Espacial. Experincias pessoais e vivncias escolares revelam uma desmotivao na

aprendizagem da Geometria associada s dificuldades na compreenso de conceitos,

demonstraes e aplicaes do referido contedo. Analisando opinies de alunos, demonstram

que o ensino da Geometria tem se apresentado rigorosamente abstrato, com transmisso de

regras e memorizao de frmulas atravs de intensivos exerccios tcnicos.

Diante desse cenrio, o objetivo deste trabalho proporcionar uma reflexo sobre a

importncia de se promover um ensino dinmico que leve em considerao as necessidades

de aprendizagem dos alunos, ajudando-os a compreender o espao que os cercam e utilizar o

conhecimento geomtrico e matemtico em benefcio das demandas cotidianas.

Tem-se como propsito e diretriz bsica deste, compreender a importncia exercida

pela visualizao na construo do pensamento geomtrico e refletir seu papel na formao de

sujeitos ativos e crticos, capazes de atuar de forma participativa no processo de ensino-

aprendizagem.

H muito tempo se reconhece que a matemtica de imensa importncia na vida,

porm, pouco se explica sobre quando us-la e como, em quais situaes sero teis e de que

forma essa tem contribudo para o desenvolvimento da humanidade. Por isso faz-se

importante conhecer sua histria e evoluo, os caminhos tomados por ela ao longo dos

tempos, de quais necessidades emergiu e quais seus objetivos de ensino.

O desenvolvimento do tema A importncia da visualizao no ensino da Geometria

Plana e Espacial apresentado em trs captulos. Utilizamos a pesquisa bibliogrfica tendo

como referenciais maiores, Fainguelernt (1999), Gardner (1994), PCNs (1997) e Polya

(1995).

O primeiro captulo, recorre a histria da Geometria para verificar que todo

conhecimento parte de uma necessidade e vai se transformando de acordo com as exigncias

da mesma. Relata-se neste, como a Geometria se organizou com o sistema lgico, partindo da

explorao de formas no espao e direcionando para o domnio de operaes mentais,

formalizao de ideias, fase de rigor matemtico na validao de proposies, conhecido

como processo de abstrao. O referido captulo aborda questes relacionadas s propostas

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curriculares do ensino da Geometria Plana e Espacial para os dias atuais. Trata-se ainda de

analisar de que maneira a visualizao auxilia no desenvolvimento mental dos indivduos.

No captulo dois, lanamos o olhar para as relaes entre visualizao e

desenvolvimento do pensamento geomtrico. Comenta-se sobre o processo em que o aluno,

pelo domnio de imagens visuais, torna-se capaz de representar mental e materialmente o

espao que o cerca. Ainda no mesmo, discute-se como se desenvolve a inteligncia espacial e

reflete-se sobre as informaes visuais, acreditando ser necessrio educar nossos sentidos

perceptivos para se construir as capacidades espaciais.

Reconhecendo que uma das grandes dificuldades dos alunos em relao Geometria

est na falta de conexo do seu ensino com a realidade, o terceiro captulo aborda meios de

visualizar a presena da Geometria Plana e espacial no cotidiano. Tem-se como proposta

deste, compreender a importncia dos recursos visuais no processo de ensino-aprendizagem e

nas aplicaes geomtricas, bem como entender a visualizao como instrumento valioso para

resolver problemas.

Este trabalho permite um mergulho no mundo geomtrico e nos processos de

visualizao que levam o aluno ao conhecimento e representao do espao. A importncia de

se discutir a visualizao est no fato do grande nmero de habilidades que esta desenvolve

nos indivduos e os processos cognitivos que ela envolve. Compreender sua utilizao na

Geometria Plana e Espacial e sua relevncia para a aprendizagem e construo de

competncias espaciais individuais o que fomenta nossa pesquisa.

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CAPTULO 1 A GEOMETRIA COMO CINCIA DAS FORMAS E DO ESPAO E

COMO ESTRUTURA LGICA

Na maior parte das cincias, uma gerao pe abaixo o que a outra

construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na

Matemtica que cada gerao constri um novo andar sobre a

antiga estrutura.

Hermann Hankel

Ao longo deste trabalho estaremos analisando as questes matemticas que envolvem

a Geometria, que no incio de sua histria revelava-se como uma cincia puramente

experimental, e que a partir da utilizao do mtodo dedutivo comea a ser considerada um

sistema lgico. Buscaremos perceber como o seu ensino est estruturado em nossos dias

atuais e como se constri as relaes espaciais nos alunos. Alm disso, retrataremos como

acontece a passagem do espao concreto para o abstrato. So em torno de problemticas como

estas que desenvolveremos nossa discusso em cima do assunto proposto que o da

Geometria em duas temticas, a Plana e a Espacial.

1.1 Um pouco de Histria

H dvidas quanto a origem da geometria, mas sabe-se que esta tem razes muito

antigas. Indcios histricos apontam para o nascimento da Geometria como forma de

satisfazer as necessidades humanas e solucionar problemas prticos. De acordo com o

Dicionrio Enciclopdico (2008), desde 2000 anos a. C os babilnios j utilizavam a

Geometria como forma de demarcar territrios. Aproximadamente 1300 anos a. C os egpcios

tambm empregavam a Geometria para medir terrenos e em suas edificaes. Na Grcia

estava ligada a medir terra, o que explica a origem da palavra criada pelos gregos; Geo

significa terra e metria significa medida.

Com base no Dicionrio Enciclopdico (do site somatematica), observamos que a

Geometria utilizada era rudimentar e prtica. Ela consistia em utilizar-se de conhecimentos

sobre o espao para solucionar problemas prticos, tais como construir moradias, tecer,

confeccionar vasos e potes, alm de tecidos e cestas. Segundo Boyer (1996), estas formas de

construir objetos demonstrava que j se utilizava a congruncia e a simetria.

Segundo Boyer (1996), os documentos histricos revelam que os egpcios antigos j

calculavam reas geomtricas. Para a comprovao disso ele afirma que h exemplos de

tringulos, trapzios retngulos e quadrilteros gerais. De acordo com o mesmo autor, as

11

pessoas calculavam a rea de quadrilteros fazendo o produto das medidas aritmticas de seus

lados opostos. Baseando em situaes geomtricas particulares, os indivduos buscavam

solues gerais que pudessem resolver todos os problemas de origens semelhantes. O

procedimento utilizado era o que hoje chamamos de mtodo indutivo.

Para alguns historiadores, essa Geometria era considerada um reflexo das observaes

e experincias feitas pelo homem, consistindo na observao do espao e de formas e

realizao de medidas. Embora de grande importncia e valor, os conhecimentos geomtricos

no apresentavam consistncia cientfica. Os fundamentos eram de natureza experimental,

sem base em princpios matemticos. Dessa forma a Geometria se apresentava com noes

geomtricas construdas intuitivamente e desconexas, sem organizao lgica.

Pela necessidade de calcular reas, havia uma busca por uma construo de modelos

que expressem a necessidade de validar determinadas propriedades. As propriedades

geomtricas aceitas com base na experincia, de maneira intuitiva, j no eram suficientes

para solucionar seus problemas, o que levou o homem a buscar um mtodo que provasse e

demonstrasse as propriedades por meio de raciocnios matemticos lgicos e coerentes.

Para Boyer (1996), os primeiros a utilizarem o mtodo dedutivo, foram os gregos

Tales de Mileto e Pitgoras de Samos que deram uma nova forma ou maneira de interpretar a

Geometria. De acordo com o mesmo autor, se atribui a Tales os teoremas de que, o dimetro

a bissetriz de um crculo, em um tringulo issceles os ngulos da base so iguais, na

interceptao de duas retas os ngulos opostos formados so iguais e por fim, dois tringulos

so congruentes se dois ngulos e o lado comum aos ngulos de ambos so iguais.

Pitgoras atribudo o teorema do tringulo retngulo, hoje enunciado, no tringulo

retngulo o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. De acordo com

escrituras antigas, os pitagricos (discpulos de Pitgoras) conheciam alguns dos poliedros

regulares; o tetraedro, o cubo e o dodecaedro.

Como smbolo da escola pitagrica, o pentagrama ou pentgono estrelado

considerado de grande especialidade. Partindo de um polgono retangular de cinco lados e

traando as cinco diagonais, a interceptao das diagonais formam um outro pentgono

proporcional ao primeiro (ver anexo 1).

Outro personagem importante na Geometria Plato. Atribui-se a ele a descoberta dos

poliedros regulares, que por tal motivo, tambm so conhecidos como poliedros de Plato.

Embora Tales e Pitgoras sejam considerados os pioneiros do raciocnio dedutivo, a maioria

dos historiadores afirmam que foi com o matemtico grego Euclides, por volta de 300 anos a.

C que se deu a sistematizao e ordenao lgica dos conhecimentos geomtricos da poca,

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contribuindo para o desenvolvimento da Geometria. Por meio de sua obra Os elementos que

reunia treze livros dos quais nove so tratados da Geometria Plana e Espacial, conhecemos os

postulados e axiomas de Euclides, que faz parte do ensino at os dias atuais.

A seguir, apontaremos os cinco postulados e os cinco axiomas de Euclides segundo

Boyer (1996). Mas antes, vale lembrar que postulados e axiomas so afirmaes aceitas como

verdade que no necessitam de prova ou demonstrao.

Postulados so:

1. Traar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto;

1. Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta;

2. Descrever um crculo com qualquer centro e qualquer raio;

3. Que todos os ngulos retos so iguais;

4. Que se uma reta cortando duas retas faz os ngulos interiores de um

mesmo lado menores que dois ngulos retos, as retas, se prolongadas

indefinidamente, se encontram desse lado em que os ngulos so menores

que dois ngulos retos.

Axiomas so:

1. Coisas que so iguais a uma mesma coisa, tambm so iguais entre si;

2. Se iguais so somados a iguais, os totais so iguais;

3. Se iguais so subtrados de iguais, os restos so iguais;

4. Coisas que coincidem uma com a outra so iguais uma a outra;

5. O todo maior que a parte (Boyer, 1996, p. 73).

De acordo com os matemticos se atribui a Euclides os teoremas de congruncia de

retngulos, construes simples com rgua e compasso, desigualdades relativas a ngulos e

lados de tringulos, propriedades das retas paralelas e teoremas sobre paralelogramos.

Segundo Boyer (1996), Os elementos de Euclides apresentam proposies da Geometria

Espacial. H definies de slidos regulares, medidas de figuras, provas do volume de

pirmides, cones, cilindros e esferas. Euclides prova que no pode haver outros poliedros

regulares alm do tetraedro, octaedro, hexaedro, icosaedro e dodecaedro.

A obra referida considerada como o livro da organizao lgica geomtrica e seu

autor um dos grandes precursores da sistematizao dos conhecimentos geomtricos e

matemticos tornando seus teoremas vlidos at hoje. Portanto, a Geometria parte de estudos

da observao de formas e do espao e se completa como estrutura lgica, com princpios

matemticos norteadores.

13

1.2 Consideraes sobre o ensino da Geometria Plana e Espacial

A Geometria conceituada como Cincia que investiga o espao, as formas que pode

conter e as propriedades dessas formas. Como parte da matemtica, estuda as propriedades,

medidas e relaes de pontos, linhas, ngulos, superfcies e slidos. A Geometria Plana a

rea que estuda as representaes em superfcies planas, sem espessuras, geralmente formas

em duas dimenses, enquanto a Geometria Espacial se encarrega dos slidos e formas

tridimensionais.

Caracterizando-se como alguns dos contedos essenciais da Matemtica, a Geometria

Plana e Espacial vista como naturalmente interessante para os alunos, por ser de fcil

visualizao sua aplicabilidade nas diversas reas do conhecimento e no cotidiano.

Compreendendo sua importncia, faz-se necessrio refletir como se estrutura seu ensino e

quais os objetivos da matemtica nesta rea. Sintetizaremos alguns dos contedos que so

trabalhados pela Geometria Plana e Espacial e em seguida seus respectivos objetivos, segundo

os Parmetros Curriculares Nacionais.

1. Geometria Plana:

Semelhanas e diferenas em Polgonos;

Representaes no Plano;

Congruncia e representaes de figuras;

Simetria;

ngulos;

reas de polgonos.

2. Geometria Espacial:

Poliedros;

Slidos redondos;

Interseo, paralelismo e perpendicularismo;

Inscrio e circunscrio de slidos.

Espera-se que o ensino destes contedos leve o aluno a dimensionar espaos,

percebendo relaes de tamanho e forma; observar e reconhecer formas geomtricas em

elementos naturais e criaes humanas; identificar formas bi e tridimensionais em situaes

descritivas orais, construes e representaes; identificar, representar e utilizar o

conhecimento geomtrico para leitura, compreenso e ao sobre a realidade.

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Os objetivos descritos revelam que o ensino da Geometria Plana e Espacial tem como

um de seus focos auxiliar o aluno a reconhecer, compreender e representar o espao que o

cerca e suas formas. Assim, parte do conhecimento se d pela percepo do espao que para

Fainguelernt (1999) est na capacidade de reconhecimento, discriminao e interpretao de

estmulos no espao partindo do mesmo.

De acordo com os PCNs (1997), o ensino da geometria pode levar o aluno a

estabelecer relaes entre a Matemtica e outras reas, se partir da explorao de objetos do

mundo fsico, como obras de artes, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato. Desse modo

sugere dinamizar e utilizar a criatividade no seu processo de ensino, propondo atividades com

dobraduras, modelagem de formas em argila ou massa, construo de maquetes entre outras.

Os PCNs ainda destacam a importncia de atividades de visualizao de formas geomtricas

na natureza e nas criaes humanas.

Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino da Geometria consiste

em levar o aluno a perceber e valorizar sua presena em elementos da

natureza e em criaes do homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades

em que ele possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos,

casa de abelha, teias de aranha, ou formas em obras de arte, esculturas,

pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em tecidos, vasos, papeis

decorativos, mosaicos, pisos, etc. (PCNs, 1997, p. 128).

O desenvolvimento de tais atividades possibilita ao aluno compreender o significado e

a utilidade da Geometria Plana e Espacial, assim como estimula a curiosidade, o domnio da

imaginao e favorece a potencializao da criatividade. Para Luckesi (1994), o conhecimento

adquirido na escola, s significativo e real para os alunos, se for assimilado pela

compreenso, exercitao e utilizao criativa. provvel, que parte das frustraes no

aprendizado da Geometria, esteja no fato de que muitas vezes o ensino desta se reduz a meros

formalismos com excessivas regras e frmulas, sem compreenso de conceitos e

demonstraes e s vezes sem sintonia com a realidade.

Sabendo que um dos objetivos do ensino da Geometria oferecer condies para que

o aluno leia e interprete o mundo, faz-se til refletir se o ensino da Geometria Plana e

Espacial tem possibilitado concretizar tal objetivo. Que condies de leitura e interpretao

esto sendo propiciadas e que tipo de leitura tem sido feita? Que tipo de leitores esto sendo

formados?

Vale ressaltar que uma das metas maiores da educao formar cidados conscientes,

crticos e ativos que sejam capazes de atuar sobre a realidade e se preciso, modific-la. Sendo

assim, o que se espera do ensino da Geometria Plana e Espacial que contribua para essa

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meta, de modo que, no processo de ensino aprendizagem, o aluno se sinta responsvel pelo

seu conhecimento, participando ativamente do saber matemtico.

Cabe ao professor, buscar metodologias que colabore para a potencializao das

capacidades criativas de seus alunos, explorando conceitos e propriedades da Geometria Plana

e Espacial, bem como exerccios de visualizao e percepo do espao, visando dar

significncia ao estudo da mesma, promovendo-lhes a oportunidade de compreender sua

utilidade no cotidiano, na matemtica e em outras cincias.

1.3 A construo do espao e das relaes espaciais segundo Piaget

Para compreender como se d a percepo do espao e como organizada as relaes

espaciais na mente do indivduo, partimos da teoria de Piaget, visando entender de que forma

construdo o conhecimento geomtrico. De acordo com sua teoria, a criana descobre e

compreende o mundo por meio do contato visual e fsico com os objetos. A priori, sua

orientao espacial tem apenas seu prprio corpo como referencial. Mais tarde, adquire

conscincia do espao e dos movimentos de seu corpo e desenvolve a capacidade de deslocar-

se mentalmente, tendo as primeiras noes de coordenao espacial.

Durante algum tempo, os objetos so percebidos pela criana apenas pelo contato

direto com estes, isto significa que, ao serem retirados do campo visual e real da criana,

como se os objetos deixassem de existir. Assim, a percepo do espao est estritamente

ligado ao que a criana pode ver e tocar. Gardner (1994) considera crucial para o

desenvolvimento mental, a fase em que, segundo Piaget a criana capaz de reconhecer a

permanncia da existncia dos objetos, mesmo quando fora do alcance de suas vistas.

Uma vez que a criana reconhea a permanncia dos objetos ela pode pensar

neles e referir-se a eles mesmo em sua ausncia. Ela tambm torna-se capaz

de reconhecer as similaridades entre determinados objetos por exemplo o fato de que todas as xcaras (apesar de diferenas em tamanho e cor)

pertencem a mesma classe (GARDNER, 1994, p.101).

Partindo da manipulao de objetos do espao fsico, a criana atribui-lhes

caractersticas que posteriormente lhe possibilitar visualiz-los mentalmente. Aps construir

imagens mentais, a criana, atravs de um processo de interiorizao de suas aes, pode

representar seu espao, dando significado aos objetos por meio de palavras, gestos e

16

desenhos.

Fainguelernt (1999) constata que na teoria de Piaget sobre a concepo do espao e da

Geometria, o desenvolvimento da representao descrito como a imagem mental do espao

real em que a criana atua. E de acordo com Gardner (1994), Piaget considera como estgio

final do desenvolvimento, a fase em que a criana, agora adolescente, consegue raciocinar

logicamente sobre suas aes e representaes e realizar operaes formais, como calcular a

veracidade de proposies e resolver problemas, considerando assim que o pensamento

lgico-racional produz o conhecimento cientfico. Nesta fase, possvel substituir os objetos

concretos por smbolos e operar atravs destes.

Afirma-se, assim, que a construo do espao e das relaes espaciais ocorre de modo

gradual. Num primeiro instante, por meio dos sentidos e movimentos, seguidos da explorao

e manipulao de objetos, a descoberta de conceitos e propriedades que permitem classificar

as imagens reais e, em sequncia, visualizar estas mentalmente, oferecendo condies de

representar o espao e, por fim, pelo raciocnio lgico formal e reflexo das imagens visuais e

representaes mentais. H assim, a passagem de um espao para outro, do espao perceptivo

para o de representao.

1.4 Do concreto ao abstrato

J possvel perceber at aqui, que a Geometria se constitui a partir do mundo fsico,

de aes sobre objetos e caminha para o domnio de operaes mentais. Fora admitida a

existncia de dois espaos, concreto e abstrato. Por convenincia do estudo usar-se- as

seguintes definies; o concreto refere-se ao que existe materialmente, algo palpvel,

claramente definido, perceptvel pelos sentidos. E o abstrato designa o que se baseia em ideias

ou princpios gerais, e no em exemplos ou fatos reais, que existe como uma ideia ou difcil

de entender.

No ensino da Matemtica h uma estreita relao em observar o mundo real e sua

representao e fazer ligao destas com os princpios e conceitos matemticos. Segundo os

PCNs (1997), os conceitos e resultados da matemtica tem origem no mundo real e permitem

aplicaes em diversas situaes prticas do cotidiano. A abstrao aparece ao tratar relaes

quantitativas e de formas espaciais, e o matemtico utiliza apenas raciocnios e clculos para

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demonstrar suas afirmaes.

Pode-se ento perguntar, se o ensino da Geometria Plana e Espacial deve iniciar com a

explorao de formas e materiais concretos, como aprender a raciocinar abstratamente?

Ressaltamos que pensar de forma abstrata faz parte de um processo.

Inicialmente, o ambiente geomtrico possibilita ao aprendiz desenvolver

suas impresses sobre a estrutura matemtica, necessitando basear-se em um

ambiente real para interagir. J em um estgio mais avanado, esse ambiente

geomtrico adquire um significado mais amplo, no precisando de um

ambiente real (concreto) que o fundamente. O aprendiz j compreendeu e

produziu um significado que, partindo de um nmero reduzido de axiomas,

postulados e definies, pode constituir, por via dedutiva, um conjunto de

apropriaes geomtricas (Fainguelernt, 1999, p. 51).

Embora parea uma capacidade inata do ser humano o desenvolvimento do raciocnio

lgico e a passagem de um espao ao outro, tais competncias devem ser potencializadas,

permitindo melhor aprendizagem. De acordo com Teixeira (2009), h um abismo entre a

matemtica intuitiva e a simblica, resultado do carter abstrato do ensino. Segundo a mesma,

na maioria das vezes a matemtica parte do abstrato, e no de situaes concretas, o que causa

um descompasso, pois esta habilidade (abstrao) no ser de fcil visualizao para aplic-la

na vida diria, que normalmente exigem solues prticas e imediatas para problemas.

comum, encontrar alunos que no gostem da matemtica, porque no entendem suas

frmulas, no sabem quando us-las e o porqu de seu uso. A abstrao utilizada

precocemente pode, de certa forma, assustar os alunos, dificultando o processo de

aprendizagem e interferindo no crescimento intelectual dos mesmos. Polya (1995) sugere que

o professor, para o desenvolvimento do pensamento abstrato, faa seus alunos aprenderem a

demonstrar, testando, provando, formulando e interpretando. Torna-se necessrio incentivar os

alunos a fazer suposies e, posteriormente, construir a prova. Na resoluo de problemas,

aconselha-se a dar nfase nos aspectos instrutivos da soluo, levando o aprendiz a encontrar

solues gerais, a elaborar regras, o que de algum modo requer o domnio de conceitos

bsicos da Geometria.

De acordo com Mori e Onaga (2002) a resoluo de problemas auxilia as construes

geomtricas e exigem no ensino da Geometria o uso de instrumentos como rgua, esquadro e

compasso, alm da habilidade de lidar com operaes. Para estas o ensino da Geometria deve

se iniciar empiricamente por medidas, experimentos e anlises intuitivas at chegar ao

trabalho de abstrao, fase que pede um maior rigor na formalizao de conceitos e o uso do

raciocnio lgico dedutivo.

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Considerando a abstrao como a parte da matemtica que soluciona problemas

baseando-se em princpios gerais e operaes mentais sem o auxlio de meios concretos,

pode-se dizer que a mesma torna-se um dos mais altos nveis do saber matemtico a ser

alcanado. Gradativamente, o saber geomtrico vai sendo construdo. O raciocnio lgico a

principal ferramenta para que o aluno realize a passagem do concreto para o abstrato.

Apossemo-nos ento das palavras de Kant: Todo conhecimento humano comea com

intuies, passa a conceitos e termina com ideias (apud. Boyer, 1996, p.).

Ressalta-se assim, em concorde com Fainguelernt (1999), que o ensino da Geometria

deve partir da percepo e intuio de dados concretos e experimentais, explorando os

conceitos, representaes e aplicaes, desenvolvendo o raciocnio lgico, para chegar ao

processo de abstrao.

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CAPTULO 2 A VISUALIZAO COMO FERRAMENTA PARA O

DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMTRICO

No a ramo da Matemtica por mais abstrato que seja, que no possa

um dia vir a ser aplicada aos fenmenos do mundo real.

(Lobachevsky)

Buscamos neste captulo compreender como acontece o desenvolvimento do pensar e

raciocinar geometricamente, tendo por objetivo demonstrar a importncia da visualizao

nesse processo percebendo seu papel na construo da inteligncia espacial. Alm de analisar

de que forma as atividades de percepo e representao do espao auxiliam a aprendizagem

em Geometria, e a importncia de ter a visualizao como um escudo para o ensino da

mesma. Seria a imagem visual um auxlio ou um empecilho para a construo da geometria

no meio educacional?

2.1 A construo do pensamento geomtrico

Capacidades de pensar e raciocinar geometricamente refere-se a habilidades como

orientao espacial, coordenao de diferentes ngulos de observao, comunicao,

descrio e representao do espao e a habilidade de reconhecer a utilizao da Geometria na

soluo de problemas matemticos e da vida diria. Pode-se compreend-la como sendo a

competncia de elaborar ideias e raciocnios ligados relaes espaciais. O desenvolvimento

do pensamento geomtrico est diretamente relacionado ao modo pelo qual se percebe e se

interpreta o mundo, a priori pelo seu aspecto fsico e no pelos seus atributos.

O pensamento geomtrico desenvolve-se inicialmente pela visualizao: as

crianas conhecem o espao como algo que existe ao redor delas. As figuras

geomtricas so reconhecidas por suas formas, por sua aparncia fsica, em

sua totalidade, e no por suas partes ou propriedades (PCN: Matemtica,

1997, p. 127).

A base da construo do pensamento geomtrico a visualizao do espao e de suas

formas. Aps visualizar o espao possvel atribuir-lhe caractersticas que permitam a criao

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da imagem mental do mesmo. Por meio dos conceitos, propriedades, intuio, deduo e

soluo de problemas, faz-se uma reflexo sobre as imagens visuais e mentais que do

condies de analisar, compreender, aceitar ou negar as proposies veiculadas. O

pensamento geomtrico, segundo os PCNs (1997) vai do pensar no que pode ser percebido

para o que se pode ser concebido.

O pensamento geomtrico tem ligao com o domnio do pensamento lgico

matemtico e este segundo Gardner (1994) trao de um confronto com o mundo dos objetos.

Considera-se que um dos principais meios para se construir o pensamento geomtrico so as

atividades geomtricas, pois estas estimulam o raciocnio lgico, o desenvolvimento de

estratgias para solucionar problemas e proporcionam contextos que desenvolvem as

habilidades citadas inicialmente.

Pensar geometricamente exige saber fazer. Isto significa que o aluno deve colocar

em prtica os seus conhecimentos geomtricos para enfrentar diversas situaes. Para tanto,

este precisa exercitar a ateno, a visualizao, a memria e o pensamento. Faz-se necessrio

propor atividades que valorizem o raciocnio lgico, a interpretao, a criatividade e a

imaginao.

Para os PCNs (1997) os conceitos geomtricos favorecem o pensamento geomtrico

pois exigem dos alunos que estabeleam relaes entre definies, caractersticas e

proposies matemticas. A respeito dos conceitos, h uma ressalva:

Em Matemtica, os diferentes tipos de definio que se utilizam descrevem

com preciso as caractersticas dos objetos aos quais esto referidas; um

conceito matemtico caracterizado por seus atributos relevantes e pelas

relaes existentes entre eles. Porm, se estamos preocupados com a

construo dos conceitos pelos aprendizes, a psicologia e a didtica

garantem que no processo ensino-aprendizagem um conceito ano pode

simplesmente ser reduzido sua definio, e atravs da contextualizao

por meio de diferentes atividades e situaes-problemas que ele adquire um

significado para o aprendiz (FAINGUELERNT, 1999, p.75).

Desse modo, julga-se que preciso ligar conceitos geomtricos a definies

matemticas, partindo de exemplos e contra-exemplos, levando em considerao o contexto

nos quais os conceitos esto inseridos. Fainguelernt (1999) cita como exemplo o conceito de

tringulo. Sua definio que um tringulo uma figura de trs lados. Porm, dependendo do

contexto, o conceito seria equivocadamente construdo, pois trs segmentos quaisquer nem

sempre constroem um tringulo. Necessita-se assim de dados contextuais que proporcionem a

real construo do conceito. Um conceito de tringulo com melhor contextualizao poderia

partir da definio de que o tringulo uma figura composta por trs lados, trs vrtices e trs

21

ngulos.

A inteno aqui, no aprofundar no estudo de conceitos, mas demonstrar que a

formao e compreenso destes contribuem para a construo do pensamento geomtrico.

Logo, percebe-se que a construo do pensamento geomtrico tem suas razes na

visualizao, e se desenvolve pela apreenso de conceitos e atividades de explorao do

espao e resolues de problemas que envolvem neste caso o uso da Geometria Plana e

Espacial. A utilizao do pensamento geomtrico implica na utilizao dos conhecimentos

matemticos que por sua vez visam encontrar solues para problemas de todas as reas do

conhecimento, bem como cooperar para o avano cientfico, tecnolgico e social da

humanidade.

2.2 Da visualizao representao

Como considerado anteriormente, a visualizao a base para a construo do

pensamento geomtrico. Fainguelernt (1999) define visualizao como sendo a habilidade de

perceber, representar, transformar, descobrir, gerar, comunicar, documentar e refletir sobre as

informaes visuais. Partindo dessa definio, visualizao no apenas o ato de ver, no

sentido de utilizar um rgo sensorial. Est relacionada capacidade de analisar o que se

percebe como parte do mundo real e memorizar aspectos que caracterizem os objetos vistos.

Refere-se ento a contato visual fsico, mas tambm a contato mental (imaginrio) com o

espao.

comum encontrar professores que ao ensinar Geometria, utilizem a expresso

popular comer com os olhos, designando aes como, observar atentamente, no desviar o

olhar, perceber detalhes, investigar, descobrir algo. Considerando tal expresso, de fato, o que

se pretende com a visualizao levar o aluno a comer o mundo com os olhos.

Atentemo-nos para o fato de que, pessoas com deficincia visual percebem o mundo

por outros meios, utilizando outros sentidos como o tato e a audio. Assim, referimos aos

olhos como sendo o meio de explorao do espao, considerando tanto o sistema visual

como o ttil.

O indivduo cego tende a converter as experincias espaciais no nmero de

etapas (ou movimentos de dedos) dados numa determinada direo e no tipo

de movimento necessrio. O tamanho descoberto atravs de mtodos

indiretos, tais com passar a mo ao longo de um objeto: quanto mais

22

movimento no tempo, maior o objeto parece ser. O indivduo cego pode

explorar indcios como retido, curvatura e salincia de feies para

reconhecer figuras mais complexas (sombras de medidas de imagens visuais)

(GARDNER, 1994, p. 144).

Contudo, esse trabalho limita-se ao estudo da visualizao pelo meio visual comum,

ficando os outros meios como sugesto para pesquisas posteriores. A visualizao torna-se

uma atividade indispensvel na matemtica, especialmente na Geometria, rea que envolve

criatividade e dinamismo no ensino.

Fainguelernt (1999) argumenta que a visualizao ativa o pensamento espacial e o

raciocnio e que o estudo da Geometria necessita recorrer a intuio, a percepo e a

representao para interpretar o mundo e compreender a matemtica. Segundo a mesma, a

visualizao importante porque envolve processos mentais e cognitivos essenciais para a

construo do conhecimento matemtico.

Nas concluses antecedentes, os objetos so primeiramente percebidos no espao,

observados e analisados, identificadas e descritas suas propriedades, classificados e

conceituados e por fim representados visualmente e mentalmente. Em uma anlise da teoria

de Fischbein (1994), Fainguelernt (1999) constata que o espao percebido e construdo por

meio de elementos visuais.

A experincia visual permite construir imagens mentais do espao percebido e faz-se

possvel recriar aspectos dessa experincia. Assim, por exemplo, observando uma casa por

diversas vezes, possvel mentaliz-la ou memoriz-la tendo em seguida a capacidade de

desenh-la no papel, mantendo suas caractersticas essenciais e originais. Gardner (1994) diz

que a visualizao contribui para o pensamento cientfico e artstico. Para este, o

conhecimento geomtrico est no domnio das relaes espaciais, das imagens visuais e

mentais.

Para Fainguelernt (1999) a aprendizagem resulta da interpretao que dada as

sensaes dos estmulos do meio ambiente, de experincias passadas, ideias, imagens,

expectativas e atitudes. Afirma-se que as imagens visuais claramente definidas, organizam os

dados disponveis em estruturas significativas, estabelecendo possibilidades para solucionar

problemas intuitivamente.

A visualizao contida numa atividade cognitiva adequada um fator

essencial para a compreenso intuitiva. As representaes visuais, por um

lado contribuem para a organizao das informaes em representaes

sinpticas, constituindo um fator importante de globalizao. Por outro lado,

o aspecto concreto das imagens visuais um fator essencial para a criao de

um sentimento de auto evidncia e imediao (FAINGUELERNT, 1999,

23

p.42).

Nesse sentido, pode-se dizer que a resoluo de problemas com o auxilio de imagens

visuais, facilita a compreenso do problema e seduzido pela visualizao o aluno se sentir

motivado a resolv-lo. Vejamos um exemplo de problema proposto por Polya (1995) e sua

proposta de soluo:

Deseja-se calcular a diagonal de um paraleleppedo retngulo do qual so conhecidos

o comprimento, a largura e a altura. Para solucion-lo sugerido ao professor que concretize

o problema para torn-lo interessante. Considerando que a sala de aula seja um paraleleppedo

retngulo, podendo medir suas dimenses, prope-se ao aluno que calcule a diagonal da sala

medindo-a. O professor indicar o comprimento, a largura e a altura da sala e com um gesto,

mostrar a diagonal da sala. Transpe-se a figura da sala para o quadro e os alunos realizam

dilogos de interpretao do problema.

Os alunos compreendero que, dos dados do problema, tendo o comprimento, a

largura e a altura, tem-se o paraleleppedo e determinando-o, encontrar-se- sua diagonal. Tal

exemplo nos permite analisar a importncia de visualizar o problema, transform-lo em uma

situao real, concreta, que faa o aluno considerar relevante solucion-lo.

No ensino da Geometria, nota-se maior dificuldade quando se fala de trs dimenses.

O aluno est acostumado a trabalhar figuras planas, estticas e sem dinamismo. Assim,

quando o professor se refere ao cubo, ao paraleleppedo, o aprendiz s visualiza uma de suas

faces, o que significa dizer que este v uma figura plana e no uma figura tridimensional. A

ocorrncia desse equvoco pode estar no fato de o professor, ao exemplificar figuras espaciais,

por exemplo, comparar o paraleleppedo com o quadro negro. Com esta comparao o aluno

criar a imagem mental do paraleleppedo como sendo um retngulo, ou seja, uma figura

bidimensional.

Desse modo, torna-se essencial trabalhar com as representaes de figuras no espao,

para que o aluno perceba que as figuras espaciais podem ser formadas por figuras planas, mas

possuem trs dimenses: comprimento, largura, profundidade ou volume, o que as diferem

das planas, constitudas de comprimento e largura. Visualizar o espao, portanto, no to

fcil quanto parece, afinal estamos definindo esse ato no como um simples olhar para o

mundo, mas numa dinmica e sentido maior.

Cabe esclarecer que a visualizao e os processos visuais devem se interagir com o

mundo da Geometria, dos conceitos, propriedades, definies matemticas, pois Fainguelernt

(1999) explica que impossvel formar a imagem de conceito ou identificar suas

24

caractersticas sem a visualizao dos elementos que o compe.

Constata-se que a visualizao amplia a viso intuitiva e global e facilita a

compreenso em outras reas da Matemtica. As pesquisas feitas relacionando visualizao e

Geometria apontam para a visualizao como um nvel da construo do pensamento

geomtrico e alegam estar interligadas visualizao e habilidades espaciais.

Admitindo uma hierarquia na aprendizagem da Geometria, ou seja, seu ensino se

inicia pela visualizao passa a percepo e caminha para a representao, torna-se

conveniente refletir a etapa de representao, sendo esta uma importante habilidade

matemtica. A representao consiste em formar modelos simblicos do espao ou ilustrar as

imagens mentais.

Segundo Pallascio (1992), o papel principal da representao a conceituao do real a fim de agir eficientemente. Para ele , a representao visual, por um lado, tem o significado da organizao material de natureza

simblica (por exemplo, desenhos, diagramas, etc.), que se refere a certas

realidades ou modela etapas do processo e, por outro lado, se refere

imagem mental (FAINGUELERNT, 1999, p. 57).

As imagens visuais se armazenam mentalmente, gerando a imaginao interna do

espao. A representao permite imitar essa imaginao, de forma externa. Tal afirmao nos

leva de volta a teoria de Piaget. Na teoria Piagetiana, a Geometria est relacionada com a

tomada de conscincia do espao, sua representao e construo de idias matemticas. A

representao revela-se de certa forma, com a reconstruo das imagens visuais e mentais.

Para se chegar a este estgio, as capacidades visuais devero estar desenvolvidas.

Como exemplos de capacidades visuais aguadas e habilidades em representao,

podemos citar os pintores, escultores, artesos, engenheiros e pedreiros.

Conta-se que Leonardo da Vinci ao ver uma cabea ou uma barba estranhos ou um

cabelo de aparncia incomum, seguia a pessoa o dia inteiro e assim o decorava, de modo que

ao chegar em casa, desenhava-a como se esta estivesse presente. Algumas de suas obras

retratam fielmente cenas e objetos, vistos apenas uma vez. Os trabalhos nas reas de Artes

plsticas tm incio na observao do mundo cotidiano. Alguns artistas costumam utilizar a

expresso de que a ideia tem que surgir de uma imagem. Ainda na rea das Artes,

considerando alta capacidade de visualizar e representar formas e o espao, destaca-se Pablo

Picasso, especialmente seus trabalhos com a Geometria.

Picasso foi um dos principais representantes do Cubismo, movimento artstico surgido

no incio do sculo XX, cuja pintura submete objetos superfcie bidimensional da tela,

simplificando as formas at reduzi-las ao cone, ao cilindro e a esfera, girando-as no plano,

25

provocando a iluso tridimensional. Seus quadros apresentam figuras, cuja composio d a

impresso de serem pequenos cubos.

A habilidade de Picasso, com a visualizao e representao se faz notvel. Este

retratava formas geomtricas presentes nos objetos cotidianos, construes e at em seres

humanos. Suas figuras (anexo 2, 3 e 4) falam por si e revelam todo seu talento visual e

espacial.

Outro artista de notveis habilidades foi o holands Maurits Corneles Escher,

considerando como o gnio criador de gravuras. Suas obras so marcadas pelos efeitos visuais

que levam o observador a olhar diversas vezes para perceber suas composies. Escher

utilizava a isometria no plano, figuras de poliedros, linhas, crculos. Suas representaes do a

imagem de movimento s figuras. Suas composies revelam sua preocupao em criar

padres geomtricos e o preenchimento de superfcies.

As figuras (anexo 5, 6 e 7) mostram um pouco do trabalho de Escher.

Na figura 5 por exemplo, as linhas circulares brancas se interceptam dividindo-se em

fragmentos, que por sua vez tem sempre o comprimento de um peixe e as linhas indicam os

trajetos em que se movem fileiras de peixes. A figura 6 retrata pssaros que se deslocam de

forma simtrica. Na construo da figura 7, o crculo se divide em seis setores que apresentam

anjos sobre um fundo preto e demnios sobre um fundo branco.

Segundo Fainguelernt (1999), Escher utilizava-se da Matemtica para ampliar sua

percepo e explorao, isto enriquecia seu trabalho grfico, que se baseava em visualizaes

e representaes.

Nesta forma de trabalho, ou melhor, verdadeiras obras artsticas no poderamos

deixar de mencionar o trabalho dos pedreiros e engenheiros ou arquitetos. Isso porque eles

possuem a habilidade de projetar construes, mesmo sem t-las visto. Forma-se uma imagem

mental, ou seja, idealiza-se a construo, de maneiras que podem ser materializadas. A

importncia de reconhecer a presena da visualizao e representao nas diversas reas,

algumas profissionais, mostram que o conhecimento geomtrico e matemtico tem

aplicabilidade na vida e em diversas cincias.

O que se deseja e se prope que a escola e o professor de Matemtica desenvolvam

atividades que permitam os alunos explorarem o espao fsico, visualizando-o e o

representando. A proposta no um curso intensivo em visualizao e representao e no

se espera formar necessariamente um Picasso ou um Escher. O objetivo aqui, que o aluno

seja capaz de construir conhecimento significativo para que possa satisfazer suas necessidades

e solucionar problemas, alm de compreender a Geometria Plana e Espacial como parte da

26

realidade.

Assim, sugere-se que sejam realizadas sempre que possvel, atividades de visualizao

e representao em trabalhos com construes de figuras geomtricas bi e tridimensionais,

com a utilizao de mosaicos e Tangram, quadros artsticos, criaes de escultura com argila e

o uso do computador e softwares matemticas com foco em Geometria.

Porm, a utilizao dos recursos visuais, bem como as atividades de visualizao e

representao com seus respectivos objetivos, sero abordados com mais esclarecimentos e

detalhes no decorrer do trabalho.

Ressalta-se por fim, que a visualizao e representao, favorece o desenvolvimento

das capacidades espaciais e contribuem para a construo do pensamento geomtrico,

conferindo a Geometria Plana e Espacial dinamismo, criatividade e significado real

permitindo uma melhoria na aprendizagem dos referidos contedos.

2.3 O desenvolvimento da inteligncia espacial

Em virtude da reflexo proposta sobre a visualizao e a representao, nota-se que o

pensamento geomtrico tem estrita relao com habilidades espaciais, envolvendo o domnio

de uma inteligncia particular que desperta novos questionamentos, tais como, o que se

entende por inteligncia espacial? Como a inteligncia espacial se desenvolve? Todos ns

somos capazes de possu-la ou esta uma inteligncia somente para pessoas super dotadas?

Em busca de respostas para estas indagaes, torna-se indispensvel discutir a teoria

de Howard Gardner (1994), um dos principais estudiosos dos potenciais humanos. Ele

pressupe a existncia de sete tipos de inteligncias, entre elas a inteligncia espacial, parte do

nosso objeto de estudo. De acordo com Gardner (1994, p. 135), centrais inteligncia

espacial esto as capacidades de perceber precisamente o mundo visual, transformar e

modificar sua percepo inicial e ser capaz de reproduzir aspectos da experincia visual,

mesmo sem a presena de estmulos fsicos significativos. Trata-se portanto, da habilidade de

perceber o espao e represent-lo ainda que em situaes no concretas, ou seja, inicia-se

manipulando formas em vrias dimenses e termina-se representando imagens mentais.

Considera-se a inteligncia espacial relacionada capacidades como a de identificar

exemplos de um elemento e reconhecer sua transformao em outro elemento, a evocao de

formas mentais e a produo de representaes grficas do espao. De acordo com Gardner

27

(1994), as capacidades espaciais tm diversas importncias e aplicaes.

Elas so importantes para a nossa orientao em vrias localidades, desde

aposentos at oceanos. Elas so invocadas para o reconhecimento de objetos

e cenas, tanto quanto estes so encontrados em seus ambientes originais

como quando algumas circunstncias da apresentao original foram

alteradas. E eles tambm so utilizados quando trabalhamos com

representaes grficas utilizados quando trabalhamos com representaes

grficas verses bidimensionais ou tridimensionais de cenas do mundo real bem como outros smbolos como mapas, diagramas ou formas geomtricas (GARDNER, 1994, p.137).

A teoria da inteligncia espacial admite sua origem na ao sobre os objetos. O

domnio de operaes concretas possibilita a manipulao ativa das imagens e dos objetos no

conhecimento do espao. Atravs de operaes mentais, possvel reconhecer como seria um

objeto girado no espao ou como se apresentaria visto por outro ngulo, como as pessoas em

espaos diferentes analisam uma mesma cena. Assim como um filme assistido por diversas

pessoas provocam sensaes e interpretaes distintas do mesmo, uma cena ou um objeto do

espao, observados em vrios ngulos despertam vises e percepes diferentes em cada

indivduo, no observador.

Pelas diversas interpretaes que os objetos e cenas no espao real e mental

proporcionam, sugere-se que o desenvolvimento espacial tenha ligao com o domnio da

imaginao, que nessa abordagem no est relacionada fantasia ou iluso, mas capacidade

de criar imagens e memrias visuais. No consiste necessariamente em decorar objetos e

imagens, mas em estabelecer vnculos entre relaes espaciais e proposies.

A inteligncia espacial para Gardner (1994) o entendimento do meio espacial. De

acordo com ele, os primeiros indcios de inteligncia espacial se encontram na infncia.

Crianas, por volta de trs anos so capazes de refazer rotas, mas no ainda de descrev-la.

Aos poucos ela desenvolve sua capacidade de orientao e estabelece relaes de vizinhana.

Considera-se fase importante para o desenvolvimento da inteligncia espacial, quando

a criana capaz de determinar mentalmente marcos de um trajeto que o permita reconhece-

lo. Essa capacidade permite a formao da imagem mental do trajeto, o que leva a criana a

visualiz-lo mesmo sem t-lo percorrido.

Um exemplo da capacidade descrita acima a habilidade de chegar a um determinado

local sem a utilizao de um mapa ou desenho do trajeto. Apenas com informaes a respeito

do caminho possvel visualizar este e encontrar o lugar que se procura. De certa forma, se

conhece o caminho pela sua descrio. Em contrapartida, no conhecer o espao e no ter sua

descrio torna-se um problema. Se algum entra em uma floresta desconhecida por um

28

determinado local, suas chances de retornar ao ponto de origem so poucas, a menos que

marque de alguma forma o percurso feito.

Vale esclarecer que a inteligncia espacial envolve a abstrao, pois requer operaes

mentais para visualizar o espao fsico, no envolvendo meios concretos. Dessa forma,

utilizar mapas ou marcas para encontrar o caminho de volta da floresta no caracteriza uma

capacidade de inteligncia espacial, mas apenas astcia. Caso de inteligncia espacial seria

entrar em uma floresta desconhecida tendo o mapa desta na cabea e no nas mos e

encontrar o caminho de volta.

Fundamental para o desenvolvimento da inteligncia espacial o conhecimento do

espao, primeiro materializado e depois idealizado. Gardner sugere algumas atividades para

testar se o indivduo possui inteligncia espacial desenvolvida (ver anexo 8) e alguns

problemas que exigem a necessidade da criao de imagens mentais.

Primeiramente, imagine um cavalo. Que ponto mais elevado, o znite da

cauda do cavalo ou a parte mais inferior da cabea do cavalo? Imagine um

elefante e um rato. Agora imagine os clios de cada criatura. Qual leva mais

tempo para focalizar com maior nitidez? Imagine a pia e a sua cozinha. Que

torneira controla a gua quente? Ou, para concluir esta srie, imagine um

campus ou uma praa com a qual voc esteja familiarizado. Marque seu

tempo enquanto voc examina cuidadosamente, em srie, cada edifcio e

agora compare o tempo que passou quando voc examinou de um lado do

campus (ou praa) at o outro (GARDNER, 1994, p.134).

As propostas de exerccios citadas permitem que o aluno possa evocar figuras em sua

ausncia e ter noes do espao tridimensional, desenvolvendo seu raciocnio mental e

abstrato. Exemplos da inteligncia espacial aguada se encontram na pintura e escultura, artes

que exigem a sensibilidade para o mundo visual e espacial.

Os artistas demonstram preocupaes com suas percepes espaciais e em como

reproduzi-las em suas obras. Gardner (1994) expe algumas dessas preocupaes, como as de

Van Gogh em conhecer leis de proporo, de luz, sombra e perspectivas para desenhar bem,

sem as quais ele nada podia produzir. O trabalho com escultura revela a capacidade do

homem de recriar o mundo visual e espacial atravs da modelagem.

Nas mais diferentes culturas possvel perceber a utilizao da inteligncia espacial,

seja em jogos ou atividades cotidianas.

O povo do Shongo no Congo possui um jogo no qual alinhamentos

complexos so desenhados na areia e o jogador deve copiar um alinhamento

num caminho nico sem levantar um dedo da terra ou retraar qualquer

segmento de linha. (), os esquims desenvolveram um elevado grau de

29

capacidade espacial, possivelmente devido dificuldade de orientar-se em

seu meio. Eles devem ser capazes de detectar pequenas rachaduras no gelo

(). tambm para encontrar o caminho de volta a algumas poucas casas na Tundra, o caador deve prestar ateno no ngulo e forma de pequenos

montculos de neve (Gardner, 1994, p. 156).

Outros povos utilizam-se as estrelas como pontos referenciais para navegar.

Memorizam-se os pontos ou direes onde nascem e se pem determinadas estrelas, dessa

forma, o caminho visualizado e assim conhece-se o seu destino.

Com base na teoria de Gardner, pode-se afirmar que a inteligncia espacial tem quase

o mesmo significado que a inteligncia visual, pois tem como exigncia o domnio da

visualizao e percepo do espao fsico e sua idealizao.

Considera-se que todos os indivduos podem desenvolver inteligncia espacial,

embora haver sempre aqueles que se sobressaiam em determinadas habilidades, pois

quaisquer que seja as inteligncias, estas se desenvolvem de modos diferentes em cada

indivduo. O que no se deve acontecer a escola garantir oportunidades de desenvolvimento

dessa inteligncia somente para alguns, os quais consideram aptos ou bem dotados para

possu-la.

preciso ento, reconhecer a importncia da democratizao do ensino, oferecendo

condies iguais de aprendizagem para todos, visando a formao plena dos aprendizes

permitindo seu crescimento pessoal e intelectual.

O ensino da Matemtica, especialmente da Geometria Plana e Espacial, assume-se

como um dos principais responsveis pelo desenvolvimento da inteligncia espacial nos

alunos, cabendo a ele a tarefa de ensino eficaz, criativo e prazeroso. Admitindo que o

desenvolvimento da inteligncia espacial depende da visualizao e representao, torna-se de

suma importncia, ensinar a Geometria Plana e Espacial partindo de atividades que explorem

tais habilidades.

Propem-se atividades que estimulem o aluno a pensar em termos de relaes

espaciais, perceber espaos, movimentos, transformaes e representaes do espao. Como

exemplos, esto os trabalhos que envolvem rotao e translao de figuras no plano. Tais

como, os mosaicos que de acordo com Madsen Barbosa (apud Fainguelernt, 1999, p. 76), a

construo de mosaicos ainda que no seja difcil do ponto de vista artesanal, em certos casos

reflete em seus padres uma interseo curiosa e atraente com a imaginao geomtrica.

Outro exemplo de trabalho ou para o trabalho a utilizao do computador que

permite realizar simulaes e construir procedimentos, dando dinamismo ao ensino da

Geometria. Entre os recursos computacionais, encontra-se o LOGO que oferece condies de

30

visualizao e representao do espao.

Os PCNs (1997), sugerem atividades de construo de itinerrios, relatos orais do

trajeto de casa at a escola, desenhos do trajeto, alm de trabalhos com malhas, diagramas,

tabelas e mapas. Uma outra atividade proposta a construo de plantas e maquetes e a

descrio de suas representaes. Os PCNs afirmam que esta pode dar ao professor uma

viso do domnio geomtrico de seus alunos (1997, p. 128).

Assim sendo, o espao e sua explorao o principal meio para o desenvolvimento da

inteligncia espacial.

O aluno deve ser incentivado, por exemplo, a identificar posies relativas

dos objetos, a reconhecer no seu entorno e nos objetos que nele se encontram

formas distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e no planas, a

fazer construes, modelos ou desenhos do espao de diferentes pontos de

vista) e descrev-los (PCNs: matemtica, 1997, p.128).

Ainda como exemplo de exerccios que desenvolvem as capacidades espaciais, tem-se

o jogo de xadrez. Segundo Gardner (1994, p.149), a capacidade de antecipar jogadas e suas

consequncias parece intimamente ligada forte imaginao. Cabe aqui explicitar a

importncia dos jogos no ensino para o desenvolvimento do aluno e da aprendizagem. De

acordo com os PCN's, os jogos desenvolvem o raciocnio, estimula o pensamento, leva o

aluno a criar estratgias, alm de proporcionar o prazer em aprender.

No jogo do xadrez, so exigidas do aluno capacidades como concentrao,

criatividade e imaginao. preciso visualizar antecipadamente as jogadas e imaginar as

jogadas do adversrio. Para Gardner (1994), o jogo do xadrez desenvolve as capacidades

espaciais porque no se trata de memorizar peas nem o tabuleiro, mas consiste na

codificao de planos e ideias. A habilidade espacial est no fato de relacionar padres,

codific-lo e reconstru-lo. A inteligncia espacial pode dessa forma estar ligada aos planos

mentalmente traados para a vitria no jogo.

O jogo do xadrez pode assim, favorecer o domnio da imaginao e estimular a

criatividade, competncias importantssimas para a aprendizagem na rea da Geometria.

No desenvolvimento das capacidades espaciais que para Tartre (apud Fainguelernt,

1999, p.55), so as capacidades mentais relacionadas com a compreenso, manipulao,

reconhecimento ou interpretao de relaes visualmente, compreende-se a realizao de

atividades que explorem o espao geomtrico, por meio de imagens visuais. Dentre essas

capacidades espaciais, consider-se a competncia de visualizar formas geomtricas no dia-a-

dia, nas construes, na natureza nos objetos, nas embalagens, etc.

31

Os PCN's (1997), sugerem atividades de composio e decomposio de figuras

geomtricas. Este trabalho segundo Ribeiro e Soares (2006), desenvolve no aluno a

capacidade de identificar e representar as figuras e objetos por todos os seus lados sejam elas

bidimensionais ou tridimensionais. Temos como uma habilidade espacial, o fato de o aluno,

por exemplo, conseguir planificar cubos, paraleleppedos, pirmides, cones e cilindros. Para

efeito de visualizao, ver as planificaes de algumas figuras (anexo 9).

Atividades do tipo, a realizada com os olhos vendados podem desenvolver no aluno

suas noes de espao e orientao, que de acordo com Gardner (1994), so fundamentais

para a inteligncia espacial. Entretanto, existe inmeras outras atividades que podem auxiliar

no desenvolvimento de tal inteligncia. Assim, fica a critrio do professor, de e se utilizar de

tais didticas ou metodologias para levar o aluno a desenvolver sua inteligncia espacial. Vale

lembrar que a criatividade por parte do professor o principal tempero que do s aulas de

matemtica um sabor especial, chamado e visto como a aprendizagem e satisfao dos

discentes.

2.4 Educao visual

O centro do raciocnio geomtrico, at o presente momento a visualizao.

Compreende-se que a imaginao o processo de construo de imagens mentais a partir de

imagens visuais. Como as imagens visuais representam, ou melhor, refletem nossas

observaes feitas do mundo, surge dvida de que se a imagem visual estiver distorcida, as

imagens mentais tambm estaro? A percepo e representao do espao estaro

comprometidas?

Da mesma forma que em nossa sociedade atual se aconselha refletir sobre as imagens

que a televiso transmite, o mesmo acontece com as imagens as quais esto sendo referidas

neste estudo. Ocorre que, s vezes, os olhos podem se enganar. De acordo com Kaufman

(1999), a visualizao pode ser afetada pela percepo. Esta ltima sofre influncias dos

diversos pensamentos, atitudes e desejos pessoais em um determinado momento. Desse modo,

pode haver a distoro da imagem visual, pois o que se v nem sempre a imagem real,

podendo se tratar de uma iluso de tica, ou at fantasia.

Por vias bvias, faz-se necessrio uma educao visual para que as sensaes

provenientes do estmulo do meio ambiente no prejudiquem a formao de imagens visuais

32

reais e no comprometa todo um processo. A imagem est presente nos mais variados

ambientes do mundo visual e encontra grande espao e aceitao pelo forte poder de seduo

que exerce. Por esse motivo, torna-se relevante discutir de que maneira as imagens visuais

tem influenciado as mentais e como educar-se visualmente.

As imagens mentais segundo Garcez (2005) so resultantes do repertrio de

experincias visuais que por sua vez apresenta-se diferenciadamente em cada indivduo. Cada

um pode recriar no imaginrio aquilo que observado. Para a mesma, essencial fazer leitura

das imagens, desenvolvendo habilidades quanto observao, ateno, memria,

associao, anlise, orientao espacial, ao sentido de dimenso, ao pensamento lgico e

ao pensamento criativo. de suma importncia fazer uma anlise crtica das informaes

visuais, considerando seus conceitos e definies.

Alm disso, precisamos tambm associar tudo o que observamos com outras

informaes e conceito provenientes dos conhecimentos acumulados por ns

e pela cultura humana atravs dos tempos. um jogo em que, s vezes,

mergulhamos na emoo e, as vezes, tentamos fazer uma anlise crtica por

meio do raciocnio, da razo. Enfim, nunca nos podemos entregar

passivamente sem uma participao ativa. Uma atitude de ateno e crtica

essencial (S.E.D., 2005, p.107).

A construo das imagens visuais e mentais, devem passar, portanto, por um processo

de anlise e crtica, revendo conceitos, propriedades e raciocnio lgico. No dissociando a

formao de imagens visuais dos conceitos e definies que a caracterizam. Assim, a

educao visual tambm uma questo de aprendizagem de conceitos e principalmente o

domnio das relaes espaciais.

33

CAPTULO 3 O ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL PELA

VISUALIZAO, ATRAVS DA EXPLORAO DO ESPAO FSICO E

RESOLUO DE PROBLEMAS

das hipteses mais simples que mais devemos desconfiar, porque so

aquelas que tm mais possibilidade de passar despercebidas.

Poincar

Neste captulo, analisamos a presena da geometria nas construes do homem e da

natureza e a importncia dos recursos visuais para a dinamizao do ensino da geometria

Plana e espacial alm, de buscar compreender como a visualizao auxilia na resoluo de

problemas matemticos.

3.1 Visualizando a Geometria Plana e Espacial nas Criaes Humanas e da Natureza.

No se pode discutir o fato de que vivemos num mundo cercado por formas. Elas esto

presentes em toda parte, basta que se perceba. H formas para todos os gostos e raro quem

no possa admir-las. Elas no existem somente para fins estticos, para dar beleza ao mundo,

mas tambm para a utilizao em problemas do cotidiano e para satisfazer as necessidades

humanas.

A melhor maneira de compreender a Geometria Plana e Espacial como parte da vida,

partindo da observao e explorao do espao em que vivemos. Assim, possvel associar

elementos geomtricos a objetos e situaes concretas presentes no dia-a-dia. Comecemos por

elementos bsicos que esto em nosso meio e acessvel para todos, para termos a ideia de um

ponto s olharmos para uma estrela no cu. De uma reta, um raio de luz, e de um plano o

espelho dgua de um lago. Se observarmos de forma atenta, a Geometria presente em nosso

meio perceberemos que ela aborda os aspectos do tipo, formas na natureza, no cotidiano, na

arquitetura, na arte e na decorao.

Contudo, possvel admirar as formas das flores e das borboletas. As disposies da

estrutura da flor e das asas da borboleta apresentam simetria. De acordo com Zampirollo

(2004) o homem se aproveitou de formas da natureza para construir formas que lhe fossem

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teis. Como exemplos podemos citar o coco, que atravs da observao o ser humano pode

criar s vasilhas, pedaos retilneos de galhos de rvores inspiraram ferramentas e utenslios

como cabos de vassoura ou panela, observando os pssaros e as formas o homem conseguiu

voar, criaram-se o remo e os ps-de-pato pela analise da funcionalidade das patas de

algumas aves, enfim, para ela o que a natureza inspira, o homem cria, combina, aperfeioa o

que observa.

Uma curiosa aplicao geomtrica est na colmeia das abelhas. Seus alvolos tm

forma hexagonal para armazenar um maior volume de mel. Outro fascinante exemplo so as

teias de aranha. Ambos os casos revelam a sabedoria da natureza ao lidar com formas.

Observa-se a presena da Geometria nos objetos cotidianos, tais como caixas de

sapatos ou fsforo representam paraleleppedos, latas so cilindros, casquinhas de sorvetes

representam forma de cone. No relgio as horas exatas formam ngulos retos e barras de

chocolate podem representar prismas. Os prismas ainda podem ajudar na publicidade.

Segundo Imenes (1992) os outdoors que valem por trs, ou seja, veiculam trs

propagandas no mesmo espao, em tempos diferentes, tem a forma geomtrica de um prisma

triangular. Os prismas encontram-se enfileirados e a propaganda colada nas faces

retangulares destes. Em intervalos de tempos adequados todos os prismas so girados ao

mesmo tempo em torno de um eixo que passa pelo centro de suas bases, ou melhor, dos

tringulos at a face seguinte ficar de frente para o pblico. Desse modo a publicidade

economiza, afinal, coloca trs anncios em um nico espao.

As formas na arquitetura, arte e decorao revelam a presena da Geometria nas belas

construes humanas. Na arquitetura percebe-se facilmente a Geometria em construes

como a Pirmide de Quops construda por volta de 2.500 anos a.C no Egito e considerada

uma das grandes maravilhas do mundo. De simetria impressionante o palcio Taj-Mahal na

ndia, smbolo do amor do prncipe persa Sha Jahan por Arjumand Begum.

A forma dos Prdios que compem o congresso nacional lembra paraleleppedos e

podem-se contemplar arcos em algumas construes. Um dos arcos mais famosos o Arco do

Triunfo localizado em Paris. Entre um dos maiores arquitetos dos ltimos tempos, est Oscar

Niemeyer. Seus projetos esto cheios de formas e o mesmo tem uma forte atrao pelas

curvas. Um exemplo de seu trabalho com curvas a Igreja de So Francisco de Assis em Belo

Horizonte.

Podemos ainda observar a Geometria mais de perto. No formato de casa, paredes,

telhados, prdios, ginsios esportivos e entre diversas outras construes, desse modo curvas,

retas, ngulos e figuras geomtricas se unem para beneficiar o homem. Nas artes e

35

decoraes, a visualizao da Geometria Plana e Espacial de fcil percepo, os pisos e os

trabalhos com mosaicos so bons exemplos de obras de artes que possuem um belo

revestimento com figuras poligonais. Alm desses, a Geometria se encontra tambm na arte

milenar de decorar vasos. Portanto, onde quer que se esteja a Geometria se faz presente. O

ensino ento deve ir alm do espao escolar.

Na natureza, nas diversas artes, das mais simples as mais luxuosas construes, dos

tempos mais remotos at os dias de hoje, a Geometria, acompanha o homem e com suas

formas bidimensionais ou tridimensionais conferem ao mundo beleza e grandiosidade.

3.2 Os recursos visuais no ensino da Geometria Plana e Espacial.

Neta parte de nosso trabalho citamos alguns recursos visuais que podem ser utilizados

no ensino da Geometria Plana e Espacial, mas antes de discorrer sobre alguns deles, faz-se

necessrio compreender o papel destes na educao. Considera-se que a utilizao de recursos

visuais consista em tomar materiais com apelo visual para fins didticos.

Acredita-se que possvel alcanar uma aprendizagem satisfatria, se o aluno

estimulado sensorialmente, ou seja, por seus sentidos. Desse modo estudam-se os recursos

visuais como ferramentas de auxilio aprendizagem. Portanto, faz-se preciso desenvolver nos

alunos habilidades como visualizao, percepo e representao, consideradas essenciais

para fazer leitura do mundo e solucionar problemas. Os recursos visuais se apresentam como

candidatos a alcanar esses objetivos.

Entre os materiais didticos visuais que servem de apoio para o ensino da Geometria

Plana e Espacial destacam-se, o Tangram, o mosaico, as dobraduras e o computador. Vejamos

ento, como os PCNs (1997) trata deste assunto em relao s possibilidades didticas e os

objetivos de tais materiais didticos no ensino da Geometria. De acordo com os mesmos, o

computador tem sido indispensvel como recurso didtico devido estar carregado de um

conhecimento por simulao. O uso de tal recurso permite vrias possibilidades em sala de

aula.

O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco

de dados, elementos visuais), mas tambm como fonte de aprendizagem e

como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o

computador pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e a aprender

36

junto com seus colegas, trocando suas produes e comparando-as (PCNs:

Matemtica, 1997, p.48).

Partimos da anlise feita pelos PCNs para argumentar que hoje, em nosso incio de

sculo XXI, a incluso do computador em sala de aula uma forma de estarmos inserindo no

meio escolar, os recursos do meio social. Isso trar para a escola mais fontes de aprendizagens

que podem proporcionar uma melhor compreenso do aluno em relao ao contedo

ensinado. Porm, para que ocorra essa aprendizagem (relacionado com o computador e suas

fontes de ensino) preciso que os professores estejam aptos ao domnio do mesmo e

reconheam sua proposta pedaggica, caso contrrio, este recurso acaba por atrapalhar no

ensino.

No que tange Geometria, o computador lhe atribui um ensino dinmico, o aluno

pode com o auxlio do computador, visualizar os movimentos no plano com os softwares e

com os programas, construir figuras que normalmente so difceis de construir manualmente

s com instrumento simples como rgua e compasso, como so, por exemplo, as figuras

tridimensionais.

O computador um recurso visual importante porque permite ao aluno contato com

imagens visuais. Por meio deste o aluno desenvolve atitudes como elaborar estratgias para

construo de figuras planas e espaciais. Um programa bastante conhecido e pouco utilizado,

mas que tem grande potencialidade o LOGO. Este uma linguagem de programao que

permite desenhar figuras na tela do computador.

No LOGO, uma tartaruga virtual executa ordens, comandos dados, fazendo os

desenhos na tela. Os comandos exigem noes de orientao espacial e ngulos. Como

exemplos de comando tm-se:

PF A tartaruga anda para frente

PD A tartaruga vira para a direita

PT A tartaruga anda para trs

PE A tartaruga vira para a esquerda

Com a elaborao de comandos, o aluno pode construir diversas figuras como casas,

automveis, objetos e figuras geomtricas convencionais. Cabe ressaltar que para o desenho

de figuras, o aluno deve ensinar a tartaruga criando procedimentos, instruindo a mquina. O

aluno sente-se ento capaz de comandar o computador, desenvolvendo suas capacidades

intelectuais e assumindo-se como responsvel pela sua aprendizagem.

O objetivo desse trabalho no aprofundar neste assunto, mas demonstrar que o

computador pode contribuir para o processo de ensino-aprendizagem e como recurso visual

37

favorece o desenvolvimento de habilidades como visualizao, percepo, construo e

representao do espao.

A respeito do Tangram, relevante conhecer um pouco sobre histria para perceber

qual o objetivo de seu ensino. Segundo uma lenda, um mensageiro devia levar uma pedra de

jade de formato quadrado ao imperador. Distrado, o mensageiro deixou a pedra cair e esta

partiu-se em sete pedaos. Com o objetivo de reconstruir o quadrado o homem reuniu suas

sete peas e nas diversas tentativas de remontar o quadrado, acabou por formar centenas de

formas at conseguir mont-lo.

No se conhece muito bem sua origem. E h especulaes que tenha sido criado na

china. Sabe-se que ele um jogo muito antigo formado por sete peas. uma espcie de

quebra-cabea (ver anexo 10).

Sendo recurso, apresenta inmeras possibilidades de trabalho em sala em diversas

aplicaes da Geometria Plana, tais como reas, identificao e descrio de figuras,

resolues de problemas. Manuseando suas peas, possvel formar e visualizar diversas

figuras como animais, objetos e pessoas (ver anexo 11).

Outros recursos visuais que podem contribuir no ensino da geometria Plana e Espacial,

so os mosaicos e as dobraduras, suas construes exigem o domnio de conhecimentos

geomtricos e habilidades como raciocnio, destreza, pacincia, criatividade e imaginao. O

mosaico uma composio de figuras geomtricas que formam determinado desenho,

obedecendo a um padro de harmonia.

Na matemtica utiliza-se o mosaico para estudar preenchimentos de um plano com

figuras geomtricas, trabalhando conceitos de ngulos, reas entre outros. Vejamos uma

aplicao interessante adaptada de uma historinha sobre mosaicos de Lellis (1992), onde o

professor, de uma menina chamada Mara, props um trabalho com composies geomtricas,

sem inspirao, Mara desistiu do trabalho e foi com seus pais visitar alguns amigos. A

menina se divertiu bastante, conversou muito e at brincou com o cachorro. O que ela no

sabia era que desta brincadeira encontraria a soluo para seu problema de Matemtica.

Quando brincava de cachorrinho, Mara observou o piso da casa, primeiro ela viu figuras

que pareciam cubos e depois, viu estrelas. Ento, Mara teve a ideia para seu trabalho. De

volta em casa, ela recortou seis losangos idnticos para encaix-los e formar uma estrela.

Porm, algo de errado aconteceu, a estrela no se formava. Mara ento se ps a raciocinar: A

formao da estrela de seis pontas deveria completar 360. Logo cada losango deveria possuir

um ngulo de 60. Mara recortou novos losangos e dessa vez conseguiu realizar o encaixe.

Seu trabalho foi concludo com sucesso.

38

Nota-se que para solucionar o problema Mara teve de usar seus conhecimentos sobre

ngulos. Atividades de modelos semelhantes podem ser propostas aos alunos visando explorar

conceitos como ngulos e reas de figuras geomtricas. Poderia ser proposto que os alunos

por exemplo, calculassem quantos cubos caberia numa determinada rea retangular dada ou

que os mesmos completassem mosaicos j iniciados.

Quanto s dobraduras, estas oferecem atividades riqussimas, alm de construir figuras

bidimensionais, como quadrados, tringulos, crculos, estas tambm podem construir figuras

tridimensionais. Talvez esta ltima capacidade, seja o que causa mais admirao: A partir de

um papel plano, obtm-se um objeto de trs dimenses.

Partindo de um retngulo, ou seja, de um papel retangular, possvel obter um

quadrado de forma que a linha de dobra seja a diagonal do quadrado e a bissetriz do ngulo

reto. O trabalho com dobraduras permitem aos alunos construrem diversas figuras como

avies, barcos, pequenas caixas, e outras figuras como poliedros e polgonos. Com o ensino

da Geometria por meio de dobraduras o aluno aprende e se diverte ao mesmo tempo.

Por fim, aprender geometria exige o domnio de tcnicas geomtricas como fazer

desenhos, preencher espaos, mas mais do que isso, julga-se importante reconhecer a

Geometria Plana e Espacial como ferramenta para atribuir significado ao mundo e aos

problemas, compreendendo seu papel na construo do conhecimento matemtico e suas

possibilidades para o desenvolvimento intelectual dos alunos.

Pelas diversas importncias da visualizao no ensino da Geometria Plana e Espacial

j citada, pode-se compreender o imenso valor dos recursos visuais no processo de ensino-

aprendizagem bem como a necessidade de o professor saber explorar estes recursos,

oferecendo dinamizao a um sistema que at ento parece esttico, onde no se ensina e nem

se aprende. A transformao desse ensino responsabilidade de todos e todas que pensam na

educao como meio de crescer como pessoa, cidado e profissional competente.

39

3.3 A importncia da visualizao na resoluo de problemas

Se a matemtica no serve pra vida ento no serve pra nada, diz um apaixonado

pela Matemtica cujo nome no se encontra nos livros nem em outras formas de registro.

Provavelmente algum que v a Matemtica como uma fonte inesgotvel de aplicaes.

No cabe a ns a tarefa de julgar tal afirmao. Deixemos essa responsabilidade a

encargo dos especialistas na rea da Matemtica. O que se sabe, e os PCNs (1997)

confirmam, que qualquer conhecimento adquirido deve levar o aluno a compreender o meio

em que vive e a solucionar problemas que os diferentes contextos impem.

certo que a Matemtica, especialmente a Geometria, tem inmeras aplicaes no

dia-a-dia e garantem ao aluno a oportunidade de utilizar-se do conhecimento geomtrico em

diversas situaes prticas. A pergunta se todos os contedos permitem essa aplicabilidade.

Espera-se que o aluno desenvolva estratgias que o proporcione a capacidade de raciocinar

matematicamente, analisando e interpretando situaes diversas, refletindo sobre o problema

e buscando mtodo de soluo que garantam a eficincia das respostas.

Muito se tem visto que resolver problemas seja uma atividade mecnica, que exige o

domnio de tcnicas operatrias sem anlise das solues. Erros so atualmente prova de que

o aluno no domina tais tcnicas e no est apto a aprender matemtica. Com base nesta

situao, faz-se necessrio refletir qual a importncia da resoluo de problemas no ensino da

Geometria Plana e Espacial, quais os tipos de problemas se propem solucionar e como a

visualizao contribui para a soluo destes.

De acordo com Polya (1995), quando o professor apresenta algum problema para os

alunos, deve ter como objetivo auxili-los para que possam desenvolver a capacidade de

sozinhos solucion-los no futuro. No caso da Geometria Plana e Espacial, estamos

considerando os problemas prticos e os problemas matemticos.

Polya (1995) difere esses dois tipos de problemas pela natureza do conhecimento que

se exigido. Os problemas prticos requerem, segundo ele, mais experincia. Estes, para o

mesmo, s vezes nos obriga a partir de ideias e suposies que nem sempre se caracterizam

como verdade e as solues na maioria das vezes, so de forma imprecisa, por aproximaes.

Os problemas prticos exigem simplicidade e no preciso, afinal constitui-se em dar

respostas imediatas ao problema.

J os problemas matemticos, para Polya (1995), partem de conceitos claros. Uma

gama destes permitem, solucionar o problema com preciso. Verificam-se todos os passos

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seguidos, analisam-se os resultados obtidos, para s assim, confirmar a soluo. Faz-se

preciso reconhecer quando o problema prtico ou matemtico, para conhecer que mtodo

melhor para solucion-lo.

Um exemplo de problema prtico a construo de uma casa. O arquiteto ou pedreiro

deve levar em considerao, s condies do terreno, suas dimenses, a forma da construo,

os materiais necessrios, entre outros fatores. Pouco se utiliza os clculos, a matemtica

aplicada intuitivamente e s vezes inconscientemente. A experincia profissional que

garante a qualidade da obra.

Se o mesmo problema fosse proposto em sala de aula, provavelmente se levaria em

conta saber calcular rea de figuras geomtricas, aplicar o teorema de Pitgoras. Nos dois

tipos de problemas, a visualizao de grande importncia para a soluo dos mesmos. Polya

(1995), afirma que a visualizao do problema permite compreend-lo e um dos primeiros

passos que instiga o aluno a resolv-lo. Um dos principais recursos de visualizao de

problemas da Geometria Plana e Espacial consiste em recorrer a figuras que o representem.

Polya (1995) define figuras como sendo objeto dos problemas geomtricos e como

auxilio importante para problemas de todos os tipos. A utilizao desse recurso permite

visualizar a proposta do problema e facilitar sua resoluo, necessitando reconhecer quando

invocar uma figura mentalmente ou quando constru-la materialmente.

Se o nosso for um problema geomtrico, teremos de considerar uma figura,

que pode estar em nossa imaginao ou ser desenhado no papel. Em certas

ocasies, ser melhor imaginar a figura sem desenh-la. Mas se tivermos de

examinar vrios detalhes, um aps o outro, ser desejvel traar uma figura.

Se os detalhes forem numerosos, no poderemos imagin-los todos

simultaneamente, mas eles estaro todos juntos sobre o papel. Um detalhe

visualizado em nossa imaginao pode ser esquecido, mas o mesmo detalhe

desenhado no papel a permanece, de tal maneira que quando a ele voltamos,

relembramos as observaes anteriores, com isto nos poupando tempo e

trabalho (POLYA, 1995, p.82).

Percebe-se assim, que dificilmente solucionaremos um problema da Geometria Plana e

Espacial, sem que seja necessrio o esboo de uma figura no papel. Compreende-se desse

modo a real importncia dos desenhos geomtricos, fazendo-se til destacar aspectos

relevantes em suas construes.

Embora Polya (1995) constate a importncia de se construir figuras com exatido a

partir de instrumentos como rgua e compasso pela possibilidade destas de sugerirem

teoremas geomtricos, deixa-se subtendido que para as situaes problemas em sala de aula a

construo de figuras mo livre sejam mais apropriadas por pouparem tempo e raciocnio. O

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fato de serem construdas mo livre no dispensam o cuidado e a relao lgica com o

enunciado do problema.

No trabalho com a Geometria Espacial, Polya (1995) retrata a dificuldade em construir

figuras tridimensionais expressivas, mas no descarta sua possibilidade de elaborao. O

trabalho com manipulao de figuras, segundo ele, exige pacincia e permite reduzir qualquer

tipo de problem