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Sobre a QualidadeFiabilidade

Controlo de QualidadeNota final

A Industria sob controlo

Manuel Cabral [email protected]

Departamento de Matematica — CEMAT

Instituto Superior Tecnico — Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa — Portugal

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Plano da apresentacao

1. Sobre a Qualidade

2. Fiabilidade

2.1 Conceitos basicos2.2 Breve nota historica2.3 Funcao de estrutura2.4 Fiabilidade de sistemas com componentes independentes2.5 Outros topicos

3. Controlo de Qualidade

3.1 A melhoria da Qualidade e a Estatıstica3.2 Um pouco de historia3.3 Cartas de controlo de qualidade3.4 Aplicacoes

4. Nota final

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1. Sobre a Qualidade

A Qualidade de um produto constitui um factor decisivo na suaaquisicao a par do respectivo custo.

Qualidade

Significa adequacao do produto ao consumidor: satisfacao derequisitos considerados essenciais para o consumidor (fitness for use:conformance to requirements).

Quando se compra um automovel espera-se que nao tenhadefeitos e que constitua um meio de transporte fiavel eeconomico.

Um retalhista espera que o empacotamento dos produtosque adquire permita um armazenamento seguro e uma boaexposicao dos mesmos.

Dimensoes da Qualidade

Aparencia, funcionalidades, fiabilidade, etc.

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Conceitos basicosBreve nota historicaFuncao de estruturaFiabilidade de sistemas com componentes independentesOutros topicos

2. Fiabilidade

2.1 Conceitos basicos

Fiabilidade

Probabilidade de um produto/sistema vir a desempenharadequadamente (i.e. sem falhas) as funcoes a que se propoe, emcerto ambiente e durante um perıodo de tempo.

Esta definicao envolve quatro importantes termos/nocoes: falha; ambiente;

tempo; probabilidade.

FalhaUm sistema possui um conjunto especıfico de eventosindesejaveis.

Para um relogio pode definir-se como um atraso que exceda 5

segundos durante um perıodo de 24 horas.

Para um sistema mecanico pode tratar-se de um aumento da

vibracao produzida acima de um nıvel regulamentar.

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Fiabilidade (cont.)

AmbienteA fiabilidade de um sistema depende crucialmente do ambienteem que este opera.Condicoes termicas, empacotamento, instalacao, tipo de utilizador, etc.

TempoA fiabilidade decresce com o tempo: quanto maior for o tempode operacao do sistema maior e a sua probabilidade de falha.O tempo nem sempre e medido nas unidades usuais: pode tratar-se da

distancia percorrida por um veıculo ou do numero de ciclos de rotacao.

ProbabilidadeUma falha e o resultado da accao conjunta de diversos factores aleatorios

e influencias do ambiente em que o sistema opera.

O calculo da probabilidade de funcionamento de um sistemaou da proporcao de tempo em que o sistema se encontra emfuncionamento faz-se recorrendo a teoria das Probabilidades.

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2.2 Breve nota historica

Anos 30 e 40

Uma das primeiras areas de fiabilidade abordadas com algumasofisticacao matematica foi a da manutencao de maquinas.

Ainda nos anos 30 e 40, debrucou-se sobre a fadiga de materiais,tendo sido fornecidos exemplos da adequacao de modelosprobabilısticos a representacao de tempos ate fractura/rotura, etc.

Anos 60

E introduzida a nocao de funcao de estrutura de sistemascoerentes.

Anos 80...

Da-se particular atencao a fiabilidade de redes de computadores,motivada pela Advanced Research Projects Agency (ARPA),precursora da World Wide Web (www).

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2.3 Funcao de estrutura

Em fiabilidade de sistemas constituıdos por diversas componentes temparticular relevo o conceito de...

Funcao de estrutura

Numa perspectiva estatica pode definir-se a funcao

φ(X) =

{1, se o sistema esta a funcionar0, c.c.

(1)

onde X = (X1, . . . ,Xn) denota o vector de estado e

Xi =

{1, se a componente i esta a funcionar0, c.c.,

(2)

para i = 1, . . . , n.

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Exemplo 2.1

Um sistema em serie funciona sse o mesmo ocorrer com todas assuas componentes. Logo a sua funcao de estrutura e igual a

φ(X) = min{X1, . . . ,Xn} =n∏

i=1

Xi . (3)

Exemplo 2.2

Um sistema em paralelo funciona desde que pelo menos uma dassuas componentes funcione. Assim,

φ(X) = max{X1, . . . ,Xn} = 1−n∏

i=1

(1− Xi ). (4)

Exemplo 2.3

Um sistema k-de-n funcionara sse funcionarem pelo menos k dassuas n componentes. Neste caso

φ(X) =

{1, se

∑ni=1 Xi ≥ k

0, c.c.(5)

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Exemplo 2.4

Considere um sistema de alta fidelidade composto por:

gravador (componente 1);

CD player (comp. 2);

amplificador (comp. 3);

altifalante L (comp. 4);

altifalante R (comp. 5).

O sistema esta a funcionar, caso se ouca musica (amplificada) mono ou estereo,

vinda do gravador ou do CD player.

Representacao diagramatica do sistema

1

2

3

4

5

Funcao de estrutura

φ(X) = [1− (1− X1)(1− X2)]X3 [1− (1− X4)(1− X5)] .9 / 30




2.4 Fiabilidade de sistemas com componentes independentes

Sejam pi = P(Xi = 1) = E(Xi ) = 1− P(Xi = 0), i = 1, . . . , n, a fiabilidade da

componente i e p = (p1, . . . , pn) o vector das fiabilidades das componentes.

Fiabilidade do sistema

Ao lidarmos com componentes independentes, a fiabilidade dosistema escreve-se do seguinte modo:

r(p) = P[φ(X) = 1] = E [φ(X)]. (6)

Exemplo 2.5

Os sistemas em serie e em paralelo com componentes independentespossuem fiabilidades iguais a

rserie(p) = E

(n∏

i=1

Xi

)indep=

n∏i=1

E (Xi ) =n∏

i=1

pi (7)

rparalelo(p) = E

[1−

n∏i=1

(1− Xi )

]indep= 1−

n∏i=1

(1− pi ). (8)

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Exemplo 2.6

Caso pi = p, a estrutura k − de − n com componentesindependentes possui fiabilidade igual a

rk−de−n(p) = P

(n∑

i=1

Xi ≥ k

)

=n∑

i=k

n!

i ! (n − i)!pi (1− p)n−i . (9)

Exemplo 2.7

Caso as 5 componentes do sistema de alta fidelidade operem deforma independente o sistema possui fiabilidade

rHiFi (p) = E {[1− (1− X1)(1− X2)] X3

[1− (1− X4)(1− X5)]}= [1− (1− p1)(1− p2)] p3 [1− (1− p4)(1− p5)] .

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Exemplo 2.8

Admita que uma aeronave com 3 motores so sera capaz de voar se possuir pelo

menos 2 dos motores a funcionar. Represente este sistema 2− de − 3 num

diagrama e determine a respectiva funcao de estrutura.

Prove que, caso os motores operem de modo independente e as suas fiabilidades

sejam iguais a p1, p2, p3, a fiabilidade e dada por p1p2 + p1p3 + p2p3 − 2p1p2p3.

Representacao diagramatica do sistema1 2

1 3

2 3

Funcao de estrutura

φ(X) =

{1, se

∑3i=1 Xi ≥ 2

0, c.c.

= 1− (1− X1X2)(1− X1X3)(1− X2X3).12 / 30




Exemplo 2.8 (cont.)

Importante

r2−de−3(p) = E [1− (1− X1X2)(1− X1X3)(1− X2X3)]

6= 1− (1− p1p2)(1− p1p3)(1− p2p3)

ja que (1− X1X2), (1− X1X3), (1− X2X3) nao sao v.a. independentes.

FiabilidadeDe modo a calcular r(p) e necessario:

multiplicar todos os termos de φ(X);

tirar partido do facto de Xiindep∼ Bernoulli(pi ) e X k

i =st Xi , k ∈ IN e

reescrever φ(X);

calcular os valores esperados de todas as parcelas de φ(X).

Logo

r2−de−3(p) = E (X1X2 + X1X3 + X2X3 − X 21 X2X3

−X1X22 X3 − X1X2X

23 + X 2

1 X22 X3)

= E (X1X2 + X1X3 + X2X3 − 2X1X2X3)= p1p2 + p1p3 + p2p3 − 2p1p2p3.

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2.5 Outros topicos

Outros topicos de interesse em fiabilidade e abordados nasdisciplinas de Complementos de Probabilidades e Estatıstica(LMAC) ou Fiabilidade e Controlo de Qualidade (LMAC, MMA):

funcao de fiabilidade (perspectiva nao estatica);

associacao e limites para a (funcao de) fiabilidade;

envelhecimento estocastico e funcao taxa de falha;

inferencias sobre modelos para diferentes tipos de ensaio.

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A melhoria da Qualidade e a EstatısticaUm pouco de historiaCartas de controlo de qualidadeAplicacoes

3. Controlo de Qualidade

3.1 A melhoria da Qualidade e a Estatıstica

Nao ha processos de producao sem variabilidade por maiscuidado que tenhamos no seu planeamento e na sua manutencao...

Deteccao vs. prevencao

Um processo de producao que assente na deteccao (e posteriorseparacao) de produtos acabados que nao respeitem asespecificacoes conduz a desperdıcios de mao de obra e materiaprima.

Melhorar a qualidade passa por tecnicas de prevencao queconduzam a reducao sistematica da variabilidade (maioruniformidade do produto) e eliminacao de defeitos (ate que oproduto nao possua defeitos).

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3.2 Um pouco de historia

Um facto curioso que escapa a maioria dos consumidores: as preocupacoes com

a qualidade datam, por exemplo, dos tempos do imperio da Babilonia

(1830AC–539AC) e da civilizacao fenıcia (1550AC–300AC), de acordo com

Gitlow et al. (1989, pp. 8–9).

Codigo de Hammurabi (c. 1772AC)

Consiste em 282 leis que regiam contratos, transaccoes e aspectosque dizem respeito a questoes de famılia como herancas, divorcio,paternidade e comportamento sexual.

Lei 229 If a builder builds a house for a man and does not make itsconstruction firm, and the house which he has built collapse andcause the death of the owner of the house, that builder shall be putto death.

Esta e outras leis do codigo de Hammurabi provam que a qualidade era

levada muito a serio pelos babilonios.

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O inıcio do sec. XX

E marcado pela inclusao da nocao de processo nas praticas dequalidade.

Um processo e definido por um grupo de actividades que, tendocomo ponto de partida materia-prima (input), valoriza-a etransforma-a num produto acabado (output).

Walter A. Shewhart, um estatıstico dos Bell Laboratories,reconhece que os processos industriais produzem dados.

Shewhart entende que estes dados podem ser analisados usandotecnicas de Estatıstica de modo a averiguar se o processo estaestavel ou sob controlo, ou se pelo contrario, esta fora decontrolo por estar a ser afectado por causas assinalaveis.

Ao faze-lo, Shewhart criou a carta de controlo, uma ferramentaessencial para a industria.

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O pai do controlo estatıstico de qualidade

Walter A. Shewhart (1891–1967)

Ao propor um dispositivo grafico, a carta de controlo, num famosomemorandum, no dia 16 Maio de 1924, Shewhart:

alterou o curso historia da industria;

ao celebrar aquilo que se pode considerar um casamentoperfeito entre Estatıstica, Engenharia e Economia;

tornou-se o pai do controlo de qualidade moderno.

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3.3 Cartas de controlo de qualidade

Qualquer produto possui pelo menos uma caracterıstica de qualidadeque descreve a sua adequacao ao consumidor. Ela pode ser, por ex.,do tipo:

fısico — voltagem, viscosidade, peso e diametro;

sensorial — gosto, cor e aparencia;

temporal — fiabilidade.

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O acompanhamento de processos de producao pressupoe de ummodo geral:

a escolha de caracterıstica de qualidade → no. de defeitospor amostra aleatoria;

a seleccao de parametro (s) a controlar → no. esperado dedefeitos por amostra aleatoria;

a recolha regular de amostras → de hora em hora;

o registo sequencial do no. de defeitos por amostra,

em grafico com limites apropriados — um limite inferior decontrolo (LCL) e um limite superior de controlo (UCL).

O dispositivo (grafico) resultante denomina-se carta de controlo.

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Emissao e tipos de sinal

Somos alertados para a possıvel perda de controlo do processoassim que se registar observacao para alem dos limites decontrolo. Podem ocorrer:

falsos alarmesemissao de sinal na ausencia de desvio num parametro dacaracterıstica de qualidade;

sinais validosemissao de sinal na presenca de desvio (shift, drift, etc.) noparametro.

Os limites de controlo (LCL e UCL) sao escolhidos de modo a que:

os falsos alarmes sejam emitidos com pouca frequencia;

a emissao de sinal valido ocorra com a maior brevidade.

Analogia com testes de hipoteses repetidos...

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Exemplo 3.1

Suspeita-se que um processo de enchimento de saquetas de produto quımico,

que conduziu ao conjunto de resultados (em gramas), esteja fora de controlo.

Para o efeito, usar-se-ao duas cartas de controlo de qualidade...

Carta X (Shewhart) para µDestina-se a controlar o valor esperado (µ) de uma caracterıstica de

qualidade com distribuicao normal com variancia conhecida e igual a σ20 .

Estatıstica

XN = 1n

∑ni=1 XiN , N ∈ IN

Limites de controlo

LCL = µ0 − γ ×√

σ20n

UCL = µ0 + γ ×√

σ20n

,

onde: a) µ0 representa o valor alvo de µ; b) γ e uma constante

real positiva, escolhida tendo em vista o desempenho que se

pretende para carta sob e fora de controlo; c) n a dimensao

comum das amostras.

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Exemplo 3.1 (cont.)

Carta EWMA para µMesma utilidade que a carta X .

Estatıstica

WN =

{µ0, N = 0(1− λ)×WN−1 + λ× XN , N ∈ IN,

Limites de controlo

LCLa = µ0 − γa√

λσ20

(2−λ) nUCLa = µ0 + γa

√λσ2

0(2−λ) n

,

onde: a) λ ∈ (0, 1] e uma constante que representa o peso

atribuıdo a informacao mais recente acerca do processo condensada

em XN ; b) γa e uma constante real positiva que, cuja seleccao e

feita a par da de λ, tendo sempre em vista o desempenho que se

pretende para carta sob e fora de controlo.

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Exemplo 3.1 (cont.)

µ0 = 10 (valor esperado alvo), σ20 = 1 (variancia)

20 amostras de dimensao n = 5 com µ = 10.5.

Os valores obs. da estatıstica de uma carta EWMA padrao para o

controlo do valor esperado do peso de cada saqueta sao, para w0 = µ0,

λ = 0.134 e γa ' 2.8891, iguais a:

N Media (xN ) EWMA (wN ) N xN wN

1 11.2 10.1608 11 10.5 10.23672 10.8 10.2465 12 10.9 10.32563 10.4 10.2670 13 11.0 10.4164 10.9 10.3518 14 10.6 10.44065 10.5 10.3717 15 10.0 10.38166 9.5 10.2549 16 10.5 10.39757 10.8 10.3279 17 10.6 10.42468 10.0 10.2840 18 10.1 10.38119 10.2 10.2727 19 11.0 10.4640

10 9.7 10.1960 20 10.0 10.4019

Os limites das cartas X e EWMA sao

LCL = 8.62 UCL = 11.38

LCLa ' 9.65 UCLa ' 10.35.

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Exemplo 3.1 (cont.)

Carta X Carta EWMA

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

� �

�

�

�

5 10 15 20N

8

9

10

11

12

13xN

��

� ��

� � ��

��

� �

5 10 15 20N

9.5

10.0

10.5

11.0wN

A carta EWMA emitiu dez sinais (validos) ao passo que a carta Shewhart nao

emitiu qualquer sinal, apesar do valor esperado estar fora de controlo.

Desempenho das cartas de controlo de qualidade

Mede-se, por ex., a custa de Average Run Length (ARL).

ARL(θ) e no. esperado de amostras recolhidas ate sinal na presenca de desvio de

magnitude θ = µ−µ0σ0/√

nno valor esperado.

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Carta X vs. carta EWMA

Ao substituir-se a carta X (Shewhart) por carta do tipo EWMA, com o mesmo

ARL sob controlo, obtem-se a seguinte reducao percentual em ARL,[1− ARLE (θ)

ARLX (θ)

]× 100%:

2 4 6 8 10!

"50

50

Redução percentual

Confirma-se que, em media, a carta EWMA e mais rapida que a carta X a

detectar shifts de pequena e media magnitude em µ, deixando o seu uso de

ser vantajoso caso tenham ocorrido shifts de grande magnitude (e.g. θ > 2.6).

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3.4 Aplicacoes

A utilizacao das cartas de controlo nao se confina a industria:

administracao (Hawkins e Olwell, 1998, p. v —preenchimento incorrecto de documentos);

epidemiologia (Blacksell et al., 1994 — diagnostico dedoencas veterinarias);

deteccao de fraudes (Johnson, 1984 — roubo sistematicopelos caixas de supermercado);

gestao de pessoal (Olwell, 1997 — avaliacao do numero decasos de assedio sexual em ambiente laboral);

atletismo, biologia, ciencias do ambiente, genetica(Hawkins e Olwell, 1998; Stoumbos et al., 2000);

financas (Golosnoy, 2007; Golosnoy e Schmid, 2007 —controlo dos pesos optimos dos diversos tıtulos de umacarteira).

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4. Nota final

Neste seminario debrucamo-nos sobre duas areas importantes daEstatıstica Industrial:

FiabilidadeControlo de Qualidade.

Esperamos que esta apresentacao desperte o vosso interesse paraestas duas areas e para as suas aplicacoes.

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Bibliografia — Fiabilidade

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