A Lei dos Grandes Números

Por Thiago de Oliveira Alves (ToWo) – Rio das Flores – 18/01/2013

Introdução: a desigualdade de Tchebycheff

• Quando conhecemos a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X ( quer no caso contínuo ou discreto), podemos calcular E(X) e Var(X), se existirem.

• Já a recíproca não é verdadeira. Ou seja, do conhecimento de E(X) e Var(X) não é possível reconstruir a distribuição de probabilidades de X.

• Porém, mesmo não podendo calcular estas probabilidades ( a partir do conhecimento de E(X) e Var(X)), pode-se provar que existe um limite superior (ou inferior) para elas.

• Isto será expresso na chamada “desigualdade de Tchebycheff”.

Apresentação simples da desigualdade de Tchebycheff

• Seja f(x) a função densidade de probabilidade (fdp) de da variável aleatória X.

• Pela definição de probabilidade sabemos que

• Qualquer outra probabilidade, como

• De , temos que

1)()(

dxxfXP

1)()( dxxfcXP

cX

12

222

cXcX

• Daí, se efetuarmos o produto

• podemos modificar a primeira desigualdade para

• O segundo membro desta desigualdade expressa uma “esperança”. A saber

1)(2

2

dxxfcX

dxxfcXcXP )()( 2

2

222

22

2 1)(1)( cXEdxxfcXdxxfcX

• Esta é a desigualdade de Tchebycheff

• E sua forma complementar é

• Cabe ressaltar que c é um número real qualquer, ԑ é qualquer número positivo e E(X-c)2 é finita.

• Para o caso discreto, com p(xi) sendo a função de probabilidade de X=xi , o processo é análogo. Basta substituir a integral pelo somatório.

22

1)( cXEcXP

22

11)( cXEcXP

1i

• Agora, para ficar mais interessante e prático, vamos ilustrar este resultado fazendo algumas considerações.

• Considere E(X)=μ (média da população), ε=k.σ (um múltiplo do desvio padrão da população) e Var(X)=σ2 (quadrado do desvio padrão).

• Podemos utilizar a desigualdade de Tchebycheff para mostrar que existem limites para uma probabilidade, sem ser necessário conhecer a fdp da variável aleatória.

• Façamos o seguinte

• Isto significa que a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor que distancie da média μ, k vezes o desvio padrão, tanto pra mais quanto pra menos, é no máximo 1/k2!

2

22

222

1)(

1

kkXP

XVarXE

XEk

kXP

Exemplo• Houve um concurso público e nele participaram

2000 candidatos.• A prova era de múltipla escolha e tinha 50

questões.• Sabe-se por experiências anteriores que a média

das notas é próxima de 25 e que o desvio padrão é sempre próximo de 6,0.

• Podemos estimar usando a desigualdade de Tchebycheff que a probabilidade de alguém tirar uma nota acima de 37=(25+2x6,0) ou abaixo de 13=(25-2x6,0) é no máximo 0,25=(1/22).

• Surge então uma pergunta.• Quando digo que a probabilidade de alguém tirar

certa nota numa prova é 0,25, quer dizer que 25% dos candidatos obterão este resultado?

• A resposta depende de um fator: o número de candidatos. Quanto maior o número de candidatos, mais provável que a frequência relativa de pessoas que tiraram uma nota seja igual a probabilidade deste evento.

• Matematicamente falando, podemos dizer que a frequência relativa será igual a probabilidade se o número de candidatos for infinito.

• Este resultado é expresso na Lei dos Grandes Números.

Lei dos Grandes Números

• Esta lei possui várias formulações, mas enunciaremos aqui a formulação de Bernouilli.

• Seja E um experimento e A um evento associado a E.

• Considere n repetições independentes de E, • seja nA o número de vezes em que A ocorra nas n

repetições,• e façamos fA = nA/ n.• Seja P(A)=p para todas as repetições de E.

• Dado as condições anteriores, para todo ԑ>0

• Ou, equivalente,

2

1

npppfP A

2

11

npppfP A

• Podemos demonstrar esta lei usando a desigualdade de Tchebycheff que nos foi apresentada anteriormente.

• nA é uma variável aleatória binomialmente distribuída. O evento A é uma dicotomia. Pode ocorrer ou não.

• fA também é uma variável aleatória e aplicaremos a desigualdade de Tchebycheff a ela.

nppnVar

nfVar

pnEn

fE

nnf

pnpnVarnpnE

AA

AA

AA

A

A

11

1

1

2

npppfP

npp

k

npp

knppk

knppkpfP

A

A

2

22

2

11

11

1111

111

• Fazendo n tender ao infinito, chegaremos ao limite que pretendíamos demonstrar.

• Ou seja, quando o número n de repetições de um experimento for muito grande a frequência relativa de sucessos fA convergirá em probabilidade para o valor teórico da probabilidade de sucesso p.

0,1lim

111lim 2

pfPnpp

An

n

Exemplo

• Quantos candidatos serão necessários para que tenhamos no mínimo 95% de certeza de que a proporção de pessoas que tiraram a nota 37 difira 0,01 da probabilidade teórica máxima 0,25?

• A resposta é 37500 candidatos.

3750005,0

1875

05,00001,0

75,025,095,001,0

25,0125,01

95,011

25,001,0

11

2

2

2

n

nn

npp

p

npppfP A

Agora um exemplo para fazer em casa.

• Ao jogar uma moeda para o alto você tem 0,5 de probabilidade teórica de tirar coroa.

• Quantas vezes você jogaria uma moeda para ter ao menos 99% de certeza de que a proporção de coroas entre as jogadas seja no máximo 50,1%?

• Confira a resposta no próximo slide.

25000001,0

2500

01,00001,025,001,0

01,05,015,0

01,0199,011

01,0501,05,0

2

22

n

nn

npp

npp

pffp

A

A

• Cabe lembrar que fA é uma variável aleatória e se jogarmos a moeda 250000 vezes ela estará ou não a menos de 0,01 de 1/2.

• O que o exemplo anterior garante é que eu tenho no mínimo 99% de chance de ter este resultado ao jogar a moeda 250000 vezes.

• Isto, é. A cada ocasião que eu jogar a moeda 250000 vezes, cerca de 99% destas ocasiões terá a frequência relativa de sucessos diferenciando 0,01 da probabilidade teórica.

Conclusão• Sabemos agora de maneira segura que podemos inferir a

probabilidade de um evento ocorrer pela frequência com que ele ocorre e vice-versa.

• Esta lei também é uma ótima ferramenta no processo de decisão e análise de risco. Ao decidirmos pelo mais provável estaremos garantidos de que em longo prazo erraremos menos.

• O mesmo seria que se escolhêssemos a opção que ocorreu com mais frequência após um longo prazo, estaríamos escolhendo a opção mais provável.

• Vale a pena tentar. O problema é que, como foi visto, o prazo pode ser muito longo para se ter uma boa garantia como 95% ou 99% de certeza, por exemplo.

Bibliografia• MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística; tradução do

Prof. Ruy de C. B. Lourenço Filho. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos S.A., 1983.

• HELENE, Otaviano Augusto Marcondes, VANIN, Vito R. Tratamento estatístico de dados em física experimental. 2 ed. São Paulo: Edgar Blucher, 1991.

• MAE 228 - Notas de aula. Desigualdades de Markov e Chebyshev e Lei Fraca dos Grandes Números. Notas transcritas por: Rafael Keiti Oiski Grunho de Souza (rkeiti@gmail.com) e Paulo Laurent Waelkens (paulodamontanha@yahoo.com). IME – USP, 31 de Março de 2006

• MURTEIRA, Bento José Ferreira (1990): Probabilidades e Estatística - Volume I, 2ª Edição Revista, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda..

• MAGALHÃES, Marcos N. Probabilidade e variáveis aleatórias. 2 ed. São Paulo: Edusp, 2006.

• JAMES, Barry. Probabilidade: um curso em nível intermediário. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2006.

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