Experimento

Ministrio da Cincia e Tecnologia

Ministrio da Educao

Secretaria de Educao a Distncia

A matemtica dos calendrios

Objetivos da unidade1. Entender e aplicar algoritmos;2. Revisar o uso de operaes bsicas.

O experimento

licena Esta obr est licenciada sob uma licena Creative Commons

nmeros e funes

O experimento

SinopseEste experimento apresenta maneiras de se descobrir o dia da semana de qualquer data do calendrio gregoriano, no passado ou futuro.

ContedosConjuntos, Lgica e Nmeros: Noes de Lgica e Divisibilidade.

Objetivos1. Entender e aplicar algoritmos;2. Revisar o uso de operaes bsicas.

DuraoDuas aulas simples.

A matemtica dos calendrios

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Introduo

comum assistirmos em programas de televiso pessoas que apresentam habilidades especiais para memorizar dias da semana de anos anteriores. Surgem,ento, vrias questes: essas pessoas realmente memorizam datas passadas outm facilidade em utilizar algoritmos? Achamos que a segunda resposta corres-ponde melhor ao que chamamos de verdade. O procedimento envolvido nesses algoritmos acessvel para qualquer pessoa que saiba usar as quatro operaes bsicas. O desao, na verdade, criar uma sequncia de passos que direcionem o exerccio mental. Com pouco treino possvel at impressionar seus amigos e familiares. Saber criar e lidar com algoritmos interessante e pode ser til no mundo informatizado de hoje.

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O Experimento

Material necessrio

Calendrio do ano corrente.

Preparao

Divida a sala em duplas ou trios, pois no necessrio um grupo grande para o experimento. Apenas sugerimos que osalunos tenham algum com quem discutir aolongo da atividade. J que usaremos muito o conceito de algoritmo, abaixo apresentamos sua denio.

AlgoritmoSequncia nita de regras, raciocnios ouoperaes que, aplicada a um nmero nito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas.

Regras do Calendrio Gregoriano

Breve histrico do calendrio GregorianoEm 1582 o papa Gregrio XIII convocou uma equipe de matemticos e astrnomos para criar um calendrio que se adequasse melhor quantidade de tempo que nosso planeta leva para dar uma volta completa em torno do Sol. Depois de muitas propostas apresentadas, foi adotado o seguinte procedimento, com o ano bissexto de 366 dias e ano normal de 365 dias:

Anos mltiplos de 4 so bissextos; Anos mltiplos de 100 que no so mltiplos

de 400 so normais; Anos mltiplos de 400 so bissextos.

Denio

Antes do calendrio Gregoriano, predominava na Europa o calendrio Juliano. Para saber mais detalhes sobre as diferenas entre eles, consulte o Guia doProfessor.

Note que o ano 2000 foi um timo exemplo de aplicao deste algoritmo, tendo 366 dias: 2000 mltiplo de 4, de 100, etambm mltiplo de400.

sim

no

no

sim

sim

mltiplo de 4?

mltiplo de 100? mltiplo de 400?

o ano ter 366 dias

o ano ter 365 dias

no

fig. 1 Algoritmo de funcionamento do calendrio gregoriano.

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acontece nos anos pares no mltiplos de 4 e a segunda se d nos anos mltiplos de 4. Assim, dado um ano par, possvel saber se houve Copa do Mundo ou Jogos Olmpicos.

Contagem dos bissextosAntes de pedir que os alunos determinem qual o dia da semana em que algum evento ocorreu, vamos elaborar mais uma ferra-menta, a contagem do nmero de anos bissextos em certo intervalo de tempo.

Voc sabe dizer quantos anos foram bissextos desde o ano de seu nascimento?

Para tal, sugerimos o seguinte procedimento: Calcule a diferena entre o ltimo ano bissexto (antes do ano corrente) e o primeiro ano bissexto desde a data do nascimento. Por exemplo, vamos supor que algum tenha nascido em 1915 e queira saber quantos anos foram bissextos desde o seu nascimento: o ltimo ano bissexto anterior a 2009 foi 2008; e o primeiro ano bissexto depois de 1915 foi 1916. Logo, a diferena entre essas duas datas de 92 anos. O prximo passo dividir o resultado da diferena por 4 e somar uma unidade ao quociente: 92 dividido por 4 23; esse quociente mais uma unidade 23+1= 24, ou seja, foram 24 anos bissextos no total.

bissexto?

Copa ou olimpada?Na primeira etapa, vamos explorar um pouco os anos bissextos para nos acostumar com oalgoritmo.

Dentre os anos abaixo, quais so bissextos? 1987: no bissexto, mpar; 1658: no bissexto, no mltiplo de 4; 1928: bissexto, mltiplo de 4 e no mltiplo

de 100; 2100: no bissexto, mltiplo de 4 e

tambm mltiplo de 100; 2800: bissexto, mltiplo de 400.

Depois de deixar os alunos debruados no problema por alguns minutos, retome a ateno e fale um pouco sobre como funciona um algoritmo. Sugerimos, inclusive, que a figura 1 seja reproduzida na lousa para que os alunos possam acompanhar melhor o raciocnio. Uma ilustrao que pode ser feita com osalunos utilizar dois eventos importantes que acontecem periodicamente a cada 4anos, so eles a Copa do Mundo de Futebol e as Olimpadas, sendo que a primeira

etapa

1

Questo aos alunos Questo aos alunos

Professor, aproveite para lembrar os alunos do critrio de divisibilidade por 4: para que um nmero seja divisvel pelo nmero 4, basta que osdois nmeros nais sejam divisveis por 4.

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Assim, os alunos podero vericar se esto obtendo sucesso at o momento e, caso contrrio, pensar nas correes. provvel que os alunos resolvam o primeiro problema calculando o dia da semana, ano a ano. Isso pode at ser vivel para certas datas, mas no se esquea de lhes mostrar que, para datas mais distantes, essa maneira no conveniente. Sugerimos o seguinte algoritmo:

Olhe no calendrio do ano atual em qual dia da semana cair a data escolhida;

Veja qual a diferena de anos entre o ano atual e o ano da data escolhida (chamaremos essa diferena de );

Conte quantos anos bissextos aconteceram no intervalo em questo. Precisamos saber quantos dias foram 29 de fevereiro entre as datas escolhidas (para tal, temos o algoritmo sugerido na etapa anterior);

Chamaremos de B a quantidade de vinte e noves de fevereiro existentes entre a data no calendrio atual e a data no calendrio desejado;

Para saber quantos dias se passaram, multiplique por 365 e some B. Chamaremos este nmero de D, isto , D= 365+B;

imprescindvel que, depois de encontrar o resultado nal, veriquemos se h alguma possibilidade de o resultado se alterar de acordo com as regras da figura 1. No nosso exemplo, dentro do intervalo que calculamos, temos o ano 2000, que mltiplo de 100 e tambm de 400, portanto, bissexto e no interfere no resultado acima.

Qual o dia da semana?

Esteja certo de que todos os grupos possuem calendrios do ano atual. Pea aos alunos que encontrem uma maneira de calcular odia da semana em que ocorreram os eventos listados na Folha do Aluno. Professor, espere que os grupos calculem algumas datas e, quando perceber que eles esto conseguindo calcular as respostas, porm sem muita certeza sobre elas, escreva na lousa as respostas para as datas a seguir, a m de orient-los melhor:

11/09/2001 (ataque terrorista em Nova Iorque);

11/02/1922 (incio da Semana de Arte Moderna em So Paulo);

29/02/1972 (exemplo de dia acrescentado ao ano bissexto).

etapa

2

A primeira concluso provavelmente ser ade que, de um ano para outro, a data varia em um ou dois dias da semana.

! Note que faz diferena saber se a data antes ou depois de 28 de fevereiro.

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uma dica: pea para que eles encontrem outra data que se distancie da data almejada em um nmero mltiplo de 7. Por exemplo, os dias 11 e 25 de qualquer ms, como h 14 dias entre eles, ambos caem no mesmo dia da semana. Ento mostre: entre 11 e 25 so 14 dias, isto , 14 0(mod7). E se analisarmos o intervalo 11 e 26, o que aconteceria? E se fosse o dia 27? J possvel enxergar alguma relao? Assim, os alunos podero perceber a ecincia de usar o resto da diviso por 7.

As respostas da Etapa 2 so: 11/09/2001 tera-feira; 13/12/ 1968 sexta-feira; 11/02/1922 sbado; 15/11/1889 sexta-feira; 20/07/1969 domingo; 29/02/1972 tera-feira.

Fechamento

Para nalizar a atividade, discuta os algo-ritmos que apareceram. Com a ajuda dos alunos, escreva na lousa um bom algoritmo para o calculo de dias da semana de datas passadas ou futuras. interessante falar sobre as curiosidades astronmicas existentes no nosso calendrio,

Sejam a,b Z e m Z,m 0 a. Dizemos que a congruente a b( mdulo m) e escrevemos a b(modm) se ab for divisvel por m). Isso signica que a e b( deixam o mesmo resto na diviso por m) (no caso, usaremos o menor natural possvel, que o prprio resto da diviso de a por m)). Por exemplo, 365 1(mod7), pois 3651 364, que divisvel por 7, assim como 365 tem quociente 52 e resto 1. Neste caso, signica que o ano normal tem 52 semanas e 1 dia.

Calculamos, ento, a menor congruncia mdulo 7 de D, e o valor ser chamado de C;

Caso a data seja no passado, teremos que retroceder na semana C dias; caso seja nofuturo, ento sero C dias para frente. Ou seja, caso o dia que procuramos caia natera-feira no ano atual e C for 2, ento no ano buscado esta data caiu em um domingo (se o ano buscado for anterior ao corrente) oucair numa quinta-feira (se o ano buscado for posterior ao corrente).

Como provavelmente os alunos percebero que de um ano normal para outro a data se desloca um dia da semana, no primeiro clculo eles contaro os anos e retrocedero essa quantidade de dias, edepois retrocedero os bissextos. Porm, como j dito anteriormente, medida que as datas se distanciam, essa maneira se demonstra trabalhosa e lenta. Cabe ento

Congruncia

No nosso calendrio, de um ano normal para outro, a data desloca-se na semana exatamente um dia, porque nossa semana possui 7 dias. 365 1(mod7)

Uma sugesto para o clculo do dia 29 de fevereiro quando o ano referncia no bissexto: calcule quando cai o dia 28 e a resposta ser o prximo dia da semana.

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horas 49 minutos e 12 segundos, usados para o algoritmo gregoriano. Para comear a discusso sobre o algoritmo, pergunte aos alunos como podemos escrever 0,2425 na forma de frao. A maneira mais intuitiva de se transformar esse nmero decimal em frao 2425/10000, porm, ao simpli car pelo divisor comum 25, obteremos a frao equivalente 97/400, assim 365,2425= 365+97/400. Como todo ano sobra essa frao de dias, em 400 anos sobram 97 dias. E, se necessrio ter 97 dias em 400 anos, prefervel distribui-los da maneira mais uniforme possvel. Utilize, ento, as regras de correo eescreva-as em forma de frao na lousa.

Anos mltiplos de 4 so bissextos, ou seja,+1/4;

Anos mltiplos de 100 so normais mesmo sendo mltiplos de 4, ou seja, 1/100;

Anos mltiplos de 400 so bissextos, ouseja, +1/400.

Pea aos alunos que faam a soma

1

4

1

100+

1

400.

O resultado ser 97

400.

as in uncias das estaes, Lua e Sol em sua organizao (curiosidades abordadas noGuia do Professor).

Se possvel, apresente aos seus alunos alguns outros calendrios, como o judaico, ochins ou o revolucionrio francs, no qual a semana distribuda em 10 dias ao invs de 7. Artigos sobre esses calendrios so facilmente encontrados com a ajuda de sites de busca na internet. Poderemos tambm apresentar melhor a regra de correo de nosso calendrio corrente: os astrnomos consideram atualmente (ano 2000 d.C.) que a Terra gasta aproximadamente 365,242190 dias para dar uma volta completa em torno do Sol. NaFolha do Aluno h um Pense e Responda que pede que os alunos calculem quanto vale 365,242190 em dias, horas, minutos e segundos (aproximadamente 365 dias 5 horas, 48 minutos e 45 segundos). O algoritmo gregoriano considera o perodo de 365,2425 dias, que so 356 dias 5

N

S

N

SS

N

S

N

N

S

N

S

fig. 2 Solstcios e Equincios.

Nestas etapas, sempre pea auxlio e sugestes aos seus alunos em busca de maior interatividade.

Ficha tcnica

Ministrio da Cincia e Tecnologia

Ministrio da Educao

Secretaria de Educao a Distncia

Matemtica MultimdiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica (imecc unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual deCampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPr-Reitor de Ps-GraduaoEuclides de Mesquita Neto

licena Esta obr est licenciada sob uma licena Creative Commons

AutorSamuel Rocha de Oliveira

Coordenao de redaoFabricio de Paula Silva

RedaoLuiz Fernando Giolo Alves

RevisoresMatemticaAntnio Carlos Patrocnio Lngua PortuguesaCarolinaBonturiPedagogiangela Soligo

Projeto grfico Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira