A MATEMÁTICA E AS TIC NO PROCESSO DE ENSINO E...

UNIVERSIDADE DE LISBOA

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

A MATEMÁTICA E AS TIC NO PROCESSO DE ENSINO E

APRENDIZAGEM. O GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES E

GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO

Inês António Gomes Cruz Van-Dúnem

MESTRADO EM EDUCAÇÃO

Área de Especialidade em Educação e Tecnologias Digitais

Dissertação Orientada por Professora Doutora Neuza Pedro

2016

ii

AGRADECIMENTOS

À Deus, pela energia que rege o universo, pela motivação e força que nunca me deixou

faltar. À minha orientadora Professora Dr. Neuza Pedro e ao Professor Doutor João Filipe Matos,

pela orientação, paciência, o apoio por aceitarem o convite para acompanharem todos os detalhes

e avaliarem o trabalho, pois a elaboração deste trabalho não seria possível sem a colaboração,

estímulo e empenho dos professores. À minha família que me deu todo o suporte para que eu

realizasse meu sonho. Obrigada Plácido Van-Dúnem, por acompanhares toda essa trajetória, o

apoio em todos os sentidos, marido e amigo, por admirares a esposa que sou, a força, motivação

nas horas mais difíceis. Obrigada aos meus filhos, Eunice Van-Dúnem, Gilberto Van-Dúnem,

Marisa Van-Dúnem, Delsom Van-Dúnem e o Yuri Van-Dúnem (que com seu saber de informática

de gestão, ajudou a recuperar o trabalho no computador quantas vezes fosse possível) por

compreender a minha ausência em muitos momentos, torcendo sempre que eu conquistasse os

meus objetivos. Um agradecimento especial para a família Braima Injai, pela amizade.

À minha mãe pela dedicação, que nunca deixou de orar por mim, pelo carinho e incentivo

para trilhar o meu caminho. A todas as pessoas que me acompanharam, direto e indiretamente

acreditaram em mim, o meu muito obrigada!

iii

“A Tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem

da matemática; influencia a matemática que é ensinada

e melhora a aprendizagem dos alunos”

(National Council of Teachers of Mathematics, 2007)

iv

RESUMO

A referida investigação teve como propósito demonstrar qual o contributo do uso de

Software educativos na motivação e aprendizagem dos alunos para o desenvolvimento

de competências matemáticas. A utilização adequada da tecnologia de informação e

comunicação permite resultados positivos no conhecimento, aperfeiçoa o ensino e a

aprendizagem da Matemática. Este trabalho de Dissertação de Mestrado em educação,

na especialização educação em tecnologias digitais, apresenta como tema: As TIC no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática, em particular a utilização de

tecnologias para o ensino de funções e gráficos de uma função. Apresentamos um plano

de apoio à resolução dos problemas e de aplicação de exercícios de correspondências de

funções lineares e quadráticas, utilizando o Software educativo Geogebra. A

investigação seguiu uma metodologia mista - qualitativa e quantitativa, envolvendo

alunos da 10ª classe, do 2º ciclo do ensino secundário no ano letivo 2013/2014. Durante

o desenvolvimento do trabalho foi possível notar bastante motivação dos alunos e plena

disponibilidade para a realização das atividades, o que contribuiu para o

desenvolvimento de competências dos alunos. Acreditamos que esta proposta poderá

contribuir para a melhoria da qualidade do ensino da Matemática e mais

especificamente para o ensino de funções e gráficos, e esperemos que este trabalho

possa servir como inspiração aos professores de Matemática em Angola para a adopção

de metodologias de ensino e aprendizagem mais inovadoras.

Palavras - chaves: Matemática, Tecnologia, Geogebra, Funções, Ensino, Aprendizagem.

v

ABSTRACT

This investigation has the purpose of demonstrate the contribution of the use of educational

software in the students learning, motivation and development of mathematical skills, specifically

for students with learning difficulties. The appropriate use of ICT in learning is inevitable, hoping

that their use improves mathematics teaching and learning. This Master degree thesis in

Education, specialization in education and digital technologies, presents to the secondary school

students, the theme functions and graphs of a function for recovering pupils with learning

difficulties in these topics. For this reason we present a study for supporting the resolution of

problems in the exploitation and application of exercises of matches linear and quadrati cfunctions

by using an educational software Geogebra. This research followed a qualitative and quantitative

methodology, involving students of the 10th year, 2nd cycle of secondary education, in the thirth

trimestre of 2013/14. During the development of the study it was possible to note a high level of

student motivation and full availability for the accomplishment of the activities even after the

predicted time, which resulted in the development of technological skills and geometric

knowledge. We believe that the project contributed to na overall improvement of the quality of

mathematics teaching and more specifically in teaching functions and graphics, and we also hope

that this work can serve as an inspiration to mathematics teachers in Angola for adopting of more

innovative methods of teaching and learning.

Keywords: Mathematics, Technology, Geogebra, Functions, Teaching, Learning

vi

AGRADECIMENTOS.................................................................................................................. ii

RESUMO .................................................................................................................................... iv

ÍNDICE GERAL…………………………………………………………………………………..vi

ÍNDICE DE TABELAS ............................................................................................................... ix

ÍNDICE DE GRÁFICOS ............................................................................................................. xi

ÍNDICE DOS QUADROS…………………………………………………………………………xi

INDICE DE FIGURAS……………………………………………………………………..……..xii

INDICE DOS ANEXOS………………………………………………………………………….xiv

SIGLAS ...................................................................................................................................... xv

INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 1

II - Estrutura da dissertação ........................................................................................................... 4

CAPÍTULO I – ENQUADRAMENTO TEÓRICO ....................................................................... 5

1.1 - Motivação da aprendizagem. Uso das novas tecnologias ....................................................... 8

1.2 - Conceito de funções e suas dimensões - Funções e Gráficos.................................................. 9

1.3 - Aprendizagem da Matemática e as Tecnologias Digitais ..................................................... 12

1.3.1 – Tecnologias de Informação e Comunicação…………………………………………..…..14

1.3.2 - O Plano Cartesiano………………………………………………………………………...16

1.3.3 - Software Educativo Geogebra - Angola…………………………………………………...19

1.3.4 - O Geogebra – Software Educativo………………………………………………………...20

1.3.5 - A Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação…………………………..23

1.4 – O Conceito de Aprendizagem ............................................................................................. 29

1.5 – Aprendizagem com as Tecnologias Digitais ....................................................................... 32

1.6 - Dificuldades na aprendizagem da Matemática ..................................................................... 34

1.7 - Sistema Educativo no Contexto Angolano........................................................................... 36

1.7.1 - Programas do Ensino Secundário em Angola ................................................................... 37

1.8 – Limitações das Tecnologias Digitais ................................................................................... 39

1.9 - Ferramentas Cognitivas da Aprendizagem........................................................................... 41

1.10 – Pensamento algébrico………………………………………………………………………41

1.11 – Os Livros Didáticos – Reforma Educativa ........................................................................ 43

1.12 - Funções Quadráticas – Representação Gráfica................................................................... 45

CAPITULO 2 – A PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E QUESTÕES DA INVESTIGAÇÃO ..... 48

2 - O Problema ............................................................................................................................ 48

vii

2.1.1 - Objetivo geral .................................................................................................................. 48

2.1.2 - Objetivos específicos ....................................................................................................... 49

2. 2 - Questões de Investigação ................................................................................................... 49

CAPITULO 3 - METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO .......................................................... 50

3.1 – Participantes e Instrumentos de Recolha de Dados.............................................................. 51

3.2 - Técnicas de Investigação ..................................................................................................... 53

3.2.1 – Inquérito por Questionário ............................................................................................. 53

3.2.2 – Entrevistas estruturadas e Conversas Informais .............................................................. 54

3.3 - Avaliação do Ensino em Angola ......................................................................................... 55

3.4 - Exploração do Software Educativo Geogebra ...................................................................... 56

3.5 – Planificação da unidade temática – Aulas investigativas ..................................................... 61

CAPITULO 4 - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS………………………64

4 - Apresentação dos Resultados ................................................................................................. 64

4.1 – Análise dos Resultados ....................................................................................................... 65

4.1.2 - Fichas de trabalho – Aulas preparatórias ........................................................................ 67

4.1.3 - Questionário inicial dos alunos……………………………………………………………80

a) Apresentação dos resultados do questionário dos alunos ……………………………………...80

b) Respostas recolhidas dos alunos das vantagens – Software Geogebra .................................... 82

c) Resultados das desvantagens identificadas dos alunos ........................................................... 83

d) Resultados das Aulas de Matemática – Uso do Software Educativo Geogebra ...................... 84

e) Facilidade da realização das tarefas ....................................................................................... 85

4.1.4 - Questionário dos Professores de Matemática .................................................................. 86

4.1.5 – Entrevista do Professor de Plano Tecnológico ............................................................... 87

4.1.6 - Entrevista do Professor de Matemática ........................................................................... 88

4.1.7 - Questionário final dos alunos ......................................................................................... 89

4.2 – Registo das aulas – Aulas práticas ...................................................................................... 91

4.2.1 - Aula 1: Definições elementares - Funções reais de variável real ..................................... 92

4.2.2 - Aula 2: Noção de função ................................................................................................ 95

4.2.3 – Aula 3 e 4: Funções reais de variável real… .................................................................. 97

4.2.4 - Aula 5: Operações com Funções .................................................................................. 102

4.2.5 - Aula 6 e 7: Funções quadráticas: .................................................................................. 105

4.2.6 - Aula 8ª e 9ª - Software Educativo – Geogebra .............................................................. 109

4.2.7 - Aula 10ª e 11ª Exercícios. Funções e gráficos ............................................................... 113

viii

4.3 - Análise Descritiva ............................................................................................................. 115

4.3.1- Reconhecer e interpretar funções representadas graficamente……………………………119

4.3.2- Identificar e assinalar pares ordenados no plano cartesiano………………………………121

4.3.3 – Construção de gráficos cartesianos - Figuras geométricas .............................................. 125

4.3.3.1 - Trabalhos por grupos – Geogebra. .............................................................................. 125

4.4 – Análise de dados .............................................................................................................. 130

4.4.1 - Apresentação – Grupo A e Grupo B ............................................................................... 132

4.5 – Conclusão ........................................................................................................................ 135

CAPITULO V – CONCLUSÕES FINAIS ................................................................................ 139

6 – REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 147

ix

ÍNDICES DE TABELAS

Tabela1: Variáveis da forma canónica – Fonte Wikipédia, retirada a 12/2015 ............................. 12

Tabela 2: Planificação da unidade temática – investigação, elaborada pela investigador .............. 61

Tabela 3: Registo das Ficha das atividades propostas para a investigação …………………..... ...62

Tabela 4: Desvantagens do Geogebra verificadas pelos alunos Grupo A (n = 45) ........................ 84

Tabela 5: Questionário dos professores de Matemática (n = 7). ................................................... 87

Tabela 6: Perceção dos alunos na utilização do Software Geogebra, (n = 38)…..……………… 91

Tabela 7: Par ordenado da função y = x2 ..................................................................................... 97

Tabela 8: Par ordenado da função y = 3x2 ………………………………………………………..106

Tabela 9: Distribuição dos alunos dos grupos por género, (n = 83). ........................................... 130

Tabela 10: Constituído pelos itens - questionário inicial dos alunos ........................................... 131

Tabela 11:Classificações obtidas nas Fichas de atividades ………………………………...…....131

Tabela12: Dados estatísticos das classificações obtidas………….……………………..…….....132

x

ÍNDICE DOS GRÁFICOS

Gráfico1: Trabalho de grupo versus trabalho individual. Grupo A (n = 45) ................................. 80

Gráfico 2: Preferência pelo trabalho de grupo (n = 37) Grupo B ................................................. 81

Gráfico 3: Prefere trabalhar sozinho n = 8. Grupo A ……………………………………………….... 82

Gráfico 4: Vantagens do Geogebra - (n = 45) – Grupo A ............................................................ 83

Gráfico 5: Aula de Matemática com Software Geogebra, Grupo A (n = 45) ................................ 85

Gráfico 6: Facilidade na realização das tarefas ............................................................................ 86

Gráfico 7: A Distância percorrida pela Eunice. Wikipédia, enciclopédia livre ………………………….. 93

Gráfico 8:Análise estatística dos grupos A e B …………………………………………………………..133

Gráfico 9: Visualização das fichas de trabalho dos subgrupos do grupo A ………………..……….134

Gráfico 10: Visualização das 4 fichas de trabalho dos subgrupos do Grupo B……………..………135

xi

ÍNDICES DE QUADROS

Quadro 1: Características da função real da variável real- Função afim ....................................... 99

Quadro 2: Caraterísticas das funções quadráticas ...................................................................... 107

Quadro 3: Página inicial do Software geogebra ......................................................................... 110

xii

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig1: Plano cartesiano formado por dois eixos perpendiculares ................................................... 17

Fig 2: Plano cartesiano representado por quadrantes…………………………………..………… 17

Fig3: Sistema de coordenadas cartesianas e seus pontos A,B,C,D,E. ……………………………18

Fig4: Logotipo do Software GeoGebra 2010. Fonte Wikipédia, acedido aos 30/ 12/2014 ............ 20

Fig 4.1: Tela do Software geogebra 2010 .................................................................................... 21

Fig 4.2: Software Geogebra página inicial. Tela retirada do software Geogebra .......................... 22

Fig 5: Páginas do livro de Matemática- 10º ano - Reforma educativa .......................................... 44

Fig 6: Faróis de um carro ………………………………………………………………………....47

Fig 6.1: Antena parabólica. Fonte Wikipédia 2015 ………………………………….…………...47

Fig7: Opções disponíveis no botão novo Ponto…………………………………...…..…………. 57

Fig7.1: Opção do Botão de Ajuda ............................................................................................... 58

Fig 8: Construção das funções: y = ax ……………………………………………..….………….68

Fig 8.1: Construção das funções: y = ax …...………………………………………....…………..68

Fig 8.2: Construção das funções: y = a x + b ……………...……………………………………..69

Fig 8.3: Construção das funções: y = ax …………………………………...……………………..69

Fig 8.4:Construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, grupo A- subgrupo……………..…70

Fig 8.5: Construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, grupo A – subgrupo2………….......71

Fig 8.6: Construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, grupo B – subgrupo1……...………72

Fig 8.7: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A subgrupo 3 .................. 72

Fig8.8: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A- subgrupo 6 ................. 73

Fig 8.9: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A- subgrupo 3................. 73

Fig 8.10: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 1……………………………………………...74

Fig 8.11: Aulas práticas realizadas pelos alunos - subgrupo 1 Grupo A …………..……………. 74

Fig 8.12: Ficha de atividades de trabalho …………………………..…………………………… 75

Fig 8.13: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 1………………………………..…………….75

Fig 8.14: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 2.……………………………………………..76

Fig 8.15: Ficha de atividades grupo B – subgrupo1………………………………………...……. 76

Fig 8.16 : Ficha de atividades grupo B – subgrupo 2………………………………...…………....77

Fig 8.17: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 4………………………………………………77

Fig 8.18: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 3…………………………………………...… 77


xiii

Fig 8.20: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 5…………….....………….…………………..78


Fig8.22: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 2…………………………………………….…79

Fig 9: Exercício realizado – grupoAsub1 - funções e gráfico ………………………………….....94

Fig 10: Diagrama- Correspondência das funções. ........................................................................ 96

Fig 11: Representação gráfica da função y = 1.5x + 1.1 Software Geogebra- 2013 ……………..98

Fig 12: Exercício de aplicação resolvido por um aluno em grupo A .......................................... 100

Fig 13: Representação do sinal dos quadrantes…………………………………..……………...100

Fig 14: Representação gráfica de duas funções: y = -2x e y = 3x………………………….…....101

Fig 15: Representação Gráficos das funções, par - adaptada aos 10/2/2013…………………….102

Fig 15.1: - Representação Gráfico da função impar - adaptada aos 10/2/2013. ........................... 103

Fig 16: - Representação gráfica de uma função quadrática – par ordenado……………………..106

Fig 16.1: Representada gráfica da função quadrática……………………………………………108

Fig:16.2 - Representada gráfica da função quadrática - Software Geogebra……………………108

Fig 17 – Tela do Geogebra Triangulo elaborado pelos alunos Grupo A .................................... 111

Fig 18: Tela do geogebra - Polígono ABCD elaborado pelos alunos – Grupo B ........................ 113

Fig 19: Representação gráfica da função y = 3.x + 2- geogebra …………………..………..…...114

Fig 19.1: Representação gráfica da função y = x² + 4.x + 3, Parábola ........................................ 115

Fig 20: Grupo A, subgrupo1 resposta a questão 1 tarefa…………………………………….......119

Fig 20.1: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B. subgrupo2 ……..………………...120

Fig 20.2: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B. subgrupo2………..………………121

Fig 20.3: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B subgrupo3…………..……….……122

Fig 20.4: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo A subgrupo2……………..………….122

Fig 20.5: Resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo2……………..………. 123

Fig 20.6: Resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo2 ……………..…….... 123

Fig 20.7: resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo3………………….……124

Fig 20.8: resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo5……………………….124

Fig 20.9: resposta à questão- aula preparatória* – Grupo B. subgrupo5….……………….…….124

Fig 21: Figura geométrica Retângulos ....................................................................................... 125

Fig 22: Construção do quadrilátero no geogebra- alunos do grupo A sub3 ................................. 126

Fig 23:Construção do retângulo no Software: retângulo vermelho – grupo A sub2 .................... 127

Fig 24: Retângulos na grelha do Geogebra. Grupo A sub3 ........................................................ 128

Fig 25: Construção da Parábola, quadrilátero, reta - alunos do grupo A subgrupo2…………….129

xiv

ÍNDICE DE ANEXOS

Anexo A: Aula Preparatória (1) ……..……………………………………………..….………. 156

Anexo B : Aula Preparatória (2)……..…………………………… ……………….…....………157

Anexo I: Planificação da unidade temática………………..………………………..……………158

Anexo II: Guião da Entrevista do Professor de Plano Tecnológico ............................................ 159

Anexo III: Guião - Questionário dos professores de Matemática ............................................... 160

Anexo IV: Guião Questionário inicial dos alunos. ..................................................................... 161

Anexo V: Resultados do questionário inicial dos alunos ............................................................ 162

Anexo VI: Questionário final dos Alunos .................................................................................. 164

Anexo VII: Guião - Entrevista do Professor de Matemática ...................................................... 165

Anexo VIII: Quadro de competências específicas e competências sócio afetivas ....................... 166

Anexo IX: Ficha de atividades – Grupo A ……….……………………………………………...167

Anexo X: Ficha de atividade – Grupo B…………………. ……………………………………..168

Anexo XI: Ficha de trabalho nº1.. ............................................................................................. 169

Anexo XII: Ficha de trabalho nº 2. ............................................................................................ 170

Anexo XIII: Ficha de trabalho nº 3 ............................................................................................ 171

Anexo XIV: Plano de uma aula Matemática Aplicada ……...…………………………………..172

Anexo XV: Classificações obtidas das fichas de atividades ....................................................... 174

Anexo XVI: Dados estatisticos das classificações obtidas….…………………………………..175

Anexo XVII: Formulário – Controlo da Sala de internet ........................................................... 176

Anexo XVIII: Mapa da distribuição das turmas do ano letivo 2014/2015, - IMAG – 10º ano .... 177

Anexo XIX: Calendário das Provas Globais de 2015 ................................................................. 178

Anexo XX: Autorização da direção da escola para a realização da investigação ........................ 179

Anexo XXI: Fotografias como os alunos no laboratório e sala de aulas…..……………….....…180

Anexo XXII: Símbolos Matemáticos – 1º Parte ......................................................................... 181

Anexo XXIII: Símbolos Matemáticos – 2º parte ........................................................................ 182

Anexo XXIV: Símbolos Matemáticos – 3º parte ....................................................................... 183

xv

SIGLAS

APM - Associação dos professores de Matemática

GA – Grupo A

GB – grupo B

IMAG – Instituto Médio de Administração e Gestão

INIDE - Instituto Nacional de Investimento e Desenvolvimento da Educação

NCTM (National Council of Teachers of Mathematics)

O.N. – Ortonormado

PT – Plano Tecnológico

PCN – Parâmetro curricular nacional

QI – Quadro Interativo

RETEP – Reformulação de Ensino Técnico Profissional

SUB A – Subgrupo A

SUB B – Subgrupo B

TI - Tecnologias Informação

TIC – Tecnologia de Informação e comunicação

WWW - World, Wide, Web

1

INTRODUÇÃO

O presente trabalho teve como principal objetivo explorar as mais-valias do Software

educativo Geogebra como ferramenta inovadora para a melhoria da aprendizagem da Matemática.

Geogebra é um Software de Matemática dinâmica para utilizar em ambiente de sala de

aula, que reúne geometria, álgebra e cálculo, e que contribui também para a aprendizagem das

funções e sua generalização.

Demonstramos que a resolução de problemas e tarefas de Matemática, recorrendo ao

Software Geogebra, melhora a aprendizagem de funções reiais de variáveis reais e sua

representação gráfica. Buscamos inicialmente de uma contribuição qualitativa para a

aprendizagem de funções afins e quadráticas.

A investigação seguiu uma metodologia mista - qualitativa e quantitativa, realizada na

escola do 2º ciclo de ensino secundário nº 2036 município de belas em Luanda-Angola.

Participaram para esta investigação 83 alunos do curso de contabilidade geral da 10ª classe,

divididos em dois grupos: Grupo A e Grupo B e o tema predominantemente abordado à

investigação, “ Matemática e as TIC no processo de ensino e aprendizagem,” enquadrada no

tópico funções, no subtema de funções e gráficos de uma função.

O processo decorreu no 3º trimestre do ano letivo 2013/2014, tendo sido ministradas aulas

com a duração de 45 minutos cada. O grupo A contou com 45 alunos e o grupo B com 38 alunos,

diferenciados com tarefas de natureza investigativa e exploratória, usando o computador e a

internet como meio de suporte à aprendizagem.

A observação das aulas, inquéritos por questionário para os alunos, entrevista com

professor de PT, conversas informais, fichas de trabalhos para os alunos foram os principais

instrumentos utilizados para a recolha de dados. Recolhemos ainda opiniões não estruturadas a 56

professores, que lecionavam em outras disciplinas, dando ênfase na análise qualitativa dos dados.

Estas opiniões ajudaram nas informações referentes ao ensino-aprendizagem e a importância das

novas tecnologias inseridas nas escolas, principalmente no que se refere aos alunos do curso de

contabilidade geral. Recolhemos ainda dados relativamente a importância das funções junto de 7

professores que lecionavam Matemática, com preenchimento de um questionário. Adicionalmente,

analisamos documentos e os pré-requisitos dos alunos em falta para conclusão do último trimestre

do ano letivo 2013/2014.

2

Usamos o computador no estudo das funções afins, lineares quadráticas, especificamente

para o estudo do gráfico no plano cartesiano: utilizamos o Software educacional Geogebra, e os

grupos A e B, realizaram as seções na sala de aulas com e sem o auxílio do Software Geogebra.

Compreendemos como enfrentaram os alunos da 10ª classe, do 2º ciclo do ensino

secundário em Angola, a resolução de problemas respeitante ao gráfico das funções lineares e

quadráticas, sem o uso do Software Geogebra e ainda compreendemos como procediam na

construção de gráficos em diferentes contextos de representação. Apercebemos os inúmeros

constrangimentos que os alunos sentiram na interpretação da representação gráfica, simbólica e

numérica para outro tipo de representação e vice-versa, na resolução de problemas de funções

reais de variáveis real.

Além de procurarmos desenvolver nos alunos a compreensão matemática do conceito de

funções, pretendemos levá-los a lidar com ideias matemáticas em diversas representações,

desenvolver neles a capacidade de comunicar e interpretar as suas ideias em articulação com as

dos outros, organizar e clarificar o seu pensamento matemático, e levá-los a utilizar

autonomamente as várias representações e procedimentos na realização de atividades matemáticas.

No conjunto de tarefas de trabalho de investigação queríamos ainda compreender o

desenvolvimento da capacidade interpretativa dos alunos no que concerne ao estudo dos gráficos

das funções afins, quadráticas e com tal promovemos a inclusão do Software educativo Geogebra

para cálculo, elaboração de gráficos dessas funções como meio de favorecer a aprendizagem dos

alunos.

Para a orientação na elaboração das atividades da sequência didática usamos um estudo de

caráter descritivo, onde se baseou na apresentação de um Software educativo motivador para a

aprendizagem das funções e gráficos de uma função, em ambiente virtual; evidenciamos

atividades, apresentamos os pré-requisitos, explicamos as metas que pretendemos alcançar e

promovemos nos alunos o interesse da disciplina de Matemática. De seguida, apresentamos os

objetivos: geral e específico, e as razões da nossa investigação.

Neste trabalho, procuramos também caracterizar de uma forma global o respetivo sistema

de ensino e aprendizagem em Angola, salientamos os constrangimentos na aprendizagem da

Matemática, o enquadramento curricular a partir do tema do conceito de funções e objetivos de

um modo geral. Esta investigação surge também na sequência de um projeto que foi analisado

pelo Ministério de Educação em Angola e que demonstrou que o uso das tecnologias digitais e o

elevado grau de competências matemáticas em suporte informático ajuda na implementação

desses projetos.

3

Como referem Lampert e Ball (1998), aprender a ensinar pressupõe aprender a construir e

usar o conhecimento na prática, bem como apreciar a natureza situada do conhecimento que

resulta da prática, partilhar experiências. As conclusões obtidas no desenvolvimento do trabalho,

apontam os resultados das atividades das fichas de trabalho e de atividade respetivamente num

contexto educativo, que colocamos à disposição nos anexos do trabalho1.

Avaliamos a adequação das estratégias pedagógicas adotas pelos professores de

Matemática, propusemos soluções viáveis para resolver o problema da aprendizagem dos alunos

com a elaboração de questionários, entrevista guiada, textos, inquérito por questionários,

conversas informais de que a utilização do Software geogebra constitui um fator motivador para as

aulas de matemática e contribui para a aprendizagem das funções, pois os alunos mostram suas

capacidades na resolução de gráficos aplicando a lei de correspondência a partir do Software

Geogebra sem ajuda do professor.

Os embaraços decorrentes da realização de tarefas com características mais exploratórias,

como o estudo do efeito de variação dos parâmetros a e b no gráfico da função, pareceram ter sido

atenuadas com a utilização do Geogebra. Embora se tenha registado algum o insucesso na

compreensão da relação entre características gráficas e parâmetro da expressão analítica, as

coordenadas das várias representações foram importante para a compreensão do conceito de

funções.

1O principal objetivo central que este estudo persegue é continuar a avaliar o impacto da

implementação de uma unidade didáctica sustentada na exploração de ferramentas informáticas

como o Software educativo Geogebra em diferentes, aspetos, como no seguimento do

desenvolvimento de competências tecnológicas que envolvem habilidades relativamente à

utilização das tecnologias, na motivação dos alunos para a aprendizagem da Matemática, no

desenvolvimento de competências geométricas e de atitudes colaborativas.

Acreditamos que a dinâmica oferecida pelo Geogebra que é um Software livre, e de fácil

utilização, pode contribuir de um modo relevante para o desenvolvimento da aprendizagem da

Matemática.

1 Esta perspetiva de investigação contém exercícios publicados e/ou enunciados a partir do site

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLinear.aspx, adaptação do conteúdo programático do plano de reforma

da 10ª classe em Angola. Extraídos ao programa de Matemática do 3º ciclo - acesso a documentos do departamento

pedagógico.

4

II - Estrutura da dissertação

O trabalho da investigação está dividido da seguinte forma:

Capitulo I- A Fundamentação teórica;

Capitulo II – A Problemática, objetivos e questões da investigação;

Capitulo III- A Metodologia seguida nesta investigação;

Capitulo IV- Apresentação e análise dos resultados;

Capitulo V- Conclusão. È seguido da bibliografia que suportou todo trabalho.

5

CAPÍTULO I – ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Trazemos para este trabalho, um recorte da pesquisa, focando especificamente o

desenvolvimento de atividades com uso do Software Geogebra para abordagem do gráfico e

domínio de funções e sua representação gráfica (Borba & Penteado, 2009).

Considerando a importância das funções lineares e quadráticas como tema fundamental da

disciplina de Matemática e que está presente em grande parte dos cursos em Angola e mais

concretamente no curso de contabilidade geral e também pelos resultados menos bons dos alunos

com relação a Matemática, torna-se relevante pesquisar alternativas para o trabalho com a

disciplina de Matemática. Temos como ponto de partida, o conceito de uma função e a sua

representação gráfica, e partindo do princípio que função é um dos conceitos mais importantes da

Matemática, existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.

Também pode ser uma lei que para cada valor x, é correspondido por um elemento y, e

denotado por f(x). A unidade didática, servirá de base na investigação que estará inserida no

subtópico de funções lineares, quadráticas, gráficos de uma função, propriedades e a utilização do

Software educativo Geogebra (Oliveira, 2007)

“Existem tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função

sobrejetiva, função injetiva, função bijectiva, função trigonométrica,

função linear, função modular, função quadrática, função exponencial,

função logarítmica, função polinomial, dentre outras. Cada função é

definida por leis generalizadas e propriedades específicas”. (p, 11)

Nas teorias das funções a utilização de eixos cartesianos para a representação de uma

função, só apareceu no século XVII, com o filósofo e Matemático francês René Descartes. Neste

mesmo século, outras importantes contribuições foram dadas para o desenvolvimento do conceito

de função, com destaques para Kepler (1571- 1630), com a descoberta das leis sobre as trajetórias

planetárias, e Galileu, com o estudo da queda dos corpos e a relação entre espaço e tempo, e como

história da Matemática precisamos recordar as épocas em que os Matemáticos descobriram outros

símbolos e fórmulas que permanecem até no século XXI.

6

Por conseguinte o Software apresenta benefícios, como afirma Campos (1994, p.12), e

como citado na dissertação em ciências de educação de Nlandu Mpaka (2010),

“As inovações tecnológicas, especialmente as Tecnologias de Informação e

Comunicação (TIC) inserem-se no quotidiano de quase todos os sectores

de actividade da sociedade, mostrando novas formas de comunicar,

trabalhar e produzir conhecimento (…).” (p.10)

Segundo Ponte (2002)

“as TIC´S devem estar o mais presente possível na formação inicial de

professores, sendo importante para os formandos irem além do seu simples

domínio instrumental.” (p. 26)

Tivemos a preocupação de elaborar uma unidade temática, com conteúdos relacionados às

funções do afim e quadráticas, questões puramente matemáticas aplicadas no contexto escolar

como refere Skovsmose, (2000)

“Podendo ser conjugadas com um ensino predominantemente exploratório,

as tarefas foram elaboradas com a preocupação de propor questões

formuladas em contexto escolar complementadas com questões puramente

matemáticas.” (p.66)

No século XVIII, o filósofo e matemático alemão Leibniz criou vários termos e símbolos

para o uso na matemática. Foi ele quem utilizou primeiro o termo função no desenvolvimento da

Análise Matemática. Ainda no século XVIII, Euler foi responsável por muitas das notações em

uso atualmente. A notação moderna deixou a Matemática muito mais fácil para os profissionais,

mas os aprendizes acharam desencorajador, poucos símbolos continham uma grande quantidade

de informação. Um pouco mais tarde, a definição de função surgiu com o Matemático suíço

Leonard Euler, o qual utilizou pela primeira vez a notação f(x) e escreveu:

“Se x é uma quantidade variável, então toda a quantidade que depende de x

de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama-se função

da dita variável” (p.12).

7

A ideia de função na Matemática esteve sempre ligada historicamente a evolução do

conhecimento de correspondências físicas. As associações matemáticas e os fenómenos naturais

tornaram-se um canal facilitador na busca da generalização adequada para o conceito de função,

por parte dos matemáticos da época, por volta do século XIV. A notação f(x) para uma função de

x, usada nos comentários de Petersburgo em (1734 -1735) é entre outras, uma notação de Euler

bastante semelhante às utilizadas hoje. O conceito de função adquiriu um novo status, tornando-se

a linguagem preferida dos matemáticos, desta época em diante a ideia de função tornou-se

fundamental na análise matemática no cálculo de Newton e Leibiniz. Em resumo, as ideias mais

explícitas de função pareceram ter surgido por volta da época de René Descartes (1637).

Este definia função como significado qualquer potência de x como x2, x

3 Leibniz (1692)

estabelecia uma função como qualquer quantidade associada a uma curva, como as coordenadas

de um ponto da curva, o comprimento de uma tangente à curva e assim por diante. Vários

pesquisadores, como Johann Bernoulli (1718) definiu função como sendo qualquer expressão

envolvendo uma variável e quaisquer constantes.

Segundo (Neves, 2005) citado por Batista, (2006) foi possível perceber que a definição de

função foi aprimorada com o passar do tempo, de acordo com a curiosidade e necessidade de

alguns estudiosos em estabelecer uma definição mais precisa e rigorosa:

“Chama-se função ou aplicação a uma correspondência entre um conjunto

A e um conjunto B que a cada elemento do primeiro conjunto faz

corresponder um e um só elemento do segundo conjunto”. (p. 9)

2 As ideias mais explícitas de função pareceram ter surgido por volta da época de René Descartes (1637).

2 http://www.fvc.org.br/estudos-e-pesquisas/avulsas/estudos1-7-uso-computadores.shtml?page=1

8

1.1 - Motivação da aprendizagem. Uso das novas tecnologias

As TIC (Tecnologias da Informação e Comunicação), como afirma Moraes (2001) podem

ser bons recursos pedagógicos, mas que há necessidades de adequação de seu uso, uma vez que

dependendo do enfoque dado, qualquer recurso tecnológico pode ser apenas instrumentos

reprodutores de usos incorretos e impertinentes.

De acordo com Valente (1997b; 1998), o computador é uma ferramenta que pode auxiliar

o professor a promover aprendizagem, autonomia e criatividade do aluno. Mas, para que isto

aconteça, é necessário que o professor assuma o papel de mediador da interação entre aluno,

conhecimento e computador, o que supõe formação para exercício deste papel. “ Entretanto, nem

sempre é isto que se observa na prática escolar. Estudos sobre o tema apontam que a formação do

professor para a utilização da informática nas práticas educativas não tem sido priorizada tanto

quanto a compra de computadores de última geração e de programas educativos pelas escolas”

Segundo Kenski (2008) com a consolidação da globalização e a crescente inovação

tecnológica, as formas pedagógicas tradicionais estão a ser examinadas. As TIC são ferramentas

do quotidiano e, por conseguinte, são ferramentas que os alunos sabem manusear.

Ainda precisamos entender porque não utilizamos estas ferramentas nas escolas como

ensino obrigatório.

As TIC, proporcionam cenários visuais que ilustram e favorecem uma melhor

compreensão dos conceitos matemáticos. Por exemplo, na interpretação do gráfico de uma função

afim, os alunos conseguem, de uma forma mais intuitiva, relacionar a inclinação da reta com a

constante de proporcionalidade através da manipulação do Software Barboni, A., e Paulette, W.,

(2007).

Segundo Ponte e Matos (2007) referem que com o auxílio das TIC os alunos desempenham

nas aulas um papel ativo na construção do seu conhecimento pois, encontram-se empenhados a

trabalhar, a desempenhar o verdadeiro papel de Matemáticos, ou seja, a testar hipóteses, a procurar

conjeturas, até mesmo, a errar, ou a produzirem a essência do que é estar a fazer Matemática num

contexto escolar. Na ideia dos autores o importante é que o aluno pense e reflita sobre conteúdos

matemáticos em que se encontra envolvido. Na disciplina de Matemática, existe a ideia pré-

concebida que para aprender Matemática basta seguir duas fórmulas: Entender e mecanizar.

9

De acordo com Ponte, Matos e Abrantes (1998) manifestam a ausência de valores que os

alunos não dão importância ao seu instinto, não possuem a confiança suficiente para entenderem

que todos somos capazes de fazer e aprender Matemática. Acrescentaram ainda que todos os

alunos têm um certo conhecimento matemático é necessário que lhes seja dada a devida

oportunidade para aprender, para poderem desenvolver as suas capacidades matemáticas. É com

este tipo de tarefas ligadas às novas tecnologias que o aluno aprende a ser o verdadeiro construtor

do seu conhecimento. Segundo Papert (1994) o aluno é o ator principal neste processo de ensino e

aprendizagem.

1.2 - Conceito de funções e suas dimensões - Funções e Gráficos

A fundamentação teórica sobre esta temática pretende iluminar o caminho que liga os

alunos às construções e experiencias matemáticas, buscando a formação de conceitos

matemáticos, em particular do conceito de função, “através de etapas gradativas, que atravessam

abstrações de experiências e situações matemáticas e suas conexões com circunstâncias reais com

usos das tecnologias”. (p.12)

“O conceito de função é considerado como um dos conceitos mais importantes dentro da

Matemática e resultou de um longo desenvolvimento do pensamento matemático. A palavra

“função” parece ter sido introduzida por Leibniz (1646-1716) em 1673, que também introduziu os

termos “constante”, “variável” e “parâmetro ” (Ponte, 1992).

Como já anteriormente indicado, Euler (1707-1783) foi o primeiro a adotar a expressão

f(x) para o valor da função sendo particularmente relevante no contexto, a Matemática escolar

onde se usa e como definição de função o seguinte:

“Uma função f: A B consiste em dois conjuntos, o domínio A, o conjunto

chegada B, e uma regra que associa a cada elemento x de A (objeto) um só

elemento y de B (imagem). Diz-se neste caso que a função está definida em

A com valores em B (ME, 1997, p. 13).”

Existem na literatura diversos conteúdos que divulgam o conceito de função e sua origem.

“Em álgebra e geometria analítica, o termo função afim designa uma função polinomial do 1.º

grau com uma variável. Uma função linear admite uma expressão geral explícita da forma y = ax

+ b, em que a e b são números reais. Nesta expressão, as quatro letras utilizadas assumem papéis

10

distintos: x é o argumento da função (variável independente), y é o valor que a função toma para

cada argumento (variável dependente), a é o declive e b a ordenada na origem. No caso particular

em que b = 0, esta relação tem a forma y = ax, situação que traduz uma proporcionalidade direta,

(ME, 1997, p. 13).

Nas pesquisas de Morão (2002), o autor apresenta um exemplo que se desenvolveu ao

longo das épocas na sua aplicação e a seguir a metodologia de ensino é aplicada nos sistema de

ensino do ensino médio e pode ser visto de várias formas a expressão algébrica 3 (x + 5) + 1, e que

segundo a expressão pode-se descrever como uma sequência de instruções: - adiciona cinco ao

número considerado, multiplica por três o resultado e adiciona 1; o resultado dos cálculos

efetuados quando conhecido o valor de x e não o processo de o calcular; uma função, refletindo

uma mudança e não um número em particular; uma família de funções se um dos seus coeficientes

numéricos for substituído por uma letra, por exemplo, a (x + 5) +1; um conjunto de símbolos com

ou sem sentido, podendo ser manipulado de acordo com regras bem definidas.

De acordo com a autora, “a mesma expressão permite identificar diferentes ‘objetos’

matemáticos, números, função, família de funções e para além disso, evocou uma interpretação de

natureza diferente” (p. 277). Por exemplo, uma função é vista como um conjunto de pares

ordenados. Mourão (2002) considera ainda que “a conceção operacional é a primeira a emergir,

permitindo depois, através da retificação dos processos, o desenvolvimento dos objetos

matemáticos” (Morão, 2002. p. 279).

Num estudo com a duração de cerca de um ano, Slavit (1996) observou que os alunos do

ensino secundário adquirem de fato uma conceção das funções que têm por base as suas

propriedades.

“Os alunos parecem realizar certos tipos de função, como as funções afim e

as funções quadráticas, mas não parecem ter realizado o conceito geral de

função, como objeto que pode possuir uma grande variedade de

propriedades e o autor realçou que o desenvolvimento de uma conceção de

função baseada nas suas propriedades requer necessariamente bastante

tempo pois os alunos têm que se familiarizar como vários exemplos de

funções e famílias de funções, e com as suas possíveis propriedades”

11

Segundo Campiteli (2003, p.17) e como citado por Mpaka (2010) afirma que o conceito de

função também exprime não só leis universais como, leis culturais e sócias, por exemplo, a relação

entre a população de um país e a área desse país, (…), se quisermos que nossas lições se inspirem

em Matemática mais atualizada e dinâmica, não podemos fechar os olhos dos alunos para aqueles

que são fundamentais neste conceito matemático,

“O conceito de função também vem sendo visto como responsável pela

organização de diferentes partes do currículo da Matemática mas embora

este conceito encerre, em seu entorno, uma grande variedade de tópicos

deste currículo que poderiam ser relacionados, nem sempre essas conexões

são explicitadas ou se efetivam durante o processo de ensino e

aprendizagem, seja da Matemática ou de outra disciplina, como a Física”

(p. 20).

Considerando resultados positivos, Pellho (2003) e cit Ribeiro (2005) avalia a prática

pedagógica de vários professores de Matemática do ensino secundário, segundo outras

investigações como em seu trabalho, o autor avalia também a introdução do conceito de função

por meio da compreensão das variáveis dependentes e independentes e do relacionamento entre

elas, (…), entre diferentes registos de representação da função. “ Tipo de problema podem ser

úteis para investigar a conceção que os alunos têm de função e pode também contribuir para a

reificação do conceito de função por parte dos alunos ou seja passar do conceito de função do

abstrato para o concreto”. (p. 13)

Mais adiante e segundo Duval (2003), fonte traduzida e publicada do trabalho de pesquisa

de Joseide Justin Dallemole e Claúdia Lisete Oliveira Groenwald – GD Educação Matemática no

ensino Médio, (2012) refere que a aprendizagem de um objeto matemático só ocorre quando os

alunos conseguem mobilizar várias representações de um mesmo objeto, pois a diferença da

matemática para as demais áreas do conhecimento está no facto do seu objeto ser abstrato e

necessitar de várias representações semióticas para acessá-lo.

Além disso, em Matemática, para cada objeto existe uma variedade de representações

semióticas, e que segundo Duval e Mariani (2006), na sua modesta investigação afirmam que, nas

expressões algébricas as variáveis visuais podem ser observadas como símbolos de relação (<, >,

=, …); (menor, maior, igual); podem também ser observadas como operações; sinais (+, - , …);

(mais, menos, …); de expoente; de variáveis; de coeficientes e constantes “ por exemplo, a forma

12

canónica da função quadrática permite ao professor explorar o maior número de variáveis visuais

pertinentes que a forma expandida da função quadrática.

Os exercícios modelos apresentados na presente investigação, foram utilizados os símbolos

relação e as quatro operações essenciais da Matemática, vejamos a Tabela1,

Variáveis Valores Unidade Simbólica correspondente

Concavidade da parábola

Voltada para cima Voltada para baixo

Parâmetros a > 0 ( ausência do símbolo -)

Parâmetro a < 0 ( presença do símbolo - )

Abertura da parábola

Maior abertura

Menor abertura

0 < a < 1

a = 1 Parâmetro não escrito)

a > 1

Posição do vértice da

parábola com relação ao

eixo das abcissas

Acima do eixo

Na origem

Abaixo do eixo

n > 0

n = 0

n < 0

Posição do vértice da

parábola com relação ao

eixo das ordenadas

A esquerda do eixo

Na origem

A direita

m > 0

m = 0

m < 0

Tabela1: Variáveis da forma canónica – Fonte Wikipédia, retirada a 12/2015

1.3 - Aprendizagem da Matemática e as Tecnologias Digitais.

Os estudos realizados na área da educação, desde 1990, enfatizam o potencial das TIC,

quer nas possibilidades de acesso à informação, quer na natureza dos programas, nomeadamente

na disciplina de Matemática (Botelho, 2009).

“As Tecnologias em educação dependem de quem as utiliza (professor ou

aluno), das estratégias utilizadas, do Software disponível e da pedagogia

que se quer implementar (idem). Integrar as tecnologias nos processos de

ensino aprendizagem proporciona uma efetiva aproximação entre o sistema

educativo e as vivências dos alunos, tornando o ensino mais atrativo e que

pode ajudar o professor a conduzir a aprendizagem mais significativa”.

A exploração das suas potencialidades requer envolvimento por parte do utilizador a fim

de explorar ou dominar e desenvolver aprendizagens consistentes utilização em recursos destas

como ferramentas cognitivas. A aprendizagem é um processo complexo, que está longe de

13

qualquer prescrição, cada sujeito tem a sua forma própria de aprender, assim atender às diferenças

individuais, passa por uma pedagogia diferenciada e o envolvimento do aluno com as tic´s pode

proporcionar esse processo. As necessidades de diversificar estratégias e de promover a motivação

efetiva para educar melhor conduzem-nos à integração curricular das tic no processo de ensino-

aprendizagem: Fonte Wikipédia publicação http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigsubport.pdf.

http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigsubport.pdf

O sucesso escolar é indubitavelmente a maior preocupação dos professores, e como tal a

utilização das tic´s nos processos de ensino-aprendizagem, nomeadamente na Matemática,

constituem um instrumento capaz de motivar os alunos a desenvolver o raciocínio e a criatividade

e assim, proporcionar novas aprendizagens, Zuffi e Pacca (2002)

Com base em análise qualitativa dos dados, porém algumas categorias representativas das

conceções geradas na sala de aula com o tema em questão, partir das formas de expressão

efetivamente articuladas pelos professores, juntos aos seus alunos. Também é possível obter

algumas considerações sobre a relação entre estas conceções e o uso de uma linguagem específica

para se tratar as funções matemáticas.

O conceito de função, sobre a reflexão de Santos (2002) apresenta seu estudo na aquisição

de saberes relacionados aos coeficientes da equação y = ax + b pela articulação dos registos

gráficos e algébricos da função afim, com o auxílio de um Software (…). Para encaminhar o

estudo, o autor desenvolveu e analisou os resultados obtidos com uma sequência didáctica

trabalhada com alunos do 2º ciclo do ensino secundário.

De acordo com o autor, os resultados obtidos revelaram uma evolução em relação à

construção dos coeficientes da representação algébrica da função afim ou linear, associados a sua

representação gráfica, isto é à propósito que:

“As dificuldades apresentadas pelos alunos, no tratamento do conceito de

função, também podem estar fortemente ligados à prática pedagógica dos

professores”, a formação dos alunos deve proporcionar o desenvolvimento

de inúmeras competências, o que implica a disponibilidade de capacidades,

aptidões e valores” Santos (2002).

14

1.3.1 – Tecnologias de Informação e Comunicação

“As tecnologias de informação e comunicação, na educação, permitem uma

compreensão profunda do mundo enriquecendo o conhecimento”. A internet é composta

por um conjunto de recursos com potencialidades capazes de promover um tipo de ensino

e aprendizagem mais interessante, motivador e ajustado ao avanço tecnológico. Kenski,

(2008) . O presente estudo tem como finalidade apresentar um software educativo que

auxília no ensino- aprendizagem aos alunos – Geogebra.

“ A utilização das tecnologias digitais no sistema de educativo deve

apontar um horizonte de atuação dos professores que não se limitam à

simples melhoria da eficácia do ensino tradicional”.

O objetivo das TIC´s (Tecnologia de Informação e Comunicação) na educação traduzir

mensagens pedagógicas a fim de instigar e ampliar os conhecimentos dos alunos, por esta razão

alguns pesquisadores afirmam que quanto mais aprofundamos na pesquisa e desenvolvimento de

metodologias educacionais com o uso da tecnologia, mais esta se torna presente em uma

instituição de ensino, seja através de sistemas integrados de gestão educacional ou aulas

ministradas com o uso das mesmas. Ainda (Kenski, 2008) na sua interpretação, afirmou que a

implementação da tecnologia é uma tarefa relativamente fácil se comparada à mudança dos

paradigmas nos processos de ensino.

Como (Lévy, 1993) acrescenta que as Tic’s têm um papel profundo na educação pois

proporcionam: novo objetivo para a educação que emergem uma sociedade de informação e da

necessidade de exercer uma cidadania participativa, critica e interveniente; novas conceções

acerca da natureza dos saberes, valorizando o trabalho cooperativo; novas vivências e práticas

escolares, através do desenvolvimento de interfaces entre escolas e instituições, tais como

bibliotecas, museus, associações de apoio à juventude, entre outros; novas investigações

científicas em desenvolvimento no ensino superior, (Velloso, 2014).3

3 Fonte: Wikipédia. A enciclopédia livre publicado em https://pt.wikipedia.org/wiki/Tecnologia_educacional

(acedido em 08/ 2015); Velloso, Fernando. Informática: conceitos básicos / Fernando Velloso. - 9ed. - Rio de

Janeiro: Elsevier, 2014. http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/9826/1/ulfpie044734_tm.pdf#page138

15

Segundo (Duggleby, 2002) apresenta sugestões dos ambientes virtuais de aprendizagem

que também podem facilitar a interação entre alunos. “ Este tipo de interação é uma característica

das mais recentes gerações do ensino a distância, (…) a oportunidade de aprenderem uns com os

outros através de debates, troca de ideias, partilha de experiências e conhecimentos” (Duggleby,

2002, citado in Morais & Cabrita, 2006).

Nas reflexões de Carrilho (2006) afirma que observou um estudo, ao nível do 3ºciclo do

ensino básico, no âmbito da “Avaliação de Sites de Matemática e implicações na prática docente”,

tendo chegado a várias conclusões, nomeadamente, que a produção de sites por professores da

disciplina de Matemática.

Segundo Carvalho (2007) salienta que a utilização da web, a plataforma está ao alcance do

sujeito, o realce passa a ser como pesquisar e partilhar. Na sua perspetiva, a web promove a

mudança na aquisição e transmissão de conhecimentos. Também Carvalho (2007) no seguimento

das questões de tecnologia considera que, atividades como webquests fomentam o trabalho

colaborativo mediante interação durante a realização das tarefas. Para o autor, a publicação de

trabalhos online pode motivar os alunos a desempenharem as tarefas de forma mais interessada,

além de permitir que os colegas e encarregados de educação acompanhem os trabalhos realizados.

Em suma, a Internet e a Web, em particular, colocadas ao serviço do processo de ensino e

de aprendizagem, podem significar dinamismo, promoção de novos conhecimentos e acima de

tudo, proporcionar o prazer de estudar, de aprender, criar e recriar, de desenvolver o sentido

crítico.

É imperativo haver um cuidado redobrado por parte de todos os intervenientes educativos e

é fundamental saber como enquadrar este meio de acesso à informação e comunicação mas, acima

de tudo, é importante saber quando deve ser utilizado, quais as metas educacionais que ajuda a

alcançar e quais as competências que pode desenvolver (Alves & Morais, s/d).

Particularmente, acreditamos que a construção do conceito de função, por parte dos alunos,

deve primar-se pela variedade de correspondências estabelecidas, de acordo com diferentes

critérios, em situações diversas. A investigação e a sistematização dessas correspondências devem

subsidiar a estruturação, e a compreensão de generalizações, isto para que seja possível

potencializar o tratamento de informações contidas nestas correspondências, de modo que

propiciem discussões inicias em torno do conceito de função, Carvalho (2007).

16

1.3.2 - O Plano Cartesiano

O estudo gráfico de funções é auxiliado com o computador ou a calculadora gráfica, dando

ênfase a distinção entre a representação gráfica da calculadora e o verdadeiro gráfico da função. O

ensino secundário em Angola apresenta no programa de reforma educativa alterações na resolução

de funções segundo as suas propriedades. O que pretendemos no presente trabalho de

investigação, e de acordo com a planificação semanal, permitiu na unidade temática realizar

tarefas na representação de gráficos a partir do plano cartesiano, pois os 83 alunos do curso de

contabilidade geral, distribuídos por dois grupos A e B, apresentaram em alguns pontos

considerados críticos acerca do plano cartesiano, que conseguimos esclarecer no decorrer da

atividade investigativa.

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores

relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função, “século XVII, René

Descartes” A criação do sistema de coordenadas cartesianas é considerada uma ferramenta muito

importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções. O Plano

cartesiano é formado pela interseção perpendicular entre duas retas enumerada, o encontro dessas

retas forma a origem do plano cartesiano.

Podemos associar o plano cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos

estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O sistema de

posicionamento global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos

em mão um recetor de sinais (GPS), informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxílio

de satélites em órbita da terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se

colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem, observação de uma

figura representativa do plano cartesiano4:

4 Matemática Didática.http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx.2008 -2016.19/04

17

Fig1: Plano cartesiano formado por dois eixos perpendiculares. Fonte internet Só Matemática –http://www.somatematica.com.br

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x; y). Em razão dessa

ordem, devemos localizar o ponto, observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y.

Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, vejamos

Fig2:

Fig 2: Plano cartesiano representado por quadrantes5

5 Fonte internet Só Matemática – http://www.somatematica.com.br

18

1.3.2.1 – Construção de gráficos no plano cartesiano:

Nas duas aulas preparatórias para a realização da investigação, selecionamos no início

da unidade de ensino um conjunto de exercícios com o objetivo de avaliar o nível de

conhecimentos dos alunos em aspetos relacionados com a representação gráfico pois num dos

exercícios propostos para o trabalho em grupo com 5 alunos em cada subgrupo, tenham de

descrever o modo como se podiam deslocar desde a origem até aos pontos representados,

efetuando o menor número de deslocamentos. Para isso forneceu-se um referencial com alguns

pontos assinalados, vejamos a fig3.

Exemplos 1: Localização dos pontos abaixo representados a partir do quadrante acima

representado. 1º quadrante = x > 0 e y > 0; 2º quadrante = x < 0 e y > 0; 3º quadrante = x < 0 e y

< 0; 4º quadrante = x > 0 e y < 0. Localizando pontos no plano cartesiano: A (4; 3) → x = 4 e y =

3; B (1; 2) → x = 1 e y = 2, C ( –2; 4) → x = –2 e y = 4; D ( –3; – 4) → x = –3 e y = –4,

E (3; –3) → x = 3 e y = –3

Fig3: Sistema de coordenadas cartesianas e seus pontos A,B,C,D,E. 6

6 Os gráficos e diagramas utilizados no documento foram retirados do livro: Matemática – Volume Único

19

1.3.3 - Software Educativo Geogebra - Angola

Os interesses do Ministério de Educação em Angola referente a inclusão das tecnologias

digitais como ferramenta cognitiva no processo educativo, têm sido desenvolvidas nos anos

recentes, ambientes digitais nas escolas com equipamentos tecnológicos, que permitem uma

aprendizagem significativa e ativa para os alunos. A utilização do Software Geogebra permite

desenvolver competências inerentes ao pensamento crítico e criativo.

Como refere Santos (2009), o Software foi desenvolvido pelo austríaco Markus

Hohenwarter da Universidade de Salzburg em 2002, “o Geogebra permite planificar as aulas de

forma a refazer e adaptar o currículo de Matemática do ensino básico e secundário, proporciona

uma abordagem inovadora das funções e gráficos de uma função, é uma metodologia de ensino

centrada no aluno promovendo o trabalho cooperativo em detrimento de práticas individualizadas

e de assimilação passiva do conhecimento” (Viseu, Nogueira & Santos, 2009).

“O Software Geogebra poderá contribuir de forma significativa para o estudo das funções

e gráficos, uma vez que apresenta ferramentas dinâmicas permitindo a construção de gráficos e a

resolução de funções lineares, e a compreensão de conceitos e propriedades das funções

polinomiais e cúbicas”. Santos (2009), refere que a aprendizagem de conteúdos curriculares nem

sempre constitui motivo de interesse dos alunos e admitindo-se uma das formas de desenvolver

competências, (Martins, 2009).

A escolha do Geogebra para a investigação teve como estratégia de ensino - aprendizagem

do tema “funções e gráficos, generalidade de uma função e sua representação gráfica” teve por

base alguns fatores que consideramos essenciais: ao ensinamento das funções e sua representação

gráfica na escola do ensino secundário do 2º ciclo, é um Software interativo, a sua interface é

simples, livre e de fácil entendimento disponível em língua java em www.geogebra.org para

Download, Silva (2002)

De acordo com Pimentel e Silva (2007), a criação deve ser entendida de forma abrangente

e global. A utilização dos computadores enquanto ferramentas cognitivas, são segundo Jonassen

(2007), as ferramentas da reforma do sistema educativo. No que refere à mudança de metodologia,

Alonso (2005) salienta que tal prática implica elaboração de materiais, implementação e avaliação.

20

1.3.4 - O GeoGebra – Software Educativo

Geogebra é um Software de matemática dinâmica para utilizar em ambiente de sala de

aula, que reúne geometria, álgebra e cálculo. Recebeu muitos prêmios internacionais incluindo o

prêmio de Software educativo Alemão e Europeu.( 2002), Learnie Award 2006: Prémio de

Software Educacional Austríaco em “Wurfbewegungen mit GeoGebra” (Vienna, Áustria).

Fig4: Logotipo do Software GeoGebra 2010. Fonte Wikipédia, acedido aos 30/ 12/2014

Idealizado e criado por Markus Hohenwarterodar na universidade de Salzburg. Por ser um

sistema dinâmico de geometria permite construções de pontos, vetores, segmentos, retas, seções

cônicas bem como funções e mudá-los dinamicamente coordenadas e ainda equações. Assim, o

Geogebra tem a habilidade de tratar das variáveis para números, vetores e pontos, permite achar

derivadas e integrais de funções e oferece comandos como raízes ou extremos.

É um Software de fácil instalação, o Software selecionada para a pesquisa do nosso

trabalho visto que se trata de um Software Freeware, ou seja, é livre para baixar em seu micro,

distribuir entre colegas e alunos e de fácil acesso visto que está disponível gratuitamente em vários

idiomas no endereço: Fonte: Wikipédia - http://www.professores.uff.br/hjbortol/. A primeira

versão deste Software foi o GeoGebra 1.0 em 2001, mas ao longo do tempo evoluiu para o

GeoGebra 2.0 (em 2004), GeoGebra 3.0 (em 2009), GeoGebra 3.2 (em 2009) e em 2011, foi

editado o GeoGebra 4.0. Atualmente estão em fase de experimentação as versões GeoGebra 4.2 e

GeoGebra 5, esta última em 3D. O uso de recursos tecnológicos pode fazer com que os alunos

tenham mais interesse no estudo de funções, visto que este tema é presente em nosso cotidiano,

possibilita ao aluno visualizar e entender a situação apresentada de forma mais clara e precisa.

O Geogebra tem inúmeras ferramentas que serão úteis na produção de figuras para as aulas

expositivas, criação de Applet para rodar na internet, execução de sequências didáticas para

21

conteúdos de Matemática do ensino secundário e superior. Trata-se do Software Geogebra que

contém cinco áreas de trabalho:

(a) Menu Principal;

(b) Barra de Ferramentas;

(c) Janela de Álgebra;

(d) Janela de Visualização;

(e) Campo de Entrada;

Fig 4.1: Tela do Software geogebra 2010. Fonte internet

Fonte: Wikipédia, Baldin e Villagra (2002), aplicados aos trabalhos com o GeoGebra. Acedido em 08/ 2014

http://www.somatematica.com.br. Figura adaptada e retirada do documento que foi criado por Juliano Zambom

Niederauer. Facchini. Ed.Saraiva

O Geogebra tem uma barra de ferramenta com caixas indicando com ícones suas funções

além da barra de tarefas do Windows (arquivo, editar, exibir, opções, ferramentas, janela e ajuda)

que vão desde a construção de pontos, retas, vetores, ângulos, polígonos, círculos, arcos,

mediatriz, bissetriz, inserir imagens, inserir texto e muito mais, até um campo de entrada onde

pode-se digitar comandos para inúmeras construções inclusive de gráficos.

22

Todas as funções ícones e potencialidades do Software Geogebra podem ser melhor

visualizadas com a prática de atividades. Poucos são os livros que falam sobre Software de

geometria dinâmica, por isso grande parte das atividades abaixo foram criadas ao longo de uma

prática como docente de Matemática.

O Geogebra fornece três vistas diferentes dos objetos matemático: a zona gráfica, a zona

algébrica, ou numérica, e a folha de cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em

três representações diferentes: graficamente (e.g., pontos, gráficos de funções), algebricamente

(e.g., coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim todas as

representações do mesmo objeto estão ligados dinamicamente e adaptam-se automaticamente às

mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos forem

inicialmente criados.

Fig 4.2 Software Geogebra página inicial. Tela retirada do software Geogebra

No menu contém todas as funções disponíveis, tais como: novo arquivo, salvar, visualizar

e imprimir, fechar programa, exibir malha, exibir eixos, opções para disposições das janelas

gráficas e algébricas, opções de formatações, ferramentas para construção geométricas, opções

algébricas, menu de ajuda, tutoriais.

23

Consideramos fundamental que haja planificação do processo, pois há que planear

situações concretas de aprendizagem que devem ser analisadas, selecionadas e avaliadas no

recurso à tecnologia como estratégia de aprendizagem.

1.3.5 - A Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação

As Representações tecnológicas digitais têm vindo a assumir destaque nas orientações

curriculares para o ensino da Matemática. Na National Council of Teachers of Mathematics, a norma

específica dedicada à representação matemática considera como objetivos de aprendizagem, desde

o pré- escolar até ao 12.º ano as seguintes:

Criar e usar representações para organizar, registar e comunicar ideias matemáticas;

Selecionar, aplicar e traduzir representações Matemáticas para resolver problemas;

Usar as representações para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociais e

Matemáticos, NCTM (2007, p. 75).

Segundo o documento, NCTM (2007, p. 75), “é preciso que os alunos sejam estimulados

para a representação das suas ideias, mesmo que inicialmente o façam recorrendo as formas não

convencionais, mas é importante que eles aprendam formas de representação convencionais de

forma a facilitar a sua aprendizagem e a comunicação das suas ideias”. O programa de Matemática

do ensino básico como refere nos documentos do Ministério de Educação em Angola editado pela

componente INIDE em colaboração com uma equipa de elaboração de programas, (2004) valoriza

igualmente a representação. Neste documento é apresentado como objetivo geral do ensino da

Matemática, os alunos serem capazes de lidar com ideias Matemáticas em diversas representações,

devendo serem capazes:

ler e interpretar representações simbólicas, pictóricas, tabelas e gráficos, e apresentar

adequadamente informação em qualquer destas formas de representação;

traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra, em particular

traduzir para termos matemáticos informação apresentada em linguagem natural;

elaborar e usar representações para registar, organizar e comunicar ideias matemáticas;

usar representações para modelar, interpretar e analisar situações matemáticas e não

matemáticas, incluindo fenómenos naturais ou sociais (2007, pp. 4 -5).

24

O documento refere-se ainda à importância das representações Matemáticas na

aprendizagem e à importância do trabalho com múltiplas representações.

A caraterização desta investigação aponta para as diversas conceções enumeradas neste

documento da National Council of Teachers of Mathematics, assim verificarmos os resultados dos grupos

A e B que realizaram os trabalhos num contexto puramente Matemático.

Duval (2003) defendem a utilização de múltiplas representações para o desenvolvimento

de uma melhor compreensão dos conceitos Matemáticos. Por exemplo, Friedland e Tabach (2001,

p.173) acreditam que o trabalho com várias representações permite eliminar as limitações de cada

uma delas, tornando “o processo de aprendizagem da álgebra mais significativo e efetivo”. Estes

autores distinguem quatro modos diferentes de representação, que consideram ser essenciais no

ensino da Matemática e mais especificamente no ensino da álgebra:

representação verbal;

representação numérica;

representação gráfica;

representação algébrica.

As representações matemáticas na aprendizagem, apresentam ainda as seguintes vantagens

associadas a cada uma delas:

a representação verbal, está normalmente associada à apresentação do problema e à

interpretação final dos resultados obtidos. Dá ênfase à conexão da Matemática com outras

áreas do conhecimento e entre a Matemática e o quotidiano. Tem a desvantagem de não ser

uma representação universal, o que pode criar obstáculos a nível da comunicação

Matemática;

a representação numérica, é uma representação natural, utilizada no início do estudo da

álgebra e que geralmente precede qualquer outro tipo de representação. É importante na

compreensão inicial de um problema, mas pode por vezes constituir uma limitação por não

ser generalizável;

a representação gráfica proporciona uma imagem clara da função. É uma forma de

representação intuitiva e apelativa devido ao seu carácter visual. Em contrapartida, é muito

influenciada por fatores externos, como por exemplo escalas;

a representação algébrica é concisa, geral e efetiva na apresentação de padrões e modelos

matemáticos e muitas vezes é o único método de justificar e estabelecer generalizações. No

25

entanto, esta representação utiliza exclusivamente símbolos algébricos, pode ocultar o

significado.

As fichas de atividades elaboradas no processo de investigação, segundo (Borba, 2004;

Vasconcelos, 2009).

“Os problemas são muitos, variados e difíceis. Seria sempre arriscado e

pretensioso procurar abordá-los em sua totalidade, principalmente em um

único trabalho”

Estão na base de exercícios de representação gráfica em mudança de representação, pois os

alunos deverão reconhecer e interpretar funções representadas graficamente da representação

algébrica à representação gráfica e reciprocamente, a partir do Software Geogebra.

Numa ficha de trabalho realizada na investigação, (Anexo X) formulado num contexto

puramente Matemático, pedia-se aos alunos do grupo B, formados por subgrupos para comentar

da representação verbal à representação algébrica o seguinte: descreve uma situação formulada

num contexto real, relativamente a distância percorrida pela Eunice até a casa da Hélia, com o

objetivo de calcular o tempo percorrido. Foi pedido aos alunos para fazerem uma análise

interpretativa do problema.

O Professor de Matemática é um elemento decisivo na complexa atividade que é ensinar

Matemática. Na definição das suas práticas pedagógicas, compete a ele intervir, consciente, as

suas conceções e conhecimento profissional, que orientem as suas ações, desde grandes opções

relativas ao currículo, por exemplo, aspetos mais particulares da preparação e condução de aulas.

No ensino-aprendizagem da Matemática, deve-se evidenciar um triângulo, cujos vértices

são: a Matemática, os alunos e o professor (Vasconcelos, 2009; Sacramento, 2008). É importante

que o processo de ensino-aprendizagem da Matemática privilegie não só o raciocínio individual,

mas que provoque também a partilha e o estimule com outros saberes matemáticos.

Além disso, para que o ensino-aprendizagem alcance um nível bastante satisfatório,

convém ao professor: Conhecer o nível intelectual e as informações que os alunos já possuem;

Conhecer a proveniência social dos alunos, evitando conflitos escola-meio; utilizar estratégias

conducentes ao interesse dos alunos (fazendo uso da motivação contínua); Fornecer um feedback

aos alunos pela avaliação formativa oral e escrita que deve estar omnipresente no processo de

ensino-aprendizagem (Vasconcelos, 2009).

26

Buscando uma forma de se entender o porquê de o ensino da Matemática ser pouco

satisfatório, percebe-se que, apesar de alguns esforços terem sido já desenvolvidos por parte dos

docentes, o ensino da referida disciplina não tem sido considerado pelos professores com a

profundidade, serenidade e bom senso necessários. Vasconcelos (2009) avalia e tenta solucionar

este quadro, ponderando da seguinte forma:

“Não se muda o ensino da Matemática de um dia para o outro. É necessário

um planeamento a médio e longo prazo, uma execução paciente ao longo

de muitos anos, com a participação ativa indispensável de todas as pessoas

com relação direta ou indireta com o ensino da Matemática” (p.12).

Segundo Paz.jr (2009) refere que a aprendizagem da Matemática deve ter como objetivo

principal, contribuir na formação da cidadania, podemos citar algumas habilidades que os alunos

adquirem com conhecimentos matemáticos:

criatividade;

iniciativa pessoal;

capacidade de trabalhar em grupo e resolver problemas;

técnica para abordar e trabalhar em problemas.

Ensinar é fazer pensar, estimulando o aluno para a identificação e resolução de problemas,

ajudando-o a criar novos hábitos de pensamento e ação. O professor precisa conduzir o aluno à

problematização e ao raciocínio, e nunca à absorção passiva das ideias e informações transmitidas.

Pazjr (2009) alerta que o professor deve ter consciência de que determinados conceitos,

nem sempre são claros para os alunos; quando esses conhecimentos não são absorvidos pelos

discentes, não se pode avançar para matérias mais complicadas (Vasconcelos, 2009) pondera:

“Uma das mais importantes implicações da teoria do psicólogo J. Piaget é

que a aprendizagem mais eficiente ocorre quando o professor combina a

complexidade da matéria com o desenvolvimento cognitivo dos seus

educandos, tendo em mente que nem todos os alunos de uma turma estão

no mesmo ponto do seu desenvolvimento intelectual” (p.39).

Com relação à formação docente, pretende-se "obter" professores que não se limitem a

imitar seus formadores, mas que se comprometam na educação dos indivíduos numa nova

sociedade; professores que não sejam apenas técnicos, mas também criadores com as novas

tecnologias de informação e comunicação.

27

A Matemática é estudada tanto pelas suas aplicações práticas como pelo seu interesse

teórico. Algumas pessoas e não só os matemáticos profissionais, consideram que a essência dessa

disciplina reside na sua beleza e no seu desafio intelectual. Para outros, incluindo muitos cientistas

e engenheiros, o valor essencial da Matemática é a sua aplicação à própria atividade (Sacramento,

2008; Vasconcelos, 2009). Todavia, o que se pode constatar de mais concreto é que a Matemática

ocupa um lugar essencial nos currículos escolares, mas, em contrapartida, pode-se observar

elevadas taxas de reprovação e de insucesso, na aprendizagem e no ensino dessa matéria

(Vasconcelos, 2009).

O papel do professor numa sala de aula é tornar o caminho entre a Matemática e os alunos

o mais curto possível. Cabe ao professor, perto de ambos (Matemática e alunos), a missão de

conduzir a Matemática até aos alunos ou de levar os alunos até à Matemática. Sendo assim, deve-

se meditar sobre o papel e a atitude do professor de Matemática, questionando-se sobre os

problemas existentes e que estejam relacionados, de uma forma ou de outra, com a Matemática,

seu ensino e sua aprendizagem.

É importante ressaltar que alguns desses problemas poderão não ter respostas claras ou

simples, mas uma análise consciente, por parte do docente, contribuirá para um enriquecimento da

sua atividade profissional. Uma vez consciente do seu papel, será mais fácil pensar e atuar sobre

os outros dois vértices do triângulo, isto é, sobre a Matemática e sobre os alunos (Vasconcelos,

2009). Floriani (2000) considera que a falta de tempo do educador dificulta as possíveis

modificações de sua prática pedagógica, tendo como referencial um plano que sane os percalços

diários e ainda faz referencia de que esse obstáculo na vida profissional do professor,

especificamente o de Matemática o faz viver em constante reflexão acerca de quão grande

problemática.

Segundo Sebastião e Silva, citado por Vasconcelos (2009) cit Mpaka (2010) questiona que

ensinar Matemática sem mostrar a origem e a finalidade dos conceitos é como conversar sobre

cores com um daltónico, ou construir no vazio.

“Especulações matemáticas que pelo menos no início, não estejam

solidamente apoiadas em intuições, resultam inoperantes, não falam

ao espírito, não o iluminam” (p.15).

28

Nesse sentido, é necessário fornecer experiências que encorajem e permitam aos alunos

valorizar a Matemática ao ganharem confiança nas suas capacidades matemáticas, eles se tornam

solucionadores de problemas (Pazjr, 2009). Nos dizeres de Bacquet (2001) é importante

“Interessar o aluno, provocá-lo para a investigação, dar-lhe sem cessar o

sentimento de que ele descobre por si próprio o que lhe é ensinado” (p. 93)

Outrossim, o professor não deve forçar a conclusão: deve deixá-la formar-se

espontaneamente no espírito do aluno outro ponto relevante é relatado por Parra e Saiz (2001, p.

43) os conceitos matemáticos não são aprendidos de um momento para o outro; “ para esses

autores, só ao longo do tempo percebe-se melhor a coerência interna de cada assunto ou a razão de

ser de cada conceito. “Os programas com capítulos estanques dificultam a assimilação lenta;

entretanto, é muito difícil ensinar de forma que cada aluno possa ir interiorizando à sua própria

velocidade” (p. 43), alertam.

“No ensino-aprendizagem da Matemática, é necessário um envolvimento

direto por parte do aluno, uma participação ativa, tanto em cada momento

de estudo como ao longo do ano escolar: é preciso voltar várias vezes ao

mesmo assunto, de preferência seguindo ângulos de abordagem

diversificados, para se poder dominar um conceito” (p. 51).

Dificilmente alguém poderá estudar Matemática com proveito se não tirar algum prazer

disso. E como não é costume encontrar programas que fomentem esse gosto. Principalmente nessa

disciplina, o professor deve buscar incentivar esse desejo e interesse nos alunos, modernizando sua

prática e utilizando recursos que favoreçam o ensino.

O professor pode promover o ensino referente à resolução de problemas, investigando as

dificuldades do aluno, o que favorece a ação docente, valorizando as atitudes e habilidades

mentais e o hábito de trabalho organizado. Os professores podem perpetuar o seu desenvolvimento

profissional através de uma análise e reflexão relativas às informações que podem obter nas suas

aulas, como, por exemplo, as respostas dos alunos no processo de aprendizagem Matemática (Paz.

jr, 2009).

Isso possibilita ao aluno dar sua própria opinião ou narrar sua maneira de pensar. Aprender

deixa de se memorizar e repetir para significar aquisição de habilidades e conhecimentos

integrados ao contexto que serão utilizados, em uma interação total dos aspetos cognitivos e

emocionais. Portanto, a existência da capacidade de organização desenvolvida na resolução de

29

problemas possibilita ação criativa, formulação de hipóteses, pensamento crítico, raciocínio e

busca de respostas.

O Professor como moderador, deve acolher as respostas, formular novas perguntas e ainda

estimular a partilha das diversas estratégias apresentadas para a obtenção de um resultado. Ao

colocarem em comum os seus processos intelectuais, os alunos ao aprenderem com os seus

próprios raciocínios e com os dos outros, incorporam novas formas de pensar e de integrar

informações. Essas atitudes realçam o papel social e humano do professor e da Matemática na

escola. (Huete & Bravo, 2006; Sacramento, 2008)

1.4 – O Conceito de Aprendizagem

Segundo Moderno (1992), o conceito de “aprendizagem” é de todos o mais rico, que

resulta da nova maneira de entender e de fazer comunicação. Por tal o professor deixa hoje de ser

“o sábio emissor” que transmite o seu conhecimento ao aluno, para passar a ser um orientador e

facilitador da aprendizagem7.

Na busca do saber, professores e alunos, desenvolvem diferentes papeis. Ao professor

compete-lhe ativar a curiosidade do aluno, e encontrar as melhores estratégias de forma a facilitar

a compreensão do saber. Por sua vez o aluno deixa de ser um recetor passivo que tenta assimilar a

informação que lhe é transmitida, passando a ser também, ele um protagonista na sala de aula,

buscando informação, levando questões, procurando de forma ativa construir o seu próprio

conhecimento. Fonte: Wikipédia - https://pt.wikipedia.org/wiki/Aprendizagem

Num contexto interpretativo Moderno (1992, p.35) considera que, “a integração da média”

de comunicação é uma estratégia que nos advém do “ser aluno” e do “ser professor hoje”,

resultante da integração das tecnologias e da sociedade atual.

Segundo Miranda (2007) considera que é necessário, reconhecer que aprendizagem é um

processo (re)(construtivo), cumulativo, autorregulado, intencional, situado e colaborativo. A

aprendizagem como processo (re) (construtivo), traduz o reconhecimento de que o aluno constrói

novo conhecimento com base no anterior, para tal é necessário empenho e esforço na realização

das tarefas, na criação de situações, problemas e atividades que conduzam os alunos a níveis

30

superiores de conhecimento sem que haja imposição por parte do professor, pois só assim se dá

uma aprendizagem efetiva.

A aprendizagem cumulativa reconhece que há acumulação do conhecimento e todas as

áreas disciplinares necessitam de pré-requisitos, nomeadamente a Matemática em que as novas

aprendizagens são suportadas nas anteriormente apreendidas. No que refere à aprendizagem auto-

regulada importa sobretudo que os professores apoiem os alunos no desenvolvimento de

estratégias de aprendizagem visando a aquisição de hábitos e técnicas de trabalho de forma ao

desenvolvimento progressivo da autonomia do sujeito na aprendizagem.

Relativamente à aprendizagem orientada para determinados objetivos, requer que os alunos

estabeleçam determinadas metas a atingir, sendo que segundo Bruner (1999),”facilita a construção

do conhecimento permitindo direcioná-lo para determinados fins, motivando os alunos para

ultrapassar os obstáculos intermédios e conduzi-los aos objetivos previamente estabelecidos”. A

aprendizagem situada, tem proveniência nos contextos onde ocorre a aprendizagem. As pessoas

aprendem não só pela transmissão de conhecimento, como também pela apropriação dos saberes

da comunidade com quem se identificam, e desenvolvem saberes próprios dessa comunidade de

pertença.

Para Jonassen, (2007), a teoria de aprendizagem que se preocupa com a forma de

construção de conhecimento por parte dos alunos, é o construtivismo, que vê nas tecnologias uma

forma significativa de melhorar o processo de construção de conhecimento. Contudo a construção

de conhecimento por parte do aluno depende do conhecimento prévio, das experiências anteriores,

e da forma como este organiza esse conhecimento e o utiliza para interpretar novas situações.

Os construtivistas consideram que os alunos constroem a realidade com base na

experiência que têm do mundo por isso, não podem compreender apenas pela audição do

professor, pois não possuem as experiências e interpretação dos professores, mas interpretam o

que o professor diz de acordo com os seus conhecimentos e experiências, construindo

conhecimento mediante a negociação social.

Neste contexto importa realçar que segundo Jonassen (2007)

“as ferramentas cognitivas são meios para negociar significados de forma

colaborativa”(p. 25)

31

Machado (2006) faz referência à distinção entre colaboração e cooperação no trabalho de

grupo. Na primeira, há envolvimento por parte de todos os elementos do grupo na resolução de

atividades e problemas, enquanto na segunda há distribuição de tarefas por parte dos elementos do

grupo. No que refere ao desempenho do professor há também diferenças a assinalar:

7

No modelo cooperativo há maior intervenção por parte do professor, nomeadamente na

organização do grupo, na estruturação das tarefas e maior dependência no ensino de

competências.

No modelo colaborativo, a intervenção do professor é menor, o aluno estabelece sobretudo

uma ligação muito estreita com o currículo, a construção do grupo interesses e objetivos

são estabelecidos mediante negociação prévia.

Apesar de não existir uma diferenciação acentuada entre os dois modelos, como reconhece

Dias (2004), em ambos existe interação, sendo fundamental o que se aprende no seio do grupo. As

práticas de aprendizagem com recurso ao computador têm maior visibilidade nos modelos

colaborativos (Machado, 2006). E para Pinto (2002) o ambiente de aprendizagem construtivista

promove, de forma aberta a resolução de problemas tendo em conta:

a seleção do problema adequado à aprendizagem que se pretende construir; o ambiente de

aprendizagem deve proporcionar o relacionamento de situações idênticas de forma a ajudar

na estruturação cognitiva do sujeito;

apoiar o sujeito de aprendizagem; disponibilizar ferramentas de recolha de informação, de

modelação do conhecimento e de representação de problemas.

Assim considera que, na teoria construtivista o conhecimento é construído pelo sujeito

mediante interação com informação, objeto ou conteúdo. Neste paradigma o fenómeno de

aprendizagem é construído de forma ativa e não é adquirido mediante audição do professor. As

TIC enquanto subdomínio da tecnologia educativa, devem contribuir para a construção de uma

nova era educativa, na formação de cidadãos autónomos, criativos, competitivos e habilitados,

7 Fonte: Wikipédia http://conceito.de/aprendizagem:

32

mediante a mobilização de saberes, para o mundo atual e suas exigências. Assim a tecnologia

educativa deve intercetar a teoria curricular, propondo alternativas para os problemas

educacionais. Compete então à escola, trabalhar para uma nova era, a do conhecimento

1.5 – Aprendizagem com as Tecnologias Digitais

Como referem Santos (2009) e citado por (Ponte, J.P.,2000) No processo de ensino-

aprendizagem da Matemática no 2º ciclo do ensino secundário precisam-se:

Analisar a teoria e prática da Matemática no contexto escolar;

Identificar as principais causas do insucesso escolar nesse processo;

Identificar os fatores que afetam a aprendizagem da Matemática;

Avaliar a adequação das estratégias pedagógicas adotadas pelos professores de

Matemática;

Propor soluções viáveis para resolver o problema da aprendizagem dos alunos no Instituto

médio,

Dada a importância do tópico “Funções”, parece - nos vantajoso elaborar uns fascículos de

ensino para o 10º ano de escolaridade que engloba “ Conceitos de função e de gráficos de uma

função, propriedades e sua generalidade”. Apresentamos as funções lineares em representação

algébrica, gráfica e verbal, elaboramos uma planificação da unidade temática (Anexo I) para

exploração do conceito de funções e sua representação gráfica. O ensino das funções e gráficos de

uma forma geral baseia-se na aplicação de exercícios, representação gráfica e teoremas que

normalmente os alunos consideram difícil, e exige raciocínio analítico em que uma abordagem top

-down não é por si só capaz de proporcionar uma aprendizagem efetiva.

Consciente da importância da formação em matemática, e da sua participação noutras áreas

cientificas e tecnológicas, bem como, na participação social e na aprendizagem ao longo da vida, o

Ministério da Educação no novo programa de matemática do ensino básico, sugere do 1º ao 3º

ciclos, a utilização de computadores na representação de objetos geométricos na resolução de

problemas e na exploração de situações.

33

8A Matemática é uma disciplina tradicionalmente ligada ao insucesso académico dos alunos, que

importa reverter. A sua presença “em todos os ramos da ciência e tecnologia, em diversos campos

da arte, em muitas profissões e setores da atividade de todos os dias” (Programa de Matemática do

ensino básico, 2009, p.3) (…). A utilização de novos instrumentos capazes de motivar os alunos e

conduzi-los a novas competências e atitudes enfatiza a TIC e a utilização de Software educativo.

A procura de novos recursos permite criar dinâmicas facilitadoras da aprendizagem e aproxima a

matemática da tecnologia. (Martins, 2009).

As orientações metodológicas gerais do novo programa de matemática sugerem como

sendo de particular importância a utilização do computador na resolução de problemas, na

exploração de situações e nas estratégias de resolução, interpretação e avaliação de resultados, de

modo a reconhecer a importância da matemática no desenvolvimento da tecnologia.

Para Amante (2007), a tecnologia informática designadamente a internet proporciona

diversificados e poderosos recursos educacionais, desde pesquisar informação, ver trabalhos

realizados por colegas, mediante o acesso ao conhecimento sobre outras realidades culturais,

abrindo a possibilidade de estabelecer comunicação, contribuindo para expandir a visão do

mundo.

Para Machado (2006), através da internet podemos aceder a redes de computadores

possibilitando novas formas de procura de informação e descoberta contribuindo para desenvolver

uma perspetiva colaborativa permitindo a interação e favorecendo o pensamento crítico. Refere

também que, Lave e Wenger (1991) são da opinião que os alunos aprendem em comunidades de

prática. As redes de computadores, nomeadamente a internet e o correio eletrónico têm

contribuído para troca de informação, experiencias e materiais curriculares, (…). A integração das

tic´s na escola, em ambientes abertos implica o reconhecimento do fenómeno da globalização e da

importância da internet na construção de saberes de forma partilhada (Porto, 2006).

9

8 A aprendizagem carrega extrema importância para as organizações, pois ela tem como principal responsabilidade

misturar todos os conhecimentos dos colaboradores e com isso direcionar os objetivos assim alcançando todas as

metas e resultados positivos 9 O processo de aprendizagem pode ser dificultado por uma série de ameaças como ideologias, estruturas rígidas,

padrões de desempenhos, pressões por legitimação ou justificação e forças ambientais (a teoria geral da

aprendizagem). Entrevista com o prof. Feuerstein. Página visitada em 22 de Fevereiro de 2013.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Aprendizagem

34

1.6 - Dificuldades na aprendizagem da Matemática

É do consenso geral que a presença de equipamentos tecnológicos nas salas de aula não

garante mudança na forma de aprender Matemática. Mas para Santos e Barros (2008) a inclusão

do computador no ensino facilita a aprendizagem, fascina a criança e potencia a mudança de

paradigma educacional, através de atividades inovadoras, permite a exploração de situações

problemas, criação de novos ambientes de trabalho, pesquisar, simular, interagir virtualmente e

construir novas formas de representação, que sob a orientação do professor vai aumentar

competências e construir conhecimento ao aluno. Na escolha de Software educativo tal como

refere Papert (1997)

“o Professor deve ter especial atenção, pois alguns produtos são enganosos,

aparentemente atrativos, porém de baixa qualidade e de difícil utilização, a

sua escolha deve primar pela qualidade da aprendizagem”

Na sequência, vamos dissertar sobre alguns tópicos que observamos durante o processo de

investigação, pois segundo a perspetiva de Domingos (1994), “além de os alunos terem

dificuldades em compreender o que é uma variável, também sentem dificuldades na identificação

das variáveis envolvidas em determinada situação”.

Segundo (Trigueiros & Ursini 2008) a compreensão das variáveis numa relação funcional

envolve as seguintes capacidades: (i) reconhecer a correspondência entre quantidades,

independentemente do tipo de representação utilizada; (ii) determinar o valor da variável

independente dado o valor da variável dependente; (iii) determinar o valor da variável dependente

dado o valor da variável independente; (iv) reconhecer a variação conjunta das variáveis que

intervêm numa relação; (v) determinar os intervalos de variação de uma das variáveis quando os

da outra são conhecidos; e (vi) expressar uma relação funcional com base nos dados do problema,

nas formas tabular, gráfica e simbólica.

No processo educativo, o destaque vai para a postura do professor enquanto orientador e

aprendiz deve criar situações que potenciem experiencias exploratórias, incentive a descoberta, e a

resolução de situações problema, visando desenvolver nos seus educandos a capacidade de

aprender a aprender (Santos & Barros, 2008).

35

Segundo o autor, Papert (1997) perspetivava, que as tecnologias nas escolas iriam revestir

a sua face exterior (Machado, 2006). Contudo a questão central que se coloca é sobretudo a de

renovação escolar, que ainda não se concretizou. Também Coll (1992) considera que a tecnologia

deve: estar ao serviço do conhecimento, não no sentido de acumulação de saberes mas de forma a

transformar os esquemas mentais de conhecimento no sentido de os reconstruir; proporcionar uma

aprendizagem significativa, que segundo Jonassen, Peck e Wilson (1999, citados por Jonassen,

2007) é:

ativa porque implica a manipulação de objetos, observam os seus efeitos e constroem as

suas interpretações, e retiram ilações das situações observadas;

construtiva uma vez que constroem os seus próprios esquemas mentais, de forma a

justificarem as observações efetuadas;

intencionais os aprendentes articulam os seus objetivos, mediante as decisões a tomar, as

estratégias a utilizar, e as respostas a dar; os alunos efetuam tarefas de aprendizagem

mediante situações reais e simulações de situações problema, baseados em contextos reais;

cooperativa os alunos mediante trabalho de grupo negoceiam a compreensão e os métodos

a utilizar na realização das tarefas, bem como, uma expectativa comum face à tarefa

proposta.

A utilização das tecnologias de informação e educação, em contextos educativos, não

significa utilizar a tecnologia como objetivo em si mesmo, mas de a colocar ao serviço do

desenvolvimento intelectual do aluno.

Segundo Jonassen (2007) os relatórios americanos documentaram uma diminuição da

capacidade e vontade de pensar dos alunos. Considera ainda que,

“O que é preciso na educação a todos os níveis é uma revolução não apenas

uma mudança de metodologia, mas uma revolução fundamental de

espírito”(Idem, Ibidem p. 297).

36

10A revolução a que Jonassen se refere, tem por base três vetores fundamentais: mudança de

atitude por parte dos alunos, verdadeiramente motivados com o seu crescimento pessoal; sistemas

educativos que se preocupam em preparar alunos, para mobilizar saberes em ambientes mutáveis,

adotando uma postura de aprendizagem ao longo da vida, pondo de parte a aprendizagem pela

memorização de conteúdos, e professores orientadores do processo de aprendizagem, que

facilitando o pensamento ao aluno, o conduz à construção do seu próprio conhecimento.

Ainda na perspetiva de Amante (2007) a qualidade do Software deve ter em contas

algumas características como:

atribuir ao aluno um papel ativo na tomada de decisões e na escolha de opções durante a

realização das atividades;

que sejam interativos e de conteúdo relevante; facilitem a cooperação e comunicação entre

os alunos desencorajando a competitividade entre eles;

que permitam uma simulação de contextos reais; incluam situações e problema para

posterior resolução;

sejam flexíveis de forma a responder aos objetivos educacionais, fornecendo feedback,

sejam de fácil utilização, mediante imagem de ícones que de forma intuitiva se identificam

as suas funções;

que encorajem a sua exploração, imagem e espírito crítico em detrimento dos programas

tipo-exercício de prática e treino; valorizem a educação multicultural, apresentando

variedade cultural e étnica.

1.7 - Sistema Educativo no Contexto Angolano

Segundo alguns arquivos encontrados no ME (Ministério de Educação em Angola) na

componente do INIDE, (2004), referem o desenvolvimento da www (word wide web), no final da

década de 1980, que representou um grande avanço na área da educação, tornando a internet uma

poderosa aliada ao ensino. “As tecnologias e os recursos de programação existentes na rede

10 http://www.fvc.org.br/estudos-e-pesquisas/avulsas/estudos1-7-uso-computadores.shtml?page=1

37

mundial oferecem uma interatividade aos ambientes de ensino e de aprendizagem presencial e a

distância tradicionais” (p.13).

Segundo Abrantes, e al (2002), que participou na elaboração dos documentos refere neste

contexto, a web possibilita o acesso Online às informações, além de tornar possível o surgimento

de novas técnicas de ensino, que permitam auxiliar as técnicas tradicionais. O uso das Tic,

nomeadamente, a internet e a web, colocadas ao serviço do processo de ensino e de aprendizagem,

podem significar dinamismo, promoção de novos conhecimentos e acima de tudo, proporcionar o

prazer de estudar, de aprender, criar e recriar, de desenvolver o sentido crítico.

A Republica de Angola é um país situado na África Austral, ocupa uma área de 1.246.700

km2, cuja população é estimada em 24.300,000 habitantes, em 2014 após o censo que se realizou

de 16 a 31 de Maio de 2014. É um país plurilinguístico, onde o português é a língua oficial e de

comunicação entre os angolanos, apesar de existirem outras línguas nacionais, como por exemplo:

umbundu, kimbumdu, kikongo, tchokwe e n´ganguela, (INIDE, 2004).

Em 1986, foi efetuado pelo Ministério da educação um diagnóstico do sistema de educação

que permitiu fazer um levantamento das suas debilidades e necessidades e que se chegou a

conclusão da necessidade de uma reforma educativa, que foi possível mesmo com sistema político

multipartidário mudando assim a política educativa.

11 INIDE - Instituto Nacional de Investimento e Desenvolvimento da Educação, 2004

Opções para a Reconstrução do Sistema Educativo, Estudo Sectorial, Tomo I, UNESCO,-UNICEF-MEC, Luanda,

1993

1.7.1 - Programas do Ensino Secundário em Angola

Segundo Nunes, (2005) refere várias foram as intenções básicas para as opções

pedagógicas no contexto angolano, tomadas quanto ao 2º Ciclo do ensino secundário como:

Adoção de um esquema básico de desenvolvimento curricular estruturado nas componentes de

formação geral, formação específica e opcional; Articulação das diferentes componentes, tanto do

ponto de vista vertical como horizontal; Orientação de toda a ação pedagógica para a formação

integral do aluno na base do desenvolvimento de atitudes, consciencialização de valores,

considerando a multiplicidade de culturas e de variações etnolinguísticas presentes no país e a

11 INIDE- Instituto Nacional Investigação para o Desenvolvimento de Educação

38

aquisição de conhecimentos inter-relacionados com as aptidões e capacidades que favoreçam a

prossecução de estudos. O Subsistema do ensino geral é constituído: Neves, M. (2005).

Matemática 10ªclasse. Reforma Educativa do Ensino Técnico Profissional (Angola)

Ensino primário de seis classes (básico obrigatório);

Ensino Secundário que integra dois ciclos, com a duração de três anos cada.

O subsistema da formação de professores estrutura-se nos seguintes níveis com a duração

de quatro a seis anos respetivamente: Médio normal e superior pedagógico. Compreende ainda

ações que se enquadram na formação permanente: agregação pedagógica e aperfeiçoamento.

No artigo 19ª da Lei de base do sistema de educação em 2001, “define-se que o ensino

secundário do 2º ciclo se organiza em várias áreas do conhecimento e visa não só a vocação para

os cursos superiores, mas também para a formação profissional após a conclusão da 12ª classe.”

Apresentam de quatro variantes, denominadas áreas, reconhecendo-se a necessidade de

alargar as opções de acesso ao ensino superior: área de ciências físicas e biológicas, área de

ciências económicas - jurídicas, áreas de ciências humanas e área das artes visuais. O documento

contém o esboço do que se pretende com esta ação. Opções para a Reconstrução do Sistema

Educativo, Estudo Sectorial, Tomo I, Unesco,- Unicef-Mec, Luanda, 1993:

subsistema da educação pré-escolar;

subsistema do ensino geral;

subsistema do ensino técnico-profissional;

subsistema da formação de professores;

subsistema da educação de adultos;

subsistema do ensino superior.

De facto, as funções surgem ao longo de todo o currículo, nomeadamente:

na aritmética, como operações entre números, onde um par ordenado corresponde um

número bem determinado;

na geometria, relacionando conjuntos de pontos com as suas imagens através de

transformações geométricas;

no cálculo de probabilidades, relacionando os acontecimentos com as respetivas

probabilidades;

39

em álgebra como relações entre variáveis que representam grandezas.

Também o currículo nacional do ensino básico (Me-Deb, 2001) valoriza o conceito de função

como ideia unificadora, apresentando como competência Matemática a desenvolver em todos os

ciclos:

“a aptidão para construir e interpretar tabelas de valores, gráficos, regras

verbais e outros processos que traduzam relações entre variáveis, assim

como passar de umas formas de representação para outras, recorrendo ou

não a instrumentos tecnológicos” ( p. 66).

1.8 – Limitações das Tecnologias Digitais

Os ideais de Morais e Paiva (2007) apontam como limitações à utilização das TIC por

parte dos professores como:

falta de formação inicial e contínua;

falta de conhecimento sobre o impacto na utilização das TIC em contexto educativo;

falta de tempo necessário à aprendizagem das tecnologias e sobretudo à preparação de

aulas com o software.

Contudo, as habilidades que os alunos revelam na utilização dos computadores,

canalizadas para contextos educativos designadamente, não podem ser ignoradas, pelos

professores de Matemática. (Martins, 2009),” Apesar dos constrangimentos, a integração das TIC

no currículo é um meio valioso no processo de ensino-aprendizagem. E como sugestão deve-se

desenvolver mais aulas com o Software educativo e durante mais tempo para poder ter uma

investigação com resultados mais robustos relativamente aos efeitos encontrados”.

Em todos os graus de ensino, do primário ao superior, o insucesso na disciplina de

Matemática atinge índices preocupantes. Não se trata de insucesso apenas no sentido estrito da

percentagem de reprovações. Um número cada vez maior de alunos não gosta de Matemática,

mesmo com uso das tecnologias digitais, não entende para que serve seu estudo e muito menos

compreende sua relevância (Azevedo, 2009; Parra & Saiz, 2001).

40

Do ponto de vista docente:

“Os professores, queixam-se dos programas que são grandes, pouco

flexíveis, demasiado abstrato. Não sabem como interessar os seus alunos.

E além disso, sentem-se isolados, com poucas oportunidades para

discutirem com os colegas ou para conhecerem as experiências mais

interessantes que, apesar de tudo, se vão realizando. Muitos professores

cada vez agradam menos o que fazem, os resultados do seu trabalho, o

modo como os alunos reagem àquilo que eles lhes ensinam” (Vasconcelos,

2009, p.30).

Assim, pode-se resumir tais problemas nas seguintes palavras: “O ensino da Matemática

está passando por uma situação de grande desconforto para quem aprende, para quem ensina,

sendo também alvo de críticas da opinião pública” (Huete & Bravo, 2006). De forma simplista,

observa-se que, para muitos alunos, a Matemática tem a imagem de insucesso, de inacessibilidade,

de disciplina só para alguns. Para outros alunos (com sucesso na disciplina) fica uma ideia de que

a Matemática é um puro mecanismo, uma arquitetura perfeita à qual nada haverá a acrescentar.

Para os autores (Azevedo & Pazjr, 2009) o sucesso do aluno no campo matemático

depende da sua capacidade de raciocinar e pensar adequadamente. Comumente se acredita que o

aluno que desenvolve estas capacidades e está mais apto a compreender e resolver problemas

matemáticos. Abordar conceitos matemáticos a partir da resolução de problemas, contribui para o

desenvolvimento intelectual do aluno.

A utilização das TIC no processo de ensino - aprendizagem, exige aos professores muito

tempo e algum investimento intelectual, a descoberta e utilização dos programas, a preparação dos

materiais pedagógicos, as reuniões destinadas a troca de experiências, a reflexão sobre

experiências e suas consequências na turma. Planificar uma aula tendo por base pesquisas

realizadas pelos alunos na internet, requer integração nos conteúdos programáticos e adaptação á

turma, o que supõe grande envolvimento por parte do professor e hora de trabalho, para além da

carga de trabalho na escola.

41

1.9 - Ferramentas Cognitivas da Aprendizagem.

Silva, (2002) na sua perspetiva, considera que a inserção das TIC, em contexto escolar só

poderá fazer-se numa política de renovação pedagógica da escola, e que as TIC não são meros

instrumentos que permitem a transmissão do saber, mas favorecem a sua exploração e aquisição

de conhecimento por interação com a estrutura cognitiva do sujeito.

Mas, verifica-se desde 2005, o desenvolvimento das novas tecnologias, na educação em

especial no domínio dos equipamentos e infraestruturas com o desenvolvimento – Plano

Tecnológico (PT) – onde a sua implementação vem a surtir efeitos no combate ao “atraso

cientifico e tecnológico” (PT, 2005, p.25) Jonassen (2007) considera que atualmente as

ferramentas cognitivas não sendo o único meio para desenvolver aprendizagens significativas e

podem ser as ferramentas da reforma, capazes de envolver os alunos em pensamentos de ordem

superior, sendo as ferramentas tecnológicas, um meio para auxiliar esse processo12

.

Os desafios da sociedade do conhecimento exigem uma mudança nas práticas pedagógicas

que, aproveitando o potencial das tecnologias, valorizem o desempenho do aluno na construção de

aprendizagem significativas, através do uso de ferramentas cognitivas que disponibilizam recursos

de monitorização e controlo das aprendizagens. O quadro interativo (QI), o computador, projetor,

além de trazer uma nova dimensão tecnológica para a sala de aula vem reforçar o debate sobre a

utilização da tecnologia em contexto educativo (Prensky, 2001). O sistema hipermédia apresenta

características que ampliam a construção do conhecimento na medida em que ativam a atividade

cognitiva (Dias, 1996).

1.10 – Pensamento algébrico

Com bastante rigor, Ponte & Canavarro (1997) referem que a utilização das TIC no ensino

da matemática podem ajudar a desenvolver potencialidades que estão abrangidas pelos programas

da disciplina de matemática do ensino secundário, nomeadamente:

12 https://pt.wikipedia.org/wiki/Dificuldades_de_aprendizagem.

12 Retirado a Setembro - 2015

42

Atitudes e capacidades – os alunos sentem incentivada a sua criatividade, devido ao

ambiente de aprendizagem rico e estimulante. Além disso, desenvolvem a curiosidade e o

gosto pela aprendizagem;

A confiança, a autonomia e o espírito de tolerância e cooperação – os alunos têm um papel

muito mais ativo na sala de aula, podendo investigar, formular e testar conjeturas próprias,

discutir e comunicar matematicamente;

Capacidade de resolução de problemas.

De acordo com as normas do NCTM (2000), a tecnologia fornece os meios para visualizar

ideias matemáticas a partir de múltiplas perspetivas, possibilitando que os alunos possam aprender

mais matemática e de forma mais aprofundada. Também no que diz respeito às vantagens da

utilização das TIC no ensino da matemática, Ponte, Oliveira & Varandas (2003, p.159) defendem

que estas permitem - perspetivar o ensino da matemática de modo profundamente inovador,

reforçando o papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, relativizando a

importância do cálculo e da manipulação simbólica, (p. 159).

Acrescentam ainda que as TIC: podem favorecer o desenvolvimento nos alunos de

importantes competências, bem como de atitudes mais positivas em relação à Matemática e

estimular uma visão mais completa sobre a natureza desta ciência.

A associação dos professores de Matemática - APM (2001), numa reflexão sobre a

utilização das TIC no ensino da Matemática refere que, pelo facto de a tecnologia alterar a forma

de ver, utilizar e produzir Matemática, as ferramentas tecnológicas devem ser integradas de forma

consistente nas atividades letivas, proporcionando nos a1unos verdadeiras e significativas

aprendizagens Matemáticas.

Skovsmose (2000) caracteriza diferentes tipos de ambientes de aprendizagem e entre eles

os que dão suporte a trabalhos de investigação, os quais chama de “ Cenários para investigação”.

O autor destaca a possibilidade das tecnologias favorecerem o estabelecimento desses cenários:

“Os computadores na educação Matemática têm ajudado a estabelecer

novos cenários para investigação de Matemática, (…) Alunos trabalhando

como, por exemplo, geometria dinâmica facilmente encontram possíveis

situações e experiências que os professores não previram ao planearem a

aula” (Idem, 2000, p. 66).

43

Levy (1993) utiliza a noção de tecnologias da inteligência para relacionar três técnicas que

estão associadas à memória e ao conhecimento: a oralidade, a escrita e a informática. Estas

tecnologias da inteligência são consideradas extensões da nossa memória. De forma análoga para

Borba e Villarreal (2005) a informática pode ser entendida como uma nova extensão da memória:

“A Tecnologia da informação deve ser entendida da mesma maneira. É

uma nova extensão de memória, (…) e uma nova linguagem que envolve a

oralidade, escrita, imagens e comunicação instantânea “( p. 22).

Na formação de professores, para além da preocupação com o domínio de áreas do

conhecimento mais ou menos especializadas, é urgente que se dê também prioridade ao

desenvolvimento de atitudes que permitam ao professor não só "aceitar" a mudança e a inovação,

mas ser ele próprio agente de mudança através de práticas de reflexão, de partilha e de

cooperação.

Haidt (1999, p. 75) ressalta:

“ Para que haja uma aprendizagem efetiva e duradoura é preciso que existam

propósitos definidos e atividade reflexiva dos alunos” (p.75).

Assim, a aprendizagem na matemática ocorre quando o aluno está interessado e motivado e

sobretudo quando a condição dessa aprendizagem for favorável e facilita boas relações entre os

professores e os alunos.

1.11 – Os Livros Didáticos – Reforma Educativa

Esta análise com os meios didáticos, nos permite evidenciar os tipos de exercícios e

abordagens de ensino sobre funções afins e quadráticas propostas a nível do 2º ciclo do ensino

secundário, pois a influência dos livros didáticos na prática do professor é muito forte.

Quanto ao livro que tem como titulo - Matemática 10ªclasse, da reforma educativa do

Ministério da Educação de Angola, autora Maria Augusta Ferreira Neves, da Porto Editora (2005),

o capítulo sobre função, está estruturada da seguinte forma: começa com uma nota histórica sobre

o conceito de função; apresenta o conceito de função (noção intuitiva); o que é necessário para

definir função; os modos de apresentar uma função; gráfico e representação gráfica de uma

função; translação gráfica de uma função (vertical e horizontal).

44

A análise feita dos livros didáticos por, Oliveira (1997), tem como finalidade apontar os

tipos de procedimentos que são utilizados para a construção de gráficos da função quadrática e

ainda quais representações desta função são privilegiadas, bem como, mostrar quais passagens são

realizadas, isto é, da representação gráfica para algébrica e / ou da algébrica para a gráfica. Este

estudo tem sustentabilidade na noção praxeológica introduzida por Chevallard (1995).

Para análise dos livros recomendados para o ensino técnico profissional da Republica de

Angola, a luz da reforma curricular (Matemática 10ªclasse da autora Maria Fernanda Trindade e

Maria Neves Faria) utilizou-se a noção de organização Praxeológica proposta por Chevallard

(1995) presente em sua teoria Antropológica do Didático, que situa actividade Matemática no

conjunto das actividades humanas e das instituições sócias.

“Uma obra matemática surge sempre como resposta para uma questão ou

para um conjunto de questões. (…), um conjunto organizado de objetos

ligados entre si por diversas inter-relações, isto é, em uma organização

matemática” (p.275).

Zuffi (1999) também afirma que a prática docente é fortemente influenciada pelos livros

didáticos, (…). O autor ainda destaca que há uma ênfase nas regras onde sempre se parte do

algébrico.

Fig 5: Páginas do livro de Matemática- 10º ano - Reforma educativa

A cópia do livro acima referenciado, que é puramente didático, é o livro recomendado para

a 10ªclasse em Angola, reforma do ensino técnico profissional, RETEP, (2002), pois são

ferramentas indispensáveis nas actividades dos docentes, apesar das orientações em relação ao uso

45

das tecnologias, calculadoras gráficas não estejam de acordo com realidade da escola onde

decorreu a investigação.

1.12 - Funções Quadráticas – Representação Gráfica

Na perspetiva de Dorigo (2006) através de uma sequência didática de atividades, verificou

a utilização do procedimento de interpretação global das propriedades figurais como facilitador na

observação e entendimento de gráficos da função polinomial de 2º grau ou funções quadráticas.

Com o objetivo de mostrar que por meio da observação, relações com outros conteúdos e a

discussão em grupo podem permitir ao aluno perceber que mudanças ocorridas na expressão

algébrica acarretam mudanças na representação gráfica e vice-versa, e este trabalho reflete-se na

conclusão deste autor e apresentamos dois registos de grupos de alunos que usaram o aplicativo

Geogebra para a representação de gráficos do segundo grau. Utilizamos situações que propiciaram

aos alunos o estudo do comportamento gráfico de várias funções quadráticas, partindo da

exploração de situações particulares para ao final estabelecer conclusões gerais. O objetivo da

pesquisa de Dorigo (2006) era investigar e analisar o processo de ensino e aprendizagem do

comportamento gráfico de uma função polinomial do segundo grau, no que diz respeito aos seus

deslocamentos nos eixos cartesianos, com foco nas diferentes representações, fundamentando-se

na teoria dos registros de representação de Duval, (2003).

A análise nos permite evidenciar os tipos de exercícios e abordagens de ensino sobre

função quadrática propostos a nível do 2ºciclo do ensino secundário, pois a influência dos livros

didácticos na prática do professor é muito forte. Buscamos no trabalho de Oliveira (1997) no qual

a autora faz uma análise detalhada das conceções de professores acerca do conceito de função,

vidências deste facto.

Segundo (Moretti, 2008) os alunos recorrem a certos grupos de funções fundamentais,

como precisamente as funções quadráticas, para representarem e compreenderem funções mais

complexas. As funções quadráticas f(x) = ax2 + bx +c, com a R \ {0}, b R e c R , constituem

uma das funções mais simples e mais fundamentais, a seguir das funções afim. Constituem dos

exemplos mais simples de funções não lineares e o seu estudo é também uma ponte para um

estudo generalizado do conjunto das funções polinomiais. Possuem propriedades interessantes que

46

as distinguem das funções afins. Em primeiro lugar a não linearidade, depois possuem um mínimo

ou um máximo que são absolutos.

Uma função quadrática tem por gráfico uma parábola. O sinal do coeficiente de x2

indica o

sentido da concavidade da parábola: Se, a > 0 concavidade fica voltada para cima e se a < 0, então

a concavidade fica voltada para baixo.

Podemos usar calculadora gráfica para representar todas as funções, na verdade é uma

recomendação da reformulação do ensino técnico profissional (RETEP), mas na realidade, ou na

prática os professores em Angola não usam esta ferramenta, porque não existe, nem as escolas

possuem, nem os professores e alunos.

Em seguida podemos calcular zero da função. Fundamentalmente chama-se zero da função

aos valores para os quais a imagem é zero. No gráfico de uma função, vê-se (se existir) o ponto

(ou pontos) em que o gráfico interseta o eixo OX. No caso das funções quadráticas, só podem

existir no máximo dois zeros. Os zeros de uma função quadrática podem ser calculados usando a

fórmula resolvente das equações do 2º grau, que apresentamos a seguir:

ax2 + bx + c = 0 x =

, com a ≠ 0

É o binómio discriminante Δ = b2

– 4ac que nos indica se a função quadrática tem dois

zeros (se Δ > 0), ou um único zero (se Δ = 0), ou se não tem zeros ( se Δ < 0 ). Em suma apresenta-se

os possíveis gráficos para a função quadrática, em um quadrado com representações das parábolas.

As funções quadráticas não são funções injetivas nem sobrejetivas, ao contrário do que

sucede com as funções afim de declive não nulo. Os alunos têm portanto que ser capazes de

reconhecer estas necessidades no contexto do enunciado.

Outra dificuldade comum reside na conversão entre representações diferentes de uma

mesma função quadrática, especialmente as representações numéricas (ou tabular), algébrica e

gráfica (Bussi 1999, Leinhardt 1990). Dentre as várias aplicações da parábola as mais visíveis são:

faróis de carros; antenas parabólicas; radares parábola; lançamento de projéteis; repuxo de águas.

Podemos clarificar o aparecimento no quotidiano:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície

parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir,

47

(…). Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar

bastante o conceito de parábola no âmbito do ensino fundamental, Fig 6

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária

emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena

parabólica (…), poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e

outros programas que se assiste normalmente, Fig 6.1:

Fig 6: Faróis de um carro Fig 6.1: Antena parabólica. Fonte Wikipédia 2015

13O autor se fundamentou nas ideias de Duval (2003) considerando as diferentes formas de representação do conceito

matemático, especialmente em função quadrática no que concerne à forma algébrica e representação gráfica. Fazendo

associação entre as variáveis visuais de representação com as unidades significativas da escrita algébrica.

13 Dorigo (2006) ressaltou ainda alguns pesquisadores que trabalharam a temática como, por exemplo, (apud Carneiro,

Fantinel e Silva, 2003, p. 37-53) que enfatizaram dificuldades ou problemas relacionados ao ensino e aprendizagem

do conceito de função quadráticas

48

CAPITULO 2 – A PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E QUESTÕES DA INVESTIGAÇÃO

2 - O Problema

Apresentação de uma ferramenta educativa tecnológica que auxília a aprendizagem dos

alunos na construção e/ou representação do gráfico das funções afins e quadráticas, ou

pretendemos estabelecer uma ligação entre a aprendizagem de conceitos Matemáticos e os

conhecimentos dos alunos a partir das tecnologias digitais, expondo o Software educativo

Geogebra como um auxiliar de estudo para a exploração e aplicação de exercícios de

correspondências de funções, polinomial, quadrática e gráficos, mais concretamente para os

alunos do 2º ciclo do ensino secundário.

2.1 - O objetivo da investigação

O Objetivo desta investigação é demonstrar que a realização de exercícios de funções

polinomiais, quadráticas e exploração, recorrendo ao Software Geogebra, contribui para a

aprendizagem dos alunos na sua representação e interpretação.

2.1.1 - Objetivo geral

Desenvolver nos alunos a capacidade de interpretar diversos gráficos de funções afins e

quadráticas, usando Software Educativo Geogebra, facilitando a aprendizagem dos alunos

relativamente a álgebra, geometria e/ou mais concretamente aos conceitos/definições e sua

representação gráfica; Desenvolver a capacidade de análise crítica, de inovação e de idealização

de novas soluções e aplicá-los nos trabalhos práticos.

49

2.1.2 - Objetivos específicos

Expressar situações e/ou problemas em linguagem algébrica;

Entender o uso dos pares ordenados no quotidiano;

Expressar graficamente situações de interdependência entre duas grandezas;

Analisar coordenadas dos pontos de intersecção nos eixos x e y;

Resolução de gráficos a partir do Software Geogebra, e demonstrar a existência de uma

metodologia de trabalho mais acessível, sem aumentar o horário escolar.

2. 2 - Questões de Investigação

No que respeita aos objetivos gerais da aprendizagem que constam do programa de

matemática, procuramos analisar o seguinte, que os alunos:

Sejam capazes de interpretar e representar situações em diversos contextos, usando

linguagem e procedimentos algébricos;

Sejam capazes de representar graficamente pares ordenados;

Identifiquem um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional,

Elaborem o gráfico de uma função por uma tabela, resolvam expressões numéricas com o

uso do Software educativo geogebra

50

CAPITULO 3 - METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO

Para este trabalho de investigação, optou-se por um estudo de natureza descritiva, assente

em metodologia de recolha de dados de natureza qualitativa e quantitativa. Neste capitulo,

fazemos referência às fases que o compõem a metodologia, especificamente os participantes,

materiais utilizados e instrumentos de recolha de dados aplicados com vista a avaliar a pertinência

da utilização do Software Geogebra como recurso e apoio para o ensino - aprendizagem dos

gráficos das funções linear, afins e quadráticas.

Para Bogdan e Boklen (1994, cit. por Martins, 2006), uma investigação qualitativa tem

cinco características: a fonte direta dos dados que é o ambiente natural; os dados que o

investigador recolhe, que são essencialmente de carater descritivo; o investigador interessa-se

mais pelo processo em si do que propriamente pelos resultados; a análise dos dados é feita de

forma indutiva; e o investigador interessa-se, acima de tudo, por tentar compreender o significado

que os participantes atribuem às suas experiências.

Segundo Merriam (1988, apud Martins, 2006) nas metodologias qualitativas, os

intervenientes da investigação não são reduzidos a variáveis isoladas mas vistos como parte de um

todo no seu contexto natural. Segundo Estrela (1994) “(…) não será possível elaborar nenhum

projeto ou estudo científico sem o conhecimento da realidade a que ele se refere, isto é, sem se

conhecer o campo em que se quer intervir” (p.18). No delinear dos conteúdos preparados para a

investigação, demonstramos com o auxílio do Software Geogebra, melhora o ensino e a

aprendizagem das funções afins e quadráticas nas escolas do 2º ciclo do ensino secundário em

Angola. Esta investigação seguiu um modelo descritivo, procuramos uma aproximação ao plano

explicativo, sem no entanto, tentar controlar quaisquer variáveis.

O trabalho investigativo foi realizado com os alunos do Instituto médio de administração e

Gestão - curso de Contabilidade, formando dois grupos A e B. Todos os grupos participaram nas

atividades práticas resolvendo as fichas de trabalho e respondendo os questionários.

Para o presente estudo foi necessário utilizarmos exercícios classificados de conteúdos mas

também de processo de (Charles et al., 1987) pois possuem características de exercícios abertos e

ao mesmo tempo de situação - problema. Na seleção das atividades levamos em consideração as

recomendações de Polya (2003), que refere que o exercício deve conter em si motivação

suficiente, de modo que o aluno sinta vontade de o resolver. O mesmo não deve ser demasiado

fácil, nem difícil, mas sim, “natural e motivador”.

51

3.1 – Participantes e Instrumentos de Recolha de Dados

A recolha de dados teve como principal finalidade obter informações que permitissem

caraterizar o contexto educativo onde decorreu a intervenção pedagógica, recorremos a diversas

técnicas, como analise documental a informação relativa à escola, à observação participante,

entrevistas estruturadas, conversas informais com os administrativos e o inquérito por

questionários, fichas de trabalhos realizadas por grupos. Nem todas acabaram por ser plenamente

exploradas no relato da investigação que aqui se apresenta.

Recorremos a técnica de observação que, segundo Coutinho (2007) é uma técnica que

passa pela recolha de informação na escola em que sucede o estudo e que tem em conta a

participação ativa do investigador (observação participante), possibilitando a perceção direta de

comportamentos e atitudes.

A observação é importante para detetar comportamentos, reações que possam ser

relevantes para o estudo. Por outro lado, segundo Estrela (1994) a observação (…) tem como

objetivo fixar-se na situação em que se produzem os comportamentos a fim de se obter dados que

possam garantir uma interpretação situada desses comportamentos” (p.18).

No final de cada aula, o investigador fez um registo do seu ponto de vista de observação

sobre o decorrer da mesma, criando uma agenda dos grupos. Essa atividade teve como objetivo

registar comportamentos na sala de aula, com particular interesse os comportamentos inerentes à

realização das atividades propostas.

A escola para a investigação foi – a escola nº 2036 do 2º ciclo do ensino secundário -

IMAG porque permitiu acessibilidade à investigação, fundada em 27 de Março de 2009. O

Instituto está situado no município de Belas, província de Luanda, capital de Angola, localizado

numa área onde existem escolas com mesmo nível de escolaridade. Sob orientação da subdireção

pedagógica, foram-nos fornecidos elementos documentais para análise e caraterização do

estabelecimento escolar, especificamente, relatórios, mapas e o acesso ao recinto que contribuíram

para recolha de dados pretendidos. No ano letivo 2013/2014 lecionaram 128 professores dos quais,

apenas sete lecionavam Matemática. Adicionalmente haviam, doze trabalhadores administrativos

distribuídos nos períodos de manhã e tarde, quatro auxiliares de limpeza e quatro vigilantes. De

acordo com dados da escola, a faixa etária dos alunos variava entre 15 a 21 anos de idade; já para

52

os professores variava entre 29 a 54 anos de idade, e os anos de serviço dos professores,

encontrava-se situado entre 1 a 25 anos de serviço.

Foi ainda feita uma análise documental, tanto do programa e manual da escola quanto de

documentos do Ministério da educação relativamente à realidade do ensino da Matemática no

sistema educativo angolano.

Diante de vários instrumentos de pesquisa optou-se por um questionário fechado para os

alunos constituído por três itens relevantes, idade e género e a série que estudaram, seguido de 10

perguntas fechadas sobre o objeto de estudo o qual pretende-se investigar. De acordo com

Chizzotti (1991):

“O questionário consiste em um conjunto de questões sistemáticas e

sequencialmente dispostas em itens que constitui o tema da pesquisa, com

o objetivo de suscitar dos estudantes respostas por escrito sobre o assunto

que os informamos saibam opinar ou informar. É uma interlocução

planeada.” (p.55).

Compete à escola melhorar a comunicação mediante aos aspetos de transmissão e da

receção dos elementos indispensáveis na relação do comportamento humano.

O estudo foi realizado com 83 alunos entre rapazes e raparigas do Curso de Contabilidade

geral da escola do 2º ciclo do ensino secundário. A sua seleção foi realizada de acordo com a faixa

etária, género e a classe onde estavam inseridos. A investigadora teve o cuidado de apresentar um

plano de tarefas a realizar com os grupos durante a atividade investigativa, (Anexo I). A faixa

etária dos alunos situou-se entre os 15 e os 21 anos de idade.

Sete Professores que lecionam a disciplina de Matemática foram submetidos a um

inquérito por questionário (Anexo III). O Professor da disciplina de Plano Tecnológico (PT) do

curso de contabilidade, também contribuiu na recolha de dados, observando duas aulas, tendo

posteriormente anuído em particular, num inquérito por entrevista, (Anexo IV)

53

3.2 - Técnicas de Investigação

Em qualquer investigação de carácter descritivo, torna-se fundamental obter informação a

partir de diversas fontes, permitindo assim abordar as questões de várias perspetivas. Além disso,

informações utilizadas em simultâneo têm a vantagem de se poderem complementar. Na

perspetiva de Lessard, Goyette e Boutin (1990) existem três formas de recolha de dados, que

aplicamos no decorrer da nossa investigação:

O inquérito que pode tomar duas formas distintas, a entrevista, se considerarmos a forma

oral, e o questionário, se considerarmos a forma escrita;

A observação das aulas;

A análise documental das produções realizadas pelos alunos, (Anexo X).

No presente estudo utilizamos o questionário, a entrevista, a observação das aulas e análise

documental.

Procedemos ainda à realização de duas aulas “extraescolares”, para a resolução de tarefas

preparatórias, o que resultou num maior aproveitamento de tempo para a investigação.

Estas aulas tiveram uma duração de 90 minutos cada. Nestas aulas extraescolares assumiu-

se o propósito de clarificar e detalhar com profundidade a unidade temática a trabalhar. As

mesmas foram dirigidas, os alunos mais interessados na disciplina de Matemática e os alunos com

maior dificuldade no domínio dos conteúdos matemáticos. Como o tema “ funções e gráficos”,

costuma ser acompanhado de várias dificuldades apresentadas por parte dos alunos, estes não

hesitaram em participar, pois estas aulas revelaram-se fundamentais, sobretudo os subgrupos que

apresentaram dificuldades na recolha de material informático por razões de tempo.

3.2.1 – Inquérito por Questionário

No que se refere aos questionários, foram aplicados momentos distintos – no início e no

final da experiência. O questionário inicial (Anexo IV) permitiu ter informações acerca do ponto

de partida dos participantes do estudo. O primeiro questionário, designado de questionário inicial,

tem cinco itens, sendo os cinco de múltipla escolha.

Os questionários foram avaliados por um supervisor/pedagogo do ensino secundário que

trabalhou em várias áreas do setor educativo e na formação de técnicos profissionais e ao

54

professor da turma, a quem foi pedido para analisar o “grau de dificuldade” que os mesmos

apresentavam. Os comentários/sugestões desse “avaliador” foram tidos em conta na versão final

dos questionários.

O segundo questionário, designado de questionário final (Anexo V), tem questões em que

o aluno não precisava fundamentar a sua resposta. Em termos das perguntas formuladas, esse

instrumento procurou destacar, em linhas gerais, o impacto da utilização das ferramentas

informáticas na aprendizagem dos alunos, particularmente a nível da aprendizagem da

Matemática.

3.2.2 – Entrevistas estruturadas e Conversas Informais

Durante o desenvolvimento do projeto, na recolha de dados com os alunos do 2º ciclo de

ensino secundário, sentimos a necessidade de ouvir algumas dos professores envolvidos, pelo que

procedemos a conversas de carater informal que contribuíram também para a recolha de dados.

O questionário foi elaborado apenas para os professores de matemática, com perguntas

abertas para saber o grau de importância, dentro do conteúdo de funções, dos seguintes aspetos:

identificação da lei de formação ou de correspondência de uma função, identificação do seu

gráfico, identificação das características de crescimento e decrescimento da função.

Todos esses aspetos em relação às quatro funções: afim, quadrática, exponencial e

logarítmica, identificando como: N = Nenhuma importância, P = Pouco importante, I = Importante e M

= Muito importante. Relativamente às entrevistas, foram concedidas ao professor de Matemática da

turma e o professor da disciplina de PT, (Anexo II e VI), finalmente, a conversa informal

assumiu-se como semiestruturada.

De fato, algumas questões foram surgindo a partir das respostas às perguntas constantes

dos respetivos enunciados. Encontra-se o guião da primeira e as respostas dadas pelos professores

respetivamente, no anexo II. Em conversa informal e questionado sobre o trabalho em grupo, o

Professor da turma afirmou que isto não fazia parte do quotidiano da sala de aula e que só

pontualmente é que os alunos realizavam alguma actividade em grupo (Anexo VI).

55

3.2.3 – Documentos Analisados

No final de cada aula procedemos a recolha de todo as produções desenvolvidas pelos

alunos para a resolução das tarefas propostas durante a investigação. Os documentos realizados

em suporte de papel permaneceram na sua maior parte com os alunos. Retiramos apenas uns

exemplares para análise num total de 17 registos. As tarefas realizadas na tela do Software

Geogebra, foram armazenados no suporte informático, para posteriores observações, porque o

tempo não permitiu observar todos os resultados atingidos pelos alunos durante as aulas.

Também se aplicaram fichas de trabalho aos alunos e foram ainda recolhidas outras

produções resultantes de atividades desenvolvidas no computador como forma de evidenciar a

aprendizagem dos alunos relativamente aos conteúdos desenvolvidos nas aulas (Anexo IX).

3.3 - Avaliação do Ensino em Angola

Angola seguiu a metodologia pedagógico sócio - construtivista para trabalhos com os

alunos do 2º ciclo de ensino secundário. Isto é, em linhas gerais, o método de ensino que inspira-

se no construtivismo, e tem como base que aprender (bem como ensinar) significa construir novo

conhecimento, descobrir nova forma para significar algo, baseado em experiências e

conhecimentos existentes. O pensar produz conhecimento, e a ação que produz conhecimento é a

ação de resolver problemas. Assim, é necessário possibilitar que a inteligência de quem aprende

aja sobre o que se quer explicar”. Aprende-se constantemente, psicólogos (Piaget e Vygotsky,

1982). O Ensino Médio em Angola tem sua proposta pedagógica alicerçada no ensino de

qualidade e formação integral. Os componentes curriculares estão articulados de forma que, com

estratégias adequadas à faixa etária, o aluno possa desenvolver sua formação acadêmica de

maneira consistente, propiciando-lhe condições de acompanhar com tranquilidade os estudos do

ensino superior.

Como segue Stuffebeam, (1998), avaliar significa aqui “examinar o grau de adequação

entre um conjunto de informações e um conjunto de critérios adequados ao objetivo visado tendo

em vista uma tomada de decisão” (Ketele cit. por Martins; Alves, M., et al, 1992). As modalidades

de avaliação que se vão considerar no estudo são: a diagnóstica, a formativa e sumativa.

As técnicas e instrumentos de avaliação são classificadas de diversas formas. Em geral, as

classificações são elaboradas de acordo com a forma de recolha dos dados, as técnicas subjetivas e

56

objetivas. Portanto, além das aulas oferecidas em sua matriz curricular, as escolas do 2º ciclo de

ensino secundário em Angola proporcionam atividades extracurriculares com o objetivo de

aprofundar o conhecimento de seu aluno, levando-o a uma busca constante pelo saber e a

necessidade de se dedicar, cada vez mais, a organizar sua rotina escolar no intuito de conseguir

fazer do estudo uma rotina em sua caminhada escolar.

Gadotti, (1984, citado por Fernandes, 2005), indica que a “ avaliação é inerente e

imprescindível, durante todo processo educativo que se realize em constante trabalho de ação-

reflexão, porque educar é fazer ato de sujeito, é problematizar o mundo em que vivemos para

superar as contradições, comprometendo-se com esse mundo para recriá-lo constantemente”

(p.90)

De acordo com Luckesi (2002), o processo avaliativo está relacionado ao contexto mundial

educacional da época: "(...) não se dá nem se dará num vazio conceitual, mas sim dimensionada

por um modelo teórico de mundo e, consequentemente de educação, que possa ser traduzido em

prática pedagógica" (p. 28). Assim, avaliação, para estar a serviço da qualidade educacional, deve

entre outros, cumprir o seu papel de promoção do ensino.

Como forma de resgatar conteúdos, os alunos que apresentam dificuldades em Matemática

e outras disciplinas, são convidados pela orientação educacional a frequentarem, periodicamente,

aulas de apoio nestas disciplinas que são essenciais em seu processo educativo e mais um

mecanismo de colaboração para a aprendizagem.

3. 4 - Exploração do Software Educativo Geogebra

Na barra de ferramentas encontramos divisão em grupos, onde cada opção de seleção

contém elementos relacionados ao tipo de instrumento de estudo. Por exemplo, quando o

individuo estiver a trabalhar com pontos, todas as opções disponíveis para “novo ponto” estarão

no mesmo botão, sendo acessadas apenas por um clique em uma flecha do lado inferior direito da

ferramenta, como mostra a Fig:7

57

Fig7: Opções disponíveis no botão “novo Ponto” Fonte: site www.geogebra.com

No campo de visualização algébrica os estudantes visualizam fórmulas, funções, valores

das coordenadas, encontram qualquer item relacionado coma álgebra, na área de visualização

gráfica são “desenhadas” todas as soluções referentes à álgebra (gráficos, circunferências, elipses,

parábolas, triângulos).

Ainda temos a zona de entrada de comandos, espaço disponível para que o aluno insira as

equações, variáveis dependentes e independentes, funções, valores das variáveis, coordenadas ou

qualquer dado que “abasteça” o programa. Ao clicar neste local, uma opção estará disponível para

que o aluno possa utilizar símbolos para representar algum tipo de variável, veremos na Fig7

No Software Geogebra existe uma janela que não é visualizada automaticamente ao iniciar

o Software, ela deve ser ativada manualmente. O estudante pode acessá-la de duas maneiras:

Clicar em menu: Exibir → janela; ou ir em botões de atalho e clicar: Ctrl + shift + s. Este recurso

pode ser utilizado para criação de tabelas e pontos, cálculos diversos, análises estatísticas, criação

de matrizes e outros mais.

Para completar diversas e variadas localizações, podemos usar o botão de ajuda, que está

localizada na parte inferior direita, este botão disponibiliza todos os comandos de entrada

algébrica.

58

Ao selecionar a opção desejada o estudante visualiza na parte inferior direita como tal

comando deve ser escrito na barra de entrada, como mostra a Fig7.1:

Fig7.1: Opção do Botão de Ajuda. Fonte Wikipédia

Dentro desta mesma janela existe uma caixa de visualização com os seguintes botões:

Colar - transfere o comando selecionado para a barra de entrada;

Exibir ajuda Online - abre automaticamente o navegador e caso o computador tenha acesso

à web, leva o estudante até a página de ajuda para o comando solicitado no aplicativo do

programa Geogebra®. Inicialmente a página é apresentada em inglês, mas o estudante

pode alterar para outro idioma.

Atualizar - apaga todos os comandos da caixa de visualização, se clicar novamente no

botão de ajuda, a janela se fechará. A interface do utilizador do geogebra pode ser

personalizada usando o menu exibir. Por exemplo, podemos esconder diferentes partes da

interface (e.g., zona algébrica, folha de cálculo, barra de comandos) desmarcando o

correspondente item no menu exibir. Podemos exibir ou esconder objetos na zona gráfica

de várias maneiras:

Podemos usar a ferramenta“ Exibir/esconder objetos”, para exibir ou esconder objeto,

Abrimos o menu de contexto e selecionamos o item exibir objeto para alterar o estado de

visibilidade do objeto selecionado,

59

Na zona algébrica, o ícone á esquerda de cada objeto mostra o seu estado de visibilidade

corrente (´visível ou invisível´).

O de clicar diretamente no pequeno ícone para alterar o estado de visibilidade do respetivo

objeto; Podemos usar ferramenta (´ampliar e reduzir´) na zona gráfica;

Podemos usar atalhos de teclado para ampliar (Ctrl +) e para reduzir (Ctrl -);

Depois de clicar com o botão direito do rato (MacOS: Ctrl- clique) num local vazio da

zona gráfica, aparece o menu de contexto que nos permite fazer ´Zoom;

Podemos especificar um retângulo clicando no botão direito do rato (MacOS:Cmd - clique)

num local vazio da zona gráfica e arrastando o rato para o canto oposto do desejado retângulo.

Liberta o botão do rato para terminar o retângulo o qual se ajustará automaticamente para

preencher todo o espaço na zona gráfica. O diálogo de propriedades da zona gráfica é diferente do

diálogo de propriedades dos objetos. Personalizar a barra de ferramentas. A barra de ferramentas

pode ser personalizada selecionando ‘Personalizar a barra de ferramentas’ no menu ferramentas.

O avanço do desenvolvimento tecnológico no mundo cresce de forma exponencial, todos

nós estamos vivendo numa era onde as máquinas estão presentes no nosso cotidiano, (…), novas

tecnologias da informação e comunicação (TIC) com o ensino de Matemática, utilizando o

Software Educativo Geogebra.

Uma teoria de Ausubel (1983), conhecida por teoria da aprendizagem significativa, esta

teoria parte do princípio que cada indivíduo traz consigo um conhecimento prévio sobre

determinados assuntos acumulados em sua estrutura cognitiva, é fato que os educandos

contemporâneos dominam o uso do computador e fazem em sua rotina, então estes conhecimentos

prévios sobre o computador deverão receber novos conteúdos que, por sua vez, poderão modificar

e dar outras significações àquelas pré-existentes.

Como o próprio autor define “o fator mais importante que influi na aprendizagem é aquilo

que o aluno já sabe. Isto deve ser averiguado e o ensino deve depender desses dados” (Ausubel,

Novak e Hanesian, 1983). Isso é lógico, que transcende os conhecimentos apenas sobre o

computador, envolvendo a partir de então os conteúdos a serem trabalhados no Geogebra.

60

Os parâmetros curriculares nacional do ensino fundamental e médio (PCN´s, 1999), citado

na Dissertação (Mestrado) – UFPB-CE, Mestre em Educação, sob orientação do Prof. Dr. Romero

Tavares da Silva 2/2009 S676a Soares, Luís Havelange, demandam cursos de formação continuada

aos professores formados e atuantes para suprir estas necessidades citadas nas premissas. É

preciso, trazer aperfeiçoamentos nesta nova tendência educacional aos professores para que não se

torne mais um modismo como muitos outros foram. (Carneiros, 1998)

Existe um recurso, o GeoGebra Pre-Release, que consiste num programa que propicia o

acesso via internet (www.geogebra.org/cms/) e que permite que o utilizador (aluno ou professor)

usufruir do software GeoGebra sem que tenha necessariamente de instalá-lo no seu computador,

ou seja, o utilizador pode estar na escola, em casa, ou em qualquer sítio, desde que tenha acesso à

internet e o Java instalado no computador pode trabalhar com o GeoGebra.

Wiki (www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Main_Page). Neste site há uma variedade de

materiais educativos construídos através do GeoGebra e que estão disponíveis para quem os quiser

utilizar. A maioria dos materiais está em inglês, mas existe uma secção que está em português.

Selecione a ferramenta ou a caixa de ferramentas que pretende remover da barra de ferramentas,

na lista do lado esquerdo da janela de diálogo que aparece, e clique no botão Remover. Pode

restaurar a barra de ferramentas padrão clicando no botão ‘Restaurar a barra de ferramentas

padrão’ que está situado no canto inferior esquerdo da janela de diálogo

61

3.5 – Planificação da unidade temática – Aulas investigativas

A planificação da unidade didática foi antecedia por um trabalho da investigação no

sentido de preparar o professor para a realização das aulas num contexto descritivo ou seja um

estudo transversal. Isto significou disponibilizar informações teóricas sobre as tecnologias digitais

e instalar nos computadores existentes da escola e no computador do professor da turma

disponibilizada, o Software educativo Geogebra, que se explorou no que respeita às suas

principais funcionalidades. Com base neste trabalho e com ajuda do professor de matemática

estruturamos o plano da unidade temática para desenvolvimento da investigação, como consta na

Tabela2.

Aula Data Duração Conteúdos

1ª

2ª

20/10/14

22/10/14

45 Min

45 Min

Definições elementares - Funções reais de variável real.

Pré-requisitos: Funções reais de variável real;

Noção de função; Propriedades das funções; Representação gráfica

Função injetiva.

3ª e 4ª 24/10/14 90 Min Função afim. Representação gráfica da lei de uma função do 1º

grau, através da construção de tabelas. Plano cartesiano Exercícios

5ª 27/10/14 45 Min Operações com funções. Função par e função impar.

Proporcionalidade na função linear. Exercicíos sobre gráficos

6ª e 7ª 28/10/14 90 Min Funções quadráticas – Introdução. Família de funções quadráticas:

Funções reais de variável real.

8ª e 9ª 29/10/15 90 Min Software Educativo - Geogebra e sua aplicabilidade.

Construção de figuras geométricas a partir do Software Geogebra

10ª e 11ª 30/10/14 90 Min Continuação - Software educativo Geogebra. Representação gráfica

das funções quadráticas a partir do Geogebra Exercícios sobre

funções e gráficos. Ângulos

Tabela 2 – Planificação da unidade temática – investigação, elaborada pela investigadora.

62

3.5.1 - Apresentamos a tabela 3 referente as fichas de atividades realizadas para a

conclusão da investigação, com os pontos seguintes: Visualizar os gráficos das funções definidas

por expressões do tipo f(x) = ax ; O referencial é constituído por dois eixos, perpendiculares entre

si, que se cruzam num ponto - origem do referencial; Analisar uma função do 1º grau com

Software Geogebra; Analisar uma função do 2º grau no Software Geogebra

Tabela: 3 – Registo das Ficha das atividades propostas para a investigação

Atividades

1ª

Ficha

1. Visualiza os gráficos das funções definidas por expressões do tipo f(x) = ax,

começando por atribuir a diferentes valores positivos. Compara os gráficos obtidos e

regista as tuas conclusões.

2. Faz agora um estudo semelhante, atribuindo a valores negativos. O que podes

concluir?

3. Nas alíneas anteriores estiveste a estudar funções definidas por expressões do tipo f

(x) = ax.

Faz um estudo semelhante para funções definidas por expressões do tipo f(x) = 2x + b,

tomando para b vários valores por ti escolhidos; O que acontece?

4. Analisa o que acontece aos gráficos de funções definidas por expressões do tipo f(x)

ax + 2 , se atribuíres diferentes valores a. Regista as tuas conclusões. Fim

2ª

Ficha

1. O seguinte referencial é constituído por dois eixos, perpendiculares entre si, que se

cruzam num ponto - origem do referencial. Cada um desses eixos tem uma orientação

indicada por uma seta e uma graduação, como podes observar na figura seguinte:

1.1 Imagina que te encontras na origem do referencial. Descreve como te deslocas para

os pontos E e F, efetuando o número mínimo de deslocamentos na horizontal e/ou na

vertical.

1.2 Escreve as coordenadas dos pontos B, C, D, E e F.

1.3 Observa as coordenadas dos pontos assinalados no referencial da figura e indica:

1.3.1. Todos os pontos que têm a mesma ordenada;

1.3.2. Todos os pontos que têm a mesma abcissa. Fim

63

3ª

Ficha

1. Analisando uma função do 1º grau no Software Geogebra.

1.1 - Construa o gráfico da função f(x) = ax + b no campo de entrada. Com base nessa

construção:

a) Insira dois seletores a e b.

b) Movimente os seletores e observe o aspeto da reta.

c) Faça uma análise das principais modificações em função da movimentação dos

valores a e b (positivos, negativos e iguais a zero).

d) Em que circunstâncias a reta f fica paralela ao eixo -x?

2 - Utilizando o geogebra, construa o gráfico das seguintes funções e classifique-as em

crescente ou decrescente:

a) y = 5x2 - 8

b) y = -2 x + 2

c) y = -3 – x

d) y = 9 + 3x

e) y = -3x2. Fim

4ª

Ficha

1 - Analisando uma função do 2º grau no Software Geogebra.

1.1 - Construa o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c no campo de entrada. Com base

nessa construção:

Insira três seletores a, b e c.

Movimenta os seletores e observe o aspeto da parábola.

Faça uma análise das principais modificações em função da movimentação dos valores

a, b e c (positivos, negativos e iguais a zero).

2 - Construa o gráfico da função g(x) = x2 - 4. Com base nessa construção:

a) Quais são as raízes da função?

b) Onde o gráfico da função intersecta o eixo -y?

c) Em qual intervalo a função é positiva?

d) Em qual intervalo a função é negativa? Fim

Registo das Ficha das atividades propostas para a investigação14

14 Os exercícios das fichas de atividades são uma adaptação dos materiais de apoio: Ministério de Educação/DGIDC -

Sequências e Funções NPMEB e do manual da reforma educativa do ME, 2007- Angola

64

CAPITULO 4 – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

4 - Apresentação dos Resultados

Importa aqui destacar neste capítulo, os dados obtidos referentes à investigação realizada

no ano letivo 2013/2014 com os alunos da 10ª classe do curso de contabilidade geral da escola nº

2036 do 2º ciclo de ensino secundário, Luanda. A recolha de dados numa escola requer diversos

preparativos: o primeiro é informar a direção da escola relativamente à intenção de realizar o

estudo, explicar o seu objetivo e solicitar autorização para o executar, o segundo é pedir

autorização aos encarregados de educação dos alunos, explicando também as intenções e os

objetivos do estudo. Prosseguimos do mesmo modo todos os requisitos necessários para a

realização da investigação na escola de ensino secundário nº 2036, (Anexo XX). Na fase seguinte,

solicitou-se ao responsável pela área de informática que instalasse o Software Geogebra para as

aulas de investigação.

A recolha de dados iniciou a 20 de Outubro de 2013 no período manhã, na escola do 2º

ciclo do ensino secundário município de belas em Luanda, capital de Angola. A aplicação das

atividades deu-se em sala de aulas de forma natural, onde buscamos obter com fidedignidade as

respostas obtidas pelos alunos selecionados.

Para a investigação apresentamos dois grupos: Grupo A e Grupo B, a recolha de dados na

unidade temática de funções e gráficos de uma função de acordo com o programa de Matemática

da 10ª classe de escolaridade da reforma do ensino técnico profissional (RETEP, 2000), do

terceiro trimestre do ano letivo 2013/2014, realizado em duas etapas, que coincidiu com a

dossificação do programa escolar do ensino secundário, das aulas teóricas e práticas do curso de

contabilidade geral como se refere na tabela 3

O grupo A realizou as atividades na primeira etapa e grupo B na segunda etapa, todos no

mesmo local mas em horários diferentes, Grupo A era formado por 45 alunos entre rapazes e

raparigas, enquanto o Grupo B continha 38 alunos. Ambos totalizaram 83 alunos e as idades

compreendidas entre 15 e 21 anos de idade. Os grupos foram subdivididos: Grupo A 9

subgrupos; Grupo B 8 subgrupos

65

A sequência didáctica15

para a investigação foi composta por 11 atividades, mais duas

aulas preparatórias para a atividades investigativa, sendo umas delas adaptadas de situações

elaboradas por Barufi e Lauro (2000). Antes de começarmos as etapas da exploração educativa

com o Software, foram realizadas duas aulas preparatórias para que pudéssemos aplicar as

atividades para a investigação e após apresentação da ferramenta educativa conseguimos testar os

conhecimentos prévios dos grupos que serviu para a conclusão da investigação e tivemos o

cuidado:

Fazer um diagnóstico de cada grupo de forma a determinar previamente as semelhanças e

diferenças entre elas, em termos de variáveis externas (idade, género, nível social, e

formação)

Fazer um resumo das atividades realizadas com as fichas de trabalho, aos grupos A e B de

forma a determinar previamente as semelhanças e diferenças entre elas, nomeadamente em

termos de conhecimentos prévios sobre função e gráficos e como o Software Geogebra

contribui para aprendizagem da geometria dinâmica.15

4.1 – Análise dos Resultados

4.1.1 - Atitudes dos alunos com as fichas de atividades

Na fase preparatória, reparamos que os alunos nunca tiveram contato com o Software

Geogebra e reparamos também o entusiasmo, pelo fato de ouvirem falar das ferramentas

educativa, enquanto transportávamos os computadores para a sala onde decorreram as aulas

investigativas.

Ao longo das aulas observamos a performance dos alunos, como ponto de partida

anotamos numa grelha de avaliação parâmetros relativos às atitudes dos resultados das atividades

de Matemática. Como forma de consolidar este estudo, foi colocado como trabalho individual,

exercício (do manual) que envolviam todos os conceitos estudados, já com a ferramenta educativa

apresentada. (Anexo A). Foi notório o empenho dos alunos, visto que quase todos fizeram o

15

Estas sequências didácticas têm como objetivo proporcionar aos alunos e professores uma outra visão da

representação gráfica das funções afim e quadráticas, usando o Software Educativo Geogebra, a fim de perceber que

modificações na escrita algébrica acarretam modificações na representação gráfica e vice-versa, e perceber que a

partir da representação gráfica, é possível identificar os pares ordenados, construindo vértice da parábola, os zeros,

máximo e os mínimos.

66

trabalho, e alguns disseram que ao resolver o trabalho, não tiveram muitos constrangimentos

porque usaram os computadores para resolverem os exercícios de tarefa. Numa das respostas do

problema os alunos tinham de argumentar a cerca do gráfico apresentado

Um aluno do grupo A, que nunca manuseou os computadores porque no ano anterior não

os obrigava nem era do seu conhecimento, ficou motivado ao ver como se processava o traçado de

gráficos e as figuras geométricas através do aplicativo que tinha sido instalado num dos

computadores da escola e ele apreciou tudo e disse que doravante iria pesquisar mais.

Uma aluna chegou a afirmar: “ quando tivesse alguma dúvida acessava o site do Geogebra

para experimentar”. Foi bom ter ouvido falar desse recurso aplicativo que é o Software Geogebra,

isto significa que os alunos tentaram obter informação e conhecimento por eles próprios. Alguns

trabalhos foram realizados pelos alunos após conhecerem o aplicativo Geogebra, em aulas

práticas. Apresentamos um vídeo cerca de oito minutos que ilustrou o quanto esse Software tem

muitas vantagens na elaboração de figuras e construção de gráficos:

https://www.youtube.com/watch?v=FIfks4pB4JU

Os principais instrumentos utilizados na recolha de dados foram a observação das aulas, os

questionários, as produções escritas dos alunos como trabalhos de exercícios de fixação,

entrevista, conversa informal.

A intervenção teve 11 seções em aulas práticas com tempos letivos de 45 minutos cada, os

alunos divididos em dois grupos: Grupo A e Grupo B, a atividade de investigação foi no

laboratório e numa sala de aulas específica, foi num ambiente de ensino predominantemente

exploratório onde propusemos um conjunto de tarefas formuladas em contextos puramente

matemáticos. Com 17 registos de trabalho concluímos com os objetivos da investigação.

Recordamos que o presente estudo tem como principal objetos demonstrar como os alunos

do 2º ciclo do ensino secundário podem resolver problemas de funções afins e quadráticas com

ajuda do Software Educativo Geogebra.

Os resultados das fichas de trabalho dos alunos constituíram a nossa amostra principal,

base de análise de nossa investigação. Tendo em conta o objetivo da nossa investigação,

procedemos à descrição de resultados das fichas de atividades realizados ao longo das 11 seções,

incluindo duas aulas preparatórias.

67

4.1.2 - Fichas de trabalho – Aulas preparatórias

As fichas de trabalho facultadas aos alunos serviram para a resolução dos exercícios sobre

funções e gráficos através das suas expressões algébricas. Estas expressões algébricas refletirão

alterações dos coeficientes, de modo que os alunos, ao visualizarem os respetivos gráficos,

começassem a associar cada gráfico com a simulação e as consequências. Com a finalidade de

complementar a proposta de investigação, consideramos interessante incluir outros exemplos no

qual foram ministrados um espaço quadriculado para a construção do gráfico sem o uso do

Geogebra (Anexo A).

Em suma, observamos que o uso do papel quadriculado melhorou o rigor do desenho e

poupou tempo e teve um impacto positivo na construção dos gráficos. No diagnóstico feito pelo

professor Matemática, (2014),“ a persuasão que tive é que o papel quadriculado facilitou o

trabalho dos alunos”. Questionado sobre a influência do papel quadriculado na construção dos

gráficos, os alunos do grupo A subgrupo1, identificaram de imediato os pontos no referencial,

(Anexo B).

As observações realizadas estiveram na base de recolha de dados no horário da manhã,

num clima descontraído e serviram também para futuras propostas para as melhorias do sistema de

ensino-aprendizagem e na revisão dos documentos do enquadramento dos programas de reforma

educativa em Angola.

4.1.3 - Ficha de trabalho – Tarefa de preparação da investigação

Quanto maior for o valor de a maior será o declive da reta. Quanto menor for o valor de a

menor será o declive da reta. Um a igual a zero significa que o declive é nulo. Os alunos deverão

obter gráficos de funções semelhantes aos da figura:8

68

Fig: 8 – Construção das funções: y = ax

Espera-se ainda que os alunos compreendam que o sinal de a está relacionado com o crescimento

e decrescimento da função. Perante o sinal de a podemos considerar três situações distintas: Se a

> 0, o declive é positivo e a função é crescente; Se a = 0, o declive é nulo e a função é constante;

Se a < 0, o declive é negativo e a função é decrescente.

Na questão 1 os alunos deverão obter gráficos de funções semelhantes aos da fig8.1:

Fig: 8.1 – Construção das funções: y = ax

Na questão 2 espera-se que os alunos compreendam que o parâmetro b é a ordenada do ponto de

interseção da reta com o eixo das ordenadas. À medida que b aumenta, o valor da ordenada na

origem aumenta e reciprocamente. Os alunos deverão obter gráficos de funções semelhantes aos

da fig8.2

69

Fig: 8.2 – Construção das funções: y = ax + b

Na questão 3 os alunos deverão compreender que quando o declive é nulo, ou seja, o valor de a é

zero, a função é constante. É o caso da função y = 1, obtida pela substituição de x por zero na

expressão y = 2x + 2

Os alunos deverão obter gráficos de funções semelhantes aos da figura seguinte:

Fig: 8.3 – Construção das funções: y = ax

3. Discussão da tarefa e conclusão final (20 minutos). Em conjunto com os alunos o professor

deve ir selecionando as sugestões e escrevendo no quadro as conclusões em cada alínea (ver ponto

anterior).

4. Final da aula (10 minutos). - Os alunos serão reconduzidos à sala de aula. Avaliação dos alunos

- Observação direta (atitudes reveladas, por exemplo, participação e formas de relacionamento).

- Produções que decorram da realização das tarefas realizadas na aula.

70

4.1.4 – Fichas de trabalho dos alunos - Software Educativo Geogebra

Elaboramos quatro fichas de trabalho (Anexo IX) com auxílio do Software Geogebra.

Todas as fichas foram analisadas e avaliadas na área pedagógica da escola. Para a elaboração das

fichas, tentamos colocar questões para que os alunos visualizassem, transformassem e

generalizassem alguns conceitos matemáticos de forma que conseguissem construir o seu próprio

conhecimento. Foram trabalhados conceitos de funções com o Geogebra.

As atividades práticas continham os exercícios de funções realizados pelos alunos para uso

na tela do Software Geogebra sem ajuda do professor.

Grupo A - Apresentamos na 1ª etapa a construção de um gráfico da função f(x) = ax2 + bx +

c, função do 2º grau na tela do Software Geogebra, no campo de entrada e os alunos , com base na

construção inseriram: três seletores a, b e c; movimentaram os seletores e observaram o aspeto da

parábola. O Grupo A divididos por 9 subgrupos apresentaram as principais modificações em

função da movimentação dos valores a, b e c (positivos, negativos e iguais a zero).

Com uma amostra de 9 alunos, o Grupo A mostrou suas competências na resolução de

exercício exposto Fig8.4, com o Software Educativo sem ajuda do professor, apresentaram as

soluções e trabalharam de forma ordenada. O trabalho foi realizado na tela do computador com

aplicativo Geogebra. (Anexo VIII)

Fig 8.4: construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, a partir da tela- grupo A- subgrupo1

71

Verificados os trabalhos de cada subgrupo, apresentação das atividades, o subgrupo1 de forma

resumida explicou o que observaram no decorrer da construção, “não tivemos problemas em

localizar o ficheiro que estava instalado o Software Geogebra”, colocaram a função no campo de

entrada, apareceu uma caixa que ao clicar “criar seletores” apareceu a parábola da função e os

seletores a, b, e c. De seguida exploraram a ferramenta e repararam na facilidade de construção de

outras figuras geométricas e gráficos.

Na mesma tela como indica o exercício, anexo VIII da ficha de trabalho, os subgrupos

apresentaram as tarefas na tela: construiu a função g(x) = x2 – 4; O subgrupo1 apresentou a função:

f(x) = 1,5x2 + 1,3 y.

O exercício pede: Analisando uma função do 2º grau no Software Geogebra.

Fig 8.5: construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, a partir da tela- grupo A – subgrupo2

O Grupo A formado por 9 subgrupos, como podemos constatar, não tiveram dificuldades

em construir os gráficos das funções, e pela técnica exercida no processo de aprendizagem de

seleção encontraram maneira de todos sugerirem cada passo dado com base nos fascículos

atribuídos no decorrer das atividades. Verificamos os resultados sobre o assunto, como Gauto

(2012) e Bolejo (2009) referem, pois observamos que estão de acordo em comparação aos

resultados da nossa pesquisa, mostrando que os alunos encontram dificuldades em relação a forma

algébrica de uma função com a sua forma gráfica.

72

Fig 8.6: construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, a partir da tela - grupo B – subgrupo1

O grupo B formado por 8 subgrupos, também não teve dificuldades em construir o gráfico da

função a partir da tela do computador e conseguiram explorar melhor a ferramenta apresentando o

resultado da parábola diferente e colorida, observaram os movimentos da parábola, que na medida

que apresentaram as caraterísticas da parábola

Fig 8.7 Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A subgrupo 3

O grupo A apresentou 9 amostras de diferentes resultados, e os alunos tiveram tempo para

resolverem as atividades, usando o computador e todos participaram das tarefas no laboratório de

informática, sendo cada aluno do seu subgrupo registar a sua presença.

73

Fig8.8: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A- subgrupo 6

Fig 8.9: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A- subgrupo 3

Nas fichas de trabalho onde os grupos A e B participaram para a preparação das atividades

da investigação conseguiram responder as seguintes perguntas de dois questionários:

74

Grupo A: Respostas às perguntas do 1º questionário

Fig 8.10: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 1

O Grupo A e com ajuda do professor aprenderam que, toda função f: R R na forma f(x)

= ax , com a ≠ 0 é denominada função afim. E em casos particular em que o termo independente

de x e igual a zero, isto é, quando b = 0, denomina-se função linear. Esta atitude revelou

tranquilidade aos alunos em recorrer às potencialidades do Geogebra, pois compreenderam a

expressão, tanto na forma canónica como fatorizando. Esta situação ficou esclarecida a todos

alunos do GA ao longo de várias aulas, apesar de não seguirem um padrão completamente na

resolução dos pares ordenados, tiveram dificuldades em calcular números negativos para o valor x.

Fig 8.11: aulas práticas realizadas pelos alunos - subgrupo 1 Grupo A

Tendo obtido a visualização dos pares ordenados, os alunos na consolidação do exercício e

no quadro, conseguiram representar graficamente a função, como lhes foi orientado pelo

professor, o mesmo sucedeu com o exercício da fig8.12, os alunos do GA-sub4, ao localizarem os

pontos no quadrante, conseguiram diferenciar em que quadrante se encontra cada ponto,

apresentaram o par ordenado correspondente A (- 6, 4), o que criou um debate entre colegas do

mesmo grupo.

75

Fig:8.12 - Ficha de atividade- de trabalho grupo A sub4

O Grupo A - subgrupo 1 apresentou o seu trabalho argumentando que o gráfico da função

linear passa pela origem do plano cartesiano (0,0) Ambas intersectam o eixo das abcissas

exatamente no ponto (0, 0). Isto ocorre pois o seu coeficiente linear, b, é igual a zero. É o valor do

coeficiente b que determina a ordenada (y) do ponto com abcissa (x) igual a zero.

Fig 8.13: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 1,

76

O Grupo A – subgrupo 2 – Responderam sem constrangimentos as questões da ficha de

trabalho. O exercício foi realizado sem o auxílio educativo mas o professor participou na solução

de outros pontos que foram menos solicitados.

Fig 8.14: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 2.

Grupo B – O grupo B apresentou 8 amostras de diferentes resultados, e os alunos tiveram

tempo para resolverem as atividades, usando o computador e todos participaram das tarefas no

laboratório de informática, sendo cada aluno do seu subgrupo registar a presença de todos.

Fig 8.15: Ficha de atividades grupo B – subgrupo1

O Grupo B – subgrupo1. Verificamos os resultados sobre o assunto, com algumas

tentativas de erros, como Gauto (2012) e Bolejo (2009) referem, “observamos que estão de acordo

em comparação aos resultados da nossa pesquisa, mostrando que os alunos encontram dificuldades

em relação a forma algébrica de uma função com a sua forma gráfica” (p. 56).

77

Fig 8.16 : Ficha de atividades grupo B – subgrupo 2

Fig 8.17: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 4


78



Os alunos do GB - sub5 responderam acertadamente a pergunta, representada por uma

aluna que teve a oportunidade de desenvolver todo exercício, localizou os pares ordenados,

representados graficamente a função y = 2x + 1 e descreveu as demais características dizendo que

o intervalo infinito é sempre aberto e relembraram os símbolos que haviam aprendido acerca dos

pontos e dos intervalos, Fig8.21

79


Fig8.22 : Ficha de atividades grupo B – subgrupo 2

Fig 8.23: Ficha de atividades grupo A – subgrupo8

Nas questões acima referenciadas os alunos utilizaram o procedimento algébrico para

resolver os exercícios, acreditamos que do mesmo modo que aprenderam conseguiram pôr em

prática.

80

4.1.5 - Questionário inicial dos alunos

Com o questionário inicial pretendeu-se recolher informações acerca de aspetos

relacionados a disposição dos trabalhos em grupo e a perceção dos alunos em relação à forma de

realização dos exercícios de Matemática. Aos alunos foi pedido que respondessem com

sinceridade. Observou-se junto dos mesmos que não existem respostas certas nem erradas e que as

respostas seriam tratadas em total anonimato. Para apreciação e concretização do objetivo de

avaliação e perceção dos alunos foram analisados vários indicadores.

a) Apresentação dos resultados do questionário dos alunos

Os alunos quando questionados sobre a situação de trabalho em grupo ou em alternativa

trabalhado individual, manifestaram uma franca preferência por trabalhar em grupo.

De fato da análise da tabela, verificamos que dos 45 alunos inqueridos pertencentes ao

grupo A, 37 alunos (82,2%) responderam preferir trabalhar em grupo e apenas oito alunos (17,7%)

prefere o trabalho individual.

Perceção em relação ao trabalho de grupo

Gráfico1: Trabalho de grupo versus trabalho individual. Grupo A (n = 45)

37

8

82,20% 17,70% 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Prefere trabalhar em grupo Prefere trabalhar sozinho(a)

Nº de alunos opinião %

81

Relativamente a seleção apresentada 31 alunos responderam trabalhar em grupo (83,7%), e (5,4%)

que corresponde a 2 alunos responderam que trabalham menos.

Gráfico2: Preferência pelo trabalho de grupo (n = 37) Grupo B

Relativamente à seleção apresentada pelos oito alunos que indicaram preferir trabalhar

sozinhos, cinco alunos responderam que têm dificuldades em expor o seu raciocínio (62,5%) e

quatro alunos responderam que concentram-se e raciocinam melhores sozinho; ao mesmo tempo,

quatro deles também indicaram não ter confiança no trabalho dos outros, e por diante encontramos

três alunos que opinam que em grupo os alunos distraem-se uns aos outros (37,5%). (Gráfico 3)

0

5

10

15

20

25

30

35

Grupo B

82

Gráfico 3: Prefere trabalhar sozinho n = 8. Grupo A

b) Respostas recolhidas dos alunos das vantagens – Software Geogebra

Na análise das respostas à questão referente às vantagens da utilização do programa

Geogebra no ensino e aprendizagem da função foi considerada como unidade de análise cada

opinião identificada na resposta de cada aluno.

Assim, foram identificadas 45 unidades de registo, estas foram distribuídas pelas

categorias: Estimula mais a aprendizagem; Percebem melhor a matéria; Facilita a descoberta e a

compreensão dos conceitos; Visualizam-se melhor as definições e propriedades; Consegue-se

fundamentar melhor as respostas.

0

1

2

3

4

5

6

Nº alunos Opinião %

Títu

lo d

o E

ixo

Título do Eixo

Em grupo os alunos distraem-se uns aos outros

Tenho dificuldades em expor o meu raciocínio

Em grupo só um ou dois é que trabalham

Não tenho confiança no trabalho dos outros

Em grupo é difícil chegar a acordos

Concentro-me e raciocínio melhor sozinho(a)

Gosto que o mérito seja só meu

83

Gráfico 4: Vantagens do Geogebra - (n = 45) – Grupo A

Quando se analisa as respostas registadas no gráfico 4, constata-se que 48,3% dos alunos

afirmaram que a utilização do Geogebra estimula mais a aprendizagem, 23,9% dos alunos

demonstraram que facilita a descoberta e a compreensão dos conceitos, 10% dos alunos afirmaram

que perceberam melhor a matéria; 9,4% que é a minoria dos alunos, conseguem fundamentar

melhor as respostas; 8,4% indicaram que visualizam melhor as definições e propriedades.

c) Resultados das desvantagens identificadas dos alunos

As desvantagens identificadas, tendo em conta a Gráfico 4 pelos alunos quando utilizaram

o Geogebra, foram primeiramente, a redução de computadores, sinalizado por 71% dos alunos que

tiveram acesso ao programa, seguidamente 12,8% dos alunos identificaram dificuldades na

adaptação ao programa, 11,3% dos alunos perceberam que o excesso de informação do Software

dificultou na aprendizagem do programa e da adaptação ao mesmo e, por fim, 4,9% apontaram

como dificuldade a antiguidade dos computadores portáteis e da instalação de rede do

estabelecimento.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

Estimula mais a aprendizagem

Percebem melhor a matéria

Facilita a descoberta e a compreensão dos conceitos

84

Desvantagens identificada Opiniões (%)

Redução de computadores por grupos 71%

Adaptação ao programa 12,8%

Excesso de informação do Software não atualizado 11,3%

Antiguidade dos computadores portáteis e de

instalação

4,9%

Tabela 4: Desvantagens do Geogebra verificadas pelos alunos Grupo A (n = 45)

d) Resultados das Aulas de Matemática – Uso do Software Educativo Geogebra

Na análise das respostas à questão ” Destaca as principais características das aulas de

Matemática em que utilizou-se o programa Geogebra”, foi considerado como unidade de análise a

opinião identificada na resposta de cada um dos alunos. Estas foram distribuídas pelas categorias:

a aula é mais descontraída, é mais dinâmica, a aula deveria ser sempre com esse fôlego,

barulhenta, mais confusão. As categorias referidas e a correspondência de percentagem de unidade

de registo são apresentadas seguidamente. Pela análise, podemos constatar que 50% dos alunos

consideram as aulas de matemática mais dinâmica, 9,9% afirmam que torna-se menos monótona e

menos aborrecida, 8% dos alunos consideraram a aula mais descontraída, 7,4% repararam para a

possibilidade de não atrapalhar o tempo disponível. O restante pode verificar no Gráfico5 que se

segue:

85

Gráfico 5: Aula de Matemática com Software Geogebra, Grupo A (n = 45)

e) Facilidade da realização das tarefas

Considerando a globalidade dos aspetos evidenciados relativos à utilização do Software de

geogebra, podemos admitir que a sua utilização no processo de ensino e aprendizagem das funções

é bem aceite pelos alunos, manifestando estes de um modo geral, opiniões favoráveis

relativamente à sua utilização. No mesmo sentido, Lópes (2013) sugere que o Geogebra é uma

ferramenta útil para o desenvolvimento de competências geométricas para todo tipo de alunos,

incluindo os alunos que não têm conhecimento tecnológicos. Na análise do gráfico 5, observa-se

que 96,7% dos alunos asseguraram que a utilização do Geogebra facilitou a realização das tarefas

desenvolvidas nas aulas. Estes consideram que foi mais fácil interpretar os resultados, tirar

conclusões, explicar o processo de resolução e argumentar sobre os resultados obtidos.

Aula descontraída

A aula é mais dinâmica

A aula com fôlego

menos monótona e menos aborrecida

Mais barulhenta

Mais confusão

Sem distúrbios

interação com colegas

Não atrapalhar o tempo

Mais contato

Não concordo

A matemática não garantem futuro

Série1

86

Gráfico 6: Facilidade na realização das tarefas

4.1.6 - Questionário dos Professores de Matemática

Este instrumento de investigação teve por objetivo avaliar junto aos professores de

Matemática, o grau de importância dos seguintes aspetos, dentro do conteúdo de funções:

identificação da lei de formação ou de correspondência de uma função, identificação do seu

gráfico, identificação das características de crescimento e decrescimento da função. Todos esses

aspetos eram de considerar face aos quatro tipos de funções: afim, quadrática, exponencial e

logarítmica. A escala de resposta apresentava as seguintes opções: M = muito importante; I =

Importante; P = Pouco importante e N = Nenhuma importância.

Grau de satisfação Importância das funções M I P N

Ensinar o aluno a identificar a função pelo seu

gráfico

2

29%

5

71%

0 0

Ensinar o aluno a identificar a função pela sua

lei de formação ou correspondência

1

14%

6

86%

0 0

Ensinar o aluno a identificar características de

crescimento e decrescimento de uma função

pela sua lei de correspondência ou lei de

formação

0 3

43%

3

43%

1

14%

1

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

É mais fácil

Não é mais fácil

87

Dada uma função, o aluno ser capaz de

reconhecer sua lei de formação ou de

correspondência.

1

14%

3

43%

3

43%

0

Ensinar o aluno a identificar características de

crescimento e decrescimento de uma função

através do seu gráfico

1

14%

4

56%

2

29%

0

Tabela 5: Questionário dos professores de Matemática (n = 7).

4.1.7 – Entrevista do Professor de Plano Tecnológico

No decorrer das atividades com os alunos e como já foi aqui referido realizou-se uma

entrevista com o professor de Plano tecnológico (PT). A entrevista desenvolvida semiestruturada

focou-se exclusivamente na recolha de informação sobre a experiência vivida pelo professor no

desenvolvimento de uma unidade didática da disciplina que lecionou Plano Tecnológico onde são

utilizadas regularmente ferramentas informáticas. Durante a realização da entrevista a

investigadora verificou que o entrevistado se apresentou mais à vontade quando deparou a

importância da investigação e os conteúdos abordados em relação às ferramentas que utiliza como

meio didático com os seus alunos. Na realização da entrevista começou-se por perguntar “ Que

avaliação faz da utilização do computador no ensino e aprendizagem, isto tendo em conta a

experiência que tem na escola da disciplina de Plano tecnológico que leciona?

Professor da disciplina de PT respondeu: “ No meu ponto de vista foi uma experiência de

capital importância porque Plano Tecnológico da Educação constitui um instrumento essencial

para concretizar o objetivo estratégico de modernização tecnológica e como o Plano Tecnológico

da Educação estrutura-se também em torno de três eixos de intervenção, Tecnologia, Conteúdos e

Formação, daí está a real importância. Eu aprendi muita coisa, não só como professor de plano

tecnológico em si, (…). É hábito, o ensino estar mais centrado no professor, mas com o uso do

computador os alunos podem ter a liberdade de tentar criar, meios de construir aí o professor serve

como orientador e o trabalho fica mais facilitado tanto para o professor como para os alunos”

88

Relativamente a uma outra pergunta, “ Como vê o desempenho dos alunos que integraram

o grupo, isto comparando o seu desempenho durante as aulas normais na sua disciplina?”

Professor de plano tecnológico responde:

“ Tendo em conta essa parte, foi possível ver o entusiamo dos alunos por essas aulas, a

ponto de não verem a hora para recrearem no intervalo, querendo permanecerem na sala de aulas,

pedindo mais exemplos do cotidiano para aplicarem no sistema informático e assim por diante as

aulas sempre com espirito motivador por parte dos alunos.” A resposta do professor evidencia o

impacto da experiência a nível da motivação dos alunos e o seu desejo de aprender mais.

O professor vai mais além, nas suas observações, ao responder à pergunta” Que

competência acredita que os alunos desenvolveram a partir dessas aulas?” “ Ele acredita que os

alunos “ desenvolveram competências no caso da álgebra, geometria a nível da construção de

figuras geométricas, na construção de gráficos das funções afins, quadráticas, em linhas gerais

desenvolveram competências de raciocínio, (…).” Podemos resumir a entrevista do professor de

que a experiência teve um impacto positivo no que se refere ao desenvolvimento de competências

matemáticas, especialmente no campo geométrico.

4.1.8 - Entrevista do Professor de Matemática

Importava para a investigação, conhecer a opinião do Professor de Matemática que

trabalhou com os alunos disponibilizados para a investigação até ao final do ano letivo,

relativamente ao comportamento dos alunos. Assim foi-lhe colocada questões acerca do trabalho

colaborativo. Isto tendo em conta que quando os alunos trabalham com modelo de aula

tradicional, a sua relação mais intensa é somente com os conteúdos do manual e com o seu

caderno.

Diante disto questionou-se ao professor de Matemática: “ Essa experiência modificou a

relação dos alunos com os outros colegas, trabalhando em grupos e com uso do Software

educativo?” O professor afirmou que, “ tendo em conta que durante as aulas com uso do Software

educativo e as aulas a se realizarem no laboratório de informática, (…). Houve uma aprendizagem

em comum o que dificilmente acontecia na forma tradicional de ensinar, só reparei tipos de

vantagens com o uso das novas tecnologias pois deviam ser trabalhadas nas escolas”.

89

E quanto ao impacto das aulas no trabalho do professor, respondeu à pergunta” Acredita

que trabalhar com aulas utilizando o computador contribui, positivamente para o seu modo de

trabalhar?” O professor de Matemática respondeu que sim, que “ facilitou muito no desempenho

dos conteúdos programáticos, principalmente na elaboração de gráfico de uma função quadrática,

e o cálculo dos pares ordenados a partir do Microsoft Excel nas ferramentas de gráficos, pois esses

conteúdos vêm praticamente estruturados nos Softwares, cabendo apenas o professor ser um

orientador”.

No seguimento do trabalho, questionou-se ao professor “Qual das duas fases do trabalho

foi mais interessante para si e para os alunos, a primeira em sala de aulas sem uso do Software

educativo ou a segunda com uso do Software educativo Geogebra no laboratório de

informática?”O professor respondeu que “ de uma forma geral eu penso que as duas partes foram

boas. Embora a segunda parte deixou-me mais admirado em termos do impacto no desempenho

dos alunos, (…). Mas a motivação dos alunos superou, pois alguns disseram que utilizam o

computador em casa e/ou ciber para outras pesquisas.”

O professor reforça esse ponto de vista ao responder à questão específica da matemática, “

No que se refere ao ensino e aprendizagem da matemática, acha que os alunos foram mais

efetivos com a utilização do computador ou melhor através do modelo tradicional?”, O professor

avança que o computador ultrapassou de longe os resultados das aulas em sala de aulas. Os alunos

conseguiram apresentar melhores resultados a partir do momento que usaram as ferramentas

informáticas do que o estudo tradicional”. Isto pode ser consequência do fato já referenciado, que

o trabalho com o Software educativo foi realizado numa lógica parecida com as das aulas

tradicionais para não criar grande estranheza.

4.1.9 - Questionário final dos alunos

Com o questionário final pretendeu-se recolher algumas informações acerca de aspetos

relacionados as tecnologias digitais mais concretamente o Software educativo Geogebra e a

perceção dos 38 alunos do Grupo B em relação a forma de realização dos exercícios. Pediu-se que

os alunos pensassem bem antes de apresentar as suas respostas e que respondessem sempre com

sinceridade pois o importante era mesmo captar as suas opiniões, não existindo respostas certas

nem erradas. Seguem-se os resultados provenientes das respostas às questões abertas cuja análise

90

foi baseada em procedimentos de análise de conteúdos, tendo por base os conceitos de análise,

unidade de registos e categoria como sugerido por Morais, Alves e Miranda (2013).

Para apreciação e concretização da perceção dos 38 alunos sobre a utilização do Software

Geogebra no processo de ensino e aprendizagem foram identificados vários indicadores. Os alunos

responderam ao inquérito por questionário na aula a seguir à última atividade da parte conclusiva

do estudo com as fichas de trabalho, utilizamos uma escala de Likert de cinco pontos, sendo:

1 - Discordo;

2 - Discordo completamente;

3 - Não concordo nem discordo;

4 - Concordo;

5 - Concordo completamente.

As respostas fechadas foram organizadas em categorias, definindo-se como unidade de

análise cada opinião identificada nas respostas dos 38 alunos. Procedeu-se à distribuição das

unidades de registos, em termos percentuais, pelas categorias definidas para cada questão. As

respetivas percentagens são apresentadas na Tabela 6:

Com a utilização do Software Educativo Geogebra

Respostas (%)

1 2 3 4 5

Sinto motivação para aprender sozinho(a)

45%

55%

Melhoro o desempenho escolar

2,5%

86%

13%

Sinto interesse pela disciplina

47% 63%

Envolvo-me mais nas tarefas propostas

2,5% 90% 7,5%

Fico mais desinibido (a) perante a aprendizagem

3% 90% 7%

Sinto mais autonomia na aprendizagem

1%

99%

Tenho mais confiança nas minhas capacidades

6%

80%

4%

Gosto de colocar questões

50%

50%

91

Tenho mais facilidade na interpretação dos conceitos

50%

50%

Esforço-me para realizar melhor os trabalhos propostos na aula

50% 50%

Fico mais atenta nas aulas de matemática

5%

95%

Tenho a certeza que perco menos tempo na execução das tarefas

80% 20%

Procuro realizar primeiro os exercícios mais complexos

12% 88%

Procuro realizar primeiro os exercícios mais simples

99%

0,5%

Tabela 6: Perceção dos alunos na utilização do Software Educativo Geogebra, (n = 38).

Pelos resultados constata-se que as perceções mais favoráveis relativamente à utilização do

Software Geogebra manifestadas por percentagens mais elevadas de alunos, estão relacionadas

com os aspetos da aprendizagem.

4.2 – Registo das aulas – Aulas práticas

A recolha de dados iniciou em Outubro de 2013/2014, após aprovação da proposta de um

trabalho apresentado à direção da escola do 2º ciclo do ensino secundário em Luanda.

Participaram todos os alunos do Curso de Contabilidade do 10º ano, Turma A, com 45 alunos,

nomeadamente 29 rapazes e 16 raparigas com idades compreendidas entre 15 e 18 anos, e a Turma

B com 38 alunos, nomeadamente 11 rapazes e 27 raparigas. O número de alunos por turma,

encontra-se dentro da média de alunos para turmas do secundário, que é de 36 a 45 alunos por

turma (CEE, 2010).

O objetivo das aulas foi promover o desenvolvimento dos conhecimentos e capacidades

dos alunos associadas à identificação dos aspetos relativos ao crescimento e decrescimento das

funções reais de variável real por meio do gráfico e da lei de correspondência.

As aulas administradas estiveram na base de uma aprendizagem subjetiva com presença de

uma planificação da unidade temática com o tema “ funções e gráficos de uma função”, (Anexo I).

Apresentamos o tema de cada seção.

92

Antes das aulas práticas, foram ministradas ainda mais duas aulas “ aulas preparatórias”,

na qual o conteúdo programático das aulas baseou-se na construção de funções do tipo f(x) = ax,

ou y = ax, e do tipo y = ax + b, perante o sinal de a distinguir: Se a > 0, o declive é positivo e a

função é crescente; Se a = 0, o declive é nulo e a função é constante; Se a < 0, o declive é

negativo e a função é decrescente e compreenderem que a variação do parâmetro a tem influência

nos declives das retas relativas às funções representadas no referencial cartesiano, reconhecer e

interpretar funções, com a finalidade de complementar a proposta de investigação.

4.2.1 - Aula 1: Definições elementares - Funções reais de variável real

Sumário: Noção de função; Propriedades das funções; Abordagem gráfica. Representação gráfica das

funções. Pré-requisitos: Funções reais de variável real;

Pré- requisitos. O aluno deverá ter competências nas áreas de conjuntos, conjuntos numéricos e

referências cartesianas em duas dimensões. Que os alunos deverão saber trabalhar: com conjunto

dos números em R;

definir uma função e função real de variável real;

definir e identificar uma função injetiva;

indicar o domínio e o contradomínio de uma função real de variável real, representando

graficamente.

Palavra chaves: Função injetiva, domínio, contradomínio e gráfico.

Aula realizada na sala de aulas. O professor de Matemática iniciou a aula apresentando o tema:

Funções reais de variável real, pré-requisitos e palavra-chave e os conceitos fundamentais a reter.

Prosseguiu com o desenvolvimento com alguns exemplos que lidamos todos os dias no quotidiano

como:

O tempo que gasta num trajeto, que se pode medir com o relógio; a distância percorrida,

que se mede no conta-quilómetros; peso do arroz, que se mede na balança; a quantia a pagar no

táxi, que se mede no taxímetro; consumo mensal da luz, registado nos contadores próprios e

muitos outros nas lojas, nos campos, e laboratórios.

93

Na navegação aérea e marítima, variáveis como a latitude, a longitude, etc… os alunos

acompanharam apresentando outros exemplos como a velocidade do vento, (…); o professor

continuou abordando outras definições elementares, (…) ora acontece muitas vezes que duas

variáveis estão relacionadas de tal modo que pelos valores duma delas se sabem os

correspondentes valores da outra, diz-se então que uma das variáveis é função da outra, como

exemplo: quando se sobe uma montanha, a pressão atmosférica e a temperatura vão baixando à

medida que a altitude aumenta: a pressão atmosférica é função da altitude; a temperatura do ar é

função da altitude; o custo da fruta depende do peso, ou seja; o custo é função do peso; o professor

pediu uma aluna que apresentasse um exemplo, (…), a aluna responde: se por exemplo precisar

adubar um campo agrícola, o peso de adubo a compara depende da local ou seja (área) a adubar,

ou seja: o peso de adobo é função da área, outro aluno respondeu mais outro exemplo: se viajar de

táxi depende da distância percorrida; o custo é função da distância; Outros exemplos dados no

decorrer da aula, como: O gráfico seguinte representa o percurso da Eunice, que se deslocou de

bicicleta desde a sua casa até à casa da Hélia, a 3 km de distância, regressando depois a casa. A

representação num referencial ortogonal de duas variáveis que se relacionam pode facilitar a

compreensão da sua relação. Em forma de conclusão observou-se que a distância depende do

tempo. Continuando, o professor apresentou outras definições elementares, de noção de funções

para compreensão do exercício;

Gráfico7: A Distância percorrida pela Eunice. (retirado de Fonte: Wikipédia, enciclopédia livre.

http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8992.html?id=486&chapterid=183)

a) Quanto tempo demorou a Eunice até à casa da Hélia? Com ajuda do professor os alunos

resolveram o exemplo. O professor explicou que o gráfico descreve, (…) a medida que aumenta a

94

distância aumenta, o tempo também aumenta, existe uma pausa entre 10 a 15 minutos, a Eunice

permaneceu parada, isto é 5 minutos parada, entre 20 a 30 minutos parada mais 10 minutos pois

parou 15 minutos. Percorreu até à casa da Hélia 50 minutos. O aluno apresentou o resumo do

exemplo e a resposta

Resposta: A Eunice demorou a chegar a casa da Hélia 50 minutos.

Fig 9: Exercício realizado – grupoAsub1 - funções e gráfico

Definição de função: Sejam A e B dois conjuntos, numéricos ou não. Dá-se o nome de função ou

aplicação f a uma correspondência entre o conjunto A e o conjunto B que a cada elemento x de A

faz corresponder um e só elemento f(x) de B.

Em notação científica ou linguagem simbólica teremos: x B: f (x) = y

Nota: Uma função f é uma função real de variável real (f. r. v. r.) se A for

um subconjunto de |R e B = R. É habitual dizer que uma função é uma

correspondência unívoca entre dois conjuntos A e B e simboliza-se do

seguinte modo: f : A B; x y e tem-se : x é o objeto; f(x) é a imagem

95

y é variável dependente;

x é variável independente;

a expressão definida por f(x), dá-se o nome de expressão analítica da função f;

ao conjunto A, chama-se domínio da função e representa-se por Df;

ao conjunto B chama-se conjunto de chegada da função;

ao conjunto das imagens, chama-se contradomínio da função e representação por (D´f)

em forma de conclusão o professor recapitulou todas definições pedindo que os alunos

resumissem como tarefa de casa.

Final: O contradomínio pode ou não coincidir com os conjuntos de chegada.

Conclusão: a variável independente é o tempo (t) e a variável depende é a distância (d).

A aula prosseguiu. A abordagem das noções de funções, suas propriedades numa perspetiva de

aprendizagem de exercícios com gráficos. Com forma de consolidação, o professor deixou a

referências.

4.2.2 - Aula 2: Noção de função

Definições elementares

Sumário: Continuação. Propriedades das funções; Representação gráfica. Função injetiva.

Pré-requisitos: O estudante deverá ter competências nas áreas de conjuntos, conjuntos numéricos

e referências cartesianas em duas dimensões. Prosseguiu questionando de que os alunos deverão

saber trabalhar: trabalhar com conjunto |R; e os conceitos fundamentais a reter:

definir uma função - função real de variável real;

definir e identificar uma função injetiva;

indicar o domínio e o contradomínio de uma função real de variável real, representando

graficamente.

Palavra – chave: Domínio; contradomínio; função injetiva

96

O Professor apresentou os pré-requisitos, explicando a noção de funções, dos exemplos

apresentados, faremos deles consolidação da aula anterior e tarefas para casa; (…). Exemplo: os

diagramas sagitais representam correspondências: vejamos

Fig 10: Diagrama- Correspondência das funções.

Fonte Wikipédia -http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8992.html?id=486&chapterid=183

As figuras: f e g definem funções uma vez que a cada elemento do conjunto de partida

corresponde um único elemento do conjunto de chegada. Em f temos: Df = , o conjunto

de chegada é e D´f = . em g temos Dg = , o conjunto de chegada é e

D´g = . Resumo: h não representa uma função porque ao elemento correspondem dois

elementos; i não representa também uma função porque ao 5 não corresponde nenhum elemento.

Continuando, o professor apresentou as propriedades das funções numa abordagem gráfica,

definiu a função injetiva, numa linguagem simbólica e explicou os exemplos da Fig 10. Uma

função f é injetiva quando a objetos diferentes, correspondem imagem diferentes, ou seja, para

dois quaisquer valores de: Df, x1 e x

2: se x1 x2 então f(x1) f(x2).

Em linguagem simbólica: x1, x

2 Df, x1 x2 => f(x1) f(x2).

Em forma de conclusão recordou que: f é injetiva e que g não é injetiva, que de facto, na

função f todos os objetos têm imagem diferentes; no caso da função g temos 2 e g(2) = g(3) =

u. Podemos verificar na fig10. Como tarefa, o professor orientou aos alunos a recapitulação das

97

definições e fazerem outros diagramas sagitais e aplicarem as correspondências estudadas na aula.

Os alunos cumpriram com a orientação do professor. Podemos construir com as imagens de f

calculadas uma tabela:

x -2 -1 0 1 2

f(x) = x2

4 1 0 1 4

Tabela 7: Par ordenado da função y = x2

De uma forma geral, uma função pode ser definida através de: diagrama; tabela; expressão

algébrica; gráfico.

Conclusão: Graficamente, uma correspondência entre duas variáveis é uma função se traçar

qualquer reta vertical interseta o gráfico, no máximo num ponto. Graficamente, uma função é

injetiva se toda a reta horizontal interseta o gráfico da função em apena um ponto

Referências:

Costa, B., Rodrigues, E. 2011 Novo Espaço 10º Ano, Porto, Porto Editora.

Neves, M. A. F., Guerreiro, L., Leite, A., Silva, J.N. 2010 Matemática A 10º Ano, Porto Editora, Porto.

4.2.3 – Aula 3 e 4 – Funções reais de variável real

Sumário: Função afim. Representação gráfica de uma função, através da construção de

tabelas. Plano cartesiano. Exercícios

Pré- requisitos: O aluno deverá ter competências nas áreas de conjuntos, conjuntos

numéricos e referenciais cartesianos em duas dimensões; deverá ainda conhecer o conceito de

função e conhecer as noções elementares da função (domínio contradomínio, sinal, monotonia) e

os conceitos fundamentais a reter/ palavra chaves: Que no final desta aula o aluno deverá:

indicar as características fundamentais de uma função afim

representar graficamente uma função afim

determinar a função algébrica de uma função afim através do seu gráfico; resolver

equações e inequações do 1º grau

98

A aula prosseguiu. O professor definiu uma função afim: Chama-se função afim, toda a

função f que tem todo domínio R, conjunto de chegada em R e que faz corresponder x

em cada objeto y uma imagem m.x + b, onde m e b são números reais.

f: R R x f(x) = m. x + b;

Se m = 0 , f(x) = b e a f diz-se função constante

Se b = 0 f(x) = m x, diz-se que a função é linear.

O professor prosseguiu com estudo de algumas características da função afim com figuras,

representando três possibilidades da reta, na expressão algébrica y = m. x + b, o seu gráfico é uma

reta com declive m e com ordenadas na origem b. Recordou as possíveis características de uma

função numa tabela e apresentou muitos exemplos ilustrativos no Software Geogebra:

Como a reta pode estar representada, mais exemplos: a função y = 1.5x + 1.1, teremos

Fig 11: Representação gráfica da função y = 1.5x + 1.1 Software Geogebra- 2013

99

O professor explicou passo a passo a posição da função y = mx + b, onde m = 1.5 e b = 1.1

no plano cartesiano representado no Software educativo Geogebra. Apresentou as principais

características da função: Se m 0 então f(x) = 0 mx + b = 0 x =

Quadro 1: Características da função real da variável real- Função afim

Passou a exemplificar exercícios na plataforma do Software educativo geogebra, onde pela

primeira vez os alunos tiveram a oportunidade de observarem a importância do uso das

ferramentas tecnológicas. O professor apresentou um pequeno vídeo que decorreu cerca de 5,3

minutos, ilustrando vários exemplos de funções lineares e quadráticas. Enquanto uns, com ajuda

do professor resolveriam no quadro acompanhando a explicação, outros resolveram no caderno, o

seguinte exercício:

Exercício: Represente num referencial ortonormado (o. n.) x O y o gráfico da função definida por

f(x) = 2x + 1 e estuda o seu domínio, contradomínio, zero, monotonia e sinal.

100

Fig 12: Exercício de aplicação resolvido por um aluno em grupo A

Exercício resolvido pela aluna do grupo A, com ajuda do professor. A aula 3 esteve na

base de exercícios de aplicação com o professor de matemática, resolveram exercícios sobre o

plano cartesiano. Após terem marcados os centímetros no papel quadriculado,

Exercícios: Resolver num plano cartesiano os seguintes pontos: A = (4,3); B = (1,5); C = (-3,1); D

= (-2,- 4); E = (3,-2); F = (1,-1); G = (-1,4); H = (- 4,0); I = (0,-5); J = (2, 2/5). Eis aqui os

exercícios realizados pelos alunos. Após os alunos observarem, correções com ajuda do professor.

Ainda referimos, que o 1plano cartesiano foi criado por René Descartes e consiste em dois eixos

perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das

ordenadas. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura nº21

Fig 13: Representação do sinal dos quadrantes.

101

O encontro dos eixos é chamado de origem (0,0). Cada ponto do plano cartesiano é

formado por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. Mostramos a maquete com o

plano cartesiano e ensinar como se faz para demarcar pontos no plano, localizando os valores das

ordenadas e abscissas, utilizamos os pontos como exemplo a ser demarcados no plano cartesiano,

A (3, 6), B (2, 3), C(-1, 2), D(- 5, -3), E(2, -4), F(3, 0), G(0, 5) .

Com ajuda do professor os alunos realizaram as atividades, com papel quadriculado

construíram os eixos ordenados; dobrarem a folha quadriculada na metade, e depois dobrarem

novamente pela metade, formando assim os quatro quadrantes no eixo de coordenadas cartesianas;

identificaram o quadrante P(x, y). A aula prosseguiu, com vários exercícios modelos, conteúdo

programático do plano de reforma do 2º ciclo de ensino geral da 10ª classe em Angola. Em forma

de conclusão da aula os alunos resolveram o segundo exercício que consta na ficha de atividades.

Exercício: Verificar as funções lineares e representar graficamente: y = 3x representado pela reta

azul e y = - 2x representado pela reta vermelho:

Resolução: Ambas as funções intersetam o eixo das abscissas exatamente no ponto (0, 0), o seu

coeficiente linear b, é igual a zero. É o valor do coeficiente b que determina a ordenada (y) do

ponto com abscissa (x) igual a zero. Para a função y = -2x, quando x = -1 temos que y = 2,

representado pelo ponto (-1, 2): y = (-2x) y = (-2) .( -1) y = 2. Para a função y = 3x,

quando x = 1 temos que y = 3, que representamos pelo ponto (1, 3): y = 3x y = 3.1 y = 3.

Fig 14: Representação gráfica de duas funções: y = -2x e y = 3x.

102

4.2.4 - Aula 5: Operações com Funções

Sumário: Função par e função impar. Proporcionalidade na função linear. Exercicíos

Pré-requisitos: Para conhecer na totalidade a aula, o aluno deverá ter competências nas áreas de

conjuntos, conjunto numéricos e referenciais cartesianos em duas dimensões, função afim e

quadrática. No final o deverá saber: Estudar a paridade de uma função real de uma variável real

através da sua expressão algébrica e do seu gráfico, como palavra-chave tem: Função par e função

impar: definição de função par e impar

Seja f uma função de domínio Df então:

f diz-se par, se para qualquer valor x que pertence ao domínio f, tal que f(x) = f(-x)

f diz-se impar se para qualquer valor x que pertence ao domínio f, tal que f(-x) = -f(x)

Vejamos as figuras

Fig 15: - Representação Gráficos das funções, par - adaptada aos 10/2/2013.

O gráfico da função impar tem a propriedade de ser simétrica em relação ao eixo dos yy, do

referencial. A figura15 representa a função impar tendo em conta a representação em linguagem

algébrica.

103

Fig 15.1: - Representação Gráfico da função impar - adaptada aos 10/2/2013.

Exemplo: O gráfico da função y = -2x, onde os pontos (-1, 2), (-2, 4), (-3, 6) e (-

, 7):

Observaram grandezas proporcionais, "duas grandezas são diretamente proporcionais

quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da

outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes, quando diminuímos o valor de

uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui. Achou as coordenadas

analisando os pontos (-1, 2) e (-2, 4) pertencentes a função, observaram que se multiplicarmos

tanto a abscissa -1 do primeiro ponto, quanto a sua ordenada 2 pelo mesmo valor 2, iremos obter

exatamente o ponto (-2, 4) e se tomarmos os pontos (-1, 2) e (-

, 7) e realizarmos os mesmos

procedimentos, só que agora multiplicando por (-

), obteremos o segundo ponto. O mesmo

ocorrerá se pegarmos, os pontos (-2, 4) e (-3, 6), onde a razão entre as abscissas é igual a razão das

ordenadas: -

= -

.

Os alunos resolveram os seguintes exercicios:

Exercicios: Resolve cada uma das seguintes funções de dominio R quanto à sua paridade:

a) f(x) = x2 – 3x

4;

b) g(x) =

;

c) h) (x) = x2 – 3x;

d) i (x) = x2 + 3x.

104

Resolução:

a) f( -x) = (-x)2 -3. (-x)

4 = x

2 - 3x

4 = f(x); como f(-x) = f(x) , para todo x que pertence R

podemos concluir que f é par

b) g(-x) = (-x)2/3 – 3/-(-x)

4 = x

2/3 – 3/ -x

4 = g(x); como g(-x) = g(x), para todo x pertence a

R podemos concluir que g é par.

c) h(-x) = (-x)3 – 3.(-x) = -x

3 + 3x = - (x

3 -3x) = -h(x); como h(-x) = -h(x), para todo x que

pertence R podemos concluir que h é impar.

d) i(-x) = (-x)2 + 3. (-x) = x

2 – 3x; como i(-x) é diferente i(x) e i (-x) diferente –i(x)

podemos concluir que i não é par nem impar.

Em forma de conclusão, a aula finalizou com exercícios relacionados ao Software

Geogebra, os alunos apresentaram também outras questões pertinentes no que concerne a

aprendizagem da matemática, aproveitando o professor concluir a aula com representação de

funções e características da proporcionalidade na função linear.

Conclusão: Avaliação realizada passo a passo, que ficarão como sugestão e modelo de sequências

didáticas, para os professores que eventualmente se motivarem a desenvolverem trabalhos com

esta metodologia, e para suas respetivas construções, as quais tem o objetivo de propiciar uma

prática da Matemática com o uso do GeoGebra.

Referências: E para terminar o professor apresentou algumas referências para futuros exercícios:

Caraça, B.J. (1998). Conceitos fundamentais da Matemática, Lisboa: Gradiva.

Costa, B., e Rodrigues, E. (2011). Novo Espaço 10º Ano. Porto: Porto Editora.

105

4.2.5 - Aula 6 e 7: Funções quadráticas:

Duração: 90 minutos

Sumário: – Funções quadráticas. Família de funções quadráticas: Funções reais de variável real.

Apresentação do Software educativo Geogebra

O professor iniciou a aula nº: Exercício de aplicação sobre funções quadráticas e professor

começou com o seguinte exemplo: Represente graficamente a função y = x2. Fazendo referência

dos pré-requisitos que os alunos precisarão saber, acrescentou:

Que o aluno deverá ter competências nas áreas de conjuntos, conjuntos numéricos e

referenciais cartesianos em duas dimensões; deverá ainda conhecer o conceito de função e

conhecer as noções elementares de função, (domínio, contradomínio, injetividade, sinal da função,

monotonia e extremos); deverá também conhecer os conceitos fundamentais: o aluno deverá saber

neste tema:

No final o aluno deverá:

indicar as características principais de uma função quadrática;

representar graficamente a função quadrática;

determinar o vértice e o eixo de simetria de uma parábola representativa de uma função

quadrática.

E antes de desenvolver o tema da aula apresentou, a palavra - chave do tema: Funções quadráticas,

parabólica, vértice da parábola, contradomínio, sinal da monotonia, extrema.

Na introdução, o professor começou por explicar que o arco da parábola, está presente em

diversas situações da vida real, como: na natureza; nas telecomunicações; na arquitetura; no

movimento de objetos sólidos e líquidos, entre outros. Apresentou várias fotos retiradas da internet

da Wikipédia camins: arquitetura, as pontes, os arcos, antenas parabólicas, o farol de um carro, o

movimento da água, ou repuxo…! Mas afinal o que é uma parabólica ao contrário da definição de

reta a definição da parabólica é bastante elaborada, então vamos dar uma definição:

Chama-se parábola ao conjunto de pontos do plano equidistante de um ponto (foco) e de

uma reta que não contém esse ponto (diretriz). Em seguida o professor aproveitou a motivação dos

alunos e colocou a disposição da aula, animação que ilustrava a construção de figuras e suas

propriedades, com uso do Software Geogebra, um vídeo cerca de 8 minutos.

106

Os alunos aconselhando-os a utilizar o procedimento por pontos, isto é, construir uma

tabela de pares ordenados, atribuindo valores a x e determinar os valores correspondentes de y, os

alunos resolveram os exercícios no quadro com ajuda do professor, para outros alunos com menos

capacidade de entenderem (-1)2

= 1, o professor explicou que (-1)2 = -1 -1 = 1 e que em geral, um

número negativo elevado a um expoente par é sempre positivo e quando elevado a um expoente

impar é sempre negativo porque (-a)2 = (-1)

2 a

2 = a

2 com a > 0.

Cumprindo esses procedimentos, obtivemos o gráfico que se segue: Os alunos recordaram

que é uma função quadrática: y = x2. O Professor resumiu a representação o gráfico num

referencial o. n o gráfico da função f: R R, x f(x) = x2

Fig 16: - Representação gráfica de uma função quadrática – par ordenado.

O professor pergunta o que representa o gráfico acima, os alunos respondem que é uma

curva que recebe o nome de parábola, de seguida pergunta aos alunos para avaliar se a função é ou

não é negativa, um dos alunos diz que a função é negativa, outro responde que a > 0, a

concavidade está voltada para cima e o professor diz que a análise está correta. Observando, o

professor, disse que o sinal de uma função não é feita a partir do sinal do coeficiente de a. De seguida

o professor calcula o vértice da parábola a partir da fórmula V(

a;

),

Exemplo: Dada a função y = 3x2 represente graficamente. Os alunos calcularam os pares

ordenados sem constrangimentos a representaram a função graficamente no quadro:

x -2 -1 0 1

y 12 3 0 3

Tabela 8: Par ordenado da função y = 3x2

107

Os alunos conseguiram realizar cálculos auxiliares com ajuda da calculadora e do

computador, na presença do professor, outros alunos apresentaram também outros valores

considerados certos pelos alunos que não tiveram dificuldades em compreender a aula e, depois de

outras explicações os mesmos alunos concluíram: y = 3x2 = 3.4 = 12; y = 3x

2 = 3.-1 = 3; y = 3x

2 =

3.0 = 0 ; y = 3x2 = 3.1 = 3; y = 3x

2 = 3.4 = 12. Continuando apresentou a famílias de funções

quadráticas, sua representação em notação científica ou linguagem algébrica e algumas

características:

Quadro 2: - Caraterísticas das funções quadráticas. Fonte Wikipédia - enciclopédia livre

Resposta: Em forma de conclusão da aula abordou da monotonia e o contradomínio da função

quadrática e sua representação de exercícios no Software educativo Geogebra. Apresentamos o

exemplo da monotonia e o contradomínio da função quadrática f cujo gráfico tem o ponto (2, 1)

como vértice e contém o ponto (3, -1). Como o vértice da parábola é (2,1) e o ponto (3,-1) lhe

pertence então f(x) = a(x – 2)2 + 1 e f (3) = -1. Deste modo, f (3) = -1 a (3 – 2)

2 + 1 = -1 a

+ 1 = -1 a = -2, e podemos concluir que f(x) = -2(x – 2)2 + 1. Temos portanto que f é crescente

em e decrescente em e que D´f = . O gráfico de f apresenta conclusões:

Exemplo: Representação da função quadrática e suas caraterísticas: f(x) = -2(x – 2)2 + 1.

108

Fig 16.1: Representada gráfica da função quadrática –

Outras parábolas extraídas do Software geogebra que serviram de motivação para os

alunos, a observarem toda ferramenta do aplicativo, apresentamos de seguida a página inicial do

Software educativo Geogebra com a ilustração de funções quadráticas e por diante calcular outros

conteúdos como figuras geométricas a partir do aplicativo Geogebra. Vértice (2,1) da parábola.

Fonte Wikipédia - enciclopédia livre - funções quadráticas. Acessível aos 12/2015

Exercício: Calcular a função a partir do Software educativo geogebra

Fig:16.2 - Representada gráfica da função quadrática - Software Geogebra

O professor em forma de consolidação da aula perguntou como está voltada a parábola, todos

responderam, a parábola está voltada para cima porque o coeficiente de x é maior que zero (a > 0),

e de seguida o professor representou o gráfico da função em conjunto com os alunos.

Referências: E para terminar o professor apresentou algumas referências para futuros exercícios:

109

4.2.6 - Aula 8ª e 9ª - Software Educativo – Geogebra

Sumário: Representação gráfica a partir do Geogebra. Uso Software Educativo Geogebra

Pré-requisitos: Espera-se que no final desta aula, os alunos saibam construir e interpretar gráficos

de funções: afim e quadrática com a ajuda do Geogebra. Os conteúdos foram: Noções básicas

sobre o Software geogebra, gráficos de funções modulares, reflexão, translação vertical, translação

horizontal, com os recursos do quadro e giz, lista de exercícios aplicados, computador (Software

Geogebra).

Palavra-chave: Software Geogebra, gráficos

Os alunos precisaram de um momento de preparação, para a realização dos exercícios com recurso

à tecnologia – construção no Software Geogebra. Serão apresentados ao longo da aula,

potencialidades algébricas e gráficas.

Internalizar o conteúdo de funções afins nos aspetos relativos a intervalos, comportamentos da

função em relação aos coeficientes a e b da função f(x) = ax + b.

Desenvolvimento: Os alunos trabalharam na construção dessas funções a partir do Software

matemático, neste caso o geogebra. Para os conteúdos focalizar a atenção dos alunos no geogebra

que fornece três vistas diferentes dos objetos matemático: a zona gráfica, a zona algébrica, ou

numérica, e a folha de cálculo, elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três

representações diferentes:

graficamente (e.g., pontos, gráficos de funções), algebricamente (e.g., coordenadas de pontos,

equações) e nas células da folha de cálculo, todas as representações do mesmo objeto estão ligados

dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas,

independentemente da forma como esses objetos forem inicialmente criados, como

procedimentos, apresentamos o programa geogebra, aos alunos e explicamos como usá-lo, em

conclusão mostrar que o geogebra é um Software livre.

110

Quadro3: Página inicial do Software geogebra

Os Grupos A e B, trabalharam na página inicial do Software Geogebra, com duração de 90

minutos. A aula esteve na base do uso Software Educativo Geogebra com duração de 45 minutos,

com os tópicos essenciais as noções básicas sobre o Software, e feita uma reflexão das funções

modulares, translação vertical, translação horizontal. Os alunos perceberam a facilidade de

utilização e não tiveram problemas em resolver os exercícios expostos nas tarefas. O grupo B

motivado entendeu a importância do Software, uma metodologia adequada para o ensino da

matemática.

Desenvolvimento: construímos gráficos no Geogebra lembrando que o programa não reconhece

f(x) = |x|, mas sim f(x) = abs (x). O grupo elaborou gráficos de uma função modular, f(x)=|x| a

partir de uma g(x) = x. Em forma de conclusão, confirmaram que o Geogebra é um Software livre,

e de fácil utilização, O Software Geogebra, sendo livre e de fácil manuseio, contribui no sentido

de adicionar ao contexto de aprendizagem uma nova opção de recurso, de forma que os

professores da área tenham um aliado para despertar e incentivar nos alunos, de forma geral, um

interesse cada vez maior no estudo da Matemática e suas tecnologias. No desenvolvimento:

Apresentação da construção das figuras passo a passo a partir do Software Geogebra. Exercícios

com a elaboração de segmentos e circunferências complementares. Os alunos com ajuda do

professor, realizaram a tarefa da fig16.2

111

Exercício: Construção de um triângulo escaleno e determinar suas medidas de lados, perímetro,

área, e ângulos. Trabalho realizado pelos alunos com ajuda do professor.

Fig 17 – Tela do Geogebra a partir da internet, Triangulo elaborado pelos alunos – Grupo A

Software Geogebra Fonte Wikipédia acessível aos 10/2014

Podemos localizar todas as medidas do triângulo na tela do geogebra. Primeiro passo para

execução da tarefa, os alunos clicaram na terceira caixa de ferramentas e em polígono. Em seguida

clicam em três pontos distintos não colineares da tela do GeoGebra, e mais um clique em cima do

primeiro ponto, conseguiram construir um triângulo Escaleno.

Clicaram na sexta caixa de ferramentas, em seguida em distância ou comprimento, depois

no ponto A em seguida em B. Está medido o segmento . Repetiram o terceiro passo para os

segmentos e . Quanto ao perímetro, relembrando seu conceito: “é a soma das medidas de

todos os lados de um polígono”, somaram os valores dos segmentos encontrados nos passos

anteriores. No quinto passo foi medir a área do polígono.

Clicaram novamente na sexta caixa de ferramentas depois em área, depois clicaram dentro

do triângulo onde apareceu o valor da área.

112

Para medir os ângulos, cinco alunos usaram novamente na sexta caixa de ferramentas,

depois em três pontos distintos, sempre em sentido anti-horário em relação aos pontos do

polígono, sendo o ponto do centro, o ângulo a ser medido. Com ajuda do professor e porque

tiveram dificuldades de medir o ângulo BÂC, aluno clicou em B, depois em A e por fim em C e

todos os alunos repetiram o sexto passo com os demais ângulos. Vejamos o resultado da

construção efetuada pelo grupo de controlo.

Outra alteração da figura é que podemos salvar a imagem fora da tela do Windows,

neste caso com toda a visualização dos recursos do GeoGebra. A figura, fica ilustrado apenas a

figura geométrica construída com geogebra. Como consolidação, a escolha de como salvar seus

trabalhos do geogebra ficou a critério e necessidades de cada aluno/grupo.

Após ter mostrado o exemplo, pedimos que os alunos fizessem alguns exercícios para fixar

o método de construção do gráfico de funções representadas por leis sugestão: podem utilizar

papel quadriculado). A aula esteve na base da construção de duas figuras geométricas, o quadrado

e o triângulo, os alunos trabalharam com todo entusiasmo, em grupo e de forma colaborativa, e

quando cada grupo terminasse as tarefas propostas, expunham as suas conclusões no grupo. No

Desenvolvimento da aula pedimos que os alunos do grupo de controlo, fizessem a construção de

um quadrado e de um triângulo.

Para esta construção existe apenas um passo a ser feito, pelo que foi em clicar na terceira

caixa de ferramentas e em “polígono regular”, em seguida clicar na tela do geogebra em dois

pontos distintos não colineares, até ai os alunos fizeram sem constrangimentos e apresentaram o

quadro com a figura solicitada, prosseguiram com a construção clicando na caixa de diálogo

“aplicar 4”, clique em aplicar, está criado o polígono/quadrado ABCD. (Figura18).

113

Exercício: Calcule a partir do Software Geogebra a figura ABCD e diga quais os pares ordenados.

Fig 18:– Tela do geogebra - Polígono ABCD elaborado pelos alunos – Grupo B

Fonte Wikipédia acessível aos 10/2014 - Software Geogebra

O resultado do exercício encontra-se na tela do geogebra. Em forma de conclusão os alunos

resolveram todos os exercícios propostos.

Exercícios: Resolver as seguintes funções usando o Software educativo Geogebra:

a) y = -x + 5; b) y = 3x- 12; c) y = -1/2x – 4; d) y =5x + 2

4.2.7 - Aula 10ª e 11ª Exercícios. Funções e gráficos.

Sumário: Construção de funções a partir do Software Geogebra. Construção de figuras

geométricas.

Pré-requisitos: Que ao final desta aula, os alunos saibam construir figuras geométricas e

interpretar gráficos de funções do primeiro grau com a ajuda do Geogebra.

Os conceitos fundamentais e a reter palavra-chave: Identificar a função, manusear o computador,

distinguir o banco de dados do Software Geogebra a partir da página inicial. Palavra – chave:

Função, Software, Geogebra, geometria. Com a realização de dois exercícios, os alunos

apresentaram com êxitos os resultados da construção do gráfico da função afim e quadráticas a

partir do Software Geogebra. Demoraram menos tempo para resolverem todos exercícios da aula.

114

Exercício: Representa graficamente a função y = 3.x + 2 a partir do Software Geogebra.

Resolução: Para a construção da função y = 3.x + 2, os alunos verificaram se a função é

crescente ou decrescente, no rodapé esquerdo inferior da tela do Geogebra tem um campo escrito

“entrada”, neste local digitaram a função: y = 3*x + 2 e em seguida teclaram “enter”, e o asterisco

que é necessário, visto que é o símbolo que o Software reconhece na multiplicação.

Fig 19: Representação gráfica da função y = 3.x + 2- geogebra.

Observação: Exercício realizado por um aluno a partir da tela do software geogebra. 03/12/2014

2- Exercício: Represente graficamente a seguinte função: y = x² + 4.x + 3

Resolução: A função y = x² + 4.x + 3 representa uma parábola ou uma função do 2º grau, e

com ajuda os alunos não apresentaram dificuldades em realizar a figura usando o geogebra, tendo

em conta que, no rodapé esquerdo inferior da tela do geogebra tem um campo escrito “entrada”,

neste local digitaram a função: y = x^2 + 4*x + 3 e em seguida tecle “enter”. E apareceu a

imagem.

115

Fig 19.1: Representação gráfica da função y = x² + 4.x + 3, Parábola

Conclusão: Os alunos recordaram que asterisco é o símbolo que o Software reconhece, também

aparece o símbolo “^”, reconhecida para multiplicação, entre o “x” e o “2”, para que o Geogebra

reconheça o “2” como expoente de “x”. Os alunos desenvolveram os exercícios sem

constrangimento.

4.3 - Análise Descritiva

Na parte da análise, elaborou-se quatro fichas de trabalho com os seguintes conteúdos:

Funções reais de variável real; operações com funções e representação gráfica, função afim;

funções quadráticas; Software Geogebra; construção de figuras geométricas.

Para clarificar as questões relacionadas com as tarefas realizadas, preparamos duas aulas de

90 minutos por cada aula, com a finalidade de organizar a informação relacionada com estudo e

proceder a eventuais reajustamentos na planificação das aulas investigativas, como refere

Fernando (1991), “ acredito que a investigação qualitativa é a melhor forma de obter informações

relativamente ao processo de ensino e aprendizagem”. Também elaboramos um documento com

os tópicos referenciados ao tema “ funções e gráficos de uma função afim e linear, com uso parcial

do geogebra, onde recolhemos informações sobre a dinâmica geral das atividades investigativas ou

seja, no total resultado do funcionamento dos grupos; as intervenções dos alunos.

116

O horário das atividades investigativas coincidiu com a planificação semanal das aulas

normais, e de forma a complementar a informação reformulamos conversas com os alunos onde

apresentaram as dificuldades recorrentes na resolução das tarefas sem o Software Geogebra e as

aulas tiveram a duração de 90 minutos cada.

Como a investigação é de natureza qualitativa, a análise foi realizada tendo em conta os

aspetos teóricos revistos na literatura. A análise dos dados assume um caráter descritivo. A

interpretação apresentada baseou-se na análise de trabalho das fichas de atividades e outros

documentos. “Em qualquer investigação de caráter qualitativo torna-se fundamental obter

informações a partir de várias fontes, permitindo assim complementar as informações recolhidas”.

E neste contexto recolhemos outras informações e mais detalhes dos temas de algumas

aulas efetuada, interpretações durante a investigação:

Na 1ª e 2ª aula com tema: Definições elementares – Propriedades das funções. Abordagem

gráfica. Função real de variável real linear; Tema/Funções linear e afim.

Objetivos da aula: Definir e identificar uma função injetiva; Indicar o domínio e o

contradomínio de uma função real de variável real; Representar gráfica e algebricamente a função

real de variável real; Relacionar analítica e graficamente a função linear; representar

correspondências nos diagramas sagitais. Nos Recursos e materiais, utilizamos as fichas de

trabalho, esferográficas (para a representação gráfica), régua caderno, como metodologia de

trabalho: trabalho em grupo/ turma. Grupos A e B de 5 alunos por cada grupo previamente

selecionados pelo professor.

Contextualização: Nesta aula foi proposto aos alunos definir o conceito de uma função e

representarem o conceito em notação científica, localizarem a varável dependente e a

independente de um exemplo apresentado pelo professor e identificarem o domínio e

contradomínio das funções reais. Esta tarefa baseou-se em darem alguns exemplos e tem como

objetivo introduzir a função afim. Numa primeira fase o professor resolveu no quadro, juntamente

com os alunos, Os alunos prosseguiram e resolveram a tarefa. No final da aula dar-se-á início à

discussão em grande grupo/ turma.

No desenvolvimento da aula: Início da aula (5 minutos), o professor projeta o sumário no

quadro, informa os alunos que o professor irá resolver as questões com eles, o restante será feito

pelos alunos durante a fase de trabalho autónomo. Em notação científica ou linguagem simbólica

teremos: x B: f (x) = y.

2. Explicação pelo professor (20 minutos): De forma a garantir que os alunos prossigam a

resolução da tarefa o mais autonomamente possível irá “construir-se” com eles o diagrama sagital,

117

é pedida aos alunos para identificarem a correspondência e elaborarem os pares ordenados

possíveis das figuras f e g e representação domínio e contradomínio das funções. Em f temos: Df =

, o conjunto de chegada é e D´f = . em g temos Dg = , o conjunto

de chegada é e D´g = . Esta representação não será feita até ao fim, importando

apenas garantir que os alunos saibam como determinar coordenadas de pontos, seja através da

expressão analítica.

No trabalho autónomo com 30 minutos de tolerância foi trabalho realizado em grupo,

conseguiram representar função injetiva em linguagem simbólica: x1, x

2 Df, x1 x2 => f(x1)

f(x2). O professor circulava pela sala, monitorizando e garantindo a participação e o

envolvimento dos alunos através do questionamento individual e coletivo, do feedback e do

desafio à refinação de argumentos e raciocínios, sem reduzir o nível de exigência cognitiva da

tarefa. O professor fez a seleção e sequenciação das produções que achou conveniente apresentar e

discutir. Relativamente aos objetivos da tarefa, estratégias e dificuldades previstas: Poderão seguir

uma estratégia mais direta, escrevendo logo a expressão, ou poderão seguir os passos feitos pelo

professor no caso da correspondência das funções. Por exemplo, como é que explicas a distância

das retas em relação ao eixo das abcissas, ou das ordenadas.

4. Discussão tempo 30 minutos, conforme decorreram os trabalhos, foi possível a

discussão da tarefa ter terminada na próxima aula por limitações de tempo.

Validar a solução com a turma. No final pode projetar-se o problema, com a representação gráfica

feita pelo professor, e comparar com a realizada pelo aluno retirando conclusões que se revelem

importantes.

5. Fim da aula 5 minutos, projetamos um exercício e informamos os alunos sobre o

trabalho em grupos. O trabalho tem o objetivo de consolidar conhecimentos adquiridos nesta aula.

Avaliação dos alunos. Observação direta (atitudes reveladas, por exemplo, participação e formas

de relacionamento); Produções que decorram da realização das tarefas realizadas na aula e em

grupo - Proposta de resolução da tarefa 1 - Funções lineares.

Nas aulas 10ª e 11ª, num tempo máximo de 90 minutos, com tema: Software educativo

Geogebra. Representação gráfica das funções afim e quadráticas a partir do Geogebra Exercícios

sobre funções e gráficos.

Conhecimentos prévios dos alunos: Analisamos funções a partir da sua representação

gráfica.

118

Objetivos da aula: Compreender o efeito da variação dos parâmetros a e b na representação

gráfica de funções do tipo: y = ax e y = ax + b. Recursos e materiais: Ficha de trabalho;

Computadores com a aplicação GeoGebra instalada. Metodologia de trabalho: Trabalho em grupo.

Os grupos estavam distribuídos pelo número de computadores disponíveis (5 alunos por

computador).

Contextualização: Nesta aula dar-se-á início do estudo da variação dos parâmetros a e b na

função afim, “Funções no GeoGebra”, tem por objetivo o estudo do gráfico da função afim através

da utilização de novas tecnologias, nomeadamente da manipulação do software de geometria

dinâmica GeoGebra.

Desenvolvimento da aula: 1. Início da aula (10 minutos): Conduzir os alunos até ao laboratório

e distribuir os grupos (cinco alunos) pelos vários computadores. Distribuir os enunciados da tarefa

“Funções no GeoGebra” e informar os alunos que à medida que forem avançando na tarefa terão

de ir registando as suas conclusões nos espaços reservados para o efeito. - Para facilitar eventuais

esclarecimentos, haverá uma projeção da tarefa e/ou do GeoGebra.

2. Trabalho autónomo/ Discussão - Tarefa “Funções no GeoGebra” (50 minutos):

Relativamente aos objetivos da tarefa, estratégias e dificuldades previstas:

3. Discussão da tarefa e conclusão final (20 minutos): Em conjunto com os alunos o professor

deverá selecionar as sugestões e escrevendo no quadro as conclusões em cada alínea (ver ponto

anterior).

4. Final da aula (10 minutos): Os alunos serão reconduzidos à sala de aula. Diagnóstico dos

alunos, observação direta (atitudes reveladas, por exemplo, participação e formas de

relacionamento). Produções que decorram da realização das tarefas realizadas na aula.

Nas aulas realizadas de um modo geral esperamos:

Espera-se que os alunos compreendam que a variação do parâmetro a tem influência nos

declives das retas relativas às funções representadas. Quanto maior for o valor de a maior

será o declive da reta. Quanto menor for o valor de a menor será o declive da reta. Um a

igual a zero significa que o declive é nulo.

Espera-se ainda que os alunos compreendam que o sinal de a está relacionado com o

crescimento e decrescimento da função. Perante o sinal de a podemos considerar três

situações distintas: Se a > 0, o declive é positivo e a função é crescente; Se a = 0, o

119

declive é nulo e a função é constante; Se a < 0, o declive é negativo e a função é

decrescente

Espera-se que os alunos compreendam que o parâmetro b é a ordenada do ponto de

interseção da reta com o eixo das ordenadas. À medida que b aumenta, o valor da

ordenada na origem aumenta e vice-versa.

Os alunos deverão compreender que quando o declive é nulo, ou seja, o valor de a é zero,

a função é constante. É o caso da função y = 1, obtida pela substituição de x por zero na

expressão y = 2x + 2, teremos y = 2(0) + 2 y = 2.

4.3.1 – Reconhecer e interpretar funções representadas graficamente

Nas questões da aula preparatória, (Anexo A) espera-se que os alunos dos grupos A e B,

compreendam que a variação do parâmetro a tem influência nos declives das retas relativas às

funções representadas e saberem que quanto maior for o valor de a maior será o declive da reta,

quanto menor for o valor de a menor será o declive da reta. Se encontrarmos a = 0, concluímos

que o declive é nulo. O grupo A com 45 alunos, correspondeu ao primeiro tempo do horário da

primeira aula e representaram gráficos de funções semelhantes aos da Fig 20

Fig 20 - Grupo A, subgrupo1 resposta a questão 1 tarefa.

Fonte Wikipédia enciclopédia livre, 10/2015

Na resposta relativa à retas com declive positivo (Fig20), o subgrupo1 representado por

cinco alunos, concluíram que “ quanto maior é o valor de a, as retas aproximam-se cada vez mais

120

do eixo das ordenadas”. Calcularam pares ordenados dando valores positivos e negativos na

variável x. Esperamos ainda que o grupo A dividido por 9 subgrupos, compreendam que o sinal de

a está relacionado com o crescimento e decrescimento da função e que diante do sinal de a

podemos considerar 3 situações distintas: Se a > 0 , o declive é positivo e a função é crescente; Se

a < 0, o declive é negativo e a função é decrescente; Se a = 0, o declive é nulo e a função é

constante.

Na questão 2 os grupos A e B foram capazes de obter gráficos de funções semelhantes aos da

Fig20.1:

Fig: 20.1 resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B. subgrupo2

Na questão 3 espera-se que os alunos dos grupos A e B, compreendam que o parâmetro b é

a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. À medida que b aumenta, o

valor da ordenada na origem aumenta e vice-versa. Os alunos do subgrupo2 conseguiram obter

gráficos de funções semelhantes aos da Fig20.2.

Calcularam os pares ordenados, atribuindo os valores positivos e negativos à variável x e

substituindo na expressão y = 2x + 1 encontraram o valor de y. os alunos atribuíram os valores de

b = 1; b = 3; b = 0; b = -1, criaram as funções: y = 2x +3; y = 2x ; y = 2x -1, encontraram retas

perpendiculares à função inicial.

121

Fig 20.2 resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B. subgrupo2.

Na questão 4 os alunos dos grupos A e B deverão compreender que quando o declive é

nulo, ou seja, o valor de a é zero, a função é constante. É o caso da função y = 1, obtida pela

substituição de x por zero na expressão y = 2x + 1. Os alunos poderão obter gráficos de funções

semelhantes aos da Fig20.2.

4.3.2 - Identificar e assinalar pares ordenados no plano cartesiano

Na questão 1, da segunda aula preparatória, o referencial é constituído por dois eixos,

perpendicular entre si, que se cruzam num ponto original do referencial (0, 0). Cada um desses

eixos tem uma orientação indicada por uma seta e uma graduação, como se pode observar na

Fig20.3

No exercício1 pede-se os alunos dos grupos A e B, para descreverem, com base no

referencial apresentado no deslocamento desde a origem até aos pontos representados, efetuando o

menor número possível de deslocamentos. Por exemplo: como se deslocar para os pontos E e F,

efetuando o número mínimo de deslocamentos na horizontal e/ou na vertical? Localiza os pontos

existentes no referencial. 16

16 Estas tarefas foram uma adaptação de uma investigação realizada no âmbito do projeto - Matemática para todos -

Investigações na sala de aula. Fonte: Wikipédia enciclopédia livre. 3/2015. Referencial do enunciado da tarefa.

122

Fig:20.3 resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B subgrupo3

Com base na figura se a toma valores negativos a reta passa na origem do referencial cartesiano e

sucede quando y é igual a x.

.

Fig:20.4 Resposta à questão 1 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo2.

Os alunos ficaram sem saber quando repararam que os pontos estavam dispersos, e as

questões divergiram, mas conseguiram, dividiram cada ponto a calcular para cada aluno do

subgrupo 2. Mas na verdade todos trabalharam no plano cartesiano que se encontra na resposta

seguinte:

123

Fig:20.5 resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo2.

Os alunos repararam a facilidade em localizar os pontos no papel quadriculado, não

tiveram problemas e pouparam tempo.


124



Fig:20.9 resposta à questão- aula preparatória* – Grupo B. subgrupo5.

125

4.3.3 – Construção de gráficos cartesianos - Figuras geométricas

4.3.3.1 - Trabalhos por grupos – Geogebra.

No processo de aprendizagem, e no seguimento da pesquisa de investigação, espera-se que

ao final das aulas, os alunos possam construir figuras geométricas e interpretar gráficos de funções

e suas caraterísticas com auxílio do Geogebra. Neste contexto os alunos realizaram exercícios

cujas afirmações foram com ajuda do professor, para encontrarem o conjunto de soluções

Fig 21: Figura geométrica Retângulos

Com base na figura 21, pede-se para os alunos observarem os retângulos desenhados a seguir:

Determinar o perímetro de cada retângulo.

Determinar a área de cada retângulo.

Considerando um retângulo de mesmo perímetro que os retângulos acima, cujos lados

medem x e y centímetros. Expressar a y em função de x.

Construa uma tabela para a função anterior abrangendo valores de x de 0 a1.

Com base nos dados dessa tabela, construa o gráfico dessa função e responda: como y

varia à medida que aumentamos o valor de x?

O gráfico é caraterístico entre x e y?

Justifique.

Pedimos para, encontrar 4 pontos a partir do Software, observar a figura e apresentar os

resultados. Os alunos do grupo A sub1, ao localizar 4 pontos calcularam o polígono, começaram

por clicar no botão direito do Mouse na área gráfica do software para ativarem o comando as

grelhas ou malhas, Selecionaram a ferramenta “Polígono” na barra de ferramentas construíram o

126

polígono do quadro. Utilizaram também o papel quadriculado, lápis e régua para calcularem pares

ordenados e certificarem a existência dos pontos aproximados com valores que pertencem aos

conjunto dos números naturais assim desenvolveram o seguinte esquema:

Fig 22: Construção do quadrilátero no geogebra- alunos do grupo A sub3

Apresentaram a construção de um quadrilátero, clicaram o primeiro vértice na origem do

plano apenas para uma melhor referência; selecionaram outros três vértices e utilizaram todos os

recursos necessários para manipular essas coordenadas e construíram o retângulo com os dados do

exercício, com as coordenada do ponto, manipularam para qualquer lugar específico do plano

cartesiano, e com um duplo clique em B alteraram suas coordenadas para (0,3), depois clicaram

em “aplicar” e ficou construída a altura do retângulo vermelho. Procederam os passos com os

demais vértices. Apresentaram a tabela de pares ordenados dos pontos encontrados para a

construção das figuras do retângulo vermelho: A= (8,3), B = (0,3), C = (0,0), D = (8,0).

127

Fig: 23 – Construção do retângulo no Software: retângulo vermelho – grupo A sub2

Depois de construído o polígono, selecionaram a ferramenta “ distância, comprimento ou

perímetro”, e mediram a distância e o comprimento, Com esta opção selecionada clicando em dois

extremos de qualquer lado, apareceu o segmento e sua medida correspondente. Numa dinâmica,

representaram figuras geométricas a partir do Software Educativo Geogebra. Os passos seguintes

calcularam a base e a altura. Uma vez utilizada esta ferramenta, os valores mostrados são

automaticamente atualizados caso o polígono mude de forma ou tamanho.

Os alunos refletiram o exercício e calcularam a área do polígono sem constrangimentos

seguindo os passos já revisados. Todos os passos anteriores foram repetidos para os três

retângulos, com isso, foi possível identificar, que todos os retângulos possuem o mesmo perímetro

e áreas diferentes. Apresentaram por conseguinte os restantes pares ordenados dos pontos para

construção dos retângulos amarelo e azul: A= (10,1), B = (0,1), C= (0,0), D = (10,0), e A = (6,5),

B = (0,5), C = (0,0), D = (6,0) respetivamente.

128

Fig 24: Retângulos na grelha do Geogebra. Grupo A sub3

Os grupos fizeram apresentação dos seus trabalhos num tempo de quinze minutos cada,

divididas em duas aulas práticas, apresentaram os trabalhos feitos em casa com ajuda de todos

pertencentes aos grupos e foram atribuídos as seguintes classificações. No Passo seguinte o grupo

construiu o gráfico da função perímetro com intervalo de valores:

O grupo A mostrou uma boa dinâmica interna com boa gestão de tempo e empenho de

todos os elementos, embora com níveis de participações diferentes. Em conclusão do exercício

digitado o comando, o Software calculou o valor máximo desta função, indicado por um ponto.

Para visualizar seus valores, clicamos com botão direito em cima deste ponto; selecionamos

propriedades; na aba “básico”, fomos até exibir rótulos e selecionamos “valor” e apareceu o valor

do ponto máximo.

Em forma de conclusão do trabalho de investigação, os alunos do grupo A e B distribuídos

em quatro etapas, em turnos diferentes, resolveram as fichas de trabalho (Anexo IX), e

apresentaram as inquietações da ferramenta educativa com exercício abaixo referenciado:

Outro exercício pedia-se para que os alunos resolvessem as seguintes expressões numa só

grelha: Função real de variáveis real; f(x) = 2x + 4; f(x) = x2 - 3x; p(x) = 2 (1< x < 1)

129

Fig 25: Construção da Parábola, quadrilátero, reta - alunos do grupo A subgrupo2

No Grupo A- sub grupo 2 – começaram por identificar o tipo de função apresentada no

enunciado. O grupo A acertou a coordenada da função y = 2x + 4 com os pares ordenados (0, 4);

(1,6); (-1,-2). Identificaram a função como sendo uma função linear, de forma análoga foi possível

calcular o ponto mínimo da função alterando no comando apenas de “máximo” para “mínimo”.

p(x) = 2 ( 1< x < 1).

Este comando pode ser utilizado para qualquer função em que deseja-se encontrar tais

pontos em um intervalo definido. Com o desenvolvimento da atividade os Grupos A e B acertaram

na sua maioria das questões. A escala de valores correspondentes:

A (0-9), B (10-13), C (14-16), D (17-20), onde seriam atribuídas classificações: MB-

Muito Bom; B-Bom; S- Suficiente; I- Insuficiente; NO - Não Observável.

130

4.4 – Análise de dados

Num total, 83 alunos, formados em dois grupos de duas turmas do curso de Contabilidade,

realizaram as mesmas atividades ao longo da investigação. A maioria dos elementos do grupo era

do sexo feminino.

Grupos Subgrupos Masculino Feminino Total

Grupo A 9 23 22 45

Grupo B 8 11 27 38

Total 17 34 49 83

Tabela 9: Distribuição dos alunos dos grupos por género, (n = 83).

Ghiglione e Matalon (1992) referem quando a formulação de todas as questões e a sua

ordem são provisoriamente fixadas, é necessário garantir que o questionário seja de fato aplicável

e que respondam, efetivamente, aos problemas colocados pelo investigador bem como as

características do grupo de participantes.

O questionário deve ser aplicado a um grupo de pessoas, com o objetivo de saber se

entendem as perguntas, consultar como as questões e respostas são compreendidas, evitar erros de

vocabulário e de formulação e salientar recusas, incompreensões e equívocos (Ghiglione &

Matalon,1992). O questionário a que referimos para os alunos estava formulado de forma clara e

de maneiras que eles pudessem compreender o que estava indicado. A estrutura do questionário é

apresentado na tabela10.

Nº de Item Questionário- Indicadores Nº de perguntas

fechadas

1.2 Preferes trabalhar em grupo

7

2.2 Preferes trabalhar sozinha? 7

3.3 Vantagens recolhidas 4

4.4 Desvantagens identificadas 4

5.5 Características das aulas de

Matemática

12

6.6 Facilidade da realização das tarefas 2

131

Tabela 10: Constituído pelos itens - questionário inicial dos alunos

Como percebemos através das fichas de trabalho e de duas atividades “extracurriculares”

realizadas antes da investigação, a maioria dos alunos não dispunham de conhecimentos básicos

de geometria. Porém vale ressaltar que os exercícios apresentados nas fichas e nas atividades

preparatórias não foram avaliados nos programas seguintes, pois tratou-se apenas de conceitos de

funções polinomiais, quadráticas, das propriedades e das relações que existem entre tais

conteúdos. As fichas de atividades foram realizadas por 9 subgrupos do Grupo A e 8 subgrupos do

Grupo B num total de 5 alunos por cada subgrupo. Abaixo representamos na tabela 10 os

resultados encontrados.

Os grupos, de um modo geral, acertaram todas questões considerando que a sua

classificação variou entre 7 e 16 valores. É importante indicar que cada subgrupo poderia ter uma

pontuação entre: Insuficiente I = (0 - 9 valores); Suficiente S = (10 - 13 valores); Bom B = (14 -16

valores); Muito Bom MB = (17-20 valores). Corresponderam as expetativas na partilha dos

exercícios, embora alguns subgrupos não acertarem em exercícios de revisão das funções. Em

forma de conclusão os resultados esperados foram alcançados, pois a avaliação apresentada não

determina “ o grau de dificuldades ” que apresentaram na aprendizagem da Matemática.

Grupo A Grupo B

Notas N /

subgrupo

F. r. %

Acumulada

Notas N/

subgrupos

F. r. %

Acumulada

8,75

10,25 10,5

10,75

11,5 12,5

1

3 1

2

1 1

11,11%

33,33% 11,11%

22,22%

11,11% 11,11%

11,11%

44,44% 55,55%

77,77%

88,88% 99,99%

10,25

11 11,25

11,50

12,75 13,75

15,75

2

1 1

1

1 1

1

25%

12,5% 12,5%

12,5%

12,5% 12,5%

12,5%

25%

37,5% 50,00%

62,5%

75,00% 87,50%

100,00%

Total

9 100,00 % 8 100,00%

Tabela 11 – Classificações obtidas nas Fichas de atividades

132

As classificações apresentadas são resultados das fichas de atividades realizadas pelos

subgrupos formados nos grupos A e B. Analisamos as médias gerais dos subgrupos, vimos que o

crescimento foi relevante.

A Tabela11 apresenta o resumo dos dados estatísticos das amostras das fichas de

atividades realizados pelos Grupos A e B, divididos por subgrupos:

Grupo A Grupo B

Sub grupos

Média

Desvio Padrão

Moda

Mediana

Nota Mínima

Nota Máxima

9

10,61

0,96

10,25

10,5

8,75

12,5

8

12,06

1,79

10,25

11,5

10,3

15,7

Tabela:12 Dados estatísticos das classificações obtidas

4.4.1. - Apresentação – Grupo A e Grupo B

No Grupo A, divididos por 9 subgrupos, assim 3 subgrupos obtiveram 10,25 valores que

totaliza 44% dos alunos, enquanto 2 subgrupos obtiveram 10,75 valores e um grupo que obteve

8,75 valores, que 11% dos alunos estiveram valores iguais a 8,75, na 1ª ficha, 10,50 na 2ª ficha

11,50 valores na 3ª ficha e 12,50 na 4ª ficha, em termos percentuais podemos resumir que totaliza

11% dos alunos. Dos 77% dos alunos do Grupo A obtiveram valores abaixo de 10,25 enquanto

22% dos alunos obtiveram acima de 11 valores. O Grupo A teve a média é igual a 10,61 (dez

vírgula sessenta e um), um desvio padrão de 0,96, significa que os valores do grupo A estavam

mais concentrados numa dispersão de 0,96.

O Grupo B dividido por 8 subgrupos, foram classificados 2 subgrupos obteve valores de

10,25 que totaliza 25,00% dos alunos do grupo B,75,00 % dos alunos obtiveram valores

superiores a 11,50.

O Grupo B obteve uma média de 12,06 (doze vírgula zero seis) e um desvio padrão de

1,79, significa dizer que o grupo B teve maior dispersão, os valores estavam mais dispersos. Os

133

resultados apresentam uma diferença relevante entre os grupos A e B, pois acreditamos ser

caraterizado pela motivação do uso do suporte informático educativo que desempenhou um papel

fundamental no desenvolvimento das tarefas dos alunos do grupo B em relação aos alunos do

grupo A.

Gráfico:8 Análise estatística dos grupos A e B

Fazendo uma análise através dos desvios padrões nos dois grupos sem precisamente fazer

comparação, pois foi como segue o gráfico8: o grupo A apresentou desvio padrão 1,3 (um vírgula

três), e o desvio menor indica que as notas apesar de serem baixas está mais concentrado ou seja

poderão ter havido uma melhoria nos desempenhos.

A partir destes dados podemos inferir que apesar de ter ocorrido um avanço nos dados

apresentados pelos grupos, a dispersão dos dados pouco se alterou. Em termos gerais podemos

concluir que os dois grupos foram homogêneos, isto significa que a presença do suporte motivador

de aprendizagem teve influência nos grupos. Nos encontros realizados percebemos uma mudança

relevante de atitude dos alunos, uma motivação, um estímulo diferente daquele apresentado nas

aulas tradicionais.

Média Desvio Padrão Nota Minima NotaMáxima

Grupo A 10,61 0,96 8,75 12,5

Grupo B 12,06 1,79 10,3 15,7

Coluna1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Títu

lo d

o E

ixo

Grupo A e Grupo B

134

Sabemos que essa motivação é dada, pelo fato do estudo ser realizado num ambiente

diferenciado, com recursos tecnológicos computacionais, pois ao lidarem com o Geogebra até de

forma involuntária, traz à tona conhecimentos existentes em sua estrutura cognitiva que servirão

de base para outros temas e que, conforme destacam os autores citados nas alíneas anteriores. O

suporte informático educativo Geogebra não só contribui para a superação de obstáculos do

processo de construção do conhecimento, mas também pode acelerar o processo de apropriação de

conhecimento.

Os recursos educativos tecnológicos têm uma característica interessante: quanto mais rico

for nos seus recursos, mais acessíveis vão se tornando aos alunos as ideias matemáticas

significativas e profundas.

Gráfico9: Visualização das fichas de trabalho dos subgrupos do grupo A.

O gráfico9, apresenta os acertos das questões das fichas de atividades realizadas pelo grupo

A, na verdade o grupo dividido por 9, apresentaram resumidamente 9 resultados, e a tabela 11

mostra a média do grupo A, (dez vírgula sete).

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

subg1 subg2 subg3 subg4 subg5 subg6 subg7 subg8 subg9

Grupo A Fichas de Atividades

135

Gráfico 10: Visualização das 4 fichas de trabalho dos subgrupos do Grupo B

O gráfico 10, apresenta os acertos das questões das fichas de atividades realizadas pelo

grupo B, na verdade o grupo dividido por 8, apresentaram resumidamente 8 resultados, e a tabela

10 mostra a média do grupo B, (doze vírgula três).

4.5 – Conclusão

O Grupo A e o Grupo B, além do Software educativo Geogebra, utilizaram também o

material didático como: lápis, caneta, régua, caderno e outros para a realização das atividades

investigativas para complementarem os exercícios finais,” ficha de atividades.” Apresentaram

dificuldades na partilha dos exercícios, porque todo trabalho foi realizado em grupos, critério ao

qual muitos alunos tiveram dificuldades em se adaptaram.

A motivação dos alunos, no uso dos computadores, internet e o Software educativo

Geogebra levou-os a compreenderem melhor, o quanto se pode superar dificuldades quando se

tem um auxiliar tecnológico para o ensino e aprendizagem da Matemática. Verificamos que os

alunos dos grupos A e B acertaram as fichas de trabalho, e assim sendo, como refere, (Gadotti,

1984 citado por Fernandes, 2005)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

subg1 subg2 subg3 subg4 subg5 subg6 subg7 subg8

Grupo B

Fichas de Atividades

136

“Avaliação é inerente e imprescindível, durante todo processo educativo

que se realize em um constante trabalho de ação-reflexão, porque educar é

fazer ato de sujeito, é problematizar o mundo em que vivemos para superar

as contradições, comprometendo-se com esse mundo para recriá-lo

constantemente” (p. 90).

Resumindo, no grupo A obteve-se uma classificação que satisfaz os objetivos alcançados,

o grupo B embora apresente uma aproximação da pontuação desejável, ficou aquém do esperado.

Os subgrupos do grupo B, mostraram maior desempenho na resolução das fichas de atividades o

que nos levou a entender que o Geogebra ajudou na resolução das tarefas de Matemática.

Para clarificar as questões relacionadas com as tarefas, preparamos duas aulas com a

finalidade de organizar a informação relacionada com estudo e proceder a eventuais

reajustamentos na planificação,

Também elaboramos um documento com os tópicos referenciados ao tema funções e

gráficos de uma função afim e linear, com uso parcial do Geogebra, onde recolhemos informações

sobre a dinâmica geral das atividades investigativas, ou seja, o resultado do funcionamento dos

grupos, as intervenções dos alunos.

O modo interpretativo na representação gráfica das funções lineares e quadráticas, não

satisfez aos resultados esperados, pois o tempo da investigação não permitiu fazer um diagnóstico

dos conhecimentos mais profundos. O grupo A-sub1 revelou-se insuficiência na utilização da

terminologia e da notação científica das funções: x B: f (x) = y, isto levou-nos a

deduzir que esta dificuldade pode estar relacionada com bases menos sólidas em Matemática por

parte dos alunos. Estes não conseguiram diferenciar o termo variável e parâmetro no exercício

número 1.2 da aula preparatória – Anexo A. No caso de construções gráficas cartesianas, os

alunos muitas das vezes trocavam o valor do eixo da abcissa (x) pelo valor do eixo da ordenada

(y).

Segundo Ponte (1984),“ em determinados casos, os alunos ao apresentarem uma

representação gráfica correta e a relação entre variável independente e variável dependente pode

confundir mais do que clarifica“. (p. 13).

Reparamos que a não utilização do material didático contribuiu para uma construção de

gráficos menos sólida. Em relação à construção gráfica realizada no papel quadriculado

resolveram com perfeição e permitiu poupar tempo. Os alunos na sua maioria não substituíam

valores negativos nem números decimais para acharem os pares ordenados e traçarem o gráfico,

137

pois ocorriam sempre erros nos cálculos, assim optavam por números naturais positivos por ser o

mais comum no cotidiano (Cury, 2006).

O Grupo Bsub2, ao estabelecerem a relação entre características da função linear e a

respetiva expressão analítica, classificaram corretamente que a função linear é uma reta que passa

pela origem do referencial cartesiano e que a sua expressão geral é do tipo y = ax e que pode ser

atribuídos tanto valores positivos como negativos.

Na perspetiva de Monk, (2003) como citado por Ribeiro, R., (2005) ” a forma como os

alunos observam para um gráfico é influenciada pelo conjunto de experiências e conhecimentos

que têm quando o observam” (p. 40). Assim nesta perspetiva provavelmente o necessário é um

estudo mais prolongado no trabalho de gráficos.

Relativamente ao gráfico de uma função afim ou não linear, os alunos do GAsub3

responderam corretamente às perguntas acerca da caraterística da função, sinalizando que não

passa na origem do referencial cartesiano apesar de ser uma reta.

No caso em que as expressões analíticas têm o mesmo parâmetro b os alunos conseguiram

relacionar o sinal de a com a monotonia da função analisada a partir do gráfico ou relacionaram o

valor absoluto de a com a inclinação da reta em relação ao eixo do x.

Muitas vezes os alunos estabeleceram relações com base numa estratégia de tentativa de

erro, como refere Ricco (1995, cit. por Pinto & Bertoni, 2000) “ porque eles não surgem

acidentalmente, mas decorrem de estratégias e regras pessoais adquiridas nos conhecimentos

iniciais”. O grupo B revelou uma estratégia menos rigorosa em termos matemáticos.

Quanto a influência da variação dos parâmetros a e b no gráfico da função, os estudos em

ambiente estático proporcionaram uma experiência de construção de gráficos à mão, ou seja com

lápis, régua, antes de o transferirem no computador.

Como refere Bardini, Pierce e Stacey (2004) na sua perspetiva “ o trabalho realizado com

recursos à tecnologia permite resolver problemas graficamente, possibilitando ao aluno estudar um

maior número de hipótese usando diferentes representações” (p. 40). No caso dos alunos do grupo

Bsub3, identificaram o valor do parâmetro a com o declive da reta e relacionaram corretamente

com a monotonia da função.

A atividade investigativa coincidiu com o tema funções do 1º, 2º grau e a planificação

semanal das aulas normais de forma a complementar a informação reformulamos conversas com

os alunos onde apresentaram as dificuldades recorrentes na resolução das tarefas com Software

138

Geogebra. As aulas tiveram a duração de 90 minutos cada. A análise dos dados assume um caráter

descritivo

Salientamos o quanto é importante que os professores estejam sempre em busca de novas

alternativas e recursos para a melhoria qualitativa do seu ensino: destacamos ainda a maior

necessidade em relação a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

Ao término desta investigação foi possível verificar a importância de desenvolver

atividades que diferem das que os alunos estão habituados em sala de aula, pois a motivação por

eles manifestada foi notória na realização das atividades desenvolvidas nesta investigação. Em

forma de conclusão, teremos de refletir sobre as vantagens associadas aos novos paradigmas

educacionais com o uso das TIC bem como aos diferentes modelos didáticos associados ao uso

dos computadores e das tecnologias móveis.

Em continuidade a esta pesquisa, pretende-se agora, aprofundar a investigação sobre o uso

dos computadores, telemóveis e a internet por parte de outras comunidades escolares e em outros

temas da Matemática.

139

CAPITULO V – CONCLUSÕES FINAIS

As principais conclusões do estudo associam-se aos desenvolvimentos registados nas

competências tecnológicas e competências geométricas dos alunos envolvidos na investigação,

bem como a satisfação e envolvimento na aprendizagem por estes demonstrados ao longo da

investigação. Ao depararmo-nos com as conclusões de uma investigação científica deseja-se que

sejam apresentados os resultados que contribuem diretamente para responder aos objetivos de

investigação delineados pelo investigador. Neste sentido, faremos uma discussão voltada para os

elementos que emergiram a partir da recolha de dados, no nosso entendimento, poderão contribuir

para a melhoria do ensino/aprendizagem da Matemática.

5.1 – Síntese de estudo

O trabalho teve como objetivo principal investigar até que momento o impacto do uso das

novas tecnologias de informação e comunicação influenciaram de forma positiva no processo de

aprendizagem da Matemática no 2º ciclo do ensino secundário em Angola. A proposta pedagógica

foi desenvolvida com base na realização de 11 aulas com ajuda do professor da disciplina de

Matemática, num tempo de 45 minutos por aula, na unidade de ensino “ Funções e gráficos de

uma função linear e quadrática”. Foram, administradas mais duas aulas preparatórias para

clarificar e desenvolver os exercícios com uso do Geogebra e informar acerca das questões e o

objetivo das aulas, para que os alunos colaborassem no decorrer da totalidade da investigação.

O estudo enquadra-se no paradigma interpretativo, segue uma abordagem qualitativa. As

tarefas têm características predominantemente exploratórias e têm em comum o mesmo conteúdo

matemático. A revisão aprofundada da literatura sobre diversos temas relacionados com as

funções, veio trazer uma nova visão sobre aspetos ligados às estratégias de ensino e os obstáculos

dos alunos na aquisição desses conceitos matemáticos.

Procuramos explorar a construção de gráficos em diferentes contextos, identificamos as

dificuldades que sentem na interpretação da representação gráfica e na passagem do tipo de

representação algébrica-verbal-numérica para outro tipo e reciprocamente.

A mudança de representação algébrica para representação gráfica, demonstra elevada

importância nos processos de compreensão inicial de um problema. Tal como é definido por

140

Friedlander e Tabach (2001)” (…) os alunos utilizam processos numéricos para determinarem as

coordenadas de pontos“ (p. 4). Procuramos encontrar um denominador comum para que os

exercícios da atividade investigativa fossem baseados na interpretação da representação gráfica.

Segundo Duval (2006, Programa de Matemática do Ensino Básico, 2009, p. 3) que cada

representação de um conceito matemático transmite informações específicas, mas por si só, apenas

proporciona uma “ perspetiva” sobre conceito de função, e nas reflexões de Ponte, (1990)

acrescenta que o ensino das funções deve atender à necessidade de articular as várias formas de

representação.

Na sua generalidade, os grupos A e B apresentaram habilidades e conhecimentos que

coincidem com os estudos verificados por Guerreiro (2009) no qual foi possível constatar que

nenhum aluno associou as expressões analíticas das funções aos respetivos gráficos sem utilizar

primeiro processos numéricos.

Na representação verbal para a representação gráfica, na sua lógica os alunos utilizaram a

representação algébrica. Vejamos como, exemplo o exercício da 1ª ficha de atividade como passo

intermédio porque o grupo A considerou como uma ferramenta que permite fazer quase tudo. E

numa situação modelada por uma função linear, pode-se identificar as variáveis do problema e

determinar as coordenadas dos pontos em y = ax + b, determinando o valor do parâmetro b a partir

do gráfico e resolver a equação em ordem a.

Os principais instrumentos utilizados na recolha de dados foram a observação das aulas, as

produções escritas dos alunos, as entrevistas e os questionários realizados no final da unidade com

o objetivo de clarificar aspetos inerentes às tarefas realizadas nas aulas e recolha de informações

complementares.

Apresentamos o resumo dos dados estatísticos dos grupos que participaram na investigação

deste trabalho. Cerca de 78% dos alunos do Grupo A obtiveram valores abaixo de 10,25 valores

enquanto 22 % dos alunos obtiveram acima de 11 valores.

O Grupo A teve uma média igual a 10,61 pontos com um desvio padrão de 0,96 ou mesmo

representativo de uma moderada dispersão nos resultados. Foi-nos possível verificar que o grupo

A apresentou alguns impedimentos na aprendizagem do conteúdo programático com o Software

educativo auxiliar Geogebra, o que significa dizer que necessitamos estabelecer uma melhoria no

processo de ensino e aprendizagem no que se refere à utilização destes aplicativos.

141

No Grupo B, dividido por 8 subgrupos, obteve-se os seguintes valores: 2 subgrupos

obtiveram classificações até 10,25 pontos, o que totaliza 25% dos alunos do grupo B, enquanto 75

% dos mesmos obtiveram valores superiores a 11,50 pontos.

O Grupo B obteve uma média de 12,06 um desvio padrão de 1,79, ou seja indicativo de

elevada dispersão nos valores registados. Os resultados apresentam uma diferença relevante entre

os grupos A e B, pois acreditamos ser caraterizado pela motivação do uso do suporte informático

educativo que desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento das tarefas dos alunos do

grupo B em relação aos alunos do grupo A. Tabela10

Acreditamos que a dinâmica oferecida pelo Geogebra, que é um Software livre e de fácil

utilização, pode contribuir de um modo relevante para o desenvolvimento da aprendizagem de

conceitos matemática junto de crianças e jovens.

5.2 - Conclusões

Manifestamos como questão específica da investigação que as capacidades adquiridas

pelos alunos no estudo das funções com a utilização do Software educativo Geogebra,

nomeadamente encarando as funções como relações entre variáveis e suas múltiplas

representações, promoveu neles o desenvolvimento da capacidade de interpretar diversos gráficos

de funções afins e quadráticas, facilitando a aprendizagem em relação a matéria de álgebra e

geometria (Ponte, 2005).

Por conseguinte, como testa Valente (1996) defende-se que os professores, “ devem ter

também como aliado a tecnologia (…), no ambiente escolar” pois demonstramos que a realização

de tarefas de exploração, recorrendo ao Software Geogebra, contribui para a aprendizagem das

funções.

Os alunos exibiram também desenvolvimentos nas suas competências na resolução de

gráficos aplicando a lei de correspondência sem ajuda do professor. De um modo geral o Grupo B

acertou a maior parte dos exercícios do enunciado apresentando desempenho superior ao Grupo A.

Contudo é importante assinalar que se registou, uma aproximação dos resultados nas fichas

de atividades sem o uso do computador.

142

Podemos assim afirmar que o Software Geogebra melhora a aprendizagem da construção

de gráficos das funções: lineares e quadráticas.

A explicação gráfica da simetria direta permitiu que os alunos, visualizassem situações já

conhecidas, entre duas linguagens, a analítica e a gráfica, no conceito de função. Durante a

investigação desta unidade, pretendíamos que os alunos reconhecessem o significado de fórmulas

no contexto de situações concretas e desenvolvessem aptidão para as usar na resolução de

problemas.

Com base nos indicadores, chegamos à conclusão que os alunos compreenderem o

conceito de função, enquanto correspondência entre conjuntos e enquanto relação entre variáveis;

desenvolverem a aptidão para representar relações funcionais de vários modos e passar de uns

tipos de representação para outros, usando tabelas, gráficos e expressões algébricas ao mesmo

tempo que desenvolverem a sensibilidade para entender o uso de funções como modelos

matemáticos de situações do mundo real (Me-Deb, 2001, p. 67).

No que concerne as aprendizagens, antes de chegarem ao 2º ciclo, os alunos resolveram

muitos problemas envolvendo proporcionalidade direta. Por exemplo, no 1º ciclo os alunos

trabalham com situações que envolvem este conceito, identificam relações e utilizam linguagem

simbólica para as representar” (Ponte et al., 2007, p.55) devendo para isso, realizar atividades, que

permitiram: interpretar diferentes representações de uma relação e relacioná-las; compreender os

conceitos de razão, proporção a constante de proporcionalidade; utilizar proporções para modelar

situações e fazer previsões” (Idem, 2007, p.41).

Como a Matemática é uma disciplina tradicionalmente ligada ao insucesso académico dos

alunos, importa garantir a sua presença para “ todos os ramos da ciência e tecnologia, em diversos

campos da arte, em muitas profissões e setores da atividade de todos os dias, fazem dela quase

prioritária face ao seu contributo para o desenvolvimento científico e tecnológico, que urge

trabalhar no sentido de melhorar os resultados numa das mais importantes áreas disciplinares do

ensino, (Ministério da Educação, 2001, p. 67). A utilização de novos instrumentos capazes de

motivar os alunos e conduzi-los a novas competências e atitudes enfatiza a TIC e a utilização de

Software educativo (Programa de Matemática do Ensino Básico, 2009).

Deste modo, o resultado da investigação se tornou uma base de trabalho para futuro ensino,

voltada especificamente para experiências letivas possíveis de se realizar em sala de aula com uso

do Software Geogebra.

143

O processo de ensino no 2º ciclo na Republica de Angola tem sido objeto de modificações

num passado não muito distante, procurando estabelecer melhoria e introduzir novas

metodologias, segundo o Programa de reforma educativa (INIDE, 2010).

As orientações metodológicas gerais do novo programa de Matemática sugerem como

sendo de particular importância a utilização do computador na resolução de problemas, na

exploração de situações e nas estratégias de resolução, interpretação e avaliação de resultados, de

modo a reconhecer a importância da Matemática no desenvolvimento da tecnologia, isto se

pretende alargar para outros programa curriculares mais concretamente através do programa de

reforma educativa do ensino secundário de Angola.

Na sociedade da informação e do conhecimento, onde a utilização das TIC na vida pessoal

e profissional é uma tendência crescente, há que tomar partido das mesmas para a aprendizagem

da Matemática. As TIC desempenham um papel importante no processo de mudança social,

envolvendo-nos naquela que é hoje uma sociedade de informação. É quase impossível nos dias de

hoje não participar nesta sociedade e estarmos de fora do mundo global. Cada vez mais os

programas disciplinares têm que inclui-las sobretudo nas escolas do Ensino Técnico profissional

em Angola (RETEP, 2007).

Segundo Jonassen (2007)

“as ferramentas cognitivas são meios para negociar significados de forma

colaborativa” (p. 25).

É importante para, o professor fazer uma interação entre a teoria e a prática, buscando

soluções para uma educação de maior qualidade, mais justa e democrática, empenhando numa

educação de inteligência, capacidade e direitos de nossos futuros cidadãos. Essas potencialidades

de conhecimentos matemáticos devem ser exploradas de forma mais ampla e possível. Neste

sentido, acreditamos que este estudo representa uma importância significativa, fornecendo-lhes

informações para que os professores possam dar um novo sentido nessa problemática.

Nas tarefas que propomos, tendo em conta as características dos grupos, optou-se por

apresentar conceitos de funções onde os exercícios estariam ao alcance dos alunos, servindo como

motivação das aulas (Ponte, 2005). Parte das tarefas foram elaboradas através do programa de

matemática do 2º ciclo do ensino secundário que rege em Angola, que permitiu percorrer

gradualmente os objetivos da unidade de ensino e tiveram em comum o mesmo contexto

puramente matemático. Planificou-se a unidade pensando associar conceitos matemáticos a coisas

que lidam ou que podem lidar no cotidiano dos alunos.

144

5.3 – Considerações Finais

A partir das conclusões obtidas nesse trabalho, poderemos contribuir efetivamente para um

processo mais contextualizado no ensino- aprendizagem da Matemática e para uma melhor

distribuição curricular nos programas do 2º ciclo de ensino secundário mais concretamente as

classes da 10ª, 11ª e 12ª, sugerindo adequações dos métodos de abordagem dos conteúdos às novas

tecnologias de informação e comunicação. É importante que o nosso aluno esteja apto a trabalhar

com o computador e outras tecnologias móveis, com o intuito de formar-se um perfeito

profissional e um cidadão pleno.

O Curso de Mestrado em Educação e Tecnologias Digitais, permitiu identificar aspetos que

influenciaram positivamente no meu desempenho enquanto professora atual e aspetos que

procurarei melhorar no futuro.

Podemos dizer que o Software educativo Geogebra apresenta-se maioritariamente como

uma simples ferramenta de suporte ao processo de ensino e aprendizagem e moldes muito

tradicionais. Os estudos da área da tecnologia educacional, têm vantagens em desenvolver-se

também no sentido de mudança nos próprios métodos pedagógicos e didáticos. É dentro desse

espírito que este trabalho insere-se.

A efetiva utilização destes ambientes é um grande desafio, conforme aponta Levy (1994),

É certo que a escola é uma instituição que há cinco mil anos se baseia no

falar / ditar do mestre, na escrita manuscrita do aluno e, há quatro séculos,

em um uso moderado da impressão. Uma verdadeira integração da

informática supõe o abandono de um hábito antropológico mais que

milenar, o que não pode ser feito em alguns anos. (p. 22).

Avaliamos a adequação das estratégias pedagógicas adotadas pelos professores de

Matemática, propusemos soluções viáveis para resolver o problema da aprendizagem dos alunos

com a elaboração de questionários, entrevista guiadas, textos, inquérito por questionários,

conversas informais de que a utilização do Software Geogebra constitui um fator motivador para

as aulas de Matemática e contribui para a aprendizagem das funções, pois os alunos mostraram

suas competências na resolução de gráficos aplicando a lei de correspondência a partir do

Software Geogebra sem ajuda do professor.

145

O estudo gráfico de funções é auxiliado com o computador ou a calculadora gráfica, dando

ênfase a distinção entre a representação gráfica da calculadora e o verdadeiro gráfico da função. A

experiência realizada leva a que se recomende o alargamento do trabalho de ensino e

aprendizagem com recursos a ferramentas informáticas a outras escolas do país.

Sempre que necessário são revistos os conceitos pré-requeridos, podendo até ser o ponto de

partida para introduzir novos conceitos. Como nota importante apresentamos as contribuições de

Isaac Newton – Físico e Matemático Inglês (1642 – 1727) que escreveu em 1687 e desenvolveu a

fórmula binómica, que na Matemática em quase todos os cálculos devemos relembrar: De modo

análogo, podemos calcular as segundas e enésimas potências e, de modo geral, obter o

desenvolvimento da potência (a + b)n, a partir da anterior, ou seja, de (a + b)

n +1: Sugere-se aqui

alguns exemplos de desenvolvimento de binómios de Newton num contexto educativo que os

alunos não devem esquecer,

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(a + b)3 = a

3 + 3 a

2b + 3ab

2 + b

3

(a + b)4 = a

4 + 4 a

3b + 6 a

2b

2 + 4ab

3 + b

4

(a + b)5 = a

5 + 5 a

4b + 10 a

3b

2 + 10 a

2b

3 + 5ab

4 + b

5. Pelos produtos notáveis, sabemos que

(a + b)² = a² + 2ab + b² , Se quisermos calcular (a + b)³ , podemos escrever: (a + b)3 = a

3 + 3a

2b +

3ab2 + b

3, Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento: (a + b)

4 = (a +

b)3 (a + b) = (a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3) (a + b) = a

4 + 4a

3b + 6a

2b

2 + 4ab

3 + b

4

Em todas as circunstâncias, o professor incentiva o aluno a fazer um desenho ou esboço do

problema que está abordando, não deixando que se limite à resolução exclusiva de equações e mas

que se foque igualmente na utilização de fórmulas importantes que o aluno deve identificar. O

aluno deve justificar com algum detalhe o processo utilizado, justificando adequadamente os

exercícios propostos. Assim sendo, relembramos o quadro com símbolos Matemáticos mais

importantes que os alunos do 2º ciclo do ensino secundário devem recordar (Anexo XXIV).

Acreditamos que a dinâmica oferecida pelo Geogebra pode contribuir de um modo

relevante para o desenvolvimento da aprendizagem da Matemática. È evidente que ao propormos

o uso de Software Geogebra para a melhoria da aprendizagem, não iremos esperar que as

ferramentas tecnológicas possam solucionar todos os problemas que envolvem o ensino da

construção e gráficos de uma função, suas características e modos de representação.

146

De igual modo, e porque conhecemos as condições físicas e tecnológicas que as escolas

enfrentam, sabemos o quanto é difícil, em certos contextos, implementar, as atividades aqui

descritas.

Contudo relatamos aqui uma realidade de esperarmos que num futuro não muito distante,

possa ser realidade em todas as salas de aulas do contexto angolano, atuando as tecnologias nessas

como verdadeiros objetos de suporte à aprendizagem.

Nossa investigação indicou que a ferramenta tecnológica configura num recurso

pedagógico importante que não deverá ser ignorado, da mesma forma que o uso de lápis, papel,

régua, compasso, material manipulável são indispensáveis no facilitar da aprendizagem

matemática.

147

6 – REFERÊNCIAS

Ausubel, D. P., Novak, J. D., & Hanesian, H. (1983). Psicología Educativa: Un punto de vista

cognoscitivo. México: Trillas.

Almouloud, S. A. (2000). Fundamentos da Didáctica da Matemática. Programa de Estudos Pós

graduados em Educação Matemática. Puc. Sp Aprendizagem. 21-29. Lisboa: IIE.

Associação de Professores de Matemática, (1988). A renovação do currículo de Matemática.

Lisboa: APM.

Associação de Professores de Matemática, (2001). Posição da APM sobre tecnologias na educação

Matemática. Educação e Matemática. 61, 24.

Barboni, A., & Paulette, W. (2007). Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise [online].

Retirado de https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)

Batista, S. (2006). Uso Pedagógico das Tecnologias de Informação e Comunicação: Recurso para

Aprendizagem Matemática. In Anais do SIPEMAT, Programa de Pós-Graduação em

Educação. Centro de Educação. Recife: Universidade Federal de Pernambuco.

Bogdan, R. C., & Biklen, S. K. (1994). Investigação qualitativa em educação. Porto: Porto

Editora.

Borba, C. M. (2004). A pesquisa qualitativa e educação matemática [online]. Retirado de

http://www.livrarialoyola.com.br/v3/index.htm

Parâmetros Curriculares Nacionais, PCN. (1999). Ministério da Educação, Secretaria de Educação

Média e Tecnológica Ensino Fundamental e Médio. Brasília: Mec/Semt.

Cabero, J. (1998). Avaliar para Melhorar: Meios e Materiais de Ensino. In J. M. Sancho, (Org.)

Para uma Tecnologia Educacional. Tradução de Maria da Graça Souza Horn (pp.257-284).

Porto Alegre: Editora Artmed.

148

Caraça, B. (1958). Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Sá da Costa.

Carneiro, R. (2005). Engenharia didáctica: um referencial para ação investigativa e para

formação de professores de Matemática. Zetetike, Campinas: Unicamp.

Carneiro, R. (2003). @Escola Aprender a qualquer hora, em qualquer lugar. Os professores e os

saberes. Lisboa: Conferência realizada no Centro de Congressos de Lisboa.

Costa, B., & Rodrigues, E. (2011). Novo Espaço 10º Ano. Porto: Porto editora.

Campiteli, H.C., & Campiteli, V.C. (2003). Metodologia para ensino de funções. Ponta Grossa:

Editora UEPG.

Cysneiros, P. G. (1998). Novas tecnologias na sala de aula: Melhoria do ensino ou inovação

conservadora. In Anais do Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino (pp.199 -

216). Águas de Lindóia: ENDIPE.

Carrilho, C., & Cabrita, I. (2007). A Matemática em ambiente virtual. Potencialidade dos Blogues.

Aveiro: Universidade do Aveiro.

D’ambrósio, U. (1997). Transdisciplinaridade. A história da Matemática: Questões

historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. In M. A. V. Bicudo (Org.),

Pesquisa em Educação: concepções e perspectivas. São Paulo: Palas Atenas.

D’ ambrósio, U. (1999). A história da matemática: questões historiográficas e políticas e reflexos

na Educação Matemática. In M. A. V. Bicudo (Org.), Pesquisa em Educação Matemática:

concepções e perspectivas (pp. 97-115). São Paulo: UNESP.

D’ambrósio, U. (2000). A Interface entre História e Matemática: Uma visão Histórico-

Pedagógica. In J. A. Fossa (Org.). Facetas do Diamante: Ensaios sobre Educação

matemática e História da Matemática (pp. 241-271). Rio Claro:

Editora da SBHM.

149

D’ Cruz, M., (2000). Relatório final da assistência técnica no domínio do desenvolvimento

curricular. Primeiro Projeto de Educação. Luanda: INIDE.

Domingos, A. M. (1994). A aprendizagem de funções num ambiente computacional com recurso a

diferentes representações (Tese de Mestrado). Lisboa: Universidade Nova de Lisboa.

Duval, R. (2003). Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo

a Compreensão em Matemática. In A. Machado (Org.), Aprendizagem em

Matemática: Registros de Representação Semiótica (pp. 11-33). Campinas: Papirus.

Estrela, A. (1994). Teoria e Pratica de Observação de Classes. Uma Estratégia de Formação de

Professores. Porto: Porto Editora.

Gonçalves, L. (2012). Mestrado em ensino da Matemática no 3º ciclo ensino básico e

secundário. Um instrumento auxiliar no processo ensino e aprendizagem daMatemática.

Madeira: Universidade da Madeira.

Guerreiro, L. A. (2009). O papel das representações algébricas na aprendizagem das funções

(Tese de mestrado). Lisboa: Universidade de Lisboa.

Instituto Nacional de Investimento e Desenvolvimento da Educação, (2004). Opções

para a Reconstrução do Sistema Educativo- Estudo Sectorial (Tomo I). Luanda: UNICEF.

Kenski, V. (2010). As tecnologias invadem o nosso cotidiano [online]. Retirado de

http://leonardoleao.googlepages.com/Astecnologiasinvademnossocotidiano.

Martins, M. P. (1996). A avaliação das aprendizagens em matemática: Conceções dos

professores. (Tese mestrado). Lisboa: Universidade Católica Portuguesa.

Matemática e Comunidades (2002). A diversidade social no ensino aprendizagem da matemática

In Actas do XI Encontro de Investigação em Educação Matemática da SPCE (pp. 65-70).

Lisboa: IE.

150

Matos, A. (2008). Explorando relações funcionais no 8.º ano: Um estudo sobre o desenvolvimento

do pensamento algébrico. (Tese de Mestrado). Lisboa: Universidade de Lisboa.

Ministério da Educação, (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico. Competências essenciais.

Lisboa: Direcção Geral do Ensino Básico do Ministério da Educação.

Ministério da Educação, (2007). Programa de matemática do ensino básico. Lisboa: Direcção

Geral da Inovação e Desenvolvimento Curricular do Ministério da Educação.

Moraes, R. (2002). Pesquisa em Sala de Aula: Fundamentos e pressupostos. In R. Moraes, & V.

M. Lima (Org.), Pesquisa em Sala de Aula: Tendência para a

Educação em Novos tempos (pp. 9-23). Porto Alegre: Edipucrs.

Moreira, D. (2002). Educação Matemática, comunidades e mudança social. In C. Moreira, I.

Lopes, J. Oliveira, M. Matos, & L. Vicente, Matemática e Comunidades. A diversidade

social no ensino-aprendizagem da Matemática. (pp. 9-25). Lisboa: IIE e SPCE.

Morin, E., & Cabeça, A. (2000). Bem-Feita. Rio de Janeiro: União de Editoras S. A.

Mpaka, N. (2010). O ensino e a aprendizagem do gráfico da função quadrática com e

sem auxílio do Software Winplot (Dissertação de Mestrado). Lisboa: Universidade

Losófona.

Neves, F., Guerreiro, L., Leite, A., & Silva, J.N. (2010). Matemática A 10º Ano. Porto:

Porto Editora.

Novak, J., & Gowin, D. (1999). Aprender a Aprender. Lisboa: Plátano Edições Técnicas.

Nunes, S. M., & Sebastião, J. R. (2004). Associação dos Professores de Matemática. Insucesso no

Ensino Superior. Lisboa: Gráfica Fonte Santa.

NCTM, (1995). Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar. Lisboa: APM e

IIE.

151

NCTM, (1998). Normas profissionais para o ensino da Matemática. Lisboa: APM e IIE.

NCTM, (2007). Princípios e normas para Matemática Escolar. Lisboa: APM.

Oliveira, N. (1997). Conceito de função: Uma abordagem do Processo Ensino-aprendizagem

(Dissertação de Mestrado em Ensino da Matemática). São Paulo: Universidade Católica de

São Paulo.

Onrubia, J., (2006). Ensinar: Criar zonas de desenvolvimento proximal e nelas intervir.

In C. Coll, E. Martín, T. Mauri, M. Miras, J. Onrubia, I. Solé & A. Zabala (Org.). O

Construtivismo na sala de aula. (pp. 123-151). São Paulo: Ática.

Paiva, J. (2002). As Tecnologias de Informação e Comunicação. Utilização pelos Professores.

Lisboa: Ministério da Educação - Departamento de Avaliação Prospetiva e Planeamento.

Papert, S. (1997). A Família em Rede. Lisboa: Editores Relógio D’Água.

Papert, S. (2007). Máquina das Crianças: Repensando a escola na era da informática

[online]. Retirado de https://pt.wikipedia.org/wiki/Seymour_Papert.

Peres, A. C. (2000). Conceções e práticas avaliativas de professores de matemática do 2º ciclo do

ensino básico (Tese de Mestrado). Lisboa: Universidade Católica Portuguesa.

Pelho, E. B. B. (2003). Introdução ao conceito de função: a importância da compreensão das

variáveis (Dissertação de mestrado). São Paulo: PUC.

Pinto, J. (2002). A avaliação formal no 1º ciclo do ensino básico: Uma construção social. (Tese

de doutoramento). Minho: Universidade do Minho.

Polya, G. (2003). Como resolver problemas. Lisboa: Gradiva.

Ponte, J. P. (1990). O conceito de função no currículo de Matemática. Educação e Matemática,

15, 3-9.

152

Ponte, J. P. (1991a). Cadernos de Educação e Matemática II: O computador na Educação

Matemática. Associação de professores de Matemática. Lisboa: APM.

Ponte, J. P. (1991b). O Computador – Um instrumento da educação. Lisboa: Texto Editora.

Ponte, J. P. (1992). Conceções dos professores de Matemática e processos de formação.

Educação matemática: Temas de investigação,185-239. Lisboa: IIE.

Ponte, J. P. (1997). As novas tecnologias e a educação. Lisboa: Texto Editora.

Ponte, J. P. (2001). Tecnologias de informação e comunicação e na formação de professores: Que

desafio para a comunidade educativa? In A. Estrela & J. Ferreira, (Org.) Tecnologias em

Educação. Estudos e Investigações. Atas do X Colóquio da Afirse (pp. 89-108). Lisboa:

Faculdade de Psicologia e de Ciências da Educação.

Ponte, J. P. (2002a). A formação para a Integração das TIC na Educação Pré-escolar e no 1ºciclo

do Ensino Básico. Porto: Porto Editora.

Ponte, J. P. (2002b). Investigar a nossa própria prática. In GTI (Org.) Refletir e investigar sobre a

prática profissional (pp. 5 – 28). Lisboa: APM.

Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.). O professor e o

desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.

Ponte, J. P., & Viseu, F. (1997). Didática da Matemática. Lisboa: Editorial do Ministério da

Educação.

Ponte, J. P., & Canavarro, A. (1997). Matemática e novas tecnologias. Lisboa: Universidade

Aberta.

Ponte, J. P., Matos, J. F., & Abrantes, P. (1998). Investigação em educação matemática. Lisboa:

Texto Editora.

153

Ponte, J. P., Oliveira, H., & Varandas, J. M. (2003). O contributo das tecnologias de informação e

comunicação para o desenvolvimento do conhecimento e da identidade profissional. In D.

Fiorentini (Ed.), Formação de professores de Matemática: Explorando novos caminhos com

outros olhares (pp. 159-192). Campinas: Mercado de Letras.

Ponte, J. P., Brocardo, J., & Oliveira, H. (2003). Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo

Horizonte: Autêntica.

Rafael, M. A. (1998). Avaliação em Matemática no ensino secundário. Conceções e práticas de

professores e expectativas de alunos (Tese de mestrado). Lisboa: Universidade de Lisboa.

Ruivo, I. (1999). O insucesso escolar em matemática no 3º ciclo do ensino básico: Fatores

concorrenciais (Tese de Mestrado), Évora: Universidade de Évora.

Santos, M. M. (1997). Aprender com os Media para viver com os Media. In C. V. Freitas.

Tecnologias de Informação e comunicação na aprendizagem. Lisboa: IIE.

Schor, D. & Tizziotti J. (1975). Matemática Segundo Grau, Volume 1. São Paulo, Editora ática.

Silva, F. (2010). Avaliação da aprendizagem escolar no ensino fundamental.

Diagnóstico e Tratamento dos Problemas de Aprendizagem (3ª edição). Porto Alegre:

Editora ISBN.

Silva, R., & Silva, A.V., (2005). Educação, Aprendizagem e Tecnologias. Um paradigma para

professores do século XXI. Lisboa: Edições Silabo.

Skovsmose, O. (2001). Educação Matemática Crítica. Campinas: Papirus.

Torres, J. (2000). Avaliação de resultados em matemática no contexto da reforma curricular do

ensino secundário (Tese de Mestrado). Lisboa: Faculdade de Psicologia e de Ciências da

Educação da Universidade de Lisboa.

154

Valente, J. A. (1998). O computador na sociedade do conhecimento. Campinas, São Paulo:

Unicamp Nied.

Valente, W. (2002, Junho). Educação Matemática e Política: A escolarização do conceito de

função no Brasil. Educação Matemática em Revista, 9, 12, 16 - 20.

Vila, A., & Callejo, M. L. (2006). Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na

resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed.

Zuffi, E. M., (1999). O tema “ Funções” e a linguagem matemática dos professores do Ensino

Médio: por uma aprendizagem de significados (Tese de Doutoramento em Educação). São

Paulo: Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo.

Wikipédia enciclopédia livre (s/d-a). Blogues pesquisados . http://www.fvc.org.br/estudos-e-

pesquisas/avulsas/estudos1-7-uso-computadores.shtml?page=1

Wikipédia enciclopédia livre (s/d-a).

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/conceito.htm, acedido em Fev/ 2014

Wikipédia enciclopédia livre s/d, (2008). Matemática didática: [online] retirada de

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLinear.aspx. Ensino da Matemática: Situação

e perspetivas (pp. 21-56). Lisboa: Conselho Nacional de Educação

155

Anexos

156

Anexo A – Aulas preparatórias - 1

Tarefas: Exercícios de consolidação nas aulas de preparação* (1) 90 minutos

Hoje vamos utilizar o GeoGebra para analisar o comportamento dos gráficos das funções

linear e afim.

1. Visualiza os gráficos das funções definidas por expressões do tipo f(x) = ax, começando por

atribuir a diferentes valores positivos. Por exemplo, a = 4; a = 1; ….

Compara os gráficos obtidos e regista as tuas conclusões.

2. Faz agora um estudo semelhante, atribuindo a a valores negativos.

O que podes concluir ?

3. Nas alíneas anteriores estiveste a estudar funções definidas por expressões do tipo

f (x) = ax.

Faz agora um estudo semelhante para funções definidas por expressões do tipo f(x) = 2x + b,

tomando para b vários valores por ti escolhidos. Por exemplo, b = -1; b = 4;

O que acontece?

4. Analisa o que acontece aos gráficos de funções definidas por expressões do tipo f(x) ax + 2 , se

atribuíres diferentes valores a. Por exemplo, a = 0; a =1; a = 2…

Regista as tuas conclusões.

*Esta tarefa é uma adaptação de uma investigação realizada no âmbito do projeto “Matemática

para todos - Investigações na sala de aula”.

157

Anexo B – Aulas preparatórias - 2

Identificar e assinalar pares ordenados no plano* (2) 90 minutos.

1. O seguinte referencial é constituído por dois eixos, perpendiculares entre si, que se cruzam num

ponto - origem do referencial. Cada um desses eixos tem uma orientação indicada por uma seta e

uma graduação, como podes observar na figura seguinte:

Fig: referencial do enunciado da tarefa 1- aulas preparatórias

1.1 Imagina que te encontras na origem do referencial. Descreve como te deslocas para os pontos

E e F, efetuando o número mínimo de deslocamentos na horizontal e/ou na vertical.

1.2 Escreve as coordenadas dos pontos B, C, D, E e F.

1.3 Observa as coordenadas dos pontos assinalados no referencial da figura e indica:

1.3.1. Todos os pontos que têm a mesma ordenada;

1.3.2. Todos os pontos que têm a mesma abcissa.

*Esta tarefa é uma adaptação dos materiais de apoio: Ministério de Educação/DGIDC -

Sequencias e Funções NPMEB e do manual da reforma educativa do ME-2007, Angola

158

Anexo I: Planificação da unidade temática.

Aulas realizadas na investigação

Aula Data Duração Conteúdos

1ª

2ª

20/10/14

22/10/14

45 Min

45 Min

Definições elementares - Funções reais de variável real.

Pré-requisitos: Funções reais de variável real;

Noção de função; Propriedades das funções; Representação gráfica.

Função injetiva.

3ª e 4ª 24/10/14 90 Min Função afim. Representação gráfica da lei de uma função do 1º

grau, através da construção de tabelas. Plano cartesiano Exercícios

5ª 27/10/14 45 Min Operações com funções. Função par e função impar.

Proporcionalidade na função linear. Exercicíos sobre gráficos

6ª e 7ª 28/10/14 90 Min Funções quadráticas – Introdução. Família de funções quadráticas:

Funções reais de variável real.

8ª e 9ª 29/10/15 90 Min Software Educativo - Geogebra e sua aplicabilidade.

Construção de figuras geométricas a partir do Software Geogebra

10ª e 11ª 30/10/14 90 Min Continuação - Software educativo Geogebra. Representação gráfica

das funções quadráticas a partir do Geogebra Exercícios sobre

funções e gráficos. Ângulos

Tabela - Programação das aulas realizadas na investigação

159

Anexo II: Guião da Entrevista do Professor de Plano Tecnológico

1 - Que avaliação faz da utilização do computador no ensino da matemática, isto tendo em conta a

experiência que tem na escola da disciplina de informática que leciona?

2 - Acredita que os alunos desenvolveram a partir das aulas realizada no laboratório com uso do

Software educativo as suas competências?

3 - Como vê o desempenho dos alunos que integraram o grupo, isto comparando o seu

desempenho durante as aulas normais na sua disciplina?”

4 - Que competência acredita que os alunos desenvolveram a partir dessas aulas?

5 - Nós sabemos que, apesar de muitos alunos com sucesso, a Matemática é uma disciplina que, a

nível mundial, é marcada por bastante insucesso. No seu ponto de vista, quais são as causas para o

insucesso da Matemática? E quanto ao trabalho colaborativo.

160

Anexo III – Guião - Questionário dos professores de Matemática

Caro Professor,

Este instrumento de investigação tem por objetivo avaliar junto aos professores de Matemática, ou

que lecionam esta disciplina, o grau de importância, dentro do conteúdo de funções, dos seguintes

aspetos: identificação da lei de formação ou de correspondência de uma função, identificação do

seu gráfico, identificação das características de crescimento e decrescimento da função. Todos

esses aspetos em relação às quatro funções: afim, quadrática, exponencial e logarítmica.

Desde já agradeço sua colaboração

Avaliação / pesquisa

Com relação ao ensino das quatro funções (afim, quadrática, exponencial e logarítmica), como

julga o grau de importância nos seguintes aspetos?

Ensinar o aluno a reconhecer/identificar a função pelo seu gráfico;

Ensinar o aluno a reconhecer/identificar a função pela sua lei de formação ou

correspondência;

Ensinar o aluno a identificar características de crescimento e decrescimento de uma

função pela sua lei de correspondência ou lei de formação;

Ensinar o aluno a identificar características de crescimento e decrescimento de uma

função através do seu gráfico;

Dada uma função, o aluno ser capaz de reconhecer sua lei de formação ou de

correspondência, seu gráfico, bem como características de crescimento e

decrescimento.

Legenda:

N = Nenhuma importância

P = Pouco importante

I = Importante

M = Muito importante

161

Anexo IV – Guião Questionário inicial dos alunos

Este questionário tem como finalidade recolher informações sobre as dificuldades no processo de

ensino-aprendizagem no ensino secundário e irá servir para compreender melhor a ideia sobre a

disciplina e a avaliação da matemática

Nº de Item

Questionário- Indicadores Nº de perguntas

fechadas

1.2 Preferes trabalhar em grupo

7

2.2 Preferes trabalhar sozinha? 7

3.3 Vantagens recolhidas 4

4.4 Desvantagens identificadas 4

5.5 Características das aulas de Matemática 12

6.6 Facilidade da realização das tarefas 2

162

Anexo V: Resultados do questionário inicial dos alunos

Este questionário tem como objetivo atender exigências da dissertação do Mestrado em educação

da Universidade de Lisboa, o qual tem como finalidade recolher informações sobre as dificuldades

no processo de ensino-aprendizagem no ensino secundário e irá servir para compreender melhor a

ideia sobre a disciplina e a avaliação da matemática. Os dados recolhidos são totalmente anónimos

e destina-se, exclusivamente, ao objetivo referido. Desde já agradeço a sua colaboração e faço

apelo para que respondas com sinceridade

Preferes trabalhar em grupo ou sozinho (a)?

Se respondeste que preferes trabalhar em grupo passa para o item 1.1

Se respondeste que preferes trabalhar sozinho(a) passa para o item 2.2.

Assinale com X até 3 opções

Trabalhos de grupo Nº de alunos Opinião %

Prefere trabalhar em grupo 37 82,2%

Prefere trabalhar sozinho(a) 8 17,7%

Tabela: Trabalho de grupo versus trabalho individual. (n = 45)

1.1 - Item

Prefere trabalhar em grupo, porque: Nº alunos Opinião%

Facilita a aprendizagem 31 83,7%

Melhora o sentido crítico de cada um 12 32,4%

Há mais inter-ajuda 3 11,1%

Permite a partilha de conhecimentos e ideias com os colegas 19 51,3%

Trabalha-se mais descontraidamente 8 21,6%

Trabalho menos 2 5,4%

É melhor para distribuir as tarefas 25 67,5%

Tabela: preferência pelo trabalho de grupo ( n = 37) grupo B

Assinale com x até 3 opções

2.2.- Item

Prefere trabalhar sozinho(a) porque: Nº alunos Opinião %

Em grupo os alunos distraem-se uns aos outros 3 37,5%

Tenho dificuldades em expor o meu raciocínio 5 62,5%

Em grupo só um ou dois é que trabalham 0 0,0%

163

Não tenho confiança no trabalho dos outros 4 50%

Em grupo é difícil chegar a acordos 2 25%

Concentro-me e raciocínio melhor sozinho(a) 4 50%

Gosto que o mérito seja só meu 0 0,0%

2. 3 - item

Desvantagens identificada Opiniões (%)

Redução de computadores por grupos 71%

Adaptação ao programa 12,8%

Antiguidade dos computadores portáteis e de instalação 4,9%

Excesso de informação do Software não atualizado 11,3%

Características das aulas de matemática Opiniões (%)

A aula é mais descontraída 8%

A aula é mais dinâmica 50%

A aula deveria ser sempre com esse fôlego 2,1%

Torna-se menos monótona e menos aborrecida 9,9%

Mais barulhenta 3%

Mais confusão 0,5%

Sem distúrbios nem interrupção para outros assuntos 7%

Mais interação com os colegas 6,1%

Menos possibilidades de atrapalhar o tempo disponível 7,4%

Mais contato com o material disponível na sala 6%

Não concordo com as aulas de matemática nas escolas 0%

As aulas de matemática não garantem futuro 0%

Facilidade da realização das tarefas Opiniões (%)

É mais fácil 96,7%

Não é mais fácil 3,3%

164

Anexo VI: Questionário final dos Alunos

Caro estudante

Este instrumento de investigação, tem por objetivo avaliar junto aos alunos, o grau de satisfação

ao tomar conhecimento de mais um Software educativo Geogebra que vem ajudar no

desenvolvimento da construção de figuras geométricas e gráficos das funções do 1º, 2º graus,

quadráticas, exponenciais e logarítmicas.

Com a utilização do Software Educativo Geogebra

Respostas (%)

1 2 3 4 5

Sinto motivação para aprender sozinho(a)

45%

55%

Melhoro o desempenho escolar

2,5%

86%

13%

Sinto interesse pela disciplina

47% 63%

Envolvo-me mais nas tarefas propostas

2,5% 90% 7,5%

Fico mais desinibido (a) perante a aprendizagem

3% 90% 7%

Sinto mais autonomia na aprendizagem

1%

99%

Tenho mais confiança nas minhas capacidades

6%

80%

4%

Gosto de colocar questões

50%

50%

Tenho mais facilidade na interpretação dos conceitos

50%

50%

Esforço-me para realizar melhor os trabalhos propostos na aula

50% 50%

Fico mais atenta nas aulas de matemática

5%

95%

Tenho a certeza que perco menos tempo na execução das tarefas

80% 20%

Procuro realizar primeiro os exercícios mais complexos

12

%

88%

Procuro realizar primeiro os exercícios mais simples

99%

0,5%

Legendas: 1- Discordo, 2 – Discordo completamente, 3 - Não concordo nem discordo,

4 – Concordo, 5 – Concordo completamente

165

Anexo VII: Guião - Entrevista do Professor de Matemática

1- Essa experiência modificou a relação dos alunos com os outros colegas, trabalhando em grupos

e com uso do Software educativo?

2 - Acredita que trabalhar com aulas utilizando o computador contribui, positivamente para o seu

modo de trabalhar?

3 -Qual das duas fases do trabalho tinha sido mais interessante para ele e para os alunos, a

primeira em sala de aulas sem uso do Software educativo e a segunda com uso do Software

educativo Geogebra no laboratório de informática?

4 – E no que se refere ao ensino e aprendizagem da matemática, acha que os alunos foram mais

efetivos com a utilização do computador ou melhor o modelo tradicional?

5 - E comparando a primeira fase, na sala de aula sem uso do Software, e a segunda, com o

Software educativo geogebra o que foi mais interessante, de uma forma geral, para si e para os

alunos?

6 - Normalmente quando os alunos trabalham no modelo de aula habitual, trabalham quase que

exclusivamente com o seu caderno. Essa experiência modificou a relação dos alunos com os

demais colegas?

7- O que pensa da disciplina de Matemática?

8- E do seu ponto de vista, como essa disciplina deve ser ensinada?

9 - E qual o seu papel como professor de Matemática? E que papel cabe ao aluno?

10 - Na sua turma, quem tem melhor desempenho em Matemática, as meninas ou os rapazes?

11 - Nós sabemos que, apesar de muitos alunos com sucesso, a Matemática é uma disciplina que, a

nível mundial, é marcada por bastante insucesso. No seu ponto de vista, quais são as causas para o

insucesso da Matemática?

166

Anexo VIII: Quadro de competências específicas e competências sócio afetivas

10º Ano:

Área Dimensões Competências

Ma

tem

áti

ca

Geometria

Tem boa estruturação/ organização espacial. Descobre os

itinerários. Realiza simetrias. Manipula o tangram e o geo

plano. Identifica figuras geométricas em objetos. Tem

desenvolvida a capacidade de observação e comparação.

Utiliza o vocabulário próprio.

Grandeza e Medidas

Conhecer e relacionar as moedas e notas do euro, compara

os seus valores e ordena-os Efetua trocas. Localiza

acontecimentos no tempo e organiza temporalmente

sequência de factos. Compreende o processo de medição e

sistemas de medidas. Revela aptidão nas medições.

Organização e tratamento de

dados

Os alunos devem organizar dados em diferentes formas: gráficos, tabelas diagramas, pares ordenados.

11º Ano

Mate

máti

ca

Resolução de problemas

Resolve problemas do cotidiano. Compreende as tarefas.

Seleciona os procedimentos. Analisa e reflete. Verifica a

resolução

Comunicação

Utiliza a linguagem matemática para comunicar. Explica o

raciocínio efetuado para chegar ao resultado. Aplica as

operações às várias situações problemáticas.

Conteúdos

Compreende o sistema de numeração. Reconhece símbolos

matemáticos. Classifica e ordena de acordo com um dado

critério.

Compara e ordena números. Identifica e dá exemplos de

números pares e ímpares. Representa números na reta

numérica.

Organização e tratamento de

dados

Realiza construções geométricas simples. Identifica

propriedades de figuras geométricas. Compreende

processos de medição. Efetua medições. Organiza dados e

representa-os em tabelas, gráficos,… Lê e interpreta

tabelas e gráficos

Quadro: Comparativo da avaliação das competências específicas por grupos

167

Anexo IX – Ficha de atividade - Grupo A.

Curso Contabilidade geral

Nome: _________________________________ Sala: __________ Nºs

1 – Dada as funções: y = 3x , e y = - 2x

a) Que tipo de função

R/

b) Representar graficamente as funções acharem os pares ordenados possíveis e diga as

características de cada uma delas.

R/

Resolução: Os alunos acharam os seguintes pares ordenados:

x y = 3x (x, y)

Bom trabalho

168

Anexo X – Ficha de atividade - Grupo B

Curso Contabilidade geral

Nome: _________________________________ Sala: __________ Nºs

Embora os conceitos aqui expostos sejam bastante simples, é bom que você pratique um pouco

para verificar se os assimilou de fato. Abaixo lhe propomos algumas tarefas que você deve

realizar.1 - Exercício - Dada a função y = 3x2 represente graficamente. Calcule os pares

ordenados possíveis.

x

y = 3x2 y

2 - Exercicios: Resolve cada uma das seguintes funções de dominio R quanto à sua paridade:

a) f(x) = x2 – 3x

4; b) g(x) =

;

c) h) (x) = x2 – 3x; d) i (x) = x3 + 3x.

3 – A representação de pontos neste plano é feita através de pares ordenados, onde o primeiro

número se refere à abcissa e o segundo a ordenada.

a) Na figura ao lado vemos a representação de um ponto localizado no cruzamento de

ambos eixos. Apresente as coordenadas deste ponto e faça a descrição dos quadrantes existentes

Bom trabalho

169

Anexo XI - Ficha de trabalho nº1

Software Geogebra - Funções

Nome: _________________________________ Sala: __________ Nºs

1. Analisando uma função do 1º grau no Software Geogebra.

1.1 - Construa o gráfico da função f(x) = ax + b no campo de entrada. Com base nessa construção:

e) Insira dois seletores a e b.

f) Movimente os seletores e observe o aspeto da reta.

g) Faça uma análise das principais modificações em função da movimentação dos valores a e b

(positivos, negativos e iguais a zero).

h) Em que circunstâncias a reta f fica paralela ao eixo -x?

2 - Utilizando o geogebra, construa o gráfico das seguintes funções e classifique-as em crescente

ou decrescente:

a) y = 5x2 - 8

b) y = -2 x + 2

c) y = -3 – x

d) y = 9 + 3x

e) y = -3x2

170

Anexo XII - Ficha de trabalho nº 2

Funções Software Geogebra.

Nome: _________________________________ Sala: __________ Nºs

1 - Analisando uma função do 2º grau no Software Geogebra.

1.1 - Construa o gráfico da função f(x) = ax2

+ bx + c no campo de entrada. Com base nessa

construção:

a) Insira três seletores a, b e c.

b) Movimenta os seletores e observe o aspeto da parábola.

c) Faça uma análise das principais modificações em função da movimentação dos valores a, b e c


2 - Construa o gráfico da função g(x) = x2 - 4. Com base nessa construção:


b) Onde o gráfico da função intersecta o eixo -y?

c) Em qual intervalo a função é positiva?

d) Em qual intervalo a função é negativa?

171

Anexo XIII: - Ficha de trabalho nº 3

Funções - Software Geogebra.

Nome: _________________________________ Sala: __________ Nºs

1. Análise de função do 1º grau - Software Geogebra.

1.1 - Construa o gráfico da função f(x) = ax + b no campo de entrada. Com base nessa construção:

i) Insira dois seletores a e b.

j) Movimente os seletores e observe o aspeto da reta.

k) Faça uma análise das principais modificações em função da movimentação dos valores a e b


l) Em que circunstâncias a reta f fica paralela ao eixo -x?

2 – Construa o gráfico da função g(x)= x - 2 através de dois pontos. Com base nessa construção:


b) A função é crescente ou decrescente?

c) Onde o gráfico da função intersecta o eixo -y?

Bom trabalho

172

Anexo XIV – Plano de uma unidade temática – Matemática Aplicada

Objectivos Conteúdos Aulas Estratégias

Definir função;

analisar fórmulas da geometria e de outras

disciplinas para identificar

funções de uma variável;

usar a simbologia de

funções;

identificar, através da

representação gráfica de uma função, domínio,

contradomínio, zeros, sinal,

monotonia, extremos

(relativos e absolutos),

continuidade e limites nos

ramos infinitos;

identificar o domínio de

uma função através da sua

expressão algébrica;

averiguar se uma função é

injetiva;

obter gráficos de funções através da calculadora

gráfica;

Conceito de função;

Esboço e interpretação do gráfico de uma função dada

por uma tabela ou por uma

fórmula de geometria, de

outra ciência ou da vida

corrente;

Representação de uma

função;

Função real de variável real;

Gráfico cartesiano de uma

função em r.o.n.;

Noções gerais relativas a

funções de uma variável:

domínio, contradomínio,

zeros, sinal, monotonia,

extremos (relativos e absolutos), continuidade,

simetria em relação aos

eixos e limites nos ramos

infinitos;

Estudo intuitivo de uma

função através da

calculadora;

1

3

1

A interpretação de gráficos e tabelas que

relacionam grandezas facilmente

reconhecidas pelos alunos, começará pela

identificação, de forma intuitiva, de

variáveis, domínio, contradomínio, objetos,

imagens, zeros, sinal, monotonias e

extremos. Permite-se assim uma primeira

abordagem dos conceitos básicos desta

unidade. Também se vai proporcionar a construção de um gráfico através de um

problema.

O gráfico surge como uma forma de

representar uma função (além da tabela e da expressão). A linguagem e simbologia

utilizadas são interiorizadas

progressivamente a partir de exemplos do

quotidiano ou das ciências. O domínio e o

contradomínio são subconjuntos de r .

Apresentam-se algumas expressões

algébricas e os gráficos de algumas

expressões de referência, explorados através

da calculadora gráfica.

Associadas ao gráfico de uma função, dão-

se as definições formais relativas a função.

As tabelas de variação são uma forma

simples de dar a ideia da monotonia.

Também se apresenta uma tabela do sinal de

f que servirá posteriormente para reforçar a

utilização de tabelas na resolução de inequações.

fazer o estudo de uma

função afim, e os seus

casos particulares, função linear e função constante;

descrever o significado de

a+f(x), f(x+a), af(x) e f(ax);

relacionar o gráfico de f(x)

com as funções anteriores;

estudar a paridade de uma

função;

identificar uma função

quadrática;

estuda uma função

quadrática quanto ao

máximo (ou mínimo),

Função afim;

Transformações de funções;

Simetria em relação ao eixo

dos YY e à origem;

Estudo das funções

quadráticas ax2, ax2+c,

a(x+h)2 e ax2+bx+c;

Eixo de simetria de um

gráfico de uma função

quadrática;

Estudo do sinal de ax2+bx+c

a partir de a e de ;

1

2

1

3

2

2

1

Partindo de um exemplo concreto, surge a

função quadrática. A partir de x2 são obtidas

as outras à custa de translações. Este estudo permite tirar reforçar os conhecimentos de

transformações de funções.

Estuda-se a monotonia, concavidade,

vértice, zeros e sinal nos diferentes casos. Resolve-se inequações do 2º grau algébrica

e geometricamente.

173

zeros, à monotonia, sinal e

eixo de simetria;

- resolver problemas

usando a função

quadrática;

- resolver inequações do 2º

grau, algébrica e

geometricamente;

Inequações do 2º grau;

Parábola: história e

propriedades.

- interpretar e representa

funções definidas por

ramos;

envolvendo polinómios de

grau não superior a dois;

- definir parábola como

lugar geométrico;

- conhecer a propriedade

refletora da parábola;

- descrever como obtém os

gráficos de f(x), | f(x)| e f(|x|) a partir dos gráficos

de f(x);

- ligar duas condições pelo

símbolo e ;

Funções definidas por

ramos;

Função módulo;

Equações e inequações com

módulos;

Gráficos de f(x), | f(x)| e

f(|x|);

2

3

3

2

Partindo de y = x surge y = | x | e

posteriormente as outras funções módulo.

Resolve-se desigualdades entre módulos.

Recorrendo à função módulo define-se e

estuda-se função definida por troços.

- operar com polinómios;

- decompor polinómios;

- utilizar a regra de Ruffini;

- aplicar o teorema do

resto;

- determinar os zeros ou

raízes de um polinómio de

grau superior a 2;

- resolver inequações de

grau superior a 2;

- resolver problemas

envolvendo a representação

gráfica ou a expressão

analítica de uma função ;

Polinómios;

Operações com polinómios;

Regra de Ruffini;

Teorema do resto;

Raízes de um polinómio;

Decomposição de um

polinómio em fatores;

Inequações de grau superior

ao 2;

2

2

2

2

Total:

35

Recorrendo aos conceitos adquiridos no 3º

ciclo, aparecem naturalmente as operações

com polinómios e a sua decomposição.

Na divisão inteira parte-se do conceito de

divisão em IN. A regra de Ruffini é

apreendida utilizando muitos exemplos.

A decomposição de fatores surge de

experiências anteriormente adquiridas.

174

Anexo XV: Classificações obtidas das fichas de atividades

Grupo A Grupo B

Notas N /

subgrupo

F. r. %

Acumulada

Notas N/

subgrupos

F. r. %

Acumulada

8,75

10,25

10,5 10,75

11,5

12,5

1

3

1 2

1

1

11,11%

33,33%

11,11% 22,22%

11,11%

11,11%

11,11%

44,44%

55,55% 77,77%

88,88%

99,99%

10,25

11

11,25 11,50

12,75

13,75 15,75

2

1

1 1

1

1 1

25%

12,5%

12,5% 12,5%

12,5%

12,5% 12,5%

25%

37,5%

50,00% 62,5%

75,00%

87,50% 100,00%

Total

9 100,00 % 8 100,00%

Tabela: Classificações obtidas das fichas de atividades

175

Anexo XVI: Dados estatísticos das classificações obtidas

Grupo A Grupo B

Sub grupos

Média

Desvio Padrão

Moda

Mediana

Nota Mínima

Nota Máxima

9

10,61

0,96

10,25

10,5

8,75

12,5

8

12,06

1,79

10,25

11,5

10,3

15,7

Tabela: Dados estatísticos das classificações obtidas.

176

Anexo XVII – Formulário – Controlo da Sala de internet

177

Anexo XVIII- Mapa da distribuição das turmas do ano letivo 2014/2015, - IMAG – 10º ano

178

Anexo XIX– Calendário das Provas Globais de 2015

Fig: Calendário de provas globais realizadas no Imag- Nova vida

179

Anexo XX – Autorização da direção da escola para a realização da investigação

180

Anexo XXI – Fotografias com os alunos no laboratório e na sala de aulas

181

Anexo XXII: Símbolos Matemáticos – 1º Parte

Símbolo Nome Explicação

Q números racionais Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos

um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e

uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa

quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros.

Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números

inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}.

Lembre-se que não existe divisão por zero!.

O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos:

Q*+ = {x Q | x > 0}

O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos:

Q*- = {x Q | x < 0}

I números irracionais São os números reais que não podem ser obtidos pela divisão de dois números

inteiros, ou seja, são números reais, mas não racionais. Esses números possuem

infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente. O número

irracional mais famoso é o pi ( ).

R números reais O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos

números reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R*

é usado para representar o conjunto dos números reais não-nulos:

R* = R - {0}

O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos:

R+ = {x R | x 0}

O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos:

R- = {x R | x 0}

O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos:

R*+ = {x R | x > 0}

O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos:

R*- = {x R | x < 0}

C números complexos Um número complexo representa-se por a+bi, sendo a a parte real e b a parte

imaginária.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i,

como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = (-1).

182

Anexo XXIII: Símbolos Matemáticos – 2º parte


{ , } chaves o conjunto de...

Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.

{ } ou conjunto vazio Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.

Ex: A={1,2,3}; B={4,5,6}; A B=

para todo Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja".

Ex: x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.

pertence Indica relação de pertinência.

Ex: 5 N Significa que o 5 pertence aos números naturais.

não pertence Não pertence .

Ex: -1 N. Significa que o número -1 não pertence aos números naturais.

existe Indica existência.

Ex: x Z | x > 3

Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros

tal que x é maior que 3.

está contido Ex: N I ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no

conjunto dos números inteiros.

não está contido Ex: R N ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.

contém Ex: Z N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o

conjunto dos números naturais.

se...então se...então

p: José vai ao mercado

q: José vai fazer compras

p q Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras.

se e somente se se e somente se

Ex: p: Maria vai para a praia; q: Maria vai tirar notas boas

p q

Maria vai para a praia se e somente se ela tirar notas boas.

A B união de conjuntos Lê-se como "A união B"

Ex: A={5,7,10}; B={3,6,7,8}; A B = {3,5,6,7,8,10}

A B intersecção de conjuntos Lê-se como "A intersecção B"

Ex: A={1,3,5,7,8,10}; B={2,3,6,7,8}; A B={3,7,8}

A - B diferença de conjuntos Lê-se como "diferença de A com B".

É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não

pertencem ao conjunto B.

Ex: A-B = {X | x A e x B}

183

Anexo XXIV: Símbolos Matemáticos – 3º parte


implica A: Luanda é capital do estado Angolano

B: Luanda é uma cidade Angolana

A B

| tal que Ex: R+ = {x

números pertencentes aos reais TAL QUE esses números sejam maiores

ou iguais a zero.

ou (lógico) Ex: p: José gosta de jogar futebol; q: José gosta de jogar tênis

q

José gosta de jogar futebol ou tênis.

e (lógico) Ex:

p: Cláudia tem um cachorro

q: Cláudia tem um gato

p q

Cláudia tem um cachorro e um gato.

~ negação (lógica) Ex:

p: Os alunos irão passear

~p: Os alunos não irão passear.

n! n fatorial A definição de n fatorial é a seguinte:

n!= n.(n-1).(n-2)...3.2.1

Ex: Para n = 6, teríamos: n! = 6*5*4*3*2*1

número pi O número é definido como sendo a razão entre a circunferência de um

círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É

também um número irracional e um número transcendente.

infinito O "oito deitado" representa o infinito. Este símbolo foi criado pelo

matemático Inglês John Wallis (1616-1703) para representar a "aritmética

Infinitorum".

somatório A k-ésima soma parcial da série é Sk = a1 + a2 + ... + ak.

Ex:

an =

A MATEMÁTICA E AS TIC NO PROCESSO DE ENSINO E...

Documents

Transcript of A MATEMÁTICA E AS TIC NO PROCESSO DE ENSINO E...