A PRIMITIVAÇÃO POR PARTES

HÉLIO BERNARDO LOPES

Na disciplina de Análise Matemática, logo ao início de certos cursos de licenciatura, é usual tratar, entre outros temas, o da primitivação, que ainda surge aos jovens estudantes como um tema comportando alguma dificuldade.

Um dos métodos usados na obtenção da primitiva de certas funções é o método de primitivação por partes, que assenta na inversão da regra de derivação do produto de duas funções. Torna-se, por isso, fundamental ter presente esta regra, o que se faz com o seguinte

TEOREMA. Seja I um intervalo de R, não vazio nem singular, e sejam f g, : I ® R duas funções diferenciáveis num ponto aÎI. Nestas circunstâncias, o produto das funções, fg , é diferenciável em aÎI, tendo-se:

fg a f a g a f a g a' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ·

Desta propriedade, caminhando no sentido inverso, retira-se a regra de primitivação por partes, que se apresenta no seguinte

TEOREMA. Sejam f e g funções primitiváveis num intervalo I Í R, não vazio nem singular. Nestas

circunstâncias, o produto das funções f g' será primitivável em I se e só se o for o produto fg ' , tendo-se:

f g fg fg' ' . ·

O método tem como objectivo evitar o cálculo da primitiva que figura no primeiro membro da regra antes apresentada, por ser o mesmo difícil de efectuar, porventura, mesmo impossível. Contudo, a regra de primitivação por partes, para poder ser aplicada, necessita que se conheça a primitiva de f ' , bem como a

do produto fg ' .

Apresenta-se a seguir um conjunto razoável de exemplos concretos de utilização desta regra, em geral retirados de testes ou exames que tiveram lugar em escolas do ensino superior.

EXEMPLO. Seja o problema de calcular:

ln( ) .x dx

Acontece que esta primitiva não é imediata, mas pode ser encontrada através do método de primitivação por partes, tal como se mostra de seguida. A mesma pode escrever-se na forma:

ln( ) .ln( ) .x dx x dx 1

Toma-se aqui:

f x f x x

g x x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ln( ) ( )

1

1

Aplicando agora a regra de primitivação por partes, virá:

ln( ) ln( ) ln( ) ln( )x dx x x xxdx x x dx x x x C 1

onde C é a constante de integração. ·

EXEMPLO. Seja agora achar:

ln( ) .x dx 2

Está-se perante uma primitiva não imediata, mas que pode obter-se através do método de primitivação por partes, tendo presente que se tem aqui:

ln( ) .ln( ) .x dx x dx 2 1 2

Neste caso, faz-se:

f x f x x

g x x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ln( ) ( )

1

21

2

vindo, pois, nos termos da regra ora em estudo:

ln( ) .ln( ) .ln( ) .ln( )x dx x xx

xdx x x

xdx x x dx

xdx

2 22

2 12

22 2

1

2

x x x x Cx

xx C

x

.ln( ) ln( )ln( )

ln( ).

2 2 22

2 2 ·

EXEMPLO. Seja agora achar a primitiva:

x x dx.cos( ) .

Faz-se, neste caso:

f x x f x

g x x g x sen x

( ) ( )

( ) cos( ) ( ) ( )

'

'

1

pelo que virá:

x x dx x sen x sen x dx x sen x x C.cos( ) . ( ) ( ) . ( ) cos( ) . ·

EXEMPLO. Seja agora achar a primitiva:

x sen x dx. ( ) .

Virá, então:

f x x f x

g x sen x g x x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) cos( )

'

'

1

pelo que se terá:

x sen x dx x x x dx x x sen x C. ( ) .cos( ) cos( ) .cos( ) ( ) . ·

EXEMPLO. Seja, neste caso, encontrar a primitiva:

x sen x dx2 ( ) .

Neste caso, faz-se:

f x x f x x

g x sen x g x x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) cos( )

'

'

2 2

vindo, pois:

x sen x dx x x x x dx x x x sen x x C2 2 22 2( ) cos( ) .cos( ) cos( ) . ( ) cos( )

x x x sen x x C2 2 2cos( ) . ( ) cos( ) . ·

EXEMPLO. Pretende, agora, achar-se a primitiva:

xe dxx .

Tem-se aqui:

f x x f x

g x e g x ex x

( ) ( )

( ) ( )

'

'

1

pelo que virá:

xe dx xe e dx xe e C x e Cx x x x x x ( ) .1 ·

EXEMPLO. Seja determinar a primitiva:

e sen x dxx ( ) .

Neste caso procede-se como se indica a seguir:

f x e f x e

g x sen x g x x

x x'

'

( ) ( )

( ) ( ) ( ) cos( )

vindo, portanto:

e sen x dx e sen x e x dxx x x( ) ( ) cos( ) .

Voltando a recorrer ao método de primitivação por partes e fazendo agora:

f x e f x e

g x x g x sen x

x x'

'

( ) ( )

( ) cos( ) ( ) ( )

virá:

e sen x dx e sen x e x e sen x dx e sen x dx e sen x xx x x x x x( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) 2

e sen x dx e sen x x Cx x( ) ( ) cos( ) . 1

2 ·

EXEMPLO. Pretende obter-se a primitiva:

x e dxx2 .

Tem-se, neste caso:

f x x f x x

g x e g x ex x

( ) ( )

( ) ( )

'

'

2 2

pelo que virá:

x e dx x e xe dxx x x2 2 2 .

Ora, já em exemplo anterior se calculou esta primitiva, pelo que, recorrendo a ela, virá:

x e dx x e xe e C x x e Cx x x x x2 2 22 2 1 . ·

EXEMPLO. Seja, desta vez, a primitiva:

x x dxln( ) .

Faz-se, neste caso:

f x x f xx

g x x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ln( ) ( )

2

2

1

pelo que se obtém:

x x dx x x xdx x x x Cln( ) ln( ) ln( ) . 1

2

1

2

1

2

1

42 2 2 ·

EXEMPLO. Pretende obter-se a primitiva:

x arctg x dx. ( ) .

Faz-se, neste caso:

f x x f xx

g x arctg x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

1

1

pelo que virá:

x arctg x dx x arctg xx

xdx x arctg x x arctg x C. ( ) ( ) ( ) ( ) .

1

2

1

2 1

1

22

2

22 ·

EXEMPLO. Determinar a primitiva:

arctg x dx( ) .

Tem-se então:

1. ( )arctg x dx

pelo que, fazendo:

f x f x x

g x arctg x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 2

virá:

arctg x dx x arctg xx

xdx x arctg x x C( ) . ( ) . ( ) ln .

1

1

212

2 ·

EXEMPLO. Achar a primitiva:

ln( ) .2 3x dx

Tendo presente que se tem:

ln( ) .ln( )2 3 1 2 3x dx x dx

deverá fazer-se:

f x f x x

g x x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ln( ) ( )

1

2 32

2 3

vindo, portanto:

ln( ) .ln( ) .ln( ) ln .2 3 2 32

2 32 3

3

22 3x dx x x

x

xdx x x x x C

·

EXEMPLO. Encontrar a primitiva:

x e dxx3 2 .

Convém dar a esta primitiva o formato que se segue:

x e dx x x e dxx x3 22 21

22

devendo, então, fazer-se:

f x x f x x

g x xe g x ex x

( ) ( )

( ) ( )

'

'

2 2

22 2

daqui vindo:

x e dx x e x e dx x e e Cx x x x x3 2 22 2 2 2 21

22

1

2 . ·

EXEMPLO. Calcular a primitiva:

arcsen x dx( ) .

Neste caso faz-se:

f x f x x

g x arcsen x g xx

'

'

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 2

pelo que virá:

arcsen x dx x arcsen xx

xdx x arcsen x

x

xdx( ) . ( ) . ( )

1

1

2

2

12 2

x arcsen x x C x arcsen x x C. ( ) . ( ) . 1 121

2 2 ·

EXEMPLO. Achar a primitiva:

x sh x dx2 ( ) .

Neste caso, tem-se:

f x x f x x

g x sh x g x ch x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

'

'

2 2

pelo que virá:

x sh x dx x ch x x ch x dx2 2 2( ) ( ) . ( )

e recorrendo de novo ao método de primitivação por partes:

f x x f x

g x ch x g x sh x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

'

'

1

ou seja, finalmente:

x sh x dx x ch x x sh x sh x dx x ch x x sh x ch x C2 2 22 2( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ·