Portas lógicas
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13 B
AA
Fig.4.6
4.9 Simplificação de expressões e circuitos atraves dos diagramas de Veitch-Karnaugh
Vimos ate aqui a simplificação de expressões mediantea utilização dos postulados, propriedades e identidades da ÃTg!bra de Boole.
Nestes itens vamos tratar da simplificação de expressõespor meio dos diagramas de Veitch-Karnaugh. Após o estudo, iremos notar que chegaremos mais facilmente ã expressão mlnima.
Os diagramas de Veitch-Karnaugh permitem a s imp l i f ic ação de expressões características com duas, três, quatro, cinco,ou mais variãveis, sendo que para cada caso existe um tipo dediagrama mais apropriado.4.9.1 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variãveis.
Fig.4.7
N quadro, temos as regi~es das variiveis A e B:
- a região na qual A = 1 e:
A
]" I B
A
- a região onde A
~A
- a região onde B = I e:
13 B
AA
- a região onde B
1! B
7ifi
o (8
o (A 1) e:
Fig.4.8
Fig.4.9
1) e:
ia. 4.10
1 ) :
Com duas variãveis podemos obter 4 possibilidades:
- região onde A
~
A
A B
O O -+ caso O
O 1 -ê- caso 1~ 4 possibilidades
1 O -+ caso 2
1 1 -+ caso 3
No caso zero, temos: A = O e B = O. A região do di~grama que mostra esta condição e a da intersecção das regiões onde A = O e B = O:
A
- região onde B
A
B
A
O (A
O (B
Fig .4.11
1 ):
Fig.4.12
B
A intersecção dessas regiões e:
AA
Essa região tambem podeser c~amada de região A B.
Fig.4.13
B = 1. A região do diagr!intersecção das regiões 'onde
No caso 2, temos a intersecção das regiões onde A =1 eI) (8 • 1). Fazendo-se essa intersecção teremos:
Essa região também P.Qser chamada de região
No caso 1, temos: A = O e11110 mostra essa condição é a da
(I (rI.l) e B = 1.Fazendo-se a intersecção, teremos:
B
AA
B B
Essa região também P.Qde ser chamada regiãoA B.
Fig .4.14
A Si-
Fig.4.l5
I.
No caso 3, temos a intersecção das regiões onde A=l eFazendo-se essa intersecção, teremos:
B B
AA
Essa regiao também P.Qde ser chamada regiãoA B.
Fig.4.l6
1'II!101ll0S distribuir, então as 4 possibilidades neste diagrama,111111111111 1 n rm
"fifi
. ~. 1
Logo notamos que cada linha da t~bela da verdade possuisua região própria no diagrama de Veitch-Karnaugh.
Essas regiões são portanto os locais onde devem ser c.Qlocadas os valores que a expressão assume nas diferentes possibllidades.
Para entendermos melhor o significado desse conceito,vamos utilizar o exemplo abaixo:
Exemplo n9 1:
A tabela da verdade mo s t ra o estudo de uma função deduas variãveis. Vamos colocar seus resultados no Diagrama deVeitch-Karnaugh.
Caso O +
Caso 1 +
Caso 2 +
Caso 3 +
A B S
O O O
O 1 11 O 11 1 1
Tab. 4.7
Utilizando o metodo desenvolvido no capitulo 3, obtemosU expressão característica da função:
S = AB + AS + AB
Primeiramente, vamos colocar no diagrama o valorxpressão assume no caso zero, ou seja, vamos colocar o
de S, para esse caso, na região AB.
que avalor
S B
A O
A Fig .4.18
1'1 nUIIl
Agora, vamos colocar no diagrama o valor que ano caso 1 (S = 1, caso 1, na região AB).
expre~
B I B
AFig.4.l9
A
Em seguida, vamos colocar no diagrama o caso 2 (S= 1 najlíHI I\IJ).
B I B
A Fig.4.20A
110
E, finalmente, colocaremos no diagrama a saída referenO 3 (S = 1 na região AB).
B I B
A
Fig.4.2lA
\11111 11
lumos, agora, aquela tabela da verdade escrita noVllltch-Karnaugh:
dia
13 B
A I OFig.4.
A
Uma vez entendida a colocação dos valores assumidos pelaexpressão em cada caso no diagrama de Veitch-Karnaugh, vamos v~rificar como podemos efetuar a simplificação.
Para obtermos a expressão simplificada do d iaqr-ama , u t i
lizaremos o seguinte metodo:Tentamos agrupar as regiões onde S e igual a um ~l) ,no
menor numero possível de pares.As regiões onde S e um (1), que não puderem ser agrup~
das em pares serão consideradas isoladamente:No exemplo, temos:
Fig. 4.23-,\
o/I ~ Par G)/
"-par ®
Notamos que um par e o cunjunto de duas regiões ondeS e um (1) que tem um lado em comum, ou/seja, são vizinhos. O mes111O um (1) pod e pe r te nce r a m a is deu m pa r .
Feito isto, escrevemos a expressão de cada par, ou seja,\ rcgião que o par ocupa no diagrama.
O par G)ocupa a região onde A e igual a um, então,suao xp re ssào será: Par G) = A.
O par ® ocupa a região onde B e igual a um, então,suaixp re s s â o será: Par ® = B.
Notamos tambem que nenhum um (1) ficou fora dos pares.Agora, basta somarmos para obtermos a expressão simplificada S,110 c a s o:
S = Par 1 + Par 2S = A + B
Como podemos notar essa e a expressão de uma porta OU.1101'; 1\ t ab c le da vcrdadc t amb êm e a da porta OU. Outro fato a
01' 1101.11110 (i qU0 11 cxur n s a ao ob t t dn d l r otrunn nt o da 'Cabalo (11\ V('I"
tlllillJ, 1I v t v I vu huuu t « 111111111' '1110 11 ilXPI'U!.!d\CI IIIIIIIlIll/lIdll.
~xpressio obtida diretamente da tabela da verdade:S = AB + AB + ABCircuito relativo a essa expressao:
A· dII • I
A· I
1 • s1I • ri
A-li- I
Circ.4.4xpressao obtida apõs a simplificaçio:
5 = A + B
Circuito relativo a expressão simplificada:
:: D ·S
Circ.4.5
nv ld c nt e que a m i n im i z a ç â o da e x p re s s â o ,11"111111111 LOlilO consequência. diminui ° custo e a1111111111111111 ,
simplificadificuldad
IXIlIlIlIl o nQ
V 1111111 'i ii IlIlp I 'I ri t r cu ] to q u ULII 1\ 1.111)(1 1I1 dll
• Ili~
verdade abaixo:A B 5
O O 1O 1 11 O 11 1 O
Tab.4.8 APAf\.1
~
5 = A B + A B + A BObtendo-se a expressio diretamente da tabela, temos:
Transportando-se a tabela para o diagrama, mediante pr.Qcesso jã visto, teremos:
B B
7f. 1 1A
1 O
Agora, vamos agrupar os pares:
B" I B
\Fig.4.24
CD'-~----[f \ 'Ir I 1 I 1 '..•par11 1, __ 1 ..•./
A I II 1 ~
~I __ -
-l-par ®
Fig.4.25
Vamos escrever as express6es dos pares:par G)+ li.
110 r (2)+ lj
',(111111 IIdl1- ri Ir. nxpl'O!l!illlil; <lOll pnrCl'l, I,oromo •• Xpr'O'j'jllO
IIplll'1cnda de S.
S = A + B
Notamos que a tabela da verdade e a de uma porta NANDIIIII'IIIOG que a expressão de uma porta NAND e: S = A.B. Apl ican
" (I I.corema de De Morgan, a expressão encontrada após a simIlItIIÇIlO, encontraremos esta expressão:
S = fi. + B = A.B
').r',-,)1agramas de Veitch,':'Karnaugh para três variãveis:
B B;
fi.
A
C C C
Fig.4.26
Região na qual B = 1:
B I B
11fi.-
AI~ Fig.4.29
C C
Região na qual B = 1 (B = O):
A Fig.4.30
A
C C C
Região na qual C = 1:
B Bfi.
Fig.4.3lA
C C C
Região na qual C = 1 (C = O):
n- I B"fi V//..-i I ~ Fig.4.32..fi
111)~ 1l1! LI I1I fJ t' ri 1111\ L r"li h Õ III L (l Y' (\ 111o ~ 111111\ r o 01 IT o p n r 11 ndn GfI
II dn tabela da verdade:
Tabela da verdadede 3 variãveis
fi B C
O O OO O 1O 1 OO 1 11 O O1 O 11 1 O1 1 1
I
~II
II
Mapas das regiões:
ti" Bcaso u caso I caso ~O O O O O 1 O 1 1
A J-;n:B C ABC A B CTab.4.9 A I caso 4 caso 5 caso 7 cas06
100 1 O 1 1 1 1 1 1 OABL" A ti" C A B C A B L"
C C C
Fig.4.33
Vamos analisar a colocação somente de uma das possibid"llos, visto que as outras serão de uma maneira anãloga.
Vamos colocar no diagrama o caso 3:
Caso A B CO3
No diagrama serã a intersecção das regiões onde:(i (fi • 1), B = 1 e C = 1. Essa pode ser chamada de região
1\ C:locação do caso 3 no diagrama:
:f ~ I,,,,, .B
c c
Fig.4.34
Para melhor compreensão, vamos traspor para o diagramaa tabela da verdade abaixo:
PI'()(:(lSSO:
IIIIPI 'lil (l
" 1\ I (Jua 11\1' 'IIH\ li r o
A B C sO O O
O O 1O 1 O
O 1 11 O O1 O 11 1 O
1 1 1
C
Tab.4.1O
1O111
O1 ;
O
Expressão extraída da tabela da verdade:S = li 13 C + li B C + A 13 C + A B C+ A B CTranspondo a tabela para o diagrama, teremos:
~caso O caso 1 caso 31taso 2
~Illl I Fig.4.35A caso 4 caso 51caso 71caso 6
L
O -O
C
Para efetuarmos a simplificação, seguimos o seguinte
Primeiramente, localizamos as "quadras" e escrev!xpressões. Quadras são agrupamentos de regiões onde
a um (1) adjacentes, em sequincia, ou dois a doispossíveis num diagrama de tris variã~eis são:
Quadra A Quadra li.
H-n B
AI li.Fig.4.35 f//cf///I/.//f///4 Fig.4.38
fI~A
~
Quadra B Quadra "B"
~
B I BA r ,
~I~Fig.4.36
li.WAU01 I I Fig.4.39
A! c C - .
C
Quadra C Quadra C
A
AFig.4.37
C
A Fig.4.40A
C CC
Notamos tambim que, num diagrama de tris variiveis,1\ '; 11 li ti d r a s são os 1 o c a is o n deu ma das va r ii v e is as s um e, um da d oV 1I I li r f i x o . Ex em p 1o: a q u a d ra B as s um e o va 1o r 1 (B = O).
No nosso exemplo, vamos ter:
I'i
fi
........tc C'-
quadra: C
Fig.4.41
Feita a localização das quadras, localizamos o numerode pares possívei s e escrevemos suas expressões. Não devemos co!!.siderar como par, os pares ji incluídos nas quadras, porem pod~rã acontecer de termos um par formado um "um" externo ã quadrae um outro "um" pertencente ã quadra.
Deve-se ressaltar que são tambem considerados paresos seguintes casos abaixo:
(B I B) 13 B
li.A
li.A
cC Fig.4.42\C I C I C )C
Apõs isso, vamos localizar os pares no nosso exemplo:
13 B
li.
Fig.4.43
1 par: A.B (pois o par esti na i!!.tersecção das regiões: li. = 1 e 8=1)
A
C c C
Notamos que esse par nao depende de C, pois estã loc~lizado tanto em C como em C, ou seja, nesses dois casos a expre~são resultarã independente do valor de C.
Feita a localização dos pares, resta considerarmos ostermos isolados que não puderam ser agrupados em nenhum par eem nenhuma quadra.
No nosso exemplo não temos esse caso.O passo final ê somarmos as expressões referentes as
quadras, aos pares e aos termos isolados .No nosso exemplo. temos:Quadra: 'C'lillr: fi 1\
II
A expressão final minimizada se\a: S = A B + CVamos efetuar a comparação entre as expressões e cir
antes e apõs minimização.Expressão antes da minimização:S = A B C + A B C + A B C + A B C + A B CCircuito antes da minimização:
~: ~
, • s
Circ.4.6
xpressão após a minimização: S A B + C
ircuito após a minimização:
~: Ü I U .S
. .Circ.4.7
Como outro exemplo vamos minimizar o circuito que executa a tabela da verdade abaixo:
A B C SO O O OO O 1 1O 1 O OO 1 1 11 O O 11 O 1 11 1 O 11 1 1 O
Tab.4.11
Transpondo para o diagrama temos:
"B" B
X O 1 1 OA
1 1 O 1C C C
Fig.4.44
Agora, vamos agrupar as quadras, os pares e os termosdos.
Nesse caso vamos notar que teremos apenas tris pares~,
13 B/ -- -"A O l 1 1 I O•..•.- --"- ,-,\- -- - -'\ ,
A I 1 I 1 I O \ 1- ~~ _. "" •... _-C C C
Pares: X CA "B"A L
Fig.4.45
A expressao minimizada sera: S = A c + A B + A CPoderíamos tambem ter agrupado de outra maneira:
•• B B/ - ... 1--
\
A O ~ 1 \ 1 I O'-- ,
- -- ... I / --A 1 \ \ 1 I O I 1- _/ .... ~ ,-
C C C
Fig.4.46
Gerando a expressao: S A C + A C + B C
Essas duas expressões, aparentemente di ferentes, possuemo mesmo comportamento em cada possibilidade, fato este comprov~do levantando-se as respectivas tabelas da verdade: