A RETA

Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

“Determinação de uma reta no plano”.“Determinação de uma reta no plano”.

A(x,y)

B(x,y)

Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.


Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

“Equação geral da reta no plano cartesiano”.“Equação geral da reta no plano cartesiano”.

A(x,y)

B(x,y)

C(x,y)


Desenvolvendo o determinante obtemos:a equação : ax + by + c = 0 que é chamada equação geral da reta r

Equação geral da reta, determinada por dois pontosEquação geral da reta, determinada por dois pontos


Desenvolvendo o determinante obtemos:a equação : 1x -1y + 2 = 0 que é chamada equação geral da reta r

Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)

Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)

0

142

131

1

yx


Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

“Equação reduzida da reta”.“Equação reduzida da reta”.


“Exemplo de equação reduzida da reta”.“Exemplo de equação reduzida da reta”.

Da equação geral

6x-3y-12=0

obtemos a equação reduzida da reta:

Y= 2.x - 4

Cuja representação gráfica é

- 4

m=2 c.a =2

c.l =- 4

Onde:


Equação segmentária da retaEquação segmentária da reta

Da equação geral

ax+by+c=0

obtemos a equação segmentária da reta:

x/p + y/q=1ax/c +by/c= c/c

Graficamente temos:

qp1

q

y

p

x


Exemplo de equação segmentária da reta”.Exemplo de equação segmentária da reta”.

Da equação geral

6x-3y-12=0

obtemos a equação segmentária da reta:

6x-3y= 12

x/2 + y/ - 4=16x/12 - 3y/12= 12/12

Graficamente temos:

- 42


• Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.•Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau.• Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .•

“Equação paramétrica da reta”.“Equação paramétrica da reta”.


“Exemplo de equação paramétrica da reta”.“Exemplo de equação paramétrica da reta”.

Dados os pontos X= 2.t+1 e Y= t+3

Coordenadas do ponto P(x,y)

Isolando “t” em y temos: t = y- 3

Substituindo “t” em x temos: x = 2.(y- 3)+1

Organizando, obtemos a equação geral

x-2y+5=0

Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica

()

Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m

P(x,y)


“Equação fundamental da reta”.“Equação fundamental da reta”.


• A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta

“Equação fundamental da reta”.“Equação fundamental da reta”.


Exemplo aplicação da equação fundamental da retaExemplo aplicação da equação fundamental da reta

A equação da reta que passa por P(2,3) e

Tem coeficiente angular m =-2 é

y- 3=-2(x- 2)

2

3m =-2

Equação geral:2.x+y-7=0

• m= a = tg


• O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que:

• São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETACOEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA


é agudo a > 0

Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo.


Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo.


é obtuso a < 0



= 0º ou 180º a = 0 = 90º a não existe

Neste caso a reta tem um coeficiente zero.

Neste caso a reta não tem coeficiente angular


Determinação do Coeficiente angular na equação Determinação do Coeficiente angular na equação


Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão.

m =•Exemplo-a

b Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0

m =- 3

-2m = 3

2

Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos


Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por:

m =

•Exemplo

yb-ya

xb-xa

Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10)

m =10 - 6

5 - 3m =

4 2m =2

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS


Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares.

Veremos aqui a algumas delas ....

• RETAS PARALELAS

• RETAS CONCORRENTES

• RETAS PERPENDICULARES

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS


• RETAS PARALELAS: •retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares

• RETAS CONCORRENTES: • tem os coeficientes angulares diferentes.

• RETAS PERPENDICULARES:• Formam entre si ângulo de 90º.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

• RETAS PARALELAS: • tem os coeficientes angulares iguais • (m1 = m2)

m1 m2


POSIÇÕES DAS RETAS POSIÇÕES DAS RETAS

• RETAS CONCORRENTES: • tem os coeficientes angulares diferentes • (m1 diferente de m2)

m1 m2


• RETAS PERPENDICULARES: • Formam entre si ângulo de 90º•O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1 . M2 = -1)


POSIÇÕES DAS RETAS POSIÇÕES DAS RETAS

Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por:


*P(x,y)

dp,r22,ba

cbyaxd

pp

rp

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Ângulo entre Retas Ângulo entre Retas

Ângulo formado por duas retasSendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por :


msmr

msmrtg

.1

mrms

r s

BIBLIOGRÁFIA BIBLIOGRÁFIA

Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva

www.net-rosas.com.br

www.unificado.com.br/matematica

Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

A RETA

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