ESTUDANDO A RETA NO PLANO CARTESIANO

Uma reta a funo mais simples que voc pode desenhar num plano. A figura abaixo, por exemplo, mostra o grfico da reta y = 2x + 3.

Condio de alinhamento de trs pontos

A figura ao lado nos mostra trs pontos, A (x1, y1), B (x2, y2) e C (x3, y3), que esto alinhados, ou seja, so pontos de uma mesma reta.

Vejamos, agora, a condio, em funo de suas coordenadas, para que trs pontos estejam alinhados.

Pela figura: D (x2, y1); E (x3, y1)Observando a figura, temos: ACE ~ ABDDa:

Ou, ainda :

Observao: Podemos provar, algebricamente, que a igualdade pode ser escrita na forma = 0 Coluna das ordenadas dos pontos Coluna das abscissas dos pontos

Vejamos alguns exemplos em que usaremos a condio de alinhamento de 3 pontos.

Exemplo:

Inclinao e Coeficiente angular de uma reta

Inclinao

A figura ao lado nos mostra uma reta r, no paralela ao eixo x. Seja o menor ngulo que a reta forma com o eixo x, medido do eixo para r no sentido anti-horrio. A medida do ngulo chamada inclinao da reta r.

Pode ocorrer, ento que:

0 90 90 180 90

Verifica-se, facilmente, que, se r paralela ao eixo x, sua inclinao ser zero, ou seja :

0

Coeficiente Angular ou declividade

Consideremos uma reta r de inclinao .

Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o nmero real m que expressa a tangente trogonomtrica de sua inclinao , ou seja:m = tg

De acordo com os estudos de trigonometria, podemos observar que:

Podeomos determinar o coeficiente angular de uma reta r que passa por dois pontos A (x1, y1) e B ( x2, y2) :

Na figura ao lado:A (x1, y1); B (x2 y2) e C (x2, y1). Sendo o triangulo ABC retngulo ( reto), temos:

Como = tg , ento:

O coeficiente angular de ua reta que passa por dois pontos, A (x1, y1) e B (x2, y2), dado por m = tg = , com x1 x2.

Devemos observar que a frmula vale, tambm, para o caso de 90 180.

tg (180 ) = =

Como tg (180 ) = tg temos: m = tg = tg (180 ) =

Vejamos alguns exemplos em que devemos calcular o coeficiente angular de uma reta.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Estudo da equao da reta

Quando estudamos funo, verificamos que uma funo do 1 grau definida por uma equao do 1 grau com duas variveis e que seu grfico uma reta.Reciprocamente, podemos dizer que uma linha reta representada por ua equao do 1 grau com duas variveis.

Equao de uma reta que passa por um ponto P (x1, y1) e cujo coeficiente angular (ou declividade) m

Sabemos que uma reta fica perfeitamente determinada, quando conhecemos um de seus pontos e sua inclinao.

Consideremos, ento, uma reta r que passaTomamos, ento, um ponto Q (x,y)por u ponto P (x1, y1) e tem um coeficientea qualquer sobre a reta r, Q P. angular m.

Vamos, ento, determinar uma equao que seja satisfeita por x e por y se, e somente se, Q (x, y) est obre a reta r que passa por P (x1,y1) e tem um coeficiente agular m. Ento: m = y y1 = m (x x1)

Equao da Reta

Observao:

E a reta r vertical, ento todos os pontos da reta tem a mesma abscissa. Assim, o ponto Q (x,y) um ponto qualquer da reta se, e somente se, x = x1.

Vamos resolver alguns problemas.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Equao reduzida da Reta

J sabemos que a euao da reta, se forem conhecidos um ponto P (x1, y1) da reta e o coeficiente angular m , dada por:

Se escolhermos o ponto particular de coordenadas (0,b) para o ponto (x1,y1), teremos a equao:

Forma denominada equao reduzida da reta

O nmero real b, que a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y, chamado coeficiente linear da reta. Ento: Coeficiente linearCoeficiente angular

Vejamos alguns problemas.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Equao segmentria da reta

Consideremos uma reta r, tal que: r intercepta o eixo x no ponto A (a,0); r intercepta o eixo y no ponto B (0,b). Da:

Ento a equao da reta ser:

Dividindo ambos os membros por ab, se a0 e b0, temos:

Forma denominada equao segmentria da reta.

Equao geral da reta

Com os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores, podemo facilmente demonstrasr as seguintes afirmaes: Toda reta no plano o grfico de uma equao do 1 grau com duas variveis na forma , em que a, b, e so constantes. Demonstrao:Seja r uma reta no plano. a) Se r uma reta vertical, ento r ser o grfico de uma equao da forma

Essa equao pode ser escrita na forma , em que a = 1, b = 0 e c = x1 (a e b no so ambos nulos). Logo essa equao d 1 grau com duas variveis.

b) Se r no uma reta vertical, ento r tem um coeficiente angular m e corta o eixo y no ponto (0,b) e r ser o grfico de uma equao da forma

Essa equao pode ser escrita na forma , em que a = m, b = 1 e c = b (a e b no so ambos nulos). Logo essa equao do 1 grau com duas variveis.

O grfico de uma equao do 1 grau com duas variveis na forma , em que a, b, c so constantes, sempre uma reta. Demonstrao:Seja a equao , em que a e b no so ambos nulos. a) Se b = 0 ax + c = 0 ax = c x = O grfico da equao uma reta vertical.

b) Se b 0, vamos dividir todos os termos da equao por bp, e teremos:

O grfico dessa equao uma reta cuo coeficiente angular e cujo coeficiente linear .

Assim, podemos afirmar que:

Toda reta tem uma equao da forma , na qual a e b no so ambos nulos, que chamada equao geral da reta.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Posies relativas de duas retas no plano cartesiano

Consideremos duas letras, 1 e 2, no verticais de inclinaes 1 e 2, respectivamente. Podem ocorrer dois casos. 1 Caso: 1 = 2 Nesse caso, 1 e 2 so paralelas, conforme podemos observar nas figuras seguintes: Se 1 = 2, tg1 = 2 m1 = m2

2 Caso: 1 2Nesse caso, 1 e 2 no so paralelas, ou seja, 1 e 2 so concorrentes.

Se 1 2, 1 2 m1 m2

Vejamos alguns exemplos em que aplicamos nessas condies.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Paralelismo de retas no plano cartesiano

Do item anterior, sabemos que:

Se duas retas, 1 e 2, so distintas e no verticais, com coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente, ento 1 e 2 so paralelas se, somente se, m1 = m2.

Vejamos um problema.

Exemplo:

Interseco de retas no plano cartesiano

Consideremos duas retas, 1 e 2, que se interceptam num ponto P (a,b).Como o ponto P, interseco das retas, deve pertencer s duas retas, suas coordenadas (a, b) deve satisfazer as equaes das duas retas, simultaneamente.Algebricamente, sabemos que um par ordenado satisfaz, simultaneamente, duas equaes quando esse par a soluo de um sistema formado por essas equaes. Assim, obtemos as coordenadas (a,b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equaes das duas retas. Exemplo:

Perpendicularismo de retas no plano cartesiano

Consideremos duas retas, 1 e 2, concorrentes num ponto P, de tal forma que 1 2. No tringulo APB, pela Geometria plana temos: Da:

Duas retas 1 e 2 de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente, so perpendiculares se, e somente sem

Exemplo:

nulo formado por duas retas no plano cartesiano

A figura ao lado nos mostra duas retas 1 e 2, no verticais, de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente. O ngulo , medido no sentido anti-horrio, desde a reta 1 at a reta 2, considerado o ngulo formado pelas retas 1 e 2.

Frmula para calcular 1.

Caso uma das retas seja vertical, teremos:

Exemplo:

INTRODUO

interessante notar que, quando uma gerao aprendeu algo sobre Matemtica, a gerao seguinte aprender muito mais. Assim, quase tudo que aprendemos sobre Geometria plana at agora j era do conhecimento dos gregos antigos h mais de dois mil anos. Aps os gregos, o grande avano no estudo da Geometria se deu no sculo XVII quando um francs, Ren Descartes (1595 1650), com seu livro La Geometrie, estabeleceu um novo mtodo chamado Geometria com coordenadas ou Geometria Analtica. Nesse mtodo Descartes procurou relacionar figuras geomtricas (como ponto, reta, circunferncia...) com elementos algbricos ( como pares ordenados, equaes etc.). Neste trabalho abordaremos estudo da circunferncia, sesses cnicas e estudo da reta no plano cartesiano.