A velocidade instantânea (Texto para acompanhamento da vídeo-aula)

Prof. Méricles Thadeu Moretti

Dpto. de Matemática - UFSC O procedimento que será utilizado neste vídeo remete a um tempo em que pesquisadores buscavam definir a velocidade instantânea de um móvel. Isto pode parecer muito pouco, mas podemos dizer que hoje que esta definição é uma daquelas fundamentais da física e do cálculo. A nosso encontro de hoje tem três passos importantes que serão examinados a seguir. O que faremos agora em alguns minutos levou centenas de anos pra chegar ao ponto que hoje conhecemos. Podemos citar centenas de nomes, mas iremos nos ater em apenas dois deles que foram fundamentais nesta tarefa: Newton (1642 - 1727) e Leibniz (1646 - 1716). Comecemos com um exemplo Um projétil é lançado do solo verticalmente para cima em um movimento de queda livre em que a distância e (em metros) no instante t (em segundos) é dada pela função:

e(t) = 30t - 5t2 que no plano cartesiano é representada por uma parábola.

e(t) = 30t - 5t2

Raízes

30t - 5t2 = 0

t(30 - 5t) = 0

t = 0 ou 30 - 5t = 0

t = 0 ou t = 6

Vértice

32

)60(t v =+=

2v 35330e ×−×=

45e v = e(t) fornece distâncias. No entanto, sabemos que quando o projétil atinge o seu ponto mais alto, no nosso exemplo, em (3s, 45m) a velocidade é nula. Como verificar esta afirmação e como calcular a velocidade em outros instantes, como por exemplo, em t = 0s (velocidade de lançamento) ou em t = 2s?

Idéia GENIAL para calcular a velocidade

PASSO 1

Passo1: calcular a velocidade média em (t1, t1 + h), com h > 0.

h)t(e)ht(e

te

v 11 −+=∆∆=

Esta expressão nada mais é do que o coeficiente angular da secante S1 que passa por (t1, t1 + h).

Com e(t) = 30t - 5t2, calculamos v :

te

v∆∆=

11

11

tht)t(e)ht(e

v−+−+

=

h)]t5t30[()])ht(5)ht(30[

v2

112

11 −−+−+=

ht5t30)hht2t(5h30t30

v2

112

1211 +−++−+=

ht5t30h5ht10t5h30t30

v211

21

211 +−−−−+=

hh5ht10h30

v2

1 −−=

Finalmente, obtemos:

h5t1030v 1 −−= Exemplo: Calcular v para o intervalo t1(1s, 25m) e t2(3s, 45m). Numericamente, tem-se:

10220

132545

te

v ==−−=

∆∆=

Também podemos calcular usando a fórmula de h5t1030v 1 −−= encontrada anteriormente:

Como t1 = 1, t2 = 3 e h = 3 - 1 = 2 tem-se:

102.51.1030v =−−= Portanto, a velocidade média no intervalo considerado é .sm10v =

PASSO 2

Passo2: calcular a velocidade média em (t1, t1 + h), com h > 0 e 0h ≅ (h muito pequeno). A velocidade média em (t1, t1 + h) é:

h5t1030v 1 −−= Para 0h ≅ , o termo 5h é desprezível em relação aos demais termos da equação e, deste modo, considerando 0h5 ≅ , obtemos:

11 t1030)t(v −= que pretendemos que seja a velocidade instantânea ou simplesmente a velocidade em t1.

PASSO3 Para passar de v para v, usamos o argumento de que h é muito pequeno. Isto pode ser feito com todo o rigor matemático com o uso da definição de limite:

00

]h

)t(e)ht(e[)t(v 11lim

0h1 =−+

= →

Já podemos observar que este limite é indeterminado e, portanto, pode existir ou não. Caso ele exista, será então definido como a velocidade em t1. Para o nosso exemplo em que e(t) = 30t - 5t2, obtemos:

]h

)t(e)ht(e[)t(v 11lim

0h1

−+= →

)h5t1030()t(v 1lim

0h1 −−= →

11 t1030)t(v −=

Que é a expressão da velocidade instantânea em t1 já encontrada anteriormente.

De volta ao problema Observamos que t1 é a abscissa de um ponto qualquer do domínio de e(t) e podemos para aliviar as notações escrever simplesmente v (t) = 30 - 10t: � v(t) é a função que representa a velocidade do projétil descrito por e(t); � v(t) também fornece os coeficientes angulares de qualquer reta tangente em e(t).

e(t) = 30t - 5t2

v (t) = 30 - 10t

- aos 3s o projétil atinge o ponto mais alto em 45m;

- no ponto mais alto

a inclinação da tangente é nula;

- no ponto mais alto a velocidade é nula

v(3s) = 0m/s;

- a inclinação da tangente entre 0s e 3s é positiva e entre 3s e 6s é negativa;

- a velocidade

entre 0s e 3s é positiva e entre 3s e 6s é negativa;

- a velocidade decresce em todo o trajeto do projétil o

qual tem duração de 6s;

- o projétil é lançado do solo com velocidade inicial

v(0s) = 30m/s.

- aos 6s o projétil atinge o

solo novamente com velocidade

v(6s) = -30m/s;

O problema do ponto de vista físico na determinação da velocidade instantânea é o mesmo problema matemático para encontrar o

coeficiente angular da reta tangente

O procedimento para encontrar v(t) a partir de e(t) é chamado

derivação B - Definição de derivada O que foi feito para a função particular e(t) = 30t - 5t2 pode ser feito para qualquer função como segue. A derivada de uma função f(x), representada por f´(x), em um ponto x qualquer do seu domínio é o limite a seguir, caso ele exista:

]h

)x(f)hx(f[ )x(f lim

0h´ −+= →

� Observar que este limite é indeterminado, portanto pode ou não existir; � Conforme já examinamos anteriormente, no caso em que f é uma função da distância pelo tempo, a derivada em um ponto coincide com a velocidade e com o coeficiente angular da reta tangente neste mesmo ponto de f. Exemplos 1) Calcular a reta tangente à curva f (x) = 30x - 5x2, sabendo-se que f´(x) = 30 - 10x. a) em x = 2. A equação da reta que passa pelo ponto (x1, y1) e com coeficiente angular m é dada por:

y - y1 = m(x - x1) Para x = 2, tem-se que f(2) = 40. O que falta é calcular m que pode ser obtido pela derivada de f(x) em x = 2:

m = f´(2) = 30 - 10 × 2 = 10 Com estes valores, a equação da reta se torna:

y - 40 = 10(x - 2) ou y = 10x + 20 Portanto, y = 10x + 20 é a equação da reta tangente que passa pelo ponto (2, 40) da curva f (x) = 30x - 5x2.

b) em x = 3 Para x = 3, tem-se que f(3) = 45 e f´(3) = 0. A equação da reta é:

y - 45 = 0(x - 3) ou y = 45 A equação da reta tangente no ponto (3, 45) da curva f(x) é y = 45 que é uma reta paralela ao eixo x (coeficiente angular nulo). Comparar estes resultados com aqueles do problema do projétil de equação

e(t) = 30t - 5t2 2) Determinar a derivada de f(x) = ax , sendo a uma constante real. Por definição, temos:

a)hah

()h

)ax()hx(a()

hf(x)-h)f(x

( )x´(f lim0h

lim0h

lim0h ==−+=+= →→→

Portanto, para f(x) = ax temos que f´(x) = a. Exercício Um ponto material move-se sobre uma curva de modo que a equação horária do espaço é e(t) = t4 – 2t3 + 3t2 + 6 e da velocidade é v = 3t3 - 6t2 + 6t

com e em metros e t em segundos. a) Calcule a velocidade média entre os instantes t1 = 3s e t2 = 5s. b) Calcule a velocidade no instante t = 6s. c) Determine em quais instantes a velocidade é nula. Observação O cálculo da derivada por meio da definição se torna muito complexa para a grande maioria das funções. De modo semelhante ao que foi feito com o cálculo de limite, a partir da definição de derivada obtém-se uma série de propriedades e regras que irão permitir obter a derivada de uma função qualquer. Mas isso é uma outra história que será contada mais adiante...